Solução Lista Estatística

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Resolução lista 8 – Probabilidade e Estatística – 1UNA e 1UNE 
 
1) Jogando-se 3 dados, calcular a probabilidade de que a soma de pontos seja superior a 
14. 
 
Solução: Como cada dado oferece 6 possibilidades, o número de resultados possíveis (espaço 
amostral) é : 
n = 6 
3 
= 216 
 
S=18 
666 
S=17 
665 
S=16 
664 
S=15 
663 
 
 656 646 636 
 566 466 366 
 655 654 
 565 645 m = 20 
 556 564 
 546 
465 
456 
555 
 
Resultado P(>14) = 20/216 
 
2) Um baralho de 52 cartas é subdividido em 4 naipes (copas, espada, ouro e paus). 
a) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja de ouro ou de copas? 
b) Retirando-se duas cartas ao acaso com reposição da primeira carta, qual a probabilidade de ser 
a primeira de ouro e a Segunda de copas? 
c) Recalcular a probabilidade anterior se não houver reposição da primeira carta? 
d) Havendo reposição, qual a probabilidade de sair a primeira carta de ouro ou então a Segunda 
de copas? 
 
a) n=52 
E= sair carta de ouro, m1=13 e F= sair carta de copa, m2=13 
 = 13/52 + 13/52 =26/52 = ½ 
 
b) n=52 
E= sair primeira carta de ouro; P(E) = 13/52 = ¼ 
F= Sair a segunda carta copas; P(F) = 13/52 = ¼ 
Como neste caso é feita a reposição, os eventos são independentes, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Neste caso E e F não são mais independentes, logo devemos aplicar a regra da probabilidade 
condicionada. 
 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Queremos agora a reunião dos eventos E e F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma urna contém 7 bolas gravadas com letras A, A, A, C, C, R, R. Extraindo-
se uma bola por uma, calcular a probabilidade de obter a palavra CARCARA. 
 
Resolvemos pela regra dos arranjos quando há repetição: 
 
 
 
 
Temos 7 letras, e como a letra A repete-se 3 vezes, e C e R repetem-se 2 vezes, temos: 
 
 
 
 combinações (anagramas). Então a probabilidade é 1/210. 
 
4) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Extraindo-se 
simultaneamente 3 bolas da urna, calcular a probabilidade de que 
a) Pelo menos duas sejam brancas; 
b) Pelo menos uma seja preta. 
Embora a extração seja feita simultaneamente podemos, sem modificar a essência do 
problema, imaginar uma ordem de aparecimento para as três bolas extraídas, o que 
ajuda o raciocínio para efeito de aplicação da regra do produto. 
 
Sejam os eventos mutuamente exclusivos 
E= saírem 3 bolas brancas; 
F= saírem 2 bolas brancas e 1 preta. 
 
Então podemos calcular P(E) pela regra do produto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O evento F pode ocorrer de 3 diferentes modos (BBP, BPB, PBB): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(G) pelo menos 1 bola seja preta, é mais conveniente primeiro calcular qual é a 
probabilidade de nenhuma ser preta ̅ , mas este é o evento P(E). Então: 
 ̅ 
 
 
 
Portanto: ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
5) Resolver o problema anterior supondo que as extrações sejam feitas consecutivas 
e aleatoriamente, sendo cada bola retirada reposta antes da retirada da bola seguinte 
(extrações com reposição). 
R.: A reposição faz com que as extrações sejam independentes, portanto devemos utilizar 
a regra do produto. 
 
 
 
 
7) Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Duas bolas são retiradas 
simultaneamente ao acaso e substituídas por 3 azuis. Em seguida 2 bolas são 
retiradas ao acaso da caixa. 
a) Calcular a probabilidade de que essas duas últimas bolas sejam da mesma cor. 
b) Se as 2 últimas bolas retiradas forem uma branca e uma preta, calcular a 
probabilidade de que, na primeira extração tenham saído 2 bolas brancas. 
R.: a) 
Evento E1 = saírem 2 bolas brancas 
Evento E2 = sair 1 branca e 1 preta 
Evento E3 = saírem 2 bolas pretas 
 
 
 
 
 
b) resolução pelo teorema de Bayes: 
Seja o evento G = as duas últimas bolas retiradas serem uma branca e uma preta. 
 
O denominador na fórmula de Bayes é a probabilidade condicionada do evento que 
ocorreu: 
 | | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando na fórmula de Bayes: 
 
 | 
 | 
 
 
 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Um homem possui 2 sapatos, 6 meias, 5 calças e 10 camisas. De quantas maneiras 
diferentes este homem pode se vestir? 
R.: Pelo princípio fundamental da contagem: 
 maneiras diferentes de se vestir 
 
 
9) Quantos arranjos distintos de 2 elementos (letra e/ou número) podemos formar 
com as letras a, e ,i, o, u e os números 1, 2, 3? 
R.: Permutação de 8 elementos de dois a dois: 
nPk 
 
 
 
 
 
 arranjos 
 
 
 
10) Deve-se formar uma comissão composta de 3 membros - um representante dos 
empregados, um dos empregadores, e um do público em geral. Havendo 3 candidatos 
dos empregados, 2 dos empregadores e 4 do público, quantas comissões diferentes 
podemos formar? (a) use o princípio fundamental da contagem. (b) use o diagrama 
em árvore. 
R.: Pelo princípio fundamental da contagem: 
 comissões 
 
11) Quantas saladas distintas podemos fazer com cinco espécies diferentes de 
verdura? 
R: Como não foi informado quantas verduras a salada tinha, podemos assumir que ela 
pode ter de 1 a 5 verduras. Como a ordem das verduras não faz diferença no tipo de salada 
(tomate + cenoura = cenoura + tomate), temos uma combinação: 
5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 31 saladas distintas 
 
12) Uma caixa contém 8 bolas vermelhas, 3 brancas, 9 azuis. Extraindo-se ao acaso 
três bolas, sem reposição, determine a probabilidade de: 
a) todas as três bolas serem vermelhas, 
b) todas as 3 bolas serem brancas, 
c) 2 serem vermelhas e 1 azul 
d) ao menos 1 ser branca, 
e) ser uma de cada cor, 
f) as bolas serem extraídas na ordem vermelha -branca- azul. 
Respostas: 
a) 0,05 
b) 3/3420 
c) 0,22 
f) 0,03 
 
 
13) A e B jogam 12 partidas de xadrez, das quais A ganha 6, b ganha 4 e 2 
terminaram empatadas. Eles concordaram então em jogar um conjunto de 3 
partidas. Determine a probabilidade: 
a) de A ganhar todas as 3, 
b) 2 partidas terminarem empatadas, 
c) A e B ganharem alternativamente, 
d) B ganhar ao menos uma. 
 
 em breve