Função do 2° grau e seu gráfico

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EQUAÇÃO DO 2° GRAU
	Uma equação do segundo grau é uma equação da forma:
ax2 +bx + c = 0, a 0
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Discriminante: = b2 4ac
	Agora devemos considerar três casos dependendo do sinal do discriminante :
 - 1º caso: = b2 4ac > 0
Nesse caso, a equação possui duas raízes reais distintas.
- 2º caso: = b2 4ac = 0
Teremos então:
	Nesse caso a equação possui duas raízes reais iguais, ou seja, uma raiz dupla e o trinômio tem a forma de um trinômio quadrado perfeito.
- 3º caso: = b2 4ac < 0
	Não é possível resolver a equação no conjunto dos reais, pois neste conjunto não se consegue resolver raiz quadrada de número negativo. Nesse caso a equação não possui raiz real.
GRÁFICO DO TRINÔMIO
	No caso do trinômio que possui duas raízes (Δ > 0), o gráfico toca duas vezes no eixo x. No caso do trinômio que possui apenas uma raiz dupla ( = 0), o gráfico tangencia o eixo x, ou seja, o vértice localiza-se no eixo x. E, por último, no caso do trinômio não possuir raízes reais ( < 0), o gráfico não toca o eixo x.
As três situações são apresentadas nos gráficos abaixo:
	 (
x
)a > 0 e > 0
	 (
x
)a < 0 e > 0
	a > 0 e = 0 (
x
)
	 (
x
)a < 0 e = 0
	 (
x
)a > 0 e < 0
	 (
x
)a < 0 e < 0
MÁXIMO E MÍNIMO DO TRINÔMIO
	O trinômio y = ax2 +bx +c, com a 0, só assume um determinado valor k se a equação ax2 +bx +c = k possuir solução real.
Para tanto devemos ter discriminante maior ou igual a 0 na equação ax2 +bx +(c k) = 0, ou seja: b2 4a(c k) ≥ 0 b2 4ac +4ak ≥ 0.
Substituindo = b2 4ac, vem 4ak ≥ . Devemos considerar o que acontece para cada sinal de a.
1º caso: a > 0: (valor mínimo) 
2º caso: a < 0: (valor máximo)
Vamos agora calcular para que valor de x o trinômio assume o seu valor extremo /4a:
 4a2x2 +4abx +b2 = 0 (2ax +b)2 = 0 .
O ponto extremo do trinômio é chamado vértice e como se viu ele possui sempre a abscissa , que é a média aritmética entre as raízes da equação. Usando conhecimento de geometria analítica demonstra-se que o gráfico do trinômio do 2º grau é uma parábola de eixo paralelo ao eixo y e vértice nos pontos extremos calculados acima.
Foi mostrado também que, quando a > 0, o vértice será um ponto de mínimo e a parábola terá concavidade voltada para cima. Já quando a < 0, o vértice será um ponto de máximo e a parábola terá concavidade voltada para baixo.
Vamos observar essas informações no quadro resumo abaixo:
	VÉRTICE
	
	
	
