EQUACIONAMENTO DE UM SISTEMA COM BOMBA DE DIAFRAGMA E AMORTECEDOR DE PULSAÇÕES PARA BOMBEAMENTO DE SOLUÇÃO DE SODA CÁUSTICA

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ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 
MÓDULO FÍSICA – ONDULATÓRIA E ÓPTICA 
 
PAULO BORTOLETTO FILHO – RA 210702022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUACIONAMENTO DE UM SISTEMA COM BOMBA DE 
DIAFRAGMA E AMORTECEDOR DE PULSAÇÕES PARA 
BOMBEAMENTO DE SOLUÇÃO DE SODA CÁUSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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São Paulo 
2022 
 
 
 
 
 
 
 
PAULO BORTOLETTO FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUACIONAMENTO DE UM SISTEMA COM BOMBA DE 
DIAFRAGMA E AMORTECEDOR DE PULSAÇÕES PARA 
BOMBEAMENTO DE SOLUÇÃO DE SODA CÁUSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho acadêmico apresentado ao Curso de 
Engenharia de Controle e Automação do Centro 
Universitário ENIAC para a disciplina Equações 
Diferenciais 
 
Prof. Daniel de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2022 
 
 
 
 
 
Introdução 
O bombeamento de líquidos na indústria, como por exemplo soluções de soda 
cáustica, é uma operação bastante crítica e que requer um trabalho de 
dimensionamento perfeito, não apenas pelo aspecto de desempenho, mas também 
pela segurança da operação como um todo, pois muitas vezes trata-se de líquidos 
que representam real perigo às pessoas envolvidas na operação. Tubulações 
requerem um projeto adequado da tubulação e de todos os componentes do sistema. 
Esse trabalho buscará mostrar um pouco da matemática envolvida nesse 
sistema que envolve bombas de diafragma e amortecedores de pulsação, procurando 
mostrar o equacionamento diferencial que dá origem às funções que regem a 
operação desse tipo de sistema. 
 
Bombas pneumáticas de duplo diafragma 
As bombas de diafragma funcionam pela ação de membranas fabricadas com 
borracha resistente ao material bombeado que são acionadas por um mecanismo 
pneumático. São utilizadas principalmente em processos industriais que envolvam o 
escoamento de líquidos de difícil escoamento, como corrosivos, inflamáveis, voláteis, 
com sólidos em suspensão ou não, de alta ou baixa viscosidade. 
 
Figura 1. Uma típica bomba pneumática de duplo diafragma industrial e sua operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: adaptado de figuras disponíveis em (GRABE) e em 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diaphragm_pump_animated.gif 
 
 
 
 É notório que esse tipo de bomba gera um fluxo de saída de líquido pulsado e 
não constante, devido à característica de funcionamento baseado no movimento 
oscilatório dos diafragmas. Golpes de aríete (VALLAIR, 2022) também podem ocorrer 
durante a partida da bomba e acionamento de válvulas no circuito. Esse problema 
pode ser minimizado com a utilização de amortecedores de pulsação no circuito. 
 
Amortecedores de pulsação e seu princípio de operação 
Amortecedores de pulsação são dispositivos que visam uniformizar o fluxo de 
saída em linhas de descarga de bombas de diafragma, eliminando ou minimizando as 
pulsações observadas no sistema e permitindo um escoamento do líquido em 
processo o mais próximo possível ao laminar (VALLAIR, 2022). Assim, um 
amortecedor de pulsações é um dispositivo que absorve a energia excedente do 
pulso, permitindo um escoamento regular do fluído na saída da bomba. 
 
Figura 2. Aspecto de um amortecedor de pulsação e seu princípio de operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: adaptado de (BLACOH) e de (VALLAIR). 
 
O princípio de operação de um amortecedor de pulsações é baseado em duas 
câmaras separadas por uma membrana flexível. Na parte superior é injetado ar 
comprimido de forma a produzir uma área de baixa pressão que permitirá a absorção 
dos pulsos. Na parte inferior passa o líquido com fluxo pulsante, do qual desejamos 
deixar o mais laminar possível. Uma válvula e um manômetro permitem o controle da 
pressão do ar na câmara superior até que se obtenha uma redução satisfatória da 
pulsação. 
 
