MODULO 2_APOSTILA

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MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
BINOMIO DE NEWTON 
 
NÚMEROS BINOMIAIS 
 
Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização: 
 
p)!.p!(n
n!
p
n
−
=





 
com nN, pN e p ≤ n. 
 
Situações particulares 
1
0
n
0, =





=nC
 
nCn =





=
1
n
1,
 
1
n
n
, =





=nnC 
 
EXEMPLO 01 - Dado o número binomial 






18
20
, temos: 
A) 190 
B) 180 
C) 380 
D) 220 
 
 
 
 
PROPRIEDADE DO COEFICIENTE BINOMIAL. 
 
Se n, p, k  IN e p + k = n, então 





=





k
n
p
n
. Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo 
numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares. 
 
EXEMPLO 02 - Determine m que verifique 






+
=





− 4m
12
1m2
12
 
OBS: Em igualdade de números binomiais sempre analisar p = k e p + k = n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
 
Chamamos de Binômio de Newton a toda potência da soma de dois elementos, da forma 
 
(a + b)n 
 
Observe que o nome binômio se refere ao fato de ter dois elementos em soma dentro da potência. 
Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para expandi-los, sem requerer ao método da distributiva. 
 
Vamos fazer o desenvolvimento de alguns binômios: 
 
(i) (a + b)0 = 1 
(ii) (a + b)1 = a + b 
(iii) (a + b)2 = a² + 2ab + b² 
(iv) (a + b)3 = (a + b)2 . (a + b) = (a² + 2ab + b²). (a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 
(v) (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
 
 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
 
Observe nas expansões anteriores que os coeficientes são conhecidos através de um conceito 
muito utilizado em análise combinatória. Eles são dados através de combinações, que aparecem 
através das possibilidades de escolha para formar o termo de sua expansão, ou seja, 
 
 
 
Por exemplo, no termo (
5
2
) a3 b2 da expansão de (a + b)5, temos que escolher, independente da 
ordem, 2 b’s dos 5 disponíveis no produto. Ao escolher os b’s, automaticamente os a’s serão 
selecionados. A quantidade de escolhas é dada por (
5
2
). Observe os coeficientes obtidos nas 
expansões acima. Vamos listá-los abaixo em forma de triângulo, chamado de triângulo de Pascal. 
Esse triângulo é composto, nas linhas, por todas as combinações possíveis de n, de 0 a n. 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
 
EXEMPLO 03 - Calcule 
=





6
0 0
6
p 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
❶ o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio. 
❷ o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos . 
❸ os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no desenvolvimento 
de (a + b)n são iguais . 
❹ a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n . 
 
k 
EXEMPLO 04 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o 
valor de n? 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DO BINÔMIO 
 
Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles é da forma 
 
𝐓𝐩+𝟏 = 𝐂𝐧
𝐩
. (𝟏º 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐨)𝐧−𝐩. (𝟐º 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐨)𝐩 
Onde 
n = expoente do binômio 
p = número de termos antes do termo procurado 
 
OBSERVAÇÃO 
p)!.p!(n
n!
p
n
−
=





=pnC
 
 
EXEMPLO 05 - Calcule o terceiro termo do desenvolvimento (4𝑥 + 𝑎)5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 06 - Qual é o termo médio de (2𝑥³ −
1
𝑥²
)
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 07 - Qual é o termo independente de x em (3𝑥² −
2
𝑥4
)
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 08 - Determine o valor do termo x4 de (2𝑥³ −
1
𝑥
)
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 09 - CFOE 2011 O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento de 
(𝑥6 −
1
𝑥²
)12 
a) – 168 
b) 240 
c) 184 
d) – 220 
 
 
EXEMPLO 10 - CFOE 2015 Preencha as lacunas abaixo e, em seguida, assinale a alternativa 
correta. O coeficiente do termo em x4 no desenvolvimento de 
8
1
2 





−
x
x é um número 
_____________ cuja soma dos algarismos é _____________. 
a) positivo / par 
b) negativo / par 
c) positivo / ímpar 
d) negativo / ímpar 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
SOMA DOS COEFICIENTES 
 
A soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio é obtida por meio da substituição de 
suas variáveis por 1. 
 
EXEMPLO 11 - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)5 
 
 
 
EXEMPLO 12 - Calcule a soma dos coeficientes da expansão de (3. 𝑥2 − 
1
𝑥4
)
11
. 
 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
01) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8? 
 
02) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7. 
 
03) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o e do penúltimo termo do desenvolvimento de 
(x - 1)80? 
 
04) (UERN/2013) A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do 
binômio de newton (2/x + x)8 
A) 4 
B) 6 
C) 7 
D) 11 
 
05) UF. VIÇOSA A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é: 
a) 5 
b) 6 
c)10 
d) 3 
e) 4 
 
06) MACK SP Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em 
progressão aritmética. O valor de n é: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
07) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos 
é igual a: 
A) 2048 
B) 20480 
C) 248 
D) 12347 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
08) UFBA Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é 
igual a 256, calcule (m/2)! 
 
09) UFBA Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9. 
 
10) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10. 
 
GABARITO 
 
01) T4 = 1512.x5 02) – 128 
03) 6400 04) A 
05) E 06) 8 
07) C 08) 24 
09) 84 10) 1024 
 
LLL 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
TRIGONOMETRIA - PARTE UM 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Observando o triângulo retângulo ABC (Â = 90O), temos: 
BC = hipotenusa = a 
AC = cateto = b 
AB = cateto = c 
ˆ B + ˆ C = 90o 
AC = cateto oposto ao ângulo ˆ B 
AB = cateto adjacente ao ângulo ˆ B 
AC = cateto adjacente ao ângulo ˆ C 
AB = cateto oposto ao ângulo ˆ C 
 
 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
 HIP² = CAT² + CAT² 
 
EXEMPLO 13 - Uma escada que mede 4m tem uma de suas extremidades aparada no topo de um 
muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro é: 
a) 2,3m 
b) 3,2m 
c) 3,0m 
d) 3,8m 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 14 - (UFSM) Um fio de antena está preso no topo de um prédio de 16 metros de altura e 
na cumeeira de uma casa ao lado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano (horizontal) e 
sabendo que a distância entre a casa e o prédio é de 9 metros, o comprimento do fio é, em metros, 
a) 12 
b) 15 
c) 337 
d) 20 
e) 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E ARCOS NOTÁVEIS 
 
 sen x =
cateto oposto a x
hipotenusa
 
 
 
 cos x =
cateto adjacente a x
hipotenusa
 
 
 
 tg x =
cateto oposto a x
cateto adjacente a x
 
 
 
 30o 45o 60o 
sen 
 
1
2
 
 
2
2
 
 
3
2
 
cos 
 
3
2
 
 
2
2
 
 
1
2
 
tg 
 
3
3
 1 3 
 
EXEMPLO 15 - (FAAP-SP) Um arame de 18 m de comprimento é esticado do nível do solo 
(suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo-se que o ângulo formado pelo arame 
com o solo é de 30o, calcule a altura do poste. 
a) 18 m 
b) 36 m 
c) 9 m 
d) 4,5 m 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 16 - CFOE 2012 Analise o triângulo retângulo AO LADO. 
Das relações apresentadas a seguir, assinale a correta. 
a) sen β < tg α 
b) cos α > tg β 
c) sen α < cos β 
d) cos α > sen β 
 
 
 
 
╠ X é o valor do ângulo dado ou que podemos 
encontrar usando a ideia de ângulos 
complementares. 
 
