Matemática - Livro 1-052-054

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MATEMÁTICA Capítulo 3 Função do 2o grau52
Gráfico da função do 2o grau
A função do 2o grau tem como gráfico a curva chamada
parábola. Nos capítulos de geometria analítica, vamos de-
monstrar e explicar melhor essa curva. Para uma ideia inicial,
leia mais tarde o texto complementar.
Propriedades da parábola
P1 A parábola corta o eixo y no ponto (0; c); pois:
f(x) = ax2 + bx + c e f(0) = a · 02 + b · 0 + c ∴ f(0) = c
y
x
(0; c)
Fig 3 Termo independente (c)
P2 A parábola pode “cortar” o eixo das abscissas em
2 pontos, tangenciá lo em 1 ponto ou não cortar o eixo.
Lembramos que raiz de uma função é o valor de x
que anula o y; logo, todas as raízes reais de qualquer
função estão nos pontos de cruzamento do gráfico
com o eixo x.
De acordo com a natureza das raízes, podemos
concluir:
y
x1 x2
x
∆ > 0
x1 ≠ x2
Fig. 4 Parábola cortando o eixo.
∆ = 0
x1 = x2
y
xx1 = x2
Fig. 5 Parábola tangenciando o eixo.
Fatoração do trinômio do 2o grau
Vamos transformar o trinômio do 2o grau em um pro-
duto de dois fatores do 1o grau
Observe:
ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0
a x x x
2
+
b
a
 +
c
a
 = 0 a x
b
a
 +
c
a
 = 0
2


 ∴








Como - b
a
 = x + x
1 2
 e c
a
 = x x ,1 2⋅ assim:
a[x2 (x1 + x2)x + x1x2] = 0 ∴
∴ a[x2 x1x x2x + x1x2] = 0 ∴
∴ a[x(x x1) x2(x x1)] = 0 ∴
∴ a (x x1)(x x2) = 0 ∴
∴ ax2 + bx + c = a (x x1) (x x2)
Exercício resolvido
7 Fatore a expressão 2x2 5x + 2 = 0 em um produto
de dois fatores do 1o grau
Resolução:
2x2 5x + 2 = 0 ∴ x =
± ⋅ ⋅
⋅
5 5 4 2 2
2 2
2
( )
x =
5 9
4
 x =
5 + 3
4
 = 2
1
± ∴ ou x2
5 3
4
1
2
= =
Substituindo na expressão, temos:
2 5 2 2 2
1
2
2
x x x x- + = - ⋅ -

 ( )
Forma canônica do 2o grau
A forma canônica do 2o grau é uma outra expressão
de representação da função do 2o grau que é muito conve-
niente para a demonstração de certas propriedades.
Observe a sequência das passagens até a forma
canônica.
ax bx c a x
b
a
x
c
a
2 2+ + = + +

 =
= a x + b
a
x +
b
4a
b
4a
 +
c
a
2
2
2
quadrado perfeito
2
2
� 










=
= a x + b
2a
b 4ac
4a
=
2 2
2




-





= a x + b
2a
b 4ac
4a
=
2 2
2



 -










= a x + b
2a 4a
 a x +
b
2a 4a
2
2
2









 =










D D
Assim:
ax + bx + c = a x +
b
2a 4a
2
2



 -
D
F
R
E
N
T
E
 1
53
∆ < 0
x1 e x2 ∈R∃/
y
x
Fig. 6 Parábola com raízes imaginárias.
P3 A parábola é uma curva simétrica; observe o eixo de
simetria e sua localização:
y
x
y = f(x)
x1
v1
x2
Fig 7 Eixo de simetria paralelo ao eixo y.
y
x = g(y)
x
y1
y2
v2
Fig. 8 Eixo de simetria paralelo ao eixo x.
Os pontos v1 e v2 são os únicos do gráfico que perten-
cem ao eixo de simetria Esses pontos são denominados
vértices da parábola.
P4 Determinação das coordenadas do vértice da parábola
(xv; yv).
Para o cálculo do vértice da parábola, vamos utilizar a
propriedade da simetria da parábola.
y
x1 x2
xv
v
x
Fig. 9 xv é o ponto médio do segmento x1x2.
A abscissa do vértice é o ponto médio do segmento
que une as raízes. O segmento xvx1 = x2xv
∴ xv x1 = x2 xv ∴ 2xv = x + x1 2�∴
=
b
a
 x =
b
2a
v∴ ∴2xv
Para obter o yv, substitua o xv na função:
f xv( ) = y = a
b
2a
+ b
b
2av
-

