Função quadrática

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Matemática. Aula - 5
Prof. Henrique Brentan
.
1 Função quadrática (função do 2◦ grau).
Curvas parabólicas e suas aplicações.
Funções quadráticas são vastamente aplicadas nas mais
diversas áreas: no design, nas engenharias, nas ci-
ências, na economia, etc. O que torna essa fun-
ção tão importante é o seu gráfico: uma curva pa-
rabólica. Curvas parabólicas possuem propriedades
de reflexão e simetrias que possibilitam sua explora-
ção para construção de equipamentos, obras de arte
e designs dos mais variados tipos. Na foto ao lado,
destacamos algumas aplicações da parábola: fabrica-
ção de antenas, construção de uma fonte de água,
pontes, prédios, no design de interiores. O ob-
jetivo desta aula é estudar algumas das proprieda-
des da função quadrática e relaciona-las com a pará-
bola.
DIGRESSÃO sobre Polinômios - Coeficientes.
Na teoria de polinômios, definimos como coeficiente a parte numeral dos monômios.
Exemplo: Seja o polinômio f(x) = 3x5 − 2xy + 4.
• O coeficiente do primeiro monômio (3x5) é 3;
• O coeficiente do segundo monômio (−2xy) é −2;
• O coeficiente do terceiro monômio (+4) é +4;
Via de regra, quando não especificados, os coeficientes são representados por letras do alfabeto a, b, c, d, ... .
Exemplo: Observe a forma geral da função do 2◦ grau f(x) = ax2 + bx+ c. Seus coeficientes são a, b e c.
1.1 Função quadrática : f(x) = ax2 + bx+ c
Definição: Uma função dos Reais nos Reais (f : R → R) é dita função quadrática ou função do 2◦ grau quando
qualquer x ∈ R (Domínio) é associado ao elemento ax2 + bx + c (Imagem) ∈ R (Contradomínio) com a, b e c números
reais e a 6= 0.
Forma geral: f(x) = ax2 + bx+ c
Coeficientes: a 6= 0, b e c
Exemplos de funções quadráticas:
• Relação: y = x2 − 3x+ 2
• Coeficientes: a = +1, b = −3, c = +2
• Relação: y = 2x2 + 4x− 3
• Coeficientes: a = +2, b = +4, c = −3
• Relação: y = −3x2 + 5x− 1
• Coeficientes: a = −3, b = +5, c = −1
• Relação: y = −x2
• Coeficientes: a = −1, b = 0, c = 0
1
1.1.1 Forma Canônica
A forma canônica da função quadrática é dada por
f(x) =
[
a
(
x+
b
2a
)2
− ∆
4a
]
, onde ∆ = b2 − 4ac.
Como veremos adiante, esta forma mostra-se muito útil, pois aparecem explicitamente os valores xV = −b2a e yV =
−∆
4a ,
que formam o par ordenado (xV , yV ) do vértice da parábola (ponto máximo da parábola se a < 0, ou ponto mínimo da
parábola se a > 0.).
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# Exercícios de fixação. #
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Exercício 1. Faça o que se pede:
a) Determine os coeficientes a, b e c das seguintes funções quadráticas definidas de R em R.
1) f(x) = x2 − 5x+ 6
2) f(x) = x2 − 4x
3) y = −x2 + 4x− 4
4) y = 3x2 − 27
b) Expresse as funções anteriores na forma canônica.
1.2 Gráfico da função quadrática.
Sendo f(x) a função quadrática, a curva formada pelo conjunto de pares ordenados (x, y) ∈ f é uma parábola.
x
y
y = ax2 + bx+ c
Gráfico da função quadrática: Parábola.
1.2.1 Método de construção de gráficos pela obtenção de pontos no plano x-y.
Para obter a parábola, dada uma lei específica (com os coeficientes a, b e c definidos), devemos obter os pares ordenados
(x, y) ∈ f . Para tanto, basta seguir os seguintes passos:
1) Preste atenção na lei f(x).
2
2) Obtenha o xv e yv formando o par ordenado (xv, yv).
3) Propor valores para a coordenada x para obter os valores da coordenada f(x) = y.
4) Os valores de x e de f(x) = y formam os pares ordenados (x1, y1), (x2, y2), ... que são pontos no plano cartesiano.
DICA-1: Para não se confundir, tente organizar os valores de x e f(x) = y em uma tabela como abaixo:
x y = f(x) (x, y)
xv yv (xv, yv)
x1 y1 (x1, y1)
x2 y2 (x2, y2)
x3 y3 (x3, y3)
DICA-2: Para o primeiro ponto, proponha o valor x = 0. Este valor define o ponto sobre o eixo y (coeficiente c da função
quadrática).
DICA-3: Para o segundo ponto, proponha o valor y = 0. Este valor define os pontos sobre o eixo x (raízes x1,x2 da função
quadrática).
DICA-4: Além dos dois pontos acima, encontre mais alguns pares ordenados (x, y)
5)Marque os pontos no plano cartesiano x− y.
6) Trace a curva que passa pelos pontos marcados como abaixo, obtendo a parábola gerada por f(x).
(x2, y2) (x6, y6)
(x3, y3) (x5, y5)
(x4, y4)
(x1, y1)
x
y
y = ax2 + bx+ c
Construção da Parábola.
Exemplo:
Exercício 2. Construa o gráfico da função y = x2 − 4x+ 3, definida de R em R.
Resolução:
Seguindo o método, primeiro encontramos o par formado (xv, yv) por xv = −b/2a e yv = −δ/4a, onde xv = 2 e yv = −1.
Depois fazemos x = 0 na lei y = x2 − 4x + 3 e obtemos y = 3, formando o par ordenado (0, 3). Em seguida, fazemos
y = 0 na lei y = x2 − 4x + 3 e obtemos x1 = 1 e x2 = 3 (raízes de f(x)), formando os pares ordenados (1, 0) e (3, 0).
Organizando as informações, montamos a tabela:
x y = f(x)
0 3
1 0
2 -1
3 0
Então marcamos os pontos no plano cartesiano e obtemos a parábola:
3
−2 2 4 6
−2
2
4
6
(0, 3) (4, 3)
(1, 0) (3, 0)
(2,−1)
x
y
y = x2 − 4x+ 3
Construção da Parábola.
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# Exercícios de fixação. #
################
Exercício 3. Construa o gráfico das respectivas funções definidas de R em R no plano cartesiano.
−10 −5 5 10
−10
−5
5
10
x
y
a) y = −x2 + 4x− 3
−10 −5 5 10
−10
−5
5
10
x
y
b) y = 2x2 − 16
−10 −5 5 10
−10
−5
5
10
x
y
c) y = x2 − 3x+ 2
1.3 Estudo do gráfico da função quadrática.
Observe os seguintes gráficos:
(0, 0)
(0, c)
(x1, 0) (x2, 0)
Raízes
a > 0
x
y
y = ax2 + bx+ c
(0, 0)
(0, c)
(x1, 0) (x2, 0)
Raízes
a < 0
x
y
y = ax2 + bx+ c
Estudo da Parábola.
4
Do estudo analítico das parábolas, resulta os seguintes fatos:
1.3.1 Interseção eixo y e parábola.
No plano cartesiano, o coeficiente c da função quadrática é o ponto onde a parábola faz uma interseção com o eixo y. É
o valor de y no par ordenado (0, c).
1.3.2 Concavidade da parábola
Se o valor do coeficiente a é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima.
Se o valor do coeficiente a é negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo.
1.3.3 Raízes (ou zeros) da função quadrática.
Os valores x1 e x2, representados nos gráficos acima, são os zeros ou as raízes da função, ou seja são os valores para os
quais y = 0 (f(x) = 0).
Tais valores podem ser encontrados a partir dos coeficientes a, b, c da função quadrática pela fórmula de Bhaskara
x1,2 =
−b±
√
∆
2a
, ∆ = b2 − 4ac.
O discriminante ∆ = b2 − 4ac condiciona o número de raízes da função quadrática. Temos 3 casos:
1) ∆ > 0→ 2 raízes reais e distintas.
