Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-16022019

Prévia do material em texto

8 Prova de Matemática de 16/02/2019
8.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) A soma dos números inteiros pertencentes ao conjunto ]−3, π] ∩
[
−1, 9
2
[
é:
(A) 5 (B) 6
(C) 9 (D) 10
Resolução:
]−3, π] ∩
[
−1, 9
2
[
= [−1, π]
[−1, π] ∩ Z = {−1, 0, 1, 2, 3} ⇒ −1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5
A resposta certa é a (A).
2.(Caṕıtulo 3 e 7) Os valores de x que satisfazem a inequação −3 |2x− 4|+ 2 ≥ −4 são:
(A) ]1, 3[ (B) [1, 3]
(C)
[
1
2
, 7
2
]
(D) R
Resolução:
−3 |2x− 4|+ 2 ≥ −4⇔ −3 |2x− 4| ≥ −6⇔ 3 |2x− 4| ≤ 6⇔ |2x− 4| ≤ 2
⇔ 2x− 4 ≤ 2 ∧ 2x− 4 ≥ −2⇔ 2x ≤ 6 ∧ 2x ≥ 2⇔ x ≤ 3 ∧ x ≥ 1⇔ x ∈ [1, 3]
A resposta certa é a (B).
3.(Caṕıtulo 3) No final da época nataĺıcia, o hipermercado Pechincha fez a promoção em
chocolates: “Leve 5 iguais, pague somente 4”. A percentagem de desconto que aplicaram foi
de:
(A) 80% (B) 23%
(C) 25% (D) 20%
Resolução: Considerando que 5 chocolates corresponde a 100% e que 1 chocolate corres-
ponde a x%, esta será a percentagem de desconto:
5
1
= 100
x
⇔ x = 100
5
= 20%
A resposta certa é a (D).
4.(Caṕıtulo 3) Um professor de matemática diz que uma das questões do teste será uma
equação do segundo grau com duas soluções distintas: −3 e +3. Considerando a, b, c ∈ R\ {0},
a questão do teste será uma equação do tipo:
57
(A) ax2 + bx+ c = 0 (B) ax2 + bx = 0
(C) ax2 + c = 0 (D) ax2 = 0
Resolução: Como a soma das ráızes é 0 não pode existir termo de 1o grau. Como o pro-
duto das ráızes é −9 terá que existir termo independente.
A resposta certa é a (C).
5.(Caṕıtulo 3) Seja x o número inteiro não nulo que satisfaz a condição: 4x ≤ 2x+1 ≤ 3x+2.
O valor de x2 é igual a:
(A) 1 (B) 4
(C) 9 (D) 16
Resolução:
4x ≤ 2x+ 1 ≤ 3x+ 2⇔ 4x ≤ 2x+ 1 ∧ 2x+ 1 ≤ 3x+ 2⇔ 2x ≤ 1 ∧ −x ≤ 1
⇔ x ≤ 1
2
∧ x ≥ −1⇔ x ∈
[
−1, 1
2
]
, x ∈ Z\ {0} ⇒ x = −1⇒ x2 = 1
A resposta certa é a (A).
6.(Caṕıtulo 4) Sendo α ∈
]
π, 3π
2
[
qual das seguintes proposições é falsa?
(A) cos α
sen α
> 0 (B) cos2 α. tan α > 0
(C) sen α + cos α > 0 (D) sen α × cos α > 0
Resolução:
α ∈
]
π, 3π
2
[
corresponde ao 3o quadrante. Neste quadrante cos α < 0, sen α < 0, tan α > 0.
A resposta certa é a (C).
7.(Caṕıtulo 2) A expressão que traduz o peŕımetro da figura é:
(A) 3a2(x+ 7) (B) 24x+ 7xa2
(C) 3a2x+ 28a2 (D) (x+ 7)(3 + a2)
Resolução:
Peŕımetro = 3x+ 21 + xa2 + 7a2 = (3x+ xa2) + (21 + 7a2)
= x (3 + a2) + 7 (3 + a2) = (3 + a2) (x+ 7)
A resposta certa é a (D).
8.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 2 e 3) O comprimento de um terreno retangular excede em 12 metros o dobro
da sua largura. O terreno foi murado, tendo-se constrúıdo 126 metros de muro. Determine a
área do terreno.
58
Resolução: Representando por x a largura do terreno, o comprimento será 2x + 12 donde
resuta:
Peŕımetro = 2× (2x+ 12) + 2x = 4x+ 24 + 2x = 6x+ 24
Peŕımetro = 126⇔ 6x+ 24 = 126⇔ 6x = 102⇔ x = 17
Área = 17× (2× 17 + 12) = 782 m2
.
2.(Caṕıtulo 1) Calcule e simplifique o valor da seguinte expressão numérica, utilizando, sem-
pre que posśıvel, as regras operatórias das potências:
2
3
23×
3
2
32÷(33)3
8−2×
1
2
−2 .
Resolução:
2
3
23×
3
2
32÷(33)3
8−2×
1
2
−2 =
3
2
−23×
3
2
32÷39
1
8
2×(2)2
=
3
2
9÷39
2
8
2 =
3
2
÷ 3
9
2
8
2 =
3
2
× 1
3
9
1
4
2
=
1
2
9
1
2
4 =
(
1
2
)5
= 1
32
3.(Caṕıtulo 2 e 3) Considere os polinómios A(x) = x3 +ax2 +x+b; a, b ∈ R e B(x) = x2 +2x.
