08 - Limites Infinitos

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Limites In�nitos
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Agora que já dominamos uma série de propriedades e conseguimos estudar alguns
tipos de funções mais a fundo, iremos para o próximo passo. Neste caso, o próximo
passo é estudar funções que possuem um comportamento curioso: elas tendem ao
in�nito quanto mais próximos de um ponto chegarmos.
Para este exemplo, vamos usar a seguinte função:
Vamos construir nossa tabela clássica e ver o que acontece nas proximidades do
número 2, visto que 2 não existe solução, pois �caríamos com 0 no denominador.
Nas Tabelas 7 e 8 vemos que quanto mais próximos chegarmos de 2,
independentemente se pela esquerda ou pela direita, o número tende a aumentar
in�nitamente, já que podemos nos aproximar in�nitamente.
f (x) =
3
(x − 2)
2
Tabela 7 – Função f(x) para valores maiores que 2
x
3 3
2,5 12
2,25 48
2,1 300
2,01 30000
2,0001 300000000
Fonte: o autor.
f (x) = 3
(x−2)
2
Figura 10: Grá�co de f(x)
Fonte: o autor.
A Figura 10 é a representação grá�ca desta função. Percebam que a vertical no
ponto dois não existe, porém, sabemos pelas Tabelas 7 e 8 que quanto mais
próximos chegarmos de dois, mais o valor cresce in�nitamente.
Usando as propriedades de limites que vimos até aqui, teremos as expressões
abaixo:
Tabela 8 – Função f(x) para valores menores que 2
x
1 3
1,5 12
1,75 48
1,9 300
1,99 30000
1,9999 300000000
Fonte: o autor.
f (x) = 3
(x−2)
2
Tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita dão uma tendência a valores
no in�nito. Já que os dois limites existem e são iguais o também
existe. Provamos aqui a existência deste tipo de limite. O mesmo poderá ocorrer para
uma função que decresça in�nitamente. O único detalhe que muda é o símbolo do
in�nito no �nal, sendo representado da seguinte forma
lim
x→2positivo
[ ] = +∞
3
(x − 2)
2
lim
x→2negativo
[ ] = +∞3
(x − 2)2
lim
x→2
[ ] = +∞3
(x−2)
2
:
lim
x→a
g (x) = −∞
Teoremas
Se r for um número inteiro positivo qualquer, então teremos as seguintes
expressões.
Sendo que na segunda expressão temos alguns condicionantes. Será menos in�nito
se r for ímpar e mais in�nito se r for par. Vamos fazer um teste para ver como o
teorema acima funciona, dados e . Na Figura 11, temos o
Grá�co das duas funções, sendo f(x) em verde e g(x) em laranja.
lim
x→0positivo
[ ] = +∞1
xr
lim
x→0negativo
[ ] = ±∞
1
xr
f (x) = 1
x2
g (x) = 1
x3
Figura 11: F(x) em verde e G(x) em laranja
Fonte: o autor.
Percebam que para os dois casos apresentados, sempre que nos aproximamos de 0
pela direita a função tende ao in�nito. A mudança ocorre quando nos aproximamos
de 0 pela esquerda, quando r é um número par, a função tende a +∞ e quando r é
ímpar a função tende a -∞.
O próximo teorema é aplicado quando temos uma divisão de duas funções. Se a for
um número real qualquer e se e onde c é uma
constante diferente de zero, teremos a expressão abaixo:
É fácil de entender este teorema: basta fazer uma divisão de um número qualquer
por um número tão próximo de zero quanto quisermos. A resposta tenderá a +∞ ou
a -∞ dependendo dos sinais envolvidos nas funções f(x) e g(x).
Outro teorema importante diz que se temos um limite tendendo ao in�nito positivo
ou negativo e se somarmos a uma função cujo limite é uma constante o resultado
da soma dos limites ainda será in�nito positivo ou negativo dependendo da primeira
função.
lim
x→a
f (x) = 0 lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[ ] = ±∞
g (x)
f (x)
lim
x→a
f (x) = +∞
Se o primeiro limite acima der -∞, o limite da soma das duas funções dará -∞.
O próximo teorema é análogo ao anterior e diz respeito à multiplicação de duas
funções. Vamos olhar as expressões abaixo.
Dependendo dos sinais da constante e do primeiro limite, a multiplicação de f(x)
vezes g(x) poderá ser menos ou mais in�nito. Basta você testar em sua calculadora
um número qualquer vezes um número tão grande quanto quisermos, a resposta
vai continuar sendo um número grande e o sinal vai depender do sinal dos números
que colocou. Lembrando sempre que este número qualquer c não pode ser zero.
A última de�nição que nos falta aqui é a de assíntota vertical. Podemos traçar uma
reta vertical nos grá�cos acima onde o limite tende ao in�nito. Vamos usar um dos
grá�cos já desenhados aqui. Na Figura 12, temos a assíntota vertical no ponto x=2
que é onde a função tende ao in�nito. Podemos desenhar uma assíntota vertical
sempre que um limite inferior ou superior de uma função f(x) tender ao in�nito
positivo ou negativo em um ponto determinado no eixo x.
lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[f (x) + g (x)] = +∞
lim
x→a
f (x) = ±∞
lim
x→a
g (x) = c
lim
x→a
[f (x) g (x)] = ±∞
Figura 12: Assíntota vertical em vermelho
Fonte: o autor.
Exercícios
a) Calcule os limites das funções
Resposta:
Como neste caso a aproximação do número 2 acontece por valores maiores que 2,
como, por exemplo, 2,00000001 a resposta tende a dar +∞.
lim
x→2positivo
[ ]1
x + 2
lim
x→2positivo
[ ]1
x − 2
lim
x→2positivo
[ ] = 1/4 = 0, 251
x + 2
lim
x→2positivo
[ ] = +∞1
x − 2
b) Calcule a soma e a multiplicação dos dois limites calculados em a.
Resposta:
Se um limite já tende a mais in�nito, a soma dos dois tenderá também a mais
in�nito, visto que ¼ mais um número muito grande é um número muito grande.
A mesma coisa acontece quando multiplicamos dois limites e um deles já tende ao
in�nito. Basta seguir as regras de sinais da multiplicação.
lim
x→2positivo
[ + ] = +∞
1
x + 2
1
x − 2
lim
x→2positivo
[ ] = +∞1
x + 2
1
x − 2
CONECTE-SE
No link abaixo encontrará mais explicações a respeito dos limites
in�nitos.
https://go.eadstock.com.br/bma
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