2) ∆ = 0→ 2 raízes reais idênticas.
3) ∆ < 0→ nenhuma raíz real
x1 x2
DUAS raízes
∆ > 0
x
y
y = ax2 + bx+ c
x1 = x2
duas raízes IDÊNTICAS
∆ = 0
x
y
y = ax2 + bx+ c
Nenhuma raíz
∆ < 0
x
y
y = ax2 + bx+ c
Estudo da Parábola.
Outra maneira de encontrarmos as raízes reais da função quadrática é pelo método de SOMA e PRODUTO. Sendo
a, b e c os coeficientes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, então x1 e x2 são encontrados resolvendo o sistema de
equações: {
x1 + x2 =
−b
a
x1 · x2 = ca
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# Exercícios de fixação. #
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Exercício 4. Considerando a função y = −x2 + 4x + 2, utilize o aplicativo GeoGebra online (procure no google) para
estudar o coeficiente c (basta abrir o aplicativo, clicar em starting graphing. Digite a função e varie o coenficiente c para
os valores c = −3, c = −2, c = −1, e c = 0, c = 1, c = 2, c = 3. Então, responda ao que se pede:
a) Em cada caso, onde a parábola corta o eixo y?
b) O que acontece com a parábola quando aumentamos o valor de c?
c) O que acontece com a parábola quando diminuímos o valor de c?
5
Exercício 5. Considerando a função y = −x2 + 4x + 2, utilize o aplicativo GeoGebra online (procure no google) para
estudar o coeficiente a (basta abrir o aplicativo, clicar em starting graphing. Digite a função e varie o coenficiente a para
os valores a = −1 e a = 1. Então, responda ao que se pede:
a) Se a é negativo, qual a concavidade da parábola?
b) Se a é positivo, qual a concavidade da parábola?
Exercício 6. Considerando a função y = −x2 + 4x + 2, utilize o aplicativo GeoGebra online (procureno google) para
estudar o coeficiente b (basta abrir o aplicativo, clicar em starting graphing. Digite a função e escolha o coenficiente b = 2
e depois b = 0. Então, responda ao que se pede:
a) Se b = 0, o vértice da parábola passa em algum ponto especial? Qual esse ponto?
Exercício 7. Determine as raízes reais das funções:
a) f(x) = x2 − 3x+ 2
b) f(x) = −x2 + 7x− 12
c) f(x) = x2 + 4x+ 4
d) f(x) = −x2 + 3x− 4
e) f(x) = x2 −
√
2x+ 1/2
f) f(x) = x2 + (1−
√
3)x−
√
3
g) f(x) = −5x2
Exercício 8. Dermine as raízes reais da função f(x) = x4 − 3x2 − 4 DICA: Use a substituição z = x2.
Exercício 9. Dermine as raízes reais da função f(x) = x4 − 5x2 − 36 DICA: Use a substituição z = x2.
Exercício 10. Dermine os valores de m para que a função quadrática f(x) = mx2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha dois
zeros reais e distintos.
Exercício 11. Dermine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m − 1)x2 + (2m + 3)x + (m) tenha dois
zeros reais e distintos.
Exercício 12. Dermine os valores de m para que a equação do 2◦ grau (m+ 2)x2 + (3− 2m)x+ (m− 1) = 0 tenha raízes
reais.
Exercício 13. Na equação do 2◦ grau 2x2 − 5x− 1 = 0, de raízes x1 e x2, calcule:
a) x1 + x2 b) x1 · x2 c) 1x1 +
1
x2
d) (x1)2 + (x2)2.
Exercício 14. Dermine os valores de m para que a equação do 2◦ grau (m+ 2)x2 + (3− 2m)x+ (m− 1) = 0 tenha raízes
reais.
Exercício 15. Obtenha uma equação do 2◦ grau de raízes:
a) 2 e −3
b) 1/2 e −3/2
c) 1 e −
√
2
Exercício 16. Dermine o valor de m para que a equação do 2◦ grau x2 +mx+m2 −m− 12 = 0 de modo que uma raíz
seja positiva e a outra nula.
Exercício 17. Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m e n são ímpares consecutivos e m · n = 1599.
Indique o valor de m+ n.
6
1.3.4 Máximo, mínimo e vértice da parábola
Observe novamente os gráficos:
(0, 0)
(xV , yV )
x
y
Situação 1
y = ax2 + bx+ c
Im(f)
(0, 0)
(xV , yV )
Vértice da parábola
x
y
Situação 2
y = ax2 + bx+ c
Im(f)
Estudo da parábola.
Já mencionamos que os valores xV = − b2a e yV = −
∆
4a formam o par ordenado (xV , yV ) chamado de vértice da
parábola (observe a figura).
Na situação 1 o menor valor de y ∈ Im(f) é yV . Neste caso, dizemos que o número yV ∈ Im(f) é o valor mínimo
da função y = f(x). O número xV que forma o par (xV , yV ) é chamdo de ponto de mínimo.
Na situação 2 o maior valor de y ∈ Im(f) é yV . Neste caso, dizemos que o número yV ∈ Im(f) é o valor máximo
da função y = f(x). O valor xV que forma o par (xV , yV ) é chamdo de ponto de máximo.
Teoremas
1. Se a < 0, então a função quedrática y = ax2 + bx+ c admite o valor máximo yV = − ∆4a para xV =
−b
2a
2. Se a > 0, então a função quedrática y = ax2 + bx+ c admite o valor mínimo yV = − ∆4a para xV =
−b
2a
1.3.5 Imagem da função quadrática.
1. Se a > 0→ Im(f) = {y ∈ R|y ≥ − ∆4a}
2. Se a < 0→ Im(f) = {y ∈ R|y ≤ − ∆4a}
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# Exercícios de fixação. #
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Exercício 18. Determine os vértices das parábolas:
a) y = −x2 + 16
b) y = x2 − 81
c) y = 2x2 − 5x+ 2
d) y = −x2 + 4x− 3
Exercício 19. Determine o valor de máximo ou o valor de mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo das funções
abaixo, definidas em R:
a) y = 2x2 + 5x
b) y = x2 − 4x+ 3
c) y = −x2 + 8x
d) y = −x2 + 4
7
Exercício 20. Dermine o valor de m na função real f(x) = 3x2 − 2(m− 1)x+ (m+ 1) para que o valor mínimo seja 2.
Exercício 21. Dermine o valor de m na função real f(x) = mx2 + (m− 1)x+ (m+ 2) para que o valor máximo seja 2.
Exercício 22. Deremine área do retângulo localizado no IV quadrante formado com dois lados nos eixos cartesianos e
pelo vértice da função y = x2 − 4x+ 3.
Exercício 23. Determine a imagem das funções definidas em R: a) y = 2x2 + 5x
b) y = x2 − 4x+ 3
c) y = −x2 + 8x
d) y = −x2 + 4
Exercício 24. Na função f(x) = 3x2 − 4x+m definida em R, determine o valor de m para que a imagem seja Im(f) =
{y ∈ R|y ≥ 2}
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# Exercícios de prática. #
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Exercício 1. (ENEM-2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para
serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando
esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto
o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em
função do tempo, nas simulações realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse
alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
A) diminuir em 2 unidades.
B) diminuir em 4 unidades.
C) aumentar em 2 unidades.
D) aumentar em 4 unidades.
E) aumentar em 8 unidades.
Exercício 2. (ENEM-2013) A parte inferior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo
z, conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 32x
2 − 6x + C onde C é
a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V , na figura, representa o vértice da
parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é.
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
8
Exercício 3. (ENEM-2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é
dada pela expressão T (h) = −h2 + 22h− 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o
maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa.
A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e
muito alta.
Intervalos de temperatura em ◦C classificação
T < 0 Muito Baixa
0 ≤ T ≤ 17 Baixa
17 < T < 30 Média
30 ≤ T ≤ 43 Alta
T > 43 Muito Alta
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada
como:
a) Muito baixa.
b) Baixa.
c) Média.
d) Alta.
e) Muito alta.
