Matemática - Livro 2-046-048

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA Capítulo 7 Trigonometria – conceitos básicos46
Medidas de arcos
No capítulo 2 de Geometria vimos duas unidades de
medidas de ângulos: o grau (°) e o grado (gr). Vamos, agora,
introduzir o conceito de arco.
Observe a figura 1.
B
A
O
+
Fig. 1 Arco AB .
Considere dois pontos sobre a circunferência e divida
a circunferência em duas partes denominadas arcos. Sim-
bolicamente: AB .
Mas essa nomenclatura cria uma ambiguidade Temos
dois arcos AB, um maior e outro menor. A solução é marcar
outro ponto para diferenciar os arcos, observe:
B
A
O
C
+
+
Fig. 2 Notação de arcos.
Na figura 2, observe os arcos AB e ACB . Agora, com-
pare o tamanho de dois arcos, na figura 3.



 =
=
Arcos: AB e CD
med (CD) 6u
med (AB) 2u
C A
B
D
u
0 u
β
α
u
u
u
u
u
u
+
Fig. 3 Medida de arcos.
Definimos o arco unitário u como sendo a nossa unida-
de de medida e verificamos quantas vezes o arco u “cabe”
dentro dos arcos dados CD e AB.
Radiano
O radiano (simbolicamente rad) é um arco unitário cria-
do para ser a unidade básica dos arcos, juntamente com
o grau.
Assim:
1 u = raio da circunferência que contém o arco.
Observe:
A
O
R
R
R
B
+
med (AB) 2R
Resumindo:
(AB) 2 rad


=
=
Fig. 4 A unidade radiano.
Se “retificarmos” o arco AB, obtemos um segmento AB
cuja medida é 2R. Reforce a ideia com o exemplo a seguir.
A
B
6 cm
2 cm +
AB 6 cm e R 2 cm
med (AB)
AB
R
6
2
3 rad
= =
= = =
Fig. 5 Exemplo da unidade radiano.
Para medir um arco AB em radianos, divida a medida do arco AB pelo
raio da circunferência
A
B
l
R
+
l
med (AB)
R
=
Circunferência e círculo são conjuntos diferentes Circunferência é
só a linha e círculo é a linha e os pontos internos.
Medir uma grandeza significativa é comparar suas dimensões com
uma outra definida como padrão (unidade).
A etimologia da palavra trigonometria vem do grego tri (três) gonos
(ângulos) metros (medida).
Atenção
Relacionando o grau e o radiano
Sabemos da Geometria Plana que o comprimento de
uma circunferência de raio R é: C = 2pR; assim, a circunfe-
rência toda mede:
Circunferência = 2 R
R
2 rad,
p = p ou seja:
2p rad ≡ 360°
Observe, a seguir, os exercícios de transformações de
unidades
Exercícios resolvidos
1 Transforme 135° em radianos.
Resolução:
° p
°
360 2
135 x
\ 360x = (135) (2p)⇒
⇒ = =x 270
360
3
4
rad
p p
2 Transforme
7
5
p
rad em graus.
Resolução:
° p
p
360 2
 x
7
5
_____
\ p = ⋅ p




 2 x (360)
7
5
⇒ x = 252°
F
R
E
N
T
E
 1
47
3 Calcule quantos graus tem 1 rad.
Resolução:
° π360 2
 x 1
π = ⇒2 x 360
°
π
=
°
= °x =
180 180
3,1416
57,295
(o que equivale a 57°17’44”)
Vamos relembrar os problemas dos ângulos dos ponteiros de um
relógio
Ponteiro pequeno
30° 60 min
Ponteiro grande
360° 60 min
Atenção
30° ou rad12 1
2
39
6
6
π
4 Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de
um relógio às 12 h e 50 min.
ângulo = 60° + x
12
2
39
10
11
6
x
Resolução:
• Marcamos a 1a hora inteira antes (no caso 12 h).
• Marcamos o horário desejado.
• O ponteiro pequeno percorre um ângulo x.
• O ângulo desejado mede 60° + x.
• Cálculo do x:
30° _____ 60 min
x _____ 50 min
 60x = 30 · 50⇒ x = 25°
• Ângulo = 60° + 25° = 85°
Ciclo trigonométrico
Considere uma circunferência de raio 1 centrada na
origem de um sistema cartesiano. Na figura 6, o ciclo tri-
gonométrico foi dividido em quatro regiões chamadas
quadrantes.
B
O A x
III
II
IV
I
+
+
Fig. 6 Ciclo trigonométrico.
O comprimento dessa circunferência vale 2p, (sendo
R = 1).
Vamos marcar um ponto B na circunferência e adotar
o ponto A como sendo a origem de todos os arcos. A me-
dida do arco AB será associada a um número real, o arco
também terá um sentido, indicado na figura 7.
B
A
B
A
AB

