teorico_26

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Tópicos Especiais 
em Robótica
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Wanderley Prado
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Luciene Oliveira da Costa Granadeiro
Cinemática de Robôs
• Estruturas Cinemáticas de um Robô – Introdução à 
Cinemática de Robôs Manipuladores;
• Matriz de Rotação no Espaço;
• Matriz de Transformação Homogênea;
• Convenção de Denavit-Hartenberg .
• Entender a cinemática de robôs.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Cinemática de Robôs
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Cinemática de Robôs
Estruturas Cinemáticas de um Robô
Introdução à Cinemática de Robôs Manipuladores
Você sabe o que é Cinemática?
Depois de descobrir o mundo da Robótica, anteriormente, agora vamos conhe-
cer um pouco sobre essa tal de cinemática que é simplesmente a descrição dos 
movimentos dos corpos. E, nesse caso, ainda sem se preocupar com o que causou 
o movimento, pois vamos falar disso só na próxima unidade.
Por que, então, é importante para nós o estudo do movimento? A aplicação de 
um robô se baseia normalmente na realização de diversas tarefas. E, em geral, para 
realizar essas tarefas o robô executa movimentos.
É fácil imaginar que um robô que não é capaz de executar movimentos, prova-
velmente tem pouca utilidade.
A cinemática é uma área da Física.
Figura 1
Fonte: iStock/Getty Images
E, para resolver o que a Física pede, precisamos da Matemática. Mais precisa-
mente, nesse caso, da geometria, trigonometria e do cálculo vetorial. Tudo bem 
que, hoje em dia, a maior parte dos cálculos podem ser feitos via software. Mas é 
importante entender os conceitos básicos disso, como as coisas acontecem.
8
9
"Por falar em base, se você quiser rever conceitos de geometria que tal um 
software free (nao pago), como o GeoGebra, e também revisitar alguns concei-
tos de Trigonometria, acesse os links abaixo:"
Possibilidades de construção de fi guras geométricas planas com o software - GeoGebra: 
https://goo.gl/ftqMy7
Conceitos de Trigonometria:
Semelhança de Triângulos: https://goo.gl/pJCuVT
Lei dos Senos: https://goo.gl/ibg5n4
Lei dos Cossenos: https://goo.gl/GomS9X
Cálculo Vetorial: https://goo.gl/vKsHxu
Ex
pl
or
Os robôs industriais mais comuns são os braços robóticos (também chamados 
de manipuladores), vamos focar nosso estudo na Cinemática desse tipo de robô. 
Para entender os movimentos dos manipuladores, é necessário desenvolver téc-
nicas para representar a posição de determinado ponto do braço no tempo. Essa 
representação depende da posição das juntas e dos elos, sendo que é necessário 
ter a base do robô como ponto de referência. Manipuladores compostos essencial-
mente por juntas prismáticas não apresentam grandes problemas com relação à 
cinemática. Contudo, nos braços articulados (os mais utilizados na indústria, por 
serem compactos e versáteis), a cinemática torna-se mais complexa. Uma vez que 
não há uma regra geral para equacionar a cinemática em braços mecânicos, deve-
-se analisar caso a caso. 
É interessante também mencionar os movimentos dos efetuadores, que são a 
parte final do braço, e das juntas (punho) que os movem. Os efetuadores podem 
ser garras, ou ferramentas que são ali adaptadas. 
Figura 2 
Fonte: Carrara,V. Apostia de Robótica 
9
UNIDADE Cinemática de Robôs
São também chamados de órgão terminal. Na figura acima, são apresentados 
os movimentos de um punho com 3 GL (graus de liberdade). Esses movimentos 
possuem nomes específicos, que são:
 » R- Roll ou rolamento - rotação do punho em torno do braço;
 » P- Pitch ou arfagem - rotação do punho para cima ou para baixo;
 » Y- Yaw ou guinada - rotação do punho para a esquerda e para a direita.
A título de curiosidade, observe abaixo alguns tipos de garras e ferramentas uti-
lizados como efetuadores. 
