Matemática - Livro 3-064-066

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MATEMÁTICA Capítulo 12 Análise combinatória64
41 EsPCEx 2020 O Sargento encarregado de organizar as
escalas de missão de certa organização militar deve
escalar uma comitiva composta por um capitão, dois
tenentes e dois sargentos. Estão aptos para serem
escalados três capitães, cinco tenentes e sete sar-
gentos. O número de comitivas distintas que se pode
obter com esses militares é igual a
A 630
b 570
C 315
d 285
E 210
42 Unioeste 2019 Uma empresa possui 10 diretores, dos
quais, 3 são suspeitos de corrupção. Foi resolvido se
fazer uma investigação composta por uma comissão
de 5 diretores da empresa A única condição imposta
é que a comissão de investigação selecionada tenha
a maioria de diretores não suspeitos Selecionada, ao
acaso, uma comissão para apuração das suspeitas for
mada por diretores desta empresa, é CORRETO afirmar
que a probabilidade de que esta comissão atenda à
condição imposta está no intervalo:
A (0,01; 0,50)
b (0,50; 0,70)
C (0,70; 0,80)
d (0,80; 0,90)
E (0,90; 0,99)
43 Unesp 2019 Bianca está preparando saquinhos com
balas e pirulitos para os convidados da festa de ani
versário de sua filha. Cada saquinho irá conter 5 balas
e 3 pirulitos, ou 3 balas e 4 pirulitos, já que ambas
as combinações resultam no mesmo preço. Para fazer
os saquinhos, ela dispõe de 7 sabores diferentes de
balas (limão, menta, morango, framboesa, caramelo,
canela e tutti frutti) e 5 sabores diferentes de pirulito
(chocolate, morango, uva, cereja e framboesa) Cada
bala custou 25 centavos e cada pirulito custou x cen
tavos, independentemente dos sabores.
a) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca
pode fazer se ela não quer que haja balas de um
mesmo sabor nem pirulitos de um mesmo sabor
em cada saquinho? Qual o preço de cada pirulito?
) Quantos tipos diferentes de saquinhos Bianca
pode fazer se ela não quer que haja sabores re-
petidos em cada saquinho?
44 UFU 2018 Em um laboratório de análises clínicas, um
recipiente, fixado em uma estante, em que são arma
zenados tubos idênticos coletores de sangue tem o
formato indicado na Figura. Esse recipiente é com-
posto por 13 compartimentos e apenas um tubo pode
ser depositado em cada compartimento.
Baseando-se nessas informações, elabore e execute
um plano de resolução de maneira a determinar:
a) o número possível de formas para se depositar,
ao acaso, 5 desses tubos coletores de sangue
nesse recipiente
) qual é a probabilidade de que 5 desses tubos co-
letores de sangue depositados no recipiente não
tenham compartimentos vazios entre eles
45 UEG 2016 Numa reunião entre professores e alunos,
decidiu-se formar uma comissão composta por 2
professores e 3 alunos. Sabendo-se que há 10 pro-
fessores e 20 alunos dispostos a participar dessa
comissão, o número de maneiras distintas que se
pode formá-la é de
A 333 333
b 51 300
C 102 600
d 142 506
E 615 600
46 UPF 2018 Uma equipe esportiva composta por 5 joga-
doras está disputando uma partida de dois tempos.