= radAB

= rad
π
2 2
B A
B
A
AB

= radπ AB

= rad
2
–3π
–π
Fig. 7 Representação dos arcos orientados.
No ciclo trigonométrico, temos a liberdade de dar quan-
tas voltas quisermos, tanto no sentido horário quanto no
anti-horário. Essa possibilidade permite o seguinte:
B
A
B
A
AB

= rad
5
2
π
AB

= rad
π
2
Fig. 8 Arcos com as mesmas extremidades.
Os dois arcos terminam no ponto B, mas o primeiro é
menor do que o segundo, e a diferença entre eles é de 2p
(uma volta).
Essa ideia sugere que um único ponto B sob a circun-
ferência trigonométrica pode representar infinitos arcos
trigonométricos, basta alterarmos o número de voltas e o
sentido. Observe a figura 9.
B
0 A
α
α α π α π
π
; ;2 4
2PA de razão
α α π α π
π
; ; .+ +2 4
2PA de razão
Fig. 9 Arcos côngruos.
Os arcos representados na figura 9 possuem extre-
midade em B, mas número de voltas e sentidos diversos.
Esses arcos são chamados de arcos côngruos. Eles pos
suem as mesmas propriedades trigonométricas. Podem,
algebricamente, ser representados pelo conjunto:
MATEMÁTICA Capítulo 7 Trigonometria – conceitos básicos48
AB { |AB + 2K ; K }R Z = α ∈ = α π ∈
|K|: representa o número de voltas.
K > 0: voltas no sentido anti-horário.
K < 0: voltas no sentido horário.
Na divisão de números inteiros: D
R
d
q
, temos
D = d · q + R e 0 ≤ R < d
Vamos denominar “família” de arcos todos os arcos
que possuem a mesma extremidade
Dois arcos são chamados de semicôngruos quando
possuem extremidades no mesmo diâmetro.
Exercícios resolvidos
5 Represente no ciclo trigonométrico os arcos:
a) 13p
b) 572°
c)
7
3
p
d) –17p
Resolução:
a) Obviamente esse arco deu mais de uma volta,
mas quantas? Faça a divisão: 13p 2p
6p
Temos 6 voltas no sentido anti-horário e mais p
radianos?
13p = p + 6 · (2p)
y
xB A
α
π
13p e p são arcos côngruos.
b) 572° 360°
1212°
⇒ 572° = 212° + 1 ⋅ (360°)
y
x
B
212°
A
c) Vamos utilizar o seguinte artifício neste exemplo:
7
3
p 6
3
p
3
p 1
Transformamos 2p em
6
3
p
 para facilitar a divisão:
π
=
π
⋅ π
7
3 3
 + 1 (2 )
y
x
B
A
3
π
d) Vamos fazer a divisão desprezando, a princípio, o
sinal
17p 2p
8p
⇒ 17p = p + 8 (2p)
Ajustando os sinais, temos: –17p = –p + (–8) · 2p
y
xB A
–π
6 Represente no ciclo trigonométrico as “famílias” de
arcos representadas por:
a) AB | AB + K ; KR Z { }∈ = π π ∈
b) AB | AB K
2
; KR Z ∈ =
π
∈






c) AB | AB
6
 + K ; KR Z ∈ =
π
π ∈






Resolução:
a) 




= π + π
= ⇒ = π
= ⇒ = π
= ⇒ = π
=⇒ =
AB K
K 0 AB
K 1 AB 2
K 2 AB 3 (repetição)
K 1 AB 0 (repetição)
para todos os demais K ∈ ¢, teremos as mesmas
extremidades, logo:
y
x
b) AB K
2
K 0 AB 0
K 1 AB
2
K 2 AB
K 3 AB
3
2
K 4 AB 4 (repetição)
K –1 AB
–
2
 (repetição)







=
π
= ⇒ =
= ⇒ =
π
= ⇒ = π
= ⇒ =
π
= ⇒ = π
= ⇒ =
π
para todos os demais K ∈ ¢, teremos somente
arcos côngruos, logo: