Matemática - Livro 2-031-033

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CAPÍTULO Função modular
O conceito de valor absoluto de um número real é utilizado para medir a distância
entre dois números reais quaisquer. Se a e b são dois números reais, a distância entre
eles é o valor absoluto da sua diferença. Geometricamente, se A e B são as coordena-
das de dois pontos de uma reta, o comprimento do segmento AB é a distância entre
eles. Além da determinação da distância entre pontos, o conceito de valor absoluto
é aplicado quando estamos interessados na magnitude de um número real, indepen-
dentemente do seu sinal.
FRENTE 1
e
a
m
e
s
B
o
t/
S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
.c
o
m
MATEMÁTICA Capítulo 6 Função modular32
Conceitos básicos
Definição de módulo
O módulo ou valor absoluto de um número real x é
indicado por |x| e possui os seguintes valores:
|x| x se x 0
ou
|x| x se x 0
= ≥
= <




Ou seja:
y o módulo de um número real não negativo é o próprio
número.
y o módulo de um número real negativo é o oposto do
número.
Observe: |-3| = 3; |0| = 0; |7| = 7 e 2 2= +2 2 .
Conceito geométrico
Além da definição clássica e formal do módulo de um
número real, o conceito geométrico nos auxiliará na com-
preensão de algumas inequações modulares.
O módulo de um número real representa a distância
do ponto (número) até a origem da reta real. Observe os
exemplos:
y |3| = 3
y |-5| = 5
−3 0 5 r
|−3| = 3 |5| = 5
Fig. 1 Conceito geométrico de módulo.
Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta
e um número real, ou seja, cada ponto da reta representa um único
número, e cada número representa um único ponto.
Atenção
Aplicação do conceito de módulo
A definição de módulo de um número real x refere-se
a |x|, o que causa confusões na resolução de exercícios. Para
que não ocorra isso, analisaremos os seguintes exercícios.
Exercícios resolvidos
1 Calcule |x 1|
Resolução:
Faça a análise de sinal da função interna ao módulo.
f(x) = x 1
1
x
+
Observe que: f(x) ≥ 0 para x ≥ 1 e f(x) < 0 para x < 1.
Assim:
|x 1| = x 1 para x ≥ 1 e
|x 1| = (x 1) = x + 1 para x < 1
2 Calcule |x2 - x|.
Resolução:
Faça a análise do sinal da função interna ao módulo
x0 1
f(x) = x2 – x
++
Observe que:
f(x) ≥ 0 para x ≥ 1 ou x ≤ 0 e f(x) < 0 para 0 < x < 1
Assim:
|x2 x| = x2 x para x ≥ 1 ou x ≤ 0 e
|x2 x| = -(x2 x) = -x2 + x para 0 < x < 1
3 Calcule x ⋅ |x|.
Resolução:
Faça a análise do sinal da função que está dentro do
módulo:
0 x
f(x) = x
+
Observe que:
f(x) ≥ 0 para x ≥ 0 e f(x) < 0 para x < 0
Assim:
x ⋅ |x| = x ⋅ x = x2 para x ≥ 0 e
x ⋅ |x| = x ⋅ (-x) = -x2 para x < 0
4 Calcule |x - 1| + |x - 2|.
Resolução:
Análise das funções f(x) = x 1 e g(x) = x 2
2
+
−1
+
−
Observe o quadro de sinais
|x - 1| -x + 1 x - 1 x - 1
|x 2| x + 2 x + 2 x 2
|x 1| + |x 2| 2x + 3 1 2x 3
 1 2
Assim: + =
- -




≤
≥
<
<
|x 1 | |x 2 |
2x 3;
1;
2x 3;
1
x 2
x 2
x 1
F
R
E
N
T
E
 1
33
Propriedades do módulo
P1 | |x ≥ ∀ ∈0; x R
P2 | |x ≥ ∀ ∈x; x R
P3 x = | x |
2
P4 |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|
P5
x
y
x
y
= ≠; y 0
P6 |x| + |y| ≥ |x + y|
Demonstrações:
P1 Pela definição de módulo, a propriedade é óbvia.
O módulo sempre é um número positivo ou nulo.
P2 Observe os exemplos, não é uma demonstração:
|-3| = 3 → |-3| ≥ -3 ou |3| = 3 → |3| ≥ 3
P3 |x| = x ou -x, logo |x|
2 = x2 = (-x)2 \ |x|2 = x2 logo |x| = 2
P4 | x y | (xy) x y = x y = | x | | y |
2 2 2 2 2
⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅
P5
x
y
x
y
=




= = ≠
2
x
y
x
y
=
|x|
|y|
y 0
2
2
2
2
;
P6 Demonstração por redução ao absurdo (negação da
tese):
|x| + |y| < |x + y| ⇔ (|x| + |y|)2 < (|x + y|)2 ⇔
⇔ |x|2 + 2|x| ⋅ |y| + |y|2 < (x + y)2 ⇔
⇔ x2 + 2|x ⋅ y| + y2 < x2 + 2xy + y2 ⇔ 2|xy| < 2xy ⇔
⇔ |xy| < xy, absurdo, pela P2, logo |x| + |y| ≥ |x + y|
Construção de gráficos
A construção de qualquer gráfico pode ser feita pela
definição de módulo, dividindo o gráfico em vários inter-
valos ou por meio de transformações geométricas, como
podem ser observados nos exercícios resolvidos.
y Para discutir o |f(x)|, devemos fazer uma análise de sinal da fun-
ção f(x).
y Lembre-se!
Considere a função com a ≠ 0, y = ax2 + bx + c, se a > 0 e ∆ < 0,
y > 0; ∀ x ∈R.
x
+ + +
Atenção
Exercícios resolvidos
5 Calcule f(x) = |x 1|.
Resolução:
Construa a função que está dentro do módulo. Trata-
-se da função do 1o grau x - 1.
1
x
–1
y
Pela propriedade P1, não podemos ter valores nega-
tivos para |x - 1|, então todo o gráco com base em
x < 1 tem que ser multiplicado por -1. Isso equivale a
rebater essa parte do gráco simetricamente em rela-
ção ao eixo x.
Observe:
1
x
–1
1
y
6 Calcule f(x) = |x2 x|.
Resolução:
Utilizando o mesmo raciocínio do exercício resolvido 1,
temos:
1 x
y
4
–1
2
1
Rebatendo a parte negativa:
1 x
2
1
y
4
–1
4
1
0