Matemática - Livro 3-202-204

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MATEMÁTICA Capítulo 10 Cônicas202
18 A hipérbole cujo eixo real é paralelo a um dos eixos
coordenados tem equação 3x2 y2 6x 4y + 2 = 0.
Determine sua equação reduzida
19 As mais modernas máquinas de cortar chapas de aço-
carbono, aço inoxidável, alumínio e cobre utilizam a
tecnologia do corte a plasma, que é feito por um braço
robótico cujos movimentos são programados em um
computador Uma maneira eficiente de se programar
os movimentos do braço dessa máquina é introduzir os
dados dos cortes que se deseja fazer na forma de
equações analíticas, como:
I. x2 – y2 = 1
II 4x2 + y2 = 4
III. x2 + 4y2 = 4
IV. x2 + y2 = 4
V. x2 + 4y = 4
Assim, para programar um corte circular e um corte pa-
rabólico, pode-se usar as seguintes equações analíticas:
A I e IV
b II e III
C III e IV
D IV e V
E I e V
20 Para a parábola de equação x
1
8
y y 5
2
= + , determine:
a) as coordenadas do vértice
) as coordenadas do foco.
c) a equação da diretriz
d) a equação do eixo.
21 Uema 2014 Uma família da cidade de Cajapió-MA
comprou uma antena parabólica e o técnico a instalou
acima do telhado. A antena projetou uma sombra na
parede do vizinho, que está reproduzida abaixo, co-
berta com uma folha quadriculada.
y
0 1 2
0
1
2
x
Ponto ‘F’
Diretriz
Note que a gura projetada na parede é uma cônica
Considerando as medidas mostradas e o sistema car
tesiano contido na folha quadriculada, a equação que
representa a cônica será
A (y - 2)2 = 7(2x + 1).
b (y + 2)2 = 7(2x + 1).
C (y 3)2 = 12(x + 1).
D (y 2) 7 2x
1
7
2=




E (y 3)
12
7
(x 1).
2
+ = −
22 As antenas parabólicas, utilizadas para recepção de
sinais de rádio e televisão, têm a forma geométrica de
um paraboloide de revolução que reflete feixes para-
lelos de radiação eletromagnética vindos do espaço,
concentrando os no foco da antena onde fica loca-
lizado o receptor chamado LNB (Low-Noise Block)
A figura a seguir mostra uma antena parabólica com
1,2 m de diâmetro e uma de suas seções meridianas:
1,20 cm
18 cm
?
LNB
A seção da antena tem a forma de um arco de pará-
bola inscritível em um retângulo de 1,2 m por 18 cm,
em cujo eixo de simetria ca localizada uma haste de
alumínio presa ao vértice da parábola que serve pa-
ra manter o receptor LBN posicionado no foco da
parábola.
Sabendo que a distância entre o vértice e o foco de
uma parábola de equação y = ax2 é dada pela expres-
são 1
4|a|
, pode-se estimar o comprimento da haste
dessa antena em:
A 20 cm
b 30 cm
C 40 cm
D 50 cm
E 60 cm
23 Dois arbustos de espécies diferentes foram plantados
no mesmo dia e brotaram três dias depois. O gráfico
a seguir compara o crescimento, em centímetros, dos
dois arbustos em função do número x de dias após o
plantio:
y
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Espécie A
Espécie B2
3
4
5
6
x
2
y x 9=
y x 3= −
De acordo com as expressões algébricas que mo-
delam o crescimento das espécies A e B, pode-se
concluir que as curvas apresentadas no gráco são
arcos de:
A parábola (espécie A) e elipse (espécie B).
b hipérbole (espécie A) e parábola (espécie B)
C elipse (espécie A) e parábola (espécie B).
D elipse (espécie A) e hipérbole (espécie B).
E hipérbole (espécie A) e elipse (espécie B)
F
R
E
N
T
E
 3
203
24 ITA Num sistema de coordenadas cartesianas ortogo-
nais, seja (L) o lugar geométrico dos pontos P(x, y) que
satisfazem a seguinte condição: “a distância de P(x, y)
ao ponto Q (6, 0) é igual à distância do ponto P(x, y) ao
eixo das ordenadas”. Nestas condições (L) é:
A uma parábola de equação y2 = 6x.
b uma elipse de equação x
3
y
4
1
2 2
+ = .
C um quadrado.
D uma hipérbole de equação 3x 2y 62 2=
E uma parábola de equação y2 12x + 36 = 0.
25 UFCG Uma secção transversal de um refletor parabóli
co é mostrada na figura abaixo A lâmpada é colocada
no foco F e sabe-se que |AB| = 8 cm e |VE| = 11 cm,
onde V é o vértice da parábola Considere um sistema
de coordenadas em que V seja o ponto (0, 0) Sabe-se
que uma equação de uma parábola de vértice V(0, 0)
e foco F(0, c) é x2 = 4cy.
C E
V
A F B
D
Com essas informações, a equação da parábola e o
comprimento |CD| são, respectivamente:
A x2 = 8y, |CD| = 11 cm.
b x2 = 10y, |CD| = 80 cm.
C x2 = –9y, |CD| = 9 cm.
D x2 = 8y, |CD| = 4 22 cm.
E x2 = 8y, |CD| = 10 cm.
26 Unifesp A figura mostra um arco parabólico ACB de
altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é
o ponto médio de AB.
A M B
C
A altura do arco em centímetros, em um ponto da
base que dista 5 cm de M, é
A 15
b 14
C 13
D 12
E 10.
27 Resolva graficamente as inequações:
a) 2x + 3y + 1 > 0
) 3x – 4y – 6 < 0
28 Resolva graficamente as inequações:
a) 2x - y ≤ 0
) 2x 4y + 4 ≥ 0
29 Resolva graficamente as inequações:
a) x2 + y2 < 16
) x2 + y2 2x 2y 7 ≥ 0
30 Resolva graficamente o sistema de inequações:
x y 1 0
x y 2 0
+ <
+ + <



