Modelagem 3D de dados do equipamento EM-34

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Modelagem 3D de dados do equipamento EM-34 por
Elementos Finitos de Arestas.
AMANDA GUIMARÃES PEREIRA
Belém – Pará
2023
AMANDA GUIMARÃES PEREIRA
Modelagem 3D de dados do equipamento EM-34 por
Elementos Finitos de Arestas.
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Geofísica do Instituto de Geociências da Universi-
dade Federal do Pará para obtenção do título de Mestre
em Geofísica.
Área de concentração:
Geofísica Aplicada
Linha de pesquisa:
Modelagem e inversão de dados geofísicos
Orientador: Prof. Dr. Cícero Roberto Teixeira Régis
Belém – Pará
2023
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISBD
Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do Pará
Gerada automaticamente pelo módulo Ficat, mediante os dados fornecidos pelo(a)
autor(a)
P436m Pereira, Amanda Guimarães.
 Modelagem 3D de dados do equipamento EM-34 por
Elementos Finitos de Arestas / Amanda Guimarães Pereira.
— 2023.
 42 f. : il. color.
 Orientador(a): Prof. Dr. Cícero Roberto Teixeira Régis
 Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Pará,
Instituto de Geociências, Programa de Pós-Graduação em
Geofísica, Belém, 2023.
 1. Elementos finitos de arestas. 2. EM-34. 3.
Condutividade aparente. 4. Modelagem 3D. I. Título.
CDD 550
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AGRADECIMENTOS
Quero agradecer a Deus, minha mãe, meus irmãos, meu namorado e amigos pelo apoio
e incentivo ao longo do mestrado. Gostaria de agradecer também ao meu orientador
professor Cícero Régis por ter me dado a oportunidade de trabalhar nesse assunto e
agradecer por todo o seu auxílio e paciência durante o percurso. Agradeço também ao
professor Valdelírio da Silva pela sua ajuda com o problema do meio estratificado. Por
fim, agradeço aos meus colegas do laboratório do PROEM por sempre estarem dispostos
a ajudar quando precisei e a CAPES e ao CNPq pela bolsa durante o mestrado.
RESUMO
Neste trabalho é feito um programa de modelagem 3D de dipolos magnéticos simu-
lando um levantamento eletromagnético com o equipamento EM-34. O EM-34 consiste
de duas bobinas que são deslocadas ao longo do perfil, mantendo um distanciamento
constante entre elas para uma dada frequência. A modelagem 3D é formulada em ter-
mos da separação entre campos primário e secundário, tratando a fonte como um dipolo
magnético. Foi utilizado o método numérico de elementos finitos de arestas, que con-
siste em dividir o domínio da solução em um número finito de subdomínios, chamados
de elementos, sendo o conjunto deles denominado de malha. A partir das informações
obtidas de cada elemento é construída uma solução aproximada da equação diferencial
que descreve o campo magnético. A modalidade do método de elementos finitos utilizado
neste trabalho é a de arestas, na qual a variável do problema é a componente do campo
buscado no centro e na direção de cada aresta da malha. A fonte dipolar que entra na
equação diferencial é calculada no meio 1D subjacente. Nesse trabalho é apresentado um
teste de validação do programa 3D e são feitos testes com um modelo de um corpo alvo
presente em um meio estratificado em diferentes posições em relação à linha do levanta-
mento, onde o resultado do campo obtido pela modelagem 3D será utilizado para calcular
a condutividade aparente do meio.
Palavras-chaves: Elementos finitos de arestas. EM-34. Condutividade aparente.
Modelagem 3D.
ABSTRACT
In this work a 3D modeling program is made to simulate an electromagnetic survey
with the EM-34 equipment. The EM-34 consists of two coils that are shifted along a profile
line, keeping a constant distance between them for a given frequency. The 3D modeling
is formulated in terms of the separation between primary and secondary fields, treating
the source as a magnetic dipole. The spatial discretization is based on the Edge Finite
Element method, which consists of dividing the solution domain into a finite number of
subdomains, called elements, the set of which is called the mesh. From the information
obtained from each element, an approximate solution of the differential equation that
describes the magnetic field is constructed. The modality of the finite element method
used in this work is the edge method, in which the problem variable is the component of
the field sought at the center of each edge of the mesh. The dipole source entering the
differential equation is calculated on the underlying 1D medium. In this work, a validation
test of the 3D program is presented and tests are made with a model of a target body
present in a stratified medium in different positions in relation to the survey line, where
the result of the field obtained by the 3D modeling will be used to calculate the apparent
conductivity of the medium.
Keywords: Edge Finite Element method. EM-34. Apparent Conductivity. 3D
Modeling.
LISTA DE FIGURAS
1.1 Levantamento utilizando o equipamento EM34. Fonte: (Geoscan, 2021) . . 1
2.1 Configurações dos dipolos: (a) Dipolo magnético horizontal (DMH) e (b)
Dipolo magnético vertical (DMV). Fonte: Tenório (2019). . . . . . . . . . . 8
3.1 Modelo do meio que foi utilizado para fazer o teste de validação. . . . . . . 16
3.2 Comparação dos resultados de elementos finitos 3D (linha contínua) e de
Equação Integral 3D (círculos), sendo cada linha referente as configurações
do levantamento EM-34. Os números 10, 20 e 40 na legenda se referem ao
espaçamento das bobinas. (a) Resultados do DMH; (b) Resultados do DMV. 17
3.3 Resultados da condutividade aparente gerado pela fonte do dipolo magné-
tico horizontal (DMH) utilizando o método de elementos finitos 3D. . . . . 18
3.4 Resultados da condutividade aparente gerado pela fonte do dipolo magné-
tico vertical (DMV) utilizando o método de elementos finitos 3D. . . . . . 18
3.5 Modelo utilizado para variar a heterogeneidade em profundidade. . . . . . 18
3.6 Resultados do modelo de bloco condutivo com variação vertical. . . . . . . 20
3.7 Seções de condutividade aparente do DMHy com variação vertical do alvo
condutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8 Resultados do modelo de bloco condutivo com variação vertical. . . . . . . 23
3.9 Seções de condutividade aparente do DMV com variação vertical do alvo
condutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.10 Modelo utilizado para variar a heterogeneidade lateralmente. . . . . . . . . 25
3.11 Resultados do modelo de bloco condutivo com variação lateral no eixo y. . 26
3.12 Seções de condutividade aparente do DMHy com variação lateral do alvo
condutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.13 Resultados do modelo de bloco condutivo com variação vertical. . . . . . . 28
3.14 Seções de condutividade aparente do DMV com variação lateral do alvo
condutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
LISTA DE TABELAS
2.1 Propriedades do EM-34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 1
2 ELEMENTOS FINITOS DE ARESTAS 3
2.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO CAMPO SECUNDÁRIO . . . . . . . . 3
2.2 FORMULAÇÃO FRACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 EM34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 CAMPOS PRIMÁRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Meio Estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 RESULTADOS 15
3.1 TESTE DE VALIDAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 MODELO SINTÉTICO COM VARIAÇÃO VERTICAL . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Dipolo magnético horizontal–DMHy . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2 Dipolo magnético vertical–DMV . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 MODELO SINTÉTICO COM VARIAÇÃO LATERAL . . . . . . . . . . 24
3.3.1 Dipolo magnético horizontal–DMHy . . . . . . . . . . . . . .25
3.3.2 Dipolo magnético vertical–DMV . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 DISCUSSÃO FINAL 30
REFERÊNCIAS 32
1 INTRODUÇÃO
Ométodo eletromagnético indutivo baseia-se na propagação do campo eletromagnético
gerado por fluxo de corrente elétrica alternada que ao entrar em contato com um meio
condutor no subsolo gera um campo eletromagnético secundário. A partir de medidas
desse campo secundário, existem vários métodos para estimação da condutividade elétrica
do meio, como é o caso dos métodos classificados como Slingram (Frischknecht et al.,
1987), dentre os quais estão aqueles que operam em regime de baixo número de induções
(McNeill, 1980).
