EM_V02_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 2
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
Shutterstock/Dabarti CGI
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : Saymon Michel Sanches. – 
Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 2 : il.
 ISBN 978-85-467-1392-9 (Livro do aluno)
 ISBN 978-85-467-1391-2 (Livro do professor)
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
04
Sequências I
Progressão aritmética
Denomina-se progressão aritmética (PA) qualquer sequência numérica na qual, a partir do 2º. termo, a diferença entre cada 
termo e o anterior é constante. Essa diferença é a razão (r) da sequência. 
Denominamos crescente a PA que tem razão positiva e decrescente a que tem razão negativa. Quando a razão da PA é nula, 
dizemos que é uma PA constante.
Exemplos:
 • (45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, ..., 219) → PA crescente e finita de razão 6.
 • (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) → PA crescente e infinita de razão 1.
 • (2,3; 1,6; 0,9; 0,2; –0,5; –1,2; ...) → PA decrescente e infinita de razão –0,7.
 • (6,7; 6,7; 6,7; 6,7; 6,7; 6,7; ...) → PA constante e infinita de razão 0.
Um termo qualquer de uma progressão aritmética é denominado termo geral. A fórmula do termo geral de uma PA é dada 
por: a a (n 1) rn 1= + − ⋅
Progressão aritmética e função afim
A fórmula do termo geral de uma PA, quando expressa em função de n, é uma função afim com domínio *.
a r n a r
f n an b
a f n r a a r b
n
n
= ⋅ + −
= +
⎫
⎬
⎭
→ = = − =
( )
( )
( )
1
1
Interpolação aritmética
O procedimento de inserir alguns termos, denominados meios aritméticos, entre dois outros, de modo que a sequência formada seja uma 
PA, é chamado de interpolação aritmética.
Soma dos termos de uma PA
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por: S
(a a ) n
2n
1 n=
+ ⋅
.
Progressão aritmética e juros simples
As progressões aritméticas estão relacionadas com o cálculo de juros, no sistema de capitalização simples, no qual o juro incide apenas sobre 
o capital inicial. 
O cálculo de juros simples é feito com uso da fórmula j C i t= ⋅ ⋅ , em que C é o capital inicial, i é a taxa de juro e t é o tempo 
durante o qual será aplicada a taxa. O primeiro termo da PA corresponde ao capital inicial e a razão, aos juros de cada mês.
Exemplo:
Supondo um capital de R$ 5.000,00 referente a um empréstimo à taxa de 2% ao mês a juros simples, qual é o montante pago se a dívida for 
quitada ao final de 2 meses? E de 4 meses?
j C i t
j t j t
M C j
M t
M
t
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⇒ =
= +
= + ⋅
= + ⋅
5000 0 02 100
5000 100
5000 100 22
,
⇒⇒ = + =
= + ⋅ ⇒ = + =
M
M M
2
4 4
5000 200 5200
5000 100 4 5000 400 5400
2 Volume 2
Atividades
Sequências
1. Considerando a sequência definida por a nn = +4 5, 
com n∈ *, determine:
a) O 6º. termo dessa sequência.
a 6 = 4 · 6 + 5
a6 = 24 + 5 = 29
b) O 12º. termo dessa sequência.
a12 = 4 · 12 + 5
a12 = 48 + 5 = 53
c) A posição que ocupa o termo igual a 245.
245 = 4n + 5
4n = 245 – 5 
n = 60
É o 60º. termo da sequência.
2. Escreva os 5 primeiros termos da sequência definida 
pela regra abaixo.
a
a a com nn n
1
1
16
1
4
=
= ⋅ ∈
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ +
, *
a
a a
a a
a a
a
1
1 1 2
2 1 3
3 1 4
4
16
16
1
4
4 4
4
1
4
1 1
1
1
4
1
4
1
4
=
= ⋅ = ⇒ =
= ⋅ = ⇒ =
= ⋅ = ⇒ =
+
+
+
++ = ⋅ = ⇒ =1 5
1
4
1
4
1
16
1
16
a
3. Determine a soma dos quatro primeiros termos da se-
quência de números reais definida por
T
T T com nn n
1
1
2
2 3
= −
= ⋅ +( ) ∈
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ + , *
T
T T
T T
T
1
1 1 2
2 1 3
3 1
2
2 2 3 2 2
2 2 3 10 10
2 10 3
= −
= ⋅ − + = ⇒ =
= ⋅ + = ⇒ =
= ⋅ +
+
+
+
( )
( )
( )) = ⇒ =
+ + + = − + + + =
26 26
2 2 10 26 36
4
1 2 3 4
T
T T T T
4. (UNIFESP – SP) A soma dos termos que são números 
primos da sequência cujo termo geral é dado por 
a nn = +3 2, para n natural, variando de 1 a 5, é
a) 10.
b) 16.
c) 28.
X d) 33. 
e) 36.
a n
a
a
a
a
a
n = +
= ⋅ + =
= ⋅ + =
= ⋅ + =
= ⋅ + =
= ⋅ + =
3 2
3 1 2 5
3 2 2 8
3 3 2 11
3 4 2 14
3 5 2
1
2
3
4
5 117
A soma desses termos que são primos é:
a a a1 3 5 5 11 17 33+ + = + + =
5. (UNESP – SP) Considere as sequências ( )a n e ( )bn 
definidas por a n
n
+ =1 2 e bn
n
+ =1 3 , n ≥ 0. Então, o 
valor de a b11 6 é:
a) 2 311 6⋅
X b) 125
c) 515
d) 615
e) 6 30
a
n a
a
b
n b
b
a b
n
n
n
n
+
+
+
+
=
= ⇒ =
=
=
= ⇒ =
=
⋅
1
10 1
10
11
10
1
5 1
5
6
5
11
2
10 2
2
3
5 3
3
 
 
66
10 5
11 6
2 5 5
11 6
5 5 5
2 3
2 3
4 3 12
= ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ =
a b
a b
( )
Matemática 3Matemática 33
6. (FGV – SP) Uma pulga com algum conhecimento ma-
temático brinca, pulando sobre as doze marcas cor-
respondentes aos números das horas de um relógio. 
Quando ela está sobre uma marca correspondente a 
um número não primo, ela pula para a primeira marca 
a seguir, no sentido horário. Quando ela está sobre a 
marca de um número primo, ela pula para a segunda 
marca a seguir, sempre no sentido horário. Se a pulga 
começa na marca do número 12, onde ela estará após 
o 2014º. pulo?
Veja no quadro as marcas correspondentes aos primeiros 
pulos da pulga.
pulo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
marca 1 2 4 5 7 9 10 11 1 2 4 5 7 9 10 11 1
Observe que, na sequência formada, os termos se repetem 
de 8 em 8. Assim:
2 014 8
6 251
2 014 251 8 6= ⋅ +
Para chegar ao 2 014º. pulo, temos 251 ciclos completos de 
8 pulos mais 6 pulos. Portanto, a pulga estará na marca cor-
respondente ao pulo de número 6, ou seja, em 9.
Progressão aritmética (PA)
7. Escreva uma PA:
a) com 7 termos em que a1 = 6 e r = –2.
(6, 4, 2, 0, –2, –4, –6)
b) com 5 termos em que a1 = 3 e r = 8.
(3, 11, 19, 27, 35)
c) com 4 termos em que a1 = –3 e r = –4.
(–3, –7, –11, –15)
d) com 8 termos em que a1 = 2,5 e r = 0,75.
(2,5; 3,25; 4; 4,75; 5,5; 6,25; 7; 7,75)
e) com 6 termos em que a1 = 
2
5
 e r = 
1
2
. 
5
2
5
9
10
7
5
19
10
12
5
29
10
, , , , ,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
8. Com relação à PA (4, 12, 20, ...), determine:
a) a razão.
r = 12 – 4 = 8
b) o 8º. termo.
an = a1 + (n – 1) · r
a8 = 4 + (8 – 1) · 8
a8 = 4 + 56 = 60
c) o 17º. termo.
a17 = 4 + (17 – 1) · 8
a17 = 4 + 128 = 132
9. Sendo a sequência 1
3
2
2, , , ...
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ uma PA, determine:
a) a razão.
r = 
3
2
 – 1
r = 
3 2
2
= 
1
2
b) o 40º. termo.
a 40 = 1 + (40 – 1) · 
1
2
a 40 = 1 + 
39
2
 = 
41
2
c) O valor da expressão a a a8 13 21+ + .
a 8 = 1 + (8 – 1) · 
1
2
a 8 = 1 + 
7
2
a 8 = 
9
2
a13 = 1 + (13 – 1) · 
1
2
a 13 = 1 + 12 · 
1
2
a13 = 7
a 21 = 1 + (21 – 1) · 
1
2
a 21 = 1 + 20 ·
1
2
a 21 = 11
a a a8 13 21 = 
9
2
 + 7 + 11 = 
9
2
 + 18 = 
9 36
2
=
45
2
4 Volume 2
10. Determine o número de termos de uma PA finita em 
que o primeiro termo é igual a 5, o último termo é 165 
e a razão é 8.
a n = a 1 + (n – 1) · r
165 = 5 + (n – 1) · 8
165 = 5 + 8n – 8
165 – 5 + 8 = 8n
168 = 8n ⇒ n = 21 
11. O penúltimo e o último termos de uma PA de 17 termos 
são, respectivamente, 28 e 34. Determine os três pri-
meiros termos dessa sequência.
r = 34 – 28 ⇒ r = 6
an = a 1 + (n – 1) · r
a 17 = a 1 + (17 – 1) · 6
34 = a1 + 96
a 1 = –62
a 2 = –56
a 3 = –50
12. Sabe-se que o sétimo termo e o décimo segundo termo 
de uma PA são, respectivamente, 22 e 37. Determine:
a) a razão e o primeiro termo dessa PA.
a12 = a 7 + 5 · r
37 = 22 + 5 · r
37 – 22 = 5r
15 = 5r ⇒ r = 3
a 7 = a 1 + (7 – 1) · 3
22 = a 1 + 18 ⇒ a1 = 4
b) o vigésimo termo dessa PA.
a n = a 1 + (n – 1) · r
a 20 = 4 + (20 – 1) · 3
a 20 = 4 + 19 · 3 = 61
13. Em uma loja de doces, as barras de chocolate entraram 
em promoção. O preço que o cliente vai pagar diminui 
à razão constante, de acordo com a quantidade de bar-
ras de chocolate que comprar, limitado a oito barrasde 
chocolate por cliente. Observe o quadro a seguir:
Barra(s) de 
chocolate
1 2 3 4
Valor unitário (R$) 5,00 4,70 4,40 4,10
 Observe que, conforme o número de barras de 
chocolate compradas aumenta, o preço unitário diminui 
a uma razão constante, formando uma PA.
 Responda:
a) Qual é a razão dessa sequência? 
r = 4,7 – 5 = –0,3
b) Se uma pessoa comprar 8 barras de chocolate, qual 
será o valor total pago?
a n = a 1 + (n – 1) · r
a 8 = 5 + (8 – 1) · (–0,3)
a 8 = 5 + 7 · (–0,3) = 2,90
Como cada barra custará R$ 2,90, o valor total pago 
será de 8 ∙ 2,90 = R$ 23,20. 
c) Comparando com o valor não promocional, quanto 
economizará uma pessoa que comprar 6 barras de 
chocolate?
a n = a 1 + (n – 1) · r
a 6 = 5 + (6 – 1) · (–0,3)
a 6 = 5 + 5 · (–0,3) = 3,50
Pelo valor não promocional, a pessoa vai pagar
6 · R$ 5,00 = R$ 30,00 e pelo valor promocional, a 
pessoa vai pagar 6 · R$ 3,50 = R$ 21,00. Portanto, a 
economia será de R$ 9,00.
Matemática 5
14. Uma garota decidiu brincar com seus carimbos e, em 
pedaços de papel, criou uma sequência de figuras.
(1) (2) (3)
 Determine quantos triângulos e quantos círculos have-
rá na vigésima figura se a garota mantiver o padrão da 
sequência ilustrada.
Sequência de triângulos
Na vigésima figura, haverá 20 triângulos, pois em cada 
figura o número de triângulos coincide com a ordem.
Sequência de círculos
a n = a 1 + (n – 1) · r 
a 20 = 1 + (20 – 1) · 2
a 20 = 1 + 19 · 2 = 39
Na vigésima figura, haverá 20 triângulos e 39 círculos.
15. Determine o(s) valor(es) de x na sequência (x + 5, 3x, 
x 2 – 1), sabendo que os três termos, nessa ordem, 
formam uma PA.
a a a a2 1 3 2− −= 
3x – (x + 5) = x 2 – 1 – 3x
3x – x – 5 = x2 – 1 – 3x
– x 2 + 5x – 4 = 0
x x
a b c
b a c
2
2
2
5 4 0
1 5 4
4
5 4 1 4
25 16 9
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= − =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + = =
= − = =
Δ
2
5 9
2 1
5 3
2
8
2
4
5 3
2
2
2
1
1
2
Para x = 4, temos a PA crescente (9, 12, 15).
Para x = 1, temos a PA decrescente (6, 3, 0).
16. Considere a sequência 4 10 4 6 13
2 2x x x x− − + +( ), , .
a) Determine os valores de x que tornam essa sequên-
cia uma PA.
a a a a2 1 3 2− = −
x 2 – 4 – (4x – 10) = x 2 + 6x + 13 – (x 2 – 4)
x 2 – 4 – 4x + 10 = x 2 + 6x + 13 – x 2 + 4
x x
a b c
b a c
2
2
2
10 11 0
1 10 11
4
10 4 1 11
10
− − =
= = − = −
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
=
; ;
Δ
Δ
Δ 00 44 144+ =
x
b
a
x
x
x
=
− ±
⋅
=
±
⋅
=
+
= =
=
−
=
−
= −
Δ
2
10 144
2 1
10 12
2
22
2
11
10 12
2
2
2
1
1
2
b) Escreva os termos e a razão da PA formada.
Para x = 11 a PA é (34, 117, 200).
Razão:
r
r
= −
=
117 34
83
 
Para x = –1 a PA é (–14, –3, 8).
Razão:
r
r
= − −
=
8 3
11
( )
 
17. As medidas dos lados de um triângulo retângulo são 
expressas em ordem crescente por x – 4, 2x – 6 e 
3x – 14. Determine:
6 Volume 2
a) O valor da medida da hipotenusa desse triângulo.
Como os valores estão em ordem crescente, a medida 
3x – 14 é a da hipotenusa desse triângulo. Então, utili-
zando o Teorema de Pitágoras, temos:
( ) ( ) ( )3 14 4 2 62 22x x x− = − + − 
9x 2 – 84x + 196 = x 2 – 8x + 16 + 4x 2 – 24x + 36
4x 2 – 52x +144 = 0
x x
a b c
b a c
2
2
2
13 36 0
1 13 36
4
13 4 1 36
169 14
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= −
; ;
Δ
Δ
Δ 44 25=
 
x
b
a
x
x
x
=
− ±
⋅
=
±
⋅
=
+
= =
=
−
= =
Δ
2
13 25
2 1
13 5
2
18
2
9
13 5
2
8
2
4
1
2
Substituindo os valores encontrados:
x
x
=
= −
9 5 12 13
4 0 2 2
:
:
( , , )
( , , )
 
Nem sempre as soluções de uma equação serão váli-
das. Nesse caso, a solução x = 4 não é válida, pois uma 
das medidas seria nula e outra negativa. Portanto, x = 9 
e a medida da hipotenusa é 13.
b) O perímetro do triângulo.
Já calculamos as medidas dos lados do triângulo retân-
gulo: 5, 12 e 13.
Portanto, o perímetro desse triângulo é 5 + 12 + 13 = 30 
unidades de comprimento.
c) As medidas dos lados desse triângulo não formam 
uma PA. Considere um triângulo retângulo em que 
o maior cateto mede 12 e cujas medidas dos lados 
formam uma PA. Quais são essas medidas?
Sendo r a razão da PA, podemos escrever a seguinte 
sequência:
(12 – r, 12, 12 + r)
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
( ) ( )12 12 12
144 24 144 24 144
48 144
3
2 2 2
2 2
+ = − +
+ + = − + +
=
=
r r
r r r r
r
r
 
As medidas dos lados são 9, 12 e 15.
18. Numa PA, o 4º. termo é –16 e o 10º. termo é 2. Determi-
ne o primeiro termo e a razão dessa sequência.
a 10 = a 4 + 6 · r
2 = –16 + 6 · r
18 = 6r ⇒ r = 3
a n = a 1 + (n – 1) · r
a 10 = a 1 + (10 – 1) · 3 
2 = a 1 + 9 · 3
2 = a 1 + 27 ⇒ a 1 = –25
19. Considerando uma PA em que o quinto termo é 1 e o 
oitavo termo é –8, é correto afirmar que:
a) ( F ) a razão é –2.
b) ( V ) o sétimo termo é –5.
c) ( F ) o primeiro termo é 15.
d) ( V ) o número de termos positivos dessa sequência 
é 5.
e) ( V ) a soma do nono com o décimo primeiro termo é 
igual a –28.
a) a 8 = a 5 + 3 · r
 –8 = 1 + 3 · r
 –9 = 3r ⇒ r = –3
b) a a r
a
a
7 8
7
7
8 3
5
= −
= − − −
= −
( )
c) a 8 = a 1 + (8 – 1) · (–3)
 –8 = a 1 + 7 · (–3)
 –8 = a 1 – 21 ⇒ a 1 = 13
d) (13, 10, 7, 4, 1, –2, –5, –8, –11, –14, –17, ...) 
e) a a9 11+ = –11 + (–17) = –11 – 17 = –28
20. Numa PA, a soma do 4º. termo com o 9º. termo é igual a 
46 e a soma do 7º. termo com o 12º. termo é igual a 70. 
Determine:
a) A razão e o primeiro termo dessa PA.
a a4 9+ = 46 ⇒ a 1 + 3r + a 1 + 8r = 46 ⇒
⇒ 2a 1 + 11r = 46 (I)
a a7 12+ = 70 ⇒ a 1 + 6r + a 1 + 11r = 70 ⇒
⇒ 2a 1 + 17r = 70 (II)
O sistema formado por (I) e (II) é:
2 11 46
2 17 70
1
1
a r
a r
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Resolvendo o sistema, temos:
a
r
1 1
4
=
=
 
Matemática 7
b) O 20°. termo dessa PA. 
a a n r
a
a
n = + −( )⋅
= + −( )⋅
= + ⋅ =
1
20
20
1
1 20 1 4
1 19 4 77
21. Em uma PA, temos que a1 + a10 = 61 e a5 + a15 = 106. 
Determine:
a) A razão dessa PA.a ão dessa
a a1 10+ = 61 ⇒ a 1 + a 1 + 9r = 61 ⇒ 2a 1 + 9r = 61 (I)
a a5 15+ = 106 ⇒ a 1 + 4r + a 1 + 14r = 106 ⇒ 2a 1 + 
+ 18r = 106 (II)
O sistema formado por (I) e (II) é:
2 9 61
2 18 106
1
1
a r
a r
+ =
+ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Resolvendo o sistema, temos:
a
r
1 8
5
=
=
 
b) O valor de a8.
a n = a 1 + (n – 1) · r
a 8 = 8 + (8 – 1) · 5
a 8 = 8 + 7 · 5 = 43
c) A posição que ocupa o termo de valor 118.
a n = a 1 + (n – 1) · r
118 = 8 + (n – 1) · 5
118 = 8 + 5n – 5
115 = 5n ⇒ n = 23
O número 118 é o 23°. termo da PA.
d) O número 269 é um dos termos dessa PA? 
a a n r
n
n
n
n
n = + − ⋅
= + − ⋅
= − ⋅
− =
=
1 1
269 8 1 5
261 1 5
1 52 2
53 2
( )
( )
( )
,
,
 
Como n não é um número inteiro positivo, 269 não é um 
dos termos da PA.
22. Interpole 15 termos entre 3 e 83, de modo que a se-
quência formada seja uma PA.
n = 15 + 2 = 17
a n = a 1 + (n – 1) · r
83 = 3 + (17 – 1) · r
80 = 16r ⇒ r = 5
(3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83)
23. Foram inseridos oito termos entre 12 e 39, formando 
uma PA. Determine:
a) A razão.
n = 8 + 2 = 10
a n = a 1 + (n – 1) · r
39 = 12 + (10 – 1) · r
27 = 9r ⇒ r = 3
b) O valor de a5.
a n = a 1 + (n – 1) · r
a 5 = 12 + (5 – 1) · 3
a 5 = 12 + 4 · 3 = 24
24. Oito pessoas formaram uma fila por ordem de altura, 
sendo a primeira com 1,92 m e a última com 1,50 m. As 
alturas das pessoas em fila formam uma PA. Determine:
a) A razão.
a n = a 1 + (n – 1) · r e n = 8 
1,92 = 1,5 + (8 – 1) · r
1,92 – 1,5 = 7r
0,42 = 7r ⇒ r = 0,06 m
b) A altura de cada uma das oito pessoas que forma-
ram a fila.
(1,92; 1,86; 1,80; 1,74; 1,68; 1,62; 1,56; 1,50)
25. (UNESP-SP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada 
uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inau-
guração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, 
o número de fregueses que passaram a frequentar a 
pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, 
8 Volume 2
até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas,a qual 
tem se mantido. O número de sábados que se passa-
ram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a 
cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira 
vez, foi:
a) 15.
X b) 16.
c) 17.
d) 18.
e) 26.
Como devemos excluir o sábado de inauguração, então 
a 1 = 46, r = 6 e a n = 136
an = a 1 + (n – 1) · r
136 = 46 + (n – 1) · 6
136 = 46 + 6n – 6
96 = 6n ⇒ n = 16.
26. Determine quantos múltiplos de 8 existem entre 1 235 
e 1 835.
Dividindo 1 235 por 8, obtemos 154 e sobram 3. Isso sig-
nifica que: 
1) 1 235 = 154 ∙ 8 + 3 não é múltiplo de 8; 
2) O primeiro múltiplo de 8 maior do que 1 235 é 5 unida-
des maior do que 1 235 (154 ∙ 8 + 3 + 5 = 1 240). 
Dividindo 1 835 por 8, obtemos 229 e restam 3. Isso sig-
nifica que: 
1) 1 835 = 229 ∙ 8 + 3 não é múltiplo de 8; 
2) O último múltiplo de 8 menor do que 1835 é 3 unidades 
menor do que 1 835 (1 835 – 3 = 1 832).
Portanto, a lista de múltiplos de 8 entre 1 235 e 1 835 é 
uma PA de razão 8 cujo 1º. termo é 1 240 e o último termo 
é 1 832. 
a n = a1 + (n – 1) · r
1 832 = 1 240 + (n – 1) · 8
1 832 = 1 240 + 8n – 8 ⇒ 600 = 8n ⇒ n = 75 
Existem 75 múltiplos de 8 entre 1 235 e 1 835.
27. Determine quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e 
300 que são também múltiplos de 4.
Os múltiplos de 3 que são também múltiplos de 4 são os 
múltiplos de 12.
Dividindo 100 por 12, obtemos 8 e sobram 4. Isso significa 
que: 
1) 100 = 8 ∙ 12 + 4 não é múltiplo de 8; 
2) O primeiro múltiplo de 12 maior do que 100 é 8 unidades 
maior do que 100 (8 ∙ 12 + 4 + 8 = 108).
Dividindo 300 por 12, obtemos 25 e resta 0. Isso significa 
que: 
1) 300 é múltiplo de 12; 
2) O último múltiplo de 12 menor do que 300 é 12 unidades 
menor do que 300 (300 – 12 = 288) 
A lista de múltiplos de 3 e 4 entre 100 e 300 é uma PA de 
razão 12 cujo 1º. termo é 108 e o último termo é 288. 
a n = a 1 + (n – 1) · r
288 = 108 + (n – 1) · 12
288 = 108 + 12n – 12
288 = 96 + 12n ⇒ 192 = 12n ⇒ n = 16 
Existem 16 múltiplos de 3 e 4 entre 100 e 300.
28. Sabe-se que entre 1 001 e 5 000 existem n valores 
que são múltiplos de 2, mas não são múltiplos de 5. 
Determine o valor de n.
Do total de múltiplos de 2, precisamos excluir os que são 
também múltiplos de 10, pois esses são múltiplos de 2 e 
de 5. 
Entre 1 001 e 5 000, o primeiro múltiplo de 2 é 1002 e o 
último é 4998.
Entre 1 001 e 5 000, o primeiro múltiplo de 10 é 1010 e o 
último é 4 990.
Múltiplos de 2: (1 002, 1 004, 1 006, ...,4 998) PA de razão 2.
an = a 1 + (n – 1) · r
4 998 = 1 002 + (n – 1) · 2
4 998 = 1 002 + 2n – 2 ⇒ 3 998 = 2n ⇒ n = 1 999 
Múltiplos de 10: (1 010, 1 020, 1 030, ... ,4 990) PA de razão 
10.
an = a1 + (n – 1) · r
4 990 = 1 010 + (n – 1) · 10
4 990 = 1 010 + 10n – 10 ⇒ 3 990 = 10n ⇒ n = 399 
Total de múltiplos de 2 entre 1 001 e 5 000 que não são 
múltiplos de 5: 1 999 – 399 = 1 600.
Matemática 9
29. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no 
sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e 
mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total 
de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de:
a) 0,2%.
b) 0,4%.
c) 2%.
X d) 4%.
e) 6%.
O montante ao final de 5 meses corresponde ao 6º. termo 
de uma PA cujo primeiro termo é 500 e a razão é igual 
a C · i = 500 · i. 
a n = a 1 + (n – 1) · r
600 = 500 + (6 – 1) · 500i
600 = 500 + 2 500i ⇒ 100 = 2 500i ⇒ i = 0,04 = 4%
30. Sabe-se que o termo geral de uma PA é definido por 
a n = 4 – 5n. Determine:
a) Os quatro primeiros termos.
a 1 = 4 – 5 · 1 = –1
a 2 = 4 – 5 · 2 = –6
a 3 = 4 – 5 · 3 = –11
a 4 = 4 – 5 · 4 = –16
b) A razão.
r = –5
c) A soma dos 25 primeiros termos.
an = a 1 + (n – 1) · r
a 25 = a1 + (25 – 1) · (–5)
a 25 = –1 + 24· (–5) ⇒ a 25 = –121 
S
a a
S
S
25
1 25
25
25
25
2
1 121 25
2
122 25
2
1525
=
+ ⋅
= − − ⋅
= − ⋅ = −
( )
( )
31. Determine a soma dos 48 primeiros termos da PA (3, 5, 
7, 9, ...).
an = a 1 + (n – 1) · r
a 48 = 3 + (48 – 1) · 2
a 48 = 3 + 47 · 2 ⇒ a 48 = 97 
S
a a
S
S
48
1 48
48
48
48
2
3 97 48
2
100 48
2
2400
=
+ ⋅
= + ⋅
= ⋅ =
( )
( )
32. Numa PA, o 4º. termo é 13 e o 8º. é 29. Determine:
a) A razão.
a 8 = a 4 + 4 · r
29 = 13 + 4r
16 = 4r ⇒ r = 4
b) A soma dos 20 primeiros termos.
a n = a1 + (n – 1) · r
a 8 = a 1 + (8 – 1) · 4
29 = a 1 + 28 ⇒ a1 = 1
a 20 = 1 + (20 – 1) · 4
a 20 = 1 + 19 · 4
a 20 = 1 + 76 = 77
S
a a
S
S
20
1 20
20
20
20
2
1 77 20
2
78 20
2
780
=
+ ⋅
= + ⋅
= ⋅ =
( )
( )
10 Volume 2
33. Quantos termos da PA (16, 23, 30, ...) devem ser so-
mados para que Sn = 475?
a 1 = 16, r = 7, S n = 475
S
a a n
a n
a n I
n
n
n
n
=
+ ⋅
=
+ ⋅
= + ⋅
( )
( )
( ) ( )
1
2
475
16
2
950 16
a n = a 1 + (n – 1) · r
a n = 16 + (n – 1) · 7
an = 16 + 7n – 7
a n = 9 + 7n (II)
Substituindo (II) em (I):
950 = (16 + 9 + 7n) · n
950 = (25 + 7n) · n
7 25 950 0
7 25 950
4
25 4 7 950
62
2
2
2
n n
a b c
b a c
+ − =
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −( )
=
; ;
Δ
Δ
Δ 55 26600 27225+ =
n
b
a
n
n
n
= − ±
⋅
=
− ±
⋅
= − + = =
= − − = −
Δ
2
25 27225
2 7
25 165
14
140
14
10
25 165
14
1
2
1190
14
95
7
= −
Como não faz sentido n = − 95
7
, tem-se n = 10, ou seja, 
será necessário somar 10 termos. 
34. (UECE) Se n é a soma dos 2013 primeiros números 
inteiros positivos, então o algarismo das unidades de n 
é igual a
X a) 1.
b) 3.
c) 5.
d) 7.
n
n
n
= + + + +
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
= ⋅
1 2 3 2 013
1 2 013
2
2 013
1 007 2 013
 
