Aref - Solucionario - Nocoes de Matematica Vol 7

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7̂-2
Mareio Miranda de Carvalho
z,=1 cisO° 
z2=1 cis60° 
z3=1-cis120° 
z4=1 cis180° 
z5=1 cis240° 
z6=1cis300°
VOLUME 7
Números Complext 
Polmomros
AREF 7
VOLUME 7
SOLUCIONÁRIO 
MATEMÁTICA
Marcilio Miranda de Carvalho 
Márcio Miranda de Carvalho
Editora Vestseller 
Fortaleza 
Abril de 2016
índice
PREFÁCIO 5
Capitulo 1-0 Conjunto dos Números Complexos 13
Capitulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos 21
Capitulo 3 - A Geometria dos Números Complexos, 33
Capitulo 4 - A Trigonometria dos Números Complexos 39
Capitulo 5 - Operações na Forma Trigonométrica 43
Capitulo 6-0 Conceito de Polinômio Igualdade. 55
Capitulo 7 - Operações com o Polinômio Grau 59
Capitulo 8 - A Divisão dos Polinômios 69
Capitulo 9 - A Divisão de Polinômios em que o Divisor é de Grau 1 79
91Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
Capitulo 11 - Equações Algébricas 113
Capitulo 12 - Raízes Múltiplas 125
Capitulo 13 - Raizes Imaginárias 133
141Capitulo 14 - Relações de Girard
167Capitulo 15 - Raizes Racionais
Capitulo 16 - Equações Reciprocas 175
179Capítulo 17 — Raizes Comuns
183Capitulo 18 - Raizes Reais
Capítulo 1
O Conjunto dos Números Complexos
Capítulo 1-0 Conjunto dos Números Complexos
Capítulo 1
Questão - 1.7
a)
b)
x4 -1 = 0 (x2 - 1)(x2 + 1) = 0C)
x4 - 256 = 0 => (x2 -16)(x2 + 16) = 0 =>d)
Questão - 1.8
a)
b)
-16 =3 x/Ã = x/—16 = X 16 ■ V—1 = 4i4x2-16x + 17 = 0 A = (-16)2 - 4-4-17
14
x = ±4 
x2 = +4i
1_
2
X = ±1 
x2 =±i
x2 -16 = 0
x2 + 16 = 0
X = ±4 
x2 = ±x/—16
x2 - 1 = 0
x2 + 1 = 0
x = ±1
X2 = ±7=1
x2+5 = 0=>x2=-5=>x = ±7=5 => x = ±75 ■ 7=1 => x
Solução:
x2-2x+2 = 0=>A = (—2)2 - 4 • 1 • 2 = —4 => -7Ã = 7=4 = JÃ ■ x/=1 = 2i =>
Solução:
x2+9 = 0=>x2 = -9=>x = ±x/^9 => x = ±x/9 • 7^1 => x = ±3i
2+2 , .-------= 1 + i
2
-b±x/Ã 16 + 4Í
=> x =--------- =--------
2a 8
-b + x/Ã
=> x =------------
2a
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
C)
x2-6x + 17 = 0=>A = (-6)2 -4 -1 17 = -32 = VÃ = 7=32 = 732-7=1 = 472i
= 3±272i
x2 -10x + 40 = 0 => A = (-10)2 - 4 ■ 1 ■ 40 = -60 => VÃ = 7=60 = V6Õ • 7=1 =d)
Questão - 1.9
Solução:
x3 +1 = (x +1) ■ (x2 - x +1) = 0 =
Questão -1.10
a)
b)
c)
15
(2i)4 -2-(2i)3 + 8 (2i)-16 = 16i4 -16i3 +16i-16 = 16-16i + 16i-16 = 0
Portanto 2i é raiz da equação
x +1 = 0
x2 - x +1 = 0
(2 + i)3 -5(2 +i)2 + 9(2 +i)-5 = (8 +12i+6i2 + i3)-5 (4 + 4i +i2)+(18 +9i)-5
= (8 + 12i-6-i) +(-20-20i+5)+(18 + 9i)-5 = 0
Portanto 2 + i é raiz da equação
= 5± VÍ5i
Solução:
(-i)3-2(-i)2 — i-2 = i-2-(—1)-i-2 = i + 2-i-2 = 0
Portanto -i é raiz da equação
= 2VÍ5i=x=-b±7I = l°-±-Â^
2a 2
x = -1
i±Vãi
X =-----------
2
-b ± VÃ 6 ± 4 Vzi
=> X =---------------=----------------
2a 2
Capítulo 1-0 Conjunto dos Números Complexos
Questão - 1.14
z, + z2 = (1,4) + (-2,-2) = (1 - 2,4 - 2) = (-1,2)
z, + z2 + z3 = (1,4) + (-2,-2) + (0,3) = (1 - 2 + 0,4 - 2 + 3) = (-1,5)b)
c) z,.z2 = (1,4).(-2,-2)=(1.(-2)-4(-2)+,1.(-2)+4.(-2)) = (6,-10)
(z, ■ z2)■ (z3) = (6,-10)• (0,3) = (6 ■ 0 - (-10)(3), 6■ (3) + 0 ■ (-10)) = (30,18)d)
e)
f)
(z,+ z2 )2 = (-1,2)• (-1,2) = ((-1) ■ (-1)- (2) ■ (2),(-1) • (2) + (-1)■ (2)) = (-3,-4)J)
Questão - 1.15
Solução:
a)
b)
2x-3y
=>13x = 0=>x = 0=>y
16
5
2
(z, + Zj) = (1,4) +(0,3)= (1,7)
z2 ■ (z, + z3) = (-2,-2)- (1,7) = ((-2)• 1 - (-2) ■ (7), (-2) ■ 7 + (-2)• 1) = (12,-16)
(z, )2 = (z, ■ z,) = (1,4) ■ (1,4) = (1 • 1 - (4 • 4), 1 • 4 +1 ■ 4) = (-15,8) 
(z3)2 = (z3 z3) = (0,3)-(0,3) = (0 0-(3 3), 0-3 + 0 3) = (-9,0) 
(z,)2 + (z3)2 = (-15,8)+(-9,0) = (-24,8)
4x-6y = -15 
9x + 6y = 15
í 15 )
Correção no ENUNCIADO: (2x - 3y,3x + 2y) = ——, 5j
Solução: 
a)
x = 0
5 
y = —
2
15
2 => 
3x + 2y = 5
x = 2-2
y = - —+ 3
2
x + 2 = 2
y-3 = --=>
2
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 1.16
Solução:
Seja z = (a, b) então temos que:
a + 5 = 0 => z = (-5,5)a)
b-5 = 0
b) (1,0)^
c)
3 1 1 3
d) 25’25
Questão - 1.17
Solução:
Seja z = (a, b)
a2-b2 =0
2ab = -8
17
a = -5 
b = 5
4a 
T 
2a 
5
a = 2,b = -2 
a = —2, b = 2
, 2>l(a’b) l 5 ’ õJ =
4 .a + — = 5
5
b + - = -5
5
(.,b).<s,-s).(íg — => a 
25
-— => z 25
21 27
5 ’ 5
z2 = z.z = (a,b).(a,b) = (a2-b2,ab+ ab) = (0,-8)
5a + 5b = —
5 =>b =
-5a + 5b = —
5
a = 5- —
5 =>z =
b = -5 - —
5
-^ = 1
5 =>
+ ^ = 0
5
8a-4b = 10 , 1
2=> a = 1 => b = — =>
2a + 4b = 0 2
Capítulo 1-0 Conjunto dos Números Complexos
Questão - 1.19
Solução:
'lí
a) 2
z = (5,0) => z-1 =b)
z = (0,3) => z'1 =c)
Questão - 1.20
í— —V - ll3'13J
k 13/ k 137
b) Já vimos na questão 1.19 letra B que:
18
12 
13’
(1.1)
í— —1 ll3’13>
(17 7 
-kl3’l3.
= 0.1)
Z = í^ 
kl3 13>
ãM
12 __5_ 
13' 13.
12 __5_'| 
13’ 137 
=o,i)(x^r ' kl3 13/
(5,0)-’ =(l,o)
1-^-r
13
+ 1-^ = 
13j
12 _ 5
13 13
Solução:
a) Já vimos na questão 1.19 letra A que:
0_____ -3 'l = f 0 - —1(O)2 + (3)2 ’(0)2 +(3)2J “ l ' 3)
(5)2 + (0)2’(5)2 + (0)2) Ü'0)
^2 = (0,-5)-(5,0)’1 =(0,-5)- ^-°-(-5)’0 0 + ^-(-5)]=(0-1)
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Já vimos na questão 1.19 letra C que:c)
+ 00 = (0,1)
Questão - 1.21
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 1.22
= (1.3)s ■ (1,3)-3 = (1,3)2 = (1,3) ■ (1,3) = (1 • 1 - 3 • 3, 1 ■ 3 + 1 ■ 3) = (-8,6)
'l
= (-8,6)+(1,0)-(-1,0) = (-6,6)
19
Na pagina 23 do LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7 mostra-se que 
(1,0) é elemento neutro da multiplicação logo (1,0)7 = (1,0)
Solução:
(1.3) 5
(1.3) 3
_1)
. 3/
fA AlV = 134'34JJ
[0,-l)=[(-3.0-0.
5 (
= (-3,5).
= (-3,5)5 (3,-5)-5 = ((-3.5)1)5-((3,-5)-’)5 = ((-3,5)- (3,-5)’’)’ =
(0,3)-’ =(o,-|
L2A = (-3,0).(0,3)-’ = (-3,0).
(1.3)3 (3,-5)5
f „ 3 ,5 „ 5 c 3 ' 
k 34 34 34 34.
= (1,0)(1,0)(-1,0) = (-1,0)
(~3,5)5
(3,-5)5
= l(“3'5)Í32 + (-5)2,32 + (-5)2
5
= (-1,0)5 =(-1,0)2-(-1,0)2(-1,0) =
20
Capítulo 2
Forma Álgebra dos Números Complexos
Capítulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos
Capítulo 2
Questão - 2.11
(3-2i) + (2 5i) + (-1 + i ) = (3 + 2 - 1) + i.(-2 + 5 + 1) = 4 + 4i
b)
c) (3-2i)(2 + 5i) = 16 + 11i=>(zlz2)(z3) = (16 + 11i)(-1 + i) = -27 + 5i
d)
e)
f)
Questão - 2.12
a)
(1 + i)4 = ((1 + i)2 )2 = (1 + 2i + i2 )2 = (2i)2 = 4i2 = —4b)
(-1 - D6 = (-1)6(1 + i)6 = (1 + i)4 • (1 + i)2 = (-4)- (1 + 2i + i2)2 = (-4)• (2i)c) -8i
(1-i),0=((1-i)2)5d) (1 - 2 i + i2 )5 = (—2i )s = -32 i5 = —32i
Questão - 2.13
Solução:
22
(3 - 2i) - 3.(2 + 5i) + i.(—1 +i) 
i.(—2 —15 — 1) = — 4 — 18i
z, + z2 = (3- 2i) + (2 + 5i) = 5 + 3i (z, + z2)2 + (z3)2 = (5 + 3i)2 + (-1 + i)2 = 
= (16 + 30i)+(-2i) = 16-28Í
z,2 - z22 + z33 = (3 - 2i)2 - (2 + 5i)2 + (-1 + i)3 = (5 -12i) - (-21 + 20i) + (2 + 2i) =
= 28-30i
= (3 — 2i) + (-6-151) + (-1 -i) = (3-6-1) +
z = (13i - 6) +(2x + i) (3-2xi) = (13i-6) + (6x-4x2 i + 3i + 2x) = (-6+ 8x) + i(16-4x2)
Solução 1:
a)
Solução:
(-3i)5 = (-3)5 • i5 = -243i
z2.z3 = (2 + 5i).(-1 + i) = -7 - 3i => iz, + z2.z3 = i.(3 - 2i) + (-7 - 3i) = -5
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
16-4X2 = 0 => 4x2 =16=> x = ±2a)
16 - 4x2 * 0 => 4x2 *16 => x * ±2b)
c)
Questão - 2.14
x2 + y2 * 0
Questão - 2.15
2a-10>0=>2aè10=>a>5
a2-9 0 a2 < 9 —3 < a < 3b)
c)
Questão - 2.16
Solução:
a)
b)
y = 1
23
Solução:
(x + yi) • (y + xi) = (xy + xyi2)+ i(x2 +y2) = i(x2 + y2)
2a-10 < 0 =• 2a < 10 => a < 5 
a2-9>0=>a2>9=>a>3 ou a < -3
Fazendo as interseções temos que: 3<a<5oua<-3
(2x + yi) + (y - 2xi) = 23(1 - i)- 2 => (2x + y) + i(y- 2x) = 21 - 23i 
Í2x + y = 21 
=>|y-2x = -23
Solução:
ai(a- 2i) - (10 + 9i) = (2 a-10) + i(a2 - 9) 
a)
3 
-6-r8x = 0=>8x = 6=>x = —
4
(2x + yi)• (y - 2xi) = (1 -1) + (1 + i) => (4xy) + (-4x2 + y2 )i = 2
1 
X=2'
1
x = —,y = -1
2
=>y = -1=>x = 11
-4x2 + y2 = 0 
4xy = 2
Capítulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos
Questão - 2.17
a)
(x - 5i)-(2 + xi) = 14 => (2x+ 5x) + i(-10 + x2) = 14 S = 0b)
Questão - 2.18
(a+ bi)2 = 3 + 4i (a2 -b2)+2abi = 3 + 4ia)
=>a4 - 3a2 - 4 = 0 =o
(a + bi)3 = -27 => a3 + 3 a2 • (bi) + 3a • (bi)2 + (bi)3 = -27b)
(a3 - 3ab2)+i(3a2b - b3)
Vamos dividir em 2 casos:
Caso 1: b = 0
Neste caso temos que: a3 = -27 => a
24
Solução:
x(2+ xi)-6i2 = 9i => (2x + 6)+ x2i = 9i => x = -3
Solução:
Seja z = a + bi
a2=-1 
a2 = 4
a. (a2 - 3b2)= -27
b. (3a2-b2)=0
z = 2 + i
z = —2 — i
a2-b2=3
2ab = 4
7x = 14
-10 + x2 =0
=> a2 -
a = 2,b = 1
a = — 2,b = —1
a3 - 3ab2 = -27 
3a2b-b3 = 0
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Caso 2: 3a2-b2 =0
3a2 - b2 = 0 => b = ±j3a
b = -V3a
-27
Portanto a solução a = — => b =------ também vale.
Questão - 2.19
Solução:
a)
25
243
8
NOTA: observe que nosso gabarito não está de acordo com o gabarito do livro 
(3 3>/3 y
216
8
b = x/3a => a • (a2 - 9a2) = -27 => a
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7.Vamos verificar se -27:
2+ V-8 
z =------------
2
2-V=8 z =---------2
f3 3x/3.y 
[2+ 2 'J 
27 81x/3. 
----------F -------------- 1
8 8
w,vJ. 243 81V3. 27--------- 1------------------------- 1 = —
8 8 8
2{^J + 3-
3 3^3. 
z = — +------ 1
2 2
3 3-J3.
z =------------ 1
2 2
3 u 3^3 
— => b =------
2 2
=>a(a2-9a2) = -27=>a = |=.b = -^
z2 = 2z-3 => z2-2z+3 = 0=. A = 4-4 13 = -8=>
y f3j3.y 'J +l~'J=
3yÍ3
2
3
2
81s/3.
8
Capítulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos
z2 + 14z+50 = 0 => A = (14)2-4-1-50 =-4 =>b)
Questão - 2.20
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.21
Solução:
Vamos usar a formula de Moivre: (cosa + isena)" = (cos(na) + isen(na))
2
a)
2
b)
V2 + V2I
26
2n cos —
12
VÕ 1 .— + — • I
2 2
z = 1 + V2i 
z = 1 - -J2\
7t ít I
cos— + isen — =
4 4)
= 2 ■ cos — + isen— = 2 • i\ 8 8 ) <
—14 + V4'V-Q z -----------------------
2
-14-V4-x/^í z =----------------------
2
-14 + v-4 z =------------2
-14-7^4
Z” 2
2 + V8-V:ü 
z =------------------
2
2-Vs->/^i z =------------------
2
rt rt
cos— + isen —
12 12,
rt tt
cos —+ isen —
6 6,
„ ( 7t . 7t
2 • cos— + isen —<8 8,
2^ ( 
isen— =122 l
= 2-^ + ^
l 2 2 )
2 + 2V2Í 
z =------------
2
2-2V2Í 
z =-------------
2
-14 + 21 z = ----------
2
-14 - 2i 
z =------------
2
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 2.22
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.26
a)
b)
= 1c)
.•307533 = (i4yd)
i7 -i”-i42 - (j‘)'_(i‘).i + (j4 ).j3_(j4)4 -j —(j4)’° -i2 = 1 —i —i + i-t-1 = 2-3ii“-ise)
(1+i)28 = ((1 + i)2)’4 = (2i)'4 = 2’4 •i'4 = 2'4 (i4)3 !2 =-16384f)
Questão - 2.27
Solução:
a)
A = in+in’1 =i".(1 + i) =b)
c)
27
i(1 + i) = -1 + i 
-1-(1 + i) = -1-i 
-i-(1 + i) = 1-i 
1(1 + i)=1 + i
i’348 =(i4)337
Questão - 2.23
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Solução:
i38 =(i4)9-i2 =1.(-1) = -1
)’26i3 =1.(-1) = -i
A = = i2"*' = (i2 )n • i = (-1)" = ±i
A = £ = i2n = (i2)" = (-1)"=±1
)78888.j = 1.(i) = j
i807 =(i4)’
Capítulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos
Questão - 2.28
Solução:
Questão - 2.29
Solução:
i" = r => m - (-n) = 4k => m + n = 4k,k eZa)
b) => m- (n + 3) = 4k => m-n = 4k + 3,k e Z
Questão - 2.37
Solução:
a)
b)
c)
d)
= (2 + V3)+ (>/3 - 2).ie)
f)
28
10-i
1 +3i
1 +3i
1 - 3i
1 + 2i
3+2i
4 + 3Í 
3-4Í
10-i 1 - 3i 
1 + 3i' 1 - 3i
1+ 2i 3-2Í
3 + 2i 3 - 2i
4 + 3i 3 + 4i
3 - 4i' 3 + 4i
1 +3i 1 -3i
1 - 3i ’ 1 - 3i
4
5
_7_
13
3
5
13
im = j"’3
10 - 30i-i-3
10
12 + 16i + 9i -12
25
1 + 6i + -9
10
3-2Í + 6Í + 4
13
j3n.2 _j2-n = (j3 yi . j2 _ j2 ,j-n = (j2 ). (j3n _ j-n j = (-1) ^3n _ = rzi=0 
i"
_ 31
10 10
7 + 7i 7 + 7i 73 - 2i 
73 + 2i ~ 73 + 2i' 73 - 2i
6i 6 1+ „ „.
------= = - 3 + 3i 
1------ 1-i 1+i
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 2.38
Solução:
a)
b)
i77 - i43 2i
c)
d) = cosx-isenx
Questão - 2.39
Solução:
a)
b)
Questão - 2.40
Solução:
ac + bd = 0 ac = -bd
bc-ad * 0 bc s ad
29
a + bi 
c + di
x + 4i
2 + xi
30 + 6x * 0 
8 - x2 *0
1_
2
2
5
2
5
30 
x2 + 4 +
cosx - isenx 
cos2 x + sen2x
1
cosx + isenx
30 + 6x 
x2 + 4
1 cosx-isenx 
cosx +isenx cosx-isenx
1
-1 + 2i
30 
x2 +4
-li
2
i26 =
x * 5 
x*±2x/2
1 1 - i
1 + i'l-i
x + 4i 2-s- xi
2 + xi 2 + xi
1
1 +
8-x2 = 0=>8 = x2=>x = ±2x/2
a + bi c - di ac + bd
c + di c - di c2 + d2 l c2 + d2
. 8 - x2
+ 1—5-------
x + 4
1 _ 1 í
-3i “ -3i'í" 3
Capítulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos
Questão - 2.41
-a2 + 3a + 4 = 0 =>
Questão - 2.42
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.43
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.44
a)
b)
a2 -b2 -2abi (a2 - b2 - a) +1 • (-2ab - b) =>c)
30
Solução:
Seja z = ai
a = 4
a = -1
(a + bi) - 2.(a - bi) = 4 - 3i => - a + 3bi = 4 - 3i => a = - 4 e b = - 1 => 
z=—4—i
(a + bi) = (a - bi)2 => a + bi 
ía2 -b2 -a = 0 
|b(-2a-1)= 0
4 + (ai) • i 
ai +1 + i
Solução:
Seja z = a + bi
2(a + bi) — i.(a -bi) = 15i =>(2a-b) + i.(2b - a) = 15i
Í2b-a = 15
=> => b = 10 => a = 5 =o z = 5 + 10i
[2a-b = 0
4-a ai + i-1 -4 + a |f-a2 + 3a + 4Y
ai + i + 1 ai + i-1 " (ai + i)2 -1 + l (ai + i)2 -1 J'
w = 4i
w = -i
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Agora vamos dividir em 2 casos:
Caso 1: b = 0
a = 0 z = 0
Neste caso temos que: a2 - a = 0 =>
a = 1 z = 1
Caso 2: - 2a -1 = 0
Neste caso temos que: a = -
d)
Questão - 2.45
Solução:
Seja z = a + bi
a) iz + 3 - i4 + 3i => i(a + bi) + 3 - i = 4 + 3i => (-b -1) + i(a - 4) = 0 =>
a = 4
z = 4-i
b)
6a + 9b + 3 = 0
-3a + 2b-1 = 0
5
=> z =
13
c)
a-3b + 1 = 0
3a + b — 3 9a+ 3b - 9 = 00
31
4
5
3
5
2 
2
Claramente há uma falha no enunciado
Uma possível correção no enunciado: z = iz
z = i • z => a + bi = i(a - bi) => (a + bi) = b + ai => a = b => z = a + ai = a • (1 + i)
(1 + i)z +1 - 3i = -2iz => (1 + i)(a + bi) +1 - 3i = -2i • (a + bi) =>
=> (a + bi + ai - b) +1 - 3i = -2ai + 2b =• (a - 3b + 1) + i(3a + b - 3) = 0 => 
ía-3b + 1 = 0
1 z = —2
1 .
13'
(2 - 3i)z + 5- i= 4=>(2- 3i)(a+ bi) + 5 - i = 4 => (2a + 3b +1) + (-3a + 2b -1) = 0 
[2a + 3b + 1 = 0 [
4 3 
=> 10a = 8 => a = — => b = —
5 5
=> 13b = -1 => b =------=> a =------- —>
-6a + 4b - 2 = 0 13 13
1 V3.
Z =-----+-------1
2 2
^i
2
b = ^
2
b =-------
2
Capítulo 2 - Forma Álgebra dos Números Complexos
Questão - 2.46
Solução:
4 + 2i=>z = 4-2iz = (1 + 7i) + (3 - 5i)a)
z = (1 - 7i)+(3 + 5i) = 4-2ib)
z = (1 + 2i) ■ (3 - i) = 5 + 5i => z = 5 - 5ic)
z = (1-2i) +(3 + i) = (3+ 2) +i(-6+1)= 5-5id)
e)
f)
Questão - 2.47
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.48
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.49
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 2.50
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
32
1 + i 1+i 
1-i’l + i
1-i 1-i
1 + i ■ 1 - i
2i
2
1 + i 
z =----- =
1-i
1-i
z =----- =
1 + i
^-i=>z = i
2
Capítulo 3
A Geometria dos Números Complexos
Capítulo 3 - A Geometria dos Números Complexos
Capítulo 3
Questão - 3.3
Questão - 3.4
Questão - 3.12
Solução:
a)
|(2 + 3i) • (1 - i)| = |(5 + i)| = V(5)2+(1)2 = V26b)
|-6 - 8i| = V(-6)2 + (—8)2 = VÍÕÕ = 10c)
34
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 3.2
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
i| = |2.(-3-4i)-(1 + i)l =
Solução:
(x - 2yi) ■ (2 y- xi) = —16 i => (2 xy- x21- 4y2i + 2xyi2) = -16i
=> i(x2 + 4y2)= 161 => x2 + 4y2 = 16 => — + = 1 => — + — = 1
16 16 16 4
|(-3-4i)(2 +2i)|
|7 - 24i| = J?2 + (-24)2 = V625 = 25
x2 - y2 f 2xy V 2 2 n
ÍW+l7T7J',=>x "y =°^y = ±x
Seja z = a + bi 
z x + yi x + yi x -s- yi 
z x - yi x - yi x + yi
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
16 ■ (-1 + 2\/2i)4d)
(V2 + 2i)B
= |16| = 16
|z| = jx2 + y2 = 2 => x2 + y2 = 4a)
|z| = Çx2 + y2 2 2 => x2 + y2 > 4b)
c) |z| = 7x2 + y2 1 < 7x2 + y2 <2=>1<x2 + y2<4
35
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Portanto a representação gráfica é o conjunto complementar do circulo de 
centro (0,0) e raio 2
Portanto a representação gráfica é a coroa circular entre o circulo de 
centro(0,0) e raio 1 e o circulo de centro (0,0) e raio 2.
Portanto a representação gráfica é uma circunferência de centro (0,0) e raio 
2
Questão - 3.13Solução:
Seja z = x = yi
(x/2 + 2i)8 = ((Vã + 2i)2)4 = ((-2 + 2x/2i))4 = 2“ -(-1 + 2>/ã)4 
_______ , _ 16 (-1 + 2Vã)4
(~1 + 2x/ã)4 " (-1+2x/ã)4
Capítulo 3 - A Geometria dos Números Complexos
Questão - 3.14
2 + 4i => (Vx2 + y2 + x) + yi = 2 + 4i =>a)
b)
|z-1 + 2i| = 2=> 7(x-1)2 + (y + 2)2 = 2 =>(x-1)2 + (y + 2)2 =4c)
(x-1)2 + (y + 2)2 S4d)
Questão - 3.15
a) |z + 2| + |z-2| = 6=> V(x + 2)2 + y2 +V(x-2)2 + y2 = 6 =>
36
Solução:
Seja z = x + yi
|z - 3i| = |z + 2| => ,/x2 + (y-3)2 = V(x + 2)2 + y2 
=> -6y + 9 = 4x + 4=>4x + 6y-5 = 0
7x2 + y2 + x = 2 
y = 4
x2 + 16 = 4 - 4x + x2 => x = -3
|z-1 + 2i| < 2 => V(x-1)2 + (y + 2)2 $ 2 =>
=> x/x2 +16 = 2 - x =>
|z| + z =
Solução:
Seja z = x + yi
=> V(x + 2)2+y2 = 6 - V(x-2)2 + y2 => (7(x+ 2)2+ y2 )2 = (ô - 7(x-2)2 + y2)’ = 
=>(x + 2)2 +y2 = 36-12-7(x-2)2 + y2 +(x-2)2 + y2
3 • 7(x-2)2 +y2 = 9 - 2x => (3 • V(x - 2)2 + y2= (9- 2x)2
=> 9 (x2 -4x + 4) + 9y2 = 81-36x + 4x2 => 5x2 + 9y2 = 45 => — + — =
45 45 45
9 5
x2 v2Portanto são pontos da elipse — + = 1
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
b)
Questão - 3.16
Questão - 3.17
7l + (ac+bd) = => ac + bd = 4
ac + bd = 4
37
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ESTÁ FEITA NO FINAL DO LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
z
w
Solução:
Seja z = x + yi
w = cosa + i ■ sena => |w| = Vsen2a + cos2 a = 1
— = 8 => pJ = 8 => = 8 => |z|2 = 8 => |z| = 272
w |w| |w|
ac + bd
x2 y2
são os pontos internos da elipse — + — = 1
bc ad. . , /u.—-------i = (ac + bd) + (bc - ad)i =>
c + d
Solução:
|z| = 1 => Va2 + b2 = 1 => a2 + b2 = 1
|w| = 1 => 7c2 + d2 = 1 => c2 + d2 = 1
l^-^l = 'Z,+.Wj = |z + w| = |(a + c)+ (b+ d) • i| = 7(a + c)2 + (bfd)2
| z.w | |z|-|w|
= 7(a2 + b2) + (c2 + d2) + 2- (ac+ bd) = ^2 + 2 (ac+ bd) = V2 ■ 71 + (ac+ bd) = TÍO
c Vi 0
=> 71 + (ac+ bd) = =>
a + bi a + bi c - di
c + di c + di c-di
z2
w
Capítulo 3 - A Geometria dos Números Complexos
Questão - 3.20
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 3.21
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
38
Capítulo 4
A Trigonometria dos Números Complexos
Capitulo 4 - A Trigonometria dos Números Complexos
Capítulo 4
a)
b)
|z| = 7(5)2 + O2 = 5=>z=5i = 5(0 + i)=5-c)
d)
|z| = 7(-1)2 + (O)2 = 1 => z = -1 = 1 ■ (-1 + 0 -i) = 1 • (-1 + 0 i) = 1 ■ (cosn + i senx)e)
f)
|z| = 7(4)2 + (0)2 = 4 => z = -4i = 4■ (0-i) = 4■ (0-1 -i) = 4 -^cosy + i-senyjg)
|z| = V(3)2 +(-3)2 = 3^2 => z = 3 - 3i = 3V2 ■h)
40
__ 1____1_
.^"72|z| = 7(-1)2 +(-1)2 = V2 => z = -1-i = >/2-
+ -.J = 2.
Questão - 4,1
Solução:
|z| = ^32 + 02 = 3 => z = 3 = 3 (1 + 0 i) = 3 (cos0 + i sen0)
n ncos— +1- sen —
2 2,
p: ( 5n . 5n'= v2 ■ cos — + i - sen—l 4 4 ,
|z| = 7(-3)2 + (373)2 = 6 => z = -3 + 3^i = 6 [~| + ^"iJ
„ ( 2n . 2n'|= 64 cos— +1 - sen —l 3 3 )
ti n
cos —+ i-sen-
6 6.
f 1 .'i=6rrTT
1 i) 75 ^il-^.^ = 72^—-TJ-
__ 3____ 3 . j = 
3j2 3V2 J ~
7n . 7774cos— + i- sen —
4 4 )
|z| = ^(5/3)2 +12 = 2 => z = 'J2> + i = 2 ■ ’1
= 3V2.(-^-f .i] = 3^.f
SOLUCIONAR 10 - ARÉF 7
Questão - 4.2
Solução:
a)
b)
-Tã-ic) z = 2
Questão - 4.3
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 4.4
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
41
_ í H 7T
z = 6 • cos— +1 • sen —l 3 3>
75 . 75
2 2
3n . 3n 
z = cos — +1 • sen — =
4 4
7n 7n
cos— + i • sen —
6 6 .
i-—'l = 3 + 373i
2 J12
r 75
2
42
Capítulo 5
Operações na Forma Trigonométrica
Capítulo 5 - Operações na Forma Trigonométrica
Capítulo 5
Questão - 5.5
Solução:
15 15
a)
2
= (2)’5 ■
b)
2
■=)
2 2
= (2)' (2)'
-10f 1 Vã.Y -10d)
2 2
-10
20n
COS • COS
3
44
2 r
7 7t 7 7T
cos — + sen — i
4 4 >
_ 2~10
(-1 + a/3)-10
= (2>/2)-18
( 20"Y)+ sen-------- ik 3 J )
2’io
75tt 75it
cos------+ sen-------
6 6
= 2-’° _ 2~i o
2~io
227
= 2-’°
2’5
( 4n 4n
= cos-----f sen —
\ 3 3
3tt 3it .'j
cos— + sen—i =
2 2 )
2n 2ti
cos------r sen—i
3 3 .
í 2it 2tt 7
■ cos— + sen — i 
<3 3 )
i | = (2)15 -ícos — + sen— =
7 l 2 2 )
60
= (cos 80ti + senSOni) = 1
= (2)15 -^cos^-+ sen^-i(-V3 + i)’5 = (2)’5f-^ + lij
(-2-2Í)-’8 MY18
126ti 1267t.
cos--------+ sen-------- 1
4 4 ,
2ii + 211
U 2 )
{ V2 Y18
(2 2'}
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 5.6
Solução:
Questão - 5.7
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 5.8
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 5.9
Solução:
a)
b)
45
3n 3n Acos — + sen—i =4 4 )
5ti 5tc Acos — -sen—i =
4 4 )
= 2" '^cos— + sen
=2"{cos^ + senÇi)^
=> — = 2n=>n = 6
3
nn=> — = n n = 3
3
n V _n C nu n7t?\ 
—i = 2 • cos—+sen—i =>3 ) k 3 3 )
5n õn.'! ( cos— + sen—ij -
71 7X V (
cos — 4- sen —i - i
4 4 ) k
35ti 35tiA ( cos—— + sen—— ij = <
= 2n -^cos-^-+ sen(1 + 73.j)"=2".^ + ^iJ
(J2 72? fV2 72./ (
I. 2 ’ 2 '] [ 2 2 '] V
f 5ti 5ti (= cos — + sen — i - i
k 4 4 ) <
k 2 2 ) l 2 2 }
(1+^.ir = 2".^ + ^ij nir
3
HTt
3
Capítulo 5 - Operações na Forma Trigonométrica
Questão - 5.10
Solução:
( Vã iY n
a)
n
b)
Questão - 5.15
Solução:
a)
= — ~Jq — V2iz =
46
= 8 cos — + 2kit + senl <3 ) k
2^{C0SÍt)
71 7T . ]
COS—+ COS — I
3 3 )
= 2V2 ■ cosí — + kn + sen — + k n
l <6 ) <6 )
= (2)" -I cos—-+ sen----- i => — = — => n = 9
Z = 2V2/cos(â + sen íã'^
nn 7t
=> — = — => n = 3
6 2
p = \ 42 +(4V3)2 =8
Z2 = 4 + 4x/3i = 8 +
(-V3+i)" = (2)^-^ + ^ij
._.n ( 5n7t 5n7r A
= (2) ■ cos------+ sen-------1l 6 6 )
T? = 4 + 4x/3i = 8-I- + 
12
n ( 5n 5tt A
= (2) • cos — + sen—1 =
\ 6 6 /
zo\n ( 571 5^
= (2) • cos — + sen—1 =
\ 6 6 /
371
2
71
3
5n
6
571
6
nK
6
(-Vã+i)" = (2)n|^
( 5nn
6
( ^+iiY 
.2 2 j
5hti
6
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
b)
z3 = -27i = 27- (0 -i)
3((0)+ (1)-i) = 3i
c)
z
47
3n ou 'l l— + 2kn -i
z = 2.(cos^ + sen(^.^ =
z = 2-í cosí — | + senf — | -i| =
l V 4 ) < 4 ) )
:'!-íí_22/3kf_3l jl 
, 2 ) < 2) )
+sen^.i) =
^r&Hí-
rr4M>íí
z = 2.(cos(Çj + sen(Ç).i) =
z = 3.(cos(Ç)
z = 3- cos —l l 6 )
p= V(-16)2+(0)2 =16
3-U-
(n 2kjt'l .'l 
+ sen —+------ i =I4 4 ) )
(n\ ) Í-J2> 'l.sen^-J.iJ = 2.p^H+|^|.i|
z4 = -16 = 16 ■ (-1 + Oi) = 16(cos(n + 2kn) + sen(n + 2kn) ■ i) =>
=> z = ^/16(cos(ti + 2kn)+ sen(7t + 2krt)-i)
( (it 2kn
= 2- cos — +------l V4 4
2(“’(â
í( Íj2\ 'l r r
17 V2W 'l r r
((^2\ ( VTl r r
p = V(-27)2 + (0)2 = 27
= 27^cos^^- + 2kit^ + sen^
+ 2kn^ + sen(
1 (3<t) Sení 6
3ir
2
2kn
3
3n
2
Capitulo 5 - Operações na Forma Trigonométrica
Questão - 5.16
Solução:
x3 + 8i = 0 => x3 = —8i = 8(0 + (—1) • i)a)
=> x = a 8-
x = 3 •
x6 -1 = 0 => x6 = 1 = 1(1 + (O)- i) = 1 • (cos(2ti + 2kn) + sen(2a: + 2kn)- i)b)
WJ-X
1-((-1) + (0).i) =-1
1 ((1) + (0)-i) = 1
48
10z
2
2
3rt
~6~
fll7t'| .'l 
+ sen ----- -l =k 6 ) )COS -----k 6 )
(2n 2kn'l +senlwH
x = 2.(cos(Ç)
x=2HS + sen(Ç) i) = 2 ((0)+ (1) i)= 2i
. ( flOaA í
X = 1 -I cos|^-^—J + sen^-
. ( f12íó 
k k 6 )
... 2knk (
— +------ + sen3 ) k
MíH*1
=> x = ^/1-(cos(2n + 2kjt)+ sen(2n + 2kn) = 1 í cosí — + 
\ \ 6
x-l{cos(^)+sen(^).i)=1.((l) +
= 1{C0s(T) + sen®-i) = 1O
x = 1'(cos(T) + sen(T)'i) =
x = 1-(cosÍT) + sen(Si) =
o í (3n k ( 
== 81 cos^— + 2knJ + sen|^
ní í3"= 2 .cos k k 6
2k7t'| .'l 
tJ-J
(3n O1 A /37t oi 'l •'l 
cos|^—+ 2k7rJ + sen(^— + 2kitj il =
2 l 2 J
2kn
T".
ÍJ3] ?) 1 .
UJJ 2+l2jJ
.'l 1 ÍJ3> .
........ .. +lTj"
ll
n í< V3^ 
2\[~'
3n
2
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 5.17
z = 3-
3-((1) + (0 i)) = 3
b)
2
(a + bi)2 = 5 + 12i => (a2 - b2) + 2abi = 5 +12i 5
a
49
y = 27
y = -8
í ^kkíl 
. 2 ,
Vamos dividir em 2 casos
Caso 1: x3 = - 8
Pelo exercício resolvido 5.12 as raízes são x = - 2 ou x = 1 + V3Í
x3 = 27 
x3 - -8
í ( 
COS ---l l 3 .
, ( 76^1 .'l
z = 3-^cos^—J +sen^—J -il =
=> x = ^/27(cos(2rt + 2k^) + sen(2n -í- 2 k n) - i)
z = 3-(cos(t)
2k7t'l (3 J+senlj
1 ír3? ( 2 J ’J 2 '
à .? 7 3) l ■ ..
=> a4 - 5a2 - 36 = 0 => (a2 - 9) • (a2 + 4) = 0
Caso 2: x3 = 27
p = V(27)2 + (O)2 = 27
x3 = 27 = 27 ■ (1 + 0 ■ i) = 27(cos(2n + 2kjt) + sen(2n + 2k 7t) - i)
_ ( í 2n
= 3 ■ cos — +
< < 3
+ sen(Ç).i) = 3.((-l)
=3.^-1)^
2kn>?|
a=1b = -2iec = 3i => A = (-2Í)2 - 4 ■ 1 - 3i) =
Solução: 
a) y - x3
2rr +___
(4)
í 3J3] ?!
ía2-b2 = 5_
|2ab = 12 “
a = 3 => b = 2
a = -3 => b = -2
y2 -19y - 216 = 0 => A = (-19)2 - 4-1-(-216) = 1225 =.
19 + 35
=>y~ 2
9
4 ' '
= -4 + 9 + 12i = 5 + 12i => VÃ = V5 + 12Í
Capítulo 5 —Operações na Forma Trigonométrica
=> X = => X =
Questão - 5.18
Questão - 5.19
z4
, ( í471 
= 3- cos — +k l 3
z = 3- COS
z = 3• cos
50
1 fa
6 .
17n
6
-b + VÃ
2
-b + VÃ 
2
+ i'Sen(t)h
f17*'! A + sen ----- -i =k 6 ) )
Solução:
Z = 3(C0S(f)
f (z = 3- cos — + 
k k 3 )
( .'j í( 31 C 3j3>
l 2 J 'J 2J+( 2 JJ
í 1) (f3V3'| / 31 .'l
+ l 27 'J Ll 2 J + \C2j"J“[l'
C0SS+(Sen®-ÍÍ
rr4Mâ-H¥)
—+2i
2
3
2
Solução:
Vz = 8=>z = 512
z = -4y => -64y3 = z3 = 512 y3 = -8
Pelo exercício resolvido 5.12 temos que y = -2ouy = 1±>/3i logo z = 8 ou 
z = —4 ± 4a/3í
2Í + 3 + 2Í
2 =>x =
2i - (3 + 2i)
2
= 34{c°s(v) + i-senÍTB =
4ít 1 (
— + 2krr + sen .3 ) l
T—)')^-+ 2kft) => <j81^cos^
2kn1 .1
= 81^cos^^ + 2krt^ + sen^
3r
2kn1 í4n
----- +sen — +4 ) l 3
o. V3? 81lrrj
íi^
z = 3 ^cos|^— J + sen[^— J -i I = 3 H i
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 5.20
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Problemas Suplementares
Questão -1.1
Solução:
Questão -1.2
= 1 + i(tg(a)+ cotg(a)) -1 = 0 + i(tg(a)+ cotg(a)) =>
Questão - I.3
51
Solução:
z = (tg(a) + i).(cotg(a) + i)=> z = (tg(a).cotg(a) + i(tg(a) + cotg(a)) + i2 =
R.(z) = 0 
lm(z)= tg(a) + cotg(a)
x2 + y2 =13 
xy = 5
b = 0 
b = —1
a2-b2 = b
2ab = a
Solução: 
z = a + bi 
z2 =iz=>(a + bi)2 =i(a-bi)=>
x2 + y2 + 5i = 13 + xyi => x2 + y2 + 2xy = 23 => (x + y)2 = 23 =>
a = 0=>b2+b = 0=>
. 1 ^3
b = — => a = ± —
2 2
=> x + y = +V23
(a2-b2)+2abi = b + ai 
z = 0 
z = -i
yÍ3 1. 
Z =-----+ —I
2 2
i_ 
z " 2 + 2
Capítulo 5 - Operações na Forma Trigonométrica
Questão - 1.4
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 1.5
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão -1.6
Questão -1.7
Solução:
AB = (a + bi) - (b + ai) = a - b + (b - a) • i =>
Questão -1.8
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 1.9
52
Solução:
z — <o = 1 — i => z — co = 1 + i
cosa = a - b 
sena = b - a 
Ícos(270°+a) = cos270° •cosa - sen270° • sena = b - a 
[sen(270° + a) = sen270° - cosa + cos270° • sena = b - a 
z = A + (cos(270° + a) + isen(270° + a)) = b + ai + (b- a + i ■ (b— a)) 
= 2b - a + bi
Solução:
Seja z = x + yi
a) (1-2i)(x+yi)= (x+2y)+i(-2x + y)
6 6 1 — i w — uiz2 - co2 = 6 => (z — co)■ (z + co) = 6 => z o- co =------ => z + co =---------------- = _vl = 3 — 3i
1+i 1 + i 1 —i
6 - 6i
2
SOLUCIONÃRIO - AREF 7
b) (1 - 2i)(x+ yi) = (x+ 2y) + i ■ (-2x + y)
c) (1-2i)(x+ yi)= (x+2y) + i-(-2x + y)
d) (1-2i)(x+yi) = (x+2y) + i(-2x + y)
53
x + 2y = 0
x + 2y < 0
-2x + y = 0 
x + 2y > 0
Para que este numero real é necessário que: 
-2 x+ y = 0 => y = 2x
A representação geométrica está feita NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE 
MATEMATICA VOLUME 7
A representação geométrica está feita NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE 
MATEMATICA VOLUME 7
A representação geométrica está feita NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE 
MATEMATICA VOLUME 7
A representação geométrica está feita NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE 
MATEMATICA VOLUME 7
Para que este numero real positivo é necessário que: 
íy = 2x 
| x > 0, y > 0
Para que este numero real positivo é necessário que: 
x 
y = ~2 
x > 0,y < 0
Para que este numero real é necessário que:
„ x
x+2y = 0=>y = - —
Capítulo 5 - Operações na Forma Trigonométrica
Questão —1.10
a)
a - 2b = -3
b)
sena = 1
c) -2i => z’
d)
54
A representação geométrica está feita NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE 
MATEMATICA VOLUME 7
r: ( (2n 2króV2 • cos — +-----l l 8 8 )
Solução:
Seja z = a + bi
iz + 2z + 3 + 3i = 0 =• i ■ (a + bi) + 2 ■ (a - bi) + 3 + 3i = 0 =>
=>(-b + 2a + 3)+i(a-2b + 3) = 0
í-b + 2a = -3
z = -1 + i=> |z| = 7(-1)2 + (1)2 = V2 
[cosa = -1 3rt
=> arg(z) = —
4
:'8 = (—2i)8 = 28i8 = 28
-b + 2a = -3 =>b = 1=>a = -1=>z = -1 + i
-2a + 4b = 6
17 + z-i = 17-1 + i-i = 16
V16 = Ç/16 • (cos(2ti + 2kn) + isen(2rt + 2kn) =
( 2ti 2kn'|'j+1- sen — +-----
<8 8 ))
Capítulo 6
O Conceito de Polinômios Igualdade
Capítulo 6 — 0 Conceito de Polinômio Igualdade
CAPÍTULO 6
Questão - 6.6
Solução:
Questão - 6.7
Solução:
Questão - 6.8
Solução:
7- (2)3 - 5 ■ (2)4 + 25 = —8 + 8 —8 + 56 —80 + 32 = 0
Questão - 6.9
Solução:
a + 2b-c-3
Questão - 6.10
Solução:
56
1_
2
a + 2b - c = 3
0a - 5b + 5c = -10
0a-8b + 6c = -10
0
2a- b +3c+ 4 = 0 =>
3a-2b + 3c + 1 = 0
a + 2b - c = 3
2a — b + 3c = —4 =>
3a- 2b + 3c = -1
a + px + x2 = p - (P + 1)x + x2
a + 2b-c = 3
Oa - 40b + 40c = -80 => 10c = -30 =>c = -3=>b = -1=>a = 2
0a + 40b-30c = 50
P(x) = -8 + 4- 2- 2- (2)2
F(1 + 2i) = — 1 + 5i - (1 + 2i) — 4 • (1+2i)2 — 3i • (1 + 2i)3 + (1 + 2i)4 = —1 +51-10-4 
— 161 + 16 — 3i • (1 + 6i -12 — 8i) + (1 + 4 ■ 13 ■ (2i) + 6 ■ 12- (2i)2 + 4 • 1 • (2i)3 +(2i)4 
= 1 -111-31 + 18 + 361 -24 + 1 + 8Í-24- 32i + 16 = -12-2i
a = 0 => a = B = -,P = -(P+1) p
f(2) = 10-16 + 24 -32 + 32 = 18
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 6.11
Logo a soma dos coeficientes é zero
Questão - 6.12
Solução:
57
Solução:
Pelo exercício resolvido 6.2. a soma dos coeficientes é P(1)
P(1) = 0
P(-1) = 0
= 0
b + a +1 = 0
=>b = 0=>a = -1 
b-a-1 = 0
P(1) = (- 1+ 1)’00
58
Capítulo 7
Operações com os Polinômios Grau
Capítulo 7 - Operações com os Polinômios Grau
Capítulo 7
Questão — 7.8
Questão - 7.9
b)
Questão - 7.10
60
Se a = 8, b = -9ec=8 teriamos que:
P(x)saA(x) + bB(x) + cC(x) = 8x- 9(x+x3)+8(x+ x3 + x5) = 8x5 - x3-9x
Se a = 8, b=-9ec=3 teriamos que:
P(x) = a-A(x) + bB(x) + c-C(x) = 8 - x- 9(x+ x3) + 3 (x+ x3+ x5)= 3x5 -6x3 +2x 
Portanto o nosso gabarito está correto.