31 Resolva graficamente o sistema de inequações:
x 3y 0
 x 0
+ <
≥



32 Determine graficamente os pontos P(x, y) do plano
cartesiano cujas coordenadas satisfazem o seguinte
sistema de inequações:
y 1
x 2 0
≥
>



33 Determine graficamente a solução dos sistemas de
inequações:
a)
6x 3y 6 0
3x 6y 12
+ − ≤
+ ≥



)
2x 5y 10
y 2
− <
≤



34 Resolva graficamente a inequação:
x y 2
x y 2
0
− −
+
≥
35 Resolva graficamente o sistema:
(x 1) (y 3) 4
(x 2) (y 1) 16
2 2
2 2
− + + ≤
+ + − >




36 Resolva a inequação
(x 1)
25
(y 3)
9
1
2 2
+
+
≤ .
37 Resolva a inequação y > x2 5x + 4.
38 Resolva a inequação x ≤ y2 - 3y - 4.
39 Resolva o sistema de inequações: (x 2) (y 1) 9
y 2
2 2+ + >
≥



40 Resolva o sistema de inequações: y x 5x 4
x y 2
2> +
+ ≤



MATEMÁTICA Capítulo 10 Cônicas204
eTextos complementares
Kepler e a órbita elíptica
[...] Copérnico calculou as distâncias dos planetas ao Sol no pres-
suposto de que eles se deslocassem com velocidades constantes
em órbitas circulares centradas no Sol. Os dados de observação,
entretanto, eram insuficientes para comprovar isso [ ] Essa in
suficiência de dados precisos era uma das dificuldades maiores
para se decidir qual dos [ ] modelos planetários correspondia à
realidade. E quem compreendeu bem o problema e empenhou
toda uma vida para superar essas dificuldades foi o dinamarquês
Tycho Brahe [ ]
Tycho Brahe (1546-1601) tornou-se apaixonado da Astronomia aos
14 anos de idade [...]. Dos 17 aos 26 anos de idade, Tycho adquiriu vários
instrumentos de observação e construiu muitos outros, maiores e cada
vez mais precisos [ ]
[...] Era chegada “a vez e a hora de Tycho Brahe”. Ele acabara de
construir um novo sextante, cujos braços mediam quase dois metros
de comprimento! E que se articulavam com precisão num eixo de
bronze que não permitia folga O arco do instrumento possuía uma
escala graduada, não apenas em graus, mas também em minutos
de graus! [...]
[...] Tycho Brahe sempre contou com o irrestrito apoio do rei Frederico II
da Dinamarca. [...] [Este] ofereceu lhe então a Ilha de Huen, no canal que
separa a Dinamarca da Suécia, para que ali construísse o observatório de
seus sonhos, casa para morar, oficinas, fábrica de papel, impressora, tudo
à custa do reino! [ ] Ali passou os próximos 20 anos de sua vida, cole-
tando o mais rico acervo de observações astronômicas até então
conseguido
[...] De posse dessa riqueza de dados, Tycho Brahe podia concluir com
segurança que o sistema heliocêntrico, tal qual exposto por Copérnico,
era insustentável. [...]
Tycho Brahe aparece nesse mural em meio a seus instrumentos, na companhia