╠ X normalmente é usado para 30º, 45º e 60º, 
conhecidos também como ângulos notáveis. 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
LEI DOS SENOS 
 
 
 
Para qualquer triângulo, é constante a razão entre cada lado e o seno do 
ângulo oposto. Se o triânguloestiver inscrito na circunferência, esta constante 
de proporcionalidade será igual ao diâmetro. 
 
 R2
Ĉ sen
c
B̂ sen
b
 sen
a
=== 
 
 
 Dica: 
 
 
EXEMPLO 17 - PUC No triângulo da figura ao lado α = 30º β = 15º e AC = 215 . A medida de BC é: 
a) 10 
b) 610 
c) 15 
d) 215 
e) 315 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 18 - (UFSM – 2005) Na instalação das lâmpadas da praça de alimentação, a equipe 
necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do 
triangulo, segundo a figura. Assim, a distância “d” e 
a) 50 m 
b) 50 m 
c) 50 m 
d) 25 m 
e) 50 m 
 
use sen 135º = - 
√𝟐
𝟐
 
 
 
 
A B
C
R
b a
c
0
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
Para qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, 
menos o duplo produto destes pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
 
 a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos ˆ A 
 
 b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cos B 
 
 c2 = a2 + b2 – 2.a.b. cos C 
 
 
 
 
 
 Dica: 
 
 
EXEMPLO 19 - Um triângulo tem dois lados com medidas 10 cm e 12 cm, formando um ângulo de 
60º. Calcular a medida do lado oposto ao ângulo de 60º. 
 
a) 2 31 
b) 13 
c) 37 
d) 14 
e) 15 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 20 - CFOE 2010 Um avião parte de uma cidade A com destino a uma cidade C, fazendo 
escala na cidade B. Sabe-se que a distância de A a B é de 500 km e de B a C é de 300 km e o 
ângulo B mede 120º, conforme informações contidas na figura a seguir: 
 
Em uma emergência, foi autorizado um voo diretamente de A a C e, neste caso, a distância 
percorrida pelo avião foi de 
a) 650 km. 
b) 680 km. 
c) 700 km. 
d) 715 km. 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 21 - CFOE 2011 Um triângulo apresenta lados iguais a 30 cm, 50 cm e 70 cm. Em 
relação a esse triângulo, indique verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma e marque a opção com 
a sequência correta. 
( ) O triângulo é retângulo. 
( ) O maior ângulo interno é igual a 120º. 
( ) O triângulo apresenta dois ângulos internos iguais. 
( ) A soma dos dois menores ângulos internos é superior a 60º. 
a) F – V – F – V 
b) V – V – V – F 
c) F – F – F – V 
d) F – V – F – F 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
01) O valor da expressão E = tg 60° + 2 . tg 45° - 3 . tg 30° é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) -2 
e) -3 
 
02) UFSM/PEIES Para investigar a razão entre as distâncias da Terra ao Sol e da Terra à Lua, o 
astrônomo grego Aristarco de Samos observou que, quando a Lua está no quarto crescente, o 
triângulo TSL ( sendo T um observador na Terra, L o centro da Lua e S o centro do Sol) é retângulo 
em L. 
SSabendo que a medida do ângulo é 0,15º, pode-se afirmar que a razão é igual a : 
1
)
0,15º
)cos0,15º
) 0,15º
1
)
cos0,15º
)cos89,85º
a
sen
b
c tg
d
e
 
 
03) CEFET ES A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 8 cm e um de seus ângulos mede 
60º. A medida do cateto adjacente ao ângulo dado vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
04) EEAR 2006 O perímetro de um triângulo retângulo é 36 cm, e os números que expressam as 
medidas de seus lados formam uma PA. O cateto maior desse triângulo, em cm, mede 
a) 15. 
b) 12. 
c) 8. 
d) 6. 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
05) (EEAR) Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 10 cm. O seno do menor ângulo 
desse triângulo é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
06) (EEAR) Num paralelogramo, os lados medem 5cm e 3cm. Se a medida do ângulo agudo é 60º, 
então a diagonal menor, em cm, mede. 
a) 7 
b) 8,05 
c) 
d) 
 
07) Uma escada rolante de 6m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 
30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares. 
Use os valores: sen 30º = 0,5, cos 30º = 0,87 e tg 30º = 0,58. 
a) 3,48. 
b) 4,34. 
c) 5,22. 
d) 5. 
e) 3. 
 
08) Um teleférico deve unir os topos A e B de dois morros. Para calcular a quantidade de cabos de 
aço necessária, um engenheiro mediu as alturas dos morros em relação a um mesmo plano 
horizontal, obtendo assim 108 m e 144 m. A seguir, mediu o ângulo que a reta AB forma com a 
horizontal, obtendo 32º. Calcule a distância entre A e B sabendo que sen 32º = 0,52, cos 32º = 0,84 
e tg 32º = 0,62. 
a) 69,2. 
b) 6,92. 
c) 59,22. 
d) 64. 
 
09) Calcule o valor do cosseno do ângulo x. 
 
a) 5/7. 
b) 6/7. 
c) 5/8. 
d) 1/5. 
 
 
GABARITO 
 
01) C 02) A 03) D 04) A 05) B 
06) D 07) E 08) A 09) D 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
FUNÇÃO 
 
Definição: Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de 
aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo xA 
existe só yB tal que (x, y)  f. 
 
f é aplicação de A em B  ( )),/(!, fyxByAx  
 
O domínio, o contradomínio e a imagem de uma função são conjuntos importantes para 
definirmos o que é função e compreendermos melhor o seu comportamento. 
 
Domínio da função 
Dada uma função qualquer, o domínio é formado pelos valores que o x pode assumir. Na 
maioria das vezes, trabalhamos a função que vai de R em R, ou seja, o domínio é o conjunto dos 
números reais e o contradomínio também, entretanto, pode ser que haja algumas restrições para 
o domínio. 
 
Contradomínio 
Como vimos, o contradomínio de uma função f: A → B é o conjunto B. O contradomínio que 
mais trabalhamos é o conjunto dos números reais. É importante lembrarmo-nos de que no domínio 
todo elemento tem que ter necessariamente um correspondente no contradomínio, porém não há 
uma restrição para o contradomínio, logo, o conjunto pode ter elementos que não sejam 
correspondentes de ninguém no domínio, um exemplo seria a função f(x) = x² com f: R → R. 
Note que por mais que nessa função a imagem nunca seja negativa, ou seja, para todo valor de x, 
x² é sempre um número positivo, ainda sim o contradomínio pode ser os números reais. Ter um 
resultado sempre positivo faz com que a imagem seja sempre um número positivo, o que não 
altera o contradomínio. 
 
Imagem 
O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio formado por todos 
os elementos correspondentes de algum elemento do domínio. 
 
Seja f = 2x – 1 f: A → B em que A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, qual será o conjunto 
imagem? 
Nesse caso, o conjunto imagem será formado pela imagem de cada um dos elementos do conjunto 
A. 
f(0) = 2 · 0 – 1 = 0 – 1 = -1 
f(1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1 
f(2) = 2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3 
f(3) = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5 
 
EXEMPLO 22 - Dada a função f(x) = -x², f: R → R, podemos afirmar que o conjunto imagem dessa 
função é: 
a) todos os números reais 
b) todos os números reais iguais a zero ou positivos 
c) todos os números reais não nulos 
d) todos os números reais iguais a zero ou negativos 
e) todos os números inteiros 
 
 
 
 
 
 
 
llll 
D(f) = { 
CD(f) = { 
Im(f) = {
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/funcao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/subconjuntos-relacao-inclusao.htm
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
Domínio pelo gráfico de uma função 
 
Como identificar uma função 
POR DIAGRAMA 
 
PROCESSO: 
 
No conjunto partida não pode sobrar 
elemento. 
 