(x3 + x2 - x -1) (x2 - 2x-1) = (x5 - 2x4 - x3) + (x4 -2x3 - x2) 
+ (-x3 + 2x2 + x)+ (-x2 +2x + 1)= x5 -x4 -4x3 + 3x + 1
NOTA: Observe que nosso gabarito não está de acordo com o gabarito LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Solução:
a) (2x4 - x3 + x2 + x +1) • (x2 - 3x +1) = (2x6 - 6x5 + 2x4) + (-X5 + 3x4 - x3) + 
+ (x4 -3x3 + x2) + (x3 -3x2 + x) + (x2 -3x + 1)= 2x6 -7x5 + 6x4 - 3x3 - x2-2x + 1
Solução:
a) x = 0 => P(0) + 0 P(2 - 0) = O2 + 3 => P(0) = 3
x = 1 => P(1) + 1 • P(2 - 1) = 12 + 3 => P(1) = 2
x = 2 => P(2) + 2 • P(2 - 2) = 22 + 3 => P(2) + 2 -P(0) = 7 => P(2) = 1
Solução:
P(x) = a- A(x) + b B(x)+c C(x)=> 3x5-6x3 + 2x = ax + b(x + x3)+ c (x +x3+x5) 
a + b + c = 2
=> ■ b + c = -6 =>b = -9=>a = 8
c = 3
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
b) RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 7.11
Questão - 7.13
61
f(x).[g(x)+h(x)] = x3 que tem grau 3 
f(x).[g(x)+h(x)] = x“ que tem grau 4 
> f(x).[g(x)+h(x)] = x5 que tem grau 5 
Se f(x) = x3, g(x) = x3 + x2 e h(x) = - x2 => f(x).[g(x)+h(x)] = x6 que tem grau 6
Solução:
f(x) = (x - a)2 (b-c) + (x — b)2 -(c-a) +(x -c)2 (a -b) + (b - c)-(c-a)-(a -b) 
= (x2 -2ax + az)-(b-c)+(x2 - 2bx + b2) -(c-a) + (x2 - 2cx + c2)(a-b) + 
+(bc-ab+ ac-c2)(a - b) = (x2b-2abx + a2b- x2c + 2acx- a2c) +
+(x2c - 2bcx + b2c - x2a + 2abx - ab2) + (x2a - 2acx + c2a - x2b + 2bcx - c2 b) + 
+(abc- a2 b + a2c - ac2 - b2c + ab2 - abc + bc2) = 0
Solução:
Pelo teorema da pagina 103 DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7 
Temos que o grau de g(x) + h(x) < 3.Como f(x).[g(x)+h(x)] é não nulo então 
f(x).[g(x)+h(x)] temos grau 3, 4, 5 ou 6.
Exemplos:
Se f(x) = x3, g(x) = x3 + 1 e h(x) = - x3: 
Se f(x) = x3, g(x) = x3 + x e h(x) = - x3: 
Se f(x) = x3, g(x) = x3 + x2 e h(x) = - x3
Questão - 7.12
Solução:
(x + c)3 + b ■ (x + d) = x3 + 6x2 +15x +14 => x3 + 3x2c + 3xc2 + c3 + bx + bd =
= x3 +6x2 +15X + 14
=> x3 + x2(3c) + x(3c2 +b) + (c3 +bd) = x3 + 6x2 + 15x +14 =>
3c = 6
3c2 + b = 15 => c = 2 => b = 3 => d = 2
c3 + bd = 14
Capítulo 7 - Operações com os Polinõmios Grau
Questão - 7.14
=> m3x3 + 3m2x2 ■
2
2 3
x3
=> m3x3 + 3 • m2x2 ■ n + 3 • mx ■ n2+ n3 = x3 + 4x2 + ax + b =>
62
Solução:
Se f(x) é cubo perfeito, existe um polinômio g(x) tal que: f(x) = (g(x))3
NOTA:Observe que nosso gabarito não está de acordo com o gabarito LIVRO 
NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
64 
x+ —
27
n2+ n3 = x3 + 4x2 + ax-*-b
m3 = 1
3m2n = 4
3mn2 = a
n3 = b
a=31-(â =
n3 = ÊÍ
27
n + 3.mx.n2 + n3 = x3 + 4x2 + ax + b =>
Observe que se f(x) tem grau 3 então g(x) é um polinômio de grau 1 .Isto é, g(x) 
é da forma: 
g(x) = mx + n 
(mx + n)3 = x3 + 4x2 + ax + b => (mx)3 + 3 ■ (mx)2 ■ n + 3 • mx ■
=> m = 1 n = -
3
Note que
Portanto nosso gabarito está correto
l3> 27
m3 = 1
3m2n = 4
3mn2 = —=>m = 1=>n = ^
3 3
n3 = —
9
Agora vamos ver o gabarito do LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
16 16(mx + n)3 = x3 + 4x2 + —x + — => (mx)3 + 3 (mx)2 n + 3 mx-n2+ n3 =
3 „ , 16 16= x3 + 4x2 + —x + —
3 9
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 7.15
m2x2 + 2mnx + n2 =
Como (a + bx)2 + (a'+b'x)2b)
— e dai concluímos queentão pela letra a temos que : — = e
Questão - 7.16
S2 =a,+ a2 =
63
Isso mostra que o gabarito do LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7 
está errado.
c
m2n2 = (a2 + (a’)2)-(b2 + (b')2) 
(mn)2 = (ab + a'b’)2
2
2
22
2
4 3
2 => a2 = 2 r = a’ " a>
Solução:
sn = y => S, = a, = y
S = — 
n 2
e (a + cx)2 + (a'+ c’x)2 são quadrados perfeitos 
a b ac.. . .
a' b' a1 c'
— logo (b+ cx)2 + (b'+ c’x)2 é quadrado perfeito, 
b'
Solução:
a) Se f(x) é quadrado perfeito, existe um polinómio g(x) tal que: f(x) = (g(x))2
Observe que se f(x) tem grau 2 então g(x) é um polinómio de grau 1 .Isto é, 
g(x) é da forma: g(x) = mx + n 
(mx + n)2 = (a + bx)2 + (a'+ b'x)2 
x2 • (b2 + (b')2) + 2x • (ab + a'b') + (a2+ (a')2 
m2 = b2 + (b')z 
• mn = ab + a'b’ 
n2 = a2 + (a')2
=> (a2 + (a')2 )■ (b2+ (b')2) = (ab + a'b’)2 => a2b2 + a2(b')2 t (a ’)2b2 + (a')2(b')2 = 
= a2b2 + 2 aa'bb'+ (a')2(b’)2 => (ab'- a'b)2 = 0 =>
ab'-a'b = 0 => — = — 
a' b'
3 1 , =--------- = 1
2 2
Capítulo 7 - Operações com os Polinômios Grau
Questão - 7.17
= 3ax2 + x(2b - 3a) + a - b + c = x2
g(n)-g(n-1) = n2
2n3
Questão - 7.18
64
Segunda Parte: Deduzir a formula 
g(1)-g(O) = 1 
g(2)-g(1) = 4 
g(3)-g(2)=9
=> a - — => b 
3
1 l. 1=>a = — =>b=> —
3 2
3n2 + n
6
111
g(n)-g(0) = 1 + 4 + 9 + ... + n2= — n2+— n2+— n 
3 2 6
n(2n2+3n + 1) n(n+ 1)-(2n+1)
6 “ 6
= 3ax2 + x(2b-3a)-*-a-b + c = x2-x=>
Solução:
Primeira parte: Determinar g(x)
g(x) = ax3 + bx2 + cx + d=>g(x)-g(x-1) = ax3 + bx2 + cx + d -(a(x -1)3 + 
+b(x -1)2 + c(x -1) + d) = 3ax2 - 3ax + a + 2bx - b + c =
3a = 1
2b-3a = 0
a - b + c = 0
1 , , 1 s 1 2 1c = — =>g(x) = —x+ —x+—x
6 3 2 6
Solução:
Primeira Parte: Determinar P(x)
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d => P(x)~ P(x-1) = ax3 + bx2 +cx +
+d - (a(x -1)3 + b(x -1)2 + c(x -1) + d) = 3ax2 - 3ax + a + 2bx - b + c =
3a = 1
2b-3a = -1
a-b + c = 0
„ 1 , , 1 a 10=>c = --=>g(x) = -x3--x
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
P(n)-P(n-1) = n (n-1)
Questão - 7.19
Solução:
ax4 + bx2 + c = ka2x4 + (2ac - b2)x2 + c2
65
Agora vamos dividir em 2 casos:
Caso 1: c = 0
Se c = 0 então temos que:
Segunda Parte: Deduzir a formula
P(1)-P(0) = 10
P(2)-P(1) = 2-1
P(3)-P(2) = 3 • 2
a(ka-1) = 0
b(bk + 1)= 0
ka2 - a = 0 
b + b2k = 0
ka2 = a
-b2k = b
n(n2 -1)
3
f(x) = ax2 + bx + c
f(x2) = k f(x)• f(-x) => ax4 + bx2 + c = k • (ax2 + bx + c)• (ax2 - bx + c) 
=> ax4 + bx2 + c = k • (ax4 - abx3 + acx2 + abx3 - b2x2 + bcx + acx2 - bcx + c2)
ka2 = a
2ack -b2k = b 
c2k = c
Como o polinómio tem grau 2 então a # 0, logo temos que:
1 a = —
k
b = 0
b = --
k
a = 0
ka -1 = 0
b= 0
bk +1 = 0
a = 0
1 
a = —
k
b = 0
b = -- 
k
P(n)-P(0)=10 + 2-1 + 3 2 + ... + n (n-1) = in3-|n = =
Capitulo 7 - Operações com os Polinómios Grau
2 1
Portanto as soluções deste caso são: (a,b,c)
Questão - 7.20
Solução:
x2+px + q = (x-p)(x-q)=>x2+px + q = x2+ (-p- q)x + pq
=> p = 1 => q = -2
66
a.(ka -1) = 0 
2ack - b2k = b =>
c(ck-1) = 0
Caso 2: q t 0 
í pq = q 
l-p-q = p
pq = q
-p-q = p
Caso 2: c # 0 
ka2 = a
■ 2ack - b2k = b => 
c2k = c
Portanto as soluções deste caso são: (a,b,c)= (^,0,0^
Jíllílí---HkVkJAk' k'k,
Agora vamos dividir em 2 casos:
Caso 1: q = 0
Se q = 0 então temos p = 0
11 2
=> 2 ■ - ■ - k - b2k = b => - - b2k = b => b2k2 + bk - 2 = 0 => (bk -1) ■ (bk + 2) = 0 
k k k
b = -
k
b = -2
k
f(ka-1)= 0
1 1
2ack -b2k = b => c = -,a = - 
k k 
ck -1 = 0
SOLUCIONÁRIO -AREF 7
Questão - 7.21
Solução:
B = 6 => C = 7 => D = 1
Questão - 7.22
Solução:
x = x2 ■ (A + B) + x(-A + B + C)+ (A + C) 1
Questão - 7.23
=> 1 = x(A+B) + 2 A =>
2)
67
A
x + 1
X 
x3 — 1
Solução:
Primeira Parte: Calcular A e B
2
2
2
2
x3 = A(x -1)• (x- 2) • (x- 3) + B(x- 1) • (x- 2) + C(x- 1) + D 
(-6A + B)x2 + (11A - 3B - C) + (-6A + 2B - C + D)x3 = Ax3
A = 1
-6A + B = 0
' 11A-3B-C = 0
-6A + 2B-C + D = 0
A(x + 2) < 
x(x +1)
Bx
(x + 1)(x + 2)
_______ 1_______
(x + 1)(x+2)(x + 3)
A B
x(x + 1) + (x + 1)(x + 2)
A + B = 0 A 1
2A = 1 2'
1
n(n + 1)(n + 2)
1
n(n + 1)(n
Bx + C 
x2 - x + 1
1 1 1
=> C = — => A = — => B = —
3 3 3
1
x(x + 1)(x+ 2)
=> A = — => B = —
2
Segunda Parte: Provar que: 
1 1 1
1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5
x _ A-(x2-x + 1) (Bx + C)-(x + 1) 
x3-1 (x + 1)-(x2-x + 1) (x+1)-(x2-x + 1)
A + B = 0 
-A + B + C
A + C = 0
Capítulo 7 - Operações com os Polinômios Grau
Prova:
Questão - 7.24
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 7.25
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 7.26
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 7.27
3" +1 = 2 -(a0 - a2 ■■■ + a2n-2 + a2n ) ~ 30 + 32 + a4a.
68
2
2
2
2
2
2 
2-3
2
2
3- 4
2
2
4- 5
2
= _2__ 
1-2
2
=_2_.
2 3
1
- = -Í--
3 4
1
1-2-3
1 
2-3-4
1
1-2-3
1
2-3-4
1
3-4-5
1 
3-4-5
1
n(n + 1)(n + 2)
1
2 
n(n +1)
2
2
(n + 1)(n + 2)
1 
n(n+1)(n+2)
1 
(n+1)(n+2)
3" + 1
•■■+ a2n-2 + a2n =
Solução:
P(1)=3 = a0 + a, + a2 +... + a2n_, + a2n
P(-1) = 1 = a0 - a, + a2 - a3 +... - a2n_, + a2n
Capítulo 8
A Divisão de Polinômios
Capítulo 8 - A Divisão de Polinômios
Capítulo 8
Questão - 8.9
b)
c)
70
| x2 - 3x +1 
2x2 + 3X + 11
x5
-x5 -x“ + 2x3 
-x4 + 4x3 -6x 
x4 + x3 - 2x2 
5x3-2x2-6x 
-5x3 -5x2 + 10x 
-7x2 + 4x +4 
7x2 +7X-14
11X-10
Solução: 
a)
2x3 - 6x + 4 | x2 + x - 2
x3 - x2 +5x-7
x4 -4x3 +5x-6 | x3 +2 
-x4 -2x x - 4 
-4x3 + 3x - 6
-4x3 +8
3x + 2
2x4 - 3x3 + 4x2 - 5x + 6
-2x4 +6x3 -2x2_______
3x3 +2x2 -5x
-3x3 +9x2 -3x
11x2 -8x t-6
-11x2 +33X-11
25x-5
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
CORREÇÃO NO ENUNCIADO: A(x) = x5 - 2x4 - 6x3 + 8x2 + 5x - 6d)
Questão - 8.10
Questão - 8.11
Questão - 8.12
71
Solução:
Se temos um polinõmio P(x) de grau 5 dividido por um polinómio G(x) e o resto 
tem grau 4 então G(x) tem grau maior do que 4 logo só pode ter grau 5 portanto 
o quociente tem grau zero. Assim temos que m = 5 e q = 0.
38-8a = 6
b-4 = 2
Solução:
Fazendo a divisão do polinõmio 2x3 + ax2 -10x + b pelo polinõmio x2 - 3x +1
Obtemos quociente 2x + (a + 6) e resto (3a + 6)x + b - a - 6
Portanto para que 2x3 + ax2-1 Ox + b seja divisível por x2-3x + 1 devemos ter 
a = -2eb = 4.
