Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2 Parte_Aluno

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COLÉGIO SALESIANO DO SALVADOR 
 
 
Aluno (a):________________________________________________________________ Nº: ________ 
Série: 3ª Ens. Médio Turma:_____ Trimestre: 1º Data:_____/_____/_____ 
Componente Curricular: Matemática Professor(a): Ronaldo Pereira 
 
 
 
Conteúdos Verificados: 
 Pirâmides 
Pirâmides 
DEFINIÇÃO 
Pirâmide é todo poliedro convexo construído unindo-se os vértices de um polígono qualquer (base da 
pirâmide) a um mesmo ponto (vértice da pirâmide) situado fora do plano desse polígono. 
Na figura a seguir, temos uma pirâmide de base ABCDEF e vértice V. Com exceção da base, as demais 
faces são formadas por um lado da base e pelo vértice da pirâmide. São sempre triângulos e denominadas 
faces laterais. 
 
A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e o plano da base. 
 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial – I 
2ª Parte 
 
 
 
2 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
PIRÂMIDE REGULAR 
 
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice 
sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes, e 
as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. 
Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral. 
 
RELAÇÕES NUMA PIRÂMIDE REGULAR 
 
Considere a pirâmide quadrangular regular VABCD: 
 
 
 
Dos triângulos sombreados na figura anterior, tiramos as seguintes relações, válidas para toda pirâmide 
regular: 
 
 
 
 
3 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
ÁREAS LATERAL E TOTAL 
 
Para uma pirâmide qualquer, a área lateral corresponde à soma das áreas de todas as faces laterais. 
Como em uma pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes, para calcularmos 
a área lateral, fazemos a área de uma face lateral multiplicada pelo número de faces laterais. 
A área total de uma pirâmide corresponde à soma da área lateral com a área da base: 
 
 
 
VOLUME 
 
Sejam AB a área da base e h a altura de uma pirâmide qualquer. O volume V dessa pirâmide é dado por: 
 
 
 
ATIVIDADE SALA - 1 
 
01. De um tetraedro regular de aresta a, calcular 
A) a área total AT. 
B) a medida h da altura. 
C) o seu volume V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
SECÇÃO DE UMA PIRÂMIDE POR UM PLANO PARALELO À BASE 
Quando seccionamos uma pirâmide por um plano paralelo à base, separamos essa pirâmide em dois 
sólidos. O sólido que contém o vértice é uma nova pirâmide, e o sólido que contém a base da pirâmide é 
um tronco de pirâmide de bases paralelas. 
 
A nova pirâmide e a pirâmide primitiva têm bases semelhantes, e os elementos lineares homólogos 
(arestas das bases, arestas laterais, alturas, etc.) são proporcionais. Assim, dizemos que elas são 
semelhantes. 
Razão de semelhança 
Dadas duas pirâmides semelhantes, a razão entre dois elementos lineares homólogos é denominada 
razão de semelhança. Essa razão será representada por k 
 
Para razões entre áreas homólogas, temos: 
 
 
Para razões entre volumes das pirâmides semelhantes, em que V e v são os volumes das pirâmides 
grande e pequena, respectivamente, temos: 
 
 
 
 
5 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
Podemos, então, generalizar da seguinte maneira: 
i) A razão entre áreas homólogas de quaisquer dois sólidos semelhantes é igual ao quadrado 
da razão de semelhança. 
ii) A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de 
semelhança. 
VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE 
Dadas a área AB da base maior, a área aB da base menor e h a medida da altura do tronco, o volume do 
tronco da pirâmide pode ser obtido por meio da fórmula: 
 
ATIVIDADE SALA – 2 
 
02. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 de área. A 4 m do vértice, traça-se um plano 
paralelo à base, e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da pirâmide? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
ATIVIDADE SALA – 3 
 
1. (Ufpr 2020) A pirâmide regular a seguir tem 12 cm de altura e sua base é um quadrado com 10 cm 
de lado. 
 
 
 
a) Calcule o volume da pirâmide. 
b) Calcule a área total da pirâmide. 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares 
congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos a, b e c. 
 
 
 
a) Determine o número de vértices e de arestas desse poliedro. 
b) Para a 13 cm, b 16 cm  e c 10 cm, calcule o volume desse poliedro. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
3. (Ime 2023) Sejam P1 um tetraedro regular e P2 um prisma triangular reto. Ambos os poliedros 
possuem uma base comum, e a razão entre as áreas totais de P2 e P1 é 2. 
Determine a razão entre os volumes de P2 e P1. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades Complementares 
(Questões de vestibulares) 
 
1. (G1 - ifpe 2018) Podemos calcular o volume de uma caixa retangular, como na figura abaixo, de 
dimensões a, b e c fazendo V a b c.   
 
 
 
Sabendo que 31mL 1cm , calcule, em litros, o volume de água necessária para encher um tanque 
retangular de largura a 80 cm, profundidade b 40 cm e altura c 60 cm. 
a) 1.920 L. 
b) 192 L. 
c) 19,2 L. 
d) 19.200 L. 
e) 192.000 L. 
 
2. (Famerp 2018) A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A 
altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam 
as figuras. 
 
 
 
Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a 
a) 
4 3
3
 
b) 
3 3
2
 
c) 3 
d) 3 3 
e) 
6 3
5
 
 
8 
 
 
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3. (Upe-ssa 1 2018) Um engenheiro construiu uma piscina em formato de bloco retangular a qual mede 
7 m de comprimento, 4 m de largura e 1,5 m de profundidade. Após encher a piscina completamente, o 
engenheiro abriu um ralo que tem a capacidade de esvaziá-la à razão de 20 litros por minuto. Utilizando 
esse ralo, em quanto tempo o nível da água dessa piscina vai baixar em 10 centímetros? 
a) 40 minutos 
b) 1 hora e 40 minutos 
c) 1 hora e 58 minutos 
d) 2 horas e 20 minutos 
e) 2 horas e 46 minutos 
 
4. (Upe-ssa 2 2018) Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna que tem a forma da figura abaixo? 
 
 
a) 43,2 10 
b) 35,2 10 
c) 36,4 10 
d) 49,6 10 
e) 410,5 10 
 
 
 
5. (Upe-ssa 2 2018) Qual é, aproximadamente, a medida da área do hexágono regular obtido ao 
seccionarmos um cubo de aresta 4 cm, por um plano que contém os pontos médios de seis arestas, 
opostas duas a duas, conforme apresentado na figura ao lado? Utilize 3 1,7. 
 
 
a) 25 cm 
b) 210 cm 
c) 220 cm 
d) 225 cm 
e) 245 cm 
 
 
 
9 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
6. (Uemg 2018) Um design projetou um chaveiro no formato de um prisma triangular reto com 12 cm de 
altura. Sabe-se que as arestas da base formam um triângulo retângulo com catetos de medidas 6 cm e 
8 cm. Para cobrir todas as faces desse prisma, adquirindo a quantidade suficiente de papel adesivo, e, 
com isso, evitar o desperdício, será preciso saber a área total da superfície desse prisma. Fazendo os 
cálculos corretos, obtém-se que a área total desse prisma mede 
a) 2336 cm . 
b) 2324 cm . 
c) 2316 cm . 
d) 2312 cm . 
 
 
7. (Ufrgs 2019) Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base 
éum triângulo equilátero. Considere h a medida da aresta da base do prisma hexagonal e t a medida 
da aresta da base do prisma triangular. Se ambos os prismas tem o mesmo volume, então a razão 
h
t
 vale 
a) 
1
.
6
 
b) 
1
.
6
 
c) 1. 
d) 6. 
e) 6. 
 
8. (Uemg 2019) O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um reservatório 
industrial tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 
1,2 dam 125 cm 0,08 hm,  então o preço que se pagará para encher esse reservatório com o referido 
produto de limpeza será igual a: 
a) R$ 32.450,00. 
b) R$ 35.400,00. 
c) R$ 38.400,00. 
d) R$ 40.450,00. 
 
9. (Fuvest 2019) A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um 
paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e 
a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. 
 
 
 
Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual 
a 
a) 32,1m 
b) 32,3 m 
c) 33,0 m 
d) 34,2 m 
e) 36,0 m 
 
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Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
10. (Fuvest 2019) Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois prédios (com formato de 
paralelepípedos reto‐retângulos) que têm paredes laterais paralelas, instalando uma lona na forma de um 
quadrilátero, com pontas presas nos pontos A, B, C e D, conforme indicação da figura. 
 