 
Do conjunto partida não pode sair duas 
flechas de um mesmo elemento. 
 
 
POR GRÁFICO 
 
PROCESSO: 
 
Traçar retas perpendiculares ao eixo x. Para que 
seja uma função cada reta deve cortar o gráfico 
em apenas um ponto. 
 
 
 
 
 
Estudo do Domínio de uma função 
Ao estudarmos uma função definida em conjuntos numéricos e com, lei de formação algébrica sem 
domínio indicado, devemos considerar como domínio todos os valores de x ∈ que tornam 
possíveis as operações indicadas na lei de formação. As funções devem ser caracterizadas de 
acordo com algumas condições de existência: 
EXEMPLO 23 
A) 
 
1
2
)(
−
+
=
x
x
xf 
 
B) 
64)( −= xxf 
 
 
C) 
3 93)( −= xxfD) 
1
2
)(
+
−
=
x
x
xf 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
 
EXEMPLO 24 - Dada a função f(x)= 
2
52
)(
−
+
=
x
x
xg , seu domínio é o conjunto 
a) {x ∈ R∣ x ≥ −5/2 e x ≠ 2} 
b) {x ∈ R∣ x ≥ −5/2 e x ≠ 2} 
c) {x ∈ R∣ x < 5/2 e x ≠ 2} 
d) {x ∈ R∣ x ≥ −5/2} 
 
 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
01) Dada a função f(x) = 2x, com domínio igual ao conjunto dos números naturais, assinale a 
alternativa correta relativa a seu domínio, contradomínio e imagem. 
a) O domínio dessa função possui todos os números inteiros. 
b) Não é possível usar essa função para qualquer fim, pois o seu contradomínio não está bem 
definido. 
c) A imagem dessa função é igual ao conjunto dos números pares não negativos. 
d) O contradomínio dessa função não pode ser o conjunto dos números naturais. 
e) A imagem dessa função é igual ao seu domínio. 
 
 
02) Uma função f é uma regra que relaciona cada elemento do conjunto A a um único elemento do 
conjunto B. A respeito das definições de domínio, contradomínio e imagem de uma função, 
assinale a alternativa correta: 
a) Seja f(x) = y a função acima, o domínio dessa função é o conjunto de números que podem ser 
relacionados à variável y dependente. 
b) Seja f(x) = y a função acima, o domínio dessa função é o conjunto de números relacionados à 
variável independente x. 
c) O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os resultados que se relacionam a algum 
elemento do domínio. 
d) A imagem de uma função é o conjunto numérico com todos os valores que podem ser 
relacionados a algum elemento do domínio. 
 
 
03) (UEPA ADAPTADA) Dentre os romeiros, há aqueles que acompanham o círio carregando 
miniaturas de casa, barcos, parte do corpo humano em cera, velas, etc. Por considerarem 
atendidas por nossa senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes objetos são tantos que existem 
carros especiais para recolhê-los. Considerando a existência de um conjunto A, formado pelos 
romeiros do círio, e um conjunto B formado pelos objetos ofertados/recolhidos durante a procissão, 
é correto afirmar que: 
(a) Todos os elementos de A estão associados a elementos de B, o que caracteriza uma função de 
A em B. 
(b) Alguns elementos de A estão associados a elementos de B, que caracteriza uma relação de A 
em B. 
(c) Nenhum elemento de A está associado a elementos de B. 
(d) Existem elementos de B que não estão associados a elementos de A. 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
 
04) Em certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda, 
trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o 
conjunto das 6 crianças e as seguintes relações: 
I. A que associa cada mãe ao seu filho. 
II. A que associa cada filho à sua mãe. 
III. A que associa cada criança ao seu irmão. São funções: 
(a) somente a I 
(b) somente a II 
(c) somente a III 
(d) todas 
 
05) Dada a função f: IR IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) 
definida por f(x) = x2 -5.x + 6, o(s) valor(es) de x cuja imagem vale 2 
a) é(são) negativo(s). 
b) um é negativo o outro é positivo. 
c) é(são) número(s) quadrado(s) perfeito(s). 
d) é um número primo 
 
GABARITO 
 
01. C 02. B 03. B 04. B 05. C 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Uma função f de IR em IR definida por f(x) = a.x + b é função do 1º grau ou função afim. 
 
COEFICIENTES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Dada a função real f(x) = a.x + b, 





te)independen (termolinear ecoeficient b
angular ecoeficient chamado a
 
O gráfico da função f(x) = a.x + b é uma reta. 
 
a > 0 (crescente) 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 (decrescente) a = 0 (constante) 
 
OBSERVAÇÃO 
❶ Quando b = 0, a função é chamada de função linear. 
❷ A função f(x) = x é chamada de função identidade. 
❸ É importante perceber que o valor do termo independente (b) da função é o ponto 
em que o gráfico da mesma corta o eixo y. 
❹ As funções de 1º grau têm a característica de que variações iguais no x provocam 
variações iguais no y. 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 25 - TAIFEIRO 2008 Se f(x) = (k – 4).x + 2 é uma função do 1º grau decrescente, então 
a) k < 4. 
b) k > 6. 
c) k = 5. 
d) k = 8. 
 
 
Como calcular uma função que passa por dois pontos 
 
- Dados no gráfico; 
- Dados no enunciado de um problema; 
- Pontos ordenados dados; 
 
 
 
 
 
 
Dados dois pontos A (xa, ya) e B (xb, yb), para acharmos a função da reta (isto é, o coeficiente angular “a” e o 
coeficiente linear “b”, basta resolvermos o sistema linear formado por esses dois pontos, onde a e b serão as 
incógnitas. 
 
EXEMPLO 26 - (PUC PR ADAPTADA) Seja uma função afim f(x), cuja forma é f(x) = a.x + b, com 
a e b números reais. Se f(-3) = 3 e f(3) = − 1 os valores de a e b, são respectivamente: 
a) 2 e 9 
b) 1 e −4 
c) 2 e −7 
d) -2/3 e 1 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Em relação ao a e b podem ser feitas outras perguntas do tipo: 
a + b a.b ab a - b 
b
a
 . . . . 
 
EXEMPLO 27 - De acordo com o gráfico representado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a lei da função do 1º grau? 
a) f(x) = – 4x + 2 
b) f(x) = 4x + 2 
c) f(x) = 2x + 4 
d) f(x) = – 2x + 4 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
RAIZ DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
A raiz da função de primeiro grau a.x + b = 0 é, x =(−
𝒃
𝒂
, 0), ou seja o ponto em que a reta corta o eixo 
x. 
 
EXEMPLO 28 - Sabendo que a função f(x) = m.x + n admite 3 como raiz e f(1) = -8, calcule os 
valores de m.n é 
a) inteiro positivo 
b) inteiro negativo 
c) racional 
d) irracional 
 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Sinais da função do 1º grau crescente Sinais da função do 1º grau decrescente: 
 
 
 
CASOS 
Função Crescente Função Decrescente 
 
 
EXEMPLO 29 - Determine os sinais da função y = 3x + 9. 
Fazendo y = 0, calculando a raiz da função: 
3x + 9 = 0 
3x = – 9 
x = – 9/3 
x = – 3 
A função possui o coeficiente a = 3, no caso, é maior que zero, portanto, a função é crescente. 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser 
uma das seguintes formas: 
 
ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0. 
 
EXEMPLO 30 - EEAR 2014 A solução da inequação 2(x + 2) + 5x ≤ 4(x + 3) é um intervalo real. 
Pode-se afirmar que pertence a esse intervalo o número 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
 
 
 
 
EXEMPLO 31 - EEAR 2009 Dada a inequação 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1, o menor valor inteiro que a 
satisfaz é um número múltiplo de 
a) 3. 
b) 2. 
c) 7. 
d) 5. 
 
 
 
 
TESTES 
 
01) EEAR 2014 O ponto de intersecção dos gráficos das funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x – 1 
pertence ao ____ quadrante. 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
 
02) (EPCAr 2017) João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito, optou por alugar um 
veículo para cumprir seus compromissos de trabalho. A locadora, então, lhe apresentou duas 
propostas: - plano A, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 50,00 e mais R$ 1,60 por quilômetro 
rodado. - plano B, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 64,00 mais R$ 1,20 por quilômetro 
rodado. João observou que, para certo deslocamento que totalizava k quilômetros, era indiferente 
optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor final a ser pago seria o mesmo. É correto afirmar 
que k é um número racional entre 
a) 14,5 e 20 
b) 20 e 25,5 
c) 25,5 e 31 
d) 31 e 36,5 
 
03) (MACK-SP ADAPTADA) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1, 
o valor de f(3) é: 
a) 0 
b) 2 
c) –1 
d) –3 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
04) A figura representa a função y = a.x + b. O valor da função no ponto x = -1/3 é: 
 
A) 2,8 B) 2,6 C) 2,5 D) 1,6 E) 1,7 
 
05) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para 
isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 
por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrouR$ 120.000,00 por km (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas 
apresentaram o mesmo padrão de quantidade de serviços prestados, mas apenas uma delas 
poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitará encontrar a 
extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas 
apresentadas? 
a) 100n + 350 = 120n + 150 
b) 100n + 150 = 120n + 350 
c) 100(n + 350) = 120(n + 150) 
d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000) 
 
06) PUC ADAPTADA A função f: IR → IR é definida por f(x) = 4x – 1. 
Então, S = f(1) + f(2) + f(3) + .... + f(10) é igual a 
a) 55 
b) 210 
c) 390 
d) 420 
 
 
07) (BRIGADA 2012) Dada as funções reais definidas por f(x) = -5.x + 2 e g(x) = 2.x + 3, analise as 
afirmações abaixo 
I – os gráficos dessas funções cortam o eixo Y num mesmo ponto. 
II - f(2) < g(-3). 
III – Ambas as funções são crescentes. 
a) Apenas a I. 
b) Apenas a II. 
c) Apenas a I e a III. 
d) Apenas a II e a III. 
e) A I,a II e a III. 
 
 
08) Seja f, de R em R, uma função definida por f(x) = mx + p. Se os pontos (-2,7) e (2,-1) pertencem 
ao gráfico de f, então m – p é igual a: 
a) -6 
b) -5 
c) -3 
d) 1 
e) 6 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
09) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, sabendo que os gráficos das funções se 
interceptem no ponto (1, 6) então a + b é 
a) -3 
b) 3 
c) 7 
d) 10 
 
 
 
 
10) BOATEMÁTICA 2020 Da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) podemos 
afirmar: 
( ) A função é crescente. 
( ) A raiz da função é -8. 
( ) f(-1) = -1 
a) uma é verdadeira 
b) duas são verdadeiras 
c) todas são verdadeiras 
d) todas são falsas. 
 
 
GABARITO 
01. A 02. B 
03. C 04. C 
05. A 06. B 
07. B 08. D 
09. C 10. B 
 
 
 
.... 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EQUAÇÃO / INEQUAÇÃO / FUNÇÃO MODULAR 
 
EQUAÇÃO MODULAR 
Equação modular é toda equação cuja incógnita se apresenta em módulo. 
Resolvemos fazendo |x| = a e |x| = - a 
 
EXEMPLO 32 - BOATEMÁTICA 2020 Resolvendo a equação |x + 2| = 4, encontramos duas 
soluções onde a é a de menor valor e b de maior valor. Podemos dizer que ab é: 
a) 36 
b) 27 
c) 16 
d) -16 
 
 
 
 
EXEMPLO 33 - EEAR 2004 Considere a equação |3x – 6| = x + 2. Com respeito às raízes dessa 
equação, podemos afirmar que elas pertencem ao intervalo 
a) [1, 2]. 
b) ]2, 5[. 
c) ]0, 4]. 
d) ]1, 4]. 
 
 
 
 
FUNÇÃO MODULAR 
A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. 
 
 
 
Função modular é a função (lei ou regra) que associa elementos de um conjunto em módulos. 
O módulo é representado entre barras e seus números são sempre positivos, ou seja, mesmo que 
um módulo seja negativo seu número será positivo 
 
EXEMPLO 34 - EEAR 2013 Seja a função f: R → R, definida por f(x) = |2x2 – 3|. O valor de 1 + f(–1) 
é 
a) –1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
INEQUAÇÃO MODULAR 
Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo: 
 
Se |x| < k então, – k < x < k Se |x| > k então, x < – k ou x > k 
 
EXEMPLO 35 - CFOE 2009 Seja a inequação |𝑥 + 4|< 2 em IR. Podemos afirmar que o menor 
valor inteiro que x pode assumir é: 
A) – 6 
B) – 5 
C) – 4 
D) – 3 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 36 - Quais os valores de x que satisfazem |4x + 1| ≥ 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,,, 
TESTES 
 
01) EEAR 2011 A função modular f(x) = |𝑋 − 2| é decrescente para todo x real tal que 
a) 0 < x < 4. 
b) x > 0. 
c) x > 4. 
d) x < 2. 
 
02) As soluções da equação 53x =− são números inteiros: 
a) ímpares e de mesmo sinal. 
b) pares e de mesmo sinal. 
c) ímpares e de sinais contrários. 
d) pares e de sinais contrários. 
 
03) PUC RS Se |4x – 8| > 16, então 
A) x > 6 
B) x > 6 e x < – 2 
C) x > 6 ou x < 2 
D) x > 2 ou x < – 6 
E) x > 6 ou x < – 2 
 
04) BOATEMÁTICA 2015 Dada a função f: IR → IR definida por f(x) = |3 – x| + 4, o valor de f(8) é: 
a) -1 
b) 0 
c) 15 
d) 9 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
05) EEAR 2008 Em R, o conjunto solução da equação |x − 2 |= 2x +1 é formado por 
a) dois elementos, sendo um negativo e um nulo. 
b) dois elementos, sendo um positivo e um nulo. 
c) somente um elemento, que é positivo. 
d) apenas um elemento, que é negativo. 
 
06) (UNITAU) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 - x, então: 
a) 5 < x < 7. 
b) 2 < x < 7. 
c) - 5 < x < 7. 
d) - 4 < x < 7. 
e) - 4 < x < 2. 
 
07) (CFT-2008) Seja f(x) =Ι x − 6 Ι uma função real. A soma dos valores de x para os quais f(x) = 5 
é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 16. 
 
08) O número de elementos do conjunto solução da equação |2x + 5| = −4x + 1, em R, é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) infinitos 
 
09) (U.F. Juiz de Fora - MG) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x2 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
10) As raízes reais da equação |xl2 + |x| - 6 = 0 são tais que: 
a) a soma delas é – 1. 
b) o produto delas é – 6. 
c) ambas são positivas. 
d) o produto delas é – 4. 
 
GABARITO 
01) D 02) D 03) B 04) D 05) B 
06) E 07) B 08) C 09) B 10) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA 
 
Uma função f de IR em IR é chamada quadrática ou do 2º grau se, a cada x IR, associa o elemento 
(ax2 + bx + c)  IR, com a  0, ou seja y = a.x2 + b.x + c. 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. 
 
Coeficiente A 
O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade dessa parábola. Assim 
Se a > 0, a concavidade é voltada para cima: Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente C 
Em uma função do segundo grau, o coeficiente C sempre representará o ponto de encontro do 
eixo y com a parábola. Algebricamente, é possível notar isso fazendo x = 0 em uma função do 
segundo grau: 
se for positivo (c > 0), a parábola irá “cortar” o eixo Y acima da origem; 
se for negativo (c < 0), a parábola irá “cortar” o eixo Y abaixo da origem; 
se for ZERO (c = 0), a parábola irá “cortar” o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). 
 
Coeficiente B 
A análise do coeficiente b nos diz a inclinação que a parábola toma após passar o eixo Y. 
O b é negativo (b < 0) então a parábola passa pelo eixo y descendo. 
O b é positivo (b > 0) então a parábola passa pelo eixo y subindo. 
Se o b = 0, o vértice da parábola está em cima do eixo y. 
 
ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a  0, pode se anular para valores convenientes de x  
IR. 
Os valores para os quais f(x) = 0 recebem o nome de zeros da função quadrática. 
Temos: 
f(x) = ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c = 0 (equação do 2º grau), que é resolvida através da fórmula de 
Bháskara, onde = b2 – 4ac. 
Logo, os zeros da função quadrática são as raízes da equação do 2º grau. Assim quando 
> 0 (duas raízes reais e distintas) - duas soluções 
= 0 (duas raízes reais e iguais) - uma única solução 
< 0 (NÃO existem raízes reais) - nenhuma solução real 
 
EXEMPLO 37 - CFOE 2017 A função f(x) = 2.x² + b. x + 8 possui uma única raiz. Sendo assim, qual 
o valor do coeficiente b? 
a) 5. 
b) 3. 
c) 2. 
d) 8. 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA 
 
O discriminante ( ) da equação do 2º grau dá uma noção da posição da parábola em relação ao eixo x. 
1. Se  > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes, x1 e x2 (zeros da função): 
a > 0 a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Se  = 0, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto, x1 = x2 (zero da função): 
 a > 0 a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Se  < 0, a parábola não intercepta o eixo dos x, pois a função não possui zero real: 
 a > 0 a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. 01: A posição das parábolas em relação ao eixo y pode variar; as figuras acima são apenas exemplos. 
Obs. 02: Estes gráficos também são usados na resoluçãode inequações do 2º grau. 
 
EXEMPLO 38 - (UFMG ADAPTADA) O trinômio y = ax2 + bx + c está representado na figura. A 
afirmativa certa é: 
a) a > 0, b > 0, c < 0 
b) a < 0, b < 0, c < 0 
c) a < 0, b > 0, c < 0 
d) a < 0, b > 0, c > 0 
 
 
 
 
 
0
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 39 - (CONSULPLAN) Qual é a soma de todos os números inteiros que satisfazem a 
inequação (x + 5).(4.x - 26) < 0? 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 13 
(D) 7 
(E) 11 
 
 
 
VÉRTICE E EIXO DE SIMETRIA DA PARÁBOLA 
A parábola que representa a função do 2º grau é dividida em duas partes simétricas por uma reta perpendicular ao eixo das abscissas: o 
eixo de simetria. 
A intersecção da parábola com o eixo de simetria recebe o nome de vértice (V) da parábola. 
Exemplo: 
 1. a > 0 2. a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas do vértice da parábola 
O vértice da parábola é dado pelas coordenadas xv e yv do ponto V: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A abscissa do vértice (xv) é xv = - 
a
b
 
 
• A ordenada do vértice (yv) é =vy
a4

− 
 
EXEMPLO 40 - (UFSM ADAPTADA) O vértice da parábola definida por y = x2 – 6x + 5 está 
localizado 
a) no eixo x. 
b) no eixo y. 
c) no 2º quadrante. 
d) no 4º quadrante. 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 41 - UERJ Observe a função f, definida por f(x) = x² -2kx + 29 para x  . Se f(x) ≥ 4, 
para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
a) 5 
b) 6 
c) 10 
d) 15 
 
 
 
..... 
 
 
Imagem da função quadrática 
A imagem da função quadrática é obtida projetando ortogonalmente os pontos da parábola no eixo 
y. Desse modo, a ordenada yv do vértice sempre será um dos extremos do intervalo do conjunto 
imagem 
Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e, portanto, o outro extremo do intervalo é 
+  . 
Analogamente, se a < 0, o outro extremo do intervalo é -  . 
Observe: 
 a > 0 a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Im = [yv, +  ) Im = ( -  , yv] 
 
EXEMPLO 42 – BOATEMÁTICA 2020 Da função f(x) = x2 + 2x - 3 o conjunto imagem é dado por: 
A) Só números reais positivos 
B) Só números reais negativos 
C) Pelos valores pertencentes ao intervalo y ≥ - 4 
D) Pelo conjunto dos números reais não nulos 
 
 
 
 
 
 
VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO 
→ É substituir o valor da incógnita por um valor numérico. 
 
EXEMPLO 43 - (BRIGADA-2012 ADAPTADA) Dada a função real definida por 𝒇(𝒙) =
𝒙²−𝟒𝒙
𝟐
, é 
correto afirmar que f(-2). f(-1) é igual a 
a) -7 
b) -5 
c) -1 
d) 15 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 44 - (PEIES ADAPTADA) Dada a função real f(x) = {
2. 𝑥, 𝑥 < 0
4. 𝑥 − 𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
4, 𝑥 > 2
, o valor de 
f(–1) + f(1) + f(3) e 
a) 3 
b) 5 
c) 5,8 
d) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 45 - CFOE 2017 Considere o gráfico a seguir. 
 
Que tipo de função está representada no gráfico apresentado? 
a) Exponencial. 
b) Logarítmica. 
c) Polinomial de grau 3. 
d) Quadrática. 
 
 
 
TESTES 
 
01) Em relação ao gráfico da função f(x) = – x2 + 4x – 3, pode−se afirmar: 
(A) é uma parábola de concavidade voltada para cima; 
(B) seu vértice é o ponto V(2, 1); 
(C) intercepta o eixo das abscissas em P(–3, 0) e Q(3, 0); 
(D) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas; 
 
02) (FGV-SP) Quantos números inteiros satisfazem a inequação x2 – 10x < -16? 
(A) 53 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03) (ESPCEX/2007 ADAPTADA) Dada a função, tal que f(x) = x² - 7x + 10, a única afirmação 
verdadeira a respeito de f(x) é 
[A] f(-2) = -28. 
[B] a menor ordenada que f atinge é 2,25. 
[C] a função se anula para x = -2 ou para x = -5. 
[D] para x > 5, enquanto x cresce, f(x) também cresce. 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
04) BOATEMÁTICA 2020 Se a função g(x) = 3x2 – 6x + (2k – 1) tem duas soluções distintas, 
então: 
A) k < 2 
B) k = 0 
C) k > 2 
D) k ∉ℜ 
 
05) (UNIFESP – SP) O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c números reais) contém os 
pontos (–1, –1), (0, –3) e (1, –1). O valor de b é: 
a) –2 
b) 0 
c) 2 
d) –1 
e) 1 
 
06) (ESAF ADAPTADA) A parábola, cuja equação é y = 2x2 - 8x + 6, corta o eixo dos x em dois 
pontos cujas abcissas são: 
a) 1 e 2 
b) 1 e 3 
c) 2 e 3 
d) 2 e 4 
e) 2 e 5 
 