 
 
 
Estudo de caso - item “a” do portfólio 
 
Supondo que a bomba pneumática de Duplo Diafragma trabalha em MHS, 
determine a equação e representação gráfica, da posição, da velocidade e da 
aceleração, como resposta da equação diferencial de um sistema equivalente massa-
mola. Dados: 
massa do sistema = 2,7 Kg; 
K = 100 N/m 
Xmáx = 0,04m. 
 
A solução desse problema, conforme citado no item a, é baseada na lei de 
Hooke, ou na equação que rege um sistema massa-mola, conforme a equação abaixo: 
 
 � = −�� (1) 
 
Onde: F: força elástica; 
 k: constante elástica 
 x: deslocamento da massa 
 
O sinal de “–“ na equação deve-se ao fato de que a força tem sentido oposto 
ao da variação do deslocamento da massa e, portanto, da deformação da mola. 
 
Para um sistema com massa constante, a 2ª lei de Newton é dada por: 
 � = � � (2) 
 
Onde: F: força; 
 m: massa; 
 a: aceleração. 
 
 
Levando (2) em (1), tem-se que: 
 � � = −�� (3) 
 
Sabe-se que a aceleração é a segunda derivada da equação do deslocamento 
em função do tempo. É importante estabelecer essa relação, haja vista que é fornecido 
o deslocamento máximo do sistema. Assim, fica-se com: 
 
 
 
 � 	
�	�
 = −�� (4) 
 
A equação (4) pode ser reescrita na forma de uma Equação diferencial ordinária de 
segunda ordem homogênea, conforme abaixo: 
 � 	
�	�
 + �� = 0 (5) 
 
 
Equações diferenciais podem ser escritas utilizando várias notações. A 
equação acima, por exemplo, está escrita utilizando a notação de Leibnitz. Algumas 
notações conhecidas são: 
 � ������ + �� = � Notação de Leibnitz 
 � ��� + �� = � Notação de Lagrange 
 � �� + �� = � Notação de Newton 
 � ������ + �� = � Notação de Legendre 
 (mais utilizada para EDP) 
 
 
Para a solução da equação (5), será utilizada doravante a notação de 
Lagrange, a qual facilitará na solução. Portanto, a equação a ser solucionada será: 
 ���� + �� = 0 (6) 
 
A solução de uma equação diferencial linear ordinária de 2ª ordem, do tipo ���� + ��� + �� = 0 é dada por: 
 ���� = �� !"� + �# !
� (7) 
 
As constantes C1 e C2 dependerão das condições iniciais do problema. Já os 
índices r1 e r2 podem ser obtidos a partir da técnica de soluções de Báskara para 
solução de equações algébricas de 2º grau: 
 
 
 
 
∆ = �# − 4 � � (8) 
&� = ' ( ) √∆# + (9) 
&# = '( ' √∆# + (10) 
 
onde a, b e c são as constantes da equação �,�� + �,� + �, = 0. 
 
Assim, para a equação (6), tem-se que: 
 
 ����′′ + �0��′ + ���� = 0 (6) 
 
onde: a = m; 
 b = 0; 
 c = k; 
 
Levando os valores acima em (8): 
 ∆ = 0# − 4 � ��� 
∆ = −4 � � → √∆ = 20 √�� 
 
 Percebe-se que ao resolver-se o delta (< 0), a solução terá raízes imaginárias. 
 
Assim: 
&� = '1) #2 √34#3 = 0 5 43 (11) 
 
&# = '1' #2 √34#3 = − 0 5 43 (12) 
 
Sabe-se que a frequência natural de oscilação de um sistema massa-mola é 
 
 
 
dada pela fórmula 5 43 e é representada por 6. Assim, tem-se que: 
 
6 = 5 43 �= 278� (13) 
 
A partir de (11) e (12), tem-se os índices imaginários r1 e r2 que farão parte da 
solução da equação diferencial: 
 &� = 0 6 (14) &# = − 0 6 (15) 
 
 A solução para a equação diferencial com raízes imaginárias requer uma 
solução utilizando o teorema fundamental de Euler: 
 
 29� = cos�6�� + 0 sin�6�� (16) 
 
 E a solução é dada por: 
 ���� = �� e+�cos���� + �# e+�sin���� (17) 
 