Em particular, o EM-34 é um equipamento que se baseia nesse método indutivo, sendo
composto por uma bobina transmissora e por uma bobina receptora. Essas bobinas
funcionam como um dipolo magnético e são conectadas por cabos, cujo comprimento
pode ser de 10, 20 ou 40 m (Figura 1.1). A partir desse equipamento, obtém-se uma
condutividade aparente do subsolo que pode ser aplicada, por exemplo, na prospecção de
água subterrânea, em investigações de problemas ambientais ou na exploração mineral. Na
aplicação do método, o transmissor é interpretado como um dipolo magnético, horizontal
ou vertical, no domínio da frequência.
Figura 1.1: Levantamento utilizando o equipamento EM34. Fonte: (Geoscan, 2021)
Vários métodos eletromagnéticos utilizam o dipolo magnético como fonte, entre eles
estão o método de sligram que serve para indicar zonas saturadas em água e prová-
veis mineralizações e a perfilagem que é utilizada para identificar possíveis reservatórios
ou aquíferos. Nesta dissertação é apresentada uma modelagem 3D de dados de dipolos
magnéticos, usando o método numérico de Elementos Finitos de Arestas, simulando le-
vantamentos de dados de EM-34. A fonte do campo eletromagnético será utilizada nas
configurações usadas no equipamento, sendo uma em que o momento do dipolo fonte está
direcionado no eixo z (DMV–Dipolo Magnético Vertical) e a outra com o momento do
dipolo direcionado no eixo y (DMHy–Dipolo Magnético Horizontal).
O método dos Elementos Finitos (EF) é uma ferramenta tradicional na modelagem
1
2
numérica de dados geofísicos eletromagnéticos. Inicialmente, o método foi aplicado para
modelagem de ambientes bidimensionais (Wannamaker et al., 1986, 1987), e, com o avanço
dos recursos computacionais (hardware e software), atualmente problemas de modelagem
3D são perfeitamente factíveis (Jin, 2015; Han-Bo et al., 2017; Chen et al., 2018; Qi et al.,
2019; Nunes and Régis, 2020).
Para a aplicação do método de EF para modelagem eletromagnética 3D a abordagem
utilizada constrói modelos formados por camadas homogêneas plano-paralelas horizontais
(meio estratificado–1D) dentro do qual são inseridas heterogeneidades tridimensionais. O
campo eletromagnético é então escrito como a soma de duas parcelas: o chamado campo
primário, que é aquele gerado pela fonte geofísica no meio estratificado, e o secundário,
definido como a diferença entre o campo total no meio 3D e o primário. O problema é for-
mulado como uma equação diferencial no campo secundário, tendo o primário compondo
a parte não homogênea da equação.
Esta abordagem tem sido empregada em inúmeros trabalhos publicados (Ward and
Hohmann, 1988; Nunes and Régis, 2020), por apresentar várias características que facili-
tam ou melhoram a solução em comparação com abordagens nas quais se calcula direta-
mente o campo total. Por exemplo, a solução do sistema de equações lineares gerado pelos
elementos finitos é menos sujeita a ruído numérico quando se calcula o campo secundário,
porque este normalmente tem amplitude algumas ordens de grandeza menor do que a do
campo total. Outra característica é que muitas vezes é possível formular o problema de
modo que a fonte esteja sempre localizada no meio 1D subjacente (background), e assim
evita-se a dificuldade de representar fontes dipolares numericamente no meio discretizado.
Uma característica importante da abordagem no campo secundário é que nela só há
necessidade de calcular o campo primário nos pontos das heterogeneidades 3D, que nor-
malmente ocupam um volume pequeno dentro do domínio total representado pela malha
de elementos finitos.
Na sequência desta dissertação, serão apresentados os detalhes sobre o cálculo de cam-
pos primários gerados por fontes dipolares magnéticas em meios estratificados, que requer
a solução numérica de integrais de transformadas inversas de Fourier ou Hankel (Ward
and Hohmann, 1987). Estes campos serão então empregados no método de elementos
finitos vetoriais para calcular as respostas de meios tridimensionais.
No teste de validação da modelagem 3D, os resultados gerados com elementos finitos
de arestas são comparados com os resultados gerados por um código que faz modelagem
3D utilizando Equação Integral.
Para ilustrar a aplicação do programa de modelagem, realizamos um estudo no qual li-
nhas de levantamento são simuladas sobre uma heterogeneidade tridimensional localizada
em diferentes posições, variando lateralmente e verticalmente em relação à linha de me-
didas. Estes exemplos demonstram a possibilidade de utilização do código de modelagem
para realizar estudos de sensibilidade dos dados EM34 em relação a estruturas 3D.
2 ELEMENTOS FINITOS DE ARESTAS
Neste capítulo mostraremos as equações que regem os métodos eletromagnéticos e as
manipulações feitas para chegar na equação diferencial do campo secundário Hs que será
solucionada pelo método de elementos finitos de Arestas. Na sequência, também serão
mostrados os cálculos dos campos primários que entram como fonte na equação diferencial
e a teoria do EM-34 junto com o cálculo da condutividade aparente do meio.
2.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO CAMPO SECUNDÁRIO
As equações de Maxwell são a base para a modelagem de métodos eletromagnéticos
geofísicos. Elas são representadas no domínio da frequência como
∇ · �E = ρv, (2.1)
∇×H− ηE = Jf , (2.2)
∇ · µH = 0, (2.3)
∇× E + zH = 0, (2.4)
em que: H e E representam o campo magnético e elétrico respectivamente; Jf a densidade
de corrente na fonte; z a impeditividade que é calculada por z = iwµ, sendo w a frequên-
cia angular e µ a permeabilidade magnética; η é a admitividade que, nesse trabalho, é
igual a condutividade do meio (σ); ρv a densidade volumétrica de carga elétrica; e � é
permissividade dielétrica.
Para evitar a necessidade de uma discretização mais refinada da malha em regiões sem
heterogeneidade e de encontrar uma formulação para a fonte, os campos totais elétrico
(E) e magnético (H) são separados em campo primário e secundário (Zhdanov, 2009).
E = Ep + Es, (2.5)
H = Hp + Hs. (2.6)
O campo primário é o campo gerado pela fonte no meio 1D, sendo nesse trabalho utilizado
um meio encaixante com camadas horizontais homogêneas. O campo secundário é a
diferença entre o campo total e primário. Outro benefício dessa formulação é que o
campo primário é maior que o campo secundário, então a separação desses campos pode
minimizar a influência de erros numéricos.
3
4
As equações diferenciais para o campo primário são:
∇×Hp − ηpEp = Jf , (2.7)
∇× Ep + zpHp = 0. (2.8)
Na região de heterogeneidade, substituindo as equações (2.5) e (2.6) em (2.2) e (2.4),
as equações diferenciais ficam:
∇× (Hp + Hs)− η(Ep + Es) = Jf , (2.9)
∇× (Ep + Es) + z(Hp + Hs) = 0, (2.10)
em que η = ηp+∆η e z = zp+∆z , sendo os deltas as variações das propriedades elétricas
devido à heterogeneidade (Cai et al., 2014).