 
 
Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de altura e 28 m de largura, que a lateral do outro prédio 
tem 60 m de altura e 20 m de largura e que essas duas paredes laterais distam 15 m uma da outra, a 
área total dessa lona seria de 
a) 2300 m 
b) 2360 m 
c) 2600 m 
d) 2720 m 
e) 21.200 m 
 
11. (Eear 2019) Um pedaço de queijo, em forma de prisma triangular regular, tem 6 cm de altura e possui 
como base um triângulo de 10 cm de lado. O volume desse pedaço de queijo é ____ 33 cm . 
a) 150 
b) 165 
c) 185 
d) 200 
 
12. (Efomm 2019) Duas caixas cúbicas e retangulares perfeitas, têm seis faces de quadrados perfeitos. 
As faces da primeira caixa tem 23 m de área, e casa face da segunda caixa tem 29 m de área. A razão 
entre o volume da primeira caixa e o volume da segunda é: 
a) 1 23 
b) 1 23 
c) 3 23 
d) 3 23 
e) 2 33 
 
13. (Uemg 2019) Em um novo projeto de iniciação científica, o estudante de designer João está 
fabricando uma peça para exposição, na qual ele utiliza uma placa quadrada de um metal cuja densidade 
é de 39.000 kg m , com 5.000 mm de lado. Sabe-se que essa chapa tem a espessura de 2,5 cm e que 
inicialmente o profissional recorta um círculo de diâmetro máximo. Em seguida, ele recorta desse círculo 
um quadrado de dimensão máxima. 
 
A massa em toneladas desse quadrado recortado é de aproximadamente: 
a) 2,66 ton. 
b) 2,71ton. 
c) 2,76 ton. 
d) 2,81ton. 
 
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Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
14. (Uece 2019 - Adaptada) A base de uma pirâmide é uma das faces de um cubo, e seu vértice é o 
centro do mesmo cubo. Se a medida da superfície total do cubo é 2864 m , então, a razão entre as medidas 
(em metros quadrados) da área lateral da pirâmide e da área de sua base é 
a) 
2
.
2
 
b) 2. 
c) 
2
.
3
 
d) 2 2. 
 
 
15. (G1 - epcar (Cpcar) 2019) Um baú em forma de paralelepípedo reto retângulo pesa 20 kg e tem 
como medidas externas 50 cm de altura e 3 dm por 400 mm de base. 
O baú contém uma substância homogênea que pesa 1,5 kg por litro e que ocupa o espaço correspondente 
a 90% do volume de um paralelepípedo reto retângulo de espessura desprezível e que possui as 
dimensões externas do baú. 
 
Se o peso total do baú e da substância, em kg, é igual a x, então, pode-se dizer que x é um número 
natural 
a) par menor que 100 
b) ímpar menor que 100 
c) primo. 
d) divisível por 7 e maior que 100 
 
16. (Pucpr Medicina 2019) Com 2M kg de alumínio foram construídos dois pequenos sólidos maciços – 
um cubo e uma pirâmide quadrangular regular – cada um deles com exatamente Mkg de massa de 
alumínio, e apenas alumínio. Sabendo que cada aresta do cubo mede 0,075 m que uma aresta da base 
da pirâmide tem comprimento igual à medida de uma diagonal do cubo e que a altura da pirâmide mede 
h dm é CORRETO afirmar que 
a) h 0,75 
b) h 1,125 
c) h 0,25 
d) h 0,375 
e) h 2,25 
 
17. (Ufrgs 2019) Considere o paralelepípedo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices 
B, F, G, H, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir. 
 
 
 
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é 
a) 
1
.
6
 
b) 
1
.
5
 
c) 
1
.
4
 
d) 
1
.
3
 
e) 
1
.
2
 
 
12 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
18. (Ueg 2019) Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse construída uma pirâmide de 
base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a 
a) 325 cm 
b) 330 cm 
c) 315 cm 
d) 39 cm 
e) 312 cm 
 
19. (Ufms 2020) Um grupo de amigos decidiu acampar em local próximo a uma das cachoeiras da cidade 
de Bonito. Planejam utilizar uma barraca feita de tecido impermeável no formato de pirâmide regular 
quadrangular, com medidas da aresta de base de 2 m e altura 2 m. Considerando que a barraca deve 
isolar o grupo de toda umidade, inclusive a proveniente do solo, quantos metros quadrados de tecido são 
necessários? 
a) 4 3. 
b) 4( 3 1). 
c) 