No intervalo do primeiro para o segundo tempo,
podem ser feitas até 3 substituições, e, para isso, o
técnico dispõe de 4 jogadoras na reserva. O número
de formações distintas que podem iniciar o segundo
tempo é:
A 120
b 121
C 100
d 40
E 36
47 Famerp 2018 Lucas possui 6 livros diferentes e Milton
possui 8 revistas diferentes. Os dois pretendem fazer
uma troca de 3 livros por 3 revistas. O total de possi-
bilidades distintas para que essa troca possa ser feita
é igual a
A 1 040
b 684
C 980
d 1 120
E 364
48 EPCar 2020 Um pisca-pisca usado em árvores de natal
é formado por um fio com lâmpadas acopladas, que
acendem e apagam sequencialmente. Uma pessoa
comprou um pisca-pisca, formado por vários blocos,
com lâmpadas em formato de flores, com o seguinte
padrão:
• Cada bloco é composto por 5 ores, cada uma
com 5 lâmpadas circulares, de cores distintas (A, B,
C, D, E) como na gura:
E
D
CA B
E
D
CA B
E
D
CA B
E
D
CA B
E
D
CA B
F
R
E
N
T
E
 1
65
• Em cada or, apenas 3 lâmpadas quaisquer acen
dem e apagam juntas, por vez, cando as outras
duas apagadas
• Todas as 5 ores do bloco acendem e apagam juntas
• Em duas ores consecutivas, nunca acendem e apa
gam as mesmas 3 cores da anterior Assim, considere
que uma composição possível para um bloco acen
der e apagar corresponde à gura abaixo:
E
D
CA B
E
D
CA B
E
D
CA B
E
D
CA B
E
D
CA B
O número de maneiras, distintas entre si, de contar as
possibilidades de composição para um bloco desse
pisca-pisca é
A 105
b 94 ⋅ 10
C 93
d 93 10
49 Famema 2019 Determinado curso universitário oferece
aos alunos 7 disciplinas opcionais, entre elas as dis-
ciplinas A e B, que só poderão ser cursadas juntas.
Todo aluno desse curso tem que escolher pelo menos
uma e no máximo duas disciplinas opcionais por ano.
Assim, o número de maneiras distintas de um aluno
escolher uma ou mais de uma disciplina opcional para
cursar é
A 18
b 21
C 11
d 13
E 16
50 EsPCEx 2019 Considere o conjunto de números na-
turais {1, 2, ..., 15}. Formando grupos de três números
distintos desse conjunto, o número de grupos em que
a soma dos termos é ímpar é:
A 168
b 196
C 224
d 227
E 231
51 Efomm 2019 De quantas maneiras diferentes podemos
escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas
mulheres, de um grupo composto de sete homens e
quatro mulheres?
A 210
b 250
C 371
d 462
E 756
52 UPF 2019 Entre 9 professores da área de Matemática
da UPF, 5 serão escolhidos para realizar a correção
das provas da primeira fase das Olimpíadas de Ma-
temática. Considerando que entre os 9 apenas 2 não
podem ser escolhidos juntos devido a problemas de
compatibilidade de horários, a quantidade de manei-
ras pelas quais a escolha pode ser feita é:
A 70
b 91
C 125
d 21
E 42
53 Mackenzie 2019 Diz-se que um inteiro positivo com 2
ou mais algarismos é “crescente”, se cada um desses
algarismos, a partir do segundo, for maior que o alga-
rismo que o precede. Por exemplo, o número 134789
é “crescente” enquanto que o número 2 435 não é
“crescente”. Portanto, o número de inteiros positivos
“crescentes” com 5 algarismos é igual a
A 122
b 124
C 126
d 128
E 130
54 UEG 2019 Um ovo de brinquedo contém no seu inte-
rior duas figurinhas distintas, um bonequinho e um
docinho. Sabe-se que na produção desse brinquedo,
há disponível para escolha 20 figurinhas, 10 bone-
quinhos e 4 docinhos, todos distintos. O número de
maneiras que se pode compor o interior desse ovo
de brinquedo é:
A 7 600
b 15 200
C 800
d 400
E 3 800
55 UEPG 2018 Um grupo de profissionais é formado por
seis advogados e oito engenheiros. Considerando
que serão formadas comissões com cinco destes pro-
fissionais, assinale o que for correto.
01 Podem ser formadas menos que 55 comissões
sem nenhum advogado.
02 Em 420 dessas comissões apenas um advogado
participa
04 Em 1946 dessas comissões pelo menos um advo-
gado participa.
08 Podem ser formadas 120 comissões com apenas
um engenheiro
16 Podem ser formadas mais de duas mil comissões
distintas
Soma:
MATEMÁTICA Capítulo 12 Análise combinatória66
Texto complementar
Problema clássico
Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação x
1
 + x
2
 + x
3
 + ... + x
n
 = p
?