 -




2
=
= ab
a
2
2
4
- -b
2a
 + c =
b
4a
b
2a
 + c =
2 2 2
= b 2b + 4ac
4a
b + 4ac
4a
 =
(b 4ac)
4a
 =
2 2 2 2- =
- D
4a
As coordenadas do vértice de uma função
f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 são v
b
a a
= - -


2 4
;
D
Atenção
P5 O coeficiente a determina a orientação da concavidade
da parábola.
A demonstração da propriedade requer o uso da forma
canônica do 2o grau.
1o caso: a > 0
Para ∀ x ∈R, podemos escrever, sem perda de generali
dade, que x
b
a
+

 ≥2
0
2
; assim, a x +

 ≥
b
a2
0
2
, subtraindo
os dois membros D
4a
, temos:
a x
b
a a a
+


D ≥ D
2 4 4
2
Observe que o lado esquerdo é a forma canônica do
2o grau, portanto y ≥
D
4a
.
Como x é um real qualquer, sempre teremos o seu y
maior ou igual à ordenada do vértice. Isso implica que a
concavidade está para cima
2o caso: a < 0
Vamos seguir exatamente o procedimento do 1o caso;
observe: ∀ x ∈ R, e temos:
x a x +
b
2a
0 +
b
2a
0



 ≥ ∴



 ≤
2 2
(pois a é negativo), subtraindo dos dois membros D
4a
,
construí mos a forma canônica do 2o grau, que é o próprio
y; observe:
a x y +
b
2a 4a 4a 4a



 ≤ ∴ ≤
2 D D D
Isso prova que todas as ordenadas são menores ou iguais
a D
4a
. Isso implica que a concavidade está para baixo.
a > 0
Concavidade para cima
Vértice ponto de mínimo.
Concavidade para baixo.
Vértice ponto de máximo.
a < 0
Fig. 10 Concavidade da parábola.
soma das raízes
MATEMÁTICA Capítulo 3 Função do 2o grau54
Esses resultados mostram que a ordenada do ponto
de máximo ou de mínimo é - D
4a
. Assim, a abscissa do
vértice pode ser determinada algebricamente. Pela forma
canônica, temos:
a x
b
a a a
a x
b
a
x+

 - = - ∴ +



 = ∴ =
-
2 4 4 2
0
2 2D D b
2a
Confirmamos assim as coordenadas do vértice da
parábola:
v
b
a a
= 

2 4
;
D
Exercícios resolvidos
8 Considere a função f, de variável real, dada por
f(x) = x2 + 12x 20.
Determine o conjunto-imagem e seu valor máximo ou
mínimo.
Resolução:
Vamos fazer uma solução completa.
Raízes da função:
x2 + 12x 20 = 0 ∴ x2 12x + 20 = 0
{ s = 12p = 20 raízes 10 e 2
a = 1, concavidade para baixo, vértice: ponto de má-
ximo, observe:
y
16
20
2 6 10 x
x
v
=
b
2a
 = 6; yv = –(6)
2 + 12(6) – 20 = 16
Conjunto-imagem:
y
16
–20
2 6 10 x
I
m
a
g
e
m
Ponto de máximo
v(6; 16)
Imf = ]–∞;16]
9 Um sitiante dispõe de 400 m de cerca de arame e
gostaria de montar o maior galinheiro possível, de for-
ma retangular. Como ele deve proceder?
Resolução:
O perímetro do galinheiro retangular é de 400 m
Chamando de x a largura, o comprimento deve ser de
200 x Observe:
Galinheiro
200 – x
x
Vamos analisar a função da área do galinheiro
Área = (base) (altura) ∴ A(x) = (200 x) x
∴ A(x) = x2 + 200x
A(x)
Ponto de
máximo
Amáx.
x0 100 200
A função admite ponto de máximo quando x = 100 m.
O retângulo se transformará em um quadrado de área
(100 m)2 = 10  000 m2.
10 Considere um triângulo acutângulo de base 12 m e al
tura 10 m e um retângulo inscrito conforme a figura a
seguir Determine o retângulo de área máxima
y
x
12
10
Resolução:
A expressão da área do retângulo é A = xy (temos uma
função de duas variáveis) Vamos encontrar uma relação
entre x e y para que possamos criar uma função da área
com uma única variável
~
12
10y
10 – x