Como 7 3 21⋅ = , o algarismo das unidades de n é 1.
35. Calcule o 7º. termo de uma PA em que a soma dos 10 
primeiros termos é –170 e r = –2.
S
a a n
S
a a
a a
a a I
n
n= + ⋅
=
+ ⋅
− = + ⋅
+ = −
( )
( )
( )
( )
1
10
1 10
1 10
1 10
2
10
2
170 5
34
a n = a1 + (n – 1) · r
a 10 = a 1 + (10 – 1) · (–2)
a10 = a 1 + 9 · (–2)
a 10 = 
a 1 – 18 (II)
Substituindo (II) em (I):
a1 + a 1 – 18 = –34
2a1 = –34 + 18 ⇒ a1 = –8
Assim:
a n = a1 + (n – 1) · r
a 7 = –8 + (7 – 1) · (–2)
a 7 = –8 + 6 · (–2) = –20
36. (UFPB) Em janeiro de 2003, uma fábrica de material 
esportivo produziu 1000 pares de chuteiras. Sabendo-
-se que a produção de chuteiras dessa fábrica, em 
cada mês de 2003, foi superior a do mês anterior em 
200 pares, quantos pares de chuteiras essa fábrica 
produziu em 2003?
a) 30.000
X b) 25.200
c) 25.000
d) 26.200
e) 20.000
a 1 = 1 000, r = 200, n = 12
an = a 1 + (n – 1) · r
a 12 = 1 000 + (12 – 1) · 200
a12 = 1 000 + 2 200 ⇒ a 12 = 3 200
S
a a n
S
S S
n
n= + ⋅
= + ⋅
= ⋅ ⇒ =
( )
( )
1
12
12 12
2
1000 3200 12
2
4200 12
2
25200
Matemática 11
37. (UFBA) Um agricultor plantou uma série de mamoeiros, 
distando 3 m um do outro e formando uma fila, em 
linha reta, com 72 m de comprimento. Alinhado com os 
mamoeiros, havia um depósito, situado a 20 m de distân-
cia do primeiro. O agricultor, para fazer a colheita, par-
tiu do depósito e, margeando sempre os mamoeiros, 
colheu os frutos do primeiro e levou-os ao depósito; 
em seguida, colheu os frutos do segundo, levando-os 
para o depósito; e, assim, sucessivamente, até colher e 
armazenar os frutos do último mamoeiro.
 Considere que o agricultor anda 50 metros por minuto, 
gasta 5 minutos para colher os frutos de cada mamoei-
ro, e mais 5 para armazená-los no depósito.
 Nessas condições, pode-se concluir que o agricultor:
X (01) plantou 25 pés de mamão. 
(02) plantou o 12º. mamoeiro a 56 metros do depósito. 
(04) quando fez a colheita dos frutos do 10º. mamoei-
ro, havia passado 6 vezes pelo 5º. mamoeiro. 
X (08) ao completar a tarefa de colheita e armazena-
mento dos frutos de todos os mamoeiros, tinha 
andado 2800 metros. 
X (16) para realizar toda a tarefa de colheita e armaze-
namento, gastou 5 horas e 6 minutos.
Somatório: 25 (01 + 08 + 16).
Depósito
20 m 3 m 3 m
72 m
Pelo enunciado, sabemos que a distância entre o depósito 
e o último mamoeiro é igual a 92 m.
Sabemos também queo primeiro mamoeiro está a 20 m 
do depósito; o segundo, a 23 m; o terceiro, a 26 m, e as-
sim sucessivamente, formando uma PA de razão 3.
Analisando cada um dos itens:
(01) Verdadeiro.
a n = a 1 + (n – 1) · r
92 = 20 + (n – 1) · 3
92 = 20 + 3n – 3
92 = 17 + 3n 
75 = 3n ⇒ n = 25
(02) Falso.
a12 = a 1 + (n – 1) · r
a 12 = 20 + (12 – 1) · 3 = 20 + 33 ⇒ a12 = 53
(04) Falso. O agricultor passou 1 vez pelo 5º. mamoeiro 
quando colheu seus frutos, 4 · 2 = 8 vezes quando colheu 
os frutos do 6º. ao 9º. mamoeiro e 1 vez ao colher os frutos 
do 10º. mamoeiro. Assim, passou um total de 10 vezes pelo 
5º. mamoeiro. O gabarito oficial dessa questão refere-se ao 
número exato de 6 vezes. Portanto, o item é falso. 
(08) Verdadeiro. Basta fazermos a soma dos 25 primeiros 
termos da PA formada e multiplicar por 2, afinal o agricultor 
percorre cada uma das distâncias duas vezes (ida e volta).
S
a a n
S S
n
n= + ⋅
= + ⋅ = ⋅ ⇒ =
( )
( )
1
25 25
2
20 92 25
2
112 25
2
1400
Portanto, ele percorreu 2800 m.
(16) Verdadeiro. Tempo gasto na caminhada: 2 800 : 50 = 
= 56 minutos. Tempo gasto na colheita: 5 · 25 = 125 mi-
nutos. Tempo gasto para guardar os mamões: 5 · 25 = 125 
minutos. Tempo total gasto: 56 + 125 + 125 = 306 minutos 
ou 5 horas e 6 minutos. 
38. (FMTM – MG) Em um jogo, por cada bola retirada de 
uma urna (sem reposição) um apostador deve pagar da 
seguinte forma: R$ 1,00 pela primeira bola retirada, 
R$ 1,20 pela segunda, R$ 1,40 pela terceira, R$ 1,60 
pela quarta, e assim sucessivamente.
 Sabe-se que, de início, a urna contém bolas numeradas 
de 1 a 100, e que o jogo se encerra com o pagamento 
de um prêmio quando o apostador retirar a primeira 
bola contendo um número múltiplo de 7.
 Nas condições do jogo, o valor máximo, em R$, des-
pendido pelo apostador até obter o prêmio é:
a) 32,20.
b) 187,20.
c) 598,60.
d) 815,10.
X e) 835,20. 
Primeiramente, precisamos obter a quantidade de múlti-
plos de 7 compreendidos entre 1 e 100:
7 é o primeiro múltiplo de 7; 
Dividindo 100 por 7, obtemos 14 e restam 2. Isso significa que: 
100 = 14 ∙ 7 + 2 não é múltiplo de 7; 
O último múltiplo de 7 menor do que 100 é 100 – 2 = 98.
Os múltiplos de 7 entre 1 e 100 formam uma PA de razão 7 
cujo 1º. termo é 7 e o último termo é 98. 
a n = a1 + (n – 1) · r
98 = 7 + (n – 1) · 7
98 = 7 + 7n – 7
98 = 7n ⇒ n = 14 
Existem 14 múltiplos de 7 entre 1 e 100.
Portanto, até conseguir ganhar o prêmio, o jogador pode 
retirar até 100 – 13 = 87 (já que pela primeira bola que 
satisfaz a condição o jogador também pagará).
a 1 = 1, r = 0,20 e n = 87:
a 87 = 1 + (87 – 1) · 0,2
a 87 = 1 + 86 · 0,2 ⇒ a 87 = 18,2
S
a a
S87
1 87
87
87
2
1 18 2 43 5 835 2=
+( )⋅
= +( )⋅ ⇒ =, , ,
O valor máximo despendido pelo apostador até obter o prê-
mio é R$ 835,20.
12 Volume 2
39. (UNIFOR – CE) As distâncias que 6 trabalhadores per-
correm diariamente para ir de suas casas à fábrica onde 
trabalham são numericamente iguais aos termos de uma 
progressão aritmética. Se a casa mais próxima da fábrica 
fica a 1 km dela e a mais distante, a 8,5 km, a soma das 
distâncias que os seis percorrem diariamente para ir de 
suas casas até a fábrica, em quilômetros, é igual a:
a) 20
b) 22,5
c) 25
X d) 28,5 
e) 30
a1 = 1; a n = 8,5 e n = 6
S
a a n
S S
n
n= + ⋅
= + ⋅ = ⋅ ⇒ =
( )
( , ) ,
,
1
6 6
2
1 8 5 6
2
9 5 6
2
28 5
40. (UFRR) Os índios da aldeia Raposa Serra do Sol fizeram 
colares de contas coloridas para vender. Num período 
de 8 dias, fizeram 192 colares, sendo que em cada dia 
fizeram 4 colares a mais que no dia anterior. O número 
de colares fabricados no último dia foi:
a) 24
b) 30
c) 36
X d) 38
e) 46
Sn = 192, r = 4 e n = 8
S
a a n
a a
a a I
n
n= + ⋅
=
+ ⋅
+ =
( )
( )
( )
1
1 8
1 8
2
192
8
2
48
a n = a1 + (n – 1) · r
a 8 = a1 + (8 – 1) · 4
a 8 = a1 + 28 (II)
Substituindo (II) em (I):
a1 + a 1 + 28 = 48
2a 1 = 48 – 28 ⇒ a1 = 10
Substituindo o valor de a1 em (II):
a 8 = 10 + 28 ⇒ a 8 = 38
41. (UEM – PR) Em relação à sequência infinita de núme-
ros inteiros, cujo n-ésimo termo é obtido pela fórmula 
a nn = +3 6, para todo inteiro positivo n, assinale o 
que for correto.
X (01) Essa sequência é uma progressão aritmética de 
razão 3.
X (02) Todos os termos dessa sequência são múltiplos de 3.
X (04) a 4 18= . 
(08) Para todo inteiro positivo n, o termo a n divide o 
termo a n+3 . 
X (16) Para todo inteiro n > 2, vale a seguinte igualdade 
a a a a
n n
n n1 2 1
23 15
2
+ + + + = +− .
Somatório: 23 (01 + 02 + 04 + 16).
(01) Correto.
a
a
a
1
2
3
3 1 6 9
3 2 6 12
3 3 6 15
= ⋅ + =
= ⋅ + =
= ⋅ + =
 
A sequência é uma PA de razão 3.
(02) Correto.
a n
a n
n
n
= +
= ⋅ +
3 6
3 2( )
 
Como n é um número inteiro positivo, an é múltiplo 
de 3. 
(04) Correto.
a n
a
a
n = +
= ⋅ +
=
3 6
3 4 6
18
4
4
(08) Incorreto.
a
a
n
n
n
n
n
n n n
n
n
+ = ⋅ + +
+
= + +
+
=
= +
+
+
+
= +
+
3 3 3 6
3 6
3 9 6
3 6
3 6
3 6
9
3 6
1
3
2
( )
 
Assim, o termo an divide o termo an+3 apenas se 
n = 1. 
(16) Correto.
S a a a a
S
a a
n
S
n
n
S
n
n n n
n
n
n
n
= + + + +
=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
= + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
=
−1 2 1
1
2
9 3 6
2
3 22 15
2
+ n
Matemática 13
42. (MACKENZIE – SP) A caixa-d’água reserva de um edifício, que tem capacidade para 25 000 litros, contém, em um 
determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia 
seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O número 
de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é:
X a) 11 b) 13 c) 14 d) 12 e) 10
Faltam, para encher a caixa-d’água, 25 000 – 9 600 = 15 400 litros.
Então: a 1 = 400, r = 200, S n = 15 400.
S
a a n
a n
a n I
n
n
n
n
=
+( )⋅
=
+( )⋅
= +( )⋅
1
2
15400
400
2
30800 400 ( )
a n = a 1 + (n – 1) · r
an = 400 + (n – 1) · 200
a n = 400 + 200n – 200
a n = 200 + 200n (II)
Substituindo (II) em (I):
30 800 = (400 + 200 + 200n) · n
30 800 = 600n + 200n2
n n
a b c
b a c
2
2
2
3 154 0
1 3 154
4
3 4 1 154
9 616
+ − =
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −( )
= + =
; ;
Δ
Δ
Δ 6625
 
n
b
a
n
n
n
= − ±
⋅
= − ±
⋅
= − + = =
= − − = − = −
Δ
2
3 625
2 1
3 25
2
22
2
11
3 25
2
28
2
14
1
2
Como n não pode ser um número negativo por representar a quantidade de dias, serão necessários 11 dias.
43. (UNICAMP – SP) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão 
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. X c) 1,5 m2. d) 3,5 m2.
Sejam x r− , x e x r+ as medidas, em metros, dos lados do 
triângulo retângulo, em que r > 0. Assim:
x r x x r
x x
− + + + =
= ⇒ =
6
3 6 2
 
Teorema de Pitágoras:
( ) ( )x r x r x
x xr r x xr r x
x xr x r
+ = − +
+ + = − + +
= ⇒ =
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
4 4
 
Assim, 2 4
1
2
= ⇒ =r r
Os lados do triângulo medem 2
1
2
3
2
− = , 2 e 2 1
2
5
2
+ = . 
Área do triângulo:
A m=
⋅
= =
2
3
2
2
3
2
15 2, 
14 Volume 2
44. (UDESC) Um professor de matemática, após corrigir 
uma prova aplicada em uma turma de 30 alunos, per-
cebeu as seguintes peculiaridades em relação às notas 
atribuídas:
– cada aluno obteve uma nota diferente;
– a maior nota alcançada foi 9,2;
– ordenando as notas em uma escala crescente, a di-
ferença entre quaisquer duas notas consecutivas foi 
0,3.
 Com base nessas informações, pode-se afirmar que o 
número de alunos desta turma que não alcançou, nesta 
prova, nota igual ou superior a 6,0 é igual a:
a) 9
b) 11
X c) 19
d) 21
e) 12
As notas formam uma progressão aritmética de ra-
zão 0,3.
a x
a
a a r
x
x
1
30
30 1
9 2
29
9 2 29 0 3
0 5
=
=
= +
= + ⋅
=
,
, ,
,
 
Calculamos o maior valor de n tal que an < 6 0, .
a a n r
a n
a n
a
n
n
n
n
n
= + − ⋅
= + − ⋅
= ⋅ +
<
⋅ + <
1 1
0 5 1 0 3
0 3 0 2
6 0
03 0 2 6
( )
, ( ) ,
, ,
,
, , ,,
, , ,
0
0 3 5 8 19 333⋅ < ⇒ <n n
 
Portanto, 19 alunos não alcançaram nota igual ou 
superior a 6,0.
45. (UEPG – PR) Considerando que as medidas dos ân-
gulos internos de um hexágono convexo formam uma 
progressão aritmética de razão 20°, assinale o que for 
correto. 
X (01) O menor ângulo interno desse hexágono mede 70°.
X (02) Um dos ângulos internos é reto. 
X (04) O menor ângulo externo desse hexágono mede 10°.
X (08) O maior ângulo externo desse hexágono mede 
110°.
X (16) O maior ângulo interno desse hexágono mede 
170°.
Somatório: 31 (01 + 02 + 04 +08 + 16).
A soma das medidas dos ângulos internos de um polí-
gono convexo de n lados é dada por S n n( ) ( )= °⋅ −180 2 . 
Assim:
S
S
( ) ( )
( )
6 180 6 2
6 720
= °⋅ −
= °
Como as medidas dos ângulos internos formam uma 
PA de razão 20°, temos:
x x x x x
x
x
+ + ° + + ° + + ° + + ° +
+ + ° = °
+ ° =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
20 40 60 80
100 720
6 300 7200
70
°
= °x
 
Portanto, as medidas dos ângulos internos são 70°, 
90° (ângulo reto), 110°, 130°, 150° e 170°. Os cor-
respondentes ângulos externos medem 110°, 90°, 70°, 
50°, 30° e 10°. 
46. (FATEC – SP) Uma pessoa financiou a compra de uma 
casa pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), em 
que as prestações são decrescentes. A primeira pres-
tação é de R$ 600,00; a segunda é de R$ 597,00; a 
terceira é de R$ 594,00; a quarta é de R$ 591,00; e 
as demais obedecerão ao mesmo critério de cálculo.
 Nessas condições, o valor da 100ª. parcela será, em 
reais,
a) 297,00.
b) 300,00.
X c) 303,00.
d) 306,00.
e) 309,00.
Os valores das parcelas formam uma PA.
r
a a r
a
a
a
= − = −
= +
= + ⋅ −
= −
=
597 600 3
99
600 99 3
600 297
30
100 1
100
100
100
( )
33
 
O valor da 100ª. parcela será de R$ 303,00.
Matemática 15
47. (UERN) Fábio escolheu 10 números dentre 1 a 100 e 
percebeu que 8 deles formavam uma progressão arit-
mética de razão r. Além disso, verificou que o menor 
número escolhido é igual à razão r, e o maior é igual à 
soma do primeiro com o último termo da progressão. 
Sabe-se que a soma dos termos dessa PA é 316 e a 
diferença entre o primeiro e o último termo é igual a 
r2. Sendo P o primeiro termo da progressão, é correto 
afirmar que
a) P ≤ 9.
X b) 9 18< ≤P .
c) 18 27< ≤P .
d) 27 45< ≤P .
Sendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, j os 10 números escolhidos, 
em ordem crescente, temos:
a r
j a a
S
a a r
=
= +
=
− =
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
1 8
8
8 1
2
316
 
Da última equação, temos:
a a r
r r
r r r ou r
8 1
2
2
2
7
7 0 0 7
− =
=
− = ⇒ = =
Como a PA é crescente, r = 7.
S
a a
a a r
a a
8
1 8
1 1
1 1
316
2
8 316
7 79
2 7 7 79 15
=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ =
+ + =
+ ⋅ = ⇒ =
 
Portanto, P = 15, ou seja, 9 18< ≤P .
48. (UFG – GO) Pretende-se levar água de uma represa 
até um reservatório no topo de um morro próximo. A 
potência do motor que fará o bombeamento da água é 
determinada com base na diferença entre as alturas do 
reservatório e da represa.
 Para determinar essa diferença, utilizou-se uma man-
gueira de nível, ou seja, uma mangueira transparen-
te, cheia de água e com as extremidades abertas, de 
maneira a manter o mesmo nível da água nas duas 
extremidades, permitindo medir a diferença de altura 
entre dois pontos do terreno. Esta medição fica restrita 
ao comprimento da mangueira, mas, repetindo o pro-
cedimento sucessivas vezes e somando os desníveis 
de cada etapa, é possível obter a diferença de altura 
entre dois pontos quaisquer.
 No presente caso, realizaram-se 50 medições sucessi-
vas, desde a represa até o reservatório, obtendo-se uma 
sequência de valores para as diferenças de altura entre 
cada ponto e o ponto seguinte, h h h h1 2 3 50, , , , , que 
formam uma progressão aritmética, sendo h m1 0 70= , , 
h m2 0 75= , , h m3 0 80= , , e assim sucessivamente. 
Com base no exposto, calcule a altura do reservatório 
em relação à represa.
A altura do reservatório corresponde à soma dos 50 termos 
da progressão aritmética.
r
a
a a r
a
a
S
= − =
=
= +
= + ⋅
=
0 75 0 70 0 05
0 70
49
0 70 49 0 05
3 15
1
50 1
50
50
, , ,
,
, ,
,
550
1 50
50
50
2
50
0 70 3 15
2
50
96 25
=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
=
a a
S
S
, ,
,
 
A altura do reservatório é de 96,25 metros.
49. (UFMG) Dentro dos bloquinhos que formam uma pi-
râmide foram escritos os números naturais, conforme 
ilustrado na figura abaixo, de forma que:
• na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1;
• na segunda linha da pirâmide aparecem dois nú-
meros: 2 e 3;
• na terceira linha da pirâmide aparecem três núme-
ros: 4, 5 e 6;
• na quarta linha da pirâmide aparecem quatro núme-
ros: 7, 8, 9 e 10, e assim sucessivamente.
16 Volume 2
 Considerando essas informações,
1. DETERMINE quantos bloquinhos são necessários 
para construir as 10 primeiras linhas da pirâmide. 
2. DETERMINE o último número escrito na trigésima 
linha da pirâmide.
3. DETERMINE a soma de todos os números escritos 
na trigésima linha da pirâmide.
1. A quantidade de bloquinhos necessários para construir as 
10 primeiras linhas da pirâmide é o resultado da soma dos 
10 primeiros números inteiros positivos.
S
S
S
= + + + +
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
=
1 2 3 10
1 10
2
10
55
 
2. A quantidade de bloquinhos utilizados nas 30 primeiras 
linhas é o resultado da soma dos 30 primeiros números 
inteiros positivos.
S
S
S
= + + + +
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
=
1 2 3 30
1 30
2
30
465
O último número escrito em uma linha n qualquer coincide 
com a quantidade de bloquinhos utilizados para construir 
as n primeiras linhas.
3. Como o último número escrito na trigésima linha é 465, o 
primeiro número escrito nessa linha é 465 29 436− = . A 
soma de todos os 30 números escritos na trigésima linha é:
S
S
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
=
436 465
2
30
13 515
50. (IFGO) Os pitagóricos, uma comunidade liderada por 
Pitágoras (sec. III a. C.), dedicaram-se a diversas áreas 
do conhecimento. Aqui, apresentamos a tentativa de 
construir uma aritmética geométrica, com os chama-
dos números poligonais. Considere a sequência de nú-
meros pentagonais dada abaixo:
 O 55º número pentagonal é:
X a) 4510
b) 4515
c) 4520
d) 4525
e) 4530
Podemos escrever os números pentagonais da seguinte 
maneira:
p
p
p
p
1
2
3
4
1
5 1 4
12 1 4 7
22 1 4 7 10
=
= = +
= = + +
= = + + +
 