07) (FCC ADAPTADA) A altura h de um projétil em função do tempo t decorrido após o lançamento 
é dada pela expressão h(t) = - t2 + 200.t, sendo t medido em segundos e h em metros. A altura 
máxima atingida por esse projétil é 
A) 2 500 m 
B) 3 500 m 
C) 8 000 m 
D) 10 000 m 
 
08) A representação cartesiana da função y = a.x² + b.x + c é a parábola abaixo. Tendo em vista 
esse gráfico, podemos afirmar que: 
a) a < 0, b < 0 e c > 0 
b) a > 0, b > 0 e c < 0 
c) a > 0, b > 0 e c > 0 
d) a < 0, b > 0 e c > 0 
 
 
 
09) (UFPE/PE) Suponha que o consumo de um carro para percorrer 100km com velocidade de x 
km/h seja dado por C(x) = 0,006.x2 - 0,6.x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo? 
A) 46km/h 
B) 47km/h 
C) 48km/h 
D) 49km/h 
E) 50km/h 
 
10) (PUCMG) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
11) (ACAFE ADAPTADA) Dada a função f(x) = 





+

−
1,1
,31,2
3,73
2 xsex
xse
xsex
então o valor de )2()4()2( fff ++− é: 
a) 2 
b) 6 
c) 4 
d) 12 
 
GABARITO 
 
01) B 
02) C 
03) D 
04) A 
05) B 
06) B 
07) D 
08) D 
09) E 
10) A 
11) D
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
Função Inversa de uma função bijetora f de A em B é a função f-1 de B em A constituída pelos pares 
ordenados (y, x) tais que (x, y)  f. 
 
Ex.: Se f = { (2, 5); (4, 7); (5, 8) } então f -1 = { (5, 2); (7, 4); (8, 5) } 
 
REGRA PRÁTICA → Dada uma função bijetora f, de A em B, definida pela sentença aberta y = f ( x) , 
 para obtermos a sentença que define a inversa f -1, procedemos assim: 
a) isolamos x da sentença aberta dada. 
b) trocamos x por y e y por x. 
 
EXEMPLO 46 - Seja f; IR → IR definida por f(x) = 2x + 5, determinar f -1. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 47 - Determine a inversa da função f(x)= 
32
4
−x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações 
A) Só existe a função f -1, se f for bijetora. 
B) D (f) = Im (f -1) 
C) Im (f) = D (f -1) 
D) (f -1) -1 = f , o que nos permite dizer que f e f -1 são inversas entre si, isto é, uma inversa da 
outra. 
E) Os gráficos de f e f -1 são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes do plano 
cartesiano, pois se (x, y)  f, então (y, x)  f -1. 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 48 CFOE 2015 Seja a função f: R → R dada por f(x) = 4x + b. Se o gráfico da inversa f-1 
intercepta o eixo y no ponto (0, 2) valor de b é um número 
a) natural. 
b) irracional. 
c) inteiro negativo. 
d) racional não inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 49 - CFOE 2012 A inversa da função y = mx – 6 é dada por y– 1 = 2x + n. O produto dos 
valores de m e n é 
a) – 3. 
b) – 6. 
c) 3. 
d) 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 50 - CFOE 2012 Sejam as funções do 1º grau y = 3x – 2 e y = 2x + b. Se a interseção 
entre os gráficos das inversas dessas duas funções ocorre no ponto (19, 7), então o valor de b é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
01) (UFSM ADAPTADA) Seja f:  →  uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos 
pontos A (0, 4) e B (3, 0), então f-1 passa pelo ponto. 
a) (8, -2) 
b) (8, 3) 
c) (8, -3) 
d) (8, 2) 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
02) Seja 
1−f a função inversa de f: R → R, definida por f(x) = 7x – 3, então 1−f (4) é igual a: 
a) 1 
b) 2/3 
c) -1/3 
d) -4 
e) 5/2 
 
03) (UFRJ) Seja f: IR → IR uma função definida por f(x) = a.x + b. Se o gráfico da função f passa 
pelos pontos A (1, 2) e B (2, 3), a função f-1 (inversa de f) é 
a) f-1 (x) = x + 1 
b) f-1 (x) = - x + 1 
c) f-1 (x) = x - 1 
d) f-1 (x) = x + 2. 
e) f-1 (x) = - x + 2. 
 
04) Considere a função h bijetora, tal que h(x)= 5³+x . Calcule h−1(2). 
 
05) BOATEMÁTICA 2020 Se f(x)= 42 −x e 
1−f representa a função inversa de f, julgueos itens 
a seguir 
I) f(100) - f(20) = 8 
II) 
1−f (5) = 10 
III) 
1−f (x) = x² + 4 
Podemos afirmar que 
a) somente I é verdadeira 
b) somente II é verdadeira 
c) são verdadeiras I e II 
d) todas são verdadeiras 
 
 
GABARITO 
 
01) B 
02) A 
03) C 
04) -1 
05) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Dadas as funções: f: A → B e g: B → C, chama-se função composta de g com f a função (gοf): A 
→ C, tal que(gοf) (x) = g(f(x)). 
 
OBSERVAÇÃO 
❶ Analogamente fog = f(g(x)) 
❷Diagrama de gof (analogamente invertendo f e g entre si teremos o diagrama para fog) 
 
O diagrama a seguir mostra o comportamento das funções f, g e h. Nesse diagrama, observe que 
a função f, representada pela primeira flecha, relaciona elementos do conjunto A a elementos 
do conjunto B: 
 
 
EXEMPLO 51 - Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x2 – 2x, então fοg(3) vale: 
a) 6 
b) 5 
c) –3 
d) –5 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 52 - CFOE 2011 Sejam as funções f(x) = 2x + 6 e g(x) = x – 2. As interseções entre o 
gráfico da função f(g(x)) e os eixos cartesianos são os pontos. 
a) (– 1, 0); (0, 2) 
b) (2, 0); (0, 1) 
c) (– 2, 0); (0, – 1) 
d) (1, 0); (0, – 2) 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 53 - CFOE 2012 Sejam “f” e “g” funções de domínio real, tais que f(x) = 3x – 6 e fog (x) = 
6x + 15. O gráfico da função g(x) 
a) é decrescente. 
b) apresenta raiz negativa. 
c) passa pelo ponto (– 4, 2). 
d) intercepta o eixo y no ponto (0, 9). 
 
 
 
 
 
0
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 54 - CFOE 2009 Se f(x) = 3x – 5 e f[g(x)] = 3x2 – 14, o valor de g(1) é igual a: 
A) 0 
B) 1 
C) – 2 
D) 2 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 55 - CFOE 2010 Sejam as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x – 2. Informe se e falso (F) ou 
verdadeiro (V) e indique a opção com a seqüência correta. 
( ) f(g(3)) = g(f(2)) 
( ) g(5) = f(3) + 4 
( ) f–1(5) = g–1(1) 
( ) f(3) = g(4) – 2 
a) F – V – F – V 
b) V – F – F – V 
c) F – V – V – F 
d) V – V – F – F 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 56 - CFOE 2016 Sejam as funções f(x) = 2x – 2 e g(x) = x + 4. Cada ponto apresentado 
na coluna à esquerda, a seguir, pertence ao gráfico de uma das funções da coluna à direita. 
Relacione as duas colunas. 
(1) (–1, 4) ( ) g–1(x) 
(2) (–2, –2) ( ) f-1(x) 
(3) (2, 2) ( ) f(g(x)) 
(4) (1, –3) ( ) g(f(x)) 
 
A sequência correta é 
a) 4 – 1 – 3 – 2 
b) 3 – 4 – 2 – 1 
c) 4 – 3 – 1 – 2 
d) 3 – 4 – 1 – 2 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
TESTES 
 
01) CFOE 2009 Sejam as funções f(x) = √3𝑥² − 12 e g(x) = 
7𝑥
𝑥+1
, então g[f(4)] é um número: 
A) par. 
B) primo. 
C) irracional negativo. 
D) real não positivo. 
 
02) CFOE 2009 Sendo f e g funções de IR em IR, tais que f(x) = 4x + 7 e fog(x) = 8x + 55, qual das 
alternativas abaixo indica o valor de g(4)? 
A) 12 
B) 16 
C) 18 
D) 20 
 
 
 
03) (MACK ADAPTADA) As funções f(x) = 3–4x e g(x) = 3x+m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), 
qualquer que seja x real. O valor de m é: 
a) 9/4 
b) 5/4 
c) –6/5 
d) 9/5 
 
04) (PUC ADAPTADA) Considere 
2
1²
)(
−
−
=
x
x
xf e g(x) = x - 1. O valor de f(g(x)) para x = 4 é 
a) 6 
b) 8 
c) 2 
d) 1 
 
05) (CEFET) Se f(x) = x5 e g(x) = x – 1, a função composta f[g(x)] será igual a: 
a) x5 + x – 1 
b) x6 – x5 
c) x6 – 5x5 + 10x4 – 10x3 + 5x2 – 5x + 1 
d) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1 
e) x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x – 1 
 
06) (UNIFOR MODIFICADA) Sejam f e g duas funções de R em R. Calcule g(-3 2 ) sabendo que 
f(x) = x – 2 e f(g(x)) = x² - 1. 
a) par 
b) múltiplo de 9 
c) primo 
d) Divisível por 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
07) As funções f e g, de R em R, são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se 
f(g(x))=g(f(x)),então f(m) é um número : 
a) primo 
b) negativo 
c) cubo perfeito 
d) menor que 18 
e) múltiplo de 12 
 
08) Sendo f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x))=0 é : 
a){1,3} 
b){-1,-3} 
c){1,-3} 
d){ } 
 
09) Sendo f e g funções de R em R, tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x², o valor de f(g(f(1))) é : 
a)10 
b)11 
c)12 
d)13 
 
10) Considerando as funções de R em R, f(x) = 3x + 2 e g(x) = - 4x - 3, então: 
a) gog = 16x - 11 
b) gof = - 12x + 7 
c) fof = 9x + 12 
d) fog = - 12x - 7 
 
 
GABARITO 
 
01) A 
02) D 
03) C 
04) B 
05) D 
06) C 
07) D 
08) B 
09) B 
10) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EQUAÇÃO / INEQUAÇÃO / FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição: São todas as equações em que a incógnita aparece nos expoentes são chamadas de 
equações exponenciais. 
 
Redução a potências de mesma base 
(A)► 2x = 64 
 
(B)► 3x = 1/81 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C)► (PUC – SP) Se 3
xx .32−
= 
9
1
, calcule os 
valores de x. 
a) 1 e 2 
b) 1 e 3 
c) -1 e 3 
d) -1 e -2 
 
 
 
 
 
 
(D)► Qual é a soma dos valores de x que verifica 
a equação ? 
a) 5 
b) 2 
c) 3 
d) 8 
e) 4 
 
 
Resolução usando artifícios de cálculos 
(A)► (UFSM Adaptada) Se 3x – 32-x = 23, então 
15 – x² vale: 
a) 16 
b) 15 
c) 14 
d) 11 
 
(B)► 4x – 6.2x + 8 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Exponencial 
 
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. 
Dado um número real a (a > 0 e a 1) denomina-se função exponencial de base a, toda função 
f:IR→IR+ definida por f(x) = ax. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é 
IR+ (reais positivos, maiores que zero). 
f(x) = ax 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
Com relação ao gráfico cartesiano da função f(x) = ax, podemos dizer: 
1º) a curva representativa está toda acima do eixo dos x, pois y = ax> 0 para todo x . 
2º) corta o eixo y no ponto de ordenada 1, isto é passa por (0,1). 
3º) se a > 1 é o gráfico representa uma função crescente e se 0 < a < 1 o gráfico representa uma 
função decrescente, 
4º) toma um dos aspectos da figura abaixo. 
 
 
GRÁFICO 
a > 1 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 57 - UNISINOS Entre os gráficos, o que melhor se adapta ao da função dada por 
:é 1, a com = ,xay 
 
A) B) C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 58 - (PEIES) Indique se as afirmativas referentes à função f(x) = ax, com a > 0 e a  1, 
são verdadeiras (V) ou falsas (F) 
a) f é crescente para a  (0, 1) 
b) o domínio de f é IR 
c) a imagem de f é (0, ) 
A seqüência correta é 
a) F - V - F 
b) V - F - F 
c) F - V – V 
d) V - V - V 
e) V - F – V 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
TESTES 
 
01.) Sabendo que m e n são raízes da equação 0322.32
22 =+− +xx , o valor de m
22 n+ é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 13 
 
02.) (FCC) A solução da equação 0,52x = 0,251 - x é um número x, tal que: 
a) 0 < x < 1 
b) 1 < x < 2 
c) 2 < x < 3 
d) x > 3 
e) x < 0 
 
03.) (UFSM Adaptada) Se a = 16 e x = 1,25, então ax é: 
a) 2 
b) 16. 2 
c) 20 
d) 32 
 
04.) (UFSM Adaptada) A solução da equação ( )X
X
27
81
1 2
=





−
 pertence ao intervalo: 
a) ] 0 ; 1 [ 
b) ] 1 ; 2 [ 
c) ] 2 ; 3 [ 
d) ] 3 ; 4 [ 
 
05.) (FCC Adaptada) A solução da equação 2 x - 1 - 2 x + 2 = - 56 é um número: 
a) primo 
b) múltiplo de 3 
c) divisível por 4 
d) múltiplo de 5 
 
06.) (PEIES Adaptada) Dada a função f: R → R, definida por f ( x ) = ( ½) 2x + 1/5 , pode-se 
dizer que f é ......... e o valor de x para o qual f ( x ) = 32 vale ............... 
a) crescente; -13/5 
b) decrescente; 13/5 
c) crescente; 13/5 
d) decrescente; - 13/5 
 
07.) (PEIES Adaptada) Dadas as funções f ( x ) = (1/16)x - 2 e g ( x ) = 32x definidas para todo x real, 
pode-se dizer que f é ........ e o valor de x para o qual f ( x ) = g ( x ) é ......... Selecione a alternativa 
que completa corretamente as lacunas. 
a) decrescente; 8/9 
b) crescente; - 8/9 
c) crescente; 8 / 9 
d) decrescente; - 8 / 9 
 
08.) O valor de x que satisfaz aequação 5.3x = 405 é 
a) negativo 
b) um número entre 1 e 10 
c) um número fracionário 
d) um número imaginário puro 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
09.) (Feevale-RS Adaptada) O valor de x na equação 4
12
2
1
−






=
x
x é: 
a) -1 
b) -0,25 
c) 0,25 
d) 1 
 
10.) Dada a equação 2X² : 2X = 64, a diferença entre a maior e a menor raiz dessa equação é: 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01) D 
02) B 
03) D 
04) B 
05) C 
06) D 
07) A 
08) B 
09) C 
10) D 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
A resolução de inequações exponenciais inicia com o mesmo objetivo de uma Equação 
exponencial: IGUALAR AS BASES. Podemos dividir as inequações em dois tipos. 
 
1 CASO 
QUANDO AS BASES SÃO MAIORES QUE 1 RESOLVEMOS DO MESMO MODO QUE UMA 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
2 CASO 
QUANDO AS BASES SÃO VALORES ENTRE 0 E 1 devemos INVERTER o sinal da desigualdade 
ao "cortar" as bases da inequação. 
 
EXEMPLO 59 - CFOE 2009 Dada a inequação: 2x . (1 + 2x) ≥ 2, seu conjunto solução é igual a: 
A) [2, + [ 
B) [−1, 2] 
C) [0, +  [ 
D) ] − , −1[ 
 
 
 
 
EXEMPLO 60 - (UFRGS Adaptada) A solução da inequação 0,5(1-x) > 1 é o conjunto 
(A) {x R | x > 1} 
(B) {x R | x < 1} 
(C) {x R | x > 0} 
(D) {x R | x < 0} 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
 
LOGARITMOS 
 
Sendo N e b números reais positivos, com b≠1, chama-se logaritmo de N na base b o expoente x tal 
que bx = N. Em símbolos, logb N = x → bx = N 
• N é chamado logaritmando. 
• b é a base do logaritmo. 
• x é o logaritmo. 
 
Condição de Existência b > 0 e b  1 N > 0 
 
EXEMPLO 61 - (UFRGS Adaptada) O conjunto solução da equação logx (10 + 3x) = 2, em R, é: 
A.  
B. { 5 } 
C. { -2 } 
D. { -2,5 } 
 
 
EXEMPLO 62 - CFOE 2010 Assinale a alternativa que apresenta o domínio da função logarítmica g 
definida por 
 
a) Dom g = {x∊/ 0 < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 3 < x < 6}. 
b) Dom g = {x∊/ x < 6 e x ≠ 1}. 
c) Dom g = {x∊/ 0 < x < 1 ou 1 < x < 6}. 
d) Dom g = {x∊/ 2 < x < 3 ou x > 6}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
A partir da definição, sempre que existirem os logaritmos envolvidos, temos: 
P.1 logb1 = 0 P.3 logb bn = n 
 
 
 
 
P.2 logb b = 1 P.4 blogbn = n 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
Propriedades Operatórias 
P.5 loga mn = n.loga m 
Ex: 
 
 
 
 
 
P.6 loga (m.n) = loga m + loga n 
Ex: 
 
 
 
 
P.7 loga (m/n) = loga m - logan 
EXEMPLO 63 - UFSM 2010 Se log 2 = x e log 3 = y, então log 1,5é igual a: 
a) x - y 
b) x .y 
c) y – x 
d) x + y 
e) x /y 
 
 
 
 
 
 
COLOGARITMO 
 
 Cologb N = - logb N 
 
EXEMPLO 64 - Se log5 x = log5 (3+x) + colog5 4 
então x2 - 1 vale: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
 logb N = 
b
N
a
a
log
log
 
 
EXEMPLO 65 - Se log5 3 = x e log5 2 = y, então 
log2 3 vale: 
a) log x . log y 
b) x . y 
c) 
log
log
x
y
 
d) x/y 
e) logy x 
 
 
 
 
 
 
 
CONSEQÜÊNCIAS DA MUDANÇA DE BASE: 
1ª)loga b . logc a = logc b 2ª) loga b = 
1
logb a 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 66 - CFOE 2011 Informe se e verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma a seguir e 
depois assinale a alternativa que apresenta a seqüência correta. 
( ) logb a . logb c = logb (a + c) 
( ) logb a – logb c = log (a / c) 
( ) n.logb a = logb an 
 
a) V – V – F – F 
b) F – V – V – F 
c) V – F – F – V 
d) F – F – V – V 
 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Com relação à equação logarítmica, é preciso lembrar que existem dois tipos: 
 
1. "log de um lado e log do outro"; 
2. "número de um lado e log do outro". 
 
EXEMPLO 67 - log2 x = log2 10 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 68 - 8 = log2 x 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 69 - Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são: 
a) 9 e -4 
b) 9 e 4 
c) -4 
d) 9 
e) 5 e -4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
A forma de se resolver a inequação logarítmica é a mesma da equação, mas é preciso ter muito 
cuidado quando a base for 0 < a < 1. 
 
EXEMPLO 70 - 3 < log2 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 71 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 72 - EEAR 2006 O menor número inteiro que satisfaz a inequação log2 (x - 5) > 3 é um 
número 
a) par negativo. 
b) par positivo. 
c) ímpar negativo. 
d) ímpar positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Seja a um número positivo e diferente de 1. Chama-se função logarítmica de base a, a função f 
de RemR*+ , definida por: f(x)=loga x. 
 
OBSERVAÇÃO: O domínio da função logaritmo é 
*
+R e o contradomínio é R . 
 
 
EXEMPLO: 
EXEMPLO 73 - Determine o conjunto solução da equação 1)(log 212 =− xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOG 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
EXEMPLO 74 - EEAR 2014 Se f(x) = log x e a.b = 1, então f(a) + f(b) é igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 10 
d) 100 
 
EXEMPLO 75 - (UDESC Adaptada) A expressão que representa a inversa da função f(x) = log3 (x 
-1) 
a) f-1(x) = 3x + 1. 
b) f-1(x) = 3x – 1. 
c) f-1(x) = 3x + 1. 
d) f-1(x) = (3 - 1)x 
 
 
 
 
 
 
TESTES 
 
01.) (UPF – 2009) log4 2,5 + log4 8 – log4 5 é igual a 
a) (4)2 
b) (4)-1 
c) 4 
d) (4)-2 
e) (4)0 
 
02.) (PM RS – 2009) Assinale a alternativa correta. Se f(x) = log (
𝒙²
𝒙+𝟏𝟏
)o valor de f (–1) e igual a 
a) –3. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 3. 
 
03.) Na expressão 5log210log5loglog 2222 −+=m , o valor de m é: 
a) 10 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
04.) UFRN O valor da expressão log2 64 - log3 27 é igual a: 
a) 3 
b) 13 
c) 17 
d) 31 
e) 37 
 
05.) (UFSM) Se log10 5 = a e log10 7 = b, então log10 (122,5) é igual a: 
a) a + b 
b) a + b + 1 
c) a + b - 1 
d) 2a + 2b 
e) 2a + 2b – 1 
 
 
 
MÓDULO 02 MATEMÁTICA 
 
06.) EEAR 2006 O menor número inteiro que satisfaz a inequação log2 (x - 5) > 3 é um número 
a) par negativo. 
b) par positivo. 
c) ímpar negativo. 
d) ímpar positivo. 
 
07.) (UFSMCA) log2 16 – log4 32 é igual a: 
a) 1/2 
b) 3/2 
c) – 3/2 
d) – 1/2 
e) 1 
 
08.) EEAR 2006 O logaritmo de 8 é 3/4, se a base do logaritmo for igual a 
a) 4. 
b) 8. 
c) 16. 
d) 64. 
 
09.) UFSM/CONCURSO/2010 A partir de um experimento, obteve-se o gráfico abaixo, que indica o 
número de bactérias N(t) em um recipiente em função do tempo t em horas. 
 
O número de bactérias quando t = 5 horas é igual a 
A) 1.550 
B) 1.800 
C) 1.950 
D) 2.000 
E) 2.200 
 
10.) (UFRGS) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de 
9
8
log é: 
a) -0,2277 
b) -0,6 
c) -0,06 
d) 0,125 
 
 
 
GABARITO 
 
01) E 
02) B 
03) B 
04) A 
05) E 
06) B 
07) B 
08) C 
09) D 
10) C