Desafio Tópicos Especiais

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
............................................................................................................................... 
 
 
 
Engenharia Mecatrônica 
 
Tópicos Especiais 2 – Híbrido 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leonardo Aguiar Godoy – 257752022 
 
 
 
 
 
 
Desafio – Tópicos Especiais 
 
 
 
 
 
 
........................................................................................................................................ 
Curitiba 
03/2023 
2 
 
 
 
 
 
Leonardo Aguiar Godoy - 257752022 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio – Tópicos Especiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia 
Mecatrônica do Centro Universitário ENIAC para a 
disciplina de Tópicos Especiais 2. 
 
Prof. Daniel de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
........................................................................................................................................ 
Curitiba 
03/2023 
https://portalacademico.eniac.edu.br/user/profile.php?id=4682
3 
 
 
 
 
.................................................................................................................... 
 
 
 
 
 
1. Proposta do Portfólio: 
 
Definir as equações para um sistema massa-mola levando em consideração as 
seguintes informações: 
 
- Indústria em estudo trabalha com um fluido contendo de 30 a 50% de soda cáustica 
(NaOH) em sua composição; 
 
 
 
- A pressão de trabalho é de aproximadamente 1450 psi (100 bar) 
 
- Levando em consideração o fenômeno do golpe de ariete que provoca um acréscimo 
de pressão de mais 100 bar. 
 
- Esse sistema utiliza uma bomba Pneumática de Duplo Diafragma movimentada por ar 
comprimido. 
 
4 
 
 
 
Problema do sistema: 
Uma consequência indesejável da utilização desta bomba é a variação de pressão, 
causada pelo movimento harmônico do eixo de interligação dos diafragmas que 
ela trabalha. 
 
Com essas informações, determinar as seguintes questões: 
 
1) Supondo que a bomba Pneumática de Duplo Diafragma trabalha em MHS, 
determine a equação e representação gráfica, da posição, da velocidade e da 
aceleração, como resposta da equação diferencial de um sistema equivalente 
massa - mola. Dados; massa do sistema vale 2,7 Kg, K = 100 N/m e Xmáx = 4 cm; 
 
2) O amortecedor de Pulsações para Bombas de Diafragma Pneumático trabalha 
num MHS amortecido, trabalhando pela equação F = -bV, onde B é chamado de 
constante de amortecimento. Determine a equação de amortecimento e sua 
representação gráfica através da resposta da equação diferencial de um sistema 
equivalente massa - mola. Dados; massa do sistema vale 5Kg, y (0) = -0,02 m, y´ 
(0) = 2 m/s, K = 4000 N/m e b = 300 Ns/m 
 
 
3) Conclusão sobre o exercício proposto. 
 
 
 
 
 
5 
 
2. Introdução 
O Movimento Harmônico Simples (MHS) é caracterizado pelo movimento oscilatório 
de um corpo de massa m, quando a força restauradora desse movimento é 
proporcional ao deslocamento. No MHS a aceleração e a força resultante são 
proporcionais e opostas ao movimento. Como no desafio proposto, um exemplo de 
MHS é o sistema massa-mola. 
O sistema massa-mola é um modelo composto por uma mola acoplada a um corpo 
de massa conhecida. Para que esse modelo seja considerado ideal existem 
algumas considerações a serem feitas. Quanto à mola, sua massa deve ser 
desprezível e não pode perder suas propriedades elásticas quando deformada, já 
em relação à massa, não deve se deformar sob ação da força aplicada. Na prática 
essas condições são fisicamente impossíveis de serem alcançadas, pois por mais 
leve que seja um corpo a sua massa não pode ser considerada nula (KELLER, 
2011). 
Para isso, deve-se desenvolver uma equação diferencial que considere todas as 
situações possíveis, tais como a posição de uma partícula em função do tempo e a 
validade da equação deduzida, esclarecendo se realmente é possível prever o 
comportamento do sistema massa-mola de maneira teórica. 
 