Observe que cada número pentagonal de ordem n é a 
soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmé-
tica cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é 3. Assim, o 55.º 
número pentagonal é a soma dos 55 primeiros termos 
dessa PA.
p a
a a r
a
a
p
55 55
55 1
55
55
55
1 4 7
54
1 54 3
163
1 163
2
= + + + +
= +
= + ⋅
=
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅⋅
=
55
4 51055p
Matemática 17
05
Função quadrática
Definição de função quadrática
Toda função f: → é denominada função quadrática 
ou função polinomial do 2º. grau quando puder ser escrita 
na forma f(x) = ax + bx + c2 , com a, b, c ∈ e a 0≠ .
Gráfico da função quadrática
O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola. Para 
construí-lo, atribuímos alguns valores para a variável x e determina-
mos os valores de y em correspondência. 
Uma parábola que representa o gráfico de uma função f : → , 
definida por f x ax bx c( )= + +2 , pode ter a concavidade voltada para 
cima ou para baixo.
Se a > 0 , a concavidade é voltada para cima.
Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.
Exemplo: Gráfico da função f : → , definida por
y f x x x= = − + +( ) 2 2 3.
Essa parábola tem a concavidade voltada para baixo, pois a = –2 < 0.
0 x
y
(–1, 0)
(2, 3)(0, 3)
(3, 0)
(4, –5)(–2, –5)
(1, 4)
Ponto de intersecção com o eixo y
Para o ponto onde a parábola intersecta o eixo y, o valor de x é zero. Por-
tanto, sendo a função f : → , definida por f x ax bx c( )= + +2 , temos:
f x ax bx c
x f a b c
f c
( )
( )
( )
= + +
= ⇒ = ⋅ + ⋅ +
=
2
20 0 0 0
0
O ponto em que o gráfico de uma função quadráticain-
tersecta o eixo y é sempre (0, c). A ordenada desse ponto é o 
coeficiente c da lei de formação f(x)= ax + bx +c2 da função.
Zeros da função quadrática
Em uma função quadrática f(x)= ax + bx +c, a 02 ≠ , de-
nomina-se zero da função um número real x tal que f(x)= 0.
Graficamente, os zeros de uma função quadrática são as 
abscissas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo x.
Para determinar os zeros de uma função quadrática, basta resolver 
a equação do segundo grau correspondente a essa função quando 
y = 0. 
ax + bx +c = 02 x =
b b 4ac
2 a
ou x =
b
2a
2− −
⋅
− Δ± ±
Uma equação do segundo grau pode ter duas raízes reais e distin-
tas, duas raízes reais e iguais ou ainda não ter raízes reais, conforme 
o valor do discriminante Δ = −b ac2 4 seja positivo, nulo ou negati-
vo, respectivamente. Para uma função quadrática f x ax bx c( )= + +2 , 
temos as seguintes possibilidades:
• Se Δ > 0, a função tem dois zeros.
• Se Δ = 0, a função tem um único zero.
• Se Δ < 0, a função não tem zero.
Vértice da parábola
O ponto da parábola em que a função quadrática assume o valor 
mínimo ou máximo é denominado vértice. 
O vértice da parábola que representa a função quadrática definida 
por f x ax bx c( )= + +2 é o ponto V formado pela abscissa (xv) e pela 
ordenada (yv) dados por: 
x
b
2a
e y
4a
V
b
2a
,
4a
v v=
− = −Δ → − −Δ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
Quando a parábola tem a concavidade voltada para cima, as coorde-
nadas do vértice indicam o ponto de mínimo.
Quando a parábola tem a concavidade voltada para baixo, as coor-
denadas do vértice indicam o ponto de máximo.
18 Volume 2
Forma canônica e forma fatorada de uma função quadrática
Além de escrevermos uma função quadrática na forma geral f x ax bx c( )= + +2 , com a≠ 0, existem outras duas maneiras de escrever tal 
função: a forma canônica e a forma fatorada.
 Forma canônica Forma fatorada 
( )⋅ −
↓ ↓
2
V V
ordenadaabscissa
do vérticedo vértice
f(x)= a x x + y
 f(x)= a (x x ) (x x )1 2⋅ − ⋅ −
Por exemplo, para a função f : → , definida por f x x x( )= − +2 12 162 , temos:
Forma canônica Forma fatorada
f x x x
f x x x
( )
( ) ( )
= − +
= ⋅ − +
2 12 16
2 6 8
2
2
Obtemos o quadrado perfeito:
2
2
2
2
2
2
f(x ) 2 (x 6x 8)
2 x 3
f(x ) 2 [(x 3) 9 8]
f( x ) 2 [(x 3) 1]
f( x ) 2 (x 3) 2
Forma canôni
3
c
3
a
= ⋅ − +
⋅ ⋅
= ⋅ − − +
= ⋅ − −
= ⋅ − −
+ −
f x x x( ) = − +2 12 162
Inicialmente, obtemos os zeros da função, caso 
existam.
2 12 16 0
6 8 0 2 4
2
2
x x
x x x ou x
− + =
− + = ⇒ = =
Portanto, temos:
f x x x
Forma fatorada
( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ −2 2 4� ��� ���
Inequações
Sendo f uma função, denomina-se inequação toda desigualdade que pode ser escrita em uma das seguintes formas:
 • f(x) 0> • f(x) 0< • f(x) 0≥ • f(x) 0≤
Resolver uma inequação significa determinar os valores da incógnita para os quais a desigualdade é verificada. Para resolvê-la, podemos 
estudar o sinal da função associada.
Inequações simultâneas
Para determinar o conjunto-solução de um sistema de inequações, encontramos inicialmente a solução de cada inequação e, em seguida, 
fazemos a intersecção dessas soluções.
Inequações produto e quociente
Uma inequação-produto pode ser escrita em uma das seguintes formas:
 • f(x) g(x)> 0⋅ • f(x) g(x)< 0⋅ • f(x) g(x) 0⋅ ≥ • f(x) g(x) 0⋅ ≤
Uma inequação-quociente pode ser escrita em uma das formas a seguir, com g(x) 0≠ :
 • f(x)
g(x)
> 0 • f(x)
g(x)
< 0 • f(x)
g(x)
0≥ • f(x)
g(x)
0≤
Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, é preciso estudar o sinal de cada uma das funções que a compõe e, em 
seguida, estudar o sinal do produto ou do quociente.
19Matemática
Atividades
Definição de função quadrática
1. Considere um retângulo de dimensões x e x + 5, 
com x > 0. Determine:
a) A expressão que relaciona a área A do terreno com 
o valor de x. 
A x x
A x x
= ⋅ +
= +
( )5
52
b) A área do retângulo quando x é igual a 4.
A
A
= + ⋅
= + =
4 5 4
16 20 36
2
c) A área do retângulo quando x é igual a 4,5.
A
A
= + ⋅
= + =
4 5 5 4 5
20 25 22 5 42 75
2, ,
, , ,
d) Determine o valor de x quando a área A for igual a 
150 unidades de área.
x x
x x
a b c
b a c
2
2
2
2
5 150
5 150 0
1 5 150
4
5 4 1 150
+ =
+ − =
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −(
; ;
Δ
Δ ))
= + =Δ 25 600 625
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= − ±
⋅
= − + =
= − − = −
Δ
2
5 625
2 1
5 25
2
10
5 25
2
15
1
2
Como x não pode ser um número negativo por represen-
tar a medida de um dos lados do retângulo, o valor de x 
para que A seja igual a 150 é 10.
2. Dada a função quadrática f x x x( ) = −3 6 92 + + , 
calcule:
a) f(4)
f(4) = –3 · 42 + 6 · 4 + 9
f( )4 3 16 24 9= − ⋅ + +
f(4) = –48 + 24 + 9 = –15
b) f(3)
f(3) = –3 · 3 2 + 6 · 3 + 9
f(3) = –3 · 9 + 18 + 9
f(3) = –27 + 18 + 9 = 0
c) f(–2)
f(–2) = –3 · ( )−2 2 + 6 · (– 2) + 9
f(–2) = –3 · 4 – 12 + 9
f(–2) = –12 – 12 + 9 = –15
d) f(–5)
f(–5) = –3 · ( )−5 2 + 6 · (–5) + 9
f(–5) = –3 · 25 – 30 + 9
f(–5) = –75 – 30 + 9 = –96
e) f 2( ) 
f
f
f
f
f
2 3 2 6 2 9
2 3 2 6 2 9
2 6 6 2 9
2 3 6 2
2
2( ) = − ⋅( ) + ⋅ +
( ) = − ⋅ + +
( ) = − + +
( ) = +
( ) = 33 1 2 2⋅ +( )
20 Volume 2
f) f 3 1−( ) ( )
f
f
f
3 1 3 3 1 6 3 1 9
3 1 3 3 2 3 1 6 3 6 9
3 1
2
−( ) = − ⋅ −( ) + ⋅ −( )+
−( ) = − ⋅ − +( )+ − +
−( ) = −− ⋅ −( )+ +
−( ) = − + + +
−( ) = − +
−( ) = ⋅ − +
3 4 2 3 6 3 3
3 1 12 6 3 6 3 3
3 1 9 12 3
3 1 3 3
f
f
f 44 3( )
g) x para que f(x) = 0
− + + =
− − =
= = − = −
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −(
3 6 9 0
2 3 0
1 2 3
4
2 4 1 3
2
2
2
2
x x
x x
a b c
b a c
; ;
Δ
Δ ))
= + =Δ 4 12 16
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − = −
Δ
2
2 16
2 1
2 4
2
3
2 4
2
1
1
2
h) x para que f(x) = –15
–3x 2 + 6x + 9 = –15
–3x 2 + 6x + 9 + 15 = 0
–3 x 2 + 6x + 24 = 0
x x
a b c
b a c
2
2
2
2 8 0
1 2 8
4
2 4 1 8
4 32 36
− − =
= = − = −
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= + =
; ;
Δ
Δ
Δ
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − = −
Δ
2
2 36
2 1
2 6
2
4
2 6
2
2
1
2
 
3. Determine a função f definida por f(x) = ax2 + bx + c, 
sabendo que f(0) = 7, f(–2) = 27 e f(4) = 15.
Sendo f(x) = ax 2 + bx + c, temos:
f(0) = 7 ⇒ a · 02 + b · 0 + c = 7 ⇒ c = 7
f(–2) = 27 ⇒ a · (–2)2 + b · (–2) + c = 27 ⇒ 
⇒ 4a – 2b + c = 27
f(4) = 15 ⇒ a · 42 + b · 4 + c = 15 ⇒ 16a + 4b + c = 15
4 2 27
16 4 15
7
4 2 7 27
16 4 7 15
4
a b c
a b c
c
a b
a b
a
− + =
+ + =
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⇒
− + =
+ + =
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
−− =
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
2 20
16 4 8
2 10
4 2
b
a b
a b I
a b II
( )
( )
Somando (I) e (II):
6a = 12 ⇒ a = 2
2a – b = 10 ⇒ 2 · 2 – b = 10 ⇒ b = –6
Portanto, a função é f(x) = 2x2 – 6x + 7.
4. Sobre a função p definida por p(x) = ax2 + bx + c, 
sabe-se que p(0) = 6, p(2) = 34 e p(–1) = –3. Deter-
mine:
a) Os valores de a, b e c.
Sendo p(x) = ax2 + bx + c, temos:
p(0) = 6 ⇒ a · 02 + b · 0 + c = 6 ⇒ c = 6
p(2) = 34 ⇒ a · 22 + b · 2 + c = 34 ⇒ 
⇒ 4a + 2b + c = 34
p(–1) = –3 ⇒ a · (–1)2 + b · (–1) + c = –3 ⇒ 
⇒ a – b + c = –3
4 2 34
3
6
4 2 6 34
6 3
4 2 28
a b c
a b c
c
a b
a b
a b
+ + =
− + = −
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⇒
+ + =
− + = −
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
+ =
aa b
a b I
a b II− = −
⎧
⎨
⎩
⇒
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩9
2 14
9
( )
( )
Somando (I) e (II):
3a = 5 ⇒ a = 5
3
2a + b = 14 ⇒ 2 · 5
3
 + b = 14 ⇒ 10
3
 + b = 14 ⇒ 
⇒ b = 32
3
Portanto, a função é p(x) = 
5
3
x2 + 32
3
x + 6
Matemática 21
b) O valor de p (5).
p
p
p
p
( )
( )
( )
( )
5
5
3
5
32
3
5 6
5
5
3
25
160
3
6
5
125
3
160
3
6
5
12
2= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + +
= + +
= 55 160 18
3
5 101
+ +
=p( )
c) O valor de p
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
p
p
p
1
2
5
3
1
2
32
3
1
2
6
1
2
5
3
1
4
16
3
6
1
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ + +
⎛
⎝⎜
⎞⎞
⎠⎟
= + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =
5
12
16
3
6
1
2
5 64 72
12
1
2
141
12
47
4
p
p
d) Para quais valores de x tem-se que p x( ) = 2 ?
p x
x x
x x
x x
a b c
( )
; ;
=
+ + =
+ + =
+ + =
= = =
Δ2
5
3
32
3
6 2
5
3
32
3
4 0
5 32 12 0
5 32 12
2
2
2
== − ⋅ ⋅
Δ = − ⋅ ⋅
Δ = − =
= − ± Δ
⋅
= − ±
⋅b a c
x
b
a
x
x
2
2
4
32 4 5 12
1024 240 784
2
32 784
2 5
11
2
32 28
10
2
5
32 28
10
6
= − + = −
= − − = −x
5. Uma função quadrática é dada por f x ax bx c( ) .= + +2 
Sabendo que em uma função quadrática temos f(0) = 2, 
f(1) = –1 e f(2) = 0, determine o valor de a b c2 3 4– .
f a b c c
f a b a b
f
( )
( )
( )
0 2 2 0 0 2
1 1 1 1 1 2 3
2 0
2
2
= ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ =
= − ⇒ − = ⋅ + ⋅ + ⇒ + = −
= ⇒ 00 2 2 2 4 2 22= ⋅ + ⋅ + ⇒ + = −a b a b
a b I
a b II
+ = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
3
4 2 2
( )
( )
Resolvendo o sistema, temos:
a
b
=
= −
2
5
 