3.1 Sabendo que os polinómios têm duas ráızes comuns, determine a, b ∈ R.
Resolução:
Ráızes de B : x2 + 2x = 0⇔ x (x+ 2) = 0⇔ x = 0 ∨ x = −2{
A(0) = 0⇔ 03 + a× 02 + 0 + b = 0
A(−2) = 0⇔ (−2)3 + a× (−2)2 − 2 + b = 0 ⇔
{
b = 0
−8 + 4a− 2 + 0 = 0
⇔
{
b = 0
4a = 10
⇔
{
b = 0
a = 5
2
3.2 Decomponha A(x) em fatores lineares.
Resolução:
A(x) = x3 + 5
2
x2 + x
A(−2) = 0⇔ (−2)3 + 5
2
× (−2)2 − 2 = 0
59
1 5
2
1 0
-2 -2 -1 0
1 1
2
0 0
A(x) = (x+ 2)
(
x2 + 1
2
x
)
= x (x+ 2)
(
x+ 1
2
)
4.(Caṕıtulo 5 e 7) A variação da temperatura, em graus Celsius, de um ĺıquido foi regis-
tada durante 10 horas, no decurso de uma experiência, verificando-se que se pode traduzir por
T (x), a cada instante, em horas, por:
T (x) = −1
4
x2 + x+ 15, x ∈ [0, 10]
.
4.1 Determine a temperatura do ĺıquido no ińıcio da experiência.
Resolução:
T (0) = −1
4
× 02 + 0 + 15 = 15oC
4.2 Determine em que momentos da experiência o ĺıquido obteve uma temperatura superior
àquela que tinha no ińıcio da experiência.
Resolução:
T (x) > 15⇔ −1
4
x2 + x+ 15 > 15⇔ −1
4
x2 + x > 0
⇔ x
(
−1
4
x+ 1
)
> 0
Parábola volatada para baixo⇔
x(− 14x+1)=0⇔x=0∨x=4
x ∈ ]0, 4[
Resposta: Durante as quatro primeiras horas.
5.(Caṕıtulo 4) Na figura ao lado está representado um conten-
tor que é lançado de um avião que se desloca a 3km de altitude.
Devido à velocidade do avião e à ação do vento o contentor
cai segundo uma reta que forma um ângulo de 30o com a vertical.
5.1 Calcule a distância percorrida pelo contentor desde o
lançamento até cair no solo.
5.2 Determine a distância do ponto A até ao ponto em
que o contentor caiu no solo.
Resolução:
5.1 Representando por d a distância que é pedida, temos:
cos (30o) =
√
3
2
= 3
d
⇔ d = 6√
3
= 6
√
3
3
= 2
√
3 km
5.2 Representando por x a distância que é pedida, temos:
60
sen (30o) = 1
2
= x
2
√
3
⇔ x = 2
√
3
2
=
√
3 km
6.(Caṕıtulo 1) Mostre que:
2
√
3 ×
√
18 + 4
√
36√
24− 2
√
54
= −7
4
Resolução:
2
√
3 ×
√
18+ 4
√
36√
24−2
√
54
= 2
√
3 × 3
√
2 +
√
6
2
√
6− 2× 3
√
6
= 6
√
6 +
√
6
−4
√
6
= 7
√
6
−4
√
6
= −7
4
7.(Caṕıtulo 1, 2 e 3) Três tipos de tarifário mensal de telemóvel são apresentados na se-
guinte tabela
Tarifário Custo fixo mensal para 500 min/SMS Custo adicional por minuto
A 30 euros 0, 04 euros
B 25 euros 0, 09 euros
C 0, 10 euros por minuto (sem custo fixo mensal)
7.1 Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 550 minutos por mês?
Resolução:
Custo para A : 30 + 0, 04× 50 = 32 euros
Custo para B : 25 + 0, 09× 50 = 29, 50 euros
Custo para C : 0, 10× 550 = 55 euros
O plano mais vantajoso para este caso é o B.
7.2 A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?
Resolução:
Representando por x o tempo utilizado, em minutos, temos:
Custo para A :
{
30 + 0, 04(x− 500) se x > 500
30 se x ≤ 500
Custo para B :
{
25 + 0, 09 (x− 500) se x > 500
25 se x ≤ 500
Custo para C : 0, 10x
Pretendemos determinar x > 500 ( dado que só para esta situação é que A poderá ser mais
vantajoso que os outros dois) tal que:
61
30 + 0, 04(x− 500) < 25 + 0, 09 (x− 500) ∧ 30 + 0, 04(x− 500) < 0, 10x⇔
0, 04x− 0, 09x < −30 ∧ 0, 04x− 0, 10x < −10⇔ −0, 05x < −30 ∧ 0, 06x > 10⇔
0, 05x > 30 ∧ x > 10
0,06
⇔ x > 600
A resposta é para utilizações superiores a 600 minutos por mês.
62
	Prova de Matemática de 16/02/2019
	Grupo I
	Grupo II