296710371-Probabilidade-Estatistica-Estacio

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
1
REVISÃO AV1
AULA 01 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
2
POPULAÇÃO E AMOSTRA
 
 Ao conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo 
menos uma característica em comum, denominamos de 
população estatística ou de universo estatístico.
REVISÃO AV1
3
Amostra
População
Estimativas 
e testes
Estatística 
amostral 
 
Exemplos de população/amostras:
 Estudantes constituem uma população.
 Amostra: Apenas os universitários do curso de SI.
 Os brasileiros que votaram nas últimas eleições.
 Amostra: Mil eleitores do Sudeste.
 As peças produzidas na indústria no mês passado.
Amostra: Apenas as peças produzidas naquele mês. 
REVISÃO AV1
4
Alltura f (N° 
atletas)
Freq. Relativa
fr
f %
150 4 4/25 = 0,16 16%
151 6 6/15 = 0,24 24%
152 2 2/25 = 0,08 8%
153 3 3/25 = 0,12 12%
156 1 1/25 = 0,04 4%
160 4 4/25 = 0,16 16%
166 3 3/25 = 0,12 12%
170 2 2/25 = 0,08 8%
() 25 1,00 100%
150 150 150 150 151
151 151 151 151 151
152 152 153 153 153
156 160 160 160 160
166 166 166 170 170
 166, 170,150,151, 156, 153,150, 
166, 153, 160,151, 170, 160,151, 
160,152,150,166,150,160,153, 
151,151,152, 151 
Rol
REVISÃO AV1
AULA 02
Dados não agrupados 
REVISÃO AV1
i
(dado)
TV 
Vendidas fi fri
fri % = fri . 100 
1 10 1 1/24  0,04 4 %
2 11 3 3/24  0, 13 13 %
3 12 4 4/24  0, 17 17 %
4 13 5 5/24  0, 20 20 %
5 14 7 7/24  0, 30 30 %
6 15 2 2/24  0, 08 8 %
7 16 1 1/24  0, 04 4 %
8 17 1 1/24  0, 04 4 %
∑ f i = 24
 
 i
i
f
f
fri = 
REVISÃO AV1
Gráficos: Histograma 
Cada linha vertical indica uma frequência.
REVISÃO AV1
Gráficos: Diagrama de colunas
Cada barra vertical indica uma frequência.
REVISÃO AV1
Gráficos: Diagrama ou gráfico de barras
Apresenta as frequências simples em barras horizontais. 
Gráfico de Barras
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10
12
14
16
vendas diárias
frequência de vendas diárias
REVISÃO AV1
Gráfico ou Diagrama de Setores
 
Representa as frequências 
simples ou relativas sob a 
forma de setores circulares. 
Aponta os dados mais 
representativos da distribuição 
de frequências. 
Vendas diárias de um 
aparelho de TV 32”
REVISÃO AV1
AULA 03 
Dados agrupados em classes
REVISÃO AV1
Distribuição de frequências 
Estatura de 40 alunos de uma faculdade
i Estaturas
(cm)
fi
(freq. simples)
1 150|154 4
2 154|158 9
3 158|162 11
4 162|166 8
5 166|170 5
6 170|174 3
 fi = 40
Exemplo:
Na classe i = 2, existem 
na amostra 9 alunos com 
estaturas entre 154 cm 
(inclusive) e 158 cm 
(exclusive).
REVISÃO AV1
Distribuição de frequências 
Poderemos acrescentar à tabela outros tipos de 
frequências:
 Frequências Relativas 
 Frequências Relativas Percentuais 
 
  Frequências Acumuladas Simples
 
 Frequências Relativas Acumuladas


if
fi
fri


if
Fi
Fri
 ifFi
%100.% frifri 
REVISÃO AV1
Tabela 4- Distribuição de frequências 
i Estatura
xi 
 
fi
1 150|154 152 4
2 154|158 156 9
3 158|162 160 11
4 162|166 164 8
5 166|170 168 5
6 170|174 172 3
 fi = 40
REVISÃO AV1
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
i Estatura
xi 
 
fi fri
1 150|154 152 4 0,100
2 154|158 156 9 0, 225
3 158|162 160 11 0, 275
4 162|166 164 8 0, 200
5 166|170 168 5 0, 125
6 170|174 172 3 0, 075
 fi = 40  fri = 1
REVISÃO AV1
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
i Estatura
xi 
 
fi fri fri %
1 150|154 152 4 0,100 10
2 154|158 156 9 0, 225 22,5
3 158|162 160 11 0, 275 27,5
4 162|166 164 8 0, 200 20
5 166|170 168 5 0, 125 12,5
6 170|174 172 3 0, 075 7,5
 fi = 40  fri = 1
REVISÃO AV1
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
i Estatura
xi 
 
fi fri fri % Fi 
1 150|154 152 4 0,100 10 4
2 154|158 156 9 0, 225 22,5 13
3 158|162 160 11 0, 275 27,5 24
4 162|166 164 8 0, 200 20 32
5 166|170 168 5 0, 125 12,5 37
6 170|174 172 3 0, 075 7,5 40
 fi = 40  fri = 1
REVISÃO AV1
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
i Estatura
xi 
 
fi fri fri % Fi Fri 
1 150|154 152 4 0,100 10 4 0, 100
2 154|158 156 9 0, 225 22,5 13 0, 325
3 158|162 160 11 0, 275 27,5 24 0, 600
4 162|166 164 8 0, 200 20 32 0, 800
5 166|170 168 5 0, 125 12,5 37 0, 925
6 170|174 172 3 0, 075 7,5 40 1, 000
 fi = 40  fri = 1
REVISÃO AV1
Tabela 4- Distribuição de freqüências 
i Estatura
xi 
 
fi fri fri % Fi Fri Fri %
1 150|154 152 4 0,100 10 4 0, 100 10
2 154|158 156 9 0, 225 22,5 13 0, 325 32,5
3 158|162 160 11 0, 275 27,5 24 0, 600 60
4 162|166 164 8 0, 200 20 32 0, 800 80
5 166|170 168 5 0, 125 12,5 37 0, 925 92,5
6 170|174 172 3 0, 075 7,5 40 1, 000 100
 fi = 40  fri = 1
REVISÃO AV1
Histograma
4
9
11
8
5
3
0
2
4
6
8
10
12
Estaturas (cm)
F
re
q
u
ên
ci
a 
d
as
 e
st
at
u
ra
s
O histograma: Estaturas de 40 alunos.
REVISÃO AV1
Polígono de Frequência
E um gráfico de linha que representa as frequências 
simples dos pontos médios das classes.
Polígono de Frequências Simples
0
2
4
6
8
10
12
148 152 156 160 164 168 172 176
Pontos Médios das Classes 
F
re
q
u
ên
ci
as
 S
im
p
le
s
Estatura
(cm) 
 
xi fi
150|154 152 4
154|158 156 9
158|162 160 11
162|166 164 8
166|170 168 5
170|174 172 3
REVISÃO AV1
AULA 04 
Medidas de Posição:
Média Aritmética
Mediana
Moda
23
REVISÃO AV1
Média aritmética de dados não agrupados
Suponha que as notas de um candidato, em seis provas 
de um concurso, sejam 
8,4 9,2 7,1 6,8 8,7 7,2
 
Cálculo da Média das notas:
9,7=
6
4,47
=
6
2,7+7,8+8,6+1,7+2,9+4,8
=X
24
REVISÃO AV1
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES
Distribuição de frequências dos 40 alunos.
i Estaturas
(cm)
xi
(ponto médio) 
fi
(frequências simples)
xi fi
1 150|154 152 4 608
2 154|158 156 9 1404
3 158|162 160 11 1760
4 162|166 164 8 1312
5 166|170 168 5 840
6 170|174 172 3 516
 fi = 40
6440
25
REVISÃO AV1
Média ponderada de dados não agrupados
Estatura média dos alunos de uma turma. 
A altura média dos estudantes é 161 cm.
161=
40
6440
=
40
3.172+5.168+8.164+11.160+9.156+4.152
=x
26
REVISÃO AV1
Mediana
1º Passo: Incluir a coluna “Frequência Acumulada”.
xi fi Fi
50 8 8
60 5 13
80 4 17
90 3 20
 fi = 20
27
REVISÃO AV1
2º Passo: calcular
 A frequência acumulada imediatamente superior ao 
número 10 encontrado é F2 = 13. 
 Logo, a MEDIANA Md = 60, que corresponde ao 
valor da variável associado à frequência acumulada 13.
xi fi Fi
50 8 8
60 5 13
80 4 17
90 3 20
 fi = 20
10=
2
20
=
2
fi∑
28
REVISÃO AV1
Atenção!
 Quando é igual a uma das frequências 
acumuladas Fi , a mediana será a média aritmética entre 
os valores das variáveis xi e xi+1. 
29
2
∑ if
Exemplo: 6,8 7,2 7,2 8, 4 8,7 9,2 
  Md = média entre os termos de posições 3 e 4
 Md = 8,7
2
6,15
2
4,82,7