Solução:
Como o resto da divisão de x5 - 2x4 + ax3 - 7x2 + 3x + b por x2 + 4 é 3x + 2 
então existe um polinõmio Q(x) tal que:
x5 - 2x4 + ax3 - 7x2 + 3x + b = (x2 + 4)Q(x) + 3x + 2
x = 2i => (2i)5 - 2(2i)2 + a(2i)3 -7(2i)2 + 3(2i)+ b = ((2i)2 + 4)Q(x)+ 3(2i)+ 2
a = 4
b = 6
|x3 -3x2 -x + 3 
x2 + x - 2
x5 - 2x4-6x3 + 8x2 + 5x + 6 
-x5 + 3x4 + x3 - 3x2
x4 -5x3 +5x2 + 5x
-x4 + 3x3 + x2 - 3x
-2x3 + 6x2 + 2x-6
2x3 -6x2 -2x + 6
(0)
Capítulo 8 - A Divisão de Polinômios
Questão — 8.13
I x2 - x - 2
(a2 - a - 2)a)
b)
Questão - 8.14
=> d = b3
72
Í2c-2b2 =0
[d - bc = 0 
x3 + 3bx2 +3cx+ d = x3 + 3bx2 +3b2x + b3 = (x + b)3 
x2 + 2bx + c = x2 + 2bx + b2 = (x + b)2
b + a2 -3a-2 = 0 
c + 2az-2a-4 = 0
Solução:
x3 + 3bx2 + 3cx + d 
-x3 - 2bx2 - cx 
bx2 + 2cx + d 
-bx2 -2b2x-bc 
(2c-2b2)x + d-bc
| x2 + 2bx + c 
x + b
Para que a divisão seja exata é preciso que 
b = -a2+3a + 2 
c = -2a2 + 2a + 4
Portanto o quociente é x2 - ax +
Para que a divisão seja exata é preciso que: 
c = b2 
d = bc
Solução: 
x" - (a + 1 )x3 - (a2 + 4) x2 + bx + c 
x2 - ax + (a2 - a - 2)_________
-ax3 +(a2 + 2)x2+bx 
-ax3 - ax2 - 2ax_____________
(a2 - a-2)x2 +(b-2a)x + c 
-(a2 - a - 2)x2 + (a2- a-2)x + 2a2 - 2a - 4 
(b + a2 - 3a - 2)x + (c + 2a2 - 2a- 4)
SOLUCIONÂRtO - AREF 7
Questão - 8.16
Solução:
Questão - 8.17
Questão - 8.18
f(x) = (x2 -1) Q(x) + (6x+2)
73
m = —23
n = 9
p = 21
Daí temos que: 
m + 24 = 1
■ n-9 = 0 => • 
p-18 = 3
Solução:
6x4 + mx2 + nx + p 
-6x4 + 12x3 -9x 
12x3 + mx2 + (n - 9)x 
-12x3 + 24x2 -18 
(m + 24)x2 + (n - 9)x +p -18
| 2x3-4x2+3
3x + 6
Questão - 8.15
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
1 
Portanto o quociente é — Q(x) e o resto é o mesmo.
A(x) = B(x) ■ Q(x) + R(x) = (2B(x)) ■ (^Q(x)] + R(x)
Solução:
Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Como f(x) dividido por x2 -1 dá resto 6x + 2 então
f(1) = 8
f(-1) = -4
Capítulo 8-A Divisão de Polinômios
=> f(x) = 2x3 - 3x2 + 4x+ 5
Questão - 8.19
Questão - 8.20
74
Como f(x) dividido por x2 +1 dá resto 2x + 8 então 
f(x) =(x2-1) Q'(x)+(6x+2)
a = 2
b — —3
c = 4
d = 5
Para que a divisão seja exata é preciso que:
3a - 3m2 = 0
■ 3b - 3am = 0=>a = m2=>b = am = m3=>c = bm = m4 
c - bm = 0
b + d = 2 
d-b = 8 
a + c = 6 
c - a = 2
| x2 +px + q 
x2-px + (p2-q)
| x3 + 3mx2 +3ax + b 
x + m
Solução: 
x4 +1 
-x4 - px3 - qx2 
-px3 - qx2 
px3 +p2x2 +pqx 
(p2 - q)x2 + pqx +1 
-(p2 - q)x2 - (p3 - pq)x - (p2q - q2) 
(-p3 + 2pq)x + (-p2q + q2+1)
f(i) = 2i + 8 
f(-i) = -2i + 8
Dai temos que: 
a+b+c+d=8
-a + b-c + d = -4
-ai - b + ci + d = 2i + 8
ai-b - ci + d = -2i + 8
Solução:
x4 + 4mx3 + 6ax2 + 4bx + c 
-x4 -3mx3 -3ax2 - bx 
mx3 + 3ax2 + 3bx + c
-mx3 - 3m2x2 - 3amx - bm 
(3a - 3m2 )x2 + (3b - 3am) x+ c- bm
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
p = 0=jq! = -1=>q «R
p(-p2 +2q) = 0 =>
-p2 + 2q = 0 p2 = 2q q2 = 1 => q = ±1 =>
q(-p2 + q) = -i
Questão - 8.21
Se A(x) | C(x) então rx + s = 0 logo C(x) | B(x)
Questão - 8.22
então P(x)
75
Solução:
Seja R(x) o resto da divisão então R(x) = ax2+bx + c 
(x2 + 1)(x +1) + R(x)
Como P(x) dividido por x + 1 dá resto 4 então
P(x) =(x + 1)Q(x)+ 4 => P(1) = 4 => R(1) = 4=>a + b + c = 4
I x2 + px + q 
px-q
px3 + (p2 - q)x2 + rx - q2 + s
-px3 -p2x2 -pqx
-qx2 +(r- pq)x-(q2) + s) 
qx2 +pqx + q2
rx + s
Para que a divisão seja exata é preciso que: 
í-p3+2pq = 0 
(-p2q + q2 +1 = 0
Solução:
px3+ (p2+q)x2+ (2pq + r)x + (q2+s) | x2 + px + q
-px3 -p2x2 -pqx px + q
qx2 + (pq + r)x + q2 + s
-qx2-pqx-q2
rx + s
p2 = 2 => p = ±\Í2 
p2 = -2 => p í R
Portanto temos que: q = 1 e p = ±V2
Capítulo 8 - A Divisão de Polinômios
P(x) = (x2 +1)Q'(x) + (2x+3)
Questão - 8.23
encontramos quociente a e resto (a + b)x + (c-a)Fazendo a divisão
Questão - 8.24
- a
76
Como P(x) dividido por x2 +1 dá resto 2x + 3 então 
P(i) = 2i + 3 íf 
P(-i) = -2i + 3=>(F
R(i) = 2i +3 =-a + bi +c 
R(-i) =-2i+3 = a-bi + c
Assim temos que:
a + b + c = 4
• 2i + 3 = -a+ bi + c =>
-2i + 3 = a-bi + c
a + b + c - 4
2 = b
c-a = 3
Solução:
Seja R(x) = ax2 + bx + c o resto da divisão de f(x) por x3 + 1
Usando o resultado do exercício 8.6 temos que:
O resto da divisão de R(x) por x + 1 é 2 logo f (-1) = 2 =>a-b + c = 2
O resto da divisão de R(x) por x2 - x + 1 éx-6 
ax2 + bx + c
x2 — x + 1
Daí montamos o sistema:
a-b + c = 2
• a + b = 1
c - a = -6
Logo R(x) = 3x2 + 2x - 3
Portanto f(x) = (x3 + 1).(x+2) +(3x2 + 2x - 3) = x4 + 2x3 + 3x2 - x - 1
| x2 +1 
ax2 + bx
Solução:
-ax4 + bx3 + < 
-ax4-ax2 
bx3 - ax2 
-bx3 - bx 
-ax2 - bx + c 
-bx + (c + a)
2a + c = 3
=>a = 3=>c = -3=>b = -2 
c-a = -6
=> c = — => a = — => R(x) = — x2 + 2x +
2 2 2 2
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
C2 + ac-bc = 12(111)
VÃ = 2a
Portanto este caso não tem solução
77
ab = 2
b2 - a2 - bc - ac = -12 =>■ b2 - a2 -bc - ac = -12(11)
c2 + ac - bc-ab = 10
Caso 1: c = b - a
Substituindo em II temos que
b2 - a2 - bc - ac = -12 => b2 - a2 - c(a + b) = -12 => b2 - a2 -(b-a)(a + b) = -12 
=> b2 - a2 - (b2- a2) = -12 => 0 = -12
Somando (II) +(lll) temos que:
c2 - 2bc + (b2 - a2)= 0 => A = (-2bc)2 -4,c2.(b2 - a2) = 4a2 
íc = b + a
1c = b-a
ax4+bx3+c 
-ax4 - ax 
bx3-ax + c 
-bx3 -b 
-ax + (c - b)
= -ax + (c-b)Assim temos que r,(x) = -bx + (c + a) e r2(x)
Logo r,(x). r2(x) =
(-bx + (c + a)).
(-ax + (c-b)) = x2(ab) + x(b2 -a2 -bc-ac)+(c2 + ac-bc-ab)
ab = 2(l)
| x3 +1
ax + b
Caso 2: c = b + a
Substituindo em II temos que
b2 - a2 - bc - ac = -12 => b2 - a2 - c(a + b) = -12 => b2 - a2 - (b + a)(a + b) = -12
=> b2 - a2 - (b2 + 2 ab+ a2) = -12 => -2a2 - 2ab = -12=>a2=4=>a = 2=>b = 1=>c = 3
78
Capítulo 9
A Divisão de Polinômios 
em que o Divisor é de Grau 1
Capítulo 9 - A Divisão de Polinòmios em que o Divisor é de Grau 1
Capítulo 9
Questão - 9.18
Solução:
a)
b)
CORREÇÃO NO ENUNCIADO: A(x) = 4x3 + x2c)
80
4x3 + x2
—4x3 + (—4-4i)x2
(-3-4i)x2
(3+ 4i)x2 + (-1+7i)x
(-1 + 7i)x
(1-7i)x + (8 - 6i)
(8-6I)
| x +1 + i________________
4x2 + (-3-4i)x + (-1 +7i)
| x + 3
2x4 -6x3 +13x2 -39X + 109
| x-1__________
x3 -x2 + 3x-3
2x5 -5x3 -8x 
-2x5 - 6x4 
-6x4 - 5x3 
6x4 +18x3 
13x’-8x 
-13x3 -39x2
-39x2 -8x 
39x2 +117x 
109x 
-109X-327
(-327)
x" -2x3 +4x2 -6x + 8
-x4 + x3_____________
-x3 +4x2
X3 — X2
3x2 -6x
-3x2 +3x
-3x + 8
3x - 3
(5)
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
d)
e)
f)
Questão - 9.19
81
a + b + c = 1
Oa - 2b - 3c = 4
Oa + Ob + c = 6
X3 - X2 - X 
-x3 + (1 - 2i)x2 
(—2i)x2 - x 
(2i)x2 + (—4 - 2i)x 
(-5-2i)x 
(5 + 2i)x-9 + 8i 
(-9 + 8i)
| x - 1 + 2i___________
x2 +(-2i)x + (-5-2i)
4x3 -8x2 +6x + 10
-4x3 +16x2_______
8x2 +6x
-8x2 +32x
38X+10
-38X+152
(162)
6x2-7x + 8
-6x2 - 8x
-15x + 8
15x + 20
(28)
Daí montamos o sistema:
a+b+c=1
■ 4a + 2b + c = 8 =>
9a + 3b + c = 27
=>c = 6=>b = -11=>a = 6=> f(x) = 6x2 -11x + 6
Solução:
Seja f(x) = ax2 + bx + c
Como f(x) dividido por x - 1 dá resto 1 então f(1) = 1
Como f(x) dividido por x - 2 dá resto 8 então f(2) = 8
Como f(x) dividido por x - 3 dá resto 27 então f(3) = 27
| 2x-8
2x2 +4x + 19
| 3x + 4
2x-5
a + b + c = 1
Oa - 2b- 3c = 4 =>
Oa - 6b - 8c = 18
Capítulo 9 - A Divisão de Polinõmios em que o Divisor é de Grau 1
Questão - 9.20
Questão - 9.21
Questão - 9.22
-an1 0 0 0 0 0
a2 (-1)nan-a"1a - a
82
Solução:
Utilizando o dispositivo de Briot- Rufini temos que:
Solução:
Como f(x) é divisível por x + 2 então f(- 2) = 0
Logo 5 • (-2)4 - 6(-2)3 + 4 • (-2)2 - m(-2) + 2 = 0 => m = -73
(-1 )nan'1
Portanto o quociente é Q(x) = xn'1 - axn’2 +a2xn’3 +...+ (-1)nan’’ e o resto é (-1)"an 
- a". Logo se n é par o resto é zero e se o n é impar então o resto é -2an.
-a3 ... (-1)n’2an-2
Solução:
Usando a definição do dispositivo de Briot-Rufini temos que: 
b = 4 
4a + 13 = 1
■ a + c = -5 =>
-5a + d = 4
4a + e = 0
b = 4
a =-3
c =-2
d = -11
e = 12
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 9.23
an01 0 0 0 0
a2 a3 ... 2an1a a
Questão - 9.24
=> b = -5 => a = 2
Questão - 9.25
Não foi dado o polinômio portanto é impossível resolver esta questão
Questão - 9.26
83
Solução:
Utilizando o dispositivo de Briot- Rufini temos que:
Solução:
Como f(x) é divisível por x + 3 então f(- 3) = 0
Logo a(-3)3 + b■ (-3)2 -28(-3) + 15 = 0 => -3a + b = -11
Como f(x) dividido por x - 3 dá resto - 60 então f(3) = - 60
Logo a(3)3 + b ■ (3)2 - 28(3) +15 = -60 => 3a + b = 1
Dai podemos montar o sistema: 
[-3a + b = -11 
3a + b = 1
a"'1
= 0 e portanto f(x) é divisível por
Portanto o quociente é Q(x) = xn'1 + axn'2 + a2xn'3 +...+ a"'1 e o resto é (-1)nan - 
a". Logo se n é par o resto é zero e se o n é impar então o resto é 2an.
a"'2
Solução:
a) Note que x2 - 3x + 2 = (x —1).(x - 2) 
Observe que f(1) = (1 - 2)10° + (1 - 1 )50 - 1 
x- 1
Capítulo 9 - A Divisão de Polinômios em que o Divisor é de Grau 1
(0)2n -2.0-1 = 0 e portanto f(x) é divisível porb)
- 2,(-1) - 1 = 0 e portanto f(x) é
2n - 1
Logo f(x) é divisível por x. (x + 1 ).(2x + 1)
Questão - 9.27
Solução:
Questão - 9.28
Questão - 9.29
(ax + b)
84
Solução:
P(X) = (x - 1 )Q((x) + 3
P(x) = (x - 2)Q'((X) + 4
P(X)= (x-1)(x-2)Q"((x)
x = - a (a + b + x)n - a" - bn - x" = bn - an - b" - (-a)" = 0 portanto o polinómio 
é divisível por x + a
x = - b => (a + b + x)" - a" - bn - xn = a" - an - b" - (-b)n- 0 portanto o polinómio 
Ê divisível por x + b
Solução:
2x5-15x3+12x2+7x-6 | x3-7x + 3 
-2x5 +14x3 -12x2 2x2-1 
-x3 +7x -6
x3 -7x + 6
(0)
= 0 e portanto f(x) é
= (-1 1)2n
(0 + 1 )2"Observe que f(0) = 
x
Observe que f(—1)
divisível por x + 1
Observe que f(0) = + 2” +
divisível por (2x + 1)
(1)2n
Observe que f(2) = (2 - 2)W0 + (2 - 1)50 - 1 = 0 e portanto f(x) é divisível por 
x —2
Logo f(x) é divisível por x2 -3x + 2 = (x -1).(x - 2)
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
=> a = 1 => b = 2 => R(x) = X + 2
Questão - 9.30
A(i)+A(-i) = 2b => b =
A(-i)-A(i) = 2ai=>a =
= R(x) = i-
Questão - 9.31
+ 2x"-3x3 +2x + 5 = (x2
Questão - 9.32
85
Solução:
A(x) = (x2 + 1).Q(x) + ax + b
Solução:
A(x) = (- x2+ 5x - 6).Q(x) + ax + b
A(i)= ai + b
A(-i)=-ai + b
P(1) = a+b = 3
P(2) = 2a + b = 4
Solução:
Note que x2+ x-2 = (x + 2) (x-1)
Seja R(x) = ax + b o resto da divisão de
A(2)=2a + b = 1
A(-1) = -a + b = 3
A(-i)-A(i)
2
A(i)+A(-i)
2
A(i)+A(-i)
2
A(-i)-A(i)
2i
+ x - 2) .Q(x) + ax + b
Note que se x = 1 então temos que a + b = 7
Note que se x = - 2 então temos que - 2a + b = 25
Resolvendo o sistema temos que b = 13ea=-6 logo R(x) = - 6x + 13
7 2 2 7
=> (2a + b) + (-2a + 2b) = 7 => b = — => a = - — => R(x) = -—x + —
3 3 3 3
Dai temos que x'°°
x’00
. ^A(-i)-A(i)
+ 2x" - 3x3 + 2x + 5 por x2 + x - 2
Capítulo 9 - A Divisão de Polinómios em que o Divisor é de Grau 1
Questão — 9.33
Questão - 9.34
Solução:
Questão - 9.35
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 9.36
a) f(x) = (ax+ b)(q(x))+ r (aq(x)) + r
b)
a a. a
86
a+ b+ c = -1
Oa - 2b - 3c = 3 =ob = -3=>c = 1=>a = 1=>
0a+ 2b+ Oc = -6
f(x) = (ax + b)(q(x)) + r => x.f(x) = (ax + b)(x.q(x)) + rx 
g(x) = x.f(x) = (ax + b)(q,(x)) + R 
Note que f(-|) = g(-|) =
Solução:
f(x) = (ax + b)(q(x) + r
R => = R
a
P(x) = (x- 1)(x + 2)Q((x) + 2x + 5=o P(1) = 2+ 5 = 7
P(x) = (x - 1 )Q'((x) + R(x)=> P(1) = R(1) = 7 => R(x) = 7
P(x)= (x- 1)(x + 2)Q((x) + 2x + 5=>P(-2) =-4 + 5 = 1
P(x) = (x - 1 )Q'((x) + R(x)=> P(-2) = R(-2) = -4 + 5 = 1 => R(x) = 1
Solução:
P(x)= (x-1)Q((x)-1
P(x)= (x - 2)Q’((x) - 1
P(x)= (x + 1)Q"((x)+ 5
P(x) = (x2 - 1 )(x - 2)Q’"((x) + (ax2 + bx + c)
P(1) = a+ b+ c = -1
=> ■ P(2) = 4a + 2b + c = -1 =>
P(-1) = a- b+c = 5
=> R(x) = x2 - 3x + 1
SOLUCIONÀRIO - AREF 7
,2
2
Questão - 9.38
Questão-9.39
87
Solução:
f(x) = (x- 1 )q(x) + a =>f(1) = a e f(2) = q(2) + a 
f(x) = (x - 2) Q(x) + b => f(2) = b => q(2) = b - a 
Logo o resto da divisão de q(x) por x - 2 é b - a
Solução:
Pelo exercício resolvido 9.16 temos que: 
f(x)-6 = (x- 1)(x-2)(x — 3}.q(x)
Como f(x)- 6 tem grau 3 então temos que: 
f(x)-6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3).k
Solução:
ax* + bx3 +1
-ax* + 2ax3 -ax2
(2a + b)x3-ax2+1
(~2a + b )x3 + (4a + 2b )x2 - (2a + b)x
(3a+2b)x2+(-2a-b)x + 1
-(3a + 2b )x2 + (6a + 4b )x + (-3a - 2b)
(4a + 3b)x + (-3a - 2b + 1)
Questão-9.37
CORREÇÃO NO ENUNCIADO: O polinômio f(x) .quando dividido por x - 1, 
dá resto a, dividido por x - 2 dá resto b. O quociente f(x) por x - 1 é q(x). 
Qual é o resto de q(x) por x - 2?
|x;-2x + 1______________
ax2 + (2a + b)x + (3a + 2b)
c) f(x) = (ax + b)(q(x)) + r => x2.f(x) = (ax + b)(x2.q(x)) + rx' 
h(x)= x.f(x) = (ax + b)(q,(x)) + R 
Note que f(-~) = =
Como f(x) é divisível por x - 4 então f(4) = 0
f(4) - 6 = (4 - 1 )(4 - 2)(4 - 3).k => k = - 1 => f(x) = -(x - 1 )(x - 2)(x - 3) + 6
R=>^ = R 
a
Capitulo 9 - A Divisão de Polinõmios em que o Divisor é de Grau 1
=>a = 3=>b = -4
Questão - 9.40
=■ q = 4a5, p = -5a"
Questão - 9.41
1 -1 0 0 0 n -1 1 - 2n n
1 1 0 0 ... 00 n -1 - n
1 1 1 1 1 0n
1 1 2 3 .... 2nn
Portanto p(x) é divisível por (x — 1 )2 mas não é divisível por (x - 1)3.
88
Solução:
Utilizando o dispositivo de Briot- Rufini temos que:
Para que a divisão seja exata é preciso que: 
f 4a + 3b = 0 
l-3a-2b + 1 = 0
Solução: 
x5 + px + q 
-x5 + 2ax4 -a2x3 
2ax4 -a2x3 
-2ax4 + 4a2x3 -2a3x2 
3a2 x3 -2a3x2 +px 
-3a2 x3 + 6a3x2 - 3a4x 
4a3x2 + (p-3a4 )x +q 
-4a3x2 + 8a4x- 4a5 
(5a4 +p)x + (q-4a5)
Para que a divisão seja exata é preciso que: 
(5a4 + p = 0 
|q-4a5 = 0
I x2 -2ax + a2
x3 + 2ax2 + 3a2x + 4a3
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
+ ...+ X + n
Questão - 9.42
Solução:
Utilizando o dispositivo de Briot- Rufini temos que:
n .a" a"1 -1 0 0 0
a2 a3 ...1 (1 -n)a' 0a a
3a2 4a3...1 2a 0a
Portanto p(x) é divisível por (x - a)2.
+ 2a.xn‘3 + ...+
Questão - 9.43
Solução:
Utilizando o dispositivo de Briot-Rufini temos que:
2 - 1- bb1
-a + 2— a + 3b - a + 1 -a + 11 1 -a + 1
- 12
01 1 b-1 - 1 1-1
1 b-1b-21 0 b-1
89
Quando dividimos p(x) por (x - 1)3 obtemos quociente q(x) = xn + x' 
e resto 2n
- n .a"'1
Portanto - a + 2 = 0 logo a = 2
Utilizando o dispositivo de Briot-Rufini temos que:
1-2 b -b
Quando dividimos p(x) por (x - a)2 obtemos quociente q(x) = x"’2 
(n-1)a"’2 e resto zero
(n-1)an‘2
a"’2
Capítulo 9 - A Divisão de Polinómios em que o Divisor é de Grau 1
-12
1 1 - 1 0b — 1 1-1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 0
1 1 2 3 3
Portanto temos que m = 3
= 1
H
1
.3
90
1
1
1
1
1
3
9
1
4
16
1
2 
4
1
4
16
x
1
2
4
■=
1
(-1)u1- 2
4
1
3 = -2x3 + 6x2 - 6x + 2 = -2(x -1):
9
Portanto b - 1 = 0 logo b = 1
Utilizando o dispositivo de Briot-Rufini temos que: 
| 1 -2 b -b
1
3
9
1 
+(x3)-(-1)lM. 1
1
x3
1
4
16
1
(x).(-1)1'2 • 1
1
1
4 + (x2)-(-1)1'3-|l
16
1
2
4
Questão - 9.44
Solução:
x2
1
3
9
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 9.45
-2a 19 -20P
2p4 - ap3 + 19p2 - 20p + 122p2 - ap + 192 2p - aP
8p3 - 3ap2 + 38p - 206p2 - 2ap + 192 4p — aP
= 10a =
Questão - 9.46
=>a = 2=>b = 5=> f(x) = (x - 1)2(2x + 5)- 9 = 2x3 + x2 - 8x - 4
91
Solução:
Utilizando o dispositivo de Briot- Rufini temos que:
Solução:
Pelo enunciado concluímos que: 
f(x) = (x+2)q(x) 
f(x) = (x+1)q,(x) + 3 
f(x) = (x-1)2(ax + b)-9 
í-18a + 9b-9 = 0 
= l—4a -i- 4b = 3
f(-2) = 0
f(-1) = 3
f(x) = ax3 +(b-2a)x2 + (a-2b)x + b-9
8p3- 3ap2 + 38p- 20 = 0 => a =
Pelo teste da raiz racional as raizes racionais são os divisores de 9.Portanto os 
candidatos a raízes inteiras e positivas são 1,3 e 9. Note que h(1) = -13, 
h(3) = — 75 e h(9) = - 1701. Logo a única raiz inteira e positiva é 2.
-8p3-38p + 20
-3p2
Dai temos que:
2p*-ap3+19p2 - 20p+12 = 0 => a = ~2p< ~19p2 + 20P ~12
-P
-8p3 -38p + 20
-3p2
-2p‘-19p2 20p-12 = -8p3-38p+20 = + + 36 = 0
-P3 -3p2
=>(p-2)(-2p3 -4p2 + 11p-18)= 0
Seja h(x) = -2p3 -4p2 +11p-18
Capítulo 9 - A Divisão de Polinômios em que o Divisor é de Grau 1
Questão - 9.48
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 9.49
Portanto f(x) é divisível por x2 + 1.
92
Se dividirmos 2x3 + x2-8x-4 por (x - 1 )2 obtemos quociente 2x + 5 e resto-9 
Se dividirmos 2x3 + x2 - 8x + 1 5 por (x - 1 )2 obtemos quociente 2x + 5 e resto 10 
Portanto o gabarito do livro está errado.
NOTA: OBSERVE QUE NOSSO GABARITO NÃO CONDIZ COM O GABARITO 
DO LIVRO
Solução:
Note que x2 + 1 = (x - i)(x + i)
Pela formula de Moivre: (cosa + isena)" = (cos(na) + isen(na)) 
f(i) = (coscp + isencp)" -cos(n<p)- isen(mp)) = 
= cos(n<p) + isen(ncp)-cos(n(p)-isen(n<p)) = 0 
f(-i)= (cosrp-isenrp)" -cos(n<p) +isen(n<p)) = 
= cos(n<p)- isen(ncp)-cos(n<p) + isen(n<p))= 0
Questão - 9.47
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Capítulo 10
Outros Temas Importantes
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
Capítulo 10
b)
.('.íjx-.
C)
d)
.2
e)
f)
Questão - 10.7
94
Exercícios Propostos
Questão - 10.6
Usando a [ 
p’(x) = 3(5x:
Usando a definição do polinõmio derivado temos que: 
5-yp-(2 6)x5
Solução: 
a)
p'(x)= (3 ^x2-(4.|)x3+( 
= x2 - 6x3 +13 x4-12x5 + 4x6
propriedade IV temos que: 
>x2+7)2.(10x) = 30x.(5x2 + 7):
Usando a definição do polinõmio derivado temos que: 
p'(x) = (3.5)x2 - (2.3)x + 1 = 15x2 - 6x + 1
Usando a propriedade IV temos que: 
p'(x) = 5.(1 + 5x - 8x2)4.(5 - 16x)
Solução:
Seja f(x) = ax2 + bx + c
Assim temos que: f'(x) = 2ax + b 
f(0)= 4
• f’(1)=2=>
f'(2) = 1
c = 4
1 1
2a + b = 2=-a = — => b = 3 => f(x) = —- x2 + 3x + 4
4a + b = 1
Usando a propriedade IV temos que: 
p'(x) = m(a + bx)m’1.(b) =(bm).(a + bx)"”1
p(x) = (x2+ x + 1)- (x + 4)= x3 + 5x2 + 5x + 4
Usando a definição do polinõmio derivado temos que: p'(x) = 3x2 + 10x + 5
SOLUC1ONÃRIO - AREF 7
Questão-10.8
Questão-10.9
Questão-10.10
95
a = 1=>b = 2=>c = 3
a = -1 => b = -2 =■ c = -3
f(x)= x2 +2x + 3 
f(x) = -x2 -2x-3
Solução:
P’(x) = 15x2 +2ax + b
P”(x) = 30x + 2a
P(x) + k(x-1).P'(x)+(x2-1).P"(x)s 0
=>(5x3 +ax2 + bx + c)+k (x-1) (15x2 + 2ax + b)+ (x2 -1)(30x + 2a)
= (35 +15k)x3 + (3a + 2ak -15k)x2 + (b+ bk - 2ak - 30)x + (c - bk - 2a)
35 + 15k = O
3a + 2ak -15k = 0
b+bk-2ak-30 = 0
c - bk - 2a = 0
Solução:
Seja f(x) = ax2 + bx + c
Assim temos que: f (x) = 2ax + b
f(x)f'(x)= (ax! + bx + c)(2ax + b) = 2a2x3 + 3abx2 + (b2 + 2ac) + bc = 2x3 + 6x2 + 1x + 6
2a2 = 2
3ab = 6
b2 + 2ac = 10
bc = 6 = 1
=> k = — =>a = 21=>b = 51=>c = —77 
3
Solução:
a) p(x) = 5x4
p'(x) = 5.4x3 = 20x3
p"(x) = 5.4.3.x2 = 60x2
p"'(x)= 5.4.3.2.x2 = 120x
Capítulo 10 — Outros Temas Importantes
b)
Questão - 10.11
Idem ao Exercício Resolvido 10.5
Questão - 10.12
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - 10.13
2x4 -4x3 + 5x2 +2x-3
96
Solução: 
a)
p(x) = 3x4 + 5x3-4x2 + 8 
p'(x) = 12x3+ 15x2 —8x 
p"(x) = 36x2 + 30x - 8 
p'"(x) = 72x + 30 
p’’"(x) = 72
-2x4 -2x3 +6x2 -18x 
-6x3 + 11x2 - 16x- 3 
6x3 +6x2 -18X + 54
17x2 -34x + 51
| 2x4 - 4x3 + 5x2 + 2x - 3
1 12 X+ 2
I — x3+ —x2 —I 2 2
4x-12
-x4 +2x3- —x2-
___________ 2
1 3 1 2 
-X3 +-X2 -
2 2
x4- —x3 + 3x2 - — x +3
2 2
3 9
— x + -
2 2
3 x + — 
___ 2_
3 9
— X + — 
2 2
x5 - x4 + x3 + 4x2 - 2x + 3
-x5 + 2x4--x3-x2+-x
2 2
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
= X2-2x + 3
D)
4x5 - 20x4 + 25x3 +1Ox2 - 20x - 8
-4x5 + 16x4 -15x3 -4x2 +4x
20x4 -80x3 + 75x2 -20x-20
-20x4 + 70x3 -40x2 -40x
97
-4x4+10x3+6x2-16x-8 
4x4 -16x3 + 15x2 + 4x-4 
-6x3 + 21x2-12X-12
Logo o mdc normalizado é 
-6x3+ 21x2-12x-12
-6
-10x3 + 35x2 - 20x - 20
10x3 -35x2 +20X + 20
(0)
| 20x4 - 80x3 + 75x2 - 20x - 20
1 1
— X-----
5 5
|-6x3 + 21x2 -12X-12
_10 5
3 X+ 3
1 3 1 , 3 9 
-X+-X--X + -
2 2 2 2
-~x3 + x2--x
2 _______ 2
3 í , 9
-x -3x + - 
2 2
3 ; , 9
—x +3x--
2_______ 2_
(0)
Logo o mdc normalizado é 
17x2-34x + 51
17
= x3--x2+2x + 2
2
Il7x2 -34x + 51
1
— x + —
34
3
2
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
C)
d)
-12x2 -38X + 14
98
46
9
14
18
| 2x3 + 7x2 + 10x + 35 
x
2x4 + 7x3 - 2x2 -3x + 14 
-2x4 -7x3 -10x2 -35x 
—12x2 -38x^14
322
9 '
36
" 92
x3 + 3x2 -8x-24 = x2(x + 3) - 8(x + 3) = (x + 3)(x2 - 8) = (x + 3)(x-2>/2)(x +2^2) 
x3 + 3x2 - 3x - 9 = x2(x + 3)- 3(x + 3) = (x + 3)(x2 - 3) = (x + 3)(x- >/3)(x + ^3) 
Logo o mdc normalizado é x + 3
92
— x +------
9_____ ‘
108
92
|-12x2 - 38x + 14
1 1
— x------
6 18
Logo o mdc normalizado é
92 322-- X H----
—---- — = 2x + 7
 2 3864 12x +--- x92
4x +14
-4x-14
(0)
2x3 + 7x2 + 10x + 35
-2x3- — x2+ — x______6 6
4 2 74— x +— x + 356 6-±x2-^
6 18
92 322
9 X+ 9
SOLUCIONÂRIO - AREF 7
e)
2x3 -x2 +4x+15
-2x3 +4x2 -10x
Questão - 10.14
Questão-10.15
99
Solução:
Como os polinõmios já estão fatorados então o mdc é os fatores comuns de 
menor expoente
Portanto o mdc é (x-1 )2.x
15 
-x--— 
4
3x2-6x + 15 
-3x2 + 6x-15
(0)
| 2x3 - x2 + 4x +15
1 12X+ 4
Solução:
Como os polinõmios já estão fatorados então o mdc é os fatores comuns de 
menor expoente
Note que a(x) = (x — 1 )3. (x + 1 )5 e b(x) = (x + 1)(x- 1 )(x2 - x+ 1)
Portanto o mdc é (x - 1) (x + 1)
x' + 12x-8
. 1 3 „ , 15 -x + —x3 —2x2 + — x
2 2
Logo o mdc normalizado é
7,7 35
—x+-x------
-4---- 1---- 4_ = x2 _ 2x + 5
~4
+ -x2
4
7 35+ -X-----
2 4
^x3-2x2 + -x-5
2 2
--x3
2
--x2
4
8— x------
7
7 35
-x------
_2____ 4_
12
7
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes 
Questão - 10.16
x
= 0 => (c-1)(c- 3) = 0 =>
Questão - 10.17
Portanto o mdc só não será 1 se m = 21 e n = - 8.
Logo o mdc será 1 se m # 21 e/ou n # - 8
c = 1
c = 3
NOTA: Note que nosso gabarito diverge do gabarito do livro Noções de
Matemática volume 7
100
n) + (— 21 x/2 - 
n) + (21 V2 -
c
2
Solução:
x2 +(c + 6)x + 4c + 2 
-x2 -(c + 2)x-2c 
4x + (2c + 2)
ç2 — 4c + 3
| x2 +(c + 2)x + 2c
1
x2 +(c + 2)x + 2c
2 fc 
-X - —+ —
<2 2)
fc 3~’l o
— + — x + 2c<2 2)
3
2
Solução:
Note que x2 + 2x - 1 = (x - (- 1 + ^2 ).(x - (- 1 -V2 ))
Vou fazer o caso em que mdc não é 1. O conjunto complementar em relação aos 
reais é o conjuntos dos valores tais que o mdc é 1.
Para que o mdc não seja 1 é preciso que p(- 1 + v'2 ) = 0 e/ou p((- 1 -\Í2 ) = 0 
p(- 1 + yÍ2 ) = 0 => (29 - m + n) + (- 21 -J2 + m 72 ) = 0 => m = 21 => n = - 8 
p(— 1 — 72 ) = 0 => (29 — m + n) + (21 >/2 - m >/2 ) = 0 => m = 21 => n = - 8
| 4x+(2c + 2)
1 < c + 31
4X+l 8 J
r c2+4c+s')
í c2 -4c + 3^1
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
luestão -10.18
Exercícios Suplementares
101
.ogo o mmc(a(x), b(x)) =
(x- 3)(x+ 3)(x— 2)(x+ 2)(x- 1)(x+1) = x6 - 14x4 + 49x2 - 36
íolução:
>(x) = x4 -13x2 + 36 = (x2 - 9)(x2 - 4) = (x— 3)(x+ 3)(x- 2)(x+ 2) 
lote que a(— 2) = a(3) = a(1) = a(- 1) =0
1(X) = x4 - x3 - 7x2 + x + 6 = (x + 2)(x - 3)(x- 1)(x+1)
Note a(1) = 0 e a(- 1) = 4 logo a(x) é divisível por x - 1, mas não é divisível por 
x+ 1
Logo mdc(a(x),b(x)) = x - 1 e mmc(a(x),b(x)) =
(x" - 2x'3 + x’2 )• (x+1) = x’5 - x14 - x’3 + x12
Questão-10,19
Solução:
CORREÇÃO NO ENUNCIADO: a(x) = x’4 - 2x13 + x’2
Questão-11,1
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
i gabarito do livro não contempla o caso que m 21 e n #-8
lote se m = n = 0 então p(x) = 2x4 - x3 - 4x2. Neste caso que p(- 1 + Jí ) = 29 - 
1V2 e p(- 1 - J2 ) = 29 + 21 ^2 portanto os polinômios são primos entre si.
) gabarito do livro não contempla o caso que m?i21en=-8
lote sem = 0en = -8 então p(x) = 2x4 - x3 — 4x2 - 8. Neste caso que p(- 1 + 
12 ) = 21 - 21 J2 e p(- 1 - -J2 ) = 21 + 21 >/2 portanto os polinômios são primos 
ntre si.
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
Questão - II.2
Solução:
n
Questão - II.3
nnn
102
1 
n + 1
1 
x(x+1)
a 
x
n 
n + 1
Solução:
Antes de fazermos este problema eu vou provar um lema
LEMA: Encontre todas as funções continuas tais que: f(x + y) = f(x) + f(y) para 
todo x e y complexos
Prova:
Faça y = 0 daí temos que f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0
Faça y = - x dai temos que f(x + (-x)) = f(x) + f(—x)) => f(— x) = — f(x) 
Faça y = x dai temos que f(x + x) = f(x) + f(x)) =>f(2x) = 2. f(x) 
Vamos provar por indução que f(nx) = n.f(x) para todo n natural
1 
n-1
bx 
x(x+1)
x+1
a(x + 1) | 
x(x+1)
2
X
m.f(1)=>f[^] =
(a + b)x+a 
x(x+1)
= f(m.1) => n.f(—=
1 
x(x+1)
1
x(x+1)
n
Prova:
Para n = 1 temos que f(1 .x) = 1 ,f(x)
Suponhamos a propriedade valida para n = k, isto é. f(k.x) = k.f(x)
Vamos mostrar que a propriedade vale n = k + 1
f(kx + k) = f(kx) + f(x) = k.f(x) + f(x) = (k + 1 ).f(x)
Logo a propriedade vale para todo k natural, 
mm „ /m >
Faça x = — => —. n = m .1 => f — n 
n n < n )
1 1 1 1
1 • 2 + 2 -3 + 3 • 4 + + n(n+ 1)
v 2) \,2 3j U 4j
b 
x+1
1
x(x+1) 
[a + b = 0
a = 1
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Façaf(1) = c. Dai temos que f(x) = c.x para todo x racional.
= cx
=>f(x + y) + a = f(x) + f(y)
Questão -11.4
Solução:
103
Logo pelo lema temos que g(x) = cx 
Portanto f (x) = cx + a.
Seja b um numero irracional então existe uma sequencia de racionais xn tal que 
lim x„ = b. Assim temos que: 
f(b)= lirnf(x„) = f(limx„)= limcx„
f(x)+f(y)
2
f(x + y) + a
2
Dai temos que f (x) = c.x para todo x complexo. 
Agora vamos resolver o nosso problema
= f(x)+f(y)
Faça f(0) = a e y = 0 dai temos que:
Faça g(x) = f(x) - a. Assim temos que: 
g(x + y) = g(x) + g(y)
Dai temos que f(x) = c.x para todo x real.
Seja x = c + di um numero complexo então existe uma sequencia de reais xn tal 
que lim y„ = c e uma sequencia zn tal que lim zn = d.Assim temos que: 
f(c + di) = limf(yn+ z„i) = f(limyn) + i - f (lim zn) = limc(c + di)x„ = cx
a b 2.10"+3
10"-1 +10x+ 2 ~ (10‘-1)(10x + 2)
2.10*+ 3
(10x -1)(10x + 2)
(a-rb = 2
(2a-b = 3
a(10x+2) b(10*-1)
(10x -1)(10x + 2)+ (10x -1)(10x + 2)
(a + b)10x+2a-b 2.10x + 3
(10x -1)(10x + 2) (10x -1)(10x + 2)
5 u 1=>a = -=ob = -
3 3
Capitulo 10 - Outros Temas ImportantesQuestão - II.6
(n +1)3 = n3 + 3 • n2 + 3 ■ n + 1
12 + 22 + 32
Questão - II.7
104
Questão - 11.5
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Solução:
Sabemos que (n +1)3 = n3 + 3n2 + 3n +1
1 
3’
Daí temos que:
(1 + 1)3 =13 + 3 ■ 12 + 3 • 1 + 1
(2 + 1)3 = 23 + 3 ■ 22 + 3 -2 + 1
(3 + 1)3 = 33 + 3 ■ 32 + 3 ■ 3 + 1
1 c = —
6
f(-2) = -9 
f(-1) = -1 
f(1) = 3 
f(2) = 11
1
— n => a = 
6
1 3 1 2—n3 + —n2 +
3 2
Solução:
Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
-8a + 4b - 2c + d =-9(l) 
-a + b-c + d = -1(11) 
a + b + c + d = 3(111)
8a +4b +2c + d = 11(IV)
Somando tudo membro a membro temos que:
(n + 1)3 =13 +3 ■ (12 + 22 + 32 + ... + n2) + 3 ■ (1 + 2 + 3 + ... + n) +(n+ 1) =o
=>(n + 1)3-13-3(1 + 2 + 3 + ... + n)-(n + 1)=3-(12 + 22 + 32 + ... + n2)=>
|n2_n.(n + 1).(2n + 1)_
6
>4
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
=>b = O=>d =>6a = 6=>a = 1^c = 1=> f(0) = 1
Como q(x) dividido por 2x - 1 tem resto 4 temos que: q(x) = (2x -1 )s(x) + 4(l I)
105
p(-p2-p +2q) = 0 
q(q + 1-p - p2) = 0
Somando (II) + (III) e (I) + (IV) temos que: 
-8a-4b-2c + d = -9(l) 
-a+b-c + d = -XH) 
a + b-c+d = 3(lll) 
8a + 4b + 2c + d = 11(IV) 
2b-2d = 2(V) 
8b + 2d = 2(VI)
Questão-II.8
Solução:
Como f(x) dividido por x + 3 dá quociente q(x) e resto - 5 temos que: 
f(x)=(x + 3)q(x)-5(l)
Questão-II.9
Solução:
Note que A(x) = x2 + px +
x‘ + px2 + q 
-X* - px3 -qx2 
-px3 + (p-q)x2 + q 
px3+p2 x2 +pqx 
(p2+p-q)x2-rpqx + q 
-(p2 + p- q)x2 + (-p3 - p2 + pq) - qp2 - pq + q2 
((-p3 - p2 + 2pq)x- (q2 + q- pq - qp2)
| x2 + px + q________
x2 +px + (p2+p-q)
1 ía + c = 2 
(8a + 2c = 10
q e A(x) = x4 + px2 + q
Substituindo (II) em (I) temos que: f(x) = (x + 3)[(2x - 1)s(x) + 4] - 5 = [(x + 3) 
((2x -1 )s(x) ] + 4x + 7. Portanto o resto da divisão por (x + 3)(2x - 1) é 4x + 7
-p3-p2 + 2pq = O
[q2+q-pq - qp2 = 0
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
Agora vamos dividir em 2 casos:
= 0 => p = — 1=>q = 0
= p2 + p-1=>p2+p-2 = 0=>
Portanto as soluções são (0,0),(0,-1),(1,1),(—2,1 )(-1,0)
Questão - 11.10
106
Caso 1: p = 0
Se p = 0 então q.(q+1) = 0 logo q = 0ouq = -1
p = 1 => q = 1
p - — 2 => q = 1
| x2 -x + 2 
ax + (b + a)
| x2 + x -1 
ax + (b - a)
ax3 +bx2 +cx + d
-ax3 - ax2 + ax _______
(b -a)x2 +(c + a)x + d
-(b - a)x2 - (b - a)x+ (b - a)
(c -b+2a)x + (b-a + d)
Caso 2: p #0
P2 + P
2
P2 + P
2
Solução: 
ax3+bx2+cx + d |
-ax3 + ax2 - 2ax_________
(b + a)x2 + (c - 2a )x + d 
-(b + a)x2 + (a + b)x- 2 • (b + a) 
(b + c - a)x + (d - 2b - 2a)
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Dai temos que:
=>c = 7=>d = 1=>b = 1=>a = 3
Portanto f(x) = 3x3 + x2 + 7x +1
Questão-11.11
Solução:
Questão - 11.12
=> m = => n =
.200b) P(x) = T(x) q(x) + R(x) =>x'
=> m =
107
Faça x - 2 = y. Dai teremos que dividir yn - 1 por y - 1. Faça a divisão usando o 
exercicio resolvido 9.7 e usando a = 1.
-a + b + c = 5
0a + 0b + c- d = 6
Oa + Ob + 10c + d = 71
Oa -4b - 2c + d = -17
+ 2
3
Solução:
a) P(x) = T(x) q(x) + R(x) => P(x) = (x2 - (a+ b)x + ab) q(x) + (mx + n)
Dai temos que:
P(a) = am + n e P(b) = bm + n => P(a) - P(b) = (a - b)m
P(a)-P(b) aP(b)-bP(a)
-------------- => n = 
a-b---------------- a-b
-a + b + c = 5
Oa - 4b- 2c + d = -17
Oa + b + 3c = 22
0a + 0b + c-d = 6
c) Vamos provar por indução que 22s -1 é divisível por 3 para todo s natural 
positivo
I) Para s = 1 temos que 22s - 1 = 3 portanto é divisível por 3
II) Suponhamos a propriedade valida para um certo k, isto é, 2'
(H.l.)
-a + b+c = 5 
-2a-2b + d = -7 
2a-b + c -12 
-a + b + d = -1 
Í10c + d = 71 
[c-d = 6
t2k - 1 = 3r
2200
=> n =------
= (x2 - x - 2) q(x) + (mx + n) 
P(-1) = - m + n e P(2) = 2m + n
[-m + n = 1 220<)-1
2m + n = 2200 3
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
-1 = 3(4r +1)
Portanto temos que 22s - 1 é sempre divisível por 3
Questão - 11.13
b) Como (x - a)(x - b)(x - c) então o resto tem grau no máximo 2 logo o
108
Como o resto da divisão de f(x) por (x - a)(x - c) é x + 1 então f(x) = (x- a) 
(x - c)t(x) + x + 1
Logo:
(f (a) = a + 1
|f (c) = c +1
b = 4
a = —2
c = 1
Como o resto da divisão de f(x) por (x - b)(x - a) é 2x + 3 então f(x) = (x - b) 
(x - a)s(x) + 2x + 3
Logo:
íf(b)= 2b + 3
[f(a) = 2a + 3
Assim temos que 
3b-1 = 2b+ 3
■ a -í-1 — 2a + 3 “
3c-1 = c + 1
quociente é do tipo r(x) = mx2 + nx + p. Sendo assim temos que 
f(x) = (x - a)(x - b)(x - c).v(x) + mx2 + nx + p.
III) Vamos provar que a propriedade para k + 1
22k — 1 = 3r =>22k = 3r+ 1=>4.22r = 4.(3r+ 1) =>22k”
Solução:
a) Como o resto da divisão de f(x) por (x - b)(x - c) é 3x - 1 então f(x) = (x - b)
(x - c)q(x) + 3x - 1
Logo:
íf(b) = 3b-1
|f(c) = 3c-1
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
f(1)=2 m + n + p = 2
0m-6n-3p = -9
Questão-11.14
Questão-11.15
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão-11.16
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão-11.17
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
109
Como g(x) dividido por x - 3 tem resto 2 temos que: g(x) = (x - 3)q(x) + 2(11)
a) Substituindo (II) em (I) temos que: f(x) = (x - 5) ((x - 3)q(x) + 2) + 3 = (x - 5) 
((x - 3)q(x) + 2x - 7 = (x - 5) ((x - 3)q(x) + 2(X - 3) - 1 = [(x - 3)((x - 5)] . 
(q(x) + 2] - 1. Portanto o resto da divisão por x - 3 é - 1
Solução:
Como f(x) dividido por x - 5 dá quociente g(x) e resto 3 temos que: f(x) = 
(x-5)g(x) + 3(l)
m + n + p = 2
Om - 12n -15p = -21
Om + On - 9p = -3
b) Substituindo (II) em (I) temos que: f(x) = (x - 5) [(x - 3)q(x) + 2] + 3 = [(x - 5) 
((x - 3)q(x) ] + 2x - 7. Portanto o resto da divisão por (x - 3)(x - 5) é 2x - 7
Logo temos que:
m + n + p = 2 
f(-2) = -1=> 4m - 2n + p = -1 => ■ Om -12n-15p = -21 =>
16m + 4n + p = 1
4 1
sp = -=>n = -=>m = —
3 3 3
f(4) = 11
1
3
Capitulo 10 - Outros Temas Importantes
Questão - 11.18
+ xm + 1 é divisível por x2 + x + 1 quando m não é
Questão - 11.19
b)
110
Agora vamos dividir em 3 casos
Caso 1: m é múltiplo de 3, isto é m = 3k, k eZ
Seja w uma raiz do polinômio x2 + x + 1 então w6k + w3k + 1 =3 portanto não é 
raiz.
Solução:
a)
Caso 2: m deixa resto 1 na divisão por 3, isto ém = 3s+1,seZ 
Seja w uma raiz do polinômio x2 + x + 1 então w21" + wm + 1 = O.pois x' 
as raizes (I) e (II).
2tt 2n
w = cos — + i -sen—(I)
w = cos—+ i-sen —(II)
3 3
—1 y/3 
w2+w + 1 = 0=>w = — ±—- i => 
2 2
Portanto o polinômio x2m 
divisível por 3.
Caso 3: m deixa resto 2 na divisão por 3, isto é m = 3r + 2, r eZ
Seja w uma raiz do polinômio x2 + x + 1 então w2m + wm + 1 = 0, pois x2m e xm são 
as raízes (I) e (II).
Solução:
Seja w uma raiz do polinômio x2 + x + 1 então w3 = 1 
w3 -1 = 0 o (w — 1) ■ (w2 + w + 1) = 0 =>
w = 1
p(-1) = -1 + (-1 )3 + (-1 )9 + (-1 )27 + (-1 )81 + (-1 )243 = _ 6
p(x)= (x - 1)q(x) + ax + b^p(1) = a + b = 6e p(—1) = -a + b = -6=>b = 0 
e a = 6, logo o resto é 6x.
:2m e x" são
p(1) = 1 + 13+ 19 + 127 + 181 + 1243 = 6 
p(x) = (x - 1 )Q(x) + k=>P(1) = k=>k = 6
SOLUC1ONÁRIO - AREF 7
=> a = - 3 => b = 2
b) (x-1)2(x + p) = x3-3x +2 => x3 + (p-2)x2 + (1-2p)x + p = x3 - 3x +2 => p = 2
Questão - II.23
111
f(-1) =-1-a + b = 4 
f'(-1) = 3 + a = 0
Questão-II.22
Solução:
Questão-II.20 
RESOLVIDA NO FINAL DO LIVRO NOÇÕES DE MATEMATICA VOLUME 7
Questão - II.24
Solução:
x3+(t+1)x2+2x + 2u
-x3-tx2-u________
x’ + 2x + u
a) f(x) = x3 + ax + b =>f'(x) = 3x2 +a =>
| x3 + tx2 + u
1
Questão-11,21
Solução:
A(x) = x3 -3x2 + px +1 A'(x) = 3x2 -6x + p => A"(x) = 6x - 6
Para A(x) seja divisível por A”(x) é preciso A(1) = 0 logo 1-3 + p-1 = 0=>p=1
b) <p(k ■ P(x)) = <p(kax2 + kbx + kc) = (kax2 + kbx + kc) + (x -1) (2k a + kb) = 
= k ■ (ax2+ bx + c) + (x - 1)(2a + b) = k ■ <p(P(x))
Solução:
a) Seja P,(x) = ax2 + bx + c e P2(x) = dx2 + ex + f
<p(P,(x)+ P,(x)) = <p((a + d)x2 + (b + e)x + (c + f)) = (a + d)x2 + (b + e)x + (c + f) 
+(x -1)(2 x(a + d) + (b+ e) = [(ax2 + bx + c) + (x - 1)(2ax + b)] +
+[(dx2 + ex + f) + (x - 1)(2dx + e)] = <p (P, (x) + P2 (x))
Capítulo 10 - Outros Temas Importantes
(- u - 2t + 4)x + (3u - ut)
112
t = 3 => u = — 2 
u = 0 => t = 2
X3 + tx2 + u 
-x3 - 2xz - xu 
(t-2)x2-ux + u 
~(t-2)x2 -(2t-4)x-u(t-2)| x2 + 2x + u 
x + (t-2)
Daí temos que: 
í-u —2t + 4 = 0 
13u - ut = 0
Capítulo 11
Equações Algébricas
Capitulo 11 — Equações Algébricas
Capítulo 11
Questão - 11.14
Logo P(x) = (2 + i)(x - 1 )(x + i)
Questão - 11.15
a)
b) Como o polinômio tem grau 13 ele tem que ter 13 raízes
tem 4 raízes distintas. As raízes são 5, -6, •j’2 - 4c)
d)
e)
Questão - 11.16
x/3 pois todos os fatores do polinômio são monicos, isto é, tem termo de 
maior grau 1.
Solução:
Como os fatores do polinômio são todos de grau 1 então o grau do 
polinômio é a soma dos expoentes. Logo os grau é1 + 3 + 2 + 7 = 13
Solução:
Como - 4 é raiz então o polinômio é divisível por x + 4 
x3-x2-14x + 24 , . „ ,
x + 4 -X ~ $x + 6 - (x — 3)(x - 2) 
Portanto as raízes são {2, 3, - 4} 
114
As raízes são 5 com multiplicidade 1, -6 com multiplicidade 3, 72-4 com
3 2i
multiplicidade 2 e — + — com multiplicidade 7.
4 5
Solução:
Seja P(x) = (2 + i)x2 + (- 3 + i)x + (1 - 2i) 
Note que P(1) = 2 + i - 3 + i + 1 - 2i = 0
3 2i
6 4+ 5
Seja b a outra raiz então pelas relações de Girard temos que: 
. 1 - 2i 1 - 2i 2 - ib =--------=------------------ = -i
2 + i 2 + i 2 - i
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão -11.17
Solução:
x2-4x4-5=0=>A = -4=>
2x3-9x2+ 14x-24
Questão -11.18
Questão -11.19
115
= 2-(x-^-(x-(2 + i))-(x-(2-i))
- x2 -4x + 5
Solução:
Como - 2 é raiz dupla então o polinômio é divisível por x2 - 4x +4 
x‘ + 4x3 + 13x2 + 36x-r 36 , „ ,
-----------—----- ------------ = x2 + 9 = x - 3l) X 4- 3i)
x -4X4-4
x* + 4x3 +13x2 4-36x 4-36 = (x4-2)2 ■ (x 4-3i)■ (x- 3i)
Solução:
Como -1 e 2 são raízes então o polinômio é divisível por x2 - x - 2 
x" -5x3 + 5x2 4-5x - 6 2 . ... _.
------------------ ----------= x - 4x 4- 3 = (x - 1)(x - 3)
x“ -5x3 + 5x2 4- 5x - 6 = (x 4-1)• (x - 2)- (x - 3) • (x-1)
4 4- 2i „ . 
x =--------= 2-n
2
4 - 2i „ .
x =--------= 2-1
2
1
Como - é raiz então o polinômio é divisível por 2x - 1
2x3-9x2 +14X-24
2x-1
Capítulo 11 - Equações Algébricas
Questão - 11.20
b
(x-i)
Questão - 11.21
= x2 -x + 12 = (x-4)(x + 3)
Questão - 11.22
= x4 + 8x3 + 15x2 -8x-16
= x3 + 4x2 - x - 4
= x2-1 = (x-1)(x + 1)
Portanto - 4 é raiz tripla.
116
Note - 4 ainda é raiz do polinómio x4 + 8x3 +15x2 - 8x -16 logo o polinòmio é 
divisível por x + 4 
x4 + 8x3 + 15x2 - 8x -16
X + 4
Solução:
Como 4 é raiz então o polinòmio é divisível por x - 4 
x3-5x2-8x + 48
x - 4
x3 -5x2 -8x + 48 = 2-(x-4)2 (x + 3)
Solução:
Como — 4 é raiz então o polinòmio é divisível pro x + 4 
x5 +12x4 + 47x3 + 52x2 + 48x - 64
x + 4
1a = - => b = i
3
1
= — => a = i
3
Logo a decomposição do polinòmio é 3.(x - (2 - i))(x-^J (
a + b + (2-i) = ^_> 
ab(2 - i) = 1 + 2i 1-i 
3
Note - 4 ainda é raiz do polinòmio x3 + 4x2 -x-4 logo o polinòmio é divisível 
por x + 4 
x3 + 4x2 - x - 4 
x + 4
Solução:
Sejam a e b as outras duas raízes então pelas relações de Girard temos que 
1 .
a + b = — +1 
3
1 + 2i 
a b =----------
3(2-i)
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão - 11.23
Questão - 11.24
Questão - 11.25
117
Solução:
Como-3 é raiz temos que P(- 3) = 0 
(-3)‘+k(-3)3+ (k-1)(-3)2-18
r-6s0
3s - 2 - 0 =>
t—9 = 0
r * 6
2 
s = -
3
t = 9
| x2 -10x +25 
x2 +10x-1
Solução:
x‘-10x3 + 242 +px + q 
-x‘t10x3-25x2 
-x2 + px + q 
x2-10x+25 
x(p-10) + q + 25
Assim temos que: 
íp-10 = 0 
iq-25 = 0=>
íp = 10 
[q = -25
0=>k = --
2
Solução:
Para que zero seja raiz dupla é preciso o coeficiente de x2 não seja zero, o 
coeficiente de x seja zero e o termo independente seja zero. Sendo assim temos 
que:
Capítulo 11 - Equações Algébricas
Questão - 11.26
Questão - 11.27
Questão - 11.28
Questão - 11.29
Solução:
P(x) = k(x- i)2(x + 2)x = k(x" + (2 - 2i)- x3+ (-1 - 4i)x2- 2x)
=> P(-1) = -2ki => —2ki = -10i => k = 5 => P(x) = 5x" + (10 -10i)• x3- (5 + 20i)x2-10x)
Solução:
Note que P(3) = 27 + 9k - 45 + 12 - 3k + 6 - 6k = 0
Logo o polinômio é divisível por x - 3
x3 +(k-5)x2 + (4-k)x + 6 - 6k
-x3 + 3x2____________________
(k-2)x2 + (4-k)x
-(k-2)x2 +(3k-6)x
(2k-2)x + 6-6k
-(2k - 2)x-6 + 6k
(0)
I x-3________
x2 + (k - 2)x + (2k - 2)
Solução:
x3-2x2-x + 9 = 3x2+x-15 => x3-5x2-2x + 24
Como 4 é raiz então o polinômio é divisível por x - 4 
x3-5x2-2x + 24 ,
--------- —---------- = x - x-6 = (x-3)(x + 2)
Portanto as raizes são {- 2, 3, -4} 
118
Solução:
Como a soma dos coeficiente é 6 então P(1) = 6
P(x) = k(x- 4)(x + 2)(x - 3) = k(x3- 5 x2- 2x + 24)
1 *1^9
=> P(1) = 18k => 18k = 6 => k = — =■ P(x) = —x3-—x2-— x+8
3 3 3 3
2
3
SOLUCIONÁRIO - AREF 7
Questão-11.30
Questão -11.31
Questão-11.32
x2+2x + 2 = 0^A = —4 =>
Logo as raízes são apenas 2, -1 - i e -1 + i
119
- => x3 -6x2 +11x- 6
Solução:
É fácil ver que o polinõmio é divisível por x2
Como 3 é raiz então o polinõmio é divisível por x - 3 
Portanto o polinõmio é divisível por x3 - 3x2 
xs-9x, + 26x3-24x2 2 „ „ , „„ ..
--------------------------- = x2 - 6x - 8 = (x - 2)(x - 4)
Portanto as raizes são {0, 2, 3, 4}
Solução:
Como 2 é raiz então o polinõmio é divisível por x - 2 
x’-2x-4 , 
--------------- x + 2x + 2
x-2
Solução:
1 x2-t-3
x-1~5x2-8x + 3
-2 + 2Í
x =---------
2
-2-2Í
X~ 2
Como 2 é raiz então o polinõmio é divisível por x-2 
x’-6x2 + 11x-6 2 „ , ,
--------------------- = x2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) 
x-2
1
Note que 1 não é raiz pois------ tem que existir
X —1
Logo as raízes são apenas 2 e 3
Capítulo 11 - Equações Algébricas
Questão - 11.44
Portanto x5 +3x4 -5x3 -15x2 -36x~108 = (x+ 3)2(x- 3)(x- 2i)(x + 2i)
Questão - 11.45
Questão - 11.46
Solução:
x2 + (2- VÃ)x +2%/3 = 0 => A = 7 + 4x/3 => VÃ = 2 +73 =>
Questão - 11.47
Solução:
120
Solução:
xs + 3x4 - 5x3 -15x2 - 36x -108 = (x + 3)2(x - 3)(x - 2i)(x + 2i) = (x + 3)2(x - 3)(x2 + 4)
Solução:
Note que P(3) = P(-3) = 0 logo o polinômio é divisível por x2 - 9 
x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 - 36x - 108 , „ , Â
----------------------- ;-------------------------- = x3 + 3x2 + 4x +12
x2 -9
Note que (x + 3)2 e (x2 + 4) são positivos logo para que 
x5 + 3x4 - 5x3 -15x2 -36x-108 <0é preciso que (x - 3) < 0 logo x < 3. Observe 
que se x = 3 então x5 + 3x4 -5x3 -15x2 - 36x-108 = 0 .Portanto a solução é 
{x eR|x < 3, x * -3}
V® _ "1
Note que --------= x5 - x4 + x3 - x2 + x -1
x +1
x = ^-2 + 2.l.^ = 73
2
75-2-2-73 ,X =--------- - ---------= -2
Note que - 3 é raiz do polinômio x3 + 3x2 + 4x +12 logo o polinômio é divisível 
por x + 3
x3 + 3x2 + 4x + 12 2 Á ,
---------- - —- ----------= x2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)
SOLUC1ONÁRIO - AREF 7
0,1,2, 3, 4,5, k+ i.senw = cos
, k = 0, 1, 2, 4, 5+ i.senw = cos
Questão - 11.48
Solução:
z
0,1, 2, 3, 4 .
Questão -11.49
Solução:
= x2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)
121
Portanto as soluções da equação x5 - x4 + x3 - x2 + x -1 = 0 são os números da 
forma:
Observe que se k = 3 então w = cos (n) +i.sen(rt) =-1 
Logo se k = 3 então w não é solução de x5 - x4 + x3 - x2 + x -1
Seja P(x) = x4 - 5x3 + 10x2 - 20x + 24
Note que P(2) = P(3) = 0 
x*-5x3+10x2-20x + 24 
x2-5x + 6
Logo as raízes são apenas 2, 3, 2i e - 2i
n (k-1);r 
3+ 3
+isen(i)
As raizes da equação x6 - 1 = 0 são os números da forma: 
n (k -1)n 
,3t 3
1 3
w-1 w-1
Ml-|) = cos(i + Ç) 
(n knl .
+ i - sen — + — , k =<5 5 )
(n krt'1 .
+ i sen — + — , k =<5 5 )
n ! (k-1)n1 
3+ 3 )
(z-3)5 = zs =>
, 3 3 „ z 1 3
1--=W=>-=W-1=> — =-------- => Z =----------
z z 3
í n k;A 
w = cos - + —L5 5 J
Onde w = cosí— + — 1
<5 5)
r . 3Faça 1- - = w 
z
+ i sen^| + y),k = 0,1,2, 3,4
3
°’1' 2-3'4=>2 = 7T^
tt (k - 1)n 
.3+ 3
Logo S = {1, w, w2, w4, w5} onde w = cos^^
Capitulo 11 - Equações Algébricas
Questão — 11.50
Fazendo a divisão de P(x) por x -1 obtemos:
+ ... + X + 1 => A(3) = 3" +3'A(x) = xn + x'
b)
Questão - 11.51
m3 + (-6 + 2i)m2 + (10 - 9i)m + (-3 + 9i) = 0 =>
2m2 - 9m + 9 = 0 =>
# 0
122
Solução:
Seja m a raiz real então temos que:
x = 2-i 
x = 1 - i
m3 - 6m2 +10m - 3 = 0
m = 3
3 
m = -
2
Note que P(3) = 0 e
, x 3"-1 
+ ...+ 3 + 1 = —
Seja P(x) = (x - 1).(x - r,).(x - r2)...(x - rn). Assim temos que:
^ = (x-r2)(x-r3)...(x-rn) = A(x)
A(3) = (1 -r2)-(l — r3)...(l -rn)
Fazendo a divisão