Substituindo os campos primários (2.7) e (2.8) em (2.9) e (2.10), o resultado são as
equações de Maxwell para o meio de heterogeneidade:
∇×Hs − ηEs = ∆ηEp, (2.11)
∇× Es + zHs = −∆zHp. (2.12)
A combinação das equações (2.11) e (2.12) resulta na equação de segunda ordem para o
campo magnético secundário (Hs):
∇× (η−1∇×Hs) + zHs = ∇× (η−1∆ηEp)−∆zHp. (2.13)
Podemos observar em (2.13) que os campos primários estão presentes apenas no lado
direito da equação, sendo fontes do campo secundário. Como neste trabalho a permeabi-
lidademagnética é mesma do vácuo em todos os meios (µp = µs = µ0 = 4π× 10−7 H/m),
a impeditividade é constante, sendo ∆z = 0. Portanto, a equação diferencial utilizada
será:
∇× (η−1∇×Hs) + zHs = ∇× (η−1∆ηEp). (2.14)
Como o campo primário é calculado em um meio encaixante estratificado, o lado
direito da equação (2.14) será calculada apenas na heterogeneidade, já que somente nessa
região há uma variação de admitividade. O campo Ep é obtido de um modelo 1D, sendo
calculado analiticamente pelas equações (2.7) e (2.8). O campo magnético secundário (Hs)
é calculado numericamente pelo método dos elementos finitos, onde a equação diferencial
(2.14) é discretizada.
5
2.2 FORMULAÇÃO FRACA
O método dos elementos finitos tem como base o método de resíduos ponderados onde
o problema de resolver a equação diferencial é substituído pelo de resolver a equação
diferencial em sua forma fraca em todo o domínio. Aplicando a abordagem dos resíduos
ponderados na equação (2.14), tem-se:∫
Ω
∇× (η−1∇×Hs) · φidΩ +
∫
Ω
zHs · φidΩ =
∫
Ω
∇× (η−1∆ηEp) · φidΩ, (2.15)
sendo φ a função peso. O espaço vetorial considerado é Rn. Aplicando o teorema de
Green na integral da equação (2.15) que envolve o rotacional (Monk, 2003) e utilizando a
identidade vetorial a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b) , a equação (2.15) torna-se:∫
Ω
(η−1∇×Hs) · (∇× φi)dV +
∫
Ω
zHs · φidV =
∫
Ω
(η−1∆ηEp) · (∇× φi)dV (2.16)
−
∫
∂Ω
[n× (η−1∇×Hs)] · φi|∂ΩdA+
∫
∂Ω
[n× (η−1∆ηEp)] · φi|∂ΩdA,
sendo φi a função peso para cada elemento finito. Substituindo ∇ × Hs na primeira
integral de superfície pela equação 2.11, a equação (2.16) fica:∫
Ω
(η−1∇×Hs) · (∇× φi)dV +
∫
Ω
zHs · φidV =∫
Ω
(η−1∆ηEp) · (∇× φi)dV −
∫
∂Ω
(n× Es) · φi|∂ΩdA. (2.17)
Como a condição de Dirichlet homogênea é aplicada, a integral de superfície no último
termo da equação para a formulação fraca (2.17) é eliminada, pois essa condição impõe
que os campos secundários na fronteira da malha sejam nulos, desde que ela esteja a uma
distância suficientemente grande da fonte do campo. Além da condição de fronteira, esse
termo também pode ser eliminado devido as informações de cada dois elementos finitos
que compartilham uma face se cancelarem, já que as componentes tangenciais dos campos
são contínuas nas faces entre os elementos. Desta forma, a equação se reduz a∫
Ω
(η−1∇×Hs) · (∇× φi)dV +
∫
Ω
zHs · φidV =
∫
Ω
(η−1∆ηEp) · (∇× φi)dV. (2.18)
Para encontrar uma solução numérica da equação (2.18) usando o método dos elementos
finitos, todo o domínio Ω é primeiro dividido em pequenos elementos finitos, que nesse
trabalho são elementos tetraédricos. As aproximações dos campos magnético e elétrico
são dadas por combinações lineares das funções bases definidas apenas em um elemento
6
finito do domínio. Dito isso, Hs e Ep ficam:
Hse =
N=6∑
j=1
γjϕj, (2.19)
Epe =
N=6∑
j=1
Epjϕj, (2.20)
onde Hse e Epe são os campos do elemento finito, ϕj são as funções de base cuja combinação
linear é capaz de representar a solução desconhecida, γj são os coeficientes desconhecidos,
Ep são os próprios valores do campo elétrico no centro das arestas e N o número de arestas
da figura geométrica utilizada que no caso é tetraedro. O método do resíduo ponderado
tenta determinar γj e Epj substituindo as equações (2.19) e (2.20) na equação (2.18) e, em
seguida, integrando a equação resultante com uma função peso que usando a abordagem
de Galerkin, são as próprias funções base ϕi em todo o domínio de solução Ω. Isso produz
o sistema local
N=6∑
j=1
Hsj
[ ∫
Ωe
(∇× φj) · (∇× φi)dV
]
+
∫
Ωe
zφj · φidV =
N=6∑
j=1
[Epj
∫
Ωe
(η−1∆ηφj) · (∇× φi)dV ], (2.21)
sendo Ωe o domínio do elemento finito. Cada elemento da matriz local 6×6 é adicionado à
posição correspondente à aresta associada a cada função base, montando assim o sistema
global. A dimensão do sistema global é dada pelo número de arestas na malha. A solução
é formada pelos valores das projeções do campo magnético secundário nos pontos centrais
e na direção de cada aresta.
O método de elementos finitos de arestas foi utilizado devido as suas vantagens como
a imposição apenas da continuidade tangencial do campo, permitindo a interpolação de
campos em regiões onde eles sofrem descontinuidades, evitando assim a obtenção de so-
luções não físicas, a facilidade de impor as condições de contorno e as variações abruptas
de campos nas vizinhanças de vértices e ângulos das geometrias são bem mais modeladas
(Jin, 2015).
2.3 EM34
Neste trabalho foi feita uma modelagem eletromagnética simulando um levantamento
eletromagnético com o equipamento EM-34. O equipamento EM-34 é utilizado para
realizar estudos do método eletromagnético indutivo e funciona através de uma bobina
transmissora, que produz um campo magnético primário e induz correntes elétricas no
solo que originam um campo secundário. Esse campo junto com o campo primário são
7
captadas pela bobina receptora. Essas bobinas, que funcionam como um dipolo magnético,
são conectadas entre si por um cabo, sendo elas móveis.
Tanto o DMV quanto o DHMy apresentam soluções analíticas para um meio semi-
espaço homogêneo. Essas soluções podem ser escritas em função do número de indução
como uma série de potências. O equipamento EM34-3 opera em regime de baixo número
de indução (LIN) que considera apenas os dois primeiros termos da série de potências,
sendo que do segundo termo é originada a equação da condutividade aparente do meio
que é calculada por:
σa =
4
ωµ0s2
(
Hs
Hp
)
, (2.22)
onde σa é a condutividade aparente, s é o espaçamento entre as bobinas, Hp campo
magnético primário e Hs o campo magnético secundário. A condutividade aparente do
solo é medida em miliSiemens por metro (mS/m).
Devido a condição de baixo número de indução, quanto mais resistivo for o meio,
melhor o resultado da condutividade aparente. Por conta do LIN, o equipamento EM-34
permite a operação em três configurações, onde o cabo entre as bobinas varia em 10,
20 e 40 metros, sendo utilizado a frequência de 6400 Hz, 1600 Hz e 400 Hz, respectiva-
mente para cada espaçamento, de modo que as três operem no mesmo número de indução
independentemente da condutividade do semi-espaço (Jacob Júnior, 2017).
Tradicionalmente, os dados são exibidos em seções de condutividade aparente nas
quais as medidas são plotadas horizontalmente nas coordenadas dos pontos centrais entre
transmissor e receptor e verticalmente de acordo com as profundidades listadas na tabela
2.1, que é fornecida pelo fabricante do equipamento.
Tabela 2.1: Propriedades do EM-34
Espaçamento entre
bobinas (m)
Profundidade de exploração (m) Frequência
(Hz)Dipolo horizontal Dipolo vertical
10 7,5 15 6400
20 15 30 1600
40 30 60 400
De acordo com a tabela 2.1, o campo eletromagnético atinge maior profundidade
quando está usando o dipolo vertical. O dipolo horizontal tem um maior alcance lateral-
mente (Oliveira, 2018).
O equipamento EM-34 é aplicado em situações como mapeamento da condutividade
do terreno para aterramento elétrico, exploração arqueológica, mapeamento de plumas de
poluição em águas subterrâneas, entre outros (McNeill, 1980).
8
2.4 CAMPOS PRIMÁRIOS
Neste seção serão explicadas as soluções para as equações (2.7) e (2.8) do campo
primário para a fonte dipolo magnético, sendo que ela será analisada com os momentos
dos dipolos orientados no eixo y e z, denominados dipolo magnético horizontal (DMHy)
e dipolo magnético vertical (DMV), respectivamente (Figura 2.1). São usados o meio
estratificado com camadas horizontais como campo primário. Nesse trabalho, os modelos
utilizados não têm variação na permeabilidade magnética, portanto na equação diferencial
do campo magnético secundário (2.21) só é necessário o cálculo do campo primário elétrico.
Como vamos analisar o campo total, a componente do campo magnético z para o DMV e
a componente y para DMHy é somada ao campo secundário como mostra a equação (2.6).
Figura 2.1: Configurações dos dipolos: (a) Dipolo magnético horizontal (DMH) e (b)
Dipolo magnético vertical (DMV). Fonte: Tenório (2019).
2.4.1 MeioEstratificado
Os passos para calcular os campos elétricos e magnéticos dessas fontes em um meio
estratificado são os mesmos. Primeiro encontra-se o campo obtido pela fonte num meio
homogêneo infinito para depois usá-lo como campo incidente sobre o meio estratificado.
Feito isso, usa-se uma transformada integral para gerar soluções na forma de ondas planas
e o problema é resolvido no domínio dessa transformada. Por fim, para voltar ao sistema
de coordenadas original é aplicada a transformada inversa. Em vários problemas, a solução
dessas integrais pode ser obtida eficientemente empregando filtros digitais (Werthmüller
et al., 2019), como é o caso da modelagem feita com o DMV. Entretanto na modelagem
9
feita com o DMHy, utilizou-se o método de Quadratura Com Extrapolação (Quadrature
With Extrapolation–QWE), que aplica um algoritmo de aceleração de convergência para
gerar uma resposta com o nível de acurácia desejado com um mínimio de avaliações do
integrando (Key, 2012).
Para facilitar o cálculo do dipolo magnético orientado no eixo y (DMHy), o campo
elétrico foi posto em função de campos vetoriais arbitrários, os potenciais vetoriais de
Schelkunoff A e F, sendo o A associado ao modo TM e o F ao modo TE (Ward and
Hohmann, 1988). Dessa forma, os campos elétrico e magnético em função desses potenciais
ficam:
E =−∇× F− zA + 1
η
∇(∇ ·A). (2.23)
H =∇×A− ηF + 1
z
∇(∇ · F). (2.24)
Considerando um caso particular no qual o potencial F seja nulo e o potencial A tenha
só a componenteAz, gera um campo eletromagnético de modo transversal magnético (TM)
em relação à direção z. Um caso no qual o potencial A seja nulo e o potencial F tenha só
a componente Fz gera um campo no modo transversal elétrico (TE), também em relação
a z. Se escrevermos o campo total como uma composição destes dois casos particulares,
as componentes de E e H ficam:
Ex =
1
η
∂2Az
∂x∂z
− ∂Fz
∂y
, (2.25)
Ey =
1
η
∂2Az
∂y∂z
+
∂2Fz
∂x
, (2.26)
Ez = −zAz +
1
η
∂2Az
∂z2
(2.27)
Hx =
1
z
∂2Fz
∂x∂z
+
∂Az
∂y
, (2.28)
Hy =
1
z
∂2Fz
∂y∂z
− ∂Az
∂x
, (2.29)
Hz = −ηFz +
1
z
∂2Fz
∂z2
(2.30)
Estas equações representam o caso geral para a composição do campo eletromagnético
em termos dos dois modos de propagação. Para determinar as funções Az e Fz no meio de
camadas, calculamos inicialmente o campo da fonte em um meio homogêneo e aplicamos
as componentes Ez e Hz nas equações (2.27) e (2.30), respectivamente. Os campos Az e
Fz assim determinados são usados como campos incidentes sobre o meio estratificado.
10
Os potenciais incidentes de Shelkunoff dessa fonte são:
ˆ̂
A0(kx, ky, z) = −
myk
2
0ikye
u0h0
2u0(k2x + k
2
y)
, (2.31)
ˆ̂
F0(kx, ky, z) = −
myz0ikxe
u0h0
2(k2x + k
2
y)
. (2.32)
No DMHy apenas as componentes do campo elétrico (Ex, Ey e Ez) e Hy são utilizadas.
