Leitura Fundamental

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ROBÓTICA INDUSTRIAL
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Bruno Henrique Oliveira Mulina
Londrina 
Editora e Distribuidora Educacional S.A. 
2019
Robótica Industrial
1ª edição
33 3
2019
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR
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Daniella Fernandes Haruze Manta
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Mariana de Campos Barroso
Paola Andressa Machado Leal
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Mulina, Bruno Henrique Oliveira
M957r Robótica industrial/ Bruno Henrique Oliveira Mulina, – 
 Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A. 2019.
157 p.
 
ISBN 978-85-522-1583-7
 
1. Sensores em robótica. 2. Conceitos fundamentais
sobre robótica. I. Mulina, Bruno Henrique Oliveira. II.
Título.
CDD 004
Thamiris Mantovani CRB: 8/9491
© 2019 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, 
eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de 
sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A.
44 
SUMÁRIO
Apresentação da disciplina 5
Visão geral dos manipuladores robóticos 
e suas aplicações na automação 7
Descrição matemática de manipuladores: 
sistemas de coordenadas em robótica 28
Modelagem cinemática direta e inversa 50
Modelagem dinâmica 73
Geração de trajetórias. Órgãos terminais 96
Sensores em robótica. Controle de robôs 119
Simulação e programação de robôs. Aplicações industriais 145
ROBÓTICA INDUSTRIAL
55 5
Apresentação da disciplina
Ao estudar sobre robótica, devemos compreender sobre as partes 
que compõem um robô, como se comportam e de que modo elas 
se relacionam, de modo que ele realize a atividade para a qual foi 
projetado de forma correta e mais eficiente possível. Por esse motivo, 
ao longo da disciplina serão apresentados os fundamentos da robótica 
industrial, definindo os conceitos sobre automação, robotização e 
mecanização, com ênfase nos manipuladores robóticos industriais. 
Apresentaremos um pouco sobre a história da robotização industrial e 
as vantagens e desvantagens apresentadas por esse processo. 
Uma vez compreendida a história e as motivações no 
desenvolvimento dos robôs, serão destacados os componentes 
eletromecânicos dos robôs, responsáveis pelo movimento, 
sensoriamento e atuação do manipulador, destacando suas 
características, vantagens e desvantagens. Distinguiremos sobre os 
órgãos terminais dos manipuladores, mostrando os mais indicados 
para cada tipo de atividade.
Serão estudados os sistemas de coordenadas e as matrizes de 
transformação, dedicadas à calcular a mudança de posição e 
orientação de uma coordenada. Compreendido como descrever o 
espaço que circunda o manipulador, desenvolveremos os modelos 
de cinemática direta e inversa, por meios diretos e a partir dos 
parâmetros de Denavit–Hartenberg para diferentes tipos de 
manipuladores. Esses modelos serão de grande importância nas 
técnicas de determinação das trajetórias que o manipulador deve 
seguir para realizar sua tarefa de modo mais eficiente. Além dos 
modelos cinéticos, que determinam as coordenadas de cada elemento 
do manipulador, seremos apresentados à modelagem dinâmica, que 
permitirá identificar o esforço sobre as juntas. 
66 
Conhecido o comportamento físico, estudaremos sobre a parte lógica 
responsável pelo funcionamento do manipulador. Conheceremos 
os modos e níveis de controle de um manipulador e os modos em 
que eles podem ser programados, e poderemos distinguir a melhor 
abordagem para cada caso. Para auxiliar o estudo dos manipuladores, 
serão apresentados os simuladores, destacando como são 
desenvolvidos, e as aplicações nas quais eles são mais indicados.
77 7
Visão geral dos manipuladores 
robóticos e suas aplicações 
na automação
Autor: Bruno Henrique Oliveira Mulina
Objetivos
• Compreender os conceitos fundamentais 
sobre robótica.
• Compreender sobre terminologias básicas 
de manipuladores robóticos. 
• Distinguir os componentes presentes em 
um manipulador robótico.
88 
1. Introdução à robótica
Com o adjunto da automação industrial presente na sociedade atual, 
cada vez mais o trabalho realizado por humanos é substituido pelo 
de robôs. Diante das vantagens oferecidas, essas máquinas vêm 
se desenvolvendo e realizando atividades antes feitas apenas por 
pessoas. Por esse motivo, o conhecimento em robótica é cada vez mais 
necessário em diversas áreas, desde a industrial até o ramo da medicina. 
Nesta leitura teremos uma introdução à robótica, compreendendo 
de forma suscinta sobre seu desenvolvimento e sua relação com as 
atividades humanas. Para isso serão apresentados conceitos de robótica 
e as partes integrantes de um manipulador robótico.
2. O que é robótica
O estudo da robótica compreende diversos conhecimentos nas áreas 
da engenharia e da computação, já que agrega conhecimentos tanto 
de hardware (parte física) quanto de software (programação), a fim de 
que a máquina execute as atividades para as quais foi projetada com 
velocidade, precisão e repetibilidade. Um robô pode ser projetado para 
operar em diferentes áreas, quase sempre buscando suprir alguma 
incapacidade humana, seja por necessidades técnicas (qualidade e 
velocidade requeridas na produção industrial), seja para operação em 
ambientes insalubres (usinas nucleares, submarinos-robôs) ou mesmo 
para aprimorar alguma capacidade humana (realização de processos 
cirúrgicos mais precisos). 
O termo robô tem origem na palavra robotnik, que representa servo 
ou alguém submetido a trabalho forçado. Ao longo da História, os 
robôs foram objeto de fascinação ou medo por parte da população. 
É engraçado perceber que, devido às idéias difundidas pela ficção 
científica já nos primórdios da robótica, foram criadas leis a fim de gerir 
o comportamento dos robôs (as leis da robótica, de Asimov). 
99 9
PARA SABER MAIS
Com o desenvolvimento atual da robótica e da 
inteligência artificial, acontecer algo semelhante ao 
ocorrido em filmes como O Exterminador do Futuro 
pode não estar tão longe de ocorrer. Na década de 
1960, Isaac Asimov já escrevia em suas histórias acerca 
das capacidades sobre-humanas apresentadas pelos 
robôs. Entre suas obras mais famosas estão a trilogia 
Fundação, Eu, Robô, O Fim da Eternidade e contos como 
O Homem Bicentenário. Por conta disso, ele propôs as 
três leis básicas da robótica, criando regras para a boa 
convivência entre homens e máquinas. Caso tenha 
interesse, leia ou assista às obras de Asimov para 
ter noção dos finais nos quais a humanidade tem ao 
construir robôs cada vez mais eficientes e inteligentes. 
Com o passar do tempo, o conceito sobre robô mudou de algo que 
realiza um trabalho imposto para uma ferramenta reprogramável 
e multifuncional, desenvolvida para movimentação de materiais 
e manipulação de ferramentas a fim de que se permita realizar 
uma variada gama de tarefas (ROMANO; DUTRA, 2002). O conceito 
moderno de robô industrial foi criado por Joseph Engelberger, em 
1962, ano em que desenvolveu o primeiro protótipo de robô para 
aplicações industriais, chamado de Unimate, instalado na Ford Motor 
Company. Atualmente os robôs estão em laboratórios, instalações depesquisa, hospitais e em indústrias de diversos setores. Somente no 
ano de 2017 foram comercializados 381 mil robôs, representando um 
aumento de 30% com relação a 2016 (VALENTE, 2018). 
1010 
3. Automação industrial e robótica
Na indústria atual, os termos robótica e automação estão 
intimamente relacionados, sendo difícil limitar as competências de 
cada um. A palavra automação vem do latim automatus, que significa 
“que se move sozinho”. Assim, a automação é um processo realizado 
a partir de ações automáticas, a fim de reduzir a interferência 
humana. Ao compreender o que é automação, é possível perceber a 
necessidade intrínseca à automação do uso de máquinas. 
Quando se refere ao uso de máquinas na indústria, é comum 
a confusão entre mecanização e automação. Mecanização é a 
substituição da mão de obra humana pelo uso de ferramentas, ou 
máquinas, de modo a aumentar a produção e/ou promover melhores 
condições de trabalho. Já a automação promove a interação entre 
sistemas na operação e controle da produção, permitindo um certo 
grau de inteligência na execução do processo. Neste contexto, pode-se 
dizer que a robótica é um meio de automação. 
A aplicação da robótica na automação é tão importante que se pode 
distinguir os tipos de automação com base no uso dos robôs. Os três 
tipos de automação são: fixa, programável e flexível, descritas a seguir 
com base em Rosário (2009). 
• Automação fixa: baseada no desenvolvimento de máquinas 
especificas para a realização de uma atividade. Comum na 
industria automobilística. É aplicada para volumes elevados 
de produção. Possui elevado valor inicial, mas os custos se 
dissolvem no volume de produção.
• Automação programável: a automação é realizada por meio 
de um equipamento multitarefas, sendo adaptado conforme a 
necessidade. É aplicada para prototipação ou desenvolvimento 
de equipamentos dedicados.
1111 11
• Automação flexível: é um modelo híbrido entre automação 
fixa e programável. Também conhecida como manufatura 
integrada ao computador, é indicada para volumes de produção 
medianos e permite a confecção de produtos diferentes de 
maneira simultânea. 
4. Manipuladores robóticos
Um manipulador robótico pode ser definido como um dispositivo 
eletromecânico, controlado por meio de uma programação cuja 
finalidade é fornecer uma operação semelhante a um manipulador 
humano (VAN ELS, 1994). Por esse motivo, a maioria dos 
manipuladores são antropomórficos (com estrutura semelhante ao 
corpo humano), sendo possível identificar cada parte equivalente 
do corpo humano, como mostra a Figura 1. Desse modo, é possível 
observar um manipulador robótico como um robô composto de 
um braço articulado preso a uma superfície fixa e que mova um 
dispositivo de atuação dentro de uma área delimitada. Do mesmo 
modo em que ocorre no corpo humano, o manipulador pode perceber 
e interagir com o ambiente por meio de sensores, auxiliando sua 
movimentação e realização de suas atividades.
Figura 1 – Equivalência morfológica entre o corpo humano e um 
manipulador robótico
Fonte: adaptada de Filip_Krstic/iStock.com e PhonlamaiPhoto/iStock.com.
1212 
4.1 Terminologias de um manipulador robótico
Antes de continuar o estudo sobre os manipuladores, é necessário 
conhecer algumas terminologias usadas. Isso é importante para 
facilitar e agilizar a aprendizagem. Esses termos, além de serem 
usados durante todo o estudo, são de suma importância à aplicação 
da robótica nas diferentes áreas.
4.1.1 Espaço ou volume de trabalho
Espaço no qual o manipulador é capaz de realizar sua atividade. 
É obtido a partir da análise de todos os movimentos possíveis, por 
meio de todas as combinações admissíveis de movimento de cada 
junta, a partir da chamada estrutura cinemática dos manipuladores. 
O estudo do espaço de trabalho é de extrema importância na 
escolha de um manipulador, pois permite prever se atingirá os locais 
necessários ao trabalho. A figura 2 mostra exemplos de volume de 
trabalho manipulador cartesiano (possui somente juntas prismáticas).
Figura 2 – Vistas dos espaços de trabalho para um manipulador cilíndrico
Fonte: elaborada pelo autor. 
1313 13
4.1.2 Eixos de movimento 
É o eixo onde ocorre o movimento de cada uma das juntas. Ele é obtido 
traçando uma linha imaginária que contenha a junta a ser estudada 
e a direção do movimento que ela permite. Esse movimento pode ser 
tanto de translação (linear) quanto de rotação (torção). Por exemplo, 
uma junta rotativa, apresentada na figura 3, permite que ocorra um 
movimento relativo de rotação sobre um dos eixos delas, assim como 
ocorre com uma dobradiça de porta. Nesse caso, um eixo imaginário no 
sentido de onde ocorre a rotação define o eixo de movimento. 
Figura 3 – Junta rotativa e seu eixo de movimento
Fonte: elaborada pelo autor.
Os eixos de movimento podem ser divididos em duas classes: eixo do 
corpo e eixo da extremidade do robô. Os eixos do corpo do robô são 
responsáveis por mover o elemento efetuador para a posição desejada. 
São denominados eixo de cintura, ombro e cotovelo (wrist, shoulder e 
elbow). Já os eixos da extremidade do robô permitem orientar seu órgão 
terminal para a realização das ações, orientando de forma precisa o 
elemento efetuador a fim de executar a tarefa, e são denominados 
rolamento, arfagem e guinada (roll, pitch e yaw).
Deve-se ter cuidado ao utilizar as expressões “mover sobre o eixo” 
e “mover em torno do eixo”. Mover sobre o eixo significa que o 
movimento ocorre na direção daquele eixo, sofrendo translação. Já a 
expressão mover em torno do eixo destaca que ocorre uma rotação 
cujo eixo de movimento foi aquele eixo citado.
1414 
4.1.3 Graus de liberdade
Os graus de liberdade (GL) são as possibilidades de movimentos 
relativos do braço no espaço, de acordo com os eixos de movimento 
das juntas presentes no manipulador. De modo geral, os GL são 
definidos pela somatória dos graus de liberdade de todas as juntas. 
Não é possivel dizer que o número de graus de liberdade é o mesmo 
que o número de juntas, já que alguns tipos de junta podem conter 
um ou dois graus de liberdade, como, por exemplo, rotacionar e se 
deslocar simultaneamente. 
Independente da quantidade de gruas de liberdade, são necessários 
3GDL para posicionar os objetos, e mais 3 GDL são necessários para 
orientá-lo.
Por exemplo, um manipulador composto de uma junta rotacional 
(somente rotaciona em um eixo) possui um 1 GL. Se o manipulador 
possuir duas juntas rotacionais em eixos diferentes, como 
apresentadas na figura 4, ele terá dois graus de liberdade, pois pode 
executar dois movimentos diferentes. Quanto mais juntas o robô 
possuir, maior o número de graus de liberdade e maior capacidade de 
realizar mais movimentos. Porém, essa maior gama de movimentos 
torma mais difícil de controlar o manipulador. 
Figura 4 – Manipulador robótico. a) 1 GL. b) 2 GL
Fonte: elaborada pelo autor.
1515 15
4.1.4 Cadeias cinemáticas
Uma cadeia cinemática são os possíveis caminhos a serem 
percorridos ao longo das partes do manipulador, desde a base até 
o ponto onde se realiza as atividades. Uma cadeia pode ser aberta 
(ou serial) quando existe apenas um caminho a ser percorrido. Já uma 
cadeia fechada (ou paralela) apresenta mais de um caminho entre a 
base e a terminação do robô, apresentando elos paralelos ao longo 
do caminho. Existe também cadeias semifechadas (ou híbridas), que 
são aquelas que apresentam os dois tipos de cadeia. A figura 5 mostra 
exemplos de robôs com tipos de cadeia diferentes.
Figura 5 – Tipos de cadeia cinéticas. a) aberta. b) fechada. c) semifechada
Fonte: kynny/iStock.com. Fonte: kynny/iStock.com. Fonte: suprun/iStock.com.
O estudo sobre as cadeias cinéticas é importante, pois avalia a 
capacidade de carga do robô, ou seja, a carga máxima aplicada sem que 
sua precisão seja afetada. Manipuladores em cadeia aberta possuem 
menor capacidade de carga em comparação aos de cadeias fechadas.
4.2 Elementos de um manipulador robótico
Um manipuladorrobótico é um conjunto de elementos rígidos (elos) 
conectados por articulações (juntas), como mostra a Figura 6. Na 
extremidade está presente o punho, de modo a movimentar o órgão 
terminador. Os sensores permitem ao manipulador conhecer 
1616 
melhor sobre o espaço ao redor. Para promover os movimentos ao 
manipulador, estão presentes os atuadores, conectados às unidades de 
potência, que são geridas pelos controladores. 
Figura 6 – Esquema de um manipulador robótico 
mostrando a relação de elos e juntas
Fonte: Vertulo (2016).
4.2.1 Juntas
As juntas são os elementos responsáveis por permitir a movimentação 
das partes rígidas. Deve-se ter em mente que as juntas não promovem 
o movimento, apenas permitem a movimentação dos elos conforme 
seus eixos de movimento. Dependendo do tipo de movimento que 
elas permitem, as juntas podem ser classificadas como se segue e 
visualizadas na figura 7:
• Prismática, linear ou deslizante: permite o movimento linear dos 
elos. Composta de duas hastes que deslizam entre si, sem permitir 
a rotação sobre o eixo de movimento. Possui 1 GL.
• Rotacional: permite o movimento de rotação em torno de um 
eixo de rotação. Pode ser do tipo torcional, quando o eixo de 
rotação coincide com os eixos dos elos, rotacional, quando o eixo 
de rotação é perpendicular ao eixo dos elos, e revolvente, 
1717 17
• o movimento ocorre no mesmo eixo de um dos elos, porém 
o segundo elo é fixado de forma perpendicular à outra 
extremidade da junta. Possui 1 GL.
• Esférica ou bola-encaixe: permite a rotação dos elos em torno de 
três eixos de movimento. Possui 3 GL.
• Parafuso: permite o movimento rotacional, mas durante sua 
rotação promove deslocamento linear. Possui 1 GL. 
• Planar: composta de duas juntas prismáticas com eixos de 
movimento perpendiculares. Possui 2 GL.
• Cilindríca: a combinação de uma junta rotacional com uma 
prismática. Possui 2 GL.
Figura 7 – Tipos de juntas robóticas
Fonte: Carrara (2015).
4.2.2 Elo
São as partes rígidas, estruturais do manipulador, que conecta duas 
juntas. Deve ser feito de material com resistência mecânica elevada, 
já que fornece apoio às juntas e deve suportar as cargas mecânicas 
sofridas pelo manipulador. A fim de normalização, o elo disposto em 
uma junta que esteja mais próximo da base (segundo a cinemática no 
manipulador) é definido como elo de entrada, enquanto aquele mais 
próximo do órgão terminal é o elo de saída.
1818 
4.2.3 Punho
O punho é um conjunto de juntas responsáveis por posicionar e apontar 
o órgão terminal para que possa realizar sua tarefa. Enquanto o braço 
do manipulador tem a função de mover sua extremidade, onde está 
localizado o punho, até o ponto desejado, resta ao punho orientar de 
forma correta o elemento efetuador. 
4.2.4 Órgão terminador ou elemento efetuador
É um dispositivo conectado na extremidade do manipulador, 
responsável pela apreensão, transporte ou manipulação de peças de 
trabalho, podendo ser visto como a interface do manipulador com o 
ambiente de trabalho. O manipulador tem por função posicionar o 
órgão terminador de forma precisa, de modo que ele realize a ação 
para a qual foi destinado.
Um órgão terminador pode ser do tipo garra, cuja função é apenas de 
pegar um objeto, transportar e soltá-lo, ou ferramenta, responsável 
pela executação do trabalho sobre a peça, como, por exemplo, uma 
ferramenta para soldagem. A figura 8 mostra dois tipos de elementos 
efetuadores diferentes. 
Figura 8 – Manipuladores com diferentes órgãos terminadores 
a) Garra. b) Ferramenta
Fonte: iLexx/iStock.com. Fonte: PhonlamaiPhoto/iStock.com.
1919 19
ASSIMILE
Mesmo sendo apresentado como componente do 
manipulador, o órgão não é exatamente parte do 
manipulador robótico. O manipulador, por definição, é 
o conjunto de elementos que servem para posicionar 
o órgão. Outro detalhe é que o manipulador tem 
sua estrutura constante, enquanto o órgão pode ser 
substituído conforme a necessidade.
4.2.5 Sensores
Sensores são os elementos responsáveis por informar aos controladores 
sobre as condições de operação do manipulador, sendo capazes de 
converter um tipo de unidade em outra. Por exemplo, um sensor 
converte a posição de uma junta em tensão. São usados para medir 
posição, força, consumo de energia, entre uma variedade de outras 
unidades. Recentemente, a visão computacional tem ganhado espaço 
como ferramenta de sensoriamento devido ao volume de informação 
fornecido, além da ausência de interação entre sensor e manipulador.
4.2.6 Atuadores
Responsáveis pela movimentação das partes rígidas do manipulador. 
São representados pelos motores elétricos, pistões hidráulicos e 
pneumáticos, entre outros. Podem utilizar como fonte de energia a 
eletricidade ou serem de funcionamento hidráulico ou pneumático. A 
escolha sobre cada tipo recai em características como volume ocupado, 
torque aplicado, tempo de resposta, controle e precisão na atuação. 
4.2.7 Controladores
Realizam o controle e processamento dos comandos necessários ao 
funcionamento do manipulador. Composto de sistemas eletrônicos 
2020 
como Controladores Lógico Programáveis (CLP), permitem avaliar as 
condições de operação do manipulador e definir a melhor abordagem 
para realização das tarefas. Por meio de algoritmos, um controlador 
busca o máximo desempenho do manipulador na realização da tarefa. 
Atualmente, os controladores são desenvolvidos com base em softwares, 
o que lhes agrega também flexibilidade com relação às necessidades. 
4.2.8 Unidade de potência
Fornecem a energia necessária aos atuadores. As unidades de 
potência são responsáveis por converter os comandos oriundos dos 
controladores em energia para a realização das atividades. Devem ser 
compatíveis aos atuadores usados, já que existem diferentes tipos 
de atuadores e métodos de ativação dos mesmos. É comumente 
denominada como driver, já que é sua reponsabilidade compatibilizar as 
informações a serem trocadas entre atuadores e controladores. 
4.3. Aplicações dos manipuladores robóticos
Diante das vantagens do uso de manipuladores robóticos (precisão, 
repetibilidade, não sofrem com fadiga ou limitados pelo ambiente), os 
mesmos estão cada vez mais sendo aplicados em outros ambientes que 
não são industriais. Veremos alguns exemplos das aplicações.
4.3.1 Robôs na indústria automotiva
Os processos de soldagem são umas das bases nos processos de 
fabricação. Mesmo sendo amplamente estudada, a soldagem ainda 
depende da experiência do soldador. Com o uso dos robôs soldadores, 
a soldagem é mais eficiente, rápida e segura, mantendo a qualidade na 
produção constante. Além disso, o custo para substituir um robô em 
uma dada tarefa é menos onerosa que a substiuição de um empregado.
A indústria automobilistica foi a primeira a aplicar os robôs para 
realizar soldas de forma massiva. Com isso houve a redução no 
2121 21
retrabalho devido às soldas mal executadas, além de permitir 
a soldagem em condições anteriormente inviáveis devido às 
dificuldades apresentadas. Na indústria automotiva atual, a soldagem 
dos componentes dos carros é feita por meio de estações de 
soldagem exclusivamente compostas por robôs. 
Os robôs também são responsáveis por outros setores da indústria, 
como na pintura e transporte de peças. No setor de pintura, permitem 
uma uniformidade no processo, garantindo a qualidade. Uma vez que 
robôs movimentam as peças ao longo da indústria, existe um menor 
desgaste físico dos funcionários. 
Por esses motivos a presença dos robôs reduzem gastos e o 
desperdício. Por conta da uniformidade no processo, os gastos 
relativos à perda de matéria-prima e retrabalho praticamente são 
nulos. Por conta da repetibilidade nos processos de fabricação, 
é possível gastar menos material, limitando a consumir apenas a 
quantidade necessária de insumos em cada processo. 
Mas, mesmo com todas as vantagens, a automação não deve 
ser considerada como única ferramenta de trabalho na indústria 
automotiva. Por exemplo, a Tesla,uma montadora de veiculos 
elétricos, sofreu com problemas devido à automatização excessiva na 
linha de produção, já que havia repassado aos robôs funções tanto nas 
fases de soldagem e pintura, como é comum nas montadoras, quanto 
nas etapas de montagem final (Infomoney, 2018).
4.3.2 Robôs na medicina
A medicina encontrou na robótica ferramentas que permitem desde 
cirurgias menos invasivas até telecirurgias. Somente no Brasil, em 2018, 
foram operadas mais de 9 mil pacientes (ParanáPortal, 2018), sendo 
realizadas por robôs cirurgiões semelhantes ao apresentado na Figura 9. 
2222 
Estes robôs não realizam procedimentos sozinhos, sendo operados de 
modo remoto por um cirurgião, a partir de uma estação de controle. 
Figura 9 – Robô cirurgião Da Vinci
Fonte: 3alexd/iStock.com.
Em cirurgias de alto risco, o uso de manipuladores robóticos permite 
ao médico um grau de precisão até pouco tempo difícil de ser 
alcançado. Por meio de controles, o médico envia comandos ao robô 
que efetivamente está realizando a cirurgia. Isso minimiza os efeitos 
de fadiga ou nervosismo do médico, o que pode tornar a recuperação 
do paciente mais rápida e com menor chance de sequelas. Esse tipo 
de controle permite, inclusive, cirurgias a distância. Por meio da 
telemedicina, o paciente e a equipe médica podem estar em um lugar 
enquanto o médico, situado distante, envia comandos a um robô para 
que o mesmo realize os procedimentos.
4.3.3 Robôs espaciais
Transportar um astronauta para o espaço é caro e complexo. Agora 
considere ele ter que trabalhar em atividades difíceis e perigosas, 
como a manutenção de componentes em uma estação espacial? 
Para reduzir esses riscos, um braço robótico é responsável por grande 
2323 23
parte das operações externas à estação, sendo controlado a distância. 
Com isso, o astronauta não é exposto a riscos desnecessários.
Além desse tipo de robótica, devemos lembrar das sondas enviadas ao 
espaço, como as para exploração e pesquisa de Marte, onde diversos 
veículos robóticos já pousaram e cumpriram suas missões. 
Diante de todas as informações apresentadas nesta leitura, é possível 
perceber a importância da robótica sob diversos aspectos. A robótica 
foi aplicada como ferramenta para melhorar a qualidade na produção, 
permitindo a uniformidade nos processos envolvidos, já que sempre 
realiza a atividade conforme foi programada, sem influências psicológias 
ou fadiga. Com isso, os custos de produção podem ser reduzidos, já que 
o processo não será onerado por problemas pessoais ou de cansaço. 
Outro detalhe importante desta leitura é a compreensão inicial de 
certos termos envolvidos na robótica. Isto facilitará o desenvolvimento 
das demais leituras, agora são conhecidos detalhes como a estrutura 
de um manipulador robótico, seus elementos construtivos e como eles 
se relacionam.
TEORIA EM PRÁTICA 
Falar sobre os benefícios da aplicação da robótica em 
diversos setores é fácil e simples, já que traz produtos de 
melhor qualidade a menores preços. Mas infelizmente nem 
tudo é perfeito na robótica. Com a robotização ocorre um 
efeito negativo sobre os operários, já que sofrem o risco 
de serem substituídos. Desse modo, procure justificar as 
vantagens do uso dos robôs aos funcionários, destacando 
os beneficios das novas áreas criadas na empresa por conta 
da presença dos robôs industriais.
2424 
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
1. Entre as diferenças básicas entre robótica e automação 
na indústria, podemos dizer que:
a. A automação é um tipo de robótica, já que ambas 
envolvem a realização de atividades com reduzida 
participação humana.
b. Mesmo a robótica sendo um tipo de automação, 
ela se dedica à aplicação unicamente de máquinas 
dedicadas à realização de atividades únicas.
c. A robótica, por envolver processos que reduzem a 
interferência humana na produção, é considerada 
um tipo de automação. 
d. A automação e a robótica são a mesma coisa na 
indústria.
e. A robótica se preocupa com a utlização de máquinas 
na indústria, enquanto a automação se dedica ao 
gerenciamento dos processos.
2. Com relação aos elementos de um manipulador 
robótico, é INCORRETO: 
a. Os elos promovem suporte mecânico para que o 
manipulador possa realizar suas atividades.
b. As juntas e os atuadores são elementos distintos, 
mas que podem atuar de forma semelhante.
c. O punho não altera a posição da extremidade do 
manipulador robótico.
truck
Destacar
2525 25
d. O elemento efetuador não faz parte do 
manipulador robótico.
e. Um controlador age juntamente com os 
atuadores, forncendo a energia necessária para a 
movimentação dos elos.
3. Com relação à definição atual sobre os robôs industriais, 
é correto afirmar que:
a. Define-se robô como algo que atua de forma 
autônoma, sem vontade própria (sem inteligência), 
já que a palavra de origem significa o mesmo.
b. Define-se robô como uma ferramenta cuja função 
pode ser reconfigurada conforme a necessidade.
c. Define-se robô como uma máquina capaz de realizar 
várias funções pré-programadas, desde que ele tenha 
sido desenvolvido para tais funções.
d. Define-se robô como uma máquina com alta 
produtividade, desenvolvida para uso específico.
e. Define-se robô como uma ferramenta para reduzir 
a necessidade do homem na realização das etapas 
de produção.
Referências bibliográficas
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______. Eu, Robô. Trad. de Aline Storto Pereira. São Paulo, SP: Aleph, 2009. 
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______. O Homem Bicentenário. São Paulo, SP: Hemus, 1980. 
CARRARA, V. Introdução à robótica industrial. São José dos Campos: INPE-
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eletrônica. Disponível em: http://labdeeletronica.com.br/robos-de-classe/. 
Acesso em: 25 ago. 2019.
Gabarito
Questão 1 – Resposta: C
Resolução: De forma suscinta, a Robótica é parte integrante da 
automação exatamente por permitir a realização das atividades 
com pouca ou nenhuma interferência humana por meio de 
máquinas e ferramentas. Com isso, estão erradas as letras 
A, D e E. No caso da B, o erro está em dizer que a automação 
cuida unicamente dos processos. No caso da letra B, o erro 
está em considerar as maquinas dedicadas à realização de 
uma atividade. Pela definição, os robôs industriais devem ser 
reprogramáveis e multifuncionais. 
https://www.gazetadopovo.com.br/economia/nova-economia/elon-musk-admite-que-errou-o-excesso-de-autom
https://www.gazetadopovo.com.br/economia/nova-economia/elon-musk-admite-que-errou-o-excesso-de-autom
https://www.gazetadopovo.com.br/economia/nova-economia/elon-musk-admite-que-errou-o-excesso-de-automhttps://paranaportal.uol.com.br/geral/tecnologia-na-medicina-especialistas-realizaram-9-mil-cirurgia
https://paranaportal.uol.com.br/geral/tecnologia-na-medicina-especialistas-realizaram-9-mil-cirurgia
https://paranaportal.uol.com.br/geral/tecnologia-na-medicina-especialistas-realizaram-9-mil-cirurgia
http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2018-06/vendas-mundiais-de-robos-industriais-batem-
http://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2018-06/vendas-mundiais-de-robos-industriais-batem-
http://labdeeletronica.com.br/robos-de-classe/
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Questão 2 – Resposta: E
Resolução: A alternativa E deve ser assinalada. Está incorreta 
porque o elemento responsável pelo fornecimento de energia aos 
atuadores são as unidades de potência (ou drivers). Os controladores 
são responsáveis por processar as ações a serem realizadas pelos 
atuadores para atingirem os objetivos para os quais foram alocados. 
Questão 3 – Resposta: B
Resolução: Um robô industrial é um manipulador multifuncional 
projetado para realizar atividades por meio de movimentos 
variáveis e pode ser reconfigurado conforme a necessidade. A letra 
A cita a definição original, porém antiga sobre robôs industriais, 
enquanto as letras C, D destacam o robô como uma ferramenta 
de uso específico e dedicado, sem possibilidades de mudanças. 
O erro na letra E está na definição que não se refere em nenhum 
momento à relação entre robôs e atividades humanas.
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2828 
Descrição matemática de 
manipuladores: sistemas de 
coordenadas em robótica
Autor: Bruno Henrique Oliveira Mulina
Objetivos
• Compreender sobre sistemas de coordenadas: 
cartesianas, polares e cilindrícas. 
• Compreender sobre as relações de transformação 
de coordenadas. 
• Introduzir a matriz de transformação homogênea.
2929 29
1. Introdução aos sistemas de coordenadas
Na Física, é comum usarmos o termo referencial para definir de que 
ponto estamos olhando o problema. Podemos também definir o termo 
referencial como um ponto fixo no espaço, a partir do qual as coisas 
se aproximam ou afastam. Por exemplo, se estamos olhando para 
um carro enquanto estamos parados em uma calçada, vemos que os 
prédios estão parados enquanto o carro se move. Já se estivermos 
dentro do carro, ele está parado em relação a nós e os prédios se 
movem. Compreender esse conceito será muito importante para 
analisarmos os sistemas de coordenadas e a cinematica 
(a movimentação) do manipulador robótico. 
Nesta leitura veremos como uma mesma posição no espaço pode 
ser descrita de diversas formas, conforme o sistema de coordenadas 
aplicado. Veremos a importância de caracterizar corretamente um ponto 
no espaço e como isso é feito. Além disso, compreenderemos sobre as 
transformações ocorridas com um objeto ao se deslocar no espaço e a 
introdução sobre as matrizes homogêneas de transformação.
2. Sistemas de coordenadas e transformações 
Como já foi apresentado, um manipulador mecânico é constituido 
de elos, conectados por juntas e cada junta fornece um conjunto 
de graus de liberdade. O conhecimento completo das variáveis 
articulares (graus de liberdade e tamanho dos elos) de um robô 
determina o posicionamento de sua ferramenta no sistema de 
coordenadas de trabalho. Vimos também que, de um modo geral, 
um manipulador precisa de três primeiros graus de liberdade para 
posicionamento do seu elemento terminal no espaço e de outros 
três, inclusos no punho, para a orientação da sua ferramenta para a 
execução da tarefa. Já pensou por que são necessários no mínimo três 
graus para cada uma das tarefas (posicionamento e orientação)?
3030 
Antes de mais nada, para localizar um corpo em um espaço 
precisamos definir uma coordenada fixa, um referencial do qual 
todas as medidas serão iniciadas, e de que modo mediremos as 
distâncias entre o corpo e esse referencial. Definido o referencial, 
deve-se compreender que qualquer posição no espaço é definida por 
meio de três vetores ortogonais.
Para compreender a importância de definir esses dados corretamente, 
pense que estamos em uma sala, como na Figura 1, e queremos 
descrever a posição do objeto P nessa sala. Para isso, primeiramente 
devemos definir de onde realizaremos as medidas. Vamos considerar 
que mediremos a partir do ponto O. Podemos dizer que o ponto p está 
a 3 metros de distância do ponto P na direção da largura, 2 metros na 
direção do comprimento e 1 metro na direção da altura. Mas para que 
direções ficam a largura da sala e o comprimento?
Figura 1 – Localização espacial do ponto P em uma sala
Fonte: elaborada pelo autor.
Além disso, de que outras formas é possível localizar o ponto P? 
Somente por meio das coordenadas citadas antes? Para responder a 
essas perguntas, estudaremos os sistemas de coordenadas. 
Um sistema de coordenadas é definido por meio de um conjunto de 
vetores direcionais unitários, capazes de descrever um espaço de 
n-dimensional. Essa descrição deve ser realizada por meio de vetores 
ortogonais, de modo que um vetor não seja resultado de outras dois já 
3131 31
existentes. Caso não lembre, um vetor ortogonal é aquele que forma um 
ângulo de 90º com outro. De modo simples, um sistema de coordenadas 
é o conjunto de direções, no qual se deve seguir para identificar um 
ponto no espaço. Para descrever uma posição, é comum aplicar um 
sistema de coordenadas de duas dimensões (também conhecido como 
plano) onde utilizamos dois eixos (ou vetores direcionais unitários) 
ortogonais para definir o espaço, ou três dimensões (definindo um 
volume), sendo necessário três eixos ortogonais. 
Os sistemas de coordenadas mais comuns para representar uma 
posição no espaço são os sistemas cartesiano, polar, cilíndrico e esférico.
2.1 Sistema de coordenadas cartesiano
Este sistema, também conhecido como sistema ortogonal, já que 
seus vetores direcionais possuem direções sempre afastadas de 
90º, é o mais amplamente utilizado para determinar a posição de 
um ponto (objeto) no espaço de duas ou três dimensões, já que é o 
sistema em que se baseiam as observações cotidianas e no qual as 
dimenções de um objeto são definidas por meio da altura, largura e 
profundidade. Para localizar um ponto plano cartesiano, utiliza-se dois 
eixos coordenados, no caso do plano, comumente chamados de x e y, 
ou três eixos, no caso dos planos, conhecidos como x, y, e z, dispostos 
perpendicularmente um ao outro. A Figura 2 destaca como são os 
vetores cartesianos no plano (duas dimensões, como em uma folha de 
papel) e no espaço (três dimensões, como em um cubo). 
Figura 2 – Sistema de coordenadas cartesiano
Fonte: elaborada pelo autor.
3232 
Para compreender a direção dos três eixos no sistema cartesiano, 
utilizareamos a regra da mão direita. Feche a mão, mantendo apenas 
o polegar, indicador e dedo médio abertos. Tente colocar esses dedos 
apontando para direções diferentes (o polegar para cima, o indicador 
para frente e o médio para o lado). Desse modo o eixo z passará 
pelo dedo polegar, o eixo x passará pelo indicador e o eixo y passará 
pelo dedo médio. Tenha essa configuração em mente pois será de 
grande valia.
2.2 Sistema de coordenadas polar
O sistema de coordenadas polares é um sistema bidimensional onde 
as coordenadas são descritas a partir da combinação entre o módulo 
do vetor entre o ponto e a origem do sistema, e o ângulo formado 
entre o eixo x do plano cartesiano e este vetor. A Figura 3 destaca as 
coordenadas polares dispostas em um plano cartesiano, cujo ponto P 
apresenta as coordenadas P = [r; q].
Figura 3 – Sistema de coordenadas polares
Fonte: elaborada pelo autor.
Como as coordenadas polares envolvem a rotação dos pontos com 
relação à origem, o sistema de coordenadas localizado no ponto 
também sofre rotação, representado pelos vetores x’ e y’.
Conhecendo as coordenadas polares, as coordenadas cartesiandas são 
obtidas por meio do conjunto de equações:
3333 33
Do mesmo modo, para converter as coordenadascartesianas 
em polares:
2.3 Sistema de coordenadas cilindríco 
O sistema de coordenadas cilindrícas é a expansão do sistema de 
coordenadas polares para espaço tridimensional. Para facilitar a 
compreensão, pense que o volume formado por esse tipo de coordenada 
é semelhante a uma lata. Nesse sistema, uma posição no espaço é 
determinada a partir de suas coordenadas polares (raio e ângulo) 
no plano xy e uma distância, ou altura, do eixo z. A Figura 4 mostra a 
disposição dos vetores unitários nesse sistema de coordenadas. No 
sistema cilindríco, o ponto P tem as coordenadas P = [r, q, z].
Figura 4 – Sistema de coordenadas cilíndricas
Fonte: elaborada pelo autor.
3434 
Assim como ocorre com as coordenadas polares, a rotação ocorrida 
no eixo para posicionar o ponto P na coordenada desejada também 
rotaciona os eixos ortogonais, gerando o sistema de coordenadas 
x’, y’ e z’.
A transformação entre as coordenadas cilindríca e cartesiana é 
basicamente a mesma que a ocorrida entre coordenadas polares e 
cartesianas. Para a nova dimensão apresentada, a medida é realizada 
por meio de um eixo com a mesma direção do eixo z do sistema 
cartesiano, então não é necessaria qualquer transformação. 
Para converter de cilindríca para cartesiana, temos:
De cartesiana para cilindrica, a transformação realizada é:
2.4 Sistema de coordenadas esférico
O sistema esférico de coordenadas é um sistema que também 
descende do sistema polar e permite a localização de um ponto 
qualquer em um espaço cujo volume possui formato esférico. Para isso, 
uma posição é descrita por meio do módulo do vetor que liga a origem 
do sistema ao ponto de interesse e os angulos formados por esse 
vetor nos planos xy e yz. A Figura 5 destaca os vetores esféricos e suas 
orientações. As coordenadas do ponto P são P = [r, q, j] .
3535 35
Figura 5 – Sistema de coordenadas esféricas
Fonte: elaborada pelo autor.
Vamos omitir as transformações desse sistema de coordenadas por 
ora, já que a grande maioria das juntas utilizadas em manipuladores 
são rotacionais ou prismáticas – então daremos mais foco a esses 
tipos de juntas.
3. Definições e notações
Inicialmente, um corpo rígido é, por definição, um corpo cuja posição 
é invariante no tempo para um conjunto de medidas. Além disso, sua 
forma e dimensões são constantes. Isso quer dizer que, se utilizarmos 
este corpo como referencial, independente de sua posição no espaço, 
sempre será possivel defini-lo como o “centro” do espaço que estamos 
estudando. De forma prática, qualquer movimento realizado ou 
deformação ocorrida são tão pequenos que podem ser desprezados. 
É importante deixar claro uma informação: um corpo rígido não 
necessariamente é algo estático no espaço. Isso quer dizer que ele pode 
estar se movendo no espaço quando visto de outro referencial. Por 
esse motivo, deve-se ter em mente que existem diversos sistemas de 
coordenadas a serem aplicadas no estudo de um manipulador robótico. 
3636 
Por exemplo, podemos definir um sistema de coordenadas na base do 
manipulador, outro na ferramenta e, em alguns casos, até na atividade a 
ser realizada pelo manipulador. Isso será importante para compreender 
as descrições e transformações. Por exemplo, a Figura 6 mostra um 
conjunto de referenciais aplicados em um manipulador robótico.
Figura 6 – Sistemas de coordenadas em um manipulador robótico
Fonte: adaptada de Nerthuz/iStock.com.
Para facilitar a distinção sobre as diferentes entidades usadas nesta 
aula, utilizaremos formas diferentes de representá-las. As entidades 
que estudaremos podem ser vetoriais ou matriciais, escalares ou 
de referência. Uma entidade vetorial (ou matricial) será aplicada na 
descrição de operações ou transformações, como, por exemplo, 
descrever um movimento. As entidades escalares serão aquelas que 
descrevem, na maioria dos casos, uma medida espacial. E, finalmente, 
como o nome mesmo diz, descrevem as caracteristicas do corpo rígido 
ou o centro do espaço a ser estudado.
Para representar uma entidade vetorial ou matricial, utilizaremos a 
notação utilizando a letra maiúscula. Assim, ao deparar com a notação 
A se refere a um vetor ou matriz. Caso o vetor possua o acento 
circunflexo, como em Â, ele representa uma das direções principais do 
sistema de coordenadas que está sendo usada, cuja representação será 
feita por meio de uma letra entre chaves, como em {A}.
3737 37
No caso de medidas (entidades escalares), usaremos a notação com 
letras minúsculas, como em a. Assim, se quiser representar uma 
distância ou uma orientação, deve ser feita dessa forma. Então, a 
partir de agora, as notações A e a são completamentes diferentes. 
Aproveitando, uma informação importante: a posição de um ponto é 
uma unidade vetorial! Por isso, não confunda: a descrição de um ponto 
é feita com a letra maiúscula!
A última notação se refere ao sistema de coordenadas utilizado. Ela deve 
ser apresentada subscrita e/ou sobrescrita à entidade que se deseja 
destacar. Por exemplo, se queremos referenciar o vetor V, que tem como 
sistemas de coordenadas {B}, representamos então como VB ou VB. 
4. Descrição espacial
Uma descrição é a forma de representar a entidade na qual estamos 
estudando. Por exemplo, uma descrição pode representar uma posição, 
orientação ou um sistema de referências. A definição correta das 
entidades e a adoção de uma conveção única se fazem necessárias 
para evitar análises dúbias que afetariam o estudo, por exemplo, da 
movimentação do manipulador dentro de um espaço de trabalho.
Para compreender de forma mais simples, vamos considerar um 
sistema de coordenadas geral, no qual toda a análise se baseia, e um 
sistema de coordenadas específico, localizado no ponto onde desejamos 
estudar. É obvio que tanto o sistema geral e o específico devem ser do 
mesmo tipo, como, por exemplo, ambos deverão ser cartesianos. 
Utilizaremos ao longo da Leitura o sistema cartesiano, devido à 
simplicidade na compreensão das operações aplicadas e também por 
ser o sistema de coordenadas inerente ao nosso cotidiano. Todas os 
estudos realizados no sistema tridimensional podem ser estendidos 
para o sistema bidimensional, bastando apenas considerar as 
descrições sobre o eixo inexistente com valor nulo.
3838 
Uma descrição de posição define uma coordenada no espaço. 
Essa descrição é feita por meio de um vetor, com origem no centro 
do sistema de coordenadas adotado até a posição que desejamos. 
Esse vetor pode ser compreendido como as distâncias percorridas 
desde a origem até aquela posição desejada, em cada direção do 
sistema, ou como foram realizadas as translações entre a origem e a 
posição atual. Essa compreensão é importante para que se perceba 
que a descrição de posição é um vetor onde cada coordenada 
representa a distância sobre cada cada um dos eixos.
Por exemplo, utilizando um sistema de coordenadas cartesiano 
{C}, se a descrição de um ponto fosse dada como PC = [2;5;1], isso 
significaria que o ponto P está, com relação à origem do sistema de 
coordenadas {C}, distante 2 unidades de comprimento da origem na 
direção î , 5 unidades na direção ĵ e 1 unidade na direção k̂ , como 
mostra a Figura 7.
Figura 7 – Descrição de posição
Fonte: elaborada pelo autor.
A descrição de orientação apresenta a direção na qual o ponto acena 
com relação ao sistema de coordenadas. De forma mais formal, 
a descrição de orientação descreve diferença entre a orientação 
do sistema de coordenadas geral e a orientação do sistema de 
coordenadas específico afixado no objeto. 
3939 39
De modo a exemplificar a importância dessa descrição, imagine que 
o elemento terminal de um manipulador é uma broca. Ela pode estar 
posicionada de forma correta, porém com orientações diferentes, uma 
perpendicular à superfície e outra levemente tombada. Imagine que 
o manipulador no qual a ferramenta está presa fará um movimento 
vertical para a furação. Caso a broca esteja na perpendicular, o furo 
será realizado corretamente, enquanto a broca tombadamuito 
provavelmente se quebrará durante a atividade. 
Para descrever a orientação de um objeto no espaço, deve-se relacionar 
os sistemas envolvidos (o geral e o específico), como, por exemplo, um 
sistema {B}, posicionado na ferramenta do manipulador, com relação 
à {A}, na base dos mesmos. Para isso, é necessário coincidir a origem 
de ambos sistemas de coordenadas, e a orientação de ambos sistemas 
é definida por uma matriz de rotação ABR transformação dos eixos de 
coordenadas do sistema {B} com relação a {A}.
ASSIMILE
Devemos ter em mente sempre a regra da mão direita para 
compreender as transformações, sejam de translação ou 
de rotação. As operações envolvendo rotação sempre se 
baseiam em manter um dos eixos (ou dedos) fixo e giro dos 
outros dois dedos. Cada par de dedo representa um plano 
(xy, yz e zx). A regra da mão direita também é aplicada na 
matemática por meio do produto vetorial, e na Física, no 
estudo de campos eletromagnéticos. Desse modo, é de 
suma importância saber usá-la. 
4040 
Agora veremos como ocorrem as transformações de posição e 
orientação de um ponto. Utilizaremos o sistema cartesiano, já que é o 
de mais facil compreensão. As operações aqui apresentadas também 
podem ser estendidas aos outros sistemas de coordenadas, guardadas 
suas devidas mudanças.
4.1 Translação de um ponto no espaço cartesiano
As translações permitem deslocar ponto ao espaço, mas sem alterar 
sua orientação do objeto. Desse modo, podemos dizer que a translação 
ocorre percorrendo os eixos ortogonais do sistema de coordenadas 
geral (normalmente localizado na base). A translação é dada pela soma 
dos valores desejados a cada eixo ortogonal. Dese modo, pode-se dizer 
que o ponto teve suas coordenadas transformadas, que distinguiremos 
do ponto original por meio de um apóstrofo. Assim, o ponto P, ao ser 
transformado, passa a ser o ponto P’:
Onde P’ é descrição de posição do ponto transladado (x + Δx, y + Δy, z + 
Δz), T é a matriz de translação (Δx, Δy, Δz), e P é a descrição de posição do 
ponto a ser transladado. (x, y, z). Lembre-se de que no caso de sistemas 
bidimensionais basta considerar uma das coordenadas nula. A Figura 8 
mostra graficamente a transformação de translação.
Figura 8 – Transformação de translação
Fonte: elaborada pelo autor.
4141 41
Por exemplo, se o ponto P possuir coordenadas P = [1; 2; 3] e for 
aplicada a matriz de translação T = [8; 4; 1], o ponto P’ estará localizado 
nas coordenadas P’ = [9; 6; 4].
4.2 Rotação de um ponto no espaço cartesiano
A rotação de um ponto promove a mudança em sua orientação com 
relação a um ponto ou eixo de referência. Ela ocorre por meio da soma 
de um ângulo à orientação já existente no ponto (se analisarmos por 
meio de coordenadas polares), como mostra a Figura 9, onde o ponto P 
foi rotacionado com relação à origem do sistema.
Figura 9 – Rotação de um ponto no sistema cartesiano
Fonte: elaborada pelo autor.
Utilizando as conversões entre os planos cartesianos e polar, 
encontramos uma matriz de rotação no sistema cartesiano, como:
Matricialmente, temos:
Imagine que o vetor que une a origem do sistema ao ponto P é um 
elo do manipulador. Por meio da transformação do sistema polar 
4242 
em cartesiano, o tamanho do elo pode ser calculado como 
. Como o elo foi apenas rotacionado, seu tamanho é constante. Então 
podemos, por meio das relações trigonométricas, encontrar a posição 
da extremidade desse elo com base na coordenada original e na 
transformação sofrida, por meio das relações:
Onde f é a orientação original do ponto e θ é a transformação de 
rotação desejada na orientação do ponto. Para simplificar, é comum 
representar as operações apenas pelas letras si, para representar ( )isen q , 
e ci para o ( )cos iq . Então, considerando f como θ1 e θ como θ2, temos:
4.3 Rotação de um ponto no espaço tridimensional cartesiano
Para facilitar o estudo da rotação no espaço, considere que uma 
rotação no espaço é o mesmo que a soma da rotação sobre os três 
eixos. Com isso, podemos as seguintes relações:
• Ao girar sobre o eixo x, o dedo indicador é rotacionado de 
modo que o polegar e o médio se movam sobre um mesmo 
plano (plano yz).
• Ao girar sobre o eixo y, o dedo médio é rotacionado de 
modo que o polegar e o indicador se movam sobre um 
mesmo plano (plano xz).
• Ao girar sobre o eixo x, o polegar é rotacionado de modo que o 
indicador e o médio se movam sobre um mesmo plano (plano xy).
Para definir qual sentido é positivo na rotação, seguimos a regra da mão 
direita. As rotações ocorrem da seguinte forma: 
4343 43
• Para o eixo x: a rotação ocorre de y para z (médio para polegar).
• Para o eixo y: a rotação ocorre de z para x (polegar para indicador).
• Para o eixo z: a rotação ocorre de x para y (indicador para médio).
PARA SABER MAIS
Além da representação “graus”, existem outras formas 
para descrever o deslocamento angular. Uma forma 
bastante comum é a representação em radianos, onde a 
volta completa (360º) é igual a 2π radianos. A diferença no 
uso de uma ou outra representação está no significado. 
Quando se deseja apenas saber qual porção de uma 
volta foi percorrida, usa-se “grau”. Agora, se deseja 
representar uma unidade de comprimento, uma medida 
de tamanho, utiliza-se radianos. Por isso, em problemas 
como ( ) ( )f x x sen x= ⋅ SEMPRE deve utilizar o valor de x 
em radianos e não em graus. Por isso, cuidado ao usar 
programas ou calculadoras! Cheque se ela está operando 
em modo grad (graus) ou radianos!
5. Representação matricial e coordenadas 
homogêneas
Vimos que um ponto no espaço está corretamente definido quando 
conhecemos sua orientação e sua posição. Também vimos as 
transformações de translação e rotação a serem aplicadas em uma 
coordenada. Para calcular ambas as transformações, é possível aplicar 
uma matriz de transformação homogênea. Por meio dessa matriz é 
possível aplicar ambas as transformações (e outras duas que serão 
omitidas por não serem necessárias para o estudo dos manipuladores). 
4444 
Para a translação, a matriz de transformação homogênea tridimensional 
é dada por:
Lembre-se de que, no caso de transformações bidimensionais, basta 
zerar uma das coordenadas. Caso não se lembre, a solução desse tipo 
de matriz é feita conforme:
Como exemplo, para i = 1 temos o cálculo dos parâmetros relacionados 
a x, ou seja:
No caso de rotação, lembre-se de que a rotação ocorre em três eixo 
distintos, ou seja, para a rotação em torno do eixo z temos:
Para rotação no eixo x:
4545 45
Para rotação no eixo y:
6. Sistema de coordenadas da ferramenta
Oriundo dos movimentos realizadas pelos aviões, o sistema de 
coordenadas da ferramenta é definido como rolamento (Roll) f, mergulo 
ou arfagem (Pich) θ e guinada (Yaw) ψ, e se devem à rotação do sistema 
de coordenadas presente do elemento final com relação à base do 
manipulador. Observando sob o ponto de vista do manipulador, as 
três rotações ocorrem: movimento de rotação no sentido horário e 
antihorário (rolamento), movimento para cima e para baixo (arfagem) e 
movimento para a esquerda e para a direita (guinada).
7. Ângulos de Euler
Ao promover a rotação nos eixos, a fim de que se atinja uma determinada 
direção, é possível escolher qualquer ordem na transformação dos 
eixos. Isso quer dizer que, para representar a direção um sistema de 
coordenadas qualquer, é necessário um conjunto de rotações em cada 
um dos eixos do sistema de coordenadas de referência. 
Porém, algumas sequências de movimentos são mais eficientes que 
outras, o que resulta na obtenção das coordenadas desejadas de forma 
mais fácil. A combinação dos ângulos aplicados para essas sequências 
é chamada de Ângulos de Euler. Existem diversas possibilidades de 
conjuntos de ângulos de Euler, conforme a seqüência de rotação 
escolhida. Por exemplo, a sequência Z-X-Z nos informa que, ao realizar 
4646 
o deslocamento angular, devemos seguir a sequência: gira-se o sistema 
{C} ao longo do eixo z, depois aplica-se a rotaçãono eixo x e, por fim, 
novamente ao eixo z. Aplicando as transformadas homogêneas de 
rotação, é possível obter os fatores que convertem a direção de um 
sistema coordenadas em outro.
TEORIA EM PRÁTICA 
Ao participar de uma palestra sobre manipuladores 
robóticos, uma pessoa que estava sentada ao seu lado 
questionou o palestrante sobre a motivação pela qual a 
maioria dos robôs industriais possuem 6 GL. Após um 
breve momento, o palestrante responde que, no caso 
de menos graus de liberdade, poderiam existir posições 
nas quais o manipulador não atingiria a coordenada 
desejada ou a orientação correta da ferramenta. 
Sem entender o motivo, a pessoa pergunta se você 
poderia explicar o motivo da resposta. Qual seria 
uma explicação para que ele compreenda?
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
1. A fim de estudar o modelo de um manipulador, algumas 
considerações devem ser feitas. A primeira é a definição 
de um corpo rígido e um sistema de coordenada 
relacionado a ele. Então, por definição, um corpo rígido é: 
a. Um ponto no espaço no qual sua posição é constante 
independente do ponto de vista, resultando em uma 
posição que possa ser usada de referência para 
qualquer análise do manipulador robótico.
4747 47
b. Um ponto no espaço que é usado como referência 
para as medidas realizadas em um dado momento, 
podendo suas coordenadas variarem com relação a 
outros corpos rígidos.
c. É um corpo indeformável com dimensões e 
propriedades físicas constantes, onde é possível 
posicionar as juntas e os elos de um manipulador.
d. É um sistema de coordenadas invariante no tempo, 
que serve como referência para outros sistemas.
e. É um sólido usado como referência de medidas em 
um manipulador robótico.
2. A coordenada cartesiana (-5; 2; 0), ao sofrer uma 
transformação de rotação de π/3 radianos sobre o 
eixo x, seguida de uma transformação de translação 
de (0; -3; 1), passa a assumir a posição:
a. (5; 2; 1).
b. (-4,23; -3,33; -1).
c. (-1,23; 3,33; 0).
d. (-4,23; -6,33; 1).
e. (1,23; -3,33; -4,33).
3. Entre os ângulos de Euler, uma das combinações é a 
sequência Z-X-Z. Isso quer dizer que: 
a. A primeira transformação de rotação altera as 
coordenadas no plano Z.
4848 
b. A segunda transformação de rotação altera as 
coordenadas no plano XZ.
c. A terceira transformação de rotação altera as 
coordenadas no plano XY.
d. A primeira transformação de rotação altera as 
coordenadas no plano Y.
e. O eixo Y sofre duas rotações, já que é o eixo 
entre os planos ZX e XZ.
Referências bibliográficas
CRAIG, J. J. Introduction to robotics: mechanics and control. 3. ed. Upper Saddie 
River: Person Education, 2005.
MIRANDA, R. Cinemática y Dinámica de Robots Manipuladores. Mexico: 
Alfaomega, 2016.
ROSÁRIO, João Mauricio. Robótica Industrial I Modelagem, Utilização e 
Programação. São Paulo: Baraúna, 2010.
PAZOS, F. Automação de sistemas e robótica. Rio de Janeiro: Axcel Books do 
Brasil, 2008.
SALANT, M. A. Introdução a robótica. São Paulo: Makron Books, 2008.
SANTOS, V. M. F. Robótica industrial: apontamentos teóricos, exercícios para aulas 
praticas, problemas de exame resolvidos. 1. ed. São Paulo: Aveiro, 2004. 
Gabarito
Questão 1 – Resposta: B
Resolução: A definição cita o corpo rígido como uma referência para 
o espaço que estamos medindo. Como o espaço a ser estudado 
pode mudar, o corpo rígido a ser considerado também pode 
mudar. Além disso, ele possui posição constante com relação ao 
espaço estudado, não havendo nenhuma restrição do modo em 
4949 49
que este ponto se relaciona com outros fora desse espaço. Por esse 
motivo, as alternativas A e D não estão completamente corretas. 
As alternativas C e E estão completamente erradas, já que a 
definição de corpo rígido não tem relação ao tipo de material 
usado ou à geometria, ou mesmo à rigidez do material empregado. 
Questão 2 – Resposta: D
Resolução: Segundo a matriz de transformação da rotação, temos:
Agora a transformação de translação:
Deste modo, a resposta correta é (-4,23; -6,33; 1). 
Questão 3 – Resposta: C
Resolução: Os ângulos de Euler indicam em qual eixo será aplicado 
uma transformação de rotação. Então, a primeira transformação 
ocorre no eixo Z. Isso quer dizer que manteremos o eixo Z na 
mesma direção e rotacionaremos os demais eixos. Com isso, as 
coordenadas sobre o plano XY são afetadas. A lógica se mantém 
para as transformações de rotação ocorridas nos demais eixos. 
Então, a única alternativa que relaciona as transformações 
seguindo essa lógica é a alternativa C. 
5050 
Modelagem cinemática 
direta e inversa
Autor: Bruno Henrique Oliveira Mulina
Objetivos
• Calcular como deve ser a movimentação 
das juntas para que o manipulador atinja as 
coordenadas desejadas. 
• Calcular as coordenadas da ferramenta a partir 
da movimentação do manipulador. 
• Compreender os métodos existentes para 
cálculo da cinemática inversa.
5151 51
1. Introdução à cinemática dos manipuladores
Ao operar um manipulador robótico, é de interesse saber a série de 
comandos necessários para a execução das tarefas. A movimentação de 
um manipulador é feita de acordo com uma série de transformações de 
translação e rotação promovidas pelas juntas presentes. Diante disso, o 
operador pode possuir o interesse em descobrir as posições atingidas 
pelo manipulador de acordo com os deslocamentos promovidos pelas 
juntas. Pode ser de interesse também compreender de que forma as 
juntas deve operar a fim de que se atinja uma posição e uma orientação 
correta da ferramenta. 
Em ambos os casos, deve compreender o comportamento das juntas 
e de que forma cada tipo promove a mudança nas coordenadas do 
elemento final do manipulador. Conhecendo como cada junta se 
comporta e as dimensões dos elos, é possível construir um modelo 
matemático que relacione as transformações obtidas pelas juntas e as 
coordenadas a serem atingidas pela ferramenta. Esse é papel do estudo 
sobre a cinemática dos manipuladores. 
A cinemática consiste basicamente no estudo dos movimentos 
(transformações), sem levar em conta elementos físicos que influênciam 
no movimento do manipulador, como carga, força de ação e reação. 
Nesta leitura iremos compreender como determinar a posição final do 
manipulador com base nas dimensões dos elos e posições das juntas e 
seu inverso, ou seja, determinar as posições das juntas para atingir uma 
determinada posição.
2. Revisão sobre juntas
Relembrando, quem promove o movimento são as juntas. Elas são 
responsáveis por permitir a movimentação para os elos. Os principais 
tipos de juntas são:
5252 
• Prismática ou linear ou deslizante (tipo L): permite o movimento 
linear dos elos, movendo em linha reta. 
• Torcional (tipo T): o eixo de rotação coincide com a direção dos 
eixos dos elos. 
• Rotacional (tipo R): o eixo de rotação é perpendicular ao eixo 
dos elos. 
• Revolvente (tipo V), o movimento ocorre no mesmo eixo de um 
dos elos, porém o eixo de saida da junta é perpendicular. 
A figura 1 mostra os esquemas e os eixos coordenados de cada tipo de 
junta, respectivamente, prismática, rotacional, torcional e revolvente. 
Estes eixos serão necessários para o estudo da cinemática do 
manipulador.
Figura 1 – Esquemas das principais juntas
Fonte: elaborada pelo autor.
3. Introdução à cinemática direta e inversa
Imagine a situação: deseja-se programar um manipulador para que 
seu elemento final se mova da posição A para a posição B. No caso 
de manipuladores simples, com poucos graus de liberdade, essa 
movimentação pode ser calculada por meio das transformações de 
translação e rotação aplicadas a cada junta. Agora, com o aumento 
da complexidade dos manipuladores, fazer esses cálculos pode 
representar um grande trabalho. 
5353 53
Por meio de cálculos envolvendo geometria, trigonometria e 
cálculo vetorial, é possivel estimar um modelo de movimentação do 
manipulador a partir de sua cadeia de elos e juntas. De posse desse 
modelo, para saber onde o elemento final do manipulador está 
localizado, deve-seconhecer o deslocamento promovido pelas juntas a 
cada instante. Ou seja, deve-se conhecer o ângulo apresentado por cada 
junta rotativa ou a extensão das juntas prismáticas. O inverso também é 
verdade, onde, definida a posição e orientação da ferramenta, é possível 
calcular os deslocamentos de cada junta a fim de que o manipulador 
posicione o elemento final corretamente. 
O equacionamento que permite calcular a posição do elemento final 
com base nos deslocamentos das juntas é conhecido como cinemática 
direta, enquanto o cálculo da atuação das juntas para atingir uma 
determinada condição da ferramenta é chamada de cinemática inversa. 
É válido perceber a relação entre os sistemas de coordenadas aplicados 
nas diferentes cinemáticas. No caso da cinemática direta, as variáveis 
de saída serão variáveis no sistema cartesiano, enquanto na cinemática 
inversa a entrada é cartesiana. Como a dimensão do elo é sempre fixa, 
podemos dizer que a cinemática dependerá das variáveis de junta, ou 
seja, o deslocamento angular das juntas rotativas e o deslocamento 
linear das juntas prismáticas. 
Uma condição importante para a cinemática é a posição zero, ou 
posição home, do manipulador. Essa posição é definida quando todas 
as variáveis de junta estão na posição zero. Isso ocorre quando todas 
as juntas prismáticas estão recolhidas e as juntas rotacionais estão 
orientadas do mesmo modo que o referencial.
4. Métodos para calcular a cinemática direta
Serão apresentados agora os conceitos e técnicas para a definição 
do modelo direto do manipulador. Lembre-se de que este modelo 
fornecerá as coordenadas das juntas do manipulador com base nos 
tipos e deslocamentos das mesmas e da geometria dos elos.
5454 
4.1 Modelagem geométrica do manipulador
Este método consiste em obter a posição final do manipulador sem 
o uso da matriz de transformação, aplicando unicamente o estudo 
geométrico do manipulador. Por meio do estudo do comportamento das 
juntas e dos elos conectados são obtidas as equações trigonométricas 
que regem cada segmento do manipulador, e conectando cada uma 
dessas equações são obtidas as coordenadas do elemento final.
Por exemplo, analisando o manipulador representado na figura 2, ele é 
composto de duas juntas rotativas com os eixos de rotação na direção 
z. Seguindo a nomenclatura, este é um manipulador RR. Além disso, 
ele possui dois movimentos eixos de movimento, possuindo então dois 
graus de liberdade. Assim, o manipulador executa seus movimentos 
apenas sobre o plano xy. 
Figura 2 – Manipulador RR 2 GL
Fonte: adaptada de Tera Vector/iStock.com.
Para calcular a posição do manipulador, consideraremos a sequência 
direta do manipulador (acompanhando os componentes do 
manipulador, inciando na base em sentido à ferramenta). Para o elo L1, 
a posição final, px1 e py1, é dada por:
X
Y
5555 55
4.1 Modelagem geométrica do manipulador
Este método consiste em obter a posição final do manipulador sem 
o uso da matriz de transformação, aplicando unicamente o estudo 
geométrico do manipulador. Por meio do estudo do comportamento das 
juntas e dos elos conectados são obtidas as equações trigonométricas 
que regem cada segmento do manipulador, e conectando cada uma 
dessas equações são obtidas as coordenadas do elemento final.
Por exemplo, analisando o manipulador representado na figura 2, ele é 
composto de duas juntas rotativas com os eixos de rotação na direção 
z. Seguindo a nomenclatura, este é um manipulador RR. Além disso, 
ele possui dois movimentos eixos de movimento, possuindo então dois 
graus de liberdade. Assim, o manipulador executa seus movimentos 
apenas sobre o plano xy. 
Figura 2 – Manipulador RR 2 GL
Fonte: adaptada de Tera Vector/iStock.com.
Para calcular a posição do manipulador, consideraremos a sequência 
direta do manipulador (acompanhando os componentes do 
manipulador, inciando na base em sentido à ferramenta). Para o elo L1, 
a posição final, px1 e py1, é dada por:
X
Y
A partir da posição final do elo L1, inicia-se o estudo da coordenada da 
extremidade de L2, que coincide com a do manipulador e é dada por:
Para o exemplo anterior, o desenvolvimento da cinemática direta 
foi simples, pois o manipulador está disposto em apenas um plano 
(formado pelos vetores x̂ e ŷ ). Ao estudar um manipulador com três 
graus de liberdade, como da Figura 2, composto de uma junta rotativa 
na base, a primeira junta pivotante e a terceira rotativa, temos três eixos 
de movimento. O método para definir a cinemática é semelhante, porém 
agora temos que ter o cuidado de identificar os eixos de movimento de 
cada junta. No exemplo, a junta da base tem o eixo de movimento na 
direção z, enquanto as juntas 2 e 3 têm seus eixos de movimento sobre 
o eixo xy (ele varia conforme o deslocamento da junta da base). 
Figura 3 – Manipulador RRR de 3 GL
Fonte: adaptada de PhonlamaiPhoto/iStock.com.
Ao analisar a geometria do manipulador, vemos que a junta 2 possui 
uma posição constante, já que o movimento da junta 1 não afeta sua 
coordenada. Então, as coordenadas px1, py1 e pz1 da junta 1 são:
5656 
A junta 2 promove a elevação ou o abaixamento do elo 2, enquanto a 
junta 1 move este elo ao longo do plano xy. Para calcular as coordenadas 
px2 e py2, devemos levar em consideração que a junta 2, ao promover o 
movimento, muda sua projeção no plano xy. Então as coordenadas do 
ponto px2, py2 e pz2 são:
A junta 3 promove a elevação ou abaixamento do elo 3, alterando 
as coordenadas px3, py3 e pz3. Além disso, por conta da junta 1, as 
coordenadas px3 e py3 são alteradas. Então: 
É importante lembrar que uma posição pode ser atingida de diversas 
formas por meio da cinemática direta. Quanto maior o número de graus 
de liberdade, maior o número de configurações das juntas para que o 
manipulador atinja a posição desejada. 
4.2 Modelo de Denavit-Hartenberg
Para facilitar a análise de um manipulador, o modelo de Denavit-
Hartenberg, ou parâmetros D-H, estuda o comportamento do 
manipulador conforme a sequência dos elos conectados a partir de 
uma cadeia aberta. 
Para aplicar o modelo de Denavit-Hartenberg, antes temos que adotar 
por convenção:
• Cada junta tem apenas um grau de liberdade.
5757 57
• Se a junta possuir mais de um grau de liberdade, como no caso da 
junta cilindríca, são adicionados elos imaginários de comprimento 
nulo, a fim de que a junta seja sempre analisada como um conjunto 
de juntas no mesmo ponto com distintos graus de liberdade.
• Os elos são corpos rigídos, isto é, são usados como referenciais.
• Cada sistema de coordenadas é definido por um par elo-junta.
• A contagem dos elos inicia-se em 0, considerando a base do 
manipulador. Os demais elos recebem numeração 1, 2, ... n, 
até a base do órgão terminador (a ferramenta).
• As juntas são numeradas de 1 a n a partir da base do 
manipulador.
• Cada elo é visto como um corpo rígido, sendo considerando 
um referencial para um sistema de coordenadas próprio. 
Desse modo, cada sistema é definido pelo par junta i-1 e elo i 
(junta 0 – elo 1, junta 1 – elo 2, ...). 
• Deve ser destacado o eixo de movimento de cada junta.
• Determinar a origem de cada sistema de coordenadas 
(posicionado nos elos), localizado entre a interseção do eixo 
da junta i e i+1.
• Determina-se uma normal entre as juntas i e i+1.
• O eixo x do sistema de coordenadas é determinado no sentido 
da junta i para a i+, na direção do eixo normal.
• O eixo z é posicionado ao longo do eixo de movimento da 
junta i+1.
• O eixo y é escolhido conforme regra da mão direita.
5858 
Após definidos os sistemas de coordenadas de cada junta, são obtidos 
os seguintes parâmetros:
• O comprimento il entre os eixos das juntas conectadas a cada elo, 
medido ao longo do eixo 1x ( basicamente o comprimento do elo). 
Alguns autores definem esse parâmetro como ia . 
• O ângulo ia entre os eixos z da junta i ( 1iz − ) e da junta i+1( iz ), 
conforme a regra da mão direita, em torno do eixo ix (o ângulo 
entre os elos). Algunsautores utilizam a representação it para 
destacar que este ângulo pode ser visto como a torção do eixo x.
• A distância id entre a origem do sistema de coordenadas medida 
na direção do eixo 1iz − .
• O ângulo q, medido entre os eixos x do sistema i ( 1ix − ) e i+1 ( ix ), 
medido ao longo do eixo z do sistema i ( 1iz − ). 
ASSIMILE
Dentre as medidas definidas, os parâmetros l e α são 
constantes relacionadas à geometria do manipulador, 
enquando d e θ são variáveis relacionadas aos tipos das 
juntas aplicadas. O fator d varia quando existe uma junta 
prismática, enquanto o θ varia com uma junta rotacional.
Não é possível definir os sistemas de coordenadas da base e do 
elemento terminal conforme as regras ditas anteriormente, por esse 
motivo são aplicados valores padrão. Para a base, os parametros D-H 
aplicados são:
5959 59
Já para o elemento terminal, podemos escolher qualquer ponto, desde 
que o eixo nx intercepte o eixo 1nz − em um ângulo de 90º, tornando 
0na = . Caso a última junta for rotacional, é escolhido o eixo nx paralelo 
à 1nx − , para 0nq = . O eixo nx em juntas prismáticas é escolhido a fim de 
que 0nd = , com a origem do sistema terminal coincidindo com a origem 
do sistema da junta i. 
Para compreender os parametros D-H, vamos analisar o trecho de um 
manipulador na Figura 4. 
Figura 4 – Trecho de um manipulador robótico
Fonte: adaptada de Santos (2004).
Primeiro, identificaremos se as juntas possuem mais de um grau de 
liberdade. No caso da Figura 5, todas as juntas apresentam apenas 1 GL. 
Por exemplo, uma junta cilíndrica, na verdade, é uma junta rotacional e 
uma junta prismática conectadas por um elo de dimensão nula. 
Segundo, vamos nomear as juntas e elos. Considerando que a base 
do manipulador está à esquerda, teremos as juntas i-1 e i. Além disso, 
marcaremos as direções de movimento das juntas (eixo z de cada junta). 
Terceiro, vamos identificar o eixo x dos sistemas. Nesse caso, a 
direção x é dada na direção da junta i-1 para a i. No caso da junta i+1, 
consideramos que existem outros elos após esta junta. O eixo y, como 
dito, é definido a partir da regra da mão direita. A figura 5 destaca o 
desenvolvimento das três primeiras etapas do processo (nomeação das 
juntas e definição dos eixos).
6060 
Figura 5 – Identificação das juntas e dos eixos 
x, y e z de cada sistema de coordenadas
Fonte: adaptada de Santos (2004).
Quarto, uma vez obtidos os eixos, são calculados os parâmetros D-H, 
onde o parâmetro l é obtido pela distância entre a origem dos dois 
sistemas de coordenadas ao longo do eixo x, e a o ângulo entre a junta 
i-1 e i em torno do eixo x. Além disso, os parâmetros referentes ao 
deslocamento das juntas a (para juntas prismáticas) e q (para juntas 
rotacionais), como destaca a figura 6. 
Figura 6 – Medida dos parâmetros D-H das juntas
Fonte: adaptada de Santos (2004).
Desse modo, os parametros D-H para esse trecho do manipulador são: 
1il l− = , 1 0ia − = , 1 0id − = e 1iq q− = .
6161 61
4.2.1 Matriz de transformação baseada nos parâmetros de 
Denavit-Hartenberg
Dado dois sistemas de coordenadas {i-1} e {i}, é possível determinar 
uma transformação 1i iT
− (transformação do sistema {i} com relação 
à {i-1} baseada na matriz de transformação homogênea, de modo a 
descrever a posição e orientação do sistema {i} com relação a {i-1}. 
Essa transformação pode ser descrita a partir dos parâmetros D-H e de 
acordo com uma sequência de quatro transformações intermediárias: 
uma rotação em torno do eixo z, uma translação no eixo z, uma 
translação no eixo x e uma rotação no eixo x:
A sequência a ser aplicada deverá ser essa, já que a mudança na 
sequência de transformações cria uma transformação diferente, que 
pode resultar em coordenadas diferentes. Desenvolvendo o produto das 
transformações, tem-se a matriz de transformação 1i iT
− igual a:
Finalmente, a matriz de transformação completa que relaciona o sistema 
da base com o sistema do órgão terminal é dada por:
Como exemplo, será obtida a a matriz de transformação para o 
manipulador VVL da figura 7. 
6262 
Figura 7 – Manipulador robótico
Fonte: elaborada pelo autor.
Seguindo o roteiro para determinar os parametros D-H, vamos 
marcar os eixos dos sistemas de coordenadas de cada junta para que 
seja possível determinar os parâmetros , , ,i i i il da q . Então temos a 
Tabela 1 apresentando os parâmetros D-H obtidos, a partir da análise 
apresentada na figura 8.
Figura 8 – Manipulador robótico e seus eixos para definição dos 
parâmetros D-H
Fonte: elaborada pelo autor.
Tabela 1 – Parâmetros D-H para o manipulador da Figura 8
i ii a1 d1 qi
1 0 -90º d1 q1
2 0 90º d2 q2
3 0 0 d3 0
6363 63
Lembrando que a obteção dos valores mostrados na Tabela 1 seguem 
os procedimentos descritos anteriormente, por meio do estudo dos 
eixos e dos movimentos promovidos por cada junta da figura 8.
Vale lembrar que quando i = 1 significa a ligação entre a junta 0 (base) 
e a junta 1, e assim sucessivamente. Para a transformação 12T , tem-se a 
matriz de transformação:
Calculando todas as matrizes, e realizando a multiplicação de todas as 
transformações promovidas pelas juntas da figura 8, tem-se:
Então, para saber as coordenadas do elemento terminal do 
manipulador, basta inserir na matriz os dados referentes ao 
comprimento dos elos e o deslocamento referente a cada junta. 
5. Cinemática inversa 
O problema referente à cinemática inversa consiste basicamente em 
determinar o conjunto de deslocamento das juntas a fim que o órgão 
terminal atinja a posição desejada. Além disso, a cinemática inversa 
é importante para o desenvolvimento da modelagem dinâmica do 
manipulador, além do cálculo das trajetórias. Nesse caso, deve-se 
conhecer inicialmente a matriz de transformação do elemento terminal 
em relação à base e a partir dai desenvolver uma técnica para obter as 
variaveis de junta necessárias.
6464 
Como já dito anteriormente, uma determinada posição pode ser atingida 
a partir de diferentes formas. Isso permite afirmar que existe uma 
multiplicidade de soluções para o problema de função inversa. Para 
destacar as soluções possíveis e válidas, algumas condições devem ser 
vistas, como a posição de interesse deve estar contida no volume de 
trabalho do manipulador, ou seja, deve ser um ponto tangível e levar em 
consideração as limitações de cada junta (limites de movimento de cada 
junta). Além disso, deve-se levar em consideração a presença de obstáculos 
e possível análise dinâmica (estudo das forças) envolvidas no movimento.
Existem diversos métodos de cálculo da cinemática inversa, mas todas 
envolvem um custo de desenvolvimento muito maior que o dispendido 
na cinemática direta. Devido às capacidades computacionais existentes 
hoje, uma das formas para o desenvolvimento da cinemática inversa é 
o uso de métodos de otimização multivariável. Uma otimização é um 
método matemático iterativo, isso é, repetitivo, que busca reduzir a 
diferença entre o valor de uma função (podendo ser, no nosso caso, a 
coordenada desejada) e o valor atual, a partir da análise de resultados 
obtidos por meio de pseudo tentativa e erro. 
PARA SABER MAIS
Os métodos de otimização são aplicados em 
praticamente todas as áreas da engenharia. Em muitos 
casos, a solução de um problema por meio de rotinas de 
otimização é mais ágil e eficiente que o desenvolvimento 
de um método específico para cada problema.
Um exemplo da aplicação de rotinas de otimização é o 
método da bisseção, aplicado para obter as raízes de 
funções. Por meio desse método, o valor da variável x na 
qual a f(x)=0 é obtido por meio da minimização (redução) 
da diferença entre o valor da função em um ponto 
qualquer e o valor da função, quando x é uma raiz. 
6565 65
Os métodos de otimização trazem a vantagem de serem um 
método genérico, ou seja, funcionam bem para quase todos 
os casos. Por isso são amplamente usados em softwares 
de projeto assistido por computador, buscando o melhor 
resultado