Física - Livro 3-261-264

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 3
261
O que é o pêndulo de Foucault?
Considere um pêndulo oscilando no
polo Norte da Terra. Como o seu pla-
no de oscilação é fixo em relação às
estrelas, um observador terrestre verá
esse plano girar no sentindo horário
(contrário à rotação da Terra), dando
uma volta a cada 24 h.
Essa velocidade de rotação é propor-
cional ao seno da latitude do local da
experiência: é, portanto, máxima no
polo e nula no Equador (no hemisfério
Sul, a rotação ocorre no sentido oposto).
Em Paris, por exemplo, o período de rotação é 32 h. Foi nessa
cidade que Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868), em 1851, deu
início à primeira experiência desse tipo, ao usar uma esfera de
ferro de 28 kg suspensa em um arame de 67 m de comprimento
sob a cúpula do Pantheon.
Foi verificado que, à medida que o tempo passava, o plano de
oscilação do pêndulo girava em relação às paredes do edifício, cons-
tituindo a primeira prova da rotação da Terra obtida em laboratório.
Naturalmente, nessa época a rotação do nosso planeta já tinha sido
comprovada por meio de cálculos e observações astronômicas.
Saiba mais
Associação de molas
Deduzimos anteriormente que a equação que deter
mina o período de oscilação do sistema massa-mola é
T 2
m
k
,= p onde m é a massa da partícula oscilante e k é a
constante elástica da mola.
Assim como existe associação de capacitores e resis
tores, existe também associação de molas, ou seja, existe,
em um sistema com n molas, uma mola equivalente com
uma constante elástica equivalente. É essa constante elás
tica equivalente que deve ser substituída na equação que
nos dá o período.
I Molas em série
Dizemos que duas molas estão em série quando elas são
associadas de modo que sofram a atuação da mesma força.
k
1
m
k
2
F
Fig. 20 Associação de molas em série.
Na mola k1: F = k1 · x1
Na mola k2: F = k2 · x2
Na associação keq: F = keq · xeq
Na associação em série: xeq = x1 + x2, logo:
F
k
F
k
F
k
1
k
1
k
1
k
eq 1 2 eq 1 2
= + ⇒ = +
Assim, para uma associação de n molas em série,
temos:
∑=
=
1
k
1
k
eq ii 1
n
II. Molas em paralelo
Duas molas estão associadas em paralelo quando es-
tão sujeitas à mesma deformação.
k
1
0
m
k
2
Fig. 21 Associação de molas em paralelo.
Na mola k1: F1 = k1 · x
Na mola k2: F2 = k2 · x
Na associação keq: Feq = keq · x
Na associação em paralelo: Feq = F1 + F2, logo:
keq · x = k1 · x + k2 · x⇒ keq = k1 + k2
Assim, para uma associação de n molas em paralelo, temos:
k k
eq i
i 1
n
∑=
=
Exercício resolvido
10 Na figura (a), o bloco de massa m oscila com período
Ta. Na figura (b), o seu período de oscilação é Tb, e na
figura (c) é Tc.
m
k
m
(a)
k k
(c)
k
k
m
(b)
Determine as relações
T
T
 e
T
T
,a
b
a
c
 sabendo que as mo-
las são leves e iguais.
Resolução:
O bloco da gura (a) oscila com período = pT 2
m
k
a
FÍSICA Capítulo 11 Movimentos periódicos oscilatórios262
Na gura (b), temos duas molas iguais e em série. A
constante elástica da mola equivalente keq é dada
por:
= +
=
1
k
1
k
1
k
k
k
2
eq
eq
Assim, o período Tb é dado por:
= π
= π
T 2
m
k
T 2
2m
k
b
eq
b
Logo:
=
T
T
2
2
a
b
Na gura (c), temos duas molas iguais associadas em
paralelo. A constante elástica da mola equivalente
nesse caso é dada por:
keq = k + k = 2k
Assim, o período Tc é dado por:
= π
= π
T 2
m
k
T 2
m
2k
c
eq
c
Logo: =
T
T
2
a
c
Análise da energia no MHS
Vimos que o MHS está sujeito a uma força do tipo elás-
tica, como a força em uma mola. Sabemos que um sistema
elástico ideal pode armazenar energia, denominada energia
potencial elástica.
E
k x
2p
2
=
⋅
onde x é a distância à posição de equilíbrio.
k · x
2
Ep =
2
A A
Epmáx
EpmáxEp = 0
x O (equilíbrio)
Fig. 22 Energia potencial elástica.
Veja que a energia potencial é máxima quando x é
máximo, ou seja, x = ± A e E
k A
2p
2
máx
=
⋅
.
Sendo E
k x
2p
2
=
⋅
 o gráfico é uma parábola, como mos-
trado na figura a seguir.
k·A
2
2
−A +A0 x
Ep
Fig. 23 Gráfico da energia potencial.
Até o momento falamos apenas de energia potencial no
MHS. No entanto, como sabemos, o corpo realizador de MHS
possui em muitos pontos do seu eixo de oscilação uma deter
minada velocidade. Se o corpo tem massa m e velocidade v
em determinado instante, então podemos associar a ele uma
energia cinética, devido ao movimento.
O valor dessa energia é dado por E
mv
2
c
2
= . Analise-
mos o sistema massa-mola do ponto de vista cinético.
m ⋅v
2
Ec =
2
Ec = 0 Ec = 0
A A
Ecmáx
x O (equilíbrio)
Fig. 24 Energia cinética.
Observe que nos pontos extremos (± A) Ec = 0 e que a
energia cinética é máxima quando a velocidade é máxima
(vmáx = wA).
E
m v
2
m A
2
c
máx
2 2 2
máx
∴ =
⋅
=
⋅ω ⋅
Como
k
m
,ω = temos:
E
k A
2
c
2
máx
=
⋅
O gráfico da energia cinética versus elongação está
mostrado na figura a seguir.
0−A +A x
E
c
k · A
2
2
Fig. 25 Gráfico da energia cinética.
F
R
E
N
T
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263
Deve-se notar que um corpo realizando um MHS tem
energias cinética e potencial ao mesmo tempo:
y se Ec = 0⇒ E
k A
2p
2
máx
= ⋅
y se Ep = 0⇒ E
k A
2
c
2
máx
= ⋅
Portanto, a maior energia contida no MHS é
k A
2
.
2⋅
Como os sistemas estudados por nós são ideais, sem
nenhum tipo de atrito, temos, então, energia mecânica
constante.
Sabemos que Emec = Ep + Ec
Se E 0 E
k A
2p c
2
= ⇒ = ⋅
E 0
k A
2
mec
2
\ = + ⋅ E k A
2
mec
2⋅
⋅k A
2
2
Atenção
k · A
2
2
−A +A0
E
x
Emec =
Ep
Ec
Fig 26 Energia em um sistema massa-mola.
Observe que a soma dos gráficos resulta sempre na reta
constante em que E
k A
2
.
mec
2
= ⋅
Exercício resolvido
11 Dê como resposta a soma dos números correspon
dentes às proposições corretas. A figura mostra
um sistema ideal massa-mola, apoiado sobre uma
superfície horizontal sem atrito. O corpo de massa m
é deslocado desde a posição de equilíbrio (posição 0)
até a posição –A e abandonado em seguida.
−A 0
m
−1 +A
k
2A
+1
2A
Julgue os itens abaixo.
01 A energia mecânica do corpo no ponto +A é maior
que a energia no ponto -A.
02 A energia mecânica do corpo no ponto
1
2
+ A é
50% potencial e 50% cinética.
04 A energia mecânica do corpo, ao passar pela posi-
ção de equilíbrio, é menor que a energia no ponto
+A ou -A.
08 A energia cinética do corpo no ponto
1
2
- A é me-
nor que a energia cinética no ponto
1
2
+ A.
16 A energia mecânica do corpo nos pontos +A e A
é exclusivamente potencial
32 A energia mecânica do corpo, ao passar pela po
sição de equilíbrio, é exclusivamente cinética
Soma:
Resolução:
01 (F). Considerando o sistema conservativo, Emec é
constante Ver gráco. (Fig 26)
02 (F). Para =x A
2
, temos:
= = =