Assim: a b c2 23 4 2 3 5 4 2 4 15 8 27− + = − ⋅ −( )+ ⋅ = + + =
6. Um garoto lançou uma pedra para cima com o seu es-
tilingue e ela percorreu uma trajetória vertical. A altura 
h, em metros, em função do tempo t, em segundos, é 
dada pela expressão h(t) = 8t – t2. Determine:
a) a altura em que a pedra se encontra no instante 
t = 4 s;
h(4) = 8 · 4 – 42
h(4) = 32 – 16 ⇒ h(4) = 16 m
b) os instantes nos quais a pedra está à altura de 12 m;
 8t – t2 = 12
– t2 + 8t – 12 = 0
t t
a b c
b a c
2
2
2
8 12 0
1 8 12
4
8 4 1 12
64 48 16
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= − =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
t
b
a
t
t
t
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − =
Δ
2
8 16
2 1
8 4
2
6
8 4
2
2
1
2
A pedra está a 12 m de altura nos instantes t = 2 s e 
t = 6 s.
22 Volume 2
c) os instantes nos quais a altura é 0 m;
8t – t2 = 0
t · (8 – t) = 0 ⇒ t = 0 s ou t = 8 s
d) quanto tempo a pedra levou para subir e quanto 
tempo gastou para descer.
Como o tempo de trajeto da pedra é de 8 segundos e o 
tempo de subida é igual ao de descida, a pedra leva 4
segundos para subir e 4 segundos para descer. 
7. Determine o valor de t para que na função 
 g(x) = x2 + (t – 5)x + 8 – t se tenha g(4) = –3. 
g(x) = x2 + (t – 5)x + 8 – t
g(4) = –3
 42 + (t – 5) · 4 + 8 – t = –3
 16 + 4t – 20 + 8 – t = –3
 3t = –7 ⇒ t = − 7
3
8. (UNIFOR – CE) Os ambientalistas estimam que em uma 
cidade a concentração média diária de monóxido de car-
bono no ar será c p p( ) ,= +0 5 1 partes por milhão quan-
do a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um 
estudo demográfico indica que a população da cidade 
dentro de t anos será p t t( ) ,= +10 0 1 2 mil habitantes.
 Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de 
carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão?
a) 1 ano
b) 2 anos
c) 3 anos
X d) 4 anos
e) 5 anos
c p p
p
p
p
p t t
( ) ,
, ,
, ,
,
( ) ,
, ,
= +
= +
=
=
= +
= +
0 5 1
6 8 0 5 1
0 5 5 8
116
10 0 1
116 10 0
2
11
0 1 16
16
4
2
2
2
t
t
t
t
, ,=
=
=
9. (UNEB – BA) Uma espécie animal, cuja família inicial 
era de 200 indivíduos, foi testada num laboratório sob a 
ação de certa droga e constatou-se que a lei de sobre-
vivência de tal família obedecia à relação n t q pt( ) = + 2 , 
na qual n(t) é igual ao número de indivíduos vivos no 
tempo t, dado em horas desde o início do experimento, 
p e q parâmetros que dependiam da droga ministrada.
 Nessas condições, sabendo-se que a família foi com-
pletamente dizimada em 10 horas, pode-se afirmar 
que o número de indivíduos dessa família que morre-
ram na 6ª hora do experimento foi igual a
X 01) 22
02) 34
03) 46
04) 50
05) 72
n t q pt
n q
n
p p
( )
( )
( )
= +
= ⇒ =
=
+ ⋅ = ⇒ = −
2
2
0 200 200
10 0
200 10 0 2
Assim:
n t t( ) = −200 2 2 
O número de indivíduos que morreram na sexta hora é 
dada por n n( ) ( )5 6− .
n
n
n n
n n
( )
( )
( ) ( )
( ) (
5 200 2 5 150
6 200 2 6 128
5 6 150 128
5
2
2
= − ⋅ =
= − ⋅ =
− = −
− 66 22) =
 
10. (UNISA – SP) O número total de pessoas infectadas por 
um novo tipo de vírus no intervalo de tempo de zero a 10 
semanas é dado pela função f t t t( ) = − + +2 40 152 , na 
qual t = 0 é a semana em que foram registrados os 
primeiros 15 casos e t = 10 a semana em que estavam 
infectadas o maior número de pessoas. Na semana de 
t = 10, um medicamento para combater o vírus come-
çou a ser ministrado e o número de pessoas infecta-
das começou a diminuir em 25 casos por semana, até 
a erradicação completa do vírus. A aplicação do medica-
mento também evitou que novos casos de contaminação 
surgissem após a décima semana. A semana em que o 
número total de pessoas infectadas volta a ser 15 foi a
a) 19.
b) 21.
c) 20.
X d) 18.
e) 22.
) d) 8
f t t t
f
f
f
( )
( )
( )
(
= − + +
= − ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ + +
2 40 15
10 2 10 40 10 15
10 2 100 400 15
2
2
110 215) =
Na semana 10, estavam infectadas 215 pessoas. A partir 
de então o número de casos começou a diminuir em 25 
por semana. 
215 25 15
25 200
8
− ⋅ =
=
=
t
t
t
 
Assim, na semana 18 (10 + 8), o número total de pessoas 
infectadas voltou a ser 15.
Matemática 23
Gráfico da função quadrática
11. Determine o valor de k para que a parábola que repre-
senta o gráfico de f(x) = 2x2 – (k + 3)x – 8 passe pelo 
ponto (2, 4).
f(x) = 2x2 – (k + 3)x – 8 
f(2) = 4
2 · 22 – (k + 3) · 2 – 8 = 4
2 · 4 – 2k – 6 – 8 = 4
–2k = 10 ⇒ k = –5
12. Com relação à função f: → definida por 
 f(x) = x2 – 9x + 20, escreva V ou F para cada item a 
seguir.
a) ( V ) A concavidade da parábola que representa gra-
ficamente a função é voltada para cima.
b) ( F ) O ponto (2, 42) pertence ao gráfico da função.
c) ( V ) Os zeros da função são 5 e 4.
d) ( F ) Os valores de x tais que f(x) = 6 são –7 e –2.
a) A concavidade é voltada para cima, pois a > 0.
b) f(2) = 22 – 9 · 2 + 20 = 4 – 18 + 20 = 6
c) 
x x
a b c
b a c
2
2
2
9 20 0
1 9 20
4
9 4 1 20
81 80 1
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= − =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − =
Δ
2
9 1
2 1
9 1
2
5
9 1
2
4
1
2
d)
x x
x x
a b c
b a c
2
2
2
2
9 20 6
9 14 0
1 9 14
4
9 4 1 14
− + =
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
; ;
Δ
Δ
Δ == − =81 56 25
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + = =
= − = =
Δ
2
9 25
2 1
9 5
2
14
2
7
9 5
2
4
2
2
1
2
13. Escreva V ou F considerando a função f: → defi-
nida por f(x) = (m + 8)x2 – 4x – 5.
a) ( V ) se m < –8, a parábola que representa grafica-
mente a função tem concavidade voltada para baixo.
b) ( V ) se m = –8, f(x) não é quadrática.
c) ( V ) quando m = –3, o valor de f(2) é 7.
d) ( F ) quando m = 1, o valor de f(1) é 18.
e) ( F ) quando m = –7, os zeros da função são –5 e 1.
a) a < 0 ⇒ m + 8 < 0 ⇒ m < –8
b) Quando m = –8, o valor de a é zero e a função é afim.
c) Se m = –3, f(x) = 5x2 – 4x – 5
 f(2) = 5 · 22 – 4 · 2 – 5 = 5 · 4 – 8 – 5 = 20 – 8 – 5 = 7
d) Se m = 1, f(x) = 9x2 – 4x – 5
 f(1) = 9 · 12 – 4 · 1 – 5 = 9 – 4 – 5 = 0
e) Se m = –7, f(x) = x2 – 4x – 5
x x
a b c
b a c
2
2
2
4 5 0
1 4 5
4
4 4 1 5
16 20 36
− − =
= = − = −
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= + =
; ;
Δ
Δ
Δ
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − = −
Δ
2
4 36
2 1
4 6
2
5
4 6
2
1
1
2
24 Volume 2
14. Escreva a lei de formação de cada uma das funções 
quadráticas, cujas representações gráficas são dadas 
a seguir:
a) 
yf
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
0
6
5
4
3
1
1 2 3 x
2
Sendo f(x) = ax2 + bx + c, temos:
f(0) = 3 ⇒ a · 02 + b · 0 + c = 3 ⇒ c = 3
f(–3) = 0 ⇒ a · (–3)2 + b · (–3) + c = 0 ⇒ 9a – 3b + c = 0
f(–1) = 0 ⇒ a · (–1)2 + b · (–1) + c = 0 ⇒ a – b + c = 0
9 3 0
0
3
9 3 3 0
3 0
9 3 3
a b c
a b c
c
a b
a b
a b
a b
− + =
− + =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
− + =
− + =
⎧
⎨
⎩
⇒
− = −
− = −33
3 1
3
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
− = −
− + =
⎧
⎨
⎩
a b I
a b II
( )
( )
Resolvendo o sistema, temos:
a
b
=
=
1
4
 