Resolução:
Para encontrar o número de soluções dessas equações, vamos utilizar os símbolos: ● e . Por exemplo, a equação x + y + z = 4 tem como algumas soluções
(2; 1; 1) e (3; 1; 0). A representação delas seria: ● ●  ●  ● e ● ● ●  ●  , respectivamente. Assim, as barras são usadas para separar as incógnitas e
a quantidade de sinais ● indica o valor de cada incógnita. Para a equação x
1
 + x
2
 + x
3
 + ... + x
n
 = p, cada solução seria representada por uma fila com
n – 1 barras (para separar n incógnitas, devemos utilizar n – 1 barras). Para formarmos uma fila com n – 1 barras e p sinais ●, basta escolher dos n + p – 1
lugares da fila, os p lugares onde serão colocados os sinais ●. Assim, o número de soluções é dado por




p
n+p = 1
.
56 UFJF 2018 Emuma festa havia 21 pessoas presentes.
Ao chegarem, cumprimentaram com um aperto de
mão uma única vez cada uma das outras pessoas.
Quantos apertos de mão ocorreram ao todo?
A 42
b 84
C 105
d 210
E 420
57 UPE 2018 A turma de espanhol de uma escola é com-
posta por 20 estudantes Serão formados grupos de
três estudantes para uma apresentação cultural. De
quantas maneiras se podem formar esses grupos,
sabendo-se que dois dos estudantes não podem per
tencer a um mesmo grupo?
A 6 840
b 6 732
C 4 896
d 1 836
E 1 122
58 Uece 2017 O número de cordas determinadas por 12
pontos distintos colocados sobre uma circunferência
é:
A 54
b 66
C 72
d 78
59 EEAR 2017 De um grupo de 10 (dez) pessoas, 5 (cinco)
serão escolhidas para compor uma comissão. Ana e
Beatriz fazem parte dessas 10 (dez) pessoas Assim,
o total de comissões que podem ser formadas, que
tenham a participação de Ana e Beatriz, é:
A 24
b 36
C 48
d 56
60 EEAR 2017 Em um campeonato de tênis estão inscritos
10 militares. Para disputar o campeonato, esses milita-
res podem formar duplas diferentes
A 34
b 35
C 44
d 45
61 De um baralho com 52 cartas, são retiradas 10.
a) Em quantos casos haverá pelo menos um ás en-
tre as cartas retiradas?
) Em quantos haverá somente um ás?
c) Em quantos haverá não menos que dois ases?
) Em quantos, exatamente 2 ases?
62 Em um vagão de passageiros de um trem, há 2 bancos
opostos com 5 lugares cada. De 10 passageiros, quatro
desejam se sentar de frente para a locomotiva, três de cos-
tas para ela e os três restantes são indiferentes à posição.
De quantas maneiras os passageiros podem se instalar?
63 Em um sindicato, são escolhidas 9 pessoas. Dentre
elas, há que se eleger o presidente, o vice-presidente,
o secretário e o tesoureiro. De quantos modos isso
pode ser feito?
64 Dentre os integrantes de uma conferência em que
tomam parte 52 pessoas, deve-se escolher uma de-
legação formada por 5 pessoas. De quantas formas a
escolha pode ser feita?
65 Uma mãe tem 2 maçãs e 3 peras. A cada dia, durante
5dias seguidos, ela dá ao filho uma fruta. De quantas
maneiras isso pode ser feito?
66 Um pai tem cinco moedas diferentes, que distribui entre
seus 8 filhos de modo que cada filho receba uma ou ne-
nhuma moeda. De quantos modos diferentes ele pode
fazer essa doação?
67 Em quantos números de 0 a 999 aparece:
a) o algarismo 9?
) o algarismo 9 duas vezes?
c) o algarismo 0?
) o algarismo 0 duas vezes?
e) os algarismos 0 e 9?
f) os algarismos 8 e 9?