UM ARTEFATO ENGENHOSO

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Diversidade cultural e meio ambiente: de estratégias de contagem às propriedades geométricas
Construção do conhecimento matemático em ação: polígonos e triângulos congruentes
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Um artefato engenhoso
Para prosseguir trabalhando neste módulo, você deverá preparar um material auxiliar 
muito simples: 
Pegue dois canudos de refrigerante de certa cor e corte-os com o comprimento de 
aproximadamente 25cm (pode ser mais ou menos). Separe outro canudo, de cor diferente, 
e corte-o em dois pedaços de aproximadamente 12cm. Passe um fio grosso (ou linha du-
pla) por dentro dos quatro pedaços, alternando os canudos: maior, menor, maior, menor. 
Amarre bem e corte o fio.
Embora você tenha montado um retângulo, os lados podem ser cruzados, como na 
segunda figura. Veja que você pode abrir e fechar a segunda figura:
Atividade 5
Considerando a figura imobilizada e completando-a com um segmento que forma uma 
base, você pode achar quatro triângulos, congruentes dois a dois (porém os quatro não 
são congruentes).
a) Identifique quais são os pares de triângulos congruentes.
b) Justifique a congruência de cada um dos pares, usando qualquer caso de congruência.
Observação: Não jogue fora o modelo construído. Ele ainda será usado nesta 
Unidade.
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Os triângulos na vida dos homens – Congruência de Triângulos
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Atividade 6
Uma área rural triangular tem uma frente de 1000m, 
com pontos extremos conhecidos, ao longo de um tre-
cho retilíneo de estrada. Os outros dois lados, contudo, 
não estão demarcados. Sabe-se que o lado esquerdo 
passa por uma grande árvore, dentro do terreno e afas-
tada da estrada; e que o lado direito forma um ângulo 
de 60° com a frente. Com base nessas informações, é 
possível a demarcação precisa da área?
O terreno das demonstrações
Vamos entrar em um terreno não muito usual nesta proposta: o terreno das demons-
trações matemáticas.
Terreno este em que estão envolvidos conceitos como axioma, teorema, hipó-
tese, tese.
Axiomas e postulados são afirmações tomadas como verdadeiras, para iniciar 
a construção de uma teoria matemática. São, na maioria das vezes, óbvias e aceitas 
pelo senso comum. Por exemplo:
Por um ponto passam infinitas retas.
Por dois pontos passa uma única reta.
Teoremas compõem-se do enunciado e da demonstração. No enunciado, aparece 
a tese, que é aquilo que se afirma ser verdadeiro, desde que ocorram determinadas 
hipóteses que o enunciado também menciona quais são. A demonstração aponta 
o caminho do raciocínio lógico que chega à evidência de que a tese é verdadeira, 
usando as hipóteses e, possivelmente, axiomas – fatos aceitos como verdadeiros, 
sem demonstração, ou usando outros teoremas já demonstrados. Construindo-se 
vários teoremas, uns apoiados nos outros, forma-se uma cadeia de conhecimentos 
lógico-dedutíveis que constituem uma teoria matemática. A Geometria Euclidiana é 
um exemplo de tal teoria. 
O raciocínio lógico nem sempre nos parece tão lógico assim, porque há inúme-
ras facetas da lógica matemática. Existem demonstrações que partem das hipóteses 
e que, por junção de fatos e construções, chegam à tese. Existem outras, chamadas 
de demonstrações por absurdo, que são bastante lógicas e que de absurdo não têm 
nada. O esquema delas, quando usado para demonstrar determinada tese, é mais ou 
menos assim: querem ver o que ocorre se imaginarmos que a tese não é verdadeira? 
O raciocínio matemático junta fatos e mostra que aparece uma baita contradição. Ou 
seja, supondo, por absurdo, que a tese não seja válida, agüente as conseqüências, 
que são gritantes contradições matemáticas. O que nos leva a concluir que, para se 
evitar desordens na Matemática, a tese deve ser verdadeira.
Articulando
conhecimentos
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Diversidade cultural e meio ambiente: de estratégias de contagem às propriedades geométricas
Construção do conhecimento matemático em ação: polígonos e triângulos congruentes
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Existem outras demonstrações que não usam esse esquema de negar a tese. Vão 
indo, mansas, partindo das hipóteses, e de repente mostram que só faltava uma “coi-
sinha” valer para surgir a tese. Vira e revira a argumentação, e nada de se conseguir 
provar a tal “coisinha” resolvedora da demonstração. Então, acontece o estalo da idéia 
da negação: quer ver só o que ocorre se tal “coisinha” não valer? E aí o raciocínio 
consegue chegar a contradições matemáticas. Então, o jeito é voltar atrás e aceitar 
que a tal “coisinha” tem que valer mesmo.
Ainda há outros tipos de demonstrações, mas vamos parando por aqui. 
Há dois aspectos a se considerar em um teorema. Por um lado, demonstrá-lo é 
conhecer uma parte importante da natureza da Matemática que procura dar provas 
consistentes do que esta ciência considera como verdadeiro. Por outro lado, mesmo 
que não se conheça a sua demonstração, cada teorema torna-se um fato instituciona-
lizado da Matemática, passando a ser usado e reusado por milhares de pessoas que 
realizam atividades matemáticas. É o caso do teorema de Pitágoras ou da fórmula 
de Báskhara – mesmo que se desconheça como foram demonstrados, eles são ins-
trumentos poderosos na solução de problemas e são usados e aceitos sem que haja 
dúvidas sobre suas validades.
Os instrumentos são úteis quando se sabe exatamente o que significam e onde 
podem ser utilizados. Assim, recorre-se ao teorema de Pitágoras quando são conhe-
cidos dois lados de um triângulo retângulo e se quer determinar o terceiro lado.
O problema ocorre quando os instrumentos são apresentados por si e sem sig-
nificado. Ao se apresentar ao aluno o processo multiplicativo de 15 x 24, não há 
qualquer desenvolvimento no sentido de levá-lo a perceber que o processo envolve 
procedimentos pelos quais se conta 15 vezes a quantidade 24, mediante etapas: pri-
meiro, o cálculo ou a contagem de 5 vezes 24; depois, o cálculo ou a contagem de 
10 vezes 24; e, finalmente, a soma dos dois. Não percebendo nada disso, o aluno 
tem dificuldade para, em determinadas situações, concluir que aliar esse recurso à 
multiplicação lhe daria um caminho para obter a solução. Do mesmo modo, apenas 
a memorização de que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos catetos não basta para a compreensão dos aspectos algébricos e geométricos 
aí envolvidos e para a capacidade de se perceber quando, em situações-problema, 
recorrer a esse teorema seria relevante.
Cada ramo da Matemática é uma teoria que se faz com entes primitivos, axiomas 
e com a construção de uma longa cadeia de verdades, ou teoremas, que vão sendo 
puxadas umas das outras, entremeadas por novas definições que se fazem necessárias 
e sempre regidas pelas regras do raciocínio lógico matemático.
Não obstante aparentarem ser fundamentadas exclusivamente na rigidez lógica, 
essas teorias têm, por trás, fortes doses de intuição. Otte (1991) afirma que tanto a 
intuição quanto a lógica servem à mesma função cognitiva, ou seja, a de dar cer-
teza. Ele também cita (p.281) Fischbein, que escreveu: As coisas tornam-se muito 
mais claras se admitirmos que o conceito de intuição, embora aparentemente vago e 
inconsistente, expressa uma tendência fundamental, bastante consistente, da mente 
humana: a procura por certeza.
A maioria dos teoremas (antes de provados) foi intuída, a partir de muitos casos 
particulares observados.
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