Fazendo as modificações, os campos em qualquer camada j de 1 até N − 1, usa-se as
fórmulas:
E(j)y =
myz0
4π
[
−2xy
r3
∫ ∞
0
Fje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TEe
uj(z−(zj+hj)))J1(krr)dkr
+
xy
r2
∫ ∞
0
Fje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TEe
uj(z−(zj+hj)))krJ0(krr)dkr
]
+
myk
2
0
4πη
[
−2xy
r3
∫ ∞
0
Aje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) −R(j)tmeuj(z−(zj+hj)))J1(krr)dkr
+
xy
r2
∫ ∞
0
Aje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) −R(j)tmeuj(z−(zj+hj)))krJ0(krr)dkr
]
, (2.33)
E(j)x =
myk
2
0
4πη
[(
1
r
− 2x
2
r3
)∫ ∞
0
Aje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) −R(j)tmeuj(z−(zj+hj)))J1(krr)dkr
+
x2
r2
∫ ∞
0
Aje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) −R(j)tmeuj(z−(zj+hj)))krJ0(krr)dkr
]
−myz0
4π
[(
1
r
− 2y
2
r3
)∫ ∞
0
Fje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TEe
uj(z−(zj+hj)))J1(krr)dkr
+
y2
r2
∫ ∞
0
Fje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TEe
uj(z−(zj+hj)))krJ0(krr)dkr
]
, (2.34)
E(j)z = −
my
4πηj
x
r
∫ ∞
0
Aj
k20e
u0h0
u0
(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
tme
uj(z−(zj+hj)))k2rJ1(krr)dkr (2.35)
e
H(j)y =
myk
2
0
4π
[(
1
r
− 2x
2
r3
)∫ ∞
0
Aj
eu0h0
u0
(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TMe
uj(z−(zj+hj)))J1(krr)dkr +
x2
r2
∫ ∞
0
Aj
eu0h0
u0
(e−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TMe
uj(z−(zj+hj)))J0(krr)krdkr
]
−my
4π
[(
1
r
− 2y
2
r3
)∫ ∞
0
Fjuje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) −R(j)TEe
uj(z−(zj+hj)))J1(krr)dkr +
y2
r2
∫ ∞
0
Fjuje
u0h0(e−uj(z−(zj−hj)) −R(j)TEe
uj(z−(zj+hj)))J0(krr)krdkr
]
. (2.36)
11
Para a camada no substrato N , as formulas dos campos ficam:
E(N)y =
myz0
4π
[
−2xy
r3
∫ ∞
0
FNe
u0h0e−uN (z−zN−1)J1(krr)dkr +
xy
r2
∫ ∞
0
FNe
u0h0e−uN (z−zN−1)krJ0(krr)dkr
]
+
myk
2
0
4πη
[
−2xy
r3
∫ ∞
0
ANe
u0h0e−uN (z−z(N−1))J1(krr)dkr +
xy
r2
∫ ∞
0
ANe
u0h0e−uN (z−z(N−1))krJ0(krr)dkr
]
, (2.37)
E(N)x =
myk
2
0
4πη
[(
1
r
− 2x
2
r3
)∫ ∞
0
ANe
u0h0e−u0(z−zn−1)J1(krr)dkr +
x2
r2
∫ ∞
0
ANe
u0h0e−uN (z−zn−1)krJ0(krr)dkr
]
−myz0
4π
[(
1
r
− 2y
2
r3
)∫ ∞
0
FNe
u0h0e−u0(z−zn−1)J1(krr)dkr +
y2
r2
∫ ∞
0
FNe
u0h0e−uN (z−zn−1)krJ0(krr)dkr
]
, (2.38)
E(N)z = −
my
4πηN
x
r
∫ ∞
0
AN
k20e
u0h0
u0
(e−uj(z−zN−1))k2rJ1(krr)dkr, (2.39)
e
H(N)y =
myk
2
0
4π
[(
1
r
− 2x
2
r3
)∫ ∞
0
AN
eu0h0
u0
e−uN (z−z(N−1))J1(krr)dkr +
x2
r2
∫ ∞
0
AN
eu0h0
u0
e−uN (z−z(N−1))J0(krr)krdkr
]
−my
4π
[(
1
r
− 2y
2
r3
)∫ ∞
0
FNuNe
u0h0e−uN (z−z(N−1))J1(krr)dkr +
y2
r2
∫ ∞
0
FNuNe
u0h0e−uN (z−z(N−1))J0(krr)krdkr
]
, (2.40)
sendo: J0 e J1 as funções de Bessel; z a profundidade do receptor; h0 é a altura da fonte
em relação à interface da superfície; zj , sendo j o índice da camada, kr a variável no
domínio da transformada, uj =
√
k2r − k2j ,kj o número de onda que é kj =
√
iωµjσj;
Yj admitância intrínseca da superfície que é Yj =
uj
zj
, com zj = iωµj; e Fj, FN são os
12
coeficientes de transmissão do modo TE dado por:
F1 = F0
(1 +R
(0)
TE)
1 +R
(1)
TEe
−2u1h1
,
Fj = Fj−1e
(ujhj)
(1 +R
(j−1)
TE )e
−uj−1hj−1
1 +RjTEe
−2ujhj
,
FN = FN−1(1 +R
(N−1)
TE )e
−uj−1hj−1 . (2.41)
O termo RTE é o coeficiente de reflexão da propagação da onda eletromagnética do modo
TE, que é calculado por:
R
(j)
TE =
Yj − Ŷj+1
Yj + Ŷj+1
, (2.42)
em que Ŷ é a admitância aparente que é:
Ŷj = Yj
Ŷj+1 + Yj tanh(ujhj)
Yj + Ŷj+1 tanh(ujhj)
, (2.43)
Os termos Aj, AN e RTM são os coeficientes de transmissão e reflexão de propagação da
onda eletromagnética do modo TM e são calculados por:
A1 = A0
(1 +R
(0)
TM)
1 +R
(1)
TMe
−2u1h1
,
Aj = Aj−1e
(ujhj)
(1 +R
(j−1)
TM )e
−uj−1hj−1
1 +RjTMe
−2ujhj
,
AN = AN−1(1 +R
(N−1)
TM )e
−uj−1hj−1 (2.44)
e
R
(j)
TM =
Zj − Ẑj+1
Zj + Ẑj+1
, (2.45)
onde Zj é impedância intrínseca calculada por Zj =
uj
ηj
, com ηj = σ e Ẑ é a impedância
aparente que é:
Ẑj = Zj
Ẑj+1 + Zjtanh(ujhj)
Zj + Ẑj+1tanh(ujhj)
. (2.46)
Devido à simetria do dipolo magnético vertical, apenas um modo de propagação TE
é excitado. O cálculo dos campos magnético e elétrico foram feitas em coordenadas
cilíndricas (Eφ,Hr e Hz) devido a simetria nesta coordenada. Para calcular Eφ e e Hz em
um meio estratificado com N camadas, o campo elétrico incidente é:
E0 = −
zmzkre
u0h0
4πu0
. (2.47)
13
Realizando os mesmos passos no caso do DMHy, o campo Eφ fica:
E
(j)
φ =
∫ ∞
0
Ej(e
−uj(z−(zj−hj)) +R
(j)
TEe
uj(z−(zj+hj)))krJ1(krr)dkr (2.48)
e
H(j)z =
∫ ∞
0
Ej
zj
(e−u0(z−(zj−hj)) +R
(j)
TEe
u0(z−(zj+hj)))k2rJ0(krr)dkr. (2.49)
Para camada do substrato os campos Eφ e Hz são calculados por:
E
(N)
φ =
∫ ∞
0
ENe
−uN (z−zN−1)krJ1(krr)dkr (2.50)
e
H(N)z =
∫ ∞
0
EN
zN
e−uN (z−zN−1)k2rJ0(krr)dkr. (2.51)
Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, temos que Eφ = −yr Ex+
x
r
Ey
(Ward and Hohmann (1988)).
Percebemos com as equações acima do campo elétrico e magnético tanto do DMV
quanto do DMHy apresentam a seguinte forma:
F (r) =
∫ ∞
0
f(k)Ji(kr)dk, (2.52)
onde Ji(kr) é a função de Bessel de ordem i, f(k) é a função de kernel que depende das
propriedades físicas do meio.
Como as equações para o campo primário vão ser calculadas milhares de vezes é
necessário a utilização de um método que resolva a integral de modo preciso e rápido.
Nesse trabalho foram utilizados duas técnicas de integração numérica que são o de filtros
digitais para calcular o dipolo magnético vertical (DMV) e o método de quadratura com
extrapolação(QWE) para calcular o dipolo magnético horizontal direcionado no eixo y
(DMHy). A princípio a ideia nesse trabalho era utilizar apenas os filtros digitais, porém os
resultados do campo elétrico do DMHy apresentavam ruídos com o filtro de Werthmuller,
sendo substituído pelo QWE para essa fonte.
