Aula_00_-_Geometria_Plana_I_-_Parte_I_-__ESA_2024

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ESA 
2024 
AULA 00 
Geometria Plana I – Parte I 
 
 
 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Sumário 
Introdução 4 
1.0 - Geometria Euclidiana Plana 4 
1.1. Noções Primitivas 4 
1.1.1. Ponto 4 
1.1.2. Reta 4 
1.1.3. Plano 5 
1.2. Postulados 5 
1.2.1. Postulado Da Existência 5 
1.2.2. Postulado Da Determinação 6 
1.2.3. Postulado Da Inclusão 7 
1.2.4. Postulado Da Separação 8 
1.2.5. Postulados De Euclides 8 
1.3. Definições 11 
1.3.1. Retas Concorrentes 11 
1.3.2. Retas Paralelas 12 
1.3.3. Retas Reversas 12 
2.0 - Segmento De Reta 13 
2.1. Classificação Dos Segmentos 13 
2.1.1. Congruentes 13 
2.1.2. Colineares 14 
2.1.3. Consecutivos 14 
2.1.4. Adjacentes 15 
2.2. Ponto Médio De Um Segmento 15 
3.0 - Ângulos 16 
3.1. Região Convexa E Região Côncava 16 
3.2. Definição De Ângulo 17 
3.3. Classificação Dos Ângulos 18 
3.3.1. Ângulo Adjacente 18 
3.3.2. Ângulo Consecutivo 19 
3.3.3. Ângulos Opostos Pelo Vértice 20 
3.3.4. Ângulo Reto, Agudo, Obtuso E Raso 21 
3.3.5. Ângulo Complementar, Suplementar, Replementar e Explementar 22 
3.4. Unidades Usuais De Medidas 23 
3.4.1. Grau 23 
3.4.2. Grado 24 
3.4.3. Radiano 24 
3.5. Conversão De Unidades De Medida 26 
3.6. Bissetriz 27 
3.6.1. Definição 27 
3.6.2. Unicidade Da Bissetriz 28 
4.0 - Triângulos 36 
4.1. Definição 36 
4.2. Classificação Dos Triângulos 37 
4.2.1. Quanto Aos Lados 37 
4.2.2. Quanto Aos Ângulos 38 
4.2.3. Síntese De Clairaut 38 
4.3. Cevianas Notáveis 39 
4.3.1. Altura 39 
4.3.2. Mediana 39 
4.3.3. Bissetrizes Interna E Externa 40 
 
 
 
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4.4. Condição De Existência Do Triângulo 40 
4.5. Triângulo Isósceles 41 
4.6. Teorema Do Ângulo Externo 42 
4.7. Desigualdades No Triângulo 43 
4.8. Ângulos De Retas Paralelas 44 
4.9. Teorema Angular De Tales 45 
5.0 - Lista de Questões - Nível 1 50 
5.1. Gabarito 54 
6.0 - Lista de Questões Comentadas - Nível 1 55 
7.0 Lista de Questões - Nível 2 71 
7.1. GABARITO 83 
8.0 - Lista de Questões Comentadas - NÍVEL 2 83 
9.0 - Lista de Questões - NÍVEL 3 107 
10 - Lista de Questões Comentadas - NÍVEL 3 110 
11 - Referências Bibliográficas 116 
12 - Considerações Finais 116 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Faaaaaaaaaaaaaaaala, Audaz! 
 Vamos iniciar o estudo da Geometria Plana. Essa aula é uma introdução à Geometria Plana e, por 
esse motivo, não haverá muitas questões de concursos anteriores. 
Nesse curso, tentei deixar os comentários das questões bem detalhados, então, se você for um 
aluno avançado ou intermediário, apenas confira o gabarito e tente resolver todas as questões dessa aula. 
Lembre-se! O importante é ganhar velocidade na hora da prova, então, tente resolver a maior quantidade 
de exercícios possível e não perca tempo verificando questões que você já sabe! Caso você seja um aluno 
iniciante, você pode conferir o passo a passo das resoluções e aprender com elas. Sem mais delongas, 
vamos começar! 
1.0 - Geometria Euclidiana Plana 
A geometria euclidiana, também conhecida como geometria plana, é a parte da matemática que 
estuda a construção e propriedades de figuras planas como triângulos, circunferência, quadriláteros etc. 
Antes de iniciar, devemos aprender as noções primitivas de ponto, reta e plano e os postulados que 
relacionam esses entes geométricos. 
1.1. Noções Primitivas 
 As noções primitivas são apresentadas sem definição. Veja algumas delas. 
1.1.1. Ponto 
 Representamos o ponto por letras maiúsculas do alfabeto: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, … Devemos entender o 
ponto como a menor parte dos entes geométricos. Ele é adimensional. 
 
1.1.2. Reta 
 Usamos as letras minúsculas do alfabeto para representar uma reta: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … A reta é o ente 
geométrico cujas extremidades não possuem limites, ela é contínua em ambos os lados. Por esse motivo, 
podemos usar setas para indicar a continuidade da reta nos dois sentidos. No exemplo abaixo, temos as 
retas 𝑟, 𝑠, 𝑡. No caso da reta 𝑡, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é um segmento de reta. 
 
 
 
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1.1.3. Plano 
 Usualmente, representamos o plano com letras minúsculas gregas: 𝛼, 𝛽, 𝛾, … Assim como a reta, 
ele deve ser entendido como um plano ilimitado sem bordas que o limite. 
 
1.2. Postulados 
 Postulados, também conhecido como axiomas, são proposições primitivas que dispensam 
demonstrações. Elas são aceitas como verdades incontestáveis. Vamos estudá-las. 
1.2.1. Postulado Da Existência 
Numa reta, existem infinitos pontos dentro e fora dela. Num plano, existem infinitos pontos. 
 Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
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 Nesse caso, os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 estão localizados dentro da reta 𝑟 e os pontos 𝐷, 𝐸, 𝐹 estão fora dela. 
Simbolicamente, podemos dizer que: 
𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑟 
𝐷, 𝐸, 𝐹 ∉ 𝑟 
 
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ 𝛼 
 No plano 𝛼, temos infinitos pontos. 
1.2.2. Postulado Da Determinação 
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Três pontos não colineares 
determinam um único plano que passa por eles. 
 Exemplos: 
 
Se 𝐴 ≠ 𝐵, ∃𝑟 tal que 𝑟 = 𝐴𝐵 ⃡ . 
 
 Os pontos 𝐴, 𝐵 determinam uma única reta 𝑟. 
 
 
 
 
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Se 𝐴, 𝐵, 𝐶 são não colineares, então ∃𝛼 tal que 𝛼 = (𝐴, 𝐵, 𝐶). 
 
 Nesse caso, temos 3 pontos não colineares, isto é, não pertencentes a uma mesma reta. Elas 
determinam um único plano 𝛼. 
 Vejamos o caso de 3 pontos colineares: 
 
 3 pontos colineares não determinam um único plano, já que podemos ter vários planos passando 
por eles. 
1.2.3. Postulado Da Inclusão 
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano. 
 Exemplo: 
 
Se 𝐴 ≠ 𝐵 ∈ 𝛼, então 𝑟 = 𝐴𝐵 ⃡ ⇒ 𝑟 ⊂ 𝛼. 
 
 
 
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1.2.4. Postulado Da Separação 
Toda reta 𝑟 de um plano 𝛼 separa-o em dois semiplanos 𝛼1 e 𝛼2 e a origem dos semiplanos é a 
reta dada. 
 
 Exemplo: 
 
 
 Perceba que 𝑟 divide o plano em dois semiplanos: 𝛼1 e 𝛼2. 
1.2.5. Postulados De Euclides 
 Os postulados de Euclides são divididos em cinco: 
Postulado I: Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os une. 
Postulado II: Qualquer segmento de reta pode ser prolongado a uma reta. 
Postulado III: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma 
circunferência cujo centro é o ponto dado e o raio é a distância dada. 
Postulado IV: Todos os ângulos retos são iguais. 
Postulado V: Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo 
lado cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas, se prolongadas 
 
 
 
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indefinidamente, se encontram no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois 
ângulos retos. 
Comentários: 
Postulado I: Esse postulado é semelhante ao postulado da determinação. 
Postulado II: Se prolongarmos infinitamente um segmento de reta, podemos obter uma reta: 
 
 
Postulado III: 
 
 
Postulado IV: 
 
Postulado V: Vamos interpretar o texto e desenhar o que está escrito. 
 
 
 
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“Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo lado cuja soma é 
menor do que dois ângulos retos...” 
 
De acordo com essa parte do texto, temos a seguinte figura: 
 
A reta 𝑡 intercepta as retas 𝑟 e 𝑠. 
O lado cuja soma é menor do que dois ângulos retos (180°), no exemplo acima, é o lado esquerdo, 
veja: 
 
 Perceba que 𝛼 + 𝛽 < 180°. Assim, o prolongamentodas retas se encontrará no lado onde a soma 
desses ângulos é menor que 180°. O prolongamento das retas 𝑟 e 𝑠 se encontram no ponto 𝑃: 
 
 
 
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 Esse postulado é conhecido como Postulado das Paralelas. Segundo o matemático Playfair, temos 
um axioma equivalente ao quinto postulado de Euclides: 
 Dado um ponto 𝑃 que não está contido numa reta 𝑟, existe uma única reta 𝑠 no plano de 𝑃 e 𝑟 tal 
que 𝑠 contém 𝑃 e 𝑠 ∩ 𝑟 = ∅. 
Esse axioma diz que existe uma única reta 𝑠 paralela à reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝑃 fora de 𝑟. 
 
1.3. Definições 
1.3.1. Retas Concorrentes 
 Duas retas distintas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum. 
 
𝑟 ∩ 𝑠 = {𝑃} 
 
 
 
 
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1.3.2. Retas Paralelas 
 Se as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas e distintas entre si, então 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅. Simbolicamente, 𝑟//𝑠 representa 
que a reta 𝑟 é paralela à reta 𝑠. Temos duas possibilidades para 𝑟//𝑠: 
 1) 𝑟 e 𝑠 são coincidentes: 
 
 2) 𝑟 e 𝑠 são distintas: 
 
 
1.3.3. Retas Reversas 
Duas retas são reversas se, e somente se, não pertencem a um mesmo plano. 
 
(𝑟 e 𝑠 são reversas) ⇔ (∄𝛼 tal que 𝑟, 𝑠 ⊂ 𝛼 e 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅) 
Perceba que retas reversas não se interceptam e não podem ser paralelas entre si. 
 
 
 
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2.0 - Segmento De Reta 
 Vimos que um segmento de reta é uma parte de uma reta e que a reta é infinita por definição. 
Vamos estudar as notações usuais para os diferentes tipos de retas: 
Reta 𝐴𝐵 ⃡ : 
 
Segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : 
 
Semirreta 𝐴𝐵 : 
 
Semirreta 𝐵𝐴 : 
 
 Usualmente, representamos a medida do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ por 𝑚𝑒𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) ou simplesmente 𝐴𝐵. 
 
2.1. Classificação Dos Segmentos 
2.1.1. Congruentes 
 Dois segmentos de reta são congruentes quando eles possuem as mesmas medidas. Usamos o 
símbolo ≡ para indicar a congruência. 
 Exemplo: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
 
 
 
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2.1.2. Colineares 
 Dois segmentos de reta são colineares quando eles pertencem a uma mesma reta suporte. 
 Exemplo: 
 
 
2.1.3. Consecutivos 
 Dois segmentos de reta são consecutivos quando eles possuem uma extremidade comum. 
 Exemplo: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são consecutivos 
 
 
 
 
 
 
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2.1.4. Adjacentes 
 Dois segmentos de reta são adjacentes quando são colineares e consecutivos e possuem apenas 
uma extremidade comum. 
 Exemplo: 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são adjacentes, pois possuem apenas o ponto 𝐵 comum: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∩ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = {𝐵} 
 
𝑀𝑁 e 𝑁𝑃 não são adjacentes, pois possuem mais de uma extremidade em comum: 
𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ ∩ 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ = 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ 
 
2.2. Ponto Médio De Um Segmento 
 Um ponto 𝑀 é chamado de ponto médio de um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ quando 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ e 𝑀 está entre 
𝐴 e 𝐵. 
 
 Vamos provar a unicidade do ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : 
 Supondo que o ponto médio não é único, podemos ter os pontos médios 𝑀 e 𝑁 distintos tal que: 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ e 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ ≡ 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ 
 Temos dois casos: 
 Caso 1) 
 
 
 
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𝑀 está entre 𝐴 e 𝑁, então 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ > 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ 
𝑁 está entre 𝑀 e 𝐵, então 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ > 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ 
⇒ 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ > 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ > 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ 
⇒ 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ > 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ 
Absurdo! Pois, pela hipótese 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ ≡ 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ . 
 Caso 2) 
 
𝑁 está entre 𝐴 e 𝑀, então 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ > 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ 
𝑀 está entre 𝑁 e 𝐵, então 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ > 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ 
⇒ 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ > 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ ≡ 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ > 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ 
⇒ 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ > 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ 
Absurdo! Pois, pela hipótese 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅. 
 Portanto, o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é único. 
 
3.0 - Ângulos 
3.1. Região Convexa E Região Côncava 
 Um conjunto de pontos é convexo se, e somente se, para todo par de pontos 𝐴 e 𝐵 do conjunto, o 
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ está inteiramente contida no conjunto. Caso contrário, esse conjunto de pontos é côncavo. 
Exemplos: 
 
 
 
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 Perceba que para os conjuntos 𝑅1 e 𝑅2, todos os pontos 𝐴 e 𝐵 dentro desses conjuntos estão 
inteiramente contidos no conjunto. Isso não ocorre para os conjuntos 𝑅3 e 𝑅4. Logo, os conjuntos 𝑅1 e 𝑅2 
são convexos e os conjuntos 𝑅3 e 𝑅4 são côncavos. 
 Usando símbolos matemáticos: 
𝑹 é 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒙𝒂 ⇔ (∀𝑨, 𝑩 ∈ 𝑹 𝒆 𝑨 ≠ 𝑩 → 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ⊂ 𝑹) 
𝑹 é 𝒄ô𝒏𝒄𝒂𝒗𝒂 ⇔ (∃𝑨, 𝑩 ∈ 𝑹 𝒆 𝑨 ≠ 𝑩 → 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ⊄ 𝑹) 
3.2. Definição De Ângulo 
 Chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas não colineares de mesma origem. 
 
 
 
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 O ponto 𝑂 é o vértice do ângulo e as semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 são os lados do ângulo. 
Perceba que, caso as semirretas não sejam opostas, o ângulo determina duas regiões angulares, um 
convexo e um côncavo. A região interna do ângulo 𝑅1 é convexa e a região externa 𝑅2 é côncava. 𝛼 é a 
notação usada para representar o ângulo da região convexa e 𝛽 é o ângulo da região côncava. Também 
podemos usar a notação 𝛼 = 𝐴Ô𝐵 = Ô. 
 
3.3. Classificação Dos Ângulos 
3.3.1. Ângulo Adjacente 
 Dois ângulos são adjacentes se, e somente se, não tem pontos internos comuns. 
 Exemplos: 
 
𝐴Ô𝐵 e 𝐵Ô𝐶 são adjacentes 
 
 
 
 
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𝐴Ô𝐵 e 𝐴Ô𝐶 não são adjacentes, pois 𝐴Ô𝐵 possui pontos internos comuns com 𝐴Ô𝐶 
3.3.2. Ângulo Consecutivo 
 Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles coincide com o lado do outro. 
Exemplos: 
 
𝐴Ô𝐵 e 𝐵Ô𝐶 são consecutivos, pois possuem o lado 𝑂𝐵 em comum 
 
𝐴Ô𝐷 e 𝐵Ô𝐶 não são consecutivos, pois não possuem lado em comum 
 
 
 
 
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𝐴Ô𝐶 e 𝐴Ô𝐵 são consecutivos, pois possuem o lado 𝑂𝐴 em comum 
 
3.3.3. Ângulos Opostos Pelo Vértice 
 Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são as semirretas opostas dos 
lados do outro. Consequentemente, esses ângulos são iguais. 
 Exemplos: 
 
𝐴Ô𝐵 e 𝐶Ô𝐷 são opostos pelo vértice 
 Como 𝑂𝐷 é o oposto de 𝑂𝐵 e 𝑂𝐶 é o oposto de 𝑂𝐴 , temos 𝐴Ô𝐵 + 𝐴Ô𝐷 = 180° e 𝐶Ô𝐷 + 𝐴Ô𝐷 =
180°, logo 𝐴Ô𝐵 = 𝐶Ô𝐷. 
 
 
 
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𝐴Ô𝐵 e 𝐶Ô𝐷 não são opostos pelo vértice, pois o lado 𝑂𝐷 não é a semirreta oposta de 𝑂𝐵 
3.3.4. Ângulo Reto, Agudo, Obtuso E Raso 
 
 Ângulo agudo é todo ângulo menor do que 90°. 
 Ângulo obtuso é todo ângulo maior do que 90°. 
 Ângulo reto é todo ângulo igual a 90°. 
 Ângulo raso é todo ângulo igual a 180°. 
Tipo de Ângulo Condição 
 
 
 
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3.3.5. Ângulo Complementar, Suplementar, Replementar e 
Explementar 
 
 
 
 
Agudo < 90° 
Obtuso > 90° 
Reto = 90° 
Raso = 180° 
 Classificação para 𝜶 e 𝜷 Condição 
Complementar 𝛼 + 𝛽 = 90° 
Suplementar 𝛼 + 𝛽 = 180° 
Replementar 𝛼 + 𝛽 = 360° 
Explementar 𝛼 − 𝛽 = 180° 
 
 
 
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3.4. Unidades Usuais De Medidas 
 Atualmente, temos três unidades de medidas mais famosos: grau, grado e radiano. Vamos estudar 
cada um deles: 
 
3.4.1. Grau 
 Um grau (1°) é a unidade de medida determinada pela divisão de uma circunferência em 360 partes 
iguais. Assim,se dividimos uma circunferência no meio, cada arco que obtemos terá a medida de 180°. 
 
 O grau pode ser subdividido em duas outras: 
Definimos um minuto por 1′ e ele equivale a 1/60 do ângulo de um grau. 
 Um segundo é representado por 1′′ e equivale a 1/60 do ângulo de um minuto. 
 Dessa forma, temos as seguintes relações: 
 
 
 
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1′ =
1°
60
 𝑒 1′′ =
1′
60
 
1° = 60′ (60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠) 
1′ = 60′′ (60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) 
 As medidas acima são conhecidas como sistema sexagesimal. 
3.4.2. Grado 
 Um grado (1 𝑔𝑟) é a unidade de medida determinada pela divisão da circunferência em 400 partes 
iguais. Dessa forma, se dividimos a circunferência no meio, cada arco terá a medida de 200 𝑔𝑟. 
 
3.4.3. Radiano 
 Um radiano (1 𝑟𝑎𝑑) é a unidade de medida igual ao comprimento do raio da circunferência. O 
comprimento total de uma circunferência é dado por: 
𝐶 = 2𝜋𝑟 
 Onde 𝑟 é o raio da circunferência e 𝐶 é o seu comprimento total. 
𝜋, lê-se “pi”, e seu valor numérico é aproximadamente: 
𝜋 ≅ 3,14 
 Então, usando a fórmula: 
𝑨�̂� =
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑨�̂�
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆
 
 
 
 
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 E tomando 𝐴�̂� como o arco de uma volta completa na circunferência, temos: 
𝐴�̂� =
2𝜋𝑟
𝑟
= 2𝜋 
 Assim, o arco de uma volta completa corresponde a 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
 
Veja o exemplo: 
 1) Um arco de circunferência 𝐴�̂� mede 10 cm e o raio da circunferência mede 5 cm. Calcule a 
medida do arco em radianos: 
 Temos a seguinte figura: 
 
 Vamos usar a fórmula da medida do arco: 
 
 
 
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𝐴�̂� =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴�̂�
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑜
 
𝐴�̂�𝐵 =
10 𝑐𝑚
5 𝑐𝑚
= 2 𝑟𝑎𝑑 
 Vimos os três principais tipos de medidas usadas para os ângulos. Podemos estabelecer a seguinte 
equivalência entre elas: 
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360° = 400 𝑔𝑟 
 A tabela abaixo esquematiza essas relações: 
Grau Grado Radiano 
𝟑𝟔𝟎° 400𝑔𝑟 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟖𝟎° 200𝑔𝑟 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
3.5. Conversão De Unidades De Medida 
 Para converter ângulos em sistemas de medidas diferentes, podemos aplicar a regra de três. Sendo 
𝐺 a medida em graus e 𝑔 a medida em grados, a conversão de graus em radianos é dada por: 
360° − 400 𝑔𝑟 
𝐺 − 𝑔 
 Aplicando a regra de três, temos: 
360𝑔 = 400𝐺 
𝑔 =
10
9
𝐺 
 Para converter graus em radianos, podemos usar a mesma ideia. Sendo 𝑟 a medida em radianos: 
360° − 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
𝐺 − 𝑟 
360𝑟 = 2𝜋𝐺 
𝑟 =
𝜋
180
𝐺 
 
 
 
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 Vejamos um exemplo: 
 Vamos fazer a conversão de 240° em grado e em radianos: 
 Chamando de 𝑥 e 𝑦 os valores que queremos calcular, temos: 
360° − 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
240° − 𝑥 
 
 Aplicando a regra de três: 
360𝑥 = 240 ∙ 2𝜋 
𝑥 =
4
3
𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 Analogamente para grados: 
360° − 400𝑔𝑟 
240° − 𝑦 
360𝑦 = 240 ∙ 400 
𝑦 =
800
3
𝑔𝑟 
 
3.6. Bissetriz 
3.6.1. Definição 
 Uma semirreta 𝑂𝐶 interna ao ângulo 𝐴Ô𝐵 é bissetriz de 𝐴Ô𝐵 se, e somente se, 𝐴Ô𝐶 ≡ 𝐵Ô𝐶. Na 
prática, a bissetriz é a semirreta localizada internamente na metade do ângulo. 
 Exemplo: 
 
 
 
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3.6.2. Unicidade Da Bissetriz 
 Vamos demonstrar a unicidade da bissetriz. Suponha que 𝑂𝐶 e 𝑂𝐷 sejam semirretas distintas e 
bissetrizes do ângulo 𝐴Ô𝐵. Então, temos pela definição: 
 
𝐴Ô𝐶 = 𝐵Ô𝐶 
𝐴Ô𝐷 = 𝐵Ô𝐷 ⇒ 𝐴Ô𝐶 + 𝐶Ô𝐷 = 𝐵Ô𝐶 − 𝐶Ô𝐷 
 Como 𝐴Ô𝐶 = 𝐵Ô𝐶, temos: 
𝐴Ô𝐶 + 𝐶Ô𝐷 = 𝐵Ô𝐶 − 𝐶Ô𝐷 
𝐶Ô𝐷 = −𝐶Ô𝐷 
𝐶Ô𝐷 = 0 
⇒ 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷 
 Absurdo! Pois, por hipótese 𝑂𝐶 e 𝑂𝐷 são distintos! 
 Portanto, a bissetriz é única. 
 
 
 
 
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1) Exercícios de Fixação 
Demonstre que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
Resolução: 
 
𝐴Ô𝐵 e 𝐶Ô𝐷 são opostos pelo vértice 
 Como 𝑂𝐷 é o oposto de 𝑂𝐵 e 𝑂𝐶 é o oposto de 𝑂𝐴 , temos 𝐴Ô𝐵 + 𝐴Ô𝐷 = 180° e 𝐶Ô𝐷 +
𝐴Ô𝐷 = 180°, logo 𝐴Ô𝐵 = 𝐶Ô𝐷. 
Gabarito: Demonstração 
 
2) Determine o complemento, suplemento e replemento do ângulo de 𝟑𝟕°𝟑𝟐′𝟏𝟓′′. 
 
Resolução: 
Esse ângulo está no sistema sexagesimal. 
Seja 𝛼, 𝛽 e 𝛾 o complemento, suplemento e replemento do ângulo dado, respectivamente. 
Dessa forma, temos: 
𝛼 = 90° − 37°32′15′′ 
Escrevendo 90° no sistema sexagesimal: 
𝛼 = 89°59′60′′ − 37°32′15′′ 
𝛼 = 52°27′45′′ 
Calculando o suplemento: 
 
 
 
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𝛽 = 180° − 37°32′15′′ 
𝛽 = 179°59′60′′ − 37°32′15′′ 
𝛽 = 142°27′45′′ 
Calculando o replemento: 
𝛾 = 360° − 37°32′15′′ 
𝛾 = 359°59′60′′ − 37°32′15′′ 
𝛾 = 322°27′45′′ 
Gabarito: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟓𝟐°𝟐𝟕′𝟒𝟓′′, 𝒔𝒖𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟏𝟒𝟐°𝟐𝟕′𝟒𝟓′′ 𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 =
𝟑𝟐𝟐°𝟐𝟕′𝟒𝟓′′ 
3) Determine a medida sexagesimal do suplemento do complemento do ângulo de 𝟐𝟖, 𝟕𝟓 𝒈𝒓. 
 
Resolução: 
 Inicialmente, vamos converter o ângulo de grado para graus: 
28,75 𝑔𝑟 − 𝑥 
200 𝑔𝑟 − 180° 
𝑥 =
180
200
∙ 28,75° 
𝑥 = 25,875° 
 Escrevendo 𝑥 no sistema sexagesimal: 
1° − 60′ 
0,875° − 𝑦 
𝑦 = 60 ∙ 0,875′ = 52,5′ 
1′ − 60′′ 
0,5′ − 𝑧 
𝑧 = 60 ∙ 0,5′′ = 30′′ 
⇒ 𝑥 = 25°52′30′′ 
 
 Seja 𝛼, o complemento de 𝑥, então: 
 
 
 
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𝛼 = 90° − 25°52′30′′ 
𝛼 = 89°59′60′′ − 25°52′30′′ 
𝛼 = 64°7′30′′ 
 Seja 𝛽, o suplemento de 𝛼: 
𝛽 = 180° − 64°7′30′′ 
𝛽 = 179°59′60′′ − 64°7′30′′ 
𝛽 = 115°52′30′′ 
Gabarito: 𝟏𝟏𝟓°𝟓𝟐′𝟑𝟎′′ 
4) 𝑶𝑿 e 𝑶𝒀 são as bissetrizes de dois ângulos adjacentes, 𝑨Ô𝑩 e 𝑩Ô𝑪, ambos agudos, e tais que 
𝑨Ô𝑩 − 𝑩Ô𝑪 = 𝟑𝟔°. 𝑶𝒁 é a bissetriz do ângulo 𝑿Ô𝒀, calcular o ângulo 𝑩Ô𝒁. 
 
Resolução: 
 Supondo que 𝑂𝑋 seja bissetriz de 𝐴Ô𝐵 e 𝑂𝑌 , bissetriz de 𝐵Ô𝐶, temos: 
 (Poderia ser o contrário, com 𝑂𝑋 , bissetriz de 𝐵Ô𝐶 e 𝑂𝑌 , bissetriz de 𝐴Ô𝐵. O resultado seria 
o mesmo.) 
 
 Sejam 𝛼 e 𝛽 os ângulos de 𝐴Ô𝑋 e 𝐵Ô𝑌, respectivamente. Assim, temos: 
𝐴Ô𝑋 = 𝐵Ô𝑋 = 𝛼 
 
 
 
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𝐵Ô𝑌 = 𝐶Ô𝑌 = 𝛽 
 De acordo com o enunciado: 
𝐴Ô𝐵 − 𝐵Ô𝐶 = 36° ⇒ 2𝛼 − 2𝛽 = 36° ⇒ 𝛼 − 𝛽 = 18° 
 Queremos calcular 𝐵Ô𝑍. Como 𝑂𝑍 é bissetriz de 𝑋Ô𝑌: 
𝑋Ô𝑍 = 𝛼 − 𝑥 (𝐼) 
𝑋Ô𝑍 = 𝑌Ô𝑍 = 𝛽 + 𝑥 (𝐼𝐼) 
 Fazendo (𝐼) − (𝐼𝐼): 
0 = 𝛼 − 𝑥 − 𝛽 − 𝑥 
𝑥 =
𝛼 − 𝛽
2
 
𝑥 =
18°
2
 
∴ 𝑥 = 9° 
Gabarito: 𝑩Ô𝒁 = 𝟗° 
 
5) As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 𝟑𝟖°. Um dos ângulos mede 𝟒𝟏°. 
Calcular o outro ângulo. 
 
Resolução: 
 Como são ângulos consecutivos, temos duas possibilidades: 
 1) Um dos ângulos é interno ao outro: 
 
 
 
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 Nesse caso, temos: 
𝑋Ô𝑌 = 𝑋Ô𝐶 + 𝑌Ô𝐶 
38° = 𝛼 − 2𝑥 + 𝑥 
𝛼 − 𝑥 = 38° 
 Se 𝐴Ô𝐵 for o ângulo dado: 
2𝛼 = 41° ⇒ 𝛼 = 20,5° 
𝛼 − 𝑥 = 38° ⇒ 𝑥 = 𝛼 − 38° ⇒ 𝑥 = −17,5° 
 Como 𝑥 é negativo, essa situação não é possível. 
 Se 𝐵Ô𝐶 for o ângulo dado: 
2𝑥 = 41° ⇒ 𝑥 = 20,5° 
𝛼 − 𝑥 = 38° ⇒ 𝛼 = 𝑥 + 38° ⇒ 𝛼 = 58,5° 
 
 Dessa forma, o outro ângulo é dado por: 
𝐴Ô𝐵 = 2𝛼 = 117° 
 2) Os ângulos são adjacentes: 
 
 
 
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 Supondo que um dos ângulos seja 𝐴Ô𝐵, temos: 
2𝛼 = 41° ⇒ 𝛼 = 20,5° 
𝛼 + 𝛽 = 38° ⇒ 𝛽 = 17,5° 
 Assim, o outro ângulo é dado por: 
2𝛽 = 35° 
Gabarito: 𝟑𝟓° 𝒐𝒖 𝟏𝟏𝟕°6) Quatro semirretas 𝑶𝑨 , 𝑶𝑩 , 𝑶𝑪 e 𝑶𝑫 forma os ângulos adjacentes 𝑨Ô𝑩, 𝑩Ô𝑪, 𝑪Ô𝑫 e 𝑫Ô𝑨, 
respectivamente proporcionais aos números 𝟏, 𝟐, 𝟒 e 𝟓. Determine o ângulo formado pelas 
bissetrizes de 𝑨Ô𝑩 e 𝑪Ô𝑫. 
 
Resolução: 
 Temos a seguinte figura: 
 
 
 
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 Queremos calcular o ângulo 𝑋Ô𝑌. Definindo 𝐴Ô𝐵 = 𝛼, temos: 
𝐴Ô𝐵 = 𝛼 
𝐵Ô𝐶 = 2𝛼 
𝐶Ô𝐷 = 4𝛼 
𝐷Ô𝐴 = 5𝛼 
 A soma desses ângulos resulta no ângulo de 360°. Então: 
𝛼 + 2𝛼 + 4𝛼 + 5𝛼 = 360° 
12𝛼 = 360° 
𝛼 = 30° 
 𝑋Ô𝑌 é dado por: 
𝑋Ô𝑌 = 𝑋Ô𝐵 + 𝐵Ô𝐶 + 𝐶Ô𝑌 
𝑋Ô𝑌 =
𝛼
2
+ 2𝛼 +
4𝛼
2
 
𝑋Ô𝑌 =
9𝛼
2
 
𝑋Ô𝑌 =
9
2
∙ 30° = 135° 
Gabarito: 𝟏𝟑𝟓° 
 
 
 
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7) Do vértice de um ângulo traçam-se as semirretas perpendiculares aos seus lados. Demonstrar que 
o ângulo formado por essas semirretas e o ângulo dado são suplementares. 
 
Resolução: 
 Supondo genericamente a seguinte situação: 
 
 Podemos ver pela figura que: 
𝛼 + 𝛽 + 90° + 90° = 360° 
𝛼 + 𝛽 = 180° 
∴ 𝛼 e 𝛽 são suplementares 
Gabarito: Demonstração 
 
4.0 - Triângulos 
4.1. Definição 
 Dados três pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não colineares, os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ definem o triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
 Dizemos que 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os vértices do triângulo e os segmentos formados por esses pontos são 
os lados do triângulo. 
 
 
 
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 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os lados opostos dos ângulos �̂�, �̂� e �̂�, respectivamente. 
 
4.2. Classificação Dos Triângulos 
4.2.1. Quanto Aos Lados 
 Um triângulo é classificado em: 
Equilátero se, e somente se, todos os seus lados são congruentes. 
 Isósceles se, e somente se, possui dois lados congruentes. 
 Escaleno se, e somente se, nenhum lado é congruente. 
 
 
 
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4.2.2. Quanto Aos Ângulos 
 Um triângulo é classificado em: 
Retângulo se, e somente se, possui um ângulo reto. 
 Acutângulo se, e somente se, todos os ângulos internos são agudos. 
 Obtusângulo se, e somente se, possui um ângulo obtuso. 
 
4.2.3. Síntese De Clairaut 
 Seja um triângulo qualquer de lados 𝑎, 𝑏 e 𝑐, sendo 𝑎 o maior lado, podemos classificar o triângulo 
de acordo com as seguintes condições: 
Condição Tipo de triângulo 
𝒂𝟐 < 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 Acutângulo 
 
 
 
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𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 Retângulo 
𝒂𝟐 > 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 Obtusângulo 
 
4.3. Cevianas Notáveis 
 Definimos como ceviana qualquer reta que passa pelo vértice do triângulo. Vamos estudar as 
principais: 
4.3.1. Altura 
 Usualmente, usamos a letra ℎ para denotar a altura de um triângulo. Ela é um segmento que passa 
pelo vértice do triângulo e forma um ângulo reto com o lado oposto desse vértice. 
 
 𝐴𝐻̅̅ ̅̅ é a altura do vértice 𝐴. 
 
4.3.2. Mediana 
 A mediana de um triângulo é o segmento que passa pelo vértice e pelo ponto médio do lado oposto 
ao vértice. 
 Na figura abaixo, 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ é a mediana do vértice 𝐴. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
4.3.3. Bissetrizes Interna E Externa 
 A bissetriz interna de um triângulo é o segmento que divide o ângulo interno em dois ângulos 
congruentes. A bissetriz externa é o segmento que divide o ângulo externo em dois ângulos congruentes. 
 
 𝐴𝐵𝑖̅̅ ̅̅ ̅ é a bissetriz interna do Δ𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐵𝑒̅̅ ̅̅ ̅ é sua bissetriz externa. 
4.4. Condição De Existência Do Triângulo 
 Na geometria plana, temos o postulado da distância mínima que afirma: “A menor distância 
entre dois pontos é uma reta”. 
 Por esse postulado, podemos estudar a condição de existência do triângulo. 
 Assim, para um triângulo 𝐴𝐵𝐶, temos: 
 
 
 
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𝑎 < 𝑏 + 𝑐 
𝑏 < 𝑎 + 𝑐 ⇒ 𝑏 − 𝑐 < 𝑎 
𝑐 < 𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑐 − 𝑏 < 𝑎 
|𝒃 − 𝒄| < 𝒂 < 𝒃 + 𝒄 
 Essa desigualdade é conhecida como desigualdade triangular. 
 
4.5. Triângulo Isósceles 
 Sabemos que um triângulo 𝐴𝐵𝐶 é isósceles se, e somente se, possui dois lados iguais. 
 Seja Δ𝐴𝐵𝐶 isósceles com 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Traçando-se a bissetriz no vértice 𝐴, temos: 
 
 
 
 
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 Como 𝐴𝐷 é a bissetriz do vértice 𝐴, temos 𝐵Â𝐷 = 𝐶Â𝐷. 
 Usando o postulado 𝐿𝐴𝐿, sabemos que Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐴𝐶𝐷. Então, os elementos correspondentes são 
congruentes: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐴𝐶𝐷 
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ⇒ 𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 ⇒ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é mediana 
⇒ �̂� ≡ �̂� 
𝐴�̂�𝐵 = 𝐴�̂�𝐶 = 𝜃 ⇒ 𝜃 + 𝜃 = 180° ⇒ 𝜃 = 90° ⇒ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é altura 
 Como 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é mediana e altura ao mesmo tempo, temos por definição que 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é mediatriz do 
triângulo 𝐴𝐵𝐶. Perceba que todos os pontos da mediatriz do segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são equidistantes das 
extremidades 𝐵 e 𝐶. Então, se não soubéssemos que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 era isósceles, pelo fato do segmento 
𝐴𝐷 ser mediatriz, poderíamos afirmar que ele é isósceles. Isso pode ser provado pelo postulado 𝐿𝐴𝐿: 
{
𝐵𝐷 ≡ 𝐷𝐶
𝐵�̂�𝐴 ≡ 𝐶�̂�𝐴
𝐷𝐴 ≡ 𝐷𝐴
⇒ Δ𝐵𝐷𝐴 ≡ Δ𝐶𝐷𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 
4.6. Teorema Do Ângulo Externo 
 O Teorema do Ângulo Externo diz que: 
 
Um ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer um dos ângulos internos não 
adjacente. 
 
𝛾′ > 𝛼 
𝛾′ > 𝛽 
 Demonstração: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 Seja 𝑀 o ponto médio do lado 𝐴𝐶 e 𝐷 o ponto tal que 𝐵𝑀 = 𝑀𝐷 e 𝐵, 𝑀 e 𝐷 são colineares. 
 
 Temos: 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 
𝐵𝑀 = 𝑀𝐷 
 Como 𝐴�̂�𝐵 e 𝐶�̂�𝐷 são ângulos opostos pelo vértice temos que 𝐴�̂�𝐵 = 𝐶�̂�𝐷. Então, usando o 
postulado 𝐿𝐴𝐿, podemos afirmar que Δ𝐵𝐴𝑀 ≡ Δ𝐷𝐶𝑀 e consequentemente 𝐵�̂�𝑀 = 𝐷�̂�𝑀. 
 
 𝛼 é ângulo interno a 𝛾′, logo 𝛾′ > 𝛼. 
 Analogamente, tomando-se o ponto médio de 𝐵𝐶, podemos provar que 𝛾′ > 𝛽. 
 
4.7. Desigualdades No Triângulo 
 Dado o triângulo 𝐴𝐵𝐶 abaixo, temos: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
𝒂 > 𝒃 > 𝒄 ⇔ 𝜶 > 𝜷 > 𝜸 
 Podemos afirmar que o maior ângulo possui o maior lado oposto. 
4.8. Ângulos De Retas Paralelas 
 Sejam as retas 𝑟, 𝑠, 𝑡 dadas tal que 𝑟//𝑠 e 𝑡 cruza as outras duas. Os ângulos formados pelo 
cruzamento de 𝑡 com 𝑟 e 𝑠 possuem uma relação entre eles, veja: 
 
 Os ângulos 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4 são congruentes e os ângulos 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 são congruentes. 
𝛼1 ≡ 𝛼2 ≡ 𝛼3 ≡ 𝛼4 
𝛽1 ≡ 𝛽2 ≡ 𝛽3 ≡ 𝛽4 
 
 Esses ângulos recebem as seguintes denominações: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Classificações Par de ângulos 
Alternos internos 𝛼2 𝑒 𝛼3 
𝛽2 𝑒 𝛽3 
Alternos externos 𝛼1 𝑒 𝛼4 
𝛽1 𝑒 𝛽4 
Colaterais internos 𝛼2 𝑒 𝛽3 
𝛽2 𝑒 𝛼3 
Colaterais externos 𝛼1 𝑒 𝛽4 
𝛼4 𝑒 𝛽1 
 
 
 
4.9. Teorema Angular De Tales 
 I) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎° 
 II) O ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. 
 
𝜽 = 𝜶 + 𝜷 
 
 
8) Sabendo-se que 𝒓//𝒔//𝒕, calcule 𝒙. 
 
Resolução: 
 Usando a propriedades dos ângulos de retas paralelas e ângulos opostos pelo vértice, temos: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
 Pela figura, podemos ver que: 
127° − 𝑥 = 35° 
𝑥 = 92° 
Gabarito: 𝟗𝟐° 
9) Dada a figura abaixo e sabendo que 𝒓//𝒔, demonstre que 𝒙 = 𝜶 + 𝜷. 
 
 
 
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AULA00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Resolução: 
 Podemos traçar a reta 𝑡 tal que 𝑡//𝑠//𝑟: 
 
 Usando a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice: 
 
 Podemos ver pela figura que: 
𝑥 = 𝛼 + 𝛽 
Gabarito: Demonstração 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
10) Sabendo que 𝒓//𝒔. Determine o valor de 𝒙. 
 
Resolução: 
 
 Escrevendo os ângulos correspondentes na figura, temos: 
 
 
 
 
 
Somando os ângulos, temos: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
2𝑥 + 3𝑥 + 100° = 360° 
5𝑥 = 260° 
𝑥 = 52° 
Gabarito: 𝟓𝟐° 
 
5.0 - Lista de Questões - Nível 1 
1. (Areas - Geometria Plana) Calcule o complemento, o suplemento e o replemento de 𝟕𝟎∘𝟐𝟖′𝟒𝟐′′. 
 
2. (Areas - Geometria Plana) Calcule o replemento do suplemento do complemento de 𝟑𝟎∘𝟒𝟕′𝟐𝟓′′. 
 
3. (Areas - Geometria Plana) A medida de um ângulo é igual ao triplo da medida de seu suplemento. 
Quanto mede esse ângulo? 
 
4. (Areas - Geometria Plana) A soma de um ângulo com a quarta parte de seu suplemento é igual 
a 𝟏𝟎𝟖∘. Quanto mede esse ângulo? 
 
5. (Areas - Geometria Plana) A soma de dois ângulos é igual a 𝟏𝟎𝟎∘ e um deles é o dobro do 
complemento do outro. Determine esses ângulos. 
 
6. (Areas - Geometria Plana) Calcule dois ângulos suplementares, sabendo que a diferença entre 
eles vale 𝟗∘𝟐𝟕′𝟒′′. 
 
7. (Areas - Geometria Plana) Determine dois ângulos, sabendo que a diferença entre eles é de 𝟓𝟔∘ 
e a soma de seus complementos vale 𝟖𝟎∘. 
 
8. (Areas - Geometria Plana) Calcule o ângulo que excede a terça parte de seu complemento em 
𝟓𝟒∘. 
 
9. (Areas - Geometria Plana) A medida de um ângulo é 𝟕𝟓∘ maior que o dobro da medida de seu 
complemento. Quanto mede esse ângulo? 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
10. (Areas - Geometria Plana) Dois ângulos 𝑨Ô𝑩 = 𝜶 e 𝑩Ô𝑪 = 𝜷 são adjacentes. Calcule o ângulo 
formado pelas bissetrizes dos ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑩Ô𝑪. 
 
11. (Areas - Geometria Plana) Na figura abaixo, calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos 
ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑪Ô𝑫. 
 
 
12. (Areas - Geometria Plana) Dois ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑩Ô𝑪 são adjacentes e 𝑩Ô𝑪 vale 𝟔𝟖∘. Calcule o 
ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑨Ô𝑪. 
 
13. (Areas - Geometria Plana) Na figura abaixo, os ângulos ∠𝑨𝑶𝑩, ∠𝑩𝑶𝑪, ∠𝑪𝑶𝑫 e ∠𝑫𝑪𝑨 são 
respectivamente proporcionais aos números 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒. Calcule o ângulo formado pelas 
bissetrizes dos ângulos ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑪𝑶𝑫. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
14. (Areas - Geometria Plana) As bissetrizes de dois ângulos adjacentes ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪 são 
respectivamente 𝑶𝑴 e 𝑶𝑵. A bissetriz de ∠𝑴𝑶𝑵 forma 𝟑𝟓∘ com 𝑶𝑪. Se ∠𝑨𝑶𝑩 mede 𝟓𝟎∘, 
calcule o valor do ângulo ∠𝑩𝑶𝑪. 
 
 
15. (Areas - Geometria Plana) Na figura abaixo, ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪 são dois ângulos adjacentes. 𝑶𝑿 e 
𝑶𝒀 são as bissetrizes desses ângulos, respectivamente. Sabendo-se que ∠𝑨𝑶𝒀 = 𝟔𝟓∘ e 
∠𝑿𝑶𝑪 = 𝟕𝟎∘,calcule ∠𝑿𝑶𝒀. 
 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
16. (Areas - Geometria Plana) Pelo ponto 𝑪 de uma reta 𝑨𝑩 traçam-se, num mesmo semi-plano dos 
determinados por 𝑨𝑩, as semirretas 𝑪𝑸 ,  𝐂𝐓 e 𝑪𝑹 . O ângulo ∠𝑨𝑪𝑸 é o dobro do ângulo ∠𝑸𝑪𝑻 
e o ângulo ∠𝑩𝑪𝑹 é o dobro do ângulo ∠𝑹𝑪𝑻. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos 
ângulos ∠𝑸𝑪𝑻 e ∠𝑹𝑪𝑻. 
 
17. (Areas - Geometria Plana) 𝑶𝑿 e 𝑶𝒀 são as bissetrizes de dois ângulos adjacentes ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪, 
ambos agudos e tais que ∠𝑨𝑶𝑩 = ∠𝑩𝑶𝑪 = 𝟑𝟔∘. Calcule o ângulo ∠𝑩𝑶𝒁, sabendo que 𝑶𝒁 é a 
bissetriz do ângulo ∠𝑿𝑶𝒀. 
 
18. (Areas - Geometria Plana) Sejam 𝑶𝑴 e 𝑶𝑵 as bissetrizes de dois ângulos adjacentes ∠𝑨𝑶𝑩 e 
∠𝑩𝑶𝑪, cuja diferença é 𝟐𝟒∘. Sejam 𝑶𝒁 e ∠𝑶𝑻 as bissetrizes de ∠𝑴𝑶𝑵 e ∠𝑨𝑶𝑪, 
respectivamente. Calcule o ângulo ∠𝒁𝑶𝑻. 
 
19. (Areas - Geometria Plana) Na figura abaixo, a diferença entre os ângulos ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑪𝑶𝑫 vale 𝟒∘. 
Calcule o ângulo que a bissetriz do ângulo ∠𝑩𝑶𝑪 forma com a bissetriz de ∠𝑨𝑶𝑫. 
 
 
20. (Areas - Geometria Plana) Seja ∠𝑨𝑶𝑩 um ângulo e 𝒓 uma reta do seu plano que contém 𝑶 e 
situada na região não convexa. Sejam 𝑶𝑿 e 𝑶𝒀 as bissetrizes dos ângulos agudos que 𝑶𝑨 e 𝑶𝑩 
formam com 𝒓. Calcule o ângulo ∠𝑿𝑶𝒀, sabendo que ∠𝑨𝑶𝑩 mede 𝟏𝟑𝟎∘. 
 
21. (Areas - Geometria Plana) Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
a) 𝟏𝟐𝒉𝟏𝟓𝒎𝒊𝒏 
b) 𝟑𝒉𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏 
c) 𝟒𝒉𝟒𝟐𝒎𝒊𝒏 
 
22. (Areas - Geometria Plana) A que horas pela primeira vez após as 𝟏𝟐 horas, os ponteiros de um 
relógio formam um ângulo de 𝟏𝟏𝟎∘? 
 
23. (Areas - Geometria Plana) A que horas após as 𝟏𝟐 horas os dois ponteiros de um relógio 
coincidem pela primeira vez? 
 
24. (Areas - Geometria Plana) Calcule a hora, entre 𝟑 e 𝟒 horas, para que os ponteiros de um relógio 
formem um ângulo de 𝟑𝟓∘. 
 
 
5.1. Gabarito 
1. Complemento = 𝟏𝟗∘𝟑𝟏′𝟏𝟖′′, Suplemento = 𝟏𝟎𝟗∘𝟑𝟏′𝟏𝟖′′, Replemento= 𝟐𝟖𝟗∘𝟑𝟏′𝟏𝟖′′ 
2. 𝟐𝟏𝟎∘𝟒𝟕′𝟐𝟓′′ 
3. 𝟏𝟑𝟓∘ 
4. 𝟖𝟒∘ 
5. 𝟐𝟎∘ e 𝟖𝟎∘ 
6. 𝟗𝟒∘𝟒𝟑′𝟑𝟐′′ e 𝟖𝟓∘𝟏𝟔′𝟐𝟖′′ 
7. 𝟐𝟐∘ e 𝟕𝟖∘ 
8. 𝟔𝟑∘ 
9. 𝟖𝟓∘ 
10. 
𝜶+𝜷
𝟐
 
11. 𝟏𝟑𝟓∘ 
12. 𝟑𝟒∘ 
13. 𝟏𝟒𝟒∘ 
14. 𝟐𝟎∘ 
15. 𝟒𝟓∘ 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
16. 𝟑𝟎∘ 
17. 𝟎∘ 
18. 𝟔∘ 
19. 𝟐∘ 
20. 𝟏𝟓𝟓∘ 
21. 𝐚) 𝟖𝟐, 𝟓∘ 𝐛) 𝟐𝟎∘ 𝐜) 𝟏𝟏𝟏∘ 
22. 𝟏𝟐𝒉𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏 
23. 𝟏𝟑𝒉
𝟔𝟎
𝟏𝟏
𝒎𝒊𝒏 
24. 𝟑𝒉𝟏𝟎𝒎𝒊𝒏 
 
 
 
 
 
6.0 - Lista de Questões Comentadas - Nível 1 
 Calcule o complemento, o suplemento e o replemento de 𝟕𝟎∘𝟐𝟖′𝟒𝟐′′. 
 
Comentário: 
Dado um ângulo 𝑥, seu complemento é 90∘ − 𝑥, seu suplemento é 180∘ − 𝑥 e seu replemento é 
360∘. Além disso, sabemos que 1∘ = 60′ e 1′ = 60′′. Assim, podemos calcular: 
Complemento de 70∘28′42′′: 
90∘ − 70∘28′42′′ = 89∘59′60′′ − 70∘28′42′′ = 19∘31′18′′ 
Suplemento de 70∘28′42′′: 
180∘ − 70∘28′42′′ = 179∘59′60′′ = 109∘31′18′′ 
Replemento de 70∘28′42′′: 
360∘ − 70∘28′42′′ = 359∘59′60′′ − 289∘31′18′′ 
Gabarito: Complemento = 𝟏𝟗∘𝟑𝟏′𝟏𝟖′′, Suplemento = 𝟏𝟎𝟗∘𝟑𝟏′𝟏𝟖′′, Replemento= 𝟐𝟖𝟗∘𝟑𝟏′𝟏𝟖′′ 
2. Calcule o replemento do suplemento do complemento de 𝟑𝟎∘𝟒𝟕′𝟐𝟓′′. 
 
 
 
 
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Comentário: 
O suplemento de 30∘47′25′′ é 
180∘ − 30∘47′25′′ = 179∘59′60′′ − 30∘47′25′′ = 149∘12′35′′ 
Assim, queremos o replemento de 149∘12′35′′, ou seja: 
360∘ − 149∘12′35′′ = 359∘59′60′′ − 149∘12′35′′ = 210∘47′25′′ 
Gabarito: 𝟐𝟏𝟎∘𝟒𝟕′𝟐𝟓′′. 
 
3. A medida de um ângulo é igual ao triplo da medida de seu suplemento. Quanto mede esse 
ângulo? 
 
Comentário: 
Seja essa medida igual a 𝑥. Seu suplemento é 180∘ − 𝑥. Portanto, 
𝑥 = 3 ⋅ (180∘ − 𝑥) = 540∘ − 3𝑥 ⇒ 4𝑥 = 540∘ 
⇒ 𝑥 = 135∘ 
Gabarito: 𝟏𝟑𝟓∘ 
 
4. A soma de um ângulo com a quarta parte de seu suplemento é igual a 𝟏𝟎𝟖∘. Quanto mede esse 
ângulo? 
 
Comentário: 
Seja esse ângulo igual a 𝑥. Seu suplemento é 180∘ − 𝑥. Assim, 
𝑥 +
180∘ − 𝑥
4
= 108∘ ⇒
4𝑥 + 180∘ − 𝑥
4
= 108∘ 
⇒ 3𝑥 + 180∘ = 432∘ ⇒ 3𝑥 = 252∘ ⇒ 𝑥 = 84∘ 
Gabarito: 𝟖𝟒∘ 
 
5. A soma de dois ângulos é igual a 𝟏𝟎𝟎∘ e um deles é o dobro do complemento do outro. 
Determine esses ângulos. 
 
 
 
 
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Comentário: 
Sejam os ângulos 𝑥 e 𝑦. Temos que 
𝑥 + 𝑦 = 100 ⇒ 𝑦 = 100 − 𝑥 
𝑥 = 2(90 − 𝑦) ⇒ 𝑥 = 2(90 − (100 − 𝑥)) = 2(𝑥 − 10) ⇒ 𝑥 = 2𝑥 −20 
⇒ 𝑥 = 20∘ ⇒ 𝑦 = 80∘ 
Gabarito: 𝟐𝟎∘ e 𝟖𝟎∘ 
 
6. Calcule dois ângulos suplementares, sabendo que a diferença entre eles vale 𝟗∘𝟐𝟕′𝟒′′. 
 
Comentário: 
Sejam 𝑥 e 𝑦 esses ângulos. Temos que 
𝑥 + 𝑦 = 180∘ ⇒ 𝑦 = 180∘ − 𝑥 
𝑥 − 𝑦 = 9∘27′4′′ ⇒ 𝑥 − (180∘ − 𝑥) = 9∘27′4′′ 
⇒ 2𝑥 = 9∘27′4′′ + 180∘ = 189∘27′4′′ 
⇒ 𝑥 =
189∘27′4′′
2
=
189∘26′64′′
2
=
188∘86′64′′
2
= 94∘43′32′′ 
⇒ 𝑦 = 94∘43′32′′ − 9∘27′4′′ = 85∘16′28′′ 
Gabarito: 𝟗𝟒∘𝟒𝟑′𝟑𝟐′′ e 𝟖𝟓∘𝟏𝟔′𝟐𝟖′′ 
 
7. Determine dois ângulos, sabendo que a diferença entre eles é de 𝟓𝟔∘ e a soma de seus 
complementos vale 𝟖𝟎∘. 
 
Comentário: 
Sejam esses ângulos 𝑥 e 𝑦, em graus. Temos que 
𝑦 − 𝑥 = 56∘ ⇒ 𝑦 = 56∘ + 𝑥 
(90∘ − 𝑥) + (90∘ − 𝑦) = 80∘ ⇒ 180∘ − (𝑥 + 𝑦) = 80∘ ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 100∘ 
⇒ 𝑥 + 56∘ + 𝑥 = 100∘ ⇒ 2𝑥 = 44∘ ⇒ 𝑥 = 22∘ 
⇒ 𝑦 = 78∘ 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Gabarito: 𝟐𝟐∘ e 𝟕𝟖∘ 
 
8. Calcule o ângulo que excede a terça parte de seu complemento em 𝟓𝟒∘. 
 
Comentário: 
Seja esse ângulo 𝑥. Do enunciado, temos que 
𝑥 = 54∘ +
90∘ − 𝑥
3
=
162∘ + 90∘ − 𝑥
3
 
⇒ 4𝑥 = 252∘ ⇒ 𝑥 = 63∘ 
Gabarito: 𝟔𝟑∘ 
 
9. A medida de um ângulo é 𝟕𝟓∘ maior que o dobro da medida de seu complemento. Quanto mede 
esse ângulo? 
 
Comentário: 
Seja esse ângulo igual a 𝑥 graus. Temos que 
𝑥 = 75 + 2(90 − 𝑥) = 75 + 180 − 2𝑥 ⇒ 3𝑥 = 255 ⇒ 𝑥 = 85∘ 
Gabarito: 𝟖𝟓∘ 
 
10. Dois ângulos 𝑨Ô𝑩 = 𝜶 e 𝑩Ô𝑪 = 𝜷 são adjacentes. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes 
dos ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑩Ô𝑪. 
 
Comentário: 
Temos a figura abaixo, onde 𝑂𝐷 e 𝑂𝐸 são as bissetrizes 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Veja que 
∠𝐵𝑂𝐸 =
𝛼
2
, ∠𝐷𝑂𝐵 =
𝛽
2
 
Assim, o ângulo pedido é 
∠𝐷𝑂𝐸 = ∠𝐵𝑂𝐸 + ∠𝐷𝑂𝐵 =
𝛼 + 𝛽
2
 
Gabarito: 
𝜶+𝜷
𝟐
 
 
11. Na figura abaixo, calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑪Ô𝑫. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
Comentário: 
Veja que 
∠𝐷𝑂𝐶 + ∠𝐴𝑂𝐵 = 180∘ − 90∘ = 90∘ 
Assim, se as bissetrizes citadas no enunciado fazem um ângulo 𝛼 e 𝛽 com a reta 𝐴𝐷 temos que 
𝛼 + 𝛽 =
90∘
2
= 45∘ 
Assim, o ângulo entre as bissetrizes pode ser dado por 
180∘ − 𝛼 − 𝛽 = 180∘ − 45∘ = 135∘ 
Gabarito: 𝟏𝟑𝟓∘ 
 
12. Dois ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑩Ô𝑪 são adjacentes e 𝑩Ô𝑪 vale 𝟔𝟖∘. Calcule o ângulo formado pelas 
bissetrizes dos ângulos 𝑨Ô𝑩 e 𝑨Ô𝑪. 
 
Comentário: 
Seja 𝐴Ô𝐵 = 𝛼. Temos que 
𝐴Ô𝐶 = 𝛼 + 68∘ 
Assim, o ângulo entre 𝐴𝑂 e a bissetriz de 𝐴Ô𝐶 é 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
𝛼 + 68∘
2
=
𝛼
2
+ 34∘ 
Por outro lado, o ângulo entre 𝐴𝑂 e a bissetriz de 𝐴Ô𝐵 é 
𝛼
2
 
Portanto, o ângulo entre as duas bissetrizes deve ser igual à diferença entre esses dois ângulos, 
ou seja, 
𝛼
2
+ 34∘ −
𝛼
2
= 34∘ 
Gabarito: 𝟑𝟒∘ 
 
13. Na figura abaixo, os ângulos ∠𝑨𝑶𝑩, ∠𝑩𝑶𝑪, ∠𝑪𝑶𝑫 e ∠𝑫𝑪𝑨 são respectivamente proporcionais 
aos números 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑪𝑶𝑫. 
 
 
Comentário: 
Do enunciado, temos que 
∠𝐴𝑂𝐵 =
∠𝐵𝑂𝐶
2
=
∠𝐶𝑂𝐷
3
=
∠𝐷𝐶𝐴
4
 
Como a soma desses ângulos é igual a uma volta completa, temos que 
∠𝐴𝑂𝐵 + 2∠𝐴𝑂𝐵 + 3∠𝐴𝑂𝐵 + 4∠𝐴𝑂𝐵 = 10∠𝐴𝑂𝐵 = 360∘ 
⇒ ∠𝐴𝑂𝐵 = 36∘ 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Vamos calcular o ângulo entre as bissetrizes citadas e a semirreta 𝑂𝐴 . O ângulo entre a bissetriz 
de ∠𝐴𝑂𝐵 e esse semirreta é 
36∘
2
= 18∘ 
Já o ângulo entre a bissetriz de ∠𝐶𝑂𝐷 e a semirreta é 
∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 +
∠𝐶𝑂𝐷
2
= 36∘ + 72∘ +
108∘
2
= 108∘ + 54∘ = 162∘ 
Portanto, o ângulo entre essas duas bissetrizes é igual à diferença entre os ângulos calculados, 
ou seja, 
162∘ − 18∘ = 144∘ 
Gabarito: 𝟏𝟒𝟒∘ 
 
14. As bissetrizes de dois ângulos adjacentes ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪 são respectivamente 𝑶𝑴 e 𝑶𝑵. A 
bissetriz de ∠𝑴𝑶𝑵 forma 𝟑𝟓∘ com 𝑶𝑪. Se ∠𝑨𝑶𝑩 mede 𝟓𝟎∘, calcule o valor do ângulo ∠𝑩𝑶𝑪. 
 
Comentário: 
Temos a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Veja que 
∠𝑀𝑂𝑁 = ∠𝑀𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝑁 =
∠𝐴𝑂𝐵
2
+
∠𝐵𝑂𝐶
2
= 35∘ 
⇒
∠𝐵𝑂𝐶
2
= 35∘ − 25∘ = 10∘ 
⇒ ∠𝐵𝑂𝐶 = 20∘ 
Gabarito: 𝟐𝟎∘ 
 
15. Na figura abaixo, ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪 são dois ângulos adjacentes. 𝑶𝑿 e 𝑶𝒀 são as bissetrizes desses 
ângulos, respectivamente. Sabendo-se que ∠𝑨𝑶𝒀 = 𝟔𝟓∘ e ∠𝑿𝑶𝑪 = 𝟕𝟎∘,calcule ∠𝑿𝑶𝒀. 
 
 
 
Comentário: 
Veja que 
∠𝐴𝑂𝑌 = ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝑌 = 2∠𝑋𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝑌 = 65∘ 
∠𝑋𝑂𝐶 = ∠𝐶𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝑋 = 2∠𝐵𝑂𝑌 + ∠𝐵𝑂𝑋 = 70∘ 
Somando as duas equações, temos que 
3(∠𝐵𝑂𝑋 + ∠𝐵𝑂𝑌) = 65∘ + 70∘ = 135∘ ⇒ ∠𝐵𝑂𝑋 + ∠𝐵𝑂𝑌 = 45∘ 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Portanto, 
∠𝑋𝑂𝑌 = ∠𝐵𝑂𝑋 + ∠𝐵𝑂𝑌 = 45∘ 
Gabarito: 𝟒𝟓∘ 
 
16. Pelo ponto 𝑪 de uma reta 𝑨𝑩 traçam-se, num mesmo semi-plano dos determinados por 𝑨𝑩, as 
semirretas 𝑪𝑸 ,  𝐂𝐓 e 𝑪𝑹 . O ângulo ∠𝑨𝑪𝑸 é o dobro do ângulo ∠𝑸𝑪𝑻 e o ângulo ∠𝑩𝑪𝑹 é o dobro 
do ângulo ∠𝑹𝑪𝑻. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos ∠𝑸𝑪𝑻 e ∠𝑹𝑪𝑻. 
 
Comentário: 
Temos a figura abaixo em que o ângulo buscado é ∠𝐷𝐶𝐸. 
 
Seja 
∠𝑄𝐶𝑇 = 𝛼 ⇒ ∠𝐴𝐶𝑄 = 2𝛼 
∠𝑅𝐶𝑇 = 𝛽 ⇒ ∠𝐵𝐶𝑅 = 2𝛽 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
Disso concluímos que 
3𝛼 + 3𝛽 = 180∘ ⇒ 𝛼 + 𝛽 = 60∘ 
Por fim, veja que o ângulo pedido é 
∠𝑄𝐶𝑇
2
+
∠𝑅𝐶𝑇
2
=
𝛼 + 𝛽
2
= 30∘ 
Gabarito: 𝟑𝟎∘ 
 
17. 𝑶𝑿 e 𝑶𝒀 são as bissetrizes de dois ângulos adjacentes ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪, ambos agudos e tais que 
∠𝑨𝑶𝑩 = ∠𝑩𝑶𝑪 = 𝟑𝟔∘. Calcule o ângulo ∠𝑩𝑶𝒁, sabendo que 𝑶𝒁 é a bissetriz do ângulo ∠𝑿𝑶𝒀. 
 
Comentário: 
Como ∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐵𝑂𝐶, segue que a bissetriz de ∠𝐴𝑂𝐶 é igual à bissetriz de ∠𝑋𝑂𝑌. Porém, temos 
que bissetriz de ∠𝐴𝑂𝐶 é 𝑂𝐵. Assim, concluímos que 𝑂𝐵 = 𝑂𝑍 , ou seja, o ângulo pedido é 
∠𝐵𝑂𝑍 = 0∘ 
Gabarito: 𝟎∘ 
 
18. Sejam 𝑶𝑴 e 𝑶𝑵 as bissetrizes de dois ângulos adjacentes ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑩𝑶𝑪, cuja diferença é 𝟐𝟒∘. 
Sejam 𝑶𝒁 e 𝑶𝑻 as bissetrizes de ∠𝑴𝑶𝑵 e ∠𝑨𝑶𝑪, respectivamente. Calcule o ângulo ∠𝒁𝑶𝑻. 
 
Comentário: 
Temos a figura abaixo: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Seja ∠𝐴𝑂𝑀 = 𝛼 ⇒ ∠𝐴𝑂𝐵 = 2𝛼. Assim, temos que 
∠𝐵𝑂𝐶 = 2𝛼 + 24∘ ⇒ ∠𝐵𝑂𝑁 = 𝛼 + 12∘ 
Assim, temos que 
∠𝑀𝑂𝑁 = 𝛼 + 𝛼 + 12∘ = 2𝛼 + 12∘ ⇒ ∠𝑍𝑂𝑁 = 𝛼 + 6∘ 
Veja que 
∠𝑇𝑂𝐶 =
2𝛼 + 2𝛼 + 24∘
2
= 2𝛼 + 12∘ 
⇒ ∠𝑇𝑂𝑁 = ∠𝑇𝑂𝐶 − ∠𝑁𝑂𝐶 = 2𝛼 + 12∘ − (𝛼 + 12∘) = 𝛼 
⇒ ∠𝑍𝑂𝑇 = ∠𝑍𝑂𝑁 − ∠𝑇𝑂𝑁 = 𝛼 + 6∘ − 𝛼 = 6∘ 
Gabarito: 𝟔∘ 
 
19. Na figura abaixo, a diferença entre os ângulos ∠𝑨𝑶𝑩 e ∠𝑪𝑶𝑫 vale 𝟒∘. Calcule o ângulo que a 
bissetriz do ângulo ∠𝑩𝑶𝑪 forma com a bissetriz de ∠𝑨𝑶𝑫. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Comentário: 
Veja que o ângulo entre a bissetriz do ângulo ∠𝐵𝑂𝐶 e a semirreta 𝑂𝐴 é 
∠𝐴𝑂𝐵 +
∠𝐵𝑂𝐶
2
 
Já o ângulo que a bissetriz de ∠𝐴𝑂𝐵 faz com a semirreta 𝑂𝐴 é 
∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐶𝑂𝐷
2
 
Assim, o ângulo pedido é: 
|
∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐶𝑂𝐷
2
− (∠𝐴𝑂𝐵 +
∠𝐵𝑂𝐶
2
)| = |
∠𝐶𝑂𝐷 − ∠𝐴𝑂𝐵
2
| =
4∘
2
= 2∘ 
Gabarito: 𝟐∘ 
 
20. Seja ∠𝑨𝑶𝑩 um ângulo e 𝒓 uma reta do seu plano que contém 𝑶 e situada na região não convexa. 
Sejam 𝑶𝑿 e 𝑶𝒀 as bissetrizes dos ângulos agudos que 𝑶𝑨 e 𝑶𝑩 formam com 𝒓. Calcule o ângulo 
∠𝑿𝑶𝒀, sabendo que ∠𝑨𝑶𝑩 mede 𝟏𝟑𝟎∘. 
 
Comentário:Temos a figura abaixo: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Veja que 
2∠𝐴𝑂𝑋 + ∠𝐴𝑂𝐵 + 2∠𝐵𝑂𝑌 = 180∘ ⇒ ∠𝐴𝑂𝑋 + ∠𝐵𝑂𝑌 = 25∘ 
Assim, temos que 
∠𝑋𝑂𝑌 = ∠𝐴𝑂𝑋 + ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝑌 = 130∘ + 25∘ = 155∘ 
Gabarito: 𝟏𝟓𝟓∘ 
 
 
21. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às: 
a) 𝟏𝟐𝒉𝟏𝟓𝒎𝒊𝒏 
b) 𝟑𝒉𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏 
c) 𝟒𝒉𝟒𝟐𝒎𝒊𝒏 
 
Comentário: 
Seja ℎ a hora do determinado instante (em módulo 12) e 𝑚 o minuto do instante. O ângulo 
formado entre o ponteiro dos minutos e o início (0ℎ0𝑚𝑖𝑛) é 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
𝑚 ⋅
360∘
60𝑚𝑖𝑛
= 6𝑚 
Já o ângulo entre o ponteiro das horas e o início é 
ℎ ⋅
360∘
12ℎ
+
6𝑚
12
= 30ℎ +
𝑚
2
 
Assim, o ângulo formado entre os dois ponteiros vale 
|30ℎ +
𝑚
2
− 6𝑚| = |30ℎ −
11𝑚
2
| = |
60ℎ − 11𝑚
2
| 
Porém, se esse ângulo for maior que 180∘, temos que o menor ângulo entre os dois ponteiros 
será o replementar desse ângulo. 
Assim, em cada item: 
a) Temos ℎ = 0 e 𝑚 = 15, o ângulo é 
|
60 ⋅ 0 − 11 ⋅ 15
2
| =
165∘
2
= 82,5∘ 
b) Temos ℎ = 3, 𝑚 = 20, o ângulo é 
|
60 ⋅ 3 − 11 ⋅ 20
2
| =
220 − 180
2
= 20∘ 
c) Temos ℎ = 4, 𝑚 = 42, o ângulo é 
|
60 ⋅ 4 − 11 ⋅ 42
2
| =
462 − 240
2
=
222∘
2
= 111∘ 
Gabarito: 𝐚) 𝟖𝟐, 𝟓∘ , 𝐛) 𝟐𝟎∘, 𝐜) 𝟏𝟏𝟏∘ 
 
 
22. A que horas pela primeira vez após as 𝟏𝟐 horas, os ponteiros de um relógio formam um ângulo 
de 𝟏𝟏𝟎∘? 
 
Comentário: 
Como vimos na questão anterior, temos que 
|
60ℎ − 11𝑚
2
| = 110 ⇒ |60ℎ − 11𝑚| = 220 
Temos duas possibilidades. Se 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
60ℎ − 11𝑚 = 220 
O menor valor de ℎ que satisfaz é ℎ = 4. Porém, se 
11𝑚 − 60ℎ = 220 
Conseguimos uma solução com ℎ = 0 e 𝑚 = 20. Assim, o horário procurado é 
12ℎ20𝑚𝑖𝑛 
Gabarito: 𝟏𝟐𝒉𝟐𝟎𝒎𝒊𝒏 
 
23. A que horas após as 𝟏𝟐 horas os dois ponteiros de um relógio coincidem pela primeira vez? 
 
Comentário: 
Veja que precisamos que 
|
60ℎ − 11𝑚
2
| = 0 
Se 
|
60ℎ − 11𝑚
2
| = 0 ⇒ 60ℎ = 11𝑚 
Como ℎ é inteiro e queremos minimizá-lo, fazemos ℎ = 1: 
𝑚 =
60
11
 
 
 
 
Assim, o horário pedido é 
13ℎ
60
11
𝑚𝑖𝑛 
Gabarito: 𝟏𝟑𝒉
𝟔𝟎
𝟏𝟏
𝒎𝒊𝒏 
 
24. Calcule a hora, entre 𝟑 e 𝟒 horas, para que os ponteiros de um relógio formem um ângulo de 
𝟑𝟓∘. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Comentário: 
Precisamos que 
|
60ℎ − 11𝑚
2
| = 35∘ 
Entre 3 e 4 horas, temos que 
ℎ = 3 ⇒ |180 − 11𝑚| = 70 ⇒ 11𝑚 = 180 − 70 = 110 
⇒ 𝑚 = 10 
Assim a hora pedida é 
3ℎ10𝑚𝑖𝑛 
Gabarito: 𝟑𝒉𝟏𝟎𝒎𝒊𝒏 
 
7.0 Lista de Questões - Nível 2 
 
 (FN 2003) 
Qual é o menor ângulo formado pelo ponteiro menor e o ponteiro maior de um relógio analógico 
quando são exatamente 2 horas e 30 minutos? 
a) 𝟏𝟐𝟎° 
b) 𝟏𝟏𝟎° 
c) 𝟏𝟎𝟓° 
d) 𝟗𝟎° 
 
 (FN 2005) 
Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio quando são exatamente 7 horas? 
a) 210° 
b) 180° 
c) 165° 
d) 150° 
e) 120° 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 (FN 2008) 
Determine os ângulos a e b na figura abaixo, sabendo-se que 2 3b a= . 
 
a) 36â =  e 54b =  
b) 36â =  e 36b =  
c) 28â =  e 54b =  
d) 62â =  e 28b =  
e) 28â =  e 62b =  
 
 (FN 2011) 
Na figura abaixo, traçamos as semirretas OA , OB e OC . Sabe-se que 40AOB =  e 80BOC =  . 
Calcule a medida do ângulo AÔD, em graus, sendo OD bissetriz de AOC e marque a opção correta. 
 
a) 𝟗𝟖 
b) 𝟕𝟒 
c) 𝟔𝟓 
d) 𝟔𝟎 
e) 𝟒𝟓 
 
 (FN 2012) 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
A medida do complemento da medida do suplemento de um ângulo é igual a 32° 50’. Quanto mede 
esse ângulo? 
a) 115° 40’ 
b) 118° 45’ 
c) 122° 50’ 
d) 130° 75’ 
e) 142° 30’ 
 
 (FN 2013) 
 
 
O gráfico acima resulta de uma estatística sobre a cor dos olhos de 720 militares do Corpo de 
Fuzileiros Navais. Quantos militares têm olhos azuis? 
a) 𝟏𝟎𝟑 
b) 𝟏𝟐𝟔 
c) 𝟑𝟒𝟐 
d) 𝟓𝟑𝟎 
e) 𝟕𝟐𝟎 
 
 (FN 2013) 
Transforme 8347” em número misto. 
a) 2° 9’ 7” 
b) 2° 19’ 7” 
c) 7° 9’ 2” 
d) 7° 19’ 2” 
e) 9° 9’ 2” 
 
 (FN 2015) 
Determine as medidas dos ângulos z, w, x e y. 
 
 
 
 74 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
a) 40°, 180°, 40° e 10°. 
b) 40°, 140°, 40° e 140°. 
c) 140°, 60°, 140° e 60°. 
d) 140°, 40°, 40° e 140°. 
e) 180°, 90°, 30° e 60°. 
 
 (FN 2017) 
De acordo com a figura abaixo, determine o valor da incógnita x. 
 
a) 85° 
b) 45° 
c) 38° 
d) 27° 
e) 12° 
 
 (FN 2017) 
Determine o valor da expressão:180 40 20'40"−  . 
a) 140° 20’ 40” 
b) 140° 39’ 20” 
c) 139° 39’ 40” 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
d) 139° 40’ 20” 
e) 139° 39’ 20” 
 
 (FN 2018) 
Determine o valor da expressão:90 45 40'−  . 
a) 45° 20’ 
b) 45° 10’ 
c) 44° 40’ 
d) 44° 30’ 
e) 44° 20’ 
 
 (FN 2018) 
Na figura abaixo, a medida do complemento do menor ângulo é: 
 
a) 110° 
b) 70° 
c) 45° 
d) 20° 
e) 10° 
 
 (FN 2019) 
Na figura abaixo, a medida do suplemento do menor ângulo é: 
 
a) 120° 
b) 130° 
c) 132° 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
d) 135° 
e) 140° 
 
 (FN 2019) 
Na figura abaixo, sendo / /r s , quais os valores de X, Y e Z, respectivamente? 
 
a) 50°, 80° e 20° 
b) 60°, 120° e 40° 
c) 70°, 100° e 30° 
d) 80°, 150° e 100° 
e) 100°, 80° e 30° 
 
 
 (EAM 2004) 
Na figura, os segmentos AB , BC , CD , DE são respectivamente paralelos aos segmentos MN , NQ , 
QO , OP , o ângulo 35POQ =  e 40ABC =  . O valor de do ângulo BCD é: 
 
a) 35° 
b) 40° 
c) 50° 
d) 55° 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
e) 75° 
 
 (EAM 2005) 
 
Na figura acima, AB AC= , BX BY= e CZ CY= . Se o ângulo A mede 40°, quanto mede o ângulo
XYZ ? 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
 (EAM 2007) 
Observe a figura abaixo. 
 
Dados: 
• b é paralelo a c 
• a é perpendicular a d 
• 40° é o menor ângulo que a reta d forma com a reta c 
Com os dados apresentados, é correto afirmar que o maior ângulo formado da reta a com a reta b 
é igual a: 
a) 50° 
b) 55° 
 
 
 
 78 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
c) 60° 
d) 80° 
e) 130° 
 
 (EAM 2012) 
Duas retas paralelas r e s são cortadas por uma reta transversal t, formando, no mesmo plano, dois 
ângulos obtusos alternos internos que medem 30
2
x 
+  
 
 e 
3
15
5
x 
+  
 
. Então o suplemento de um 
desses ângulos mede 
a) 75° 
b) 80° 
c) 82° 
d) 85° 
e) 88° 
 
 (EAM 2013) 
Observe a figura abaixo. 
 
Sabendo que a reta a é paralela à reta b, pode-se afirmar que, a partir dos dados da figura acima, o 
valor do ângulo x é igual a: 
a) 10° 
b) 30° 
c) 50° 
d) 70° 
e) 100° 
 
 (EAM 2015) 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Qual a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 15 horas e 20 minutos? 
a) 12° 
b) 15° 
c) 20° 
d) 30° 
e) 35° 
 
 (EAM 2017) 
Observe a figura a seguir. 
 
Sabendo que, na figura acima, as retas r e s são paralelas, é correto afirmar que o valor de x é igual 
a: 
a) 90° 
b) 85° 
c) 80° 
d) 75° 
e) 70° 
 
 (EEAR/2021.2) 
No triângulo ABC da figura, 𝒙 é a medida de um ângulo interno e 𝒛 e 𝒘 são medidas de ângulos externos. 
Se 𝒛 + 𝒘 = 𝟐𝟐𝟎° e 𝒛 − 𝟐𝟎° = 𝒘, então 𝒙 é 
 
a) complemento de 𝟏𝟐𝟎° 
 
 
 
 80 
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AULA 00 – GEOMETRIAPLANA I - Parte I 
 
b) complemento de 𝟔𝟎° 
c) suplemento de 𝟏𝟒𝟎° 
d) suplemento de 𝟓𝟎° 
 
 (ESA/2006) 
O ângulo convexo formado pelos ponteiros de um relógio às 14h25min é igual a: 
a) 𝟖𝟔°𝟑𝟎′ 
b) 𝟒𝟔°𝟑𝟎′ 
c) 𝟕𝟕°𝟑𝟎′ 
d) 𝟖𝟗°𝟔𝟎′ 
e) 𝟏𝟐°𝟑𝟎′ 
 
 (ESA/2005) 
Chama-se passo a distância entre dois sulcos consecutivos de um parafuso. Ao dar-se uma volta 
completa (𝜶 = 𝟑𝟔𝟎°) em uma chave que o aperta, o parafuso penetra 1 passo no corpo onde está 
preso. Na situação ao lado, para apertar completamente o parafuso até que sua cabeça encoste na 
superfície “s” deve-se girar o parafuso, em graus 
 
a) 468° 
b) 1872° 
c) 1440° 
d) 117° 
e) 1989° 
 
 (EEAR/2018) 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
O complemento do suplemento do ângulo de 𝟏𝟏𝟐° mede 
a) 𝟏𝟖° 
b) 𝟐𝟖° 
c) 𝟏𝟐° 
d) 𝟐𝟐° 
 
 (EEAR/2017) 
Se 𝑨𝑩𝑪 é um triângulo, o valor de 𝜶 é 
 
a) 𝟏𝟎° 
b) 𝟏𝟓° 
c) 𝟐𝟎° 
d) 𝟐𝟓° 
 
 (EEAR/2017) 
No quadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑫, o valor de 𝒚 − 𝒙 é igual a 
 
 
a) 𝟐𝒙 
 
 
 
 82 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
b) 𝟐𝒚 
c) 
𝒙
𝟐
 
d) 
𝒚
𝟐
 
 
 (EEAR/2016) 
Os ângulos �̂� e �̂� são congruentes. Sendo �̂� = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓° e �̂� = 𝟓𝒙 − 𝟗°. Assinale a alternativa que 
representa, corretamente, o valor de 𝒙. 
a) 𝟐° 
b) 𝟖° 
c) 𝟏𝟐° 
d) 𝟐𝟒° 
 
 (EEAR/2016) 
Um triângulo ABC de base 𝑩𝑪 = (𝒙 + 𝟐) tem seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (𝟑𝒙 −
𝟒) 𝒆 (𝒙 + 𝟖). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é 
a) 𝟒 
b) 𝟔 
c) 𝟖 
d) 𝟏𝟎 
 
 (EEAR/2015) 
Seja 𝑨𝑩𝑪 um triângulo isósceles de base 𝑩𝑪 = (𝒙 + 𝟑)𝒄𝒎, com 𝑨𝑩 = (𝒙 + 𝟒)𝒄𝒎 e 𝑨𝑪 =
 (𝟑𝒙 − 𝟏𝟎)𝒄𝒎. A base de 𝑨𝑩𝑪 mede cm. 
a) 𝟒 
b) 𝟔 
c) 𝟖 
d) 𝟏𝟎 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
7.1. GABARITO 
 
1. A 
2. D 
3. A 
4. D 
5. C 
6. B 
7. B 
8. D 
9. D 
10. E 
11. E 
12. D 
13. B 
14. C 
15. E 
16. D 
17. E 
18. A 
19. D 
20. C 
21. B 
22. c 
23. c 
24. b 
25. d 
26. b 
27. c 
28. b 
29. c 
30. d 
 
8.0 - Lista de Questões Comentadas - NÍVEL 2 
 
1. (FN 2003) 
Qual é o menor ângulo formado pelo ponteiro menor e o ponteiro maior de um relógio analógico 
quando são exatamente 2 horas e 30 minutos? 
a) 𝟏𝟐𝟎° 
b) 𝟏𝟏𝟎° 
c) 𝟏𝟎𝟓° 
d) 𝟗𝟎° 
 
Comentários 
Vamos considerar que é um relógio redondo. Como sabemos, um círculo tem 𝟑𝟔𝟎° e um relógio 
normalmente tem 𝟏𝟐 horas marcadas. Assim, a cada 𝟏 hora, se tem 𝟑𝟎° (𝟑𝟔𝟎° ÷ 𝟏𝟐). Em um relógio 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
cujo a hora formada é 𝟐 horas e 𝟑𝟎 minutos, o ponteiro dos minutos está no 𝟔 e o ponteiro das horas 
está no 𝟐. Assim, o ângulo formado será 𝟏𝟐𝟎°, visto que de 𝟐 para 𝟔 tem 4 (𝟔 − 𝟐), e 𝟒 ∙ 𝟑𝟎° = 𝟏𝟐𝟎°. 
 
Gabarito “a”. 
2. (FN 2005) 
Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio quando são exatamente 7 horas? 
a) 210° 
b) 180° 
c) 165° 
d) 150° 
e) 120° 
 
Comentários 
Vamos considerar que é um relógio redondo. Como sabemos, um círculo tem 𝟑𝟔𝟎° e um relógio 
normalmente tem 𝟏𝟐 horas marcadas. Assim, a cada 𝟏 hora, se tem 𝟑𝟎° (𝟑𝟔𝟎° ÷ 𝟏𝟐). Logo, em sete 
horas exatas, com o ponteiro dos minutos no 𝟏𝟐 (que é o ponto inicial), e o ponteiro das horas no 𝟕, 
formará um ângulo de 𝟐𝟏𝟎° (𝟕 ∙ 𝟑𝟎°). Porém, esse é o ângulo maior, e o enunciado nos pede o menor. 
Para descobrirmos o menor, basta subtrair o maior de 𝟑𝟔𝟎°, que dá o valor de 𝟏𝟓𝟎° (𝟑𝟔𝟎° − 𝟐𝟏𝟎°). 
 
Gabarito “d”. 
3. (FN 2008) 
Determine os ângulos a e b na figura abaixo, sabendo-se que 2 3b a= . 
 
a) 36â =  e 54b =  
b) 36â =  e 36b =  
c) 28â =  e 54b =  
d) 62â =  e 28b =  
e) 28â =  e 62b =  
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Comentários 
Vemos que 𝒂 e 𝒃 são ângulos complementares, visto que a soma dos dois é igual a 90°. Tendo isso em 
mente, vamos calcular: 
𝒂 + 𝒃 = 𝟗𝟎 
Usando a informação do enunciado (𝟐𝒃 = 𝟑𝒂): 
𝟐𝒃 = 𝟑𝒂 
𝒃 =
𝟑𝒂
𝟐
 
𝒂 + 𝒃 = 𝟗𝟎 
𝒂 +
𝟑𝒂
𝟐
= 𝟗𝟎 
𝟐𝒂 + 𝟑𝒂
𝟐
=
𝟏𝟖𝟎
𝟐
 
𝟓𝒂 = 𝟏𝟖𝟎 
𝒂 =
𝟏𝟖𝟎
𝟓
 
𝒂 = 𝟑𝟔° 
Voltando: 
𝒃 =
𝟑𝒂
𝟐
 
𝒃 =
𝟑 ∙ 𝟑𝟔 
𝟐
 
𝒃 =
𝟏𝟎𝟖
𝟐
 
𝒃 = 𝟓𝟒 
 
Gabarito “a”. 
4. (FN 2011) 
Na figura abaixo, traçamos as semirretas OA , OB e OC . Sabe-se que 40AOB =  e 80BOC =  . 
Calcule a medida do ângulo AÔD, em graus, sendo OD bissetriz de AOC e marque a opção correta. 
 
a) 𝟗𝟖 
b) 𝟕𝟒 
c) 𝟔𝟓 
d) 𝟔𝟎 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
e) 𝟒𝟓 
 
Comentários 
Analisando a figura, vemos que 𝑨Ô𝑪 = 𝑨Ô𝑩 + 𝑩Ô𝑪. Assim, somando, de acordo com a informação do 
enunciado: 
𝑨Ô𝑪 = 𝑨Ô𝑩 + 𝑩Ô𝑪 
𝑨Ô𝑪 = 𝟒𝟎° + 𝟖𝟎° 
𝑨Ô𝑪 = 𝟏𝟐𝟎° 
 
Sabemos que dizer que 𝑶𝑫 é a bissetriz de um ângulo, significa que ele está exatamente na metade desse 
ângulo, ou seja, 𝑨Ô𝑫 = 𝑫Ô𝑪 e 𝑨Ô𝑫 =
𝟏𝟐𝟎
𝟐
= 𝟔𝟎°. 
 
Gabarito “d”. 
5. (FN 2012) 
A medida do complemento da medida do suplemento de um ângulo é igual a 32° 50’. Quanto mede 
esse ângulo? 
a) 115° 40’ 
b) 118° 45’ 
c) 122° 50’ 
d) 130° 75’ 
e) 142° 30’ 
 
Comentários 
Ângulos suplementares são ângulos cuja soma é igual a 180° e ângulo complementares são ângulos cuja 
soma é 90°. Sabendo disso, vamos calcular: 
𝟗𝟎° − (𝟏𝟖𝟎° − 𝒙) = 𝟑𝟐°𝟓𝟎′ 
𝟗𝟎° − 𝟏𝟖𝟎° + 𝒙 = 𝟑𝟐° 𝟓𝟎′ 
−𝟗𝟎° + 𝒙 = 𝟑𝟐° 𝟓𝟎′ 
𝒙 = 𝟑𝟐° 𝟓𝟎′ + 𝟗𝟎° 
𝒙 = 𝟏𝟐𝟐° 𝟓𝟎′ 
 
Gabarito “c”. 
6. (FN 2013) 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
O gráfico acima resulta de uma estatística sobre a cor dos olhos de 720 militares do Corpo de 
Fuzileiros Navais. Quantos militares têm olhos azuis? 
a) 𝟏𝟎𝟑 
b) 𝟏𝟐𝟔 
c) 𝟑𝟒𝟐 
d) 𝟓𝟑𝟎 
e) 𝟕𝟐𝟎 
 
Comentários 
Analisando o gráfico, vemos que os ângulos de castanhos e azuis são suplementares, pois as somas dos 
dois é igual a 𝟏𝟖𝟎°. Sabendo disso, vamos calcular, chamando castanhos de 𝒄 e azuis de 𝒂: 
𝒄 + 𝒂 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟏𝟏𝟕° + 𝒂 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝒂 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟏𝟕° 
𝒂 = 𝟔𝟑° 
 
Agora, vamos calcular, quantos militares são representados por grau. Sabemos que um círculo tem 𝟑𝟔𝟎° 
e o gráfico representa a cor dos olhos de 𝟕𝟐𝟎 militares, logo cada grau representa a cor dos olhos de 2 
militares (𝟕𝟐𝟎 ÷ 𝟑𝟔𝟎 = 𝟐). Logo, 𝒂 representa 𝟏𝟐𝟔 militares (𝒂 = 𝟔𝟑° → 𝟔𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟏𝟐𝟔). 
 
Gabarito “b”. 
7. (FN 2013) 
Transforme 8347” em número misto. 
a) 2° 9’ 7” 
b) 2° 19’ 7” 
c) 7° 9’ 2” 
d) 7° 19’ 2” 
e) 9° 9’ 2” 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Comentários 
Vamos calcular quantos minutos tem nesse número, considerando que 𝟏′ = 𝟔𝟎": 
𝟖𝟑𝟒𝟕"÷60" = 𝟏𝟑𝟗′, com o resto 𝟕" 
 
Agora, vamos calcular quantas horas tem, considerando 𝟏° = 𝟔𝟎′: 
𝟏𝟑𝟗′ ÷ 𝟔𝟎′ = 𝟐°, com o resto 𝟏𝟗′ 
 
Assim, temos o número 𝟐° 𝟏𝟗′ 𝟕". 
 
Gabarito “b”. 
8. (FN 2015) 
Determine as medidas dos ângulos z, w, x e y. 
 
a) 40°, 180°, 40° e 10°. 
b) 40°, 140°, 40° e 140°. 
c) 140°, 60°, 140° e 60°. 
d) 140°, 40°, 40° e 140°. 
e) 180°, 90°, 30° e 60°. 
 
Comentários 
Vamos analisar a imagem: 
- Vemos que a reta r e a reta s são retas paralelas uma a outra que são cortadas pela transversal t, logo os 
ângulos formados são iguais. 
- Da mesma forma, analisando de outro ponto de vista, as retas t e u são paralelas cortadas pela 
transversal r, logo os ângulos serão os mesmo. Portanto, 𝒘 = 𝟒𝟎°. 
 
Usando agora a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, sabemos que 𝒙 = 𝒘, portanto, 𝒙 = 𝟒𝟎°. 
Vemos também que 𝒙 e 𝒚 são ângulos suplementares, ou seja, ângulos que a soma é iguala 𝟏𝟖𝟎°, assim 
como 𝒘 e 𝒛 também são. Assim, calculando: 
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟒𝟎° + 𝒚 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝒚 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟒𝟎° 
𝒚 = 𝟏𝟒𝟎° 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Usando a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, sabemos que 𝒚 = 𝒛, logo, 𝒛 = 𝟏𝟒𝟎°. 
Agora, colocando na ordem que o enunciado diz, 𝒛 = 𝟏𝟒𝟎°, 𝒘 = 𝟒𝟎°, 𝒙 = 𝟒𝟎° e 𝒚 = 𝟏𝟒𝟎°. 
 
Gabarito “d”. 
9. (FN 2017) 
De acordo com a figura abaixo, determine o valor da incógnita x. 
 
a) 85° 
b) 45° 
c) 38° 
d) 27° 
e) 12° 
 
Comentários 
Vemos que essas duas expressões são ângulos complementares, já que a sua soma é 𝟗𝟎°. Então: 
(𝟐𝒙 + 𝟐𝟎°) + (𝟑𝒙 − 𝟔𝟓°) = 𝟗𝟎° 
𝟐𝒙 + 𝟐𝟎° + 𝟑𝒙 − 𝟔𝟓° = 𝟗𝟎° 
𝟓𝒙 − 𝟒𝟓° = 𝟗𝟎° 
𝟓𝒙 = 𝟗𝟎° + 𝟒𝟓° 
𝟓𝒙 = 𝟏𝟑𝟓° 
𝒙 =
𝟏𝟑𝟓°
𝟓
 
𝒙 = 𝟐𝟕° 
 
Gabarito “d”. 
10. (FN 2017) 
Determine o valor da expressão:180 40 20'40"−  . 
a) 140° 20’ 40” 
b) 140° 39’ 20” 
c) 139° 39’ 40” 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
d) 139° 40’ 20” 
e) 139° 39’ 20” 
 
Comentários 
Calculando: 
𝟏𝟖𝟎° − 𝟒𝟎° 𝟐𝟎′ 𝟒𝟎" 
𝟏𝟕𝟗° 𝟓𝟗′ 𝟔𝟎" − 40° 20' 40" 
𝟏𝟑𝟗° 𝟑𝟗′ 𝟐𝟎" 
 
Gabarito “e”. 
11. (FN 2018) 
Determine o valor da expressão:90 45 40'−  . 
a) 45° 20’ 
b) 45° 10’ 
c) 44° 40’ 
d) 44° 30’ 
e) 44° 20’ 
 
Comentários 
Calculando: 
𝟗𝟎° − 𝟒𝟓° 𝟒𝟎′ 
𝟖𝟗° 𝟔𝟎′ − 45° 40' 
𝟒𝟒° 𝟐𝟎′ 
 
Gabarito “e”. 
12. (FN 2018) 
Na figura abaixo, a medida do complemento do menor ângulo é: 
 
a) 110° 
b) 70° 
c) 45° 
d) 20° 
 
 
 
 91 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
e) 10° 
 
Comentários 
Vamos calcular o valor de 𝒙: 
(𝟐𝒙 + 𝟐𝟎°) + (𝟑𝒙 − 𝟔𝟓°) = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟐𝒙 + 𝟐𝟎° + 𝟑𝒙 − 𝟔𝟓° = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟓𝒙 − 𝟒𝟓° = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟓𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° + 𝟒𝟓° 
𝒙 =
𝟐𝟐𝟓°
𝟓
 
𝒙 = 𝟒𝟓° 
 
Vemos na figura que o menor ângulo é 𝟑𝒙 − 𝟔𝟓°. Vamos calcular seu valor: 
𝟑𝒙 − 𝟔𝟓° 
𝟑 ∙ 𝟒𝟓° − 𝟔𝟓° 
𝟏𝟑𝟓° − 𝟔𝟓° 
𝟕𝟎° 
 
Sabemos que ângulos complementares são ângulos que a soma equivale a 𝟗𝟎°. Logo, a medida de seu 
complemento será 𝟐𝟎° (𝟗𝟎° − 𝟕𝟎°). 
 
Gabarito “d”. 
13. (FN 2019) 
Na figura abaixo, a medida do suplemento do menor ângulo é: 
 
a) 120° 
b) 130° 
c) 132° 
d) 135° 
e) 140° 
 
Comentários 
Sabemos que ângulos suplementares são ângulos que a soma é igual a 180°. 
Vamos calcular o valor de 𝒙: 
(𝟐𝒙 + 𝟕𝟎°) + (𝟑𝒙 − 𝟒𝟎°) = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟐𝒙 + 𝟕𝟎° + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎° = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟓𝒙 + 𝟑𝟎° = 𝟏𝟖𝟎° 
 
 
 
 92 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
𝟓𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟑𝟎° 
𝒙 =
𝟏𝟓𝟎°
𝟓
 
𝒙 = 𝟑𝟎° 
 
Vemos na figura que o menor ângulo é 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎°. Vamos calcular seu valor: 
𝟑𝒙 − 𝟒𝟎° 
𝟑 ∙ 𝟑𝟎° − 𝟒𝟎° 
𝟗𝟎° − 𝟒𝟎° 
𝟓𝟎° 
 
Logo, a medida de seu suplemento será 𝟏𝟑𝟎° (𝟏𝟖𝟎° − 𝟓𝟎°). 
 
Gabarito “b”. 
14. (FN 2019) 
Na figura abaixo, sendo / /r s , quais os valores de X, Y e Z, respectivamente? 
 
a) 50°, 80° e 20° 
b) 60°, 120° e 40° 
c) 70°, 100° e 30° 
d) 80°, 150° e 100° 
e) 100°, 80° e 30° 
 
Comentários 
Vamos usar as propriedades de retas paralelas cortadas por um transversal. 
Vamos chamar o ângulo oposto pelo vértice de 𝒙 de 𝒂. Analisando a imagem, vemos que 𝟖𝟎° + 𝒂 = 𝟏𝟓𝟎°. 
Logo: 
𝟖𝟎° + 𝒂 = 𝟏𝟓𝟎° 
𝒂 = 𝟏𝟓𝟎° − 𝟖𝟎° 
𝒂 = 𝟕𝟎° 
 
Sabemos que a medida de ângulos opostos pelo vértice são iguais, portanto 𝒙 = 𝟕𝟎°. 
Também vemos na imagem que os ângulos 𝟖𝟎° + 𝒂 e 𝒛 são suplementares. Logo, 𝒛 = 𝟑𝟎° (𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟓𝟎). 
É possível observar também que 𝒚 = 𝒛 + 𝒂. Ou seja: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
𝒚 = 𝒛 + 𝒂 
𝒚 = 𝟑𝟎° + 𝟕𝟎° 
𝒚 = 𝟏𝟎𝟎° 
 
Colocando na ordem do enunciado: 𝒙 = 𝟕𝟎°, 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎° e 𝒛 = 𝟑𝟎°. 
 
Gabarito “c”. 
 
15. (EAM 2004) 
Na figura, os segmentos AB , BC , CD , DE são respectivamente paralelos aos segmentos MN , NQ , 
QO , OP , o ângulo 35POQ =  e 40ABC =  . O valor de do ângulo BCD é: 
 
a) 35° 
b) 40° 
c) 50° 
d) 55° 
e) 75° 
 
Comentário 
 
Observe: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Se o ângulo PÔC é 350, e CD é paralelo a QO, DE paralelo a OP, então o ângulo também CDE 
também é 350 (ângulos congruentes). 
Se CDE é 35o, então DCQ (alterno interno), também é 35o. 
Se ABC é 40o, então BCQ (alterno interno), também é 400. 
Assim: 
𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶𝑄 + 𝐷𝐶𝑄 = 40𝑜 + 35𝑜 = 75𝑜 
 
GABARITO: E 
16. (EAM 2005) 
 
Na figura acima, AB AC= , BX BY= e CZ CY= . Se o ângulo A mede 40°, quanto mede o ânguloXYZ
? 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Comentário 
 
Se o ângulo A mede 400, então: 
𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶𝐵 =
180 − 40
2
= 70𝑜 
Pois BAC é isósceles. 
Se ZCY vale 70𝑜, então: 
𝐶𝑍𝑌 = 𝐶𝑌𝑍 =
180 − 70
2
= 55𝑜 
Pois o triângulo ZCY é isósceles. 
Se ABC vale 70o, então: 
𝐵𝑋𝑌 = 𝐵𝑌𝑋 =
180 − 70
2
= 55𝑜 
Pois XBY é isósceles. 
Se ZYC = 55o e BYX = 55o, então: 
𝑋𝑌𝑍 = 180𝑜 − 550 − 550 = 70𝑜 
Pois XYB + XYZ + ZYC formam 180o. 
 
GABARITO: D 
17. (EAM 2007) 
Observe a figura abaixo. 
 
Dados: 
• b é paralelo a c 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
• a é perpendicular a d 
• 40° é o menor ângulo que a reta d forma com a reta c 
Com os dados apresentados, é correto afirmar que o maior ângulo formado da reta a com a reta b é 
igual a: 
a) 50° 
b) 55° 
c) 60° 
d) 80° 
e) 130° 
 
Comentário 
Basta saber que, se uma reta A faz um ângulo x com uma reta Y (e com todas as retas paralelas a 
Y), então uma reta B perpendicular a A faz um ângulo de 90o-x com a reta Y (e com todas retas 
paralelas a Y). Assim, se 𝑑 faz 40𝑜 com c, 𝑎 (que é perpendicular a 𝑑), fará 90 − 40 = 50𝑜 com 𝑐 
e com todas as retas paralelas a 𝑐 (isso inclui 𝑏). Assim, o maior ângulo que a reta 𝑎 faz com a 
reta 𝑏 é de 180 − 50 = 130𝑜 
 
GABARITO: E 
18. (EAM 2012) 
Duas retas paralelas r e s são cortadas por uma reta transversal t, formando, no mesmo plano, dois 
ângulos obtusos alternos internos que medem 30
2
x 
+  
 
 e 
3
15
5
x 
+  
 
. Então o suplemento de um 
desses ângulos mede 
a) 75° 
b) 80° 
c) 82° 
d) 85° 
e) 88° 
 
Comentário: 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
Se os ângulos são alternos internos, eles são iguais: 
𝑥
2
+ 30 =
3𝑥
5
+ 15 → 15 =
6𝑥
10
−
5𝑥
10
 
𝑥 = 150𝑜 
Assim, os ângulos valem: 
𝑥
2
+ 30 =
150
2
+ 30 = 75 + 30 = 105𝑜 
O suplementar de 1050 é: 
𝑆𝑢𝑝105 = 180 − 105 = 75
𝑜 
 
GABARITO: A 
19. (EAM 2013) 
Observe a figura abaixo. 
 
Sabendo que a reta a é paralela à reta b, pode-se afirmar que, a partir dos dados da figura acima, o 
valor do ângulo x é igual a: 
a) 10° 
b) 30° 
c) 50° 
d) 70° 
e) 100° 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
O ângulo suplementar a 140o vale 180-40=40o. Assim, o ângulo x vale a soma de 30o com 40o, 
pois ele é composto pelos alternos internos a este ângulo. Assim: 
𝑥 = 40 + 30 = 70𝑜 
 
 
GABARITO: D 
20. (EAM 2015) 
Qual a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 15 horas e 20 minutos? 
a) 12° 
b) 15° 
c) 20° 
d) 30° 
e) 35° 
 
Comentário: 
 
Um relógio que aponta às 15 horas e 20 minutos possui um ponteiro apontado para 3 e 
20
60
=
1
3
 e 
outro para 4. Assim, temos uma diferença angular de: 
1 −
1
3
=
2
3
𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 
Uma casa (a diferença angular entre um número e outro) equivale a 
1
12
 de 3600 = 
360
12
= 30𝑜. 
Assim:99 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
2
3
. 30 = 20𝑜 
 
GABARITO: C 
21. (EAM 2017) 
Observe a figura a seguir. 
 
Sabendo que, na figura acima, as retas r e s são paralelas, é correto afirmar que o valor de x é igual a: 
a) 90° 
b) 85° 
c) 80° 
d) 75° 
e) 70° 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
x será a soma dos alternos internos: 
𝑥 = 45 + 40 = 85𝑜 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
GABARITO: B 
 
 
22. (EEAR/2021.2) 
No triângulo ABC da figura, 𝒙 é a medida de um ângulo interno e 𝒛 e 𝒘 são medidas de ângulos externos. 
Se 𝒛 + 𝒘 = 𝟐𝟐𝟎° e 𝒛 − 𝟐𝟎° = 𝒘, então 𝒙 é 
 
a) complemento de 𝟏𝟐𝟎° 
b) complemento de 𝟔𝟎° 
c) suplemento de 𝟏𝟒𝟎° 
d) suplemento de 𝟓𝟎° 
Comentários 
 Das equações, temos: 
{
𝑧 + 𝑤 = 220°
𝑧 − 𝑤 = 20°
⇒ 2𝑧 = 240° ⇒ 𝑧 = 120° ⇒ 𝑤 = 100° 
 Analisando os ângulos internos do triângulo: 
𝐴�̂�𝐶 = 180° − 𝑧 = 180° − 120° = 60° 
𝐴�̂�𝐵 = 180° − 𝑤 = 180° − 100° = 80° 
 Somando-se os ângulos internos do triângulo: 
𝑥 + 60° + 80° = 180° ⇒ 𝑥 = 180° − 140° = 40° 
 Logo, 𝑥 é suplemento de 140°. 
Gabarito: C 
23. (ESA/2006) 
O ângulo convexo formado pelos ponteiros de um relógio às 14h25min é igual a: 
a) 𝟖𝟔°𝟑𝟎′ 
b) 𝟒𝟔°𝟑𝟎′ 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
c) 𝟕𝟕°𝟑𝟎′ 
d) 𝟖𝟗°𝟔𝟎′ 
e) 𝟏𝟐°𝟑𝟎′ 
Comentários: 
 Vamos definir o 0° na posição 12 do relógio. Se pensamos, às 14h o ponteiro das horas estará 
na posição 60° e o ponteiro dos minutos estará na posição 0°. Entretanto, às 14h25, terá se 
passado 25/60 = 5/12 de uma hora. Assim, como em uma hora o ponteiro das horas gira: 
360°
12
= 30° 
 Então, passados 5/12 de uma hora, o ponteiro das horas terá girado de: 
5
12
⋅ 30° =
25°
2
 
 Então sua nova posição será 60° + 25°/2 = 72,5°. 
 
Agora, pensando no ponteiro dos minutos, sabemos que em uma hora ele gira 360°. Portanto, 
em 5/12 de uma hora, ele terá girado: 
5
12
⋅ 360° = 150° 
 E essa é sua posição final (14h25). 
 Portanto, o ângulo convexo entre estes (menor que 180°) é: 
150° − 72,5° = 77,5° = 77°30′ 
Gabarito: “c”. 
24. (ESA/2005) 
Chama-se passo a distância entre dois sulcos consecutivos de um parafuso. Ao dar-se uma volta 
completa (𝜶 = 𝟑𝟔𝟎°) em uma chave que o aperta, o parafuso penetra 1 passo no corpo onde está 
preso. Na situação ao lado, para apertar completamente o parafuso até que sua cabeça encoste na 
superfície “s” deve-se girar o parafuso, em graus 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
a) 468° 
b) 1872° 
c) 1440° 
d) 117° 
e) 1989° 
Comentários: 
 Se precisamos que o parafuso entre ℎ = 1,3 𝑐𝑚 então precisamos fazer a regra de 3, pois 
sabemos que 360° faz com que o parafuso entre 0,25 cm. 
360°
0,25
=
𝛼
1,3
⇒ 𝛼 =
130
25
⋅ 360° ⇒ 𝛼 = 1872° 
Gabarito: “b”. 
25. (EEAR/2018) 
O complemento do suplemento do ângulo de 𝟏𝟏𝟐° mede 
a) 𝟏𝟖° 
b) 𝟐𝟖° 
c) 𝟏𝟐° 
d) 𝟐𝟐° 
Comentário: 
 suplemento de 112° = 180° − 112° = 68°. 
 complemento de 68° = 90° − 68° = 22°. 
Gabarito: “d”. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
26. (EEAR/2017) 
Se 𝑨𝑩𝑪 é um triângulo, o valor de 𝜶 é 
 
a) 𝟏𝟎° 
b) 𝟏𝟓° 
c) 𝟐𝟎° 
d) 𝟐𝟓° 
Comentários 
 Com base na seguinte figura presente no enunciado, temos 
 
 Perceba no triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐶 e a primeira relação: 
3𝛼 + �̂� + 40° = 180° 
3𝛼 + �̂� = 140° 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐸 obtemos a segunda relação: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
𝛼 + �̂� + 70° = 180° 
𝛼 + �̂� = 110° 
 Subtraindo a segunda relação da primeira temos: 
3𝛼 + �̂� − (𝛼 + �̂�) = 140° − 110° 
2𝛼 = 30° 
𝛼 = 15° 
Gabarito: “b”. 
27. (EEAR/2017) 
No quadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑫, o valor de 𝒚 − 𝒙 é igual a 
 
 
a) 𝟐𝒙 
b) 𝟐𝒚 
c) 
𝒙
𝟐
 
d) 
𝒚
𝟐
 
Comentários 
 Com base na seguinte figura presente no enunciado, temos 
 
 No triângulo 𝛥𝐵𝐷𝐶: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
60° + 70° + 𝑥 = 180° 
𝑥 = 50° 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐷 temos: 
𝑦 + 𝑦 + 𝑥 − 20° = 180° 
2𝑦 + 50° − 20° = 180° 
2𝑦 = 150° 
𝑦 = 75° 
 Temos, portanto, que 𝑦 − 𝑥 = 75° − 50° = 25° 
𝑦 − 𝑥 = 25° =
50°
2
=
𝑥
2
 
Gabarito: “c”. 
28. (EEAR/2016) 
Os ângulos �̂� e �̂� são congruentes. Sendo �̂� = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓° e �̂� = 𝟓𝒙 − 𝟗°. Assinale a alternativa que 
representa, corretamente, o valor de 𝒙. 
a) 𝟐° 
b) 𝟖° 
c) 𝟏𝟐° 
d) 𝟐𝟒° 
Comentário: 
�̂� e �̂� congruentes ⇒ �̂� = �̂� ⇒ 2𝑥 + 15° = 5𝑥 − 9° ⇒ 3𝑥 = 24° ∴ 𝑥 = 8° 
Gabarito: “b”. 
29. (EEAR/2016) 
Um triângulo ABC de base 𝑩𝑪 = (𝒙 + 𝟐) tem seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (𝟑𝒙 −
𝟒) 𝒆 (𝒙 + 𝟖). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é 
a) 𝟒 
b) 𝟔 
c) 𝟖 
d) 𝟏𝟎 
Comentários 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 De acordo com o enunciado temos a seguinte figura: 
 
 Sabemos que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, logo: 
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 
3𝑥 − 4 = 𝑥 + 8 
2𝑥 = 12 
𝑥 = 6 
 Portanto temos: 
𝐵𝐶 = 2 + 6 = 8 
 
Gabarito: “c”. 
30. (EEAR/2015) 
Seja 𝑨𝑩𝑪 um triângulo isósceles de base 𝑩𝑪 = (𝒙 + 𝟑)𝒄𝒎, com 𝑨𝑩 = (𝒙 + 𝟒)𝒄𝒎 e 𝑨𝑪 =
 (𝟑𝒙 − 𝟏𝟎)𝒄𝒎. A base de 𝑨𝑩𝑪 mede cm. 
a) 𝟒 
b) 𝟔 
c) 𝟖 
d) 𝟏𝟎 
Comentários 
 De acordo com o enunciado temos a seguinte figura: 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 Sabemos que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, logo: 
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 
𝑥 + 4 = 3𝑥 − 10 
14 = 2𝑥 
𝑥 = 7 
 Portanto, temos: 
𝐵𝐶 = 3 + 7 = 10 
Gabarito: “d”. 
 
9.0 - Lista de Questões - NÍVEL 3 
1. (Estratégia Militares 2021 – Inédita- Prof. Ismael Santos) O suplemento do complemento do ângulo 
de 67° mede: 
a) 23° 
b) 33° 
c) 147° 
d) 157° 
e) 167° 
 
2. (Estratégia Militares 2021 – Questão Inédita – Professor Ismael Santos) Dada a figura abaixo, 
assinale a alternativa que traga o valor de 𝒂 + 𝒃, sabendo que r e s são paralelas 
 
 
 
 108 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
 
a) 90° 
b) 70° 
c) 85° 
d) 65° 
e) 80° 
 
3. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere o ângulo 𝜽 = 𝟒𝟎°. Se 𝜷 é o 
replemento do suplemento do complemento, em radianos, então 𝜷 vale: 
a) 
𝟓𝝅
𝟔
 
b) 
𝟐𝟑𝝅
𝟏𝟖
 
c) 
𝟐𝟕𝝅
𝟖
 
d) 
𝝅
𝟐
 
e) 
𝟕𝝅
𝟗
 
 
4. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere um triângulo ABC, cujos lados 
são a, b e c. Sobre este triângulo, é correto afirmar que: 
a) se 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐, então ABC é retângulo 
b) se 𝒂𝟐 > 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐, então ABC é acutângulo 
c) se 𝒂𝟐 < 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐, então ABC é obtusângulo 
d) se 𝑨�̂�𝑪 = 𝟔𝟎°, então ABC é equilátero. 
e) nada se pode afirmar. 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
5. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) O suplemento do complemento do ângulo 
𝟕𝟐° 𝟓𝟖’ 𝟑𝟕’’ é: 
a) 𝟏𝟓𝟐° 𝟓𝟗′ 𝟑𝟑′′ 
b) 𝟏𝟓𝟖° 𝟓𝟓′ 𝟑𝟎′′ 
c) 𝟏𝟔𝟐° 𝟓𝟖′ 𝟑𝟕′′ 
d) 𝟏𝟔𝟎° 𝟑𝟗′ 𝟓𝟓′′ 
e) 𝟏𝟓𝟕° 𝟓𝟔′ 𝟑𝟓′′ 
 
6. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Os ângulos 𝜶 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎° e 𝜷 = 𝟒𝒙 +
𝟓𝟎 são alternos internos. Se 𝝀 é o replemento do suplemento de 𝒙, em graus, então 𝝀 em radiano 
é: 
a) 
𝟔𝝅
𝟕
 
b) 
𝟏𝟎𝝅
𝟗
 
c) 
𝟓𝝅
𝟗
 
d) 𝟓𝝅 
e) 𝟗𝝅 
 
7. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere um triângulo 𝑨𝑩𝑪, cujos 
ângulos �̂� e �̂� são respectivamente iguais a 40° e 30°. Assim, o ângulo formado pela altura relativa 
ao lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ e a bissetriz interna de �̂� é: 
a) 𝟗° 
b) 𝟕° 
c) 𝟑° 
d) 𝟓° 
e) 𝟖° 
 
8. (EstratégiaMilitares 2022 – Inédita – Prof. Ismael Santos) O suplemento do complemento do ângulo 
𝟔𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" é igual a: 
a) 𝟔𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
b) 𝟐𝟔°𝟖′𝟐𝟒" 
c) 𝟏𝟓𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
d) 𝟏𝟏𝟔°𝟖′𝟐𝟒" 
e) 𝟐𝟒𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
 
 
10 - Lista de Questões Comentadas - NÍVEL 3 
1. (Estratégia Militares 2021 – Inédita- Prof. Ismael Santos) O suplemento do complemento do ângulo 
de 67° mede: 
a) 23° 
b) 33° 
c) 147° 
d) 157° 
e) 167° 
 
Comentário: 
O complemento de 67° é: 90° - 67° = 23°. 
O suplemento de 23° é: 180° - 23° = 157°. 
Gabarito: D 
2. (Estratégia Militares 2021 – Questão Inédita – Professor Ismael Santos) Dada a figura abaixo, 
assinale a alternativa que traga o valor de 𝒂 + 𝒃, sabendo que r e s são paralelas 
 
 
 
 
 111 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
a) 90° 
b) 70° 
c) 85° 
d) 65° 
e) 80° 
 
Comentários 
 Traçando paralelas nos bicos dos ângulos e utilizando o conceito de ângulos alternos internos, 
temos que: 
 
 Finalmente, temos que: 
𝑎 − 30° + 𝑏 − 15° = 40° → 𝑎 + 𝑏 = 85° 
Gabarito: “C”. 
 
3. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere o ângulo 𝜽 = 𝟒𝟎°. Se 𝜷 é o 
replemento do suplemento do complemento, em radianos, então 𝜷 vale: 
a) 
𝟓𝝅
𝟔
 
b) 
𝟐𝟑𝝅
𝟏𝟖
 
c) 
𝟐𝟕𝝅
𝟖
 
d) 
𝝅
𝟐
 
e) 
𝟕𝝅
𝟗
 
 
 
 
 112 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
 
Comentários 
Para o replemento do suplemento do complemento: 
𝛽 = 360° − [180° − (90° − 𝜃)] 
𝛽 = 360° − 180° + 90° − 40° = 230° 
Para radianos: 
230° ≡
230
180
𝜋 =
23𝜋
18
 
Gabarito: B 
4. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere um triângulo ABC, cujos lados 
são a, b e c. Sobre este triângulo, é correto afirmar que: 
a) se 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐, então ABC é retângulo 
b) se 𝒂𝟐 > 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐, então ABC é acutângulo 
c) se 𝒂𝟐 < 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐, então ABC é obtusângulo 
d) se 𝑨�̂�𝑪 = 𝟔𝟎°, então ABC é equilátero. 
e) nada se pode afirmar. 
Comentário: 
Pela Síntese de Clairaut (tomando o lado a como o maior), temos as seguintes informações: 
{
𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2: 𝑎𝑐𝑢𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2: 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2: 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
 
Logo, letra A. 
Gabarito: A 
 
5. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) O suplemento do complemento do ângulo 
𝟕𝟐° 𝟓𝟖’ 𝟑𝟕’’ é: 
a) 𝟏𝟓𝟐° 𝟓𝟗′ 𝟑𝟑′′ 
b) 𝟏𝟓𝟖° 𝟓𝟓′ 𝟑𝟎′′ 
c) 𝟏𝟔𝟐° 𝟓𝟖′ 𝟑𝟕′′ 
 
 
 
 113 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
d) 𝟏𝟔𝟎° 𝟑𝟗′ 𝟓𝟓′′ 
e) 𝟏𝟓𝟕° 𝟓𝟔′ 𝟑𝟓′′ 
 
Comentário: 
Sabemos que complemento é o quanto que falta para chegarmos aos 90°: 
90°0′0′′ − 72°58′37′′ = 17°1′23′′ 
Ainda, sabemos que o suplemento é o quanto falta para chegarmos aos 180°: 
180°0′0′′ − 17°1′23′′ = 162°58′37′′ 
GABARITO: C 
 
6. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Os ângulos 𝜶 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎° e 𝜷 = 𝟒𝒙 +
𝟓𝟎 são alternos internos. Se 𝝀 é o replemento do suplemento de 𝒙, em graus, então 𝝀 em radiano 
é: 
a) 
𝟔𝝅
𝟕
 
b) 
𝟏𝟎𝝅
𝟗
 
c) 
𝟓𝝅
𝟗
 
d) 𝟓𝝅 
e) 𝟗𝝅 
Comentário: 
Se são alternos internos, podemos escrever que: 
7𝑥 − 10 = 4𝑥 + 50 = 3𝑥 = 60 → 𝑥 = 20 
O suplemento de x é dado por: 
180 − 20 = 160 
O replemento é dado por: 
360 − 160 = 200 =
10𝜋
9
 
GABARITO: B 
 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
7. (Estratégia Militares 2021 – Inédita – Prof. Ismael Santos) Considere um triângulo 𝑨𝑩𝑪, cujos 
ângulos �̂� e �̂� são respectivamente iguais a 40° e 30°. Assim, o ângulo formado pela altura relativa 
ao lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ e a bissetriz interna de �̂� é: 
a) 𝟗° 
b) 𝟕° 
c) 𝟑° 
d) 𝟓° 
e) 𝟖° 
 
Comentário: 
 
 
Como os ângulos B e C valem 40 e 30, então o ângulo A vale: 
𝐴 = 180 − 40 − 30 = 110° 
A bissetriz divide o ângulo em 2 partes iguais, restando 55° para cada um dos lados. 
Da altura, podemos escrever que o ângulo entre AB e a altura é dado por: 
90 − 40 = 50 
Assim, o ângulo entre a altura e a bissetriz é dado por: 
55 − 50 = 5° 
 
 
 
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AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte I 
 
GABARITO: d 
 
8. (Estratégia Militares 2022 – Inédita – Prof. Ismael Santos) O suplemento do complemento do ângulo 
𝟔𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" é igual a: 
a) 𝟔𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
b) 𝟐𝟔°𝟖′𝟐𝟒" 
c) 𝟏𝟓𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
d) 𝟏𝟏𝟔°𝟖′𝟐𝟒" 
e) 𝟐𝟒𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
 
Comentário: 
Seja 𝛼 = 63°51′36", para encontrarmos o suplemento do complemento de 𝛼: 
180° − (90° − 𝛼) = 90° + 𝛼 
90° + 𝛼 = 90° + 63°51′36" = 𝟏𝟓𝟑°𝟓𝟏′𝟑𝟔" 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 - Referências Bibliográficas 
[1] Dolce, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria 
plana. 9. ed. Atual, 2013. 456p. 
[2] Morgado, Augusto César. Wagner, Eduardo. Jorge, Miguel. Geometria I. 5 ed. Livraria Francisco 
Alves Editora, 1990. 151p. 
[3] Morgado, Augusto César. Wagner, Eduardo. Jorge, Miguel. Geometria II. 1 ed. FC & Z Livros, 
2002. 296p. 
[4] Areas - Geometria Plana 
12 - Considerações Finais 
 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa aula. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no fórum! 
 
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Vamos que vamos! Fé na missão!