Exercício 4. (ENEM-2016)Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a
tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um
engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de
simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9− x2, sendo x e y medidos em metros (1)
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 23 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente,
iguais à base e à altura da entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Exercício 5. (ENEM-2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões
estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f , de grau menor que 3, para alterar as
notas da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
• A nota zero permanece zero. A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é
9
a) y = −125 x
2 + 75x
b) y = −110 x
2 + 2x
c) y = 124x
2 + 712x
d) y = 45x
2 + 2
e) y = x
Exercício 6. (ENEM-2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de
prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha.
Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas
nas laterais.
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?
(A) 1 e 49
(B) 1 e 99
(C) 10 e 10
(D) 25 e 25
(E) 50 e50
Exercício 8. (ENEM-2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T (t) = − t
2
4 + 400, com t em minutos.
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ◦C.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
a) 19,0
b) 19,8
c) 20,0
d) 38,0
e) 39,0
Exercício 9. (ENEM-2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, lo-
calizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das
abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas
para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
(A) 163
(B) 315
(C) 254
(D) 253
(E) 752
Exercício 10. (Fuvest-2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e
horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical,como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno,
10
pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o
instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante
em que a distância percorrida por P , a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno
estava o projétil quando foi lançado?
a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
e) 180
Exercício 11. (Fuvest-2017) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4.
O ponto P pertence ao lado BC e BP = 1. Os pontos R, S, e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente.
O segmento RS é paralelo à AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB.
Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT , do triângulo CQP e do triângulo
DQS, para x variando no intervalo aberto ]0, 3[, é
a) 61/8
b) 33/4
c) 17/2
d) 35/4
e) 73/8
11
Exercício 12. (UNESP-2afase/2) A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo BIDU) e
a área externa de lazer do cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente esticada.
a) Calcule a área externa de lazer do cachorro quando x = 6 m.
b) Determine, algebricamente, as medidas de x e y que maximizam essa área, mantidos os ângulos retos indicados na
figura e as dimensões da casinha.
Exercício 13. (UNESP-2019/1)Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião
se desloca, em linha reta, de O até o ponto P , mantendo sempre um ângulo de inclinação de 45◦ com a horizontal. A
partir de P , o avião inicia trajetória parabólica, dada pela função f(x) = −x2 + 14x− 40, com x e f(x) em quilômetros.
Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto V , o avião passa a se deslocar com altitude constante em
relação ao solo, representado na figura pelo eixo x.
Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V , a altitude do avião aumentou
(A) 2,5 km.
(B) 3 km.
(C) 3,5 km.
(D) 4 km.
(E) 4,5 km.
Exercício 14. (Unesp-2017/2)Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx+ c, com b e c reais. Se f(1) = −1 e
f(2)− f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a
a) –12.
b) –6.
c) –10.
d) –5.
e) –9.
12
Exercício 15. (Unicamp-2017- Segunda fase) Sejam c um número real e f(x) = x2 − 4x + c uma função quadrática
definida para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y = f(x).
a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo
gráfico para 0 ≤ x ≤ 4.
b) Considere os pontos de coordenadas A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), onde a e b são números reais com a < b. Sabendo
que o ponto médio do segmento AB é M = (1, c), determine a e b.
Exercício 16. (Unicamp-2015- Primeira fase) Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas
y = x2 + 2x+ 2 e y = 2x2 + ax+ 3. Essas parábolas não se interceptam se e somente se:
a)|a|=2.
b)|a|<2.
c)|a−2|<2.
d) |a−2|≥2.
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	Função quadrática (função do 2 grau).
	Função quadrática : f(x)=ax2 +bx+c
	Forma Canônica
	Gráfico da função quadrática.
	Método de construção de gráficos pela obtenção de pontos no plano x-y.
	Estudo do gráfico da função quadrática.
	Interseção eixo y e parábola.
	Concavidade da parábola
	Raízes (ou zeros) da função quadrática.
	Máximo, mínimo e vértice da parábola
	Imagem da função quadrática.