3. Desenvolvimento 
Uma oscilação denomina-se um MHS, quando a força restauradora é diretamente 
proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio (YOUNG; FREEDMAN, 
2008). 
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força resultante que age em um corpo 
é igual ao produto de sua massa pela aceleração (𝑭 = 𝒎. 𝒂). Esta força sempre age 
no sentido da aceleração. 
Quando o sistema, em equilíbrio, é perturbado por uma força externa, a força 
restauradora surge com o objetivo de restabelecer o equilíbrio do sistema. Logo, 
essa relação das forças gera uma série de repetições de movimento descritos como 
ciclos. O Período (T) é o tempo necessário para que um ciclo ocorra. Frequência (f) 
é o número de ciclos que ocorre no intervalo de um segundo. Essas grandezas são 
de extrema importância no sistema massa-mola, vale salientar que elas dependem 
apenas da massa da partícula (m) e da constante da mola (k), acerca disto Young 
e Freedman (2008, p.41) afirma que: 
 
 O período e a frequência do movimento harmônico simples são 
completamente determinados pela massa m e pela constante da 
mola k. No movimento harmônico simples, o período e a 
frequência não dependem da amplitude. 
 
6 
 
 A frequência angular (𝛚) no sistema massa-mola é uma grandeza de extrema 
importância que depende da massa da partícula e da constante da mola, dada por: 
 
𝛚 = √
𝐤
𝐦
 (1) 
 
1) Considerando as informações, 
 
Massa = 2,7Kg 
k = 100N/m 
Deslocamento max = 4cm ou 0,04m; 
 
Pode ser aplicada a segunda lei de Newton pois o valor da massa é constante. 
Assim: 
m.a = F; (2) 
 
Onde: m = Massa 
 a = aceleração 
 F = Força Resultante 
 
Considerando que, para o sistema massa-mola, para cada força aplicada, existe uma 
reação contrária, utiliza-se a lei de Hooke para determinar a força elástica da mola. 
 
Sendo: Fel = -k.x (3) 
 
Onde: Fel = Força elástica da mola (N), 
k = Constante elástica (N/m), 
x = Deformação da mola (m) 
 
OBS: O sinal negativo na fórmula se dá pelo sentido da força exercida que é sempre 
oposto à variação de comprimento sofrida pela mola. 
 
 
7 
 
 
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm 
 
Igualando as duas equações para determinar a posição de equilíbrio, temos: 
 
|𝑷| = |𝑭𝒆 | 
𝒎𝒈 = 𝒌𝒔 (4) 
𝒎𝒈 − 𝒌𝒔 = 0 
 
Com o sistema em equilíbrio, tem que 𝒎𝒈 − 𝒌𝒔 = 0, portanto podemos falar que: 
 
 𝒂 = −
𝒌𝒙
𝒎
 (5) 
A velocidade de uma partícula é dada como sendo a variação da posição em relação ao 
tempo: 
𝑣 =
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
 (6) 
Para determinar a aceleração na fórmula, deve-se saber que a aceleração é a variação 
da velocidade em relação ao tempo, que significa que a aceleração é a segunda 
derivada da posição em relação ao tempo. Como o problema nos dá a posição, então 
utiliza-se: 
 
ⅆ2𝑥
ⅆ𝑡2
= 𝑎; (7) 
 
Juntando a equação (7) com a equação (6), tem-se a equação (8) que deve descrever 
o comportamento experimental do sistema massa-mola: 
ⅆ2𝑥
ⅆ𝑡2
= −
𝑘𝑥
𝑚
 
 (8) 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm
8 
 
ⅆ2𝑥
ⅆ𝑡2
+
𝑘𝑥
𝑚
= 0 
 
A equação (8) é uma Equação Diferencial (ED) que é definida como uma equação cuja 
função contém derivadas (Zill, 2011). Uma ED pode ser classificada pelo tipo, ordem e 
linearidade. 
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é aquela que envolve derivadas de uma 
função de uma única variável independente. Caso isso não ocorra trata-se de uma 
Equação Diferencial Parcial (EDP). Sobre isso, Bronson (2008, p.15) diz que: 
 
Uma equação diferencial ordinária é aquela em que a função 
incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a 
função incógnita depender de duas ou mais variáveis 
independentes, temos uma equação diferencial parcial. 
 
Segundo Boyce (2010, p.15), “A ordem de uma equação diferencialé a ordem da 
derivada de maior ordem que aparece na equação”. Portanto a equação (8) é 
classificada como ED de Segunda Ordem, já que apresenta grau máximo igual a dois. 
Para a classificação da derivada quanto à linearidade faz-se necessário a observação 
de dois itens: o primeiro deles indica que a variável dependente e suas derivadas devem 
ser do primeiro grau, e o segundo é que cada coeficiente apenas pode depender da 
variável independente (ZILL, 2011). Se esses dois quesitos forem atendidos, a equação 
é dita Equação Diferencial Linear. 
Isso posto, percebe-se que a equação (9) se trata de uma Equação Diferencial Ordinária 
Linear de Segunda 
 
Para resolução de uma EDO com essas características, temos que: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1ⅇ
𝑟1𝑡 + 𝐶2ⅇ
𝑟1𝑡 (9) 
 
Utilizando os conhecimentos em aula e pesquisas feitas, os valores de r1 e r2 são 
obtidos pela equação algébrica de segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara. Já 
as constantes C1 e C2 dependem de outros fatores. 
 
 
−𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
 (10) 
9 
 
 
Sendo r1 e r2 as raízes da fórmula. 
Substituindo as informações na fórmula temos que, 
 
a = m; 
b = 0; 
c = k; então, teremos 
 
𝛥 = 02 − 4𝑚𝑘 (11) 
 
resolvendo, temos que 𝛥 terá valor negativo 
 
√𝛥 = 2ⅈ√𝑚𝑘 (12) 
 
Portanto, r1 e r2 serão raízes imaginárias. Fazendo essa conta teremos: 
 
𝑟1 =
−0+2ⅈ√𝑚𝑘
2𝑚
 = ⅈ√
𝑘
𝑚
 (13) 
 
𝑟2 =
−0−2ⅈ√𝑚𝑘
2𝑚
 = −ⅈ√
𝑘
𝑚
 (14) 
 
Analisando a equação (8) e os valores encontrados para r, pode-se observar que 
 r² + 𝛚² = 0 é uma equação auxiliar. Utilizando a equação de frequência angular (1) 
temos que: 
r² = - 𝛚² 
r = √𝒊𝛚² 
 r1 = 𝒊𝛚 e r2 = −𝒊𝛚 (15) 
 
Como as raízes de delta são negativas, chegamos em uma equação complexa. Nessa 
situação, surge a necessidade do uso da identidade de Euler, dada por: 
𝒆 𝒊𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽. Fazendo r𝟏 = 𝒆^𝒊𝝎𝒕 e r𝟐 = 𝒆^-𝒊𝝎𝒕 obtém-se 
 
10 
 
𝒆^𝒊𝝎𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 (16) 
 
Portando chamando r𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 e r𝟐 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 a solução final para a equação (8) é dada por: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 (17) 
 
O Problema de Valor Inicial (PVI) restringe a equação geral (16) a situações próprias de cada 
sistema do MHS, atribuindo valores as constantes 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐. Isso significa que, para cada situação 
dada, o valor inicial do problema deve ser levado em consideração. Nesse caso, o sistema 
massa-mola parte do repouso a uma posição de equilíbrio em t = 0 e com velocidade inicial nula. 
Com isso a posição de partida da massa é sua amplitude máxima (Amax.). Considerando a 
fórmula da velocidade (6) (que é a 1° derivada da posição em relação ao tempo), temos a 
seguinte PVI: 
p/ 𝒕 = 𝟎, 𝒙(𝒕) = 𝑨max. e 𝒙’(𝒕) = 𝟎 
 
Assim, 
𝒙’ (𝒕) = −𝝎𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝝎 𝑪𝟐𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 (18) 
 
 Substituindo o PVI em (18) 
 
𝟎 = −𝝎𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 + 𝝎 𝑪𝟐𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 (19) 
 𝑪𝟐 = 𝟎 
 
Substituindo o PVI em (17), 
𝑨max = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 (20) 
 𝑪𝟏 = 𝑨max. 
 
Após descobrir os valores de 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐 na equação geral (16) tem-se a equação da posição de 
acordo com o tempo para o caso a ser estudado. 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨max𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 (21) 
 
Com as informações iniciais dadas e as equações encontradas, temos: 
Massa = 2,7Kg 
k = 100N/m 
Amax = 4cm ou 0,04m; 
 
11 
 
 
Da fórmula da frequência angular (1), temos: 
ω = √
k
m
 = √
100
2,7
 = 6,085 ~ 6,1 rad/s 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Utilizando a equação (21) como equação da posição, temos: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨max𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 → 0,04cos(6,1t) (22) 
 
Derivando a equação (22), temos a equação da velocidade: 
 
v(𝒕) = -𝑨max sin 𝝎𝒕 → -0,24sin(6,1t) (23) 
 
Para se obter a equação da aceleração, temos que derivar a equação (22) 
 
a(𝒕) = -𝑨max𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 → -1,49cos(6,1t) (24) 
 
OBS: Não foi feito os gráficos pois não tenho conhecimento suficiente para 
utilizar a ferramenta em questão. 
 
12 
 
2) Determine a equação de amortecimento e sua representação gráfica através da 
resposta da equação diferencial de um sistema equivalente massa - mola. Dados; 
massa do sistema vale 5Kg, y (0) = -0,02 m, y´ (0) = 2 m/s, K = 4000 N/m e b = 300 
Ns/m 
Sendo: m = 5kg - Massa 
 y(0) = -0,02m - Deslocamento a partir da posição do equilíbrio 
 y’(0) = 2m/s – 1° derivada do deslocamento 
 k = 4000N/m – Constante Elástica 
 b = 300Ns/m - Constante de amortecimento 
 
Assim como na situação 1, deve se usar a segunda lei de newton pois temos uma 
massa constante. 
m.a = F; (2) 
 
Considerando as informações do exercício, utiliza-se a equação da força do 
amortecimento que é uma força que surge na transferência de um fluido entre duas 
câmaras: 
 
Famort = b.v (25) 
 
Juntando as equações de newton (2), da força elástica (3) e do amortecimento (25), 
temos: 
m.a = f(t) – kx – bv (26) 
 
Lembrando que o sinal negativo na frente dos termos pelo fato das forças terem 
sentidos opostos da deformação da mola. 
Jogando essa função nas equações da aceleração e da velocidade e igualando a 
zero (por conta do equilíbrio) temos uma EDO homogênea: 
 
mx” + bx’+ kx = 0 (27) 
 
Caímos novamente na equação de 2°grau (bhaskara) com todos os termos (a,b,c) 
definidos. 
No caso do delta, considerando a equação √𝐛𝟐 − 𝟒𝐦𝐤, deve-se levar em conta os 3 
tipos de movimentos que a análise pode gerar: 
 
13 
 
 
Fonte: Nota de Aula – Joinville ifsc 2015 
Calculando 𝛥 pela equação dada, teremos: 
 
m = 5; b = 300; k = 4000 → (300)² - 4 . (5) . (4000) = 10.000 
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Neste caso o sistema é superamortecido e, portanto, não tem oscilação periódica, em 
função do forte amortecimento. 
Para o cálculo dessa EDO, utiliza-se a fórmula (9) já vista anteriormente: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1ⅇ
𝑟1𝑡 + 𝐶2ⅇ
𝑟1𝑡 (9) 
 
E para calcular as raízes, usamos a fórmula básica de bhaskara: 
 