Das raízes r1 e r2 em (14) e (15), tem-se que: 
 
a = 0 (parte real) 
 b = 1 (parte imaginária) 
 
Com a = 0, os termos com “e” na equação (17) são iguais a 1. Assim: 
 ���� = �� cos�6�� + �# sin�6�� (18) 
 
 Para determinar as constantes C1 e C2, é importante olhar para as condições 
iniciais conhecidas. O movimento da massa no sistema massa-mola se inicia a partir 
de uma posição inicial dessa massa situada a uma certa distância da posição de 
 
 
 
repouso, e essa posiçãoé conhecida como a amplitude (A) do movimento, ou o 
máximo valor que X poderá assumir. Assim, tem-se a primeira condição inicial, para t 
= 0: ��0� = @ 
∴ ��0� = @ = �� cos�60� + �# sin�60� 
 
Como: cos(0) = 1 e sin(0) = 0, conclui-se finalmente que: 
 �� = @ (19) 
 
 Para a obtenção de C2, é necessária outra condição inicial conhecida do 
sistema. Sabe-se que no momento do início do movimento em A, a velocidade da 
massa é nula. Assim, é preciso obter a equação da velocidade do sistema, que é a 
derivada da equação (18) da posição em relação ao tempo: 
 
 ����� = B��� = −6�� sin�6�� + 6�# cos�6�� (20) 
 
 Para t = 0, V = 0. Assim, tem-se que: 
 0 = −6�� sin�60� + 6�# cos�60� (20) 
 ∴ �# = 0 (21) 
 
 Finalmente, com as constantes definidas, tem-se, a partir da equação (18), a 
solução geral da equação: 
 ���� = C DEF�G�� (22) 
 
 Para o presente estudo de caso, tem-se que: 
A = 0,04 m 
m = 2,7 kg 
k = 100 N/m 
 
 
 
 
 
 De (13), pode-se obter: 
 
6 = H �� = H1002,7 = 6,085 ~6,1 &�P/R 
 
 
 A equação da posição, solução da equação diferencial (5) para o estudo de 
caso é: 
 
 ���� = �, �S DEF�T, U�� (23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. gráfico da posição em função do tempo (equação 23). 
 
 A equação da velocidade é a derivada da equação (23): 
 
 V��� = − �, �S FWX�T, U�� (24) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. gráfico da velocidade em função do tempo (equação 24). 
 
 A equação da aceleração é a segunda derivada da equação (23): 
 
 Y��� = − U, SZ DEF�T, U�� (25) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. gráfico da aceleração em função do tempo (equação 25). 
 
 
 
 
 
 
Estudo de caso - item “b” do portfólio 
 
O amortecedor de Pulsações para Bombas de Diafragma Pneumático trabalha 
num MHS amortecido, trabalhando pela equação F = -bV, onde B é chamado de 
constante de amortecimento. Determine a equação de amortecimento e sua 
representação gráfica através da resposta da equação diferencial de um sistema 
equivalente massa-mola. Dados: 
m: 5,0 Kg 
y(0): -0,02 m 
y´(0): 2 m/s 
k: 4000 N/m 
b: 300 Ns/m. 
 
 Mais uma vez é necessária uma análise por meio do equilíbrio de forças, como 
já visto no item “a” desse portfólio: 
 � = −�� − �[ (26) 
 
 Nota-se o acréscimo do termo “-bv”, pois essa é uma simplificação para o efeito 
do amortecimento imposto pelo amortecedor, onde: 
 
 b: fator de amortecimento 
 v: velocidade 
 
O sinal de “–“ em “bv” também deve-se ao fato de que a força de amortecimento 
tem sentido oposto ao da variação do deslocamento da massa. 
 