Para utilizar os filtros digitais faz-se a mudança da variável kr = y na equação (2.52)
rF (r) =
∫ ∞
0
f(y/r)Ji(y)dy. (2.53)
Substituindo a variável r por ep e y por es, a equação (2.53) se torna uma integral de
14
convolução.
epF (ep) =
∫ ∞
−∞
f(e−(p−s))esJi(e
s)ds, (2.54)
onde f(e−(p−s)) é a função entrada, epF (ep) a função saída e esJi(es) a função filtro. A
aproximação discreta da integral de convolução é:
rF (r) =
N∑
n=0
f [e− ln rs+(s1+n∆s)]wn, (2.55)
sendo wn um vetor de coeficientes de filtros lineares. O filtro usado para a solução numérica
das integrais para transformada de Hankel apresenta 201 abscissas e pesos.
O método de quadratura com extrapolação (QWE) consiste em dividir a integral da
transformada de Hankel em uma soma de integrais parciais que são cada uma avaliada
com quadratura, a equação (2.52) fica
F (r) =
∞∑
n=0
∫ kr(i)
kr(i−1)
f(kr)Jn(krr)dkr, (2.56)
sendo kr(i−1) e kr(i) os limites de integração que são os zeros consecutivos da função Bessel
Jn(krr). A somas parciais são dadas por:
F (r) =
m∑
j=1
wjf(xj/r)Jn(xj), (2.57)
onde m é a ordem da quadratura de Gauss-Legendre, xj e wj são as abscissas e pesos
de ordem j da quadratura. Nesse trabalho foram utilizados 8 pontos da quadratura nos
intervalo entre zeros da função Jn. O algoritmo não linear ε de Wynn que calcula a
transformação de Shanks é o método de aceleração de convergência utilizado no QWE.
A vantagem de quadratura sobre filtros é a capacidade de estimar o erro. Esse método
continua até que o erro absoluto, estimado pela diferença das iterações subsequentes n,
satisfaça a desigualdade (Werthmüller, 2017)
|S∗n − S∗n−1| ≤ εr|S∗n|+ εa, (2.58)
onde S∗ é o resultado da extrapolação, εr e εa são a tolerância relativa e absoluta, res-
pectivamente. As tolerâncias absoluta e relativa para a QWE utilizadas nesse trabalho
foram εa = 10−30 e εr = 10−9.
3 RESULTADOS
Neste capítulo mostraremos os gráficos de condutividade aparente obtida pelos dados
sintéticos de Hz do DMV e Hy do DMHy gerados por nosso código de elementos finitos
de arestas 3D. Inicialmente será mostrado um teste de validação no qual comparamos
os resultados com aqueles obtidos para o mesmo modelo com um programa de Equações
Integrais. Em seguida, como ilustração de uma aplicação, será mostrado um estudo das
respostas de um corpo alvo condutivo em um meio estratificado, incluindo variações no
posicionamento do corpo alvo, tanto em profundidade quanto laterais.
Em todas as figuras com os gráficos dos levantamentos sintéticos, um retângulo em
linha vermelha indica a posição do bloco alvo na direção (x) da linha de medidas. Neste
trabalho, para satisfazer a condição de fronteira homogênea, a distância do centro à borda
da malha é de 3 km.
3.1 TESTE DE VALIDAÇÃO
Para testar a acurácia do código feito neste trabalho, foi feito um teste de valida-
ção, onde os resultados obtidos foram comparados com o resultado de um código que
calcula Hz do DMV e Hy do DMHy pelo método numérico de Equação Integral 3D, cha-
mado INTEM3D, construído pelo grupo da Universidade de Utah, através do consórcio de
modelagem e inversão eletromagnética (Consortium for Electromagnetic Modelling and
Inversion – CEMI).
O meio encaixante onde a validação foi feita tem duas camadas horizontais homogê-
neas, sendo a primeira finita com espessura de 20 metros e a segunda infinita. Nesse meio
foi posta uma heterogeneidade com comprimento de 1000 metros em relação ao eixo y
e 10 metros de comprimento nos eixos x e z. A resistividade da heterogeneidade é de
100 mS/m e ela está localizada a 2 metros de profundidade em relação a superfície e o
centro dela está na origem em relação a y e a 50 metros no eixo x. A permeabilidade
magnética é a mesma em todo o modelo e é equivalente ao valor da permeabilidade do
vácuo, µ0 ≈ 1, 2566×10−6H/m. As resistividades das camadas são 20 mS/m e 10 mS/m,
respectivamente em relação a superfície (Figura 3.1).
As bobinas são posicionadas a meio metro da superfície e as medidas são realizadas
utilizando os três espaçamentos e frequências do equipamento EM-34 visto na tabela 2.1.
São utilizados 101 pontos de medidas em relação ao eixo x variando de 0 a 100 metros com
espaçamento de 1 metro. Os gráficos foram feitos com o auxílio do programa MATLAB.
As figuras 3.2a e 3.2b mostram a comparação dos resultados da condutividade aparente
gerados pelos dados obtidos nas modelagens utilizando o método de elementos finitos de
arestas e o de equação integral. Podemos observar que os resultados dos dois métodos
15
16
Figura 3.1: Modelo do meio que foi utilizado para fazer o teste de validação.
numéricos coincidem em todas as configurações do levantamento EM-34, validando dessa
forma o código usado neste trabalho.
As figuras 3.3 e 3.4 mostram as seções de condutividade aparente gerada pelos dados
obtidos na modelagem utilizando o método de elementos finitos de arestas. Os padrões
observados nas seções ilustram as limitações do uso da condutividade aparente obtida
a partir da resposta de um semi-espaço homogêneo. Enquanto nas respostas do dipolo
horizontal se observa uma zona mais condutiva rasa na posição compatível com a do corpo
alvo, os resultados do dipolo vertical mostram um comportamento oposto ao esperado,
com a identificação de uma anomalia resistiva no centro da imagem.
Estas incoerências, que são observadas neste modelo e nos próximos resultados, são
provocadas pelo distanciamento deste modelo das condições de baixo número de indução
necessárias para que a condutividade aparente determinada pelo EM34 seja uma boa
aproximação.
Uma vez tendo feito o teste de validação do programa, apresentamos a seguir um
estudo com variações deste mesmo modelo para ilustrar o uso do código de modelagem.
3.2 MODELO SINTÉTICO COM VARIAÇÃO VERTICAL
O modelo utilizado simula um meio geológico que tem duas camadas horizontais ho-
mogêneas, sendo a primeira finita com espessura de 40 metros e a segunda infinita. Nesse
meio foi posta uma heterogeneidade na forma de um cubo com 10 metros de aresta, com
resistividade de 100 mS/m. A permeabilidade magnética é a mesma em todo o modelo
e é equivalente ao valor da permeabilidade do vácuo, µ0 ≈ 1, 2566× 10−6H/m. As resis-
17
(a)
(b)
Figura 3.2: Comparação dos resultados de elementos finitos 3D (linha contínua) e de
Equação Integral 3D (círculos), sendo cada linha referente as configurações do levanta-
mento EM-34. Os números 10, 20 e 40 na legenda se referem ao espaçamento das bobinas.
(a) Resultados do DMH; (b) Resultados do DMV.
tividades das camadas são 10 mS/m e 2 mS/m, respectivamente em relação a superfície
(Figura 3.5)).
