Física - Livro 2-269-272

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F
R
E
N
T
E
 3
269
Se o objeto P for extenso, as imagens P1 e P2, por sim-
ples reflexão, serão enantiomorfas ao objeto.
E a imagem P3 = P4, por dupla reflexão, será idêntica
ao objeto.
Fig. 18 Associação de espelhos planos.
Atenção
Observação: Se um objeto está localizado entre as faces refletoras de dois
espelhos planos e paralelos, haverá a formação de infinitas imagens, pois
a luz sofrerá infinitas e sucessivas reflexões entre os espelhos. Contudo,
conseguiremos apenas visualizar um número finito de imagens, devido à
perda de intensidade luminosa e diminuição do ângulo visual.
Exercício resolvido
1 Com três patinadores colocados entre dois espelhos
planos fixos, um diretor de cinema consegue uma cena
em que são vistos, no máximo, 24 patinadores. Qual o
ângulo a entre os espelhos? Sabe-se que o ângulo a é
tal que
a
360
o
 é um número inteiro.
Resolução:
Como são vistos no máximo 24 patinadores, sabemos
que aos três patinadores (objetos) correspondem
21 imagens. Logo, a um patinador (objeto) correspon-
dem 7 imagens.
De
α
 −N =
360
1,
o
 e sendo N = 7, vem:
α
 − ⇒ α7 =
360
1 = 45
o
o
Espelhos esféricos
São superfícies refletoras que têm a forma de calota
esférica.
Existem dois tipos de espelhos esféricos:
I. côncavo: quando a face espelhada está voltada para
o centro de curvatura.
II. convexo: quando a face espelhada está voltada para
o lado oposto ao centro de curvatura.
superfície
refletora
interna
superfície
refletora
externa
espelho
convexo
luz
espelho
côncavo
luz
Fig. 19 Espelhos esféricos.
Espelhos esféricos gaussianos
Para obtermos a imagem de um ponto objeto P,
fornecida por um espelho esférico, basta usar as leis da
reflexão e lembrar que a reta normal a uma superfície
esférica tem a direção que passa pelo centro de curvatura C
dessa superfície.
Observamos, na figura 20, que os raios refletidos pelo
espelho não se interceptam no mesmo ponto, fazendo com
que ao objeto P correspondam inúmeras imagens (mancha
luminosa).
Em virtude disso, dizemos que o espelho esférico é
astigmático.
mancha P'
Objeto P
C
R
V
N1
N2
N3
êp
Fig. 20 Imagem astigmática.
FÍSICA Capítulo 8 Reflexão da luz270
Os principais elementos geométricos nos espelhos
esféricos são:
• C: centro de curvatura
• V: vértice
• CV = R: raio de curvatura
• e
p
: eixo óptico principal – reta que passa por C e V
Contudo, se utilizarmos o espelho dentro de certas
condições, ele poderá tornar-se estigmático, isto é, de um
ponto objeto conjugar um único ponto imagem.
Condições de Gauss
As condições para que o espelho esférico seja
estigmático são chamadas de condições de Gauss.
As condições de Gauss são:
I. os raios de luz devem ser pouco inclinados em re-
lação ao eixo óptico principal.
II. os raios de luz devem incidir próximo ao vértice do es-
pelho.
É muito importante ficar claro que todo o nosso estudo é baseado no
uso das condições de Gauss, isto é, considerando que os espelhos
esféricos sempre geram imagens estigmáticas.
Atenção
Raios notáveis de luz
Passaremos agora a estudar alguns raios de luz, deno-
minados raios notáveis por serem úteis na determinação
gráfica da imagem formada em espelhos esféricos (E
E
).
I
V F C
V F C
V F C
V F C
II IV
III
Fig. 21 Raios notáveis.
I. Todo raio que incide em uma direção que passa pelo
centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo.
 Essa trajetória é devida à incidência da luz estar na
direção da reta normal (incidência normal î = 0).
II. Todo raio que incide no vértice do espelho reflete-se
simetricamente ao eixo óptico principal.
 Isso ocorre porque, nesse caso, o eixo óptico principal
representa a reta normal no ponto de incidência da luz.
III. Todo raio que incide paralelamente ao eixo óptico
principal reflete-se em uma direção que passa pelo
foco principal do espelho.
IV. Todo raio que incide em uma direção que passa pelo
foco principal reflete-se paralelamente ao eixo óptico
principal.
 Esse raio notável decorre do anterior pelo princípio da
reversibilidade da luz.
Na figura 21, o ponto F é o chamado foco principal do
espelho.
Foco (F) do espelho côncavo é real.
Foco (F) do espelho convexo é virtual.
Atenção
O foco de um sistema óptico qualquer é um ponto que
tem por conjugado um ponto impróprio (situado no infinito).
Demonstra-se que dentro das condições de Gauss,
o foco F é o ponto médio do segmento CV.
Sendo:
CV = R: raio de curvatura
FV = F: distância focal
Como FV =
CV
2
, logo:
F =
R
2
Assim como existe o foco principal, existem os focos secundários, ou
seja, todo pincel cilíndrico que incide em um espelho esférico paralelo
a um eixo secundário se reflete passando por um foco secundário.
Pode-se provar que, desde que obedecidas as condições de Gauss,
todos os focos de um espelho esférico situam-se em um mesmo
plano denominado plano focal.
E
côncavo
E
convexo
Representação de um espelho esférico de Gauss.
V – vértice
C – centro de curvatura
F – foco
Atenção
©
 D
v
m
s
im
a
g
e
s
 |
 D
re
a
m
s
ti
m
e
.c
o
m
T
il
 N
ie
rm
a
n
n
/W
ik
im
e
d
ia
 C
o
m
m
o
n
s
Fig. 22 Espelho convexo e espelho côncavo.
F
R
E
N
T
E
 3
271
Determinação gráfica da imagem
Vamos determinar graficamente, nas figuras de 23 a 27,
a imagem A’B’ de um pequeno objeto real AB disposto
frontalmente diante de um espelho esférico. Para isso, con-
sideramos a luz emitida pela extremidade A do espelho que,
após ser refletida, formará a extremidade A' da imagem.
A imagem A’B’ ficará determinada sabendo-se que ela
também estará disposta perpendicularmente ao eixo óp-
tico principal.
Na determinação gráfica da imagem, basta traçar dois
raios quaisquer de luz entre os quatro raios notáveis.
Atenção
Espelho côncavo
Caso 1:
Objeto situado depois do centro de curvatura C.
Imagem conjugada:
• real
• invertida
• menor
• entre F e C
V F C
A'
B'
A
O
BI
Fig. 23 Objeto além do centro de curvatura.
Caso 2:
Objeto situado sobre o centro de curvatura C.
Imagem conjugada:
• real
• invertida
• igual
• em C
V F
I
A'
A
O
C
B B'≡
Fig. 24 Objeto sobre o centro de curvatura.
Caso 3:
Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F.
Imagem conjugada:
• real
• invertida
• maior
• depois de C
V F C
A
A'
O B'
I
B
Fig. 25 Objeto entre o foco e o centro de curvatura.
Esse caso corresponde ao chamado espelho de au-
mento, como aqueles usados para se barbear, ou aqueles
usados por dentistas.
Caso 4:
Objeto situado sobre o foco F.
Imagem conjugada no infinito (imprópria).
V F C
I
A
O
B
∞
Fig. 26 Objeto sobre o foco.
Caso 5:
Objeto situado entre o foco F e o vértice V.
Imagem conjugada:
• virtual
• direita
• maior
• atrás do espelho
V F C
O
A
B’ B
I
A’
Fig. 27 Objeto entre o vértice e o foco.
FÍSICA Capítulo 8 Reflexão da luz272
Espelho convexo
Caso único:
Objeto situado na frente do espelho.
Imagem conjugada:
• virtual
• direita
• menor
• atrás do espelho
C F
A'
A
VB'
I
B
O
Fig. 28 Espelho convexo, caso único.
Atenção
Determinação analítica da imagem
Agora que já sabemos determinar as imagens de forma
qualitativa, devemos passar para o método quantitativo, isto
é, definiremos expressões matemáticas que determinem a
posição e o tamanho da imagem.
Equação dos pontos conjugados de Gauss
Observe as figuras a seguir.
coordenada
y
coordenada
y
Luz
e'p
+
+
–
–
Fig. 29 Ao longo de e
P
, teremos coordenadas positivas na região iluminada do
espelho.
O
A
B
V B'
A'
F C
F
P'
R = 2F
P
i
(1)
(2)
(4)
(3) ep
Fig. 30 Parâmetros para determinação analítica de imagens formadas em
espelhos esféricos.
Na figura 30, temos:
P: abscissa do objeto, distância do objeto ao espelho
P': abscissa da imagem, distância da imagem ao espelho
O: altura do objeto, (AB)
i: altura da imagem, (A'B')
I. (1) ≈ D(2)
 temos:
'
 =
 −
o
i
F
P F
II. (3) ≈ D(4)
 temos:
'
 =
 −
 −
o
i
P 2F
2F P
Portanto:
F ⋅ (2F - P') = (P - 2F) · (P' - F) ⇒
2F2- FP' = PP' - PF - 2FP' + 2F2 ⇒
2F2- FP' - PP' + PF + 2P'- 2F2 = 0 ⇒
- PP' + PF + FP' = 0 ⇒
PF + FP' = PP'
Dividindo a equação por PP'F, temos:
'
'
'
'
'
 + =
PF
PP F
FP
PP F
PP
PP F
que resulta na equação de Gauss:
'
+ =
1
P
1
P
1
F
Observe ainda que DABV ≈ DA'B'V, logo:
'
'
 = ⇒ =
o
i
P
P
i
o
P
P
Por definição, o aumento linear transversal A é a razão
entre a altura da imagem i e a altura do objeto o, ou seja:
A =
i
o
Pela relação vista anteriormente:
' '
 = ⇒ =
−i
o
P
P
i
o
P
P
 (convenção de sinal)