Matemática - Livro 1-298-300

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MaTeMÁTIca Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas298
Teoremas decorrentes da
semelhança e de Tales
Muitos são os teoremas da Geometria Euclidiana que
podem ser deduzidos a partir do teorema de Tales e do
conceito de semelhança de triângulos Esses teoremas
também dependem de algumas definições geométricas
que veremos a seguir
Bissetriz interna
Chamamos de bissetriz interna o segmento de reta que
une o vértice de um triângulo a um ponto do lado oposto a
esse vértice, de modo que o ângulo interno do vértice fique
dividido ao meio.
Torm: as bissetrizes internas de um triângulo
dividem os lados opostos aos ângulos de origem em seg
mentos proporcionais aos lados adjacentes.
B
P
bissetriz
CA
Na figura, se BAP CAP = , então
PB
AB
PC
AC
= .
dmonstrção:
Considere a reta r que passa pelo ponto B e é paralela
à bissetriz AP. Considere também o ponto Q de interseção
da reta r com o prolongamento do lado AC do triângulo.
B
x
P bissetriz
C
AQ
y
r
2
α
2
α
Sejam  )(α =med BAC , x med ABQ Q= ( ) ( )�  e y = med B C .
Como BQ // AP, os ângulos alternos internos ABQ e BAP ,
determinados pelo lado AB do triângulo, têm a mesma me
dida. Assim, x =
α
2
.
Pelo mesmo motivo, os ângulos correspondentes BQC
e PAC , determinados pelo lado AC e seu prolongamento
AQ, têm a mesma medida, ou seja, y =
α
2
.
Como x= y, o triângulo ABQ é isósceles de base BQ; logo,
QA = AB.
Pelo teorema de Tales, temos que PB
QA
PC
AC
= Assim,
substituindo QA por AB, temos PB
AB
PC
AC
= .

Bissetriz externa
Chamamos de bissetriz externa o segmento de reta
que une o vértice de um triângulo a um ponto do prolon
gamento do lado oposto a esse vértice, de modo que o
ângulo externo do vértice fique dividido ao meio.
Torm: as bissetrizes externas de um triângulo deter
minam, no prolongamento do lado oposto, dois segmentos
proporcionais aos lados adjacentes.
A
B C
P
bissetriz do ângulo externo
Na figura, se AP é bissetriz externa do triângulo ABC,
então PB
AB
PC
AC
=
dmonstrção:
Considere a reta r que passa pelo ponto B e é paralela
à bissetriz AP. Considere também o ponto Q de interseção
da reta r com o lado AC do triângulo, e um ponto D do pro
longamento do lado AC no sentido de C para A
A
D
Q
y
x
r
B C
P
bissetriz do ângulo externo
2
α
2
α
Sejamα = ( )med BAD , x med ABQ Q= ( ) ( )�  e y = med B A .
Como BQ AP // , os ângulos alternos internos ABQ e BÂP,
determinados pelo lado AB do triângulo, têm a mesma me
dida. Assim, x =
α
2
.
Pelo mesmo motivo, os ângulos correspondentes BQA
e PAD, determinados pelo lado AC e seu prolongamento
AD, têm a mesma medida, ou seja: y =
α
2
Como x = y, o triângulo ABQ é isósceles de base BQ,
logo, QA = AB.
Pelo teorema de Tales, temos que PB
QA
PC
AC
= . Assim,
substituindo QA por AB, temos PB
AB
PC
AC
= .


