Matemática - Livro 3-244-246

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MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos244
Portanto, a razão entre a largura da nova porta e a
largura da porta anterior é
8
9
Alternativa: d
Se um paralelepípedo tem suas dimensões representadas por nú-
meros inteiros a, b e c em alguma unidade de comprimento, então a
aresta l do maior cubo que pode ser usado para preencher comple-
tamente o paralelepípedo, como foi mostrado anteriormente, deve
ter uma medida igual ao máximo divisor comum dos valores das três
dimensões do paralelepípedo. Assim:
mdc a,b,c ( )=
Atenção
Exercício resolvido
20 PUC-SP 2017 Um bloco maciço de madeira na forma
de um prisma reto de base retangular medindo 18 cm
por 24 cm e com 30 cm de altura foi dividido em cubi-
nhos iguais e de maior aresta possível. Supondo que
não tenha ocorrido perda alguma no corte do bloco, o
volume do cubinho é:
A 64 cm3
b 125 cm3
C 216 cm3
d 343 cm3
Resolução:
Nas condições do enunciado, o comprimento da ares-
ta do maior cubo, em centímetros, é:
l = mdc (18, 24, 30) = 2 ⋅ 3 = 6
Portanto, o volume de cada cubinho é V = 6
3
 = 216 cm
3
.
Alternativa: C
Média geométrica no espaço
Algebricamente, a média geométrica de três números
reais positivos (a, b e c) é expressa pela raiz cúbica do
produto desses números, ou seja, ⋅ ⋅a b c3
Já geometricamente, essa média corresponde ao com-
primento da aresta de um cubo, cujo volume coincide com o
volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c Assim,
sendo l o comprimento da aresta desse cubo:

=
= ⋅ ⋅
V V
a b c
Cubo Paralelepípedo
3
Nesse caso, dizemos que l é a média geométrica de
a, b e c:
 = ⋅ ⋅a b c3
Exercício resolvido
21 Considere um paralelepípedo retorretângulo de di-
mensões 6 m por 90 cm por 10,8 dm. Quanto mede a
aresta de um cubo que possui o mesmo volume que
esse paralelepípedo?
A 180 cm
b 240 cm
C 360 cm
d 450 cm
E 600 cm
Resolução:
As dimensões do paralelepípedo, em centímetros, são:
600 × 90 × 108
Portanto, a aresta do cubo mede, em centímetros:
600 90 108
3
 = ⋅ ⋅
Decompondo em fatores primos os valores dessas
dimensões:
2 3 5 2 3 5 2 3 2 3 5
3 1 2
600
1 2 1
90
2 3
108
3
6 6 33
�       = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Simplicando a raiz cúbica, tem-se:
l = 2
2 32 51 = 4 9 5 = 180 cm
Alternativa: A
O produto notável para o cubo da soma é uma importante identi
dade algébrica, que pode ser representada geometricamente pela
justaposição de cubos e paralelepípedos retos de bases quadradas.
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
O primeiro membro dessa identidade representa geometricamente
o volume de um cubo, cuja aresta mede x + y
x
x
x
y
y
y
Dessa maneira, a identidade enuncia que em um cubo como esse
cabem:
• 1 cubo de aresta x;
• 3 paralelepípedos cujas bases são quadradas, de lado x,
e cujas alturas medem y;
• 3 paralelepípedos cujas bases são quadradas, de lado y,
e cujas alturas medem x;
• 1 cubo de aresta y.
x³
x²y
xy²
xy²
xy² y³
x²y
x²y
Saiba mais
F
R
E
N
T
E
 3
245
Exercício resolvido
22 Sabe-se que um aumento de 1 cm nas arestas de um
determinado cubo faz com que seu volume aumente
para 91 cm
3
. Determine o comprimento inicial da ares-
ta desse cubo.
Resolução:
Sendo x o comprimento inicial da aresta do cubo, em cm:
(x + 1)
3
 = x
3
 + 91⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 91⇔
⇔ 3x2 + 3x 90 = 0
Dividindo a equação por 3 e resolvendo a, tem-se:
x x 30 0
1 4 1 30 121
x
1 121
2 1
1 11
2
x 5
x' 6
2
2
+ − =
= ⋅ ⋅ =
=
− ±
⋅
=
− ±
=
= −
∆ ( )
�

Portanto, o cubo tem, inicialmente, 5 cm de aresta.
Elementos do paralelepípedo
H G
C
B
F
A a
b
c
E
D
O paralelepípedo retangular e reto da figura possui:
• 8 vértices, que são triedros trirretângulos: A, B, C, D,
E, F, G e H.
• 12 arestas, cujas medidas coincidem com algumas
das suas dimensões:
= = = =
= = = =
= = = =




largura: AB CD EF GH a
profundidade: AD BC EH FG b
altura: AE BF CG DH c
• 6 faces retangulares:
  =   = ⋅
  =   = ⋅
  =   = ⋅






ABCD EFGH a b
ADHE BCGF b c
ABFE DCGH a c
• 12 diagonais sobre a sua superfície:
= = = = +
= = = = +
= = = = +






AC BD EG FH a b
AF BE CH DG a c
AH BG CF DE b c
2 2
2 2
2 2
• 4 diagonais no seu interior:
= = = = + +AG BH CE DF a b c2 2 2
Planificação do paralelepípedo
O conjunto de seis retângulos justapostos ilustrado a
seguir representa a planificação de um paralelepípedo re-
tangular reto. Os pontos indicados com as mesmas letras
representam o mesmo vértice no sólido espacial.
A B F
D
H
E
H
E
C G
H G
E F
Para montar o paralelepípedo, basta recortar o polígono
formado por todos esses retângulos, dobrar o recorte sobre
os segmentos AB, CD, AD, BC e FG, formando diedros retos,
e fazer coincidir os pontos E, F, G e H no espaço.
Exercício resolvido
23 Dos quatro vértices de um pedaço de cartolina retan-
gular, com dimensões 60 cm por 40 cm, recortam-se
quadrados de lado x, como mostra a figura a seguir:
60
40
x
x
Com a finalidade de se obter uma caixa com a forma
de um paralelepípedo de faces retangulares, o pedaço res-
tante de cartolina é dobrado nas linhas pontilhadas, como
aparece na próxima figura:
MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos246
Assinale a alternativa em que o polinômio V(x) repre-
senta o volume dessa caixa em função da medida x, em
centímetros, do lado de cada um dos quadrados que foram
recortados do pedaço original de cartolina.
A V(x) = 4x3 200x2 + 2 400x
b V(x) = x3 20x2 + 24x
C V(x) = 4x3 + 200x2 + 240
d V(x) = x3 2 400x2 + 200x
E V(x) = 4x2 200x + 2 400
Resolução:
De acordo com o enunciado, as dimensões da base
da caixa são (60 – 2x) por (40 – 2x), e a altura do pris-
ma, que resulta da montagem da caixa, é x.
Portanto, o volume da caixa é dado pela função:
V(x) = (60 – 2x) ⋅ (40 – 2x) ⋅ x
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação
e reduzindo os termos semelhantes, obtém-se:
V(x) = 4x3 200x
2
 + 2 400x
Alternativa: A
A planificação de um sólido geométrico permite obser
var com mais clareza como calcular as áreas das diversas
partes de sua superfície. Assim, sendo a e b as dimensões
da base de um paralelepípedo de altura c, tem-se:
( )
( )
=
= + = +
= + + = + +





Área da base ab
Área lateral 2ac 2bc 2 ac bc
Área total 2ab 2ac 2bc 2 ab ac bc
Exercícios resolvidos
24 PUC-Rio 2018 Uma caixa de chocolate, com a forma de
paralelepípedo, tem dimensões 4 cm × 4 cm × 16 cm
Quantos cm2 de papel são necessários para cobrir
completamente a caixa?
A 256
b 272
C 288
d 304
E 320
Resolução:
Com a = 4, b = 4 e c = 16, a área total desse paralelepí
pedo, em cm2, mede:
ATotal = 2(ab + ac + bc) = 2 ⋅ (4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 16 + 4 ⋅ 16) =
  = 2 ⋅ (16 + 64 + 64) = 2 ⋅ 144 = 288 cm
2
Alternativa: C
25 Insper 2016 A figura indica um bloco maciço com for-
mato de paralelepípedo retorretângulo. As áreas das
faces indicadas por A, B e C são, respectivamente,
48 cm2, 32 cm
2
 e 24 cm
2
z
x
y
O número de blocos como esse que devem ser mergu-
lhados em um tanque completamente cheio de água para
que haja um transbordamento de exatamente 4,8 litros de
líquido é igual a:
A 28
b 25
C 24
d 20
E 18
Resolução:
De acordo com o enunciado e a ilustração, tem-se o
seguinte sistema:
x y 48 (I)
y z 32 (II)
x z 24 (III)
⋅ =
⋅ =
⋅ =




Multiplicando as equações (I) e (II), obtém-se x z y
2
=
= 48 32
Substituindo o valor de x z dado pela equação (III),
obtém-se 24 y
2
 = 48 32
Dividindo a última equação por 24, chega se a y
2
 = 64
e, como y > 0, conclui-se que y = 8
Então, multiplicando a equação (III) por y, obtém-se
x z y = 24 8 = 192
Portanto, o volume do bloco é V = 192 cm
3
O volume de água que deve transbordar é
V' = 4,8 1 000 cm
3
 = 4  800 cm
3
Logo, devem ser mergulhados = =V'
V
4 800
192
25 blocos
Alternativa: b
Diagonais internas de um paralelepípedo
A expressão para o cálculo do comprimento d das dia-
gonais internas de um paralelepípedo retangular reto de
dimensõesa, b e c é consequência do teorema de Pitágoras.
C
BA a
c
d
b
E