Portanto, a função é f(x) = x2 + 4x + 3.
b) 
y
–1
–2
–3
–4
4
3
B
A
1
10 2 3 4 5 x
2
–4 –3 –2 –1
Sendo f(x) = ax2 + bx + c, temos:
f(0) = 2 ⇒ a · 02 + b · 0 + c = 2 ⇒ c = 2
f(–2) = 2 ⇒ a · (–2)2 + b · (– 2) + c = 2 ⇒ 4a – 2b + c = 2
f(1) = –1 ⇒ a · 12 + b · 1 + c = –1 ⇒ a + b + c = –1
4 2 2
1
2
4 2 2 2
2 1
4 2 0
a b c
a b c
c
a b
a b
a ba b
− + =
+ + = −
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
− + =
+ + = −
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
− =
+ == −
⎧
⎨
⎩
⇒
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩3
2 0
3
a b I
a b II
( )
( )
Resolvendo o sistema, temos:
a
b
= −
= −
1
2
Portanto, a função é f(x) = –x2 – 2x + 2.
Matemática 25
15. Para as funções quadráticas apresentadas a seguir, 
determine os zeros, o conjunto-imagem e o vértice da 
parábola correspondente.
a) f(x) = x2 – 2x – 3
Zeros:
x x
a b c
b a c
2
2
2
2 3 0
1 2 3
4
2 4 1 3
4 12 16
− − =
= = − = −
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= + =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − = −
Δ
2
2 16
2 1
2 4
2
3
2 4
2
1
1
2
Vértice da parábola:
x v
b
a
y v a
= −
⋅
=
⋅
= = −
⋅
= −
⋅
= −
2
2
2 1
1
4
16
4 1
4
Δ
Conjunto-imagem: Im = {y ∈ | y ≥ –4}
b) g(x) = –4x2 + 8x
Zeros:
− + =
⋅ − + =
=
− + =
=
4 8 0
4 8 0
0
4 8 0
2
2x x
x x
x
ou
x
x
( )
Vértice da parábola:
Δ = − ⋅ ⋅
Δ = − ⋅ − ⋅ =
= −
⋅
= −
⋅ −( ) = =
−
⋅
= −
b a c
x
b
a
y
a
v v
2
2
4
8 4 4 0 64
2
8
2 4
1
4
64
4
( )
Δ
⋅⋅ −( ) =4 4
Conjunto-imagem: Im = {y ∈ | y ≤ 4}
c) h(x) = 2x2 – 2x + 1
Zeros:
2 2 1 0
2 2 1
4
2 4 2 1
4 8 4
2
2
2
x x
a b c
b a c
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= − = −
; ;
Δ
Δ
Δ
A função h não tem zero.
Vértice da parábola:
x
b
a
y
a
v v=
−
⋅
=
⋅
= = −
⋅
=
⋅
=
2
2
2 2
1
2 4
4
4 2
1
2
Δ
Conjunto-imagem: Im |= ∈ ≥⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
y y
1
2
d) y = x2 – 2x + 1
Zeros:
x x
a b c
b a c
2
2
2
2 1 0
1 2 1
4
2 4 1 1
4 4 0
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= − =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − =
Δ
2
2 0
2 1
2 0
2
1
2 0
2
1
1
2
Vértice da parábola:
x
b
a
y
a
v v=
−
⋅
=
⋅
= = −
⋅
=
⋅
=
2
2
2 1
1
4
0
4 1
0
Δ
Conjunto-imagem: Im = {y ∈ | y ≥ 0}
26 Volume 2
e) y = –x2 – 9
Zeros:
− − =
= −
∉
x
x
x
2
2
9 0
9
Vértice da parábola:
Δ = − ⋅ ⋅
Δ = − ⋅ − ⋅ − = −
= −
⋅
=
⋅ −( ) = =
−
⋅
=
b a c
x
b
a
y
a
v v
2
2
4
0 4 1 9 36
2
0
2 1
0
4
3
( ) ( )
Δ 66
4 1
9
⋅ −( ) = −
Conjunto-imagem: Im = {y ∈ | y ≤ –9}
16. Considerando a função f: → definida por 
 f(x) = –3x2 – 18x + 2, determine:
a) o valor de x para que f(x) seja máximo.
x
b
a
v =
−
⋅
=
⋅ −( ) = −2
18
2 3
3
b) O valor máximo de f(x).
Δ
Δ
Δ
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ −( )⋅
= + =
b a c2
2
4
18 4 3 2
324 24 348
y
a
v =
−
⋅
= −
⋅ −( ) =
Δ
4
348
4 3
29
A ordenada do vértice da parábola também pode ser obti-
da apenas substituindo o valor de xv na função.
f(–3) = –3 · (–3)2 – 18 · (–3) + 2 = –27 + 54 + 2 = 29
17. Determine o valor de m para que x = 5 torne máximo o 
valor da função f: → definida por 
 f(x) = (m – 3)x2 + mx + (7 – m).
x
b
a
m
m
m
m
m m m
v =
−
⋅
⇒ = −
⋅ −( ) ⇒ =
−
−
⇒
⇒ − = − ⇒ =
2
5
2 3
5
2 6
10 30
30
11
18. Obtenha os valores de p e q para os quais a função 
g: → definida por g(x) = x2 + (2p – 6)x + (7q + 3) 
tem o ponto (3, 8) como seu ponto de mínimo.
x
b
a
p
p pv =
−
⋅
⇒ =
− −( )
⋅
⇒ − + = ⇒ =
2
3
2 6
2 1
2 6 6 0
Δ
Δ
Δ
Δ
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ +( )
= −( ) − −
= − − =
b a c
p q
q
q
2
2
2
4
2 6 4 1 7 3
0 6 28 12
36 28 12 244 28− q
y
a
q
q
q q
v =
−
⋅
⇒ =
− −( )
⋅
⇒ − + = ⇒
⇒ = ⇒ =
Δ
4
8
24 28
4 1
24 28 32
28 56 2
É possível encontrar o valor de q substituindo yv, xv e p na 
função.
g(x) = x2 + (2p – 6)x + (7q + 3)
8 = 32 + (2 ∙ 0 – 6)3 + 7q + 3 ⇒ 8 = 9 – 18 +7q + 3 ⇒
⇒ q = 2
19. Sabendo que a função f x x x k( ) = − −3 2 72 + apre-
senta 18 como valor mínimo, determine o valor de k.
y
a
b a c k
k k
v =
−
⋅
= − ⋅ ⋅ = −( ) − ⋅ ⋅ −( ) =
= − + = − +
Δ
Δ
4
4 2 4 3 7
4 12 84 12 88
2 2
Substituindo os valores na expressão:
18
12 88
4 3
18
12 88
12
216 12 88
304 12
76
3
=
− − +( )
⋅
= −
= −
= ⇒ =
k
k
k
k k
Matemática 27
20. Suponha que a trajetória de um míssil é descrita pela 
função f x x x( ) = − +2 90 , em que x representa o tempo 
em segundos (0 ≤ x ≤ 90) e f(x) representa a altura, 
em metros, atingida pelo projétil em cada instante da 
trajetória. Determine:
a) A altura do míssil no instante 3s.
f m( )3 3 90 3 9 270 2612= − + ⋅ = − + =
b) O tempo que o míssil ficou no ar.
f(x) = 0 (ponto em que a altura do míssil é igual a zero).
− + =
⋅ − +( ) =
=
− + = ⇒ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x x
x x
x s
ou
x x s
2 90 0
90 0
0
90 0 90
O míssil ficou no ar durante 90 s.
c) A altura máxima atingida pelo míssil e o instante em 
que isso ocorreu.
Altura máxima: 
Δ
Δ
Δ
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ −( )⋅
=
b a c2
2
4
90 4 1 0
8100
y
a
mv =
−
⋅
=
−
⋅ −( )
=
−
−
=
Δ
4
8100
4 1
8100
4
2025
Momento em que aconteceu a altura máxima: 
x
b
a
sv =
−
⋅
= −
⋅ −
=
2
90
2 1
45
( )
21. Dada a função f x x x( ) = + −2 2 8, analise as afirma-
ções a seguir:
 I. Os zeros de f(x) são –4 e 2. V
 II. As coordenadas do vértice do gráfico de f(x) são 
V (–1, 9). F
 III. O valor de f(5) é 27. V
Está(ão) correta(s) somente:
a) I e II.
X b) I e III. 
c) I.
d) II e III.
e) III.
I. Correta.
x x
a b c
b a c
2
2
2
2 8 0
1 2 8
4
2 4 1 8
4 32 36
+ − =
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −( )
= + =
; ;
Δ
Δ
Δ
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= − ±
⋅
= − + =
= − − = −
Δ
2
2 36
2 1
2 6
2
2
2 6
2
4
1
2
II. Incorreta.
x
b
a
y
a
v v=
−
⋅
= −
⋅
= − = −
⋅
= −
⋅
= −
2
2
2 1
1
4
36
4 1
9
Δ
III. Correta.
f( )5 5 2 5 8 25 10 8 272= + ⋅ − = + − =
22. Uma fábrica de autopeças tem sua produção P diária 
de peças expressa pela função P t t t( ) = +2 8 , em que 
t indica a quantidade de horas passadas após o início 
do dia de trabalho. Sabendo que a fábrica inicia o ex-
pediente às 8 horas, determine a quantidade de peças 
produzidas entre 9 e 11 horas.
Às 9 horas já havia passado 1 hora do início do expediente, 
portanto calculamos P(1):
P( )1 1 8 1 92= + ⋅ =
Às 11 horas já havia passado 3 horas do início do expediente, 
portanto calculamos P(3):
P( )3 3 8 3 332= + =⋅
Assim, o número de peças produzidas entre 9 e 11 horas será 
dado por P(3) – P(1):
33 – 9 = 24 peças produzidas. 
28 Volume 2
23. (UFLA – MG) Considere a situação: um canhão de irri-
gação está localizado no ponto (0, 0) de um sistema de 
eixos cartesianos. O canhão lança água formando uma 
chuva que, em sua superfície mais alta, segue uma tra-
jetória parabólica dada pela função f x x x( ) ,= − +2 10
em que a unidade considerada é o metro. O canhão 
também realiza um movimento de rotação em torno do 
eixo y. A área irrigada é de
y
x
a) 100π2 m2 
b) 50π m2 
c) 10 2 m2
d) 100 2 m2
X e) 100π m2
–x2 + 10x = 0
x · (–x + 10) = 0
x = 0 ou x = 10
Considerando que o canhão gira em torno do eixo ver-
tical, a área regada corresponde a um círculo de raio 
10 metros.
Acírculo = π · r
2 = π · 102 = 100π m2
24. (VUNESP – SP) O gráfico representa uma função f que 
descreve, aproximadamente, o movimento (em função 
do tempo t em segundos) por um certo período, de um 
golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das 
abscissas coincidente com a superfície da água. 
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é 
constituída por segmentos de retas, determine a 
expressão matemática de f nos instantes anteriores 
à saída do golfinho da água. Em que instante o gol-
finho saiu da água?
Sendo f(t) = at + b, temos:
f(0) = –4 ⇒ a · 0 + b = –4 ⇒ b = –4 (I)
f(1) = –2 ⇒ a · 1 + b = –2 ⇒ a + b = –2 (II)
Substituindo (I) em (II):
a – 4 = –2 ⇒ a = 2
Portanto, a função é f(t) = 2t – 4.
O instante em que o golfinho sai da água é dado quando 
f(t) = 0.
2t – 4 = 0 ⇒ 2t = 4 ⇒ t = 2 segundos
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte 
de uma parábola, dada por f t t t( ) = − + −3
4
6 92 . 
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da 
água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.
Tempo que o golfinho ficou fora da água: 
− + − =
= − = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ −
3
4
6 9 0
3
4
6 9
4
6 4
3
4
9
2
2
2
t t
a b c
b a c
; ;
( )
Δ
Δ
Δ == − =36 27 9
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= − ±
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − +
−
= −
−
=
= − −
−=
Δ
2
6 9
2
3
4
6 3
15
3
15
2
6 3
15
1
2
, ,
,
−−
−
=9
15
6
,
O golfinho permaneceu fora da água durante: 6 – 2 = 4 
segundos.
Calcula-se yv para determinar a altura máxima atingida 
pelo golfinho:
y
a
v =
−
⋅
= −
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
−
=Δ
4
9
4
3
4
9
3
3
A altura máxima atingida pelo golfinho foi 3 m. 
Matemática 29
25. (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus 
para participar de um encontro nacional. Ao fazerem 
uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de 
uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de 
cada passagem depende do total de passageiros: cada 
passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 
por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sa-
bendo que o ônibus tem 52 lugares, é correto afirmar:
(01) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pa-
gará R$ 110,00.
X (02) Se o total de passageiros for x, o preço (em reais) 
de cada passagem será calculado pela expressão 
90 + 5(52 – x).
X (04) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá rece-
ber um total de R$ 6.000,00, referente ao paga-
mento das passagens.
(08) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que 
a empresa deverá receber, referente ao paga-
mento das passagens, é calculado pela expres-
são 300x – 5x2.
X (16) O valor total máximo que a empresa poderá re-
ceber pelo pagamento das passagens ocorrerá 
quando o total de passageiros for igual a 35.
Somatório: 22 (02 + 04 + 16).
(01) Incorreto.
Se viajarem 30 passageiros, 22 lugares ficarão 
vagos. Portanto, cada um dos passageiros pagará 
90 + 5 · 22 = 200 reais. 
(02) Correto.
52
52
lugares
x ocupados
x vagos−
⎧
⎨
⎩
 
O preço (em reais) de cada passagem é dado por 
90 + 5 · (52 – x).
(04) Correto.
Se viajarem 40 pessoas, cada uma delas pagará 
90 + 5 · (52 – 40) = 150 reais. Portanto, a empresa 
deverá receber um total de 40 · 150 = 6 000 reais.
(08) Incorreto.
Se viajarem x pessoas, o valor (em reais) que a 
empresa deverá receber é dado por
x · [(90 + 5 · (52 – x)] = x · (350 – 5x) = 350x – 5x2.
(16) Correto.
O valor máximo que a empresa poderá receber 
corresponde à ordenada do vértice da parábola 
que representa a função y = 350x – 5x2. Esse valor 
máximo ocorre quando o número de passageiros 
for igual a x
b
a
= −
2
 (abscissa do vértice). Portanto:
x
b
a
= − = −
⋅ −
=
2
350
2 5
35
( )
26. (FURG – RS) Um jogador de futebol se encontra a uma 
distância de 20 m da trave do gol adversário, quando 
chuta uma bola que vai bater exatamente sobre essa 
trave, a uma altura de 2 m. Se a equação da trajetória 
da bola em relação ao sistema de coordenadas indi-
cado na figura é y = ax2 + (1 – 2a)x, a altura máxima 
atingida pela bola é: 
a) 6,00 m
b) 6,01 m
X c) 6,05 m 
d) 6,10 m
e) 6,50 m
2 = a · 202 + (1 – 2a) · 20
2 = 400a + 20 – 40a
360a = –18
a a= − ⇒ = −18
360
1
20
Substituindo o valor de a na função:
y = ax² + (1 – 2a)x
y x x
y x x
y x
= − + − ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
1
20
1 2
1
20
1
20
1
1
10
1
20
2
2
22 11
10
+ x
Calculando a altura máxima:
a
b a c
= −
= − ⋅ ⋅
= ⎛
⎝
⎜
⎞
1
20
11
10
4
11
10
2
; ; b = c = 0
Δ
Δ
⎠⎠
⎟ − ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ =
2
4
1
20
0
121
100
y
a
mv =
−
⋅
=
−
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−
−
= ⋅ =Δ
4
121
100
4
1
20
121
100
4
20
121
100
20
4
6 05,
30 Volume 2
27. Faça o estudo dos sinais das funções a seguir:
a) f(x) = x2 + 5x – 6
Zeros:
a b c
b a c
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −( )
= + =
1 5 6
4
5 4 1 6
25 24 49
2
2
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= − ±
⋅
= − + =
= − − = −
Δ
2
5 49
2 1
5 7
2
1
5 7
2
6
1
2
Como a parábola tem concavidade voltada para cima:
f(x) > 0 para x < –6 ou x >1
f(x) = 0 para x = –6 ou x = 1
f(x) < 0 para –6 < x < 1
b) g(x) = –2x2 + 3x + 5
Zeros:
a b c
b a c
= − = =
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ −( )⋅
= + =
2 3 5
4
3 4 2 5
9 40 49
2
2
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
=
− ±
⋅
=
− ±
⋅ −( )
=
− +
−
= −
=
− −
−
=
Δ
2
3 49
2 2
3 7
4
1
3 7
4
5
2
1
2
Como a parábola tem concavidade voltada para baixo:
g(x) > 0 para –1 < x < 
5
2
g(x) = 0 para x = –1 ou x =
5
2
g(x) < 0 para x < –1 ou x > 
5
2
c) h(x) = 4x2 – 8x + 4
Zeros:
4 8 4 0
4 8 4
4
8 4 4 4
64 64 0
2
2
2
x x
a b c
b a c
− + =
= = − =
= − ⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅
= − =
; ;
Δ
Δ
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − =
Δ
2
8 0
2 4
8 0
8
1
8 0
8
1
1
2
Como a parábola tem concavidade voltada para cima:
h(x) > 0 para x ≠ 1
h(x) = 0 para x = 1
d) p(x) = x2 + 4
Zeros:
x
x
2
2
4 0
4
+ =
= −
 