	CONCAVIDADE
	VÉRTICE
	a > 0
	para cima
	ponto mínimo
	a < 0
	para baixo
	ponto máximo
	Com as informações acima é possível esboçar o gráfico de um trinômio do 2º grau que possui duas raízes reais distintas
 ( > 0).
EXERCÍCIOS: 
01) Determine m para que uma das raízes da equação x2 + 2mx + m +5 = 0 seja o dobro da outra.
02) Determine m para que a equação x2 +2x + m = 0 possua duas raízes de mesmo sinal.
03) Determine m para que a equação mx2 +2(m 3)x +(m +1) = 0 possua duas raízes positivas distintas.
04) Determine m para que a equação mx2 + 2mx +(m 3) = 0 possua duas raízes reais negativas.
05) Determine m para que a equação (m 1)x2 +2mx +(m +3) = 0 possua duas raízes reais de sinais contrários.
06) Sendo a e b as raízes da equação x2 +4x +1 = 0, forme a equação cujas raízes são a +1 e b +1.
07) Resolva a inequação x2 5x 6 < 0.
08) Resolva a inequação x2 +4x 3 < 0.
09) Resolva a inequação x2 +4x + 4 > 0.
10) Resolva a inequação x2 + x+1 < 0.
11) Determine m para que a equação x2 (m4)x +(m1) = 0 tenha raízes inferiores a 6.
12) Determine m para que a equação mx2 +(m1)x +3 = 0 possua raízes reais, uma superior e outra inferior a 2.
13) Determine o valor máximo de y = x2 +x +1.
14) Dentre todos os retângulos de perímetro 2p, qual o de área máxima?
15) Seja “a” a menor raiz da equação px2 + px + 2 = 0. Sabendo que se subtrairmos uma unidade de p a equação anterior passa a ter duas raízes iguais, o valor de “a” é:
a) –2/3
b) -2
c) 0
d) 3/2
e) 2
16) Se x1 e x2 são raízes da equação x2 + 2x - 500 = 0, calcule x13 + x23.
17) Qual o maior valor de a que torna iguais as raízes da equação (a 2)x2 + (a 5)x +2a 5 = 0.
18) Quais são as raízes da equação an + 1x2 anx = 0 ?
19) Qual a diferença entre as raízes da equação x2 18x + 77 = 0 ?
20) Determine a soma dos quadrados das raízes da equação 
2x2 8x 2220 = 0.
21) Determine o valor de k na equação x2 + (k 2)x + k2 4 = 0 para que a mesma tenha apenas uma raiz nula.
22) Resolva a equação 
23) Seja A o conjunto dos números inteiros estritamente positivos que satisfazem a inequação (3x 3).(2x 5) (5 2x)2 . Obtenha A.
24) Obtenha o valor de a + b sabendo que as raízes da equação x2 (b a)x +a = 0 são os inversos das raízes da equação x2 7x + 9 = 0
25) Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, com a 0, obtenha .
26) Determine o menor valor inteiro de m, na equação (1 – m)x2 – 2x + 1 = 0, para que as raízes sejam desiguais.
27) Sabendo que na equação x2 + Bx – 17 = 0, B é positivo e que a raízes são inteiras, obtenha a soam das raízes.
28) Para que valores de m, a equação mx2 – 2mx + 4 = 0 possui raízes reais de mesmo sinal?
29) Calcule a soma da média aritmética com a média geométrica das raízes da equação ax2 – 8x + a3 = 0.
30) Se as equações do 2o grau (2p+q)x2 – 6qx – 3 = 0 e (6p+3q)x2 – 3(p – 2)x – 9 = 0 têm as mesmas raízes, então:
a) p = 6q + 2
b) p + q = 7
c) 3q = p + 2
d) p – 2 = 0
e) 2p + 3q = 8
31) A soma dos valores reais de k que fazem com que a equação x2 – 2(k + 1)x + k2 + 2k – 3 = 0 tenha uma de suas raízes igual ao quadrado da outra é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
32) Se na equação ax2 + bx + c = 0, a média harmônica das raízes é igual ao dobro da média aritmética destas raízes, podemos afirmar que:
a) 2b2=ac
b) b2=ac
c) b2=2ac
d) b2=4ac
e) b2=8ac
33) Sendo a b e b 0, sabe-se que as raízes da equação são exatamente a e b. Então, a – b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
34) Seja 7 a diferença entre as raízes da equação 4x2 20x +c = 0. Então o valor da constante c vale:
a) –24
b) –20
c) –16
d) 4
e) 5
35) Calcule m para que (m21)x2 (m+2)x +1 tenha um e só um de seus zeros interno ao intervalo (1,1).
36) Determine m para que x2 7x +28 4m seja positivo para todo x negativo.
GABARITO:
1) m=3 ou m = 15/8 2) ]0,1] 3) ]0,9/7[ 4) {mRm>3} 5) ]3,1[ 6) x2+2x2=0 7) ]2,3[ 8) {xRx<1 ou x>3} 9) x 2 10) impossível	11) {xRm≤2 ou 10≤m<59/5} 12) ]1/6,0[ 13) 5/4	14) quadrado 15) A 16) 3008 17) 3 18) 0 e 1/a 19) 4 20) 2236	21) 2 22) (a+3b)/4 ou (a+5b)/6	23) {1, 2} 24) 1 25) (b22ac)/ac	26) 1	27) 16	28) m ≥ 4	29) a+ 4/a 30) A	31) A 32) C	33) D	34) A	35) ]1, 1[ ]1, 2]	36) m ≤ 7
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Definição: Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio R e contradomínio R, a função:
f(x) = ax2 + bx + c,
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
a é o coeficiente de x2
b é o coeficiente de x
c é o termo independente
	Chama-se função completa aquela em que a, b e c não são nulos, e função incompleta aquela em que b ou c são nulos.
Observe os exemplos:
1) f(x) = x2 + 2x – 1 
é função quadrática completa onde a = 1, b = 2 e c = -1 
2) y = 2x2 - 8
é função quadrática incompleta onde a = 2, b = 0 e c = -8.
EXERCÍCIOS
Raízes da função do 2º- grau
	Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) a zero. Teremos então:
ax2 + bx + c = 0
	A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau. As raízes da equação são determinadas utilizando-se a fórmula de Bhaskara:
	Δ (letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá um valor numérico, do qual temos de extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a considerar:
EXERCÍCIOS
Gráfico da função do 2º- grau
Concavidade da parábola
	Graficamente, a função do 2º grau, de domínio r, é representada por uma curva denominada parábola.
	Dada a função y = ax2 + bx + c, cujo gráfico é uma parábola, se:
O termo independente
	Na função y = ax2+ bx + c, se x = 0 temos y = c. Os pontos em que x = 0 estão no eixo y, isto significa que o ponto (0, c) é onde a parábola “corta” o eixo y.
Raízes da função
	Considerando os sinais do discriminante (Δ) e do coeficiente de x2, teremos os gráficos que seguem para a função y = ax2 + bx + c.
EXERCÍCIOS
Vértice da parábola – Máximos e mínimos da função
	Observe os vértices nos gráficos abaixo:
	O vértice da parábola será:
• o ponto mínimo se a concavidade estiver voltada para cima 
(a > 0);
• o ponto máximo se a concavidade estiver voltada para baixo 
(a < 0).
	A reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice da parábola é chamada de eixo de simetria.
Coordenadas do vértice
	As coordenadas do vértice da parábola são dadas por
Conjunto imagem
	Conhecendo a ordenada do vértice da parábola é possível determinar o conjunto imagem da função. Observe os exemplos:
	Em a, a parábola tem concavidade voltada para cima, portanto o vértice é o ponto mínimo da função. Se projetarmos qualquer ponto da parábola sobre o eixo y, obteremos valores de y maiores ou iguais a -1, conforme mostra a figura; neste caso, o conjunto imagem é:
	Já em b, a parábola tem concavidade voltada para baixo, então o vértice é o ponto máximo da função. Ao projetarmos qualquer ponto sobre o eixo y, teremos valores de y menores ou iguais a 2. O conjunto imagem será:
EXERCÍCIOS
a
4
k
D
-
£
4a
-
 
 
c
bx 
 
ax
 
y 
2
D
=
+
+
=
a
2
b
x
-
=
a
2
b
x
v
-
=
a
4
y
v
D
-
=
15
b
x
x
a
.
8
b
x
a
x
2
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
1
2
2
1
x
x
x
x
+
0
b
ax
x
2
=
+
+
a
2
b
x
D
±
-
=
a
2
b
x
-
=
a
4
k
D
-
³