Figura 3
Fonte: Adaptado de iStock/Getty Images
Da esquerda para a direita: uma garra de dois dedos (modelo mais tradicional), 
ferramenta de solda a ponto, garra de três dedos e ferramenta para solda contínua. 
Na verdade, os movimentos robóticos podem ser divididos em movimentos 
do braço e do punho. Em geral, os braços são dotados de 3 acionadores e uma 
configuração 3GL, numa configuração que permita que o punho alcance um 
ponto qualquer dentro de um espaço limitado ao redor do braço. Os punhos são 
compostos de 2 ou 3 graus de liberdade. As juntas dos punhos são agrupadas 
num pequeno volume de forma a não movimentar os efetuadores em demasia, 
ao serem acionadas.
A cinemática se conecta diretamente com as principais especificações de um 
braço robótico, que são: o volume de trabalho, a capacidade de carga, a velocidade 
máxima, a precisão e a repetibilidade. E são justamente as especificações forneci-
das pelos fabricantes.
Uma das principais características do braço robótico industrial é sua capacidade 
de carga, ou seja, o peso máximo que ele consegue manipular (erguer) sem que 
sua precisão seja afetada. Essa capacidade é sempre medida na posição mais críti-
ca, o que significa geralmente uma posição de máxima extensão do braço. Várias 
soluções podem ser adotadas para aliviar o peso do próprio manipulador e, con-
sequentemente, aumentar a capacidade de carga. Como, por exemplo, a adoção 
de acionamento indireto (quando o motor não aciona diretamente a junta, mas age 
através de um sistema de transmissão). 
10
11
Uma outra forma é utilizar cadeias cinemáticas fechadas ou parcialmente fecha-
das. Um robô de cadeia cinemática aberta é aquele que, partindo da base, chega-se 
ao punho por meio de um único caminho, numa sequência elo-junta-elo. Um braço 
articulado é um exemplo típico de cadeia aberta. 
Já em um braço de cadeia fechada, não existe um único caminho para se 
chegar ao punho. Vários elos podem estar conectados entre si, de tal forma que 
é possível percorrer, por exemplo, um caminho que parta da base. E retornar à 
base por um outro caminho, após atingir o punho. Exemplos desse tipo de mani-
puladores são os robôs pórticos, muito utilizados em operações de manipulação e 
armazenagem de material. 
Existem ainda braços que apresentam parte da cadeia aberta e parte fechada, 
denominados de cadeia parcialmente fechada. Como na figura abaixo.
Figura 4
Fonte: Carrara,V. Apostia de RobóticaPercebe-se que, nesse esquema, o braço possui apenas um grau de liberdade, 
mesmo possuindo 4 articulações e 3 elos. O acionamento desse braço deve ser 
feito com um único motor, conectado a uma das duas articulações da base. Tais 
cadeias permitem que o motor de acionamento de uma dada junta possa ser fixado 
mais próximo da base, o que permite reduzir a inércia do conjunto e aumentar a 
velocidade e precisão do manipulador.
Matriz de Rotação no Espaço
A posição do efetuador, em um manipulador, depende (a cada instante) dos 
valores dos deslocamentos angulares das juntas rotativas e deslocamentos lineares 
das juntas prismáticas. Em outras palavras, se for possível conhecer a posição de 
cada junta, pode-se saber a posição do efetuador. Esse tipo de cálculo é conhecido 
11
UNIDADE Cinemática de Robôs
como cinemática direta. Por outro lado, caso se conheça a posição da extremi-
dade do robô, pode-se calcular qual deve ser a configuração das juntas para atingir 
tal posição. Esse tipo de cálculo é conhecido como cinemática inversa. A posição 
no espaço é obtida através de um sistema de eixos retangulares, conhecido como 
coordenadas cartesianas. Já que a determinação das posições das juntas pode 
ser dada em ângulos (juntas rotativas) ou em deslocamentos (juntas lineares), e de-
nominamos esses valores como variáveis articulares ou variáveis de junta. 
Actuator
space
Joint
space
Cartesian
space
Figura 5
Fonte: Craig,J.J. Introduction to Robotics
Transformações entre variáveis de juntas e variáveis cartesianas
Então, as trajetórias são definidas através de um conjunto de ângulos/transla-
ções associados ao movimento angular/linear de cada grau de liberdade do robô. 
E um algoritmo de interpolação gerará sinais de referência para o controlador de 
posição de cada junta robótica. Cada junta realizará uma comparação contra os 
sinais provenientes dos sensores de posição.
Na maioria das aplicações industriais, a programação de tarefas de robôs é 
realizada por “aprendizagem”. Assim, a programação de trajetórias de um robô 
torna-se muito fácil, não necessitando de um conhecimento do modelo. A fase de 
“aprendizagem” é basicamente uma operação de armazenamento de uma sequên-
cia de incrementos necessários para que o conjunto de variáveis articulares deter-
mine um posicionamento final Xi, especificado a partir de um perfil de trajetórias 
fornecido (robô controlado a partir do sistema de coordenadas de juntas). Como 
o robô é controlado através de suas variáveis de junta, a realização do controle de 
posição em relação ao sistema de coordenadas cartesianas implicará no desenvol-
vimento de metodologias para transformação de coordenadas. A transformação 
de coordenadas articulares para cartesianas é normalmente realizada em tempo 
real, onde, a partir do conjunto de variáveis articulares, serão obtidas a posição e a 
orientação de sua ferramenta.
Pois bem... Isso nos leva a falar da matriz de rotação no espaço. Em três di-
mensões (que é o caso de estudo para os movimentos de um braço robótico), uma 
rotação pode ser definida de modo preciso, por três ângulos. Os três ângulos de 
Euler são muito utilizados.
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13
Leonhard Euler: https://goo.gl/QmnVA8 
Ex
pl
or
De forma alternativa e equivalente, em acordo com o Teorema de Euler, uma 
rotação pode também ser definida por um único ângulo de rotação, θ, em torno de 
um eixo de rotação especificado por um vetor unitário, V (x,y,z) – vetor que, além 
do eixo, também especifica, mediante a regra da mão direita e convenção de sinais 
para os ângulos, o sentido da rotação dos eixos coordenados.
Teorema de Euler: https://goo.gl/rMLGUu
Vetor (matemática): https://goo.gl/LNUVJX
Regra de Fleming: https://goo.gl/UGMsTo
Ex
pl
or
Se a representação for feita através 
dos ângulos de Euler, teremos três rota-
ções sucessivas. A primeira em torno do 
eixo Z do sistema de coordenadas inicial.
Veja a animação no link abaixo mos-
trando as três rotações sucessivas:
Figura 6
Ângulos de Euler: https://goo.gl/W7e35H
Ex
pl
or
(Ângulo α). A segunda, em torno do eixo X’, do sistema resultante da rotação 
anterior (ângulo β). E a terceira em torno do eixo Z’” do sistema definido após a 
segunda rotação (ângulo γ).
A matriz que permite determinar o vetor coluna resultante, em coordenadas 
cartesianas, escreve-se como o produto das três matrizes individuais que repre-
sentam, cada qual, uma das rotações citadas. Em termos matemáticos, temos: 
M (α , β , γ ) = C(γ) B(β) A(α).
Ou, de forma mais explícita: 
C B�
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A
0
0
0 0 1
Então, a matriz de rotação final é o produto (multiplicação) das matrizes acima. 
E será uma matriz quadrada que...
Opa! Que boa hora para fazer uma revisão dos conceitos básicos sobre matriz! 
Acesse o link abaixo: 
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UNIDADE Cinemática de Robôs
Matriz (matemática): https://goo.gl/zQfPKL
Ex
pl
or
Voltando... Como estávamos dizendo, a matriz de rotação final será uma matriz 
quadrada, que, quando aplicada sobre a representação matemática (uma matriz co-
luna) de um vetor, tem o efeito de mudar a direção do vetor por ela representado, 
mas não a sua magnitude.
Concluímos, então, que as três rotações sucessivas geradas pelos ângulos de 
Euler correspondem realmente a uma única rotação em torno de um ângulo θ, em 
torno de um único e adequado eixo de rotação V (x,y,z).
Ou seja, é possível obter o posicionamento completo de um corpo rígido no es-
paço, que pode ser expresso através da matriz de rotação via Ângulos de Euler, ou 
de componentes angulares associadas às três direções de rotação correspondentes 
aos eixos de referência de um sistema de coordenadas (como, por exemplo, o de-
terminado pelos ângulos Roll, Pitch, Yaw – RPY). Para isso, precisamos tratar dos 
sistemas de referência e, depois, da matriz de transformação. 
Matriz de Transformação Homogênea
Figura 7
Fonte: Romano,V.F.. Robótica Industrial
A figura acima mostra a translação (deslocamento) de um sistema de coordena-
das para outro. Lembrando que um robô pode ser controlado por suas variáveis de 
junta, ou variáveis articulares. 
Um Sistema Articular pode ser representado matematicamente através de “n” 
corpos móveis Ci (i = 1, 2, ..., n) e de um corpo C0 fixo, interligados por “n” arti-
culações, formando uma estrutura de cadeia. Olha a cadeia cinemática, aí, pessoal!
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Para representar a situação relativa dos vários corpos da cadeia, é fixado a cada 
elemento Ci um referencial R. Podemos relacionar (veja a figura anterior) um de-
terminado referencial Ri+1 (oi+1, xi+1, yi+1, zi+1) com o seu anterior Ri (oi, xi, 
yi, zi), como também o sistema de coordenadas de origem da base (figura abaixo) 
através da equação:
O i + 1 = Oi + A i, i +1* Li (A)
Figura 8
Fonte: Romano,V.F.. Robótica Industrial
Transformação direta de coordenadas
Onde Ai,i+1 representa as matrizes de transformação homogênea de rotação e Li 
o vetor de translação de uma origem a outra Ai,i+1 é resultante do produto matricial 
global entre as diversas matrizes de transformações homogêneas relacionadas com 
rotações ou translações sucessivas das diferentes articulações (equação abaixo):
A i,i+1 = A1,2. A2,3. ... A i,i+1 (B)
Onde:
Ai i
Nx Sx Ax
Ny Sy Ay
Nz Sz Az
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1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Epa! Matriz de transformação homogênea...
Avançamos muito rápido?
Vamos detalhar mais isso. 
Qualquer rotação no espaço pode ser decomposta em um grupo de rotações 
elementares ao longo dos eixos X, Y e Z. A matriz de rotação elementar, usada 
na equação de transformação, é associada com a rotação elementar do referencial 
correspondente em relação ao seu anterior. Esse procedimento matemático pode 
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UNIDADE Cinemática de Robôs
ser estendido para toda extensão do modelo. Portanto, a matriz de orientação de 
um ponto deinteresse pode ser obtida pela equação (B).
O posicionamento completo de um corpo rígido no espaço será obtido pela 
equação (A), que fornece o seu vetor posição.
Figura 9 – Sistema de coordenadas de um robô
Fonte: Craig,J.J. Introduction to Robotics
Sendo que o modelo geométrico de um robô pode ser representado pela ex-
pressão abaixo: 
O modelo geométrico de um robô expressa a posição 
e orientação de seu elemento terminal (efetuador) em 
relação a um sistema de coordenadas fixo à base do 
robô (figura anterior), em função de suas coordena-
das generalizadas (coordenadas angulares no caso de 
juntas rotacionais).
X = f (θ) (C)
Onde:
θ = (θ1, θ2, ..., θn): vetor das posições angulares das juntas e 
X = (X, Y, Z, ψ, θ, φ): vetor posição, onde os três primeiros termos denotam a 
posição cartesiana e os três últimos a orientação do efetuador.
Essa relação pode ser expressa matematicamente pela matriz que relaciona o 
sistema de coordenadas solidárias à base do robô, com um sistema de coordena-
das associadas com o seu elemento terminal. Essa matriz é chamada de matriz de 
transformação homogênea.
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Agora está explicado, hein!?
Essa matriz é obtida a partir do produto (multiplicação) das matrizes de trans-
formação, A i, i-1, que relaciona o sistema de coordenadas de um elemento i com o 
sistema de coordenadas anterior i-1. 
Nas diversas aplicações industriais, um robô pode ser controlado e programado 
a partir do sistema de coordenadas associadas à sua ferramenta. É muito mais na-
tural expressarmos o deslocamento absoluto do elemento terminal de um robô, que 
considerarmos a variação de suas coordenadas articulares. Embora a malha de con-
trole de uma junta robótica seja estabelecida a partir da comparação de grandezas 
articulares, tornando-se necessária a realização de uma transformação geométrica 
apropriada para o estabelecimento da correspondência entre as variáveis articula-
res θi e as coordenadas absolutas do elemento terminal Xi.
A operação que realiza a correspondência entre esses dois espaços é chamada 
de transformação de coordenadas. A transposição direta de coordenadas apresen-
ta uma solução única, o mesmo não acontecendo com o problema inverso, onde 
manipuladores com um número de graus de liberdade superior a três podem con-
duzir a soluções múltiplas. 
Vamos dar uma olhada nessa questão da transformação de coordenadas, come-
çando com modelos simples. 
Robô Elementar (1 GL) – pêndulo simples
A figura abaixo apresenta um robô elementar (pêndulo simples) com 1 GL (grau 
de liberdade) e de comprimento L (perfeitamente rígido), onde as coordenadas X e 
Y do elemento terminal são expressas em relação ao sistema de coordenadas.
Modelo matemático associado:
Figura 10 – Robô com 1 grau de 
Liberdade – pêndulo simples
Fonte: Romano,V.F.. Robótica Industrial
X = L. sin θ 
Y = L. (1 – cos θ)
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UNIDADE Cinemática de Robôs
A partir de um dado valor θ ficam determinadas as coordenadas XT = (X, Y)T do 
elemento terminal (efetuador) do robô em relação ao seu sistema de coordenadas. 
Essa operação é chamada transformação direta de coordenadas.
Para deslocarmos a extremidade do seguimento L do robô para uma posição de-
sejada M = (Xo, Yo)T, basta utilizarmos a coordenada θ, ou seja, θ = arc sin (Xo/L), 
com Yo ≤ L. 
Robô com 2 GL – pêndulo duplo
A figura abaixo apresenta um robô com dois graus de liberdade, constituído de 
dois pêndulos com comprimentos L1, L2, onde as coordenadas absolutas X e Y da 
extremidade de L2 são expressas em relação ao sistema de coordenadas.
Modelo matemático associado:
Figura 11 – Robô com 2 graus de 
Liberdade – pêndulo duplo
Fonte: Romano,V.F.. Robótica Industrial
X = L1. sin θ1 L2. sin θ2
Y = L1. (1 – cos θ) + L2. (1 – cos θ2)
A transformação inversa de coordenadas consistirá na definição de um vetor 
θ= (θ1,θ2)T, a partir do posicionamento do robô num determinado ponto M(Xo,Yo) 
T, a partir da obtenção dos valores θ1 e θ2 expressos em função de Xo e Yo.
A partir daí, poderíamos explorar outros casos mais complexos. Como o braço 
robótico com 3 graus de liberdade, ainda no plano. Ou, o estudo de um braço 
robótico no espaço. 
Vamos voltar a esses casos nas próximas unidades. 
A descrição da matriz de transformação é normalmente realizada utilizando a no-
tação de Denavit-Hartenberg, após a obtenção dos quatro parâmetros θi, ai, di e αi. 
Vamos abordar, agora, esse tópico, para encerrar nossa unidade. E, depois, na unidade 
seguinte, falaremos da modelagem dinâmica.
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Convenção de Denavit-Hartenberg
Os parâmetros de Denavit-Hartenberg permitem obter o conjunto de equações 
que descreve a cinemática de uma junta com relação a junta seguinte e vice-versa. 
São 4 os parâmetros: o ângulo de rotação da junta θ, o ângulo de torção da junta 
t (que também é chamado de αi, por alguns autores), o comprimento do elo “a” e 
o deslocamento da junta “d”. 
Consideremos uma sequência de juntas robóticas de revolução (rotativas) como 
indicado na figura abaixo:
Figura 12 – Parâmetros de juntas rotativas
Fonte: Romano,V.F.. Robótica Industrial
Percebemos dois elos conectados por uma junta. Um eixo de uma junta es-
tabelece a conexão de dois elos. Estes eixos de juntas devem ter duas normais 
conectadas neles, uma para cada um dos elos. A posição relativa desses dois elos 
conectados (elo i-1 e elo i) é dada por di, que é a distância medida ao longo do eixo 
da junta entre suas normais. O ângulo de junta θi entre as normais é medido em 
um plano normal ao eixo da junta. Assim, di e θi podem ser chamados respecti-
vamente, distância e o ângulo entre elos adjacentes. Eles determinam a posição 
relativa de elos vizinhos. 
Um elo i poderá estar conectado, no máximo, a dois outros elos (elo i-1 e elo i +1). 
Assim, dois eixos de junta são estabelecidos em ambos os terminais de conexão. O 
significado dos elos, do ponto de vista cinemático, é que eles mantêm uma configura-
ção fixa, entre suas juntas, que podem ser caracterizadas por dois parâmetros: ai e αi. 
O parâmetro ai é a menor distância medida ao longo da normal comum entre os eixos 
de junta (isto é, os eixos zi-1 e zi para a junta i e junta i+1, respectivamente) Assim, ai 
e αi, podem ser chamados respectivamente, comprimento e ângulo de twist (torção) 
do elo i. 
19
UNIDADE Cinemática de Robôs
Eles determinam a estrutura do elo i. Assim sendo, quatro parâmetros: ai, αi , di ,θi 
são associados com cada elo do manipulador. No momento, em que estabelece-
mos uma convenção de sinais para cada um destes parâmetros, eles constituem 
um conjunto suficiente para determinar a configuração cinemática de cada elo do 
manipulador. Perceba que esses parâmetros aparecem em pares:
· (ai , αi ) que determinam a estrutura do elo e os parâmetros da junta;
· (di , θi ) que determinam a posição relativa de elos vizinhos.
Existe um procedimento para se obter os parâmetros de Denavit-Hartenberg. 
Que também são chamados de parâmetros DH.
Parâmetros de Denavit-Hartenberg: https://goo.gl/C4uFvc
Ex
pl
or
Existem outras convenções, além da convenção de Denavit-Hartenberg. Mas 
essa é talvez a mais popular. Alguns autores utilizam também os chamados parâ-
metros DH modificados. 
A diferença entre os parâmetros DH clássicos e os modificados são os locais dos 
sistemas de coordenadas e a ordem das transformações.
Em comparação com os parâmetros DH clássicos, as coordenadas do sistema 
Oi-1 são colocadas no eixo i-1, não no eixo i como na convenção clássica. As 
coordenadas de Oi são colocadas sobre o eixo i, e não o eixo i+1 como na con-
venção clássica.
Vamos descrever aqui abaixo o procedimento, mas há também diversas outras 
fontes que o descrevem. E você pode encontrar pequenas diferenças de nomencla-
tura. Como no link acima. Ou, por exemplo, nesse outro material aqui abaixo, que 
apresenta até um exercício no final.
Parâmetros de Denavit-Hartenberg - Prof. Walter Fetter Lages : https://goo.gl/Rt1DG3
Ex
pl
or
Procedimentos para obtenção dos parâmetrosde Denavit-Hartenberg:
1. Numerar as juntas, partindo de J1 até a última junta. Numerar os elos 
partindo do elo 0.Tem-se com isso a configuração: elo 0, junta 1, elo 1, 
junta 2, elo 2, ...
2. Fixar um sistema de coordenadas cartesianas no elo 0 (base), no qual a 
posição e orientação dos elos serão obtidos. 
20
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3. Defi nir os eixos das juntas. No caso de juntas rotativas, o eixo de rotação 
da junta n será coincidente com o eixo zn−1 do sistema de coordenadas 
do elo anterior. No caso de juntas prismáticas, o eixo de deslocamento da 
junta será coincidente com o eixo zn−1 do elo anterior.
4. Obter a normal comum: Hn-On, para todos os elos. A normal comum 
Hn-On é defi nida como sendo a reta perpendicular aos eixos das juntas Jn 
a J n+1. O comprimento Hn-On é denominado comprimento do elo, an. 
Se os eixos forem paralelos, haverá inúmeras normais que satisfazem a 
condição. Nesse caso, adota-se a normal passando pela origem do sistema 
do elo anterior, ou seja, On−1. Se os eixos das juntas interceptarem-se 
num único ponto, então a reta Hn-On degenera-se neste ponto comum, e 
o comprimento do elo será nulo (an = 0).
5. Defi nir sistema n . O eixo xn possui a direção de Hn-On e passa pelo pon-
to On (origem do sistema n). O eixo yn defi ne o sistema dextrogiro junto 
com xn e zn. Se o comprimento do elo an for nulo, então a direção de xn 
será dada pela reta perpendicular ao plano formado por zn−1 e zn.
6. Obter o deslocamento da junta. A distância On−1-Hn, medida ao longo 
do eixo zn−1, é conhecida como o deslocamento da junta, dn. E positivo 
se o vetor que vai de On−1 a Hn tiver a mesma direção do eixo zn−1. Se a 
junta Jn for prismática, então dn será a variável da junta. Se os eixos zn−1 
e zn forem paralelos, então o deslocamento da junta dn será nulo, uma vez 
que os eixos xn−1 e xn interceptam-se no ponto On−1.
7. Obter o ângulo de rotação da junta. Traça-se uma reta paralela a xn pas-
sando pelo ponto On−1. Por defi nição tanto esta reta quanto o eixo xn−1 
são perpendiculares a zn−1. O ângulo de rotação da junta, θn, e medido a 
partir do eixo xn−1 até a reta paralela, no plano perpendicular a zn−1. Se 
a junta Jn for rotativa, o ângulo de rotação da junta e a própria variável da 
junta. Se o deslocamento da junta, dn, for nulo, o ângulo de rotação será 
medido entre xn−1 e xn.
8. Obter o ângulo de torção da junta. Traça-se uma reta paralela ao eixo da 
junta Jn, isto é,zn−1, passando por On, origem do sistema n. Por constru-
ção, esta reta estará contida no plano formado por xn e yn. O ângulo de 
torção, tn, é medido a partir da reta paralela a zn−1 ate o eixo zn. Se os 
eixos forem paralelos, o ângulo de torção será nulo.
9. Fazer uma tabela contendo os parâmetros θn, dn, an e tn, conhecidos 
como parâmetros de Denavit-Hartenberg:
21
UNIDADE Cinemática de Robôs
Elos
Ângulo 
de rotação
Deslocamento 
da junta
Comprimento 
da junta
Ângulo 
de torção
Variável da junta
0 θ1 d1 a1 t1 θ1 ou d1
1 θ1 d2 a1 t2 θ2 ou d2
... ... ... ... ... ...
N θn dn a1 tn θn ou dn
Se a junta Jn for prismática, então o processo para obter os parâmetros de 
Denavit-Hartenberg é bastante semelhante ao da junta rotativa. Contudo, o des-
locamento de uma junta prismática se dá em uma direção, e não existe um “eixo” 
(como na junta rotativa), no qual será fixado o eixo zn-1. Isso pode ser melhor 
visualizado supondo-se que a junta prismática seja formada não por um mancal 
de deslizamento linear, mas sim por dois, ainda que paralelos. Nessa situação, a 
origem do sistema n−1 fica indeterminada, pois poderá coincidir com o centro de 
qualquer um dos mancais. Ambos são equivalentes. O mesmo raciocínio aplica-se 
no caso de haver 3 ou mais juntas prismáticas paralelas atuando em conjunto. Fica 
claro, portanto, que a origem do sistema que será fixado numa junta prismática e 
arbitrário (sistema n−1). Essa origem poderá encontrar-se, inclusive, coincidente 
com a origem da junta anterior n−1 ou posterior. 
Ufa! Parece trabalhoso, não é mesmo? Mas é uma questão de prática. Além do 
mais, como dissemos no início, grande parte desse trabalho pode ser feito via sof-
tware. O que facilita a nossa vida. A intenção, agora, foi apresentar uma série de 
conceitos e entender os fundamentos. Assim, avançando para a dinâmica, sistemas 
de controle e linguagens de programação, conseguiremos entender melhor o que 
se passa. 
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
GeoGebra - Aplicativos Matemáticos
Nesse site é possível baixar materiais e aplicativos gratuitos para ver e rever conceitos 
de geometria.
https://www.geogebra.org/
Robotics Online
No site da RIA (Robotics industries Association) procure a aba Robotic Resources. 
Lá é possível se inscrever para receber gratuitamente uma newsletter sobre Robótica, 
se inscrever para webinars gratuitos e baixar alguns materiais (também grátis).
https://www.robotics.org/
Sociedade Brasileira de Automática
No site da SBA (Sociedade Brasileira de Automática) se pode ler notícias e baixar 
materiais sobre robótica. Também se pode descobrir eventos (muitos gratuitos) sobre 
robótica e automação.
http://www.sba.org.br
Sociedade Brasileira de Computação
No site da SBC ( Sociedade Brasileira de Computação) se pode ler notícias e baixar 
materiais sobre robótica. Há uma comissão sobre robótica e há um calendário de 
eventos. Se pode descobrir alguns (inclusive gratuitos) sobre robótica.
http://www.sbc.org.br/
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UNIDADE Cinemática de Robôs
Referências
CAMARGO, Valter L. A. de. Elementos de automação. São Paulo Erica 2014. 
ISBN 9788536518411.
CARRARA V. Apostila de robótica, Universidade Braz Cubas, área ciências exatas 
engenharia mecânica engenharia de controle e automação 3º ed. 2008. (Apostila). 
Disponível em: https://docplayer.com.br/2467940-Universidade-braz-cubas-area-de-
-ciencias-exatas-engenharia-mecanica-engenharia-de-controle-e-automacao-apostila-
-de-robotica.htmlm Acesso em 26 de setembro de 2018
CRAIG, John J. Robótica (Livro Eletrônico). São Paulo: Pearson, 2013. ISBN 
9788581431284.
FERREIRA, F.M.N. Simulação Dinâmica e Controlo de Robôs Industriais-Disser-
tação de Mestrado , Universidade do Porto, Porto-Portugal: 1999
FU, K. S.; GONZALES, R. C.; LEE, C. S. G. Robotics Control, Sensing, Vi-
sion and Intelligence. Industrial Engineering Series. NEW YORK: McGraw-
-Hill,1987. CRAIG, John J. Introduction to Robotics-Mechanism and Control. 
Upper Saddle River: Pearson, 2005. ISBN 0131236296.
GROOVER, M. P., WEISS, M., NAGEL, R.N., ODREY, N. G., Robótica: tecno-
logia e programação, Tradução de D. M. Savatovsky, Editora McGraw-Hill Ltda, 
São Paulo, 1989.
LAMB, Frank. Automação industrial na prática. Porto Alegre: AMGH, 2015. 
(Tekne). ISBN 9788580555141.
MEZA M.E.M. Introdução ao controle de sistemas não lineares, Uniiversidade Fe-
deral do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro 2007. Disponível em: https://www.lncc.br/
pdf_consultar.php?idt_arquivo=2362&mostrar=1&teste=1 Acesso em 26 de setem-
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PAUL, R.P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control, 
The MIT Press, Cambridge-USA: 1981
ROBÓTICA móvel. Rio de Janeiro LTC 2014 1 recurso online ISBN 978-85-216-
2642-8.
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cessos. São Paulo: Edgar Blucher, 2002
ROMERO, Roseli A. F. et al. Robótica Móvel. Rio de Janeiro: LTC, 2014. ISBN 
978-85-216-2642-8.
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and Intelligence. Industrial Engineering Series. McGraw-Hill, New York,1987
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