Gabarito P1 - IPE - UFABC

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Gabarito: Avaliação Intermediária Mauro Cosentino
1. (30 pontos) Suponha que a variável aleatória X seja igual ao número de acertos obtidos por certo
jogador de beisebol nas suas três chances como rebatedor. Se P (X = 1) = 0, 3, P (X = 2) =
0, 2 e P (X = O) = 3P (X = 3), determine:
1. A distribuição de probabilidades de X
2. E[X]
3. O Desvio Padrão de X
Solução:
Primeiro é preciso determinar p0 e p3. (SEM A DEMONSTRAÇÃO EXPLÍCITA DESTA
PARTE O ITEM SERÁ DESCONSIDERADO)
Para isso temos:
p0 + p1 + p2 + p3 = 1 ⇒ 3p3 + p3 = 1− (p1 + p2)
⇒ p3 = 1−0.54 = 0.125 ⇒ p0 = 0.375
(1):
x p(x)
0 0.375
1 0.300
2 0.200
3 0.125
(2):
E(X) =
∑N
i=0 xip(xi) = 1.075
(3):
V ar(X) = E(X2)− E2(X)
E(X2) =
∑N
i=0 x
2
i p(xi) = 2.225
V ar(X) = 2.225− 1.0752 = 1, 069
DP (X) =
√
V ar(x) = 1.03
2. (40 pontos) Suponha que lhe seja apresentada uma caixa com 3 sacos pretos, completamente
opacos. Cada um dos sacos tem 30 bolinhas de gude de cores azul e verde. Um dos sacos tem 12
bolinhas azuis e os outros dois 18 bolinhas azuis. Escolhe-se um dos sacos ao acaso e deste saco
retira-se ao acaso, com reposição, 2 bolinhas. Determine:
1. A probabilidade de se obter 1 bolinhas azuis
2. A distribuição de probabilidades de bolinhas azuis
3. O valor esperado de bolinhas azuis
4. A probabilidade de se obter 0 bolinhas verdes
BIN0406 IPE 2023.3
Solução:
Aqui temos duas distribuições: a distribuição uniforme (a chance de se obter cada saco é constante
e igual a 1/3) e depois temos uma distribuição binomial para cada saco (ou seja a probabilidade
de se obter X bolas azuis (ou Y verdes) em n sorteios com probabilidades p1, p2 e p3.
Existem várias formas de se analisar esse problema, mas primeiro precisamos notar que p2 = p3.
Isso simplifica as coisas, pois ao dizer que os sacos 2 e 3 são idênticas em conteúdo, podemos
então dizer que temos um saco do tipo A e outro do tipo B e que pB = 2pA, ou seja pA = 1/3 e
pB = 2/3.
Por outro lado a probabilidade de se obter uma bola azul da saco do tipo A é p1 = 12/30 = 0.4
e p2 = p3 = 18/30 = 0.6.
(1):
queremos a probabilidade de 1 bola azul, retirada de qualquer saco. Ou seja, precisamos computar
a chance de pegar um saco do tipo A e uma bola azul ou de pegarmos um saco do tipo B e uma
bola azul:
No saco A:
P (X = 1|b : n = 2, p1) =
(
n
1
)
(1− p1)(2−1p11 = 2 · (0.6) · (0.4) = 0.48
No saco B:
P (X = 1|b : n = 2, p2) =
(
n
1
)
(1− p2)(2−1p12 = 2 · (0.4) · (0.6) = 0.48
Agora precisamos fazer p(X = 1) = 0, 48pA + 0.48pB = 0.48.
Portanto a resposta é 0.48.
(2):
Para os demais valores de X seguimos a mesma receita: calcula-se a binomial do tipo A, depois
a binomial do tipo B, depois calcula-se P (X|n, p1) · pA +P (X|n, p2) · pB para cada valor de X
e obtém-se a seguinte distribuição:
x p(x)
0 0.227
1 0.480
2 0.293
(3):
E(X) =
∑
xipi = 1.067
Usando a expressão para a binomial também é possível, desde que se lembre que existem dois
tipos de saco:
E(X) = np1 · pA + np2 · pB
(4):
A probabilidade de se obter zero verdes é igual à probabilidade de se obter 2 azuis.
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