REVISÃO AV1
3
2
6
2
∑
i
f
i Estaturas
(cm)
fi
(frequências 
simples)
Fi
(frequências 
acumuladas)
1 150|154 4 4
2 154|158 9 13
3 158|162 11 24
4 162|166 8 32
5 166|170 5 37
6 170|174 3 40
  fi = 40 
Exemplo 3: Cálculo da Mediana
30
2
∑ if = 20
Imediatamente 
acima
Classe 
Mediana
REVISÃO AV1
Pela fórmula:
LImd = 158
Amd = 4
fmd = 11
Fmd -1 = 13
 
Md = 158 + . ( 20 – 13) = 160, 5411
4
31
i (cm) fi Fi
1 150|154 4 4
2 154|158 9 13
3 158|162 11 24
4 162|166 8 32
5 166|170 5 37
6 170|174 3 40
  fi = 40 
REVISÃO AV1
xi fi
50 8
60 5
80 4
90 3
 fi = 20
MODA
Dados Agrupados SEM intervalos de classes.
A maior frequência é f1 = 8, logo a moda é o valor 
correspondente à variável x1, ou seja Mo = 50.
32
REVISÃO AV1
MODA: Dados Agrupados COM intervalos de classes
i Estaturas
(cm)
fi
(freq. simples)
1 150|154 4
2 154|158 9
3 158|162 11
4 162|166 8
5 166|170 5
6 170|174 3
 fi = 40cm160
2
162158


33
2
Ll 
Mo = 
REVISÃO AV1
A Moda pode não ser única: bimodal
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 8; 6, possui duas modas 
Mo= 4 e M’o= 6. 
 
Pode não existir: amodal
A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não possui valor repetido, 
logo não possui moda.
34
REVISÃO AV1
AULA 05 
Medidas de Dispersão
35
REVISÃO AV1
36
Medidas de dispersão
Medem o grau de variabilidade, ou a dispersão dos valores 
observados em torno da média aritmética. 
Deseja-se comparar o desempenho de dois funcionários com 
base na produção diária de uma peça, durante cinco dias:
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70  = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83  = 71
A performance média da A é de 70 peças (varia de 69 a 71)
A performance média de B é de 71 peças (varia de 60 a 83). 
A performance de A é bem mais uniforme do que de B.
Qual o melhor empregado?
REVISÃO AV1
Desvio médio (DM):  Analisa todos os desvios em relação à média.
Cálculo dos desvios (di)
Empregado A 
d1 = 70 – 70 = 0
d2 = 71 – 70 = +1
d3 = 69 – 70 = - 1
d4 = 70 – 70 = 0
d5 = 70 – 70 = 0
 di = 0
Empregado B 
d1 = 60 – 71 = - 11
d2 = 80 – 71 = +9
d3 = 70 – 71 = -1
d4 = 62 – 71 = - 9
d5 = 83 – 71 = +12
 di = 0 
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70  = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83  = 71
REVISÃO AV1
38
Desvio Médio: DM = =
Para eliminar a soma zero  desvios em módulo
Empregado A 
d1 =  0  = 0
d2 = +1 = 1
d3 = - 1 = 1
d4 =  0  = 0
d5 =  0  = 0
  di  = 2 
Empregado B 
d1 = - 11 = 11
d2 = +9  = 9
d3 = - 1  = 1
d4 = - 9  = 9
d5 = +12  = 12
  di  = 42 
n
di ||
n
Xxi || 
5
2
A  DM = = 0,4 B  DM = = 8,45
42
REVISÃO AV1
39
Variância 
Denotada por (s2) ou (2 ), é a medida de dispersão que 
mede a variação média dos dados de uma amostra em 
relação a sua média aritmética. 
Fórmula: 
= 
n
 2(di)
n
 2)X-(xi
REVISÃO AV1
40
Variância (2)
  
Para eliminar a soma zero, eleva-se os 
desvios ao quadrado: 
Empregado A 
d1 = (0)
2 = 0
d2 = (+1)
2 = 1
d3 = (1)2 = 1
d4 = (0)
2 = 0
d5 = (0)
2 = 0
 (di)2 = 2 
Empregado B 
d1 = (–11)
2 = 121
d2 = (+9)
2 = 81
d3 = (1)2 = 1
d4 = (–9)
2 = 81
d5 = (+12)
2 = 144
 (di) 2 = 428 
n
 2(di)
n
 2x)-(xi
2 = 
= 
 = = 0,4 
 
 = = 85,6
5
2
5
428
REVISÃO AV1
2
A
2
B
41
Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância: 
  
2 
Desvio Padrão do funcionário A: = = 0,63
Desvio Padrão do funcionário B: = = 9,25
4,0
6,85
A
B
REVISÃO AV1
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