Vamos utilizar este modelo básico para observar variações nos dados provocadas por
variações na posição do alvo condutivo, tanto em termos de profundidade quanto em ter-
mos de distância em relação à linha de medidas. Nesta seção apresentamos os resultados
calculados com o bloco em três profundidades (representado por z0 na figura 3.5) diferen-
tes, com o topo a 0.5 m, 2 m e 5 m da superfície, em todos os casos fixando o centro do
bloco exatamente abaixo da linha do levantamento, na posição x = 50 e y = 0.
3.2.1 Dipolo magnético horizontal–DMHy
Os dados gerados variando a profundidade do corpo alvo (Figuras 3.6a, 3.6b e 3.6c)
mostram que quanto mais distante da superfície, menor é a variação observada na con-
dutividade aparente, sendo a menor anomalia observada no levantamento com offset de
40 m e frequência de 400 Hz (representado pela linha azul no gráfico) e a maior variação
é observada no offset de 10 m e frequência de 6400 Hz (representado pela linha vermelha
18
Figura 3.3: Resultados da condutividade aparente gerado pela fonte do dipolo magnético
horizontal (DMH) utilizandoo método de elementos finitos 3D.
Figura 3.4: Resultados da condutividade aparente gerado pela fonte do dipolo magnético
vertical (DMV) utilizando o método de elementos finitos 3D.
Figura 3.5: Modelo utilizado para variar a heterogeneidade em profundidade.
19
no gráfico).
As figuras 3.7a, 3.7b e 3.7c mostram as seções de condutividade aparente obtidas a
partir dos dados do DMHy. Evidentemente, a anomalia associada ao bloco condutivo
diminui de intensidade conforme o bloco fica em posições mais profundas.
20
(a) Bloco a 0.5 m de profundidade.
(b) Bloco a 2 m de profundidade.
(c) Bloco a 5 m de profundidade.
Figura 3.6: Resultados do modelo de bloco condutivo com variação vertical.
21
(a) Bloco a 0.5 m de profundidade.
(b) Bloco a 2 m de profundidade.
(c) Bloco a 5 m de profundidade.
Figura 3.7: Seções de condutividade aparente do DMHy com variação vertical do alvo
condutivo.
22
3.2.2 Dipolo magnético vertical–DMV
As figuras 3.8a, 3.8b e 3.8c mostram que a condição de baixo número de indução não é
obedecida, devido à condutividade da heterogeneidade não ser baixa o suficiente, fazendo
com que a condutividade aparente não reflita a variação verdadeira na condutividade do
modelo, mas sim mostre um comportamento exatamente contrário ao esperado, com a
presença de uma anomalia resistiva na posição onde deveria aparecer o alvo condutivo
(Figuras 3.9a, 3.9b e 3.9c).
Um efeito marcante deste tipo de situação é que podem surgir valores de condutividade
aparentes negativos, como foi o caso na resposta do DMV no offset de 10 m, na parte
central do perfil (figura 3.8a). Esta é uma indicação clara de que não só o modelo viola a
condição de baixo número de indução, como também que a estrutura tridimensional tem
um efeito que foge muito daquele gerado pelo semi-espaço homogêneo, distorcendo e até
invalidando os valores obtidos de condutividade aparente.
23
(a) Bloco a 0.5 m de profundidade.
(b) Bloco a 2 m de profundidade.
(c) Bloco a 5 m de profundidade.
Figura 3.8: Resultados do modelo de bloco condutivo com variação vertical.
24
(a) Bloco a 0.5 m de profundidade.
(b) Bloco a 2 m de profundidade.
(c) Bloco a 5 m de profundidade.
Figura 3.9: Seções de condutividade aparente do DMV com variação vertical do alvo
condutivo.
3.3 MODELO SINTÉTICO COM VARIAÇÃO LATERAL
Para observar a variação lateral foi utilizado o mesmo modelo subjacente usado no
estudo da variação vertical. O bloco está posicionado com o topo a 2 m de profundidade,
na coordenada x do centro da linha do levantamento e com a posição em y variando de
modo que a coordenada do centro do bloco é em y0 = 0 m, y0 = 5 m e y0 = 10 m, como
ilustrado na figura 3.10.
25
Figura 3.10: Modelo utilizado para variar a heterogeneidade lateralmente.
3.3.1 Dipolo magnético horizontal–DMHy
Naturalmente, quanto mais distante da linha de levantamento em relação ao eixo
y menos variação é observada na condutividade aparente. As seções de condutividade
aparente (Figuras 3.12a, 3.12b e 3.12c) mostram também que a anomalia associada ao
bloco condutivo diminui de intensidade conforme o bloco fica em posições mais distantes.
Este resultado ilustra os limites de sensibilidade deste tipo de dado às variações laterais
de condutividade na subsuperfície, bem como a sensibilidade às variações verticais, o que
pode ser observado na diferença marcante entre as respostas nos dois offsets menores e
aquela no offset de 40 m, que indica uma condutividade aparente nitidamente mais baixa,
refletindo o embasamento mais resistivo como podemos ver nas figuras 3.11a, 3.11b e
3.11c.
3.3.2 Dipolo magnético vertical–DMV
Assim como no exemplo anterior, as respostas do DMV (Figuras 3.13a, 3.13b e 3.13c)
tendem a indicar uma feição com comportamento contrário ao verdadeiro, com uma ano-
malia resistiva ao invés de condutiva, novamente pela violação da condição de baixo
número de indução, bem como apresentam variações laterais não condizentes com o alvo
provocadas por sua geometria tridimensional como podemos ver também nas seções de
condutividade aparente (Figuras 3.14a, 3.14b e 3.14c).
26
(a) Bloco em y = 0m.
(b) Bloco em y = 5m.
(c) Bloco em y = 10m.
Figura 3.11: Resultados do modelo de bloco condutivo com variação lateral no eixo y.
27
(a) Bloco em y = 0m.
(b) Bloco em y = 5m.
(c) Bloco em y = 10m.
Figura 3.12: Seções de condutividade aparente do DMHy com variação lateral do alvo
condutivo.
28
(a) Bloco em y = 0m.
(b) Bloco em y = 5m.
(c) Bloco em y = 10m.
Figura 3.13: Resultados do modelo de bloco condutivo com variação vertical.
29
(a) Bloco em y = 0m.
(b) Bloco em y = 5m.
(c) Bloco em y = 10m.
Figura 3.14: Seções de condutividade aparente do DMV com variação lateral do alvo
condutivo.
4 DISCUSSÃO FINAL
Neste trabalho foram apresentados os resultados de um código de modelagem 3D
simulando um levantamento EM34 utilizando como fonte o dipolo magnético vertical e o
dipolo magnético horizontal. A equação diferencial de segunda ordem do campo magnético
secundário é resolvida através do método de elementos finitos de arestas, sendo o campo
primário resolvido através das técnicas de integração numérica de filtros digitais para o
DMV e quadratura com extrapolação para o DMH.
O código foi aplicado para simular dados de condutividade aparente do equipamento
EM34, que utiliza as duas fontes dipolares.
De acordo com os resultados apresentados podemos afirma que o código utilizado
tem um bom funcionamento já que os dados obtidos coincidiram com os dados de um
programa já validado. No estudo do modelo onde a heterogeneidade variou verticalmente
e lateralmente, verificamos que as respostas da modelagem são perfeitamente coerentes
com o comportamento do campo observado com o equipamento EM34, tanto nas situações
em que as condutividades aparentes são coerentes com os valores verdadeiros, quanto
naquelas em que elas não refletem corretamente as estruturas da subsuperfície. Neste
caso, uma maneira de gerar resultados melhores é realizando a inversão de dados.