E
1
2
kx
1
2
k
A
4
1
4
1
2
kA
p
2
2
2
\ Ep = 25% Emec
04 (F). Idem item 1.
08 (F). =E 1
2
mv ,
c
2 sendo sempre positiva e simétrica
em relação à origem do movimento.
16 (V). Ver gráco. (Fig.26)
32 (V). Ver gráco. (Fig.26)
Soma = 48
1 Complete os espaços em branco.
Seja a equação que nos dá a posição de um móvel
realizador de MHS:
x 40 cos
3
2
t
2
(SI)= ⋅ p + p ⋅



 ⋅
a) A fase inicial do MHS é .
b) A pulsação do MHS é .
c) A amplitude do movimento é
d) O período é .
e) A frequência é .
f) A equação da velocidade é .
g) A equação da aceleração é
h) A equação de Torricelli é .
Revisando
FÍSICA Capítulo 11 Movimentos periódicos oscilatórios264
2 Uma partícula executa um movimento harmônico sim-
ples de amplitude 25 cm e frequência 4,0 Hz.
Determine:
a) a pulsação do movimento.
b) a velocidade escalar da partícula, ao passar em mo-
vimento retrógrado pelo ponto de elongação 12 cm.
3 PUC A amplitude de um movimento harmônico simples
é de 6 cm e a sua velocidade máxima é de 3p cm/s.
Qual o período desse movimento?
4 PUC-SP Na figura a seguir, está representada a situa-
ção de equilíbrio de uma mola ideal quando livre e
depois de ser presa a um corpo de massa 400 g.
cm cm
Sendo a aceleração da gravidade local 10 m/s
2
, de-
termine:a) a constante elástica da mola.
b) o tipo e o período do movimento que o corpo
descreveria, caso fosse suspenso 1,0 cm de sua
posição de equilíbrio. Despreze a ação do ar so-
bre o movimento.
5 Fuvest Dois corpos, A e B, ligados por um fio, encon-
tram-se presos à extremidade de uma mola, em re-
pouso. Parte-se o fio que liga os corpos, e o corpo A
passa a executar um movimento oscilatório, descrito
pelo gráfico a seguir.
Dado: g = 10 m/s
2
.
A
y (m)
0,1
0,1 0,3
0,2 t (s)
−0,1
0
B
Sendo de 200 g a massa do corpo B, pede-se:
a) a constante elástica da mola.
b) a frequência de oscilação do corpo A.
6 Fuvest A frequência de um pêndulo simples, de
comprimento L e massa M, é de 10 oscilações por se-
gundo. Qual é o período de um pêndulo simples de
comprimento igual a 4 L e massa igual a 2M?
A 0,1 s
B 0,2 s
C 0,3 s
D 0,4 s
E 0,5 s
7 Sabe-se que as molas da figura têm constantes elás
ticas k1 = 50 N/m e k2 = 30 N/m, respectivamente. O
corpo tem massa 5 kg.
k
1
k
2
m
Determine:
a) a constante elástica da mola equivalente ao sistema.
b) o período de oscilação realizada pelo sistema.
c) a força necessária para deslocar o corpo de 10 cm
para a direita.