de seus assistentes e de seu inseparável cão [...].
Frederico II morreu em 1588. [ ] [Tycho] fixou residência no castelo de
Benatek, próximo à cidade de Praga, como “matemático imperial”
do imperador Rodolfo II da Boêmia. Essa mudança aproximava Tycho
Brahe da personagem principal da nossa história [ ]
Johannes Kepler (1571-1630) [...] nasceu no sudoeste da Alemanha, em
Weil-der-Stadt, um lugarejo situado 30 km a oeste de Stuttgart, a capital
de Württenberg. [...]
[...] Não seriam seus pais que iriambem cuidar de seus estudos, mas
o Estado, cujo sistema educacional localizava e encaminhava os meni-
nos inteligentes. Se pobres, como era o caso de Kepler, não faltavam
bolsas que os dotavam dos meios necessários para se dedicarem ao
trabalho escolar sem preocupações. Foi assim que Kepler, cuja bri-
lhante inteligência revelou-se precocemente, embarcou numa carreira
de estudo que o levaria da escola elementar ao seminário e deste a
universidade
Aos 23 anos de idade, quando ainda estudante de Teologia em
Tübingen, Kepler foi indicado para preencher o posto vago de Professor
de Astronomia e Matemática na universidade protestante de Graz, na
Áustria. [...]
Johannes Kepler Tycho Brahe.
[...] O primeiro livro do jovem astrônomo, intitulado Mysterium
Cosmographicum, [foi] publicado em Tübingen em 1596
Tycho Brahe, como vimos, era exímio observador. Mas não tinha com-
petência matemática para trabalhar os dados de suas observações.
Quando recebeu e examinou o livro de Kepler, logo reconheceu em
seu autor um talento matemático singular, que ele, Tycho, não pos-
suía, e de que necessitava para ajudá-lo a aperfeiçoar sua nova
teoria planetária. [...] Eles trocaram correspondência por cerca de
dois anos, e, decerto, perceberam o quanto cada um necessitava do
outro. Foram esses interesses mútuos que acabaram fazendo
de Kepler um assistente de Tycho Brahe, em Benatek, a partir de fe-
vereiro de 1600.
Tycho Brahe morreu em outubro de 1601, sem que o sistema planetário
de seus sonhos pudesse ser concluído. [...]
Com a morte de Tycho Brahe, Kepler foi logo nomeado seu sucessor,
no posto de Matemático Imperial, onde permaneceu até a morte de
Rodolfo II, em 1612. Nos seis primeiros anos de sua permanência
em Benatek, ele descobriu suas duas primeiras leis planetárias, que
aparecem no seu segundo livro, publicado em 1609, sob o título
Astronomia Nova Seu trabalho foi intenso e árduo, envolvendo séries
intermináveis de longos e laboriosos cálculos, procurando acertar hi-
póteses que frequentemente levavam a conclusões falsas e exigiam
In
 B
R
A
H
E
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