O método de elementos finitos de aresta gera respostas acuradas, dependendo da qua-
lidade da malha construída para cada modelo. Entretanto, para isto o método demanda
uma quantidade grande de memória, uma vez que precisa resolver um sistema de equações
lineares de grande porte, com milhões de incógnitas.
O método de solução do sistema com o software PARDISO é capaz de trabalhar
apenas com os valores não-nulos desde a matriz original até chegar na matriz fatorada
na decomposição LU. Ainda assim, a quantidade de memória é bastante alta para gerar
dados de ambientes tridimensionais, na ordem de dezenas de gigabytes para os modelos
apresentados aqui.
Com relação ao tempo de processamento, evidentemente ele depende do computador
em que o programa estiver executando, porém para uma mesma máquina, os principais
fatores que influenciam no tempo de execução são conhecidos, estando relacionados com a
solução do sistema de equações gerado pelos elementos finitos e com o cálculo de campos
primários. Ambos dependem da exigência de discretização imposta na construção da
malha.
No caso da solução do sistema, a ordem da matriz é dada pelo número de arestas
na malha, que aumenta nas regiões ao redor dos pontos de observações por causa da
necessidade de uma discretização mais fina para se obter uma boa acurácia.
Já no caso do cálculo de campos primários, eles só são necessários nas regiões classifica-
das como heterogeneidades, que se sobrepõem ao meio subjacente estratificado. O número
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de arestas nestas regiões depende dos seus volumes e do nível de refinamento da malha
nelas, mas é sempre um número alto, que implica um tempo significativo para a avaliação
de campo primário, seja qual for o método de solução das integrais da transformada de
Hankel.
Os resultados apresentados aqui são de um programa de modelagem em desenvolvi-
mento. Para além destes, algumas etapas ainda serão desenvolvidas na continuidade do
trabalho no Programa de Pós-Graduação em Geofísica da UFPA, dentreas quais desta-
camos:
– Modelar o campo primário como aquele do espaço ilimitado homogêneo, que tem
solução analítica simples, o que significa economizar uma grande quantidade de
operações. Então, realizar uma análise comparativa com o método tradicional de
calcular o campo primário no meio estratificado.
– Implementar paralelismo no código para ser executado em arquiteturas de memória
distribuída (clusteres).
– Incluir a possibilidade de variação na permeabilidade magnética dos modelos, o que
pode ser útil para estudos voltados para a mineração.
Em uma versão mais completa, este código será disponibilizado como software livre
para toda a comunidade da Geofísica do Brasil.
REFERÊNCIAS
Cai, H., B. Xiong, M. Han, and M. Zhdanov, 2014, 3D controlled-source electromagnetic
modeling in anisotropic medium using edge-based finite element method: Computers
& Geosciences, 73, 164–176, doi: https://doi.org/10.1016/j.cageo.2014.09.008.
Chen, H., T. Li, H. Shi, H. Wang, and S. Li, 2018, An edge-based finite element method
for 3D marine controlled-source electromagnetic forward modeling with a new type of
second-order tetrahedral edge element: International Journal of Applied Electromag-
netics and Mechanics, 57, 217–233, doi: 10.3233/JAE-170153.
Frischknecht, F. C., V. F. Labson, B. R. Spies, and W. L. Anderson, 1987, 3, in Profiling
methods using small sources: SEG, volume 2 of Investigations in Geophysics, 105–270.
Geoscan, 2021, Método eletromagnético (EM): Entenda mais sobre!:
https://www.geoscan.com.br/blog/metodo-eletromagnetico-indutivo/ Acessado no
dia 14 de junho de 2023.
Han-Bo, C., L. Tong-Lin, X. Bin, C. Shuai, and L. Yong-Liang, 2017, Finite-
element modeling of 3D MCSEM in arbitrarily anisotropic medium using poten-
tials on unstructured grids: Chinese Journal of Geophysics, 60, 698–709, doi:
https://doi.org/10.1002/cjg2.30079.
Jacob Júnior, R. M., 2017, Estudo do método eletromagnético slingram com foco no
equipamento EM34-3: Trabalho de conclusão de curso, Universidade Federal do Pará.
Jin, J.-M., 2015, The finite element method in electromagnetics, third ed.: Wiley.
Key, K., 2012, Is the fast Hankel transform faster than quadrature?: geophysics, 77,
F21–F30, doi: 10.1190/geo2011-0237.1.
McNeill, J. D., 1980, Electromagnetic terrain conductivity measurement at low induction
numbers: Technical report, Geonics Limited.
Monk, P., 2003, Finite Element Methods for Maxwell’s Equations: Oxford University
Press.
Nunes, C. M. B., and C. Régis, 2020, GEMM3D: An edge finite element program for
3D modeling of electromagnetic fields and sensitivities for geophysical applications:
Computers & Geosciences, 139, 104477, doi: 10.1016/j.cageo.2020.104477.
Oliveira, D. V. d., 2018, Caracterização geofísica e estrutural de área cárstica na cidade
de sete lagoas-mg como subsídio para estudo geotécnico.: Dissertação, Universidade
Federal de Ouro Preto.
Qi, Y., H. El-Kaliouby, A. Revil, A. Soueid Ahmed, A. Ghorbani, and J. Li, 2019,
Three-dimensional modeling of frequency- and time-domain electromagnetic methods
with induced polarization effects: Computers & Geosciences, 124, 85–92, doi:
10.1016/j.cageo.2018.12.011.
Tenório, É., 2019, Improving apparent conductivity and inversion of magnetic dipoles
data: Tese de doutorado, Universidade Federal do Pará.
32
33
Wannamaker, P. E., J. A. Stodt, and L. Rijo, 1986, Two-dimensional topographic respon-
ses in magnetotellurics modeled using finite elements: geophysics, 51, 2131–2144, doi:
10.1190/1.1442065.
Wannamaker, P. E., J. A. Stodt, and L. Rijo, 1987, A stable finite element solution for two-
dimensional magnetotelluric modelling: Geophysical Journal of the Royal Astronomical
Society, 88, 277–296.
Ward, S. H., and G. W. Hohmann, 1987, Electromagnetic Theory for Geophysical Ap-
plications, in Nabighian, M. N., ed., Electromagnetic Methods in Applied Geophysics,
Vol. 1, Theory: SEG, volume 1 of Investigations in Geophysics, 130–311.
Ward, S. H., and G. W. Hohmann, 1988, Electromagnetic theory for geophysical applica-
tions, in Electromagnetic Methods in Applied Geophysics: Voume 1, Theory: Society
of Exploration Geophysicists, 130–311.
Werthmüller, D., 2017, An open-source full 3D electromagnetic modeler for 1D VTI media
in python: empymod: geophysics, 82, WB9–WB19, doi: 10.1190/geo2016-0626.1.
Werthmüller, D., K. Key, and E. C. Slob, 2019, A tool for designing digital filters for the
Hankel and Fourier transforms in potential, diffusive, and wavefield modeling: geophy-
sics, 84, F47–F56, doi: 10.1190/geo2018-0069.1.
Zhdanov, M. S., 2009, Geophysical Electromagnetic Theory and Methods, first ed.: [s.l.]:
Elsevier.