Não existe x real que satisfaça a igualdade, ou seja, a 
função não tem zero.
Como a parábola tem concavidade voltada para cima:
p x( ) > 0 para todo x real
e) q(x) = –2x2 + 6x – 7
Zeros:
− + − =
= − = = −
= − ⋅ ⋅
= ( ) − ⋅ −( ) ⋅ −( )
= −
2 6 7 0
2 6 7
4
6 4 2 7
6 56
2
2
2
x x
a b c
b a c
; ;
Δ
Δ
Δ == −50
A função não tem zero.
Como a parábola tem concavidade voltada para baixo:
q(x) < 0 para todo x real
28. (FUVEST – SP) A trajetória de um projétil, lançado da 
beira de um penhasco sobre um terreno plano e hori-
zontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria 
vertical, como ilustrado na figura.
Matemática 31
 O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada 
a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m 
desde o instante do lançamento até o instante em que 
o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 
200 m acima do terreno, é atingida no instante em que 
a distância percorrida por P, a partir do instante do lan-
çamento, é de 10 m.
 Quantos metros acima do terreno estava o projétil 
quando foi lançado?
a) 60
b) 90
c) 120
X d) 150
e) 180
Fixando um sistema de coordenadas como mostra a 
figura, temos o gráfico de uma função quadrática.
Zeros da função: x e 30
x
x
+ = ⇒ = −30
2
10 10 
Assim:
y a x x forma fatorada= ⋅ + ⋅ −( ) ( ) ( )10 30 
Como o ponto (10, 200) pertence ao gráfico, temos:
200 10 10 10 30 0 5
0 5 10 30
0 0 5
= ⋅ + ⋅ − ⇒ = −
= − ⋅ + ⋅ −
= ⇒ = −
a
y x x
y
( ) ( ) a ,
, ( ) ( )
x , ⋅⋅ + ⋅ − =( ) ( )0 10 0 30 150
Portanto, o projétil estava 150 metros acima do terreno 
quando foi lançado.
200
y
0 10 30 x
29. (UEPA) A utilização de computadores como ferramen-
tas auxiliares na produção de conhecimento escolar 
tem sido uma realidade em muitas escolas brasileiras. 
O GeoGebra é um software educacional utilizado no 
ensino de Matemática (geometria dinâmica). Na ilus-
tração abaixo se tem a representação dos gráficos de 
duas funções reais a valores reais, definidas por 
 g x x x( ) = − +2 2 e f x x( ) = + 5 .
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.
html?aula-53900
 Nestas condições, a soma das ordenadas dos pontos 
de interseção dos gráficos que representam as duas 
funções polinomiais acima ilustradas é:
Para determinar os pontos de intersecção dos gráficos de 
duas funções, podemos resolver o sistema formado pelas 
suas equações.
y x x
y x
x x x
x x
x ou x
x y
x
= − +
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
− + = +
− − =
= = −
= ⇒ = + =
2
2
2
2
5
2 5
2 3 0
3 1
3 3 5 8
== − ⇒ = − + =1 1 5 4y
Portanto, a soma das ordenadas dos pontos de intersecção 
é 4 8 12+ = . 
30. (PUC-Rio – RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices na 
parábola de equação y
x
x= − +
2
6
11
6
3 e dois vértices 
no eixo x, como na figura abaixo.
32 Volume 2
 Sabendo que D = ( , )3 0 , faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
O ponto A tem abscissa 3 e pertence à parábola.
y
x
x
x y
y
A
= − +
= ⇒ = − ⋅ +
= − + = −
= −
2
2
6
11
6
3
3
3
6
11 3
6
3
3
2
11
2
3 1
3 1( , )
b) Determine as coordenadas do ponto C.
Inicialmente determinamos as coordenadas do ponto B.
− = − +
− + =
= =
1
6
11
6
3
11 24 0
3 8
2
2
x
x
x x
x ou x
Assim, as coordenadas do ponto B são ( , )8 1− .
Portanto, C = ( , )8 0 . 
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
As dimensões do retângulo são 8 3 5− = e 1.
Área do retângulo:
AA
= ⋅
=
5 1
5
31. (UEG – GO) Considere um retângulo com dimensões x 
e y e perímetro de 200 metros.
a) Expresse a área desse retângulo em função da me-
dida x.
2 2 200
100
100
x y
x y
y x
+ =
+ =
= −
 
Sendo A a área do retângulo, temos:
A x y
A x x
A x x
= ⋅
= ⋅ −
= −
( )100
100 2
 
b) Esboce o gráfico da função área em função da me-
dida x.
O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada 
para baixo.
Zeros da função:
100 0
100 0
0 100
2x x
x x
x ou x
− =
− ⋅ − =
= =
( )
Vértice da parábola:
x
b
a
y A
V
V
= − = −
⋅ −
=
= = ⋅ − =
2
100
2 1
50
50 100 50 50 25002
( )
( )
 
Agora podemos esboçar o gráfico da função:
2500
A
0 50 100 x
32. (UEM – PR) O lucro de uma empresa em um perío-
do de 15 meses foi modelado matematicamente por 
meio da seguinte função f x ax bx c( ) = + +2 , em que 
a variável x indica o mês e f(x) o lucro, em milhões de 
reais, obtido no mês x. Sabe-se que no início desse 
período, digamos mês zero, a empresa tinha um lucro 
de 2 milhões de reais; no primeiro mês, o lucro foi de 3 
milhões de reais; e, no décimo quinto mês, o lucro foi 
de 7 milhões de reais. Com base nessas informações, 
assinale o que for correto.
Matemática 33
X (01) O lucro obtido no décimo quarto mês foi igual ao 
lucro obtido no oitavo mês.
(02) O lucro máximo foi obtido no décimo mês.
X (04) O lucro máximo obtido foi superior a 7,5 milhões 
de reais.
(08) O lucro da empresa nesse período de 15 meses 
oscilou de 2 a 7 milhões de reais.
X (16) O gráfico da função que modela o lucro é uma 
parábola com concavidade para baixo.
Somatório: 21 (01 + 04 + 16).
f x ax bx c
f c
f a b
f a b
a
( )
( )
( )
( )
= + +
= ⇒ =
= ⇒ + + =
= ⇒ + + =
2
0 2 2
1 3 2 3
15 7 225 15 2 7
++ =
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒ = − =
= − ⋅ + ⋅ +
b
a b
a e b
f x x x
1
45 3 1
1
21
22
21
1
21
22
21
22( )
(01) Correto.
f x x x
f
f
( )
( )
( )
= − ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ + =
= −
1
21
22
21
2
14
1
21
14
22
21
14 2
22
3
8
1
21
2
2
⋅⋅ + ⋅ + =8 22
21
8 2
22
3
2
(02) Incorreto.
x
b
a
V =
− =
−
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
2
22
21
2
1
21
11
 
O lucro máximo foi obtido no décimo primeiro mês.
(04) Correto.
y f
y
y
V
V
V
=
= − ⋅ + ⋅ +
=
( )
,
11
1
21
11
22
21
11 2
163
21
7 76
2
(08) Incorreto.
O lucro da empresa oscilou de 2 a aproximadamen-
te 7,76 milhões de reais.
(16) Correto.
Como a = − <1
21
0, a parábola tem a concavidade 
voltada para baixo. 
33. (UEL – PR) O óxido de potássio, K2O, é um nutriente 
usado para melhorar a produção em lavouras de cana-
-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas 
três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a 
relação entre a produção de cana e a dosagem do nu-
triente se deu conforme mostra a tabela a seguir.
Dose do nutriente 
(kg/hectare)
Produção de cana-de-açúcar 
(toneladas/hectare)
0 42
70 56
140 61
 Considerando que a produção de cana-de-açúcar 
por hectare em função da dose de nutriente pode ser 
descrita por uma função do tipo y x ax bx c( ) = + +2 , 
determine a quantidade de nutriente por hectare que 
maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare.
 Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
y x ax bx c
y c
y a b
y
( )
( )
( )
( )
= + +
= ⇒ =
= ⇒ + + =
=
2
0 42 42
70 56 4 900 70 42 56
140 61⇒⇒ + + =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒ = − =
19 600 140 42 61
350 5 1
19600 140 19
9
9800
3
a b
a b
a b
a e b
77
140
9
9800
37
140
422y x x x( ) = − ⋅ + ⋅ +
A quantidade de nutriente por hectare que maximiza a pro-
dução é a abscissa do vértice da parábola que representa 
a função.
y x x x
x
b
a
x
V
V
( ) = − ⋅ + ⋅ +
= − =
−
⋅ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
9
9800
37
140
42
2
37
140
2
9
9800
37
2
1140
4900
9
143 888⋅ = ,
Portanto, a quantidade aproximada de 144 kg/hectare ma-
ximiza a produção.
34. (UEFS – BA) O gráfico de f x x bx c( ) = − + +2 , em que 
b e c são constantes positivas, intercepta o eixo das 
abscissas em dois pontos separados por uma distância 
9, e o das ordenadas em um ponto a uma distância 14 
da origem.
34 Volume 2
 O valor máximo que essa função pode atingir é
X a) 
81
4
b) 
43
2
c) 23
d) 
97
4
e) 
51
2
De acordo com o enunciado, temos:
c = 14; 
α e α + 9 são os zeros da função;
Assim:
x x
c
a
ou
x x
b
a
1 2
2
1 2
9
14
1
9 14 0
2 7
2 2 7
⋅ =
⋅ + =
−
+ + =
= − = −
+ = −
= − ⇒ − +
α α
α α
α α
α
( )
== −
−
⇒ =
= − ⇒ − + = −
−
⇒ = −
b
b
b
b
1
5
7 7 2
1
5α
 
Como b é um número positivo, b = 5.
f x x x
y
a
y
V
V
( )
[ ( ) ]
( )
= − + +
= −Δ
= − − ⋅ − ⋅
⋅ −
=
2
2
5 14
4
5 4 1 14
4 1
81
4
35. (PUC-CAMPINAS – SP) A figura indica um bombeiro 
lançando um jato de água para apagar o fogo em um 
ponto de uma torre retilínea e perpendicular ao chão. 
A trajetória do jato de água é parabólica, e dada pela 
função y x x= − + +2 2 3, com x e y em metros.
 Sabendo que o ponto de fogo atingido pelo jato de água 
está a 2 metros do chão, então, p q− , em metros, é 
igual a
a) 2 2+ . 
b) 1 2+ . 
c) 4 2 2− .
d) 3 2− .
X e) 2 2− .
y x x
x y
y
= − + +
= ⇒ = − + ⋅ +
=
2
2
2 3
0 0 2 0 3
3
Assim, p = 3. 
y x x
x x
x ou x
= ⇒ = − + +
− − =
= + = −
2 2 2 3
2 1 0
1 2 1 2
2
2
Assim, q = +1 2.
p q− = − + = −3 1 2 2 2( ) . 
 (INSPER – SP) Utilize as informações a seguir para as 
questões 36, 37 e 38.
 Uma empresa criou uma nova linha de sorvetes feitos 
com ingredientes orgânicos e desenvolveu um mode-
lo de distribuição do produto baseado em quiosques 
instalados em shopping centers. Cada quiosque tem 
capacidade para vender até 3.000 sorvetes por dia e 
opera de acordo com o seguinte modelo de negócio:
• x representa a quantidade de sorvetes que o quios-
que vende em um dia;
• a função c, que relaciona o custo total de operação 
do quiosque com a quantidade x de sorvetes vendi-
dos no dia, é dada por c x x x( ) ,= + +1900 0 0025 2;
• a função r, que relaciona o total recebido pelo quios-
que com a quantidade x de sorvetes vendidos no 
dia, é dada por r x x( ) = 11 .
 A proposta da empresa é que os quiosques sejam 
montados e operados por pessoas que desejam ter o 
seu próprio negócio, e que irão ter seus ganhos e gas-
tos de acordo com o modelo acima.
36. De acordo com a modelagem apresentada, uma pessoa 
que comprar 3 sorvetes em um quiosque desses irá pagar
a) R$ 29,00. 
X b) R$ 33,00.
c) R$ 37,00.
d) R$ 41,00.
e) R$ 45,00.
$ 3 ,00
r x x
r
r
( )
( )
( )
=
= ⋅
=
11
3 11 3
3 33
A pessoa vai pagar R$ 33,00.
Matemática 35
37. Interessado em montar um quiosque desses, João gos-
taria de saber quantos sorvetes ele deverá vender em 
um dia para obter o lucro máximo, de acordo com o 
modelo apresentado pela empresa. Sabendo que o lu-
cro se define como a diferença entre o total recebido e 
o custo total da empresa em um dia, a quantidade que 
responde à dúvida de João é
a) 1.000 sorvetes vendidos no dia. 
b) 1.500 sorvetes vendidos no dia. 
X c) 2.000 sorvetes vendidos no dia.
d) 2.500 sorvetes vendidos no dia. 
e) 3.000 sorvetes vendidos no dia.
A função L, que relaciona o lucro obtido com a quantida-
de x de sorvetes vendidos no dia, é dada por:
L x r x c x
L x x x x
L x x x
( ) ( ) ( )
( ) ( , )
( ) ,
= −
= − + +
= − +
11 1900 0 0025
0 0025 10
2
2 −−1900
A quantidade de sorvetes que ele deverá vender em um 
dia para obter o lucro máximo é a abscissa do vértice da 
parábola que representa a função L.
x
b
a
x
V
V
=
−
=
−
⋅ −
=
2
10
2 0 0025
2 000
( , )
38. Fabiana entrou em contato com a empresa e pediu 
mais detalhes sobre o investimento inicial que ela terá 
que fazer para montar o quiosque. A empresa enviou 
para ela um documento com a seguinte afirmação:
 Cara Fabiana,
 O investimento inicial para montar um quiosque é de 
R$ 140.000,00. Mas, com o modelo de negócio que 
montamos, você vai recuperá-lo em menos de quatro 
meses. Baseados nas estatísticas dos quiosques que 
já estão em operação, sabemos que
•