Aula 4-Energia e Potencial-Alvaro 2021-vAlunos

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Eletricidade e Magnetismo
Aula 4 – Energia e Potencial
Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica - DAELT
alvaroaugusto@utfpr.edu.br
Conteúdo
 Trabalho
 Energia Potencial
 Potencial
 Diferença de Potencial
 Exemplos
Trabalho (W)
 Em qualquer campo da física, energia é a capacidade de realizar trabalho.
 O trabalho (𝑊) é uma quantidade escalar e sua unidade no SI é o joule [J].
 Em um caso bastante simples, o trabalho realizado por uma força constante 𝐹
sobre uma partícula de massa 𝑚 que se desloca em linha reta desde uma 
ponto 𝑎 até um ponto 𝑏 é:
 No caso geral, usamos uma integral de linha:
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹. 𝑑 ℓ
𝑊 = 𝐹(𝑎 − 𝑏)
Trabalho realizado por uma força elétrica
 Relembrando, o campo elétrico gerado por uma carga 𝑞 é:
 Imagine agora uma partícula de carga 𝑞′ que se desloca através desse campo. 
A força elétrica exercida sobre ela é:
 O trabalho realizado por esta força é:
𝑊 = 
𝑟𝑎
𝑟𝑏
 𝐹. 𝑑 𝑟 = 
𝑟𝑎
𝑟𝑏
𝑞𝑞′
4𝜋𝜀0𝑟
2 . 𝑑𝑟 ∴ 𝑊 =
𝑞𝑞′
4𝜋𝜀0
1
𝑟𝑎
−
1
𝑟𝑏
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
2
𝐹 =
𝑞𝑞′
4𝜋𝜀0𝑟
2
Forças conservativas
 O trabalho realizado pelo campo de uma carga puntiforme depende apenas do 
ponto inicial e do ponto final, sendo independente do trajeto.
 Quando isto acontecer, dizemos que as forças são conservativas.
 Podemos também escrever o trabalho como a variação da energia potencial
𝑈 de 𝑎 até 𝑏:
𝑊𝑎𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏
Exemplo 1
Exemplo 1
Exemplo 1
Exemplo 1
Trabalho realizado por um campo 
produzido por várias cargas puntiformes
 O campo é a somatória dos campos produzidos pelas 𝑎 carga, 
 O força exercida por este campo sobre uma carga 𝑞′ é:
 E o trabalho é:
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1
𝑟1
2 +
𝑞2
𝑟2
2 +
𝑞3
𝑟3
2 + ⋯
𝑞𝑛
𝑟𝑛
2 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖
𝑟𝑖
2
𝐹 =
𝑞′
4𝜋𝜀0
 
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖
𝑟𝑖
2
𝑊 =
𝑞′
4𝜋𝜀0
 
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Potencial (V)
 Em vez de utilizar a energia potencial de uma partícula, é mais conveniente 
introduzir o conceito mais geral de energia potencial por unidade de carga. 
Essa grandeza, medida em qualquer ponto de um campo eletrostático, é dada 
por: 
 A unidade do potencial no SI é o volt [V].
𝑉 =
𝑈
𝑞′
=
𝑞𝑞′
4𝜋𝜀0𝑟
1
𝑞′
𝑉 =
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟
Potencial de um conjunto de cargas
 O potencial em um ponto devido a um conjunto de cargas puntiformes é:
 Da mesma forma que no caso do campo elétrico, o potencial independe da 
carga-teste usada para defini-lo. Esta é uma grande vantagem, pois facilita 
em muito a medição desta grandeza.
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑖=1
𝑛
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Diferença de Potencial
 Como sabemos que o trabalho é a variação da energia potencia de 𝑎 até 𝑏, 
podemos escrever:
 A quantidade 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 é denominada diferença de potencial (ddp), tensão 
elétrica (no Brasil) ou voltagem (em Portugal), representada por:
𝑊𝑎𝑏
𝑞′
=
𝑈𝑎
𝑞′
−
𝑈𝑏
𝑞′
= 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏
Diferença de Potencial em um Campo 
Elétrico qualquer
 Quando se conhece o campo elétrico através do qual a partícula de move, 
podemos escrever:
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑ℓ
𝑉𝑎𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝐸. 𝑑ℓ
Exemplo 2
 Uma partícula de carga 𝑞 = 3𝜂𝐶 se move do ponto “𝑎” ao ponto “𝑏” ao longo de 
uma linha reta que corta um campo elétrico uniforme 𝐸 = 200 𝑉/𝑚 conforme a 
ilustração abaixo. A distância entre “𝑎” e “𝑏” é 0,5 m. Determine: (a) a força 
exercida sobre 𝑞; (b) o trabalho realizado pelo campo; (c) a diferença de 
potencial entre “𝑎” e “𝑏”.
Solução
 O módulo da força é:
 O trabalho é:
 A diferença de potencial é
 Também podemos escrever
𝐹 = 𝑞𝐸 = 3 × 10−9 × 200 = 600 × 10−9 N
𝑊 = 
𝑎
𝑏
 𝐹. 𝑑ℓ = 
𝑎
𝑏
𝐹 𝑑ℓ𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐹 × 𝑎 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑊 = 600 × 10−9 × 0,5 × 𝑐𝑜𝑠30 = 2,6 × 10−7J
𝑉𝑎𝑏 =
𝑊
𝑞
=
2,6 × 10−7
3,0 × 10−9
= 86,7 𝐕
𝑉𝑎𝑏 = 𝑎
𝑏
𝐸. 𝑑ℓ = 𝑎
𝑏
𝐸 𝑑ℓ𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐸 × 𝑎 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 200 × 0,5 × 𝑐𝑜𝑠30 = 86,7 V
Exemplo 3
 Carga puntiformes de 𝑞1 = +12𝜂𝐶 e 𝑞2 = −12𝜂𝐶 são posicionadas como 
indicado na figura abaixo. Determine os potenciais nos pontos A, B e C.
Solução
 No ponto 𝐴, o potencial devido à carga positiva é:
 O potencial devido à carga negativa è:
 O potencial total no ponto 𝐴 é 
 Nos pontos 𝐵 e 𝐶 os cálculos são feitos da mesma forma.
𝑉𝐴+ =
1
4𝜋𝜀0
×
12 × 10−9
0,06
= 1800 𝑉
𝑉𝐴− =
1
4𝜋𝜀0
×
(−12 × 10−9)
0,04
= −2700 𝑉
𝑉𝑎 = 𝑉𝐴+ + 𝑉𝐴− = 1800 − 2700 = −900 𝑉
Partícula de massa “m” movendo-se em 
um campo elétrico
 Seja uma partícula-teste de massa 𝑚 e carga 𝑞′ movendo-se em um campo 
elétrico criado por duas cargas 𝑞1 e 𝑞2. A partícula sai do ponto “𝑎” e vai até 
o ponto “𝑏”. Para calcularmos a velocidade da partícula no ponto “𝑏” 
devemos nos lembrar da lei da conservação da energia:
 onde:
 𝐸𝑐𝑎= Energia cinética no ponto 𝑎
 𝐸𝑐𝑏= Energia cinética no ponto 𝑏
 𝑈𝑎= Energia potencial no ponto 𝑎
 𝑈𝑏= Energia potencial no ponto 𝑏
𝐸𝑐𝑎 + 𝑈𝑎 = 𝐸𝑐𝑏 + 𝑈𝑏
Solução
 Supondo que a partícula saia do repouso no ponto “𝑎”: 
ou 
0 + 𝑞′𝑉𝑎 =
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑞′𝑉𝑏
𝑣 =
2𝑞′(𝑉𝑎 − 𝑉𝑏)
𝑚
Exemplo 4
 Na figura abaixo uma partícula de massa 𝑚 = 5𝑔 e carga 𝑞′ = +2𝜂𝐶se move 
em linha reta em um campo elétrico criado pelas cargas 𝑞1 = +3𝜂𝐶 e 𝑞2 =
− 3𝜂𝐶. A partícula sai do repouso no ponto “𝑎” e vai até o ponto “𝑏”. 
Determine a velocidade da partícula no ponto “𝑏”.
Solução
 Primeiro calculamos os potenciais nos pontos “𝑎” e “𝑏”, respectivamente:
 A diferença de potencial será:
𝑉𝑎 =
1
4𝜋𝜀0
.
𝑞1
𝑟𝑎1
+
𝑞2
𝑟𝑎2
= 9 × 109 × 3 × 10−9.
1
0,01
−
1
0,02
= 1.350 𝑉
𝑉𝑏 =
1
4𝜋𝜀0
.
𝑞1
𝑟𝑏1
+
𝑞2
𝑟𝑏2
= 9 × 109 × 3 × 10−9.
1
0,02
−
1
0,01
= −1.350 𝑉
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 1.350 − −1.350 = 2.700 𝑉
Solução
 Aplicando a fórmula da velocidade, teremos:
𝑣 =
2𝑞′(𝑉𝑎 − 𝑉𝑏)
𝑚
=
2 × 2 × 10−9 × 2.700
5 × 10−3
∴ 𝑣 = 4,65 × 10−2𝑚/𝑠
Ufa! Acabou!