F
R
E
N
T
E
 3
299
Os pontos onde as bissetrizes interna e externa que partem do mesmo
vértice C de um triângulo ABC interceptam a reta AB
�
 são os conjuga-
dos harmônicos do segmento AB para uma mesma razão k ≠ 1
bissetriz
externa
bissetriz
interna
A
C
SS’ B
α + β
2
α β
γ
2
α + β
2
γ
2
AS
BS
A
B
k= = ≠
S'
S'
1
Também é importante observar que essas bissetrizes são perpen
diculares entre si.
Saiba maisSaiba maisSaiba mais
Exercícios resolvidos
15 A bissetriz do menor ângulo interno de um triângulo,
cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm, divide o lado
oposto a esse ângulo em segmentos de reta que dife-
rem um do outro em:
A 0,0 mm.
b 0,2 mm.
C 1,2 mm.
d 2,0 mm
E 2,2 mm.
Resolução:
Sendo x e y as medidas dos segmentos mencio-
nados, o enunciado pode ser representado pela
seguinte gura:
13 cm
x
y
12 cm
5
 c
m
Pelo teorema da bissetriz interna do triângulo:
x
y
cm
cm
= 13
12
.
Então, como x + y = 5 cm ⇔ y = (5 – x) cm:
)(= ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ =
x
5 x
13
12
12x 13 5 x
12x 65 13x 25x 65 x 2,6 cm
Portanto, y = 5 – 2,6 = 2,4 cm.
Logo, a diferença será x y = 2,6 2,4 = 0,2 cm = 2 mm.
Alternativa: D.
16 Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo em
A. O ponto D da hipotenusa BC e o ponto E do cateto
AC determinam um segmento paralelo ao lado AB.
Determine a medida AE sabendo que DE = 9, CD = 15
e os ângulos ADB e ADE são congruentes
B
D
EA C
Resolução:
Como DE AB // , o triângulo CDE também é retângulo.
Assim, pelo teorema de Pitágoras:
CD EC DE EC
EC
2 2 2 2 2 2
2
15 9
225 81 144
= + ⇔ = + ⇒
⇒ = =
Portanto, EC = 12.
Como DA é bissetriz do ângulo externo de vértice D
do triângulo DEC, pelo teorema da bissetriz externa,
temos que AE
AC
DE
DC
= .
Então, sendo x = AE:
)(
+
= ⇔
+
= ⇒
⇒ = + ⇒ = + ⇒
⇒ = ⇒ =
x
x 12
9
15
x
x 12
3
5
5x 3 x 12 5x 3x 36
2x 36 x 18
Portanto, AE = 18.
Base média do triângulo
Qualquer segmento de reta com extremidades nos
pontos médios de dois lados de um triângulo é uma base
média do triân gulo Desse modo, como qualquer lado de
um triângulo pode ser considerado sua base, todo triângulo
tem três bases médias
C
N
P
B
M
A
Na figura, como M é ponto médio de AB e N é ponto
médio de AC, então MN é a base média relativa ao lado BC
do triângulo. Porém, como P também é ponto médio de BC ,
então MP e NP também são bases médias relativas aos
lados AC e AB do triângulo, respectivamente
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas300
Teorema: cada base média de um triângulo é paralela
e tem a metade do comprimento da base correspondente
no triângulo.
C
N
b
B
M
A
b
2
AM MB e AN NC MN BC e MN
BC= = ⇔ = //
2
demonstração:
Como AM = MB e AN = NC, então AB = 2 ⋅ AM e
AC = 2 ⋅ AN, ou seja:
AB
AM
AC
AN
= = 2
Assim, pelo teorema de Tales, temos:
AB
AC
AM
AN
MN BC= ⇒ //
Então, como esse paralelismo garante a semelhança
dos triângulos AMN e ABC:
BC
MN
AB
AM
AC
AN
BC MN MN
BC= = = ⇒ = ⋅ ⇔ =2 2
2
Base média do trapézio
O segmento que une os pontos médios dos lados oblí-
quos de um trapézio é chamado de base média do trapézio.
Teorema: a base média de um trapézio é paralela às
bases dele e mede a média aritmética dos comprimentos
dessas bases.
= +Base média base maior base menor
2
base menor
base média
base maior
N
DA
M
B C
AD BC AM MB e DN NC MN AD
AD BC
 , BC e
MN
= = ⇔
= +
 // //
2
demonstração:
Considere que a diagonal BD do trapézio ABCD inter
cepte sua base média no ponto P.
N
DA
M
B C
P
Como as igualdades AM = MB e DN = NC implicam
AM
MB
DN
NC
= , pelo teorema de Tales, MN AD BC // // .
Como AM = MB e MP AD // , de acordo com o mesmo
teorema, concluímos que BP = PD
Portanto, MP é base média do triângulo ABD, logo,
MP
AD=
2
.
Analogamente, PN é base média do triângulo BCD,
logo, PN
BC=
2
.
Então, como MN = MP + PN:
MN
AD BC
MN
AD BC= + ⇔ = +
2 2 2
Mediana de Euler
O segmento com extremidades nos pontos deter-
minados pela base média de um trapézio em suas duas
diagonais é chamado de mediana de Euler
N
DA
M
P
mediana de Euler
Q
B C
Teorema: a mediana de Euler equivale à metade da
diferença absoluta entre as bases de um trapézio.
Mediana de Euler
base maior ase menor= b
2
demonstração:
Pelo teorema da base média do trapézio, temos que
AD MN BC // // . Assim, pelo teorema de Tales:
AM
MB
AQ
QC
DP
PB
DN
NC
= = =