Aplicando a equação (2) em (26), fica-se com: 
 �� = −�� − �[ (27) 
 
 Velocidade e aceleração são a primeira e segunda derivadas da posição em 
função do tempo. Assim: 
 
 
 
 
� 	
�	�
 = −�� − � 	�	� (27) 
Reescrevendo a equação (27) e deixando-a na forma homogênea: 
 
 � 	
�	�
 + � 	�	� + �� = 0 (28) 
 
 
Percebe-se que para um movimento amortecido, tem-se uma equação 
diferencial ordinária linear de 2ª ordem na sua forma ���� + ��� + �� = 0, com 
todos os índices a, b e c presentes. Aplicando-se a mesma forma de resolução 
baseada em Bháskara, pode-se calcular o delta e as raízes: 
 
& = '( ± √(
' ] 34#3 (29) 
 
Aqui cabe comentar que o termo �# − 4 �� já foi estudado em Física 
ondulatória e definia o tipo de amortecimento que o sistema pode ter, dependendo do 
valor de b: 
 
Para �# − 4 �� < 0 sistema sub amortecido (item “a” desse portfolio) 
Para �# − 4 �� = 0 sistema criticamente amortecido 
Para �# − 4 �� > 0 sistema superamortecido 
 
Calculando esse termo para os valores fornecidos, tem-se que: 
 �# − 4 �� = �300�# − 4�5��4000� = 10000 
 
Espera-se então que o sistema proposto seja superamortecido, ou seja, o 
gráfico não deverá apresentar praticamente nenhuma oscilação e mostrar uma rápida 
atenuação. 
 
A equação diferencial � 	
�	�
 + � 	�	� + �� = 0 terá solução na forma: 
 
 
 
 
���� = �� !"� + �# !
� (7) 
 
 
Calculando as raízes r1 e r2, tem-se que: 
 
& = '( ± √(
' ] 34#3 (29) 
 
 
&� = −300 + 10010 = −20 
 
&# = −300 − 10010 = −40 
 
 Assim: ���� = �� '#1� + �# ']1� (30) 
 
 Como no item “a” desse portfólio, faz-se necessário estabelecer as condições 
de contorno para que as constantes C1 e C2 sejam determinadas. Para tal, foram 
fornecidas as seguintes condições: 
 
y(0) = -0,02 m; 
y’(0) = 2 m/s; 
 
 Aplicando a primeira condição na equação (30): 
 −0,02 = �� '#1.1 + �# ']1.1 −0,02 = �� + �# (31) 
 
 É necessário derivar a equação (30) de forma a aplicar a segunda condição de 
contorno (y’(0) = 2m/s). Assim, temos: 
 �′��� = −20 �� '#1� − 40 �# ']1� 
 
 
 
2 = −20 �� '#1.1 − 40 �# ']1.1 2 = −20 �� − 40 �# (32) 
 
Resolvendo o sistema de equações formado pelas equações (31) e (32), 
obtém-se: �� = 0,06 �# = −0,08 
 
Finalmente pode-se escrever a equação do amortecimento desse estudo de 
caso: 
���� = �, �T b'��� − �, �c b'S�� (33) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. gráfico do amortecimento (equação 33). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
 
 O presente trabalho mostrou a importância das equações diferenciais na 
engenharia, em especial no estudo de fenômenos oscilatórios. 
 Esse trabalho terminou por mostrar a origem das equações estudadas 
anteriormente em física ondulatória, mostrando de forma matemática e física a sua 
dedução e a importância das condições iniciais e de contorno nos problemas. É 
somente pela determinação dessas condições que se torna possível definir a função 
que representará um determinado fenômeno que está sendo estudado. 
 Pode-se dizer, de uma forma ampla, que os profissionais de exatas têm, como 
uma das principais funções dentro da engenharia, a resolução de equações 
diferenciais, pois estas são o meio de se determinar funções solução para os diversos 
desafios da vida real – desde uma simples determinação de transferência de calor em 
um forno, até a oscilação de uma viga em uma estrutura predial – tudo isso, e muito 
mais, passa pela resolução das equações diferenciais. 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
BLACOH. Pulsation Dampeners for AODD Pumps. 2011. – PhoenixPumps.com. 
Vídeo acessado em 16/04/2022. https://www.youtube.com/watch?v=wBVxQr_ekYU 
 
GRABE Bombas pneumáticas. https://www.grabe.com.br/bombas-pneumaticas.php. 
Acesso em 16/04/2022. 
 
PRINCÍPIO DE OPERAÇÃO DE UMA BOMBA PNEUMÁTICA DE DUPLO 
DIAFRAGMA. Acesso em 16/04/2022. 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diaphragm_pump_animated.gif. 
 
VALLAIR AIRFLUID. https://www.vallair.com.br/pt/produtos/amortecedores-de-
pulsacao. Acesso em 16/04/2022.