𝑟1 =
−300+ 100
10
 = -20 (28) 
 
𝑟1 =
−300− 100
10
 = -40 (29) 
 
Assim a equação geral fica: 
 
𝑦(𝑡) = 𝐶1ⅇ
−20𝑡 + 𝐶2ⅇ
−40𝑡
 (30) 
 
14 
 
Para achar C1 e C2, deve-se levar em conta as condições iniciais do problema (assim 
como na situação 1). Nesse caso, o problema nos da os valores de deslocamento inicial 
que são y(0) e y’(0). 
É necessário aplicar o valor de y(0) e aplicar a derivada para achar os valores em si, 
ficando assim: 
 
– 0,02 = 𝐶1ⅇ
−20.0 + 𝐶2ⅇ
−40.0
 (30) 
 
– 0,02 = 𝐶1 + 𝐶2 
Derivando a equação geral para obter segunda condição, temos: 
 
y′(t) = −20C1ⅇ
−20t – 40 C2ⅇ
−40t
 (31) 
 
Aplicando y’(0) = 2m/s; temos: 
 
2 = −20C1ⅇ
−20.0 – 40 C2ⅇ
−40.0 
 
 2 = −20C1 – 40 C2 (32) 
 
Aplicando a fórmula e substituição, achamos valores aproximados de C1 e C2: 
 
C1 = 0,064 
C2 = -0,12 
 
Escrevendo a fórmula geral (30), temos: 
 
𝑦(𝑡) = 0,064ⅇ−20𝑡 - 0,12ⅇ−40𝑡 (33) 
 
OBS: Não foi feito os gráficos pois não tenho conhecimento suficiente para 
utilizar a ferramenta em questão. 
 
15 
 
 
4. Conclusão 
O contexto proposto nos mostra as diversas maneiras de se chegar em um resultado 
válido, principalmente para o sistema massa-mola. Para evitar estragos futuros nas 
tubulações e indústrias, é muito importante saber e considerar todas as variáveis 
para se chegar no resultado esperado. 
Com o conhecimento pesquisado e as aulas, podemos perceber a importância das 
equações diferenciais e das equações em geral (newton e Hooke por exemplo) para 
o cenário atual no mundo da engenharia e todas as variáveis que ela nos dá para o 
final mais desejado. 
 
Bibliografia: 
Brasil Escola – Lei de Hooke. https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-
hooke.htm Acesso em 17/11/2022; 
 
Física - aceleração https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/aceleracao.htm 
Acesso em 17/11/2022Stoodi – fórmula da aceleração; https://www.stoodi.com.br/guias/dicas/formula-
da-aceleracao/ Acesso em 17/11/2022 
 
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. 
ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. 325 p. 
 
BRONSON, Richard; COSTA, Gabriel B. Equações diferenciais. 3. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2008. 400 p. 
 
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, Volume I. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2007. 473 p. 
 
SILVA, Claudio K.; COSTA, Jusciane. APLICAÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
SEGUNDA ORDEM NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES, 2018. 
 
Brasil Escola – Fórmula de bhaskara https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-
bhaskara.htm. Acesso em 19/11/2022 
 
Nota de Aula – Joinville ifsc - https://docplayer.com.br/78997141-Nota-de-aula-
equacoes-diferenciais-ordinarias-de-2-ordem-aplicacoes.html Acesso em 20/11/2022 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm%20Acesso%20em%2017/11/2022
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm%20Acesso%20em%2017/11/2022
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/aceleracao.htm
https://www.stoodi.com.br/guias/dicas/formula-da-aceleracao/
https://www.stoodi.com.br/guias/dicas/formula-da-aceleracao/
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
https://docplayer.com.br/78997141-Nota-de-aula-equacoes-diferenciais-ordinarias-de-2-ordem-aplicacoes.html
https://docplayer.com.br/78997141-Nota-de-aula-equacoes-diferenciais-ordinarias-de-2-ordem-aplicacoes.html