Clase 3 Teorema de Intercalación 19.05.23

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Teorema de Intercalación o Compresión
𝒉(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)
𝟐+𝟏
𝒇(𝒙) = −(𝒙 − 𝟐)
𝟐 + 𝟏
𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)
𝟐. 𝐬𝐢𝐧
𝟏
𝒙 − 𝟐
+ 𝟏
𝟐
𝟏
𝜹
𝜺
Sea 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ tres funciones definidas en un entorno del punto 𝑥 = 𝑎, 
(el entorno puede ser reducido) , entonces lo llamaremos E.
En este entorno se cumple 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ∀ 𝑥 𝜖 𝐸 y ademas
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝑙 .
Demostración.
Sea 𝜀 > 0
⟹ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑙
⟹ 𝑐𝑜𝑚𝑜 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∃ 𝛿1 > 0 ∕ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 ⟹ 𝑓(𝑥) − 𝑙 < 𝜀
A
⟹ 𝑐𝑜𝑚𝑜 lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∃ 𝛿2 > 0 ∕ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 ⟹ ℎ(𝑥) − 𝑙 < 𝜀 B
Tomemos el 𝛿𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 (𝛿1; 𝛿2), para que se cumpla y , entonces
tenemos que 
𝒍 − 𝜺 < 𝒇 𝒙 ≤ 𝒈 𝒙 ≤ 𝒉 𝒙 < 𝒍 + 𝜺
𝑙 − 𝜀 < 𝑔 𝑥 < 𝑙 + 𝜀
Si resto por l en los tres términos nos queda:
−𝜀 < 𝑔 𝑥 − 𝑙 < +𝜀
Entonces por a definición de límite 
A B
0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⟹
𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠
⟹ 𝑔(𝑥) − 𝑙 < 𝜀
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑙