Matemática - Livro 1-319-321

Prévia do material em texto

F
R
E
N
T
E
 3
319
Exercícios complementares
1 Os pontos P e Q dividem um segmento de reta AB em
três partes iguais de modo que P está mais próximo de
B do que de A. Se um ponto X pertence ao segmento
PQ e é tal que
AX
BX
=
7
5
, então a razão
QX
PX
 equivale a:
a 3 b 2 c 1 d
1
2
e
1
3
2 Uma determinada rodovia federal passa pelas proxi
midades das cidades A e B. A entrada para a cidade A
fica no quilômetro 255, e a entrada principal para a
cidade B fica no quilômetro 198. Um empresário de
seja construir um posto de gasolina nessa rodovia de
tal modo que a distância do posto à entrada principal
de uma dessas cidades seja o dobro da distância do
posto à entrada principal da outra cidade.
Diante disso, as opções para a localização do posto
de gasolina desse empresário em relação ao sistema
de quilometragem dessa rodovia são:
a apenas duas, nos quilômetros 217 e 236
b apenas duas, nos quilômetros 141 e 236.
c apenas três, nos quilômetros 141, 217 e 236
d apenas três, nos quilômetros 141, 236 e 312.
e apenas quatro, nos quilômetros 141, 217, 236 e 312
3 Fuvest 2011 (Adapt.) Definese geometricamente a
razão áurea do seguinte modo: o ponto C da figura a
seguir divide o segmento AB na razão áurea quando os
valores
AC
AB
e
CB
AC
são iguais. Esse valor comum é cha
mado razão áurea.
A C B
A razão áurea, também denominada proporção áu-
rea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a
imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em
geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente
enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte,
na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou
equivocadas. Infelizmente, essas afirmações sobre a razão
áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status
de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados
no Ensino Médio trazem conceitos incorretos sobre ela.
Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, “Misconceptions
about the golden ratio”, The College Mathematics Journal, 23, 1, january,
1992, p. 2-19.
Na gura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono
regular Utilize a semelhança de triângulos para de
monstrar que o ponto C da gura divide o segmento
AB na razão áurea.
A
D
C
B
E
F
G
4 IFMG 2017 A figura a seguir é um esquema represen
tativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e
o Sol estão representados pelas circunferências de
centros C1, C2 e C3, respectivamente, que se encon
tram alinhados. Considerase que a distância entre os
centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a
distância entre os centros da Terra e da Lua e que a
distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S
na superfície do Sol, como representados na figura, é
de 150 milhões de quilômetros.
T
L
S
C
3
C
2
C
1
Sabendose que os segmentos de reta C L
1
, C T
2
 eC S
3
são paralelos, a distância do ponto L, representado na
superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra,
é igual a
a 375 000 km.
b 400 000 km.
c 37 500 000 km.
d 40 000 000 km.
5 FGV Bem no topo de uma árvore de 10,2 metros de
altura, um gavião casacadecouro, no ponto A da
figura, observa atentamente um pequeno roedor
que subiu na mesma árvore e parou preocupado
no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma reta
vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um ga
roto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4
centímetros de comprimento e, usando uma régua,
descobre que a sombra da vareta mede 36 centí
metros de comprimento.
Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra
do gavião percorrer 16 metros em linha reta e car
sobre a sombra do roedor, que não se havia movido
de susto.
Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de
voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente
de A para B?
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas320
6 Uma chapa metálica no formato de um trapézio com
bases de 15 cm e 50 cm, cujos lados não paralelos
medem 45 cm e 60 cm, como mostra a figura, deverá
ser cortada em duas peças com o mesmo perímetro.
15 cm
60 cm
45 cm
50 cm
Se o corte for feito sobre uma linha paralela às bases
do trapézio, a razão entre as alturas dos trapézios ob-
tidos será:
A de 2 para 1.
b de 3 para 1.
C de 4 para 1.
d de 3 para 2.
E de 4 para 3.
7 Unesp 2011 Uma bola de tênis é sacada de uma altura
de 21 dm, com alta velocidade inicial, e passa rente à
rede, a uma altura de 9 dm Desprezando-se os efeitos
do atrito da bola com o ar e do seu movimento para-
bólico, considere a trajetória descrita pela bola como
sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede.
Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da
rede, a que distância da rede, em metros, ela atingirá o
outro lado da quadra?
8 Qual é a medida da altura de um trapézio ABCD
retângulo de bases AB = 9 cm e CD = 4 cm cujas
diagonais são perpendiculares entre si?
9 Uma estrutura metálica retangular, com dimensões de
1,5 m por 0,4 m, será reforçada por barras de aço
presas nos pontos A, P, B, C, Q e D, como ilustra a
figura a seguir.
A D
C
Q
0,4 m
B
P
x
a
b
Nessa situação, para usar a menor quantidade de aço
possível, os ângulos de vértices A e B, mostrados na
gura, devem ter a mesma medida. Dessa forma, se
a = 20 cm e b = 5 cm, a medida x deverá ser igual a:
A 4 cm
b 8 cm.
C 10 cm.
d 12 cm
E 20 cm
10 Uma brincadeira muito popular que pode ser feita com
as pedras do dominó consiste em enfileirar as pedras
do jogo para depois derrubá-las todas, como uma
reação em cadeia A internet está repleta de vídeos
com as mais criativas cascatas de dominós dispostos
em diversas posições diferentes, de modo a gerar pa
drões esteticamente estimulantes para quem observa
o evento da sucessiva queda das pedras. Em uma
dessas cascatas de dominós, algumas pedras ficavam
em posições oblíquas equilibradas entre duas outras
pedras em posição vertical, como mostra a ilustração:
56 mm
50 mm
x mm
Observando que cada pedra do dominó tem a forma
de um retângulo formado por dois quadrados idênti
cos, determine a medida x, em milímetros, de acordo
com as demais medidas indicadas na ilustração.
11 Fuvest Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola
branca na posição B e uma bola vermelha na posição
V, conforme o esquema a seguir
0,80 m
0,40 m
V
x
Q
R
1,20 m
0,90 m
B
SP
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a
trajetória indicada na gura e atinja a bola vermelha.
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com
uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e
de reexão são iguais, a que distância x do vértice Q
deve-se jogar a bola branca?
F
R
E
N
T
E
 3
321
12 A figura a seguir apresenta três quadrados de bases
consecutivas inscritos em um mesmo ângulo.
Se os lados dos quadrados menores medem 24 cm e
36 cm, determine o lado do quadrado maior.
13 Unicamp 2011 Considere uma gangorra composta por
uma tábua de 240 cm de comprimento, equilibrada,
em seu ponto central, sobre uma estrutura na forma
de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de
altura igual a 60 cm, como mostra a figura. Suponha
que a gangorra esteja instalada sobre um piso perfei-
tamente horizontal.
240 cm
60 cm
a) Desprezando a espessura da tábua e supondo que
a extremidade direita da gangorra está a 20 cm do
chão, determine a altura da extremidade esquerda.
) Supondo, agora, que a extremidade direita da tábua
toca o chão, determine o ângulo α formado entre
a tábua e a lateral mais próxima do prisma, como
mostra a vista lateral da gangorra, exibida a seguir.
240 cm
60 cm α
14 A estrutura de sustentação de um palco praticável
distribui o peso recebido no topo AB pelas vigas
metálicas soldadas sobre as diagonais dos trapézios
ABCD e CDEF, como mostra a figura.
A B
CD
E F
Na gura, as formas geométricas trapezoidais que
compõem a estrutura são semelhantes, e as bases
do trapézio maior medem 90 cm e 60 cm Então, se
as diagonais do trapézio maior medem exatamente 1
metro, determine:
a) o comprimento do topo AB da estrutura.
) o comprimento aproximado da diagonalAC do
trapézio.
15 A figura a seguir mostra um terreno na forma de um
quadrilátero ABCP, situado na esquina de duas ruas de
um condomínio fechado.
O proprietário deseja construir sua casa sobre a re-
gião do terreno representada pelo trapézio retângulo
ABCD, cuja base menor AD tem a mesma medida do
lado AB , reservando a região representada pelo triân-
gulo retângulo APD para fazer um jardim de entrada.
P
D
C
A
B
Se AP e DP medem, respectivamente, 4 m e 3 m,
então o perímetro do terreno representado pelo qua
drilátero ABCP mede:
A 25 m.
b 27 m.
C 29 m.
d 31 m.
E 33 m.
16 O vidro da janela lateral de um novo modelo de veículo
tem forma muito semelhante à do trapézio ABCD ilustra-
do a seguir:
A
C
100º
50º
B
D
Se os lados paralelos AB e CD desse trapézio me-
dem 20 cm e 80 cm, a diagonal BC mede 40 cm e as
medidas dos ângulos BAC e BCD medem, aproxima-
damente, 100° e 50°, a melhor estimativa da medida
do ângulo BDC é:
A 30°
b 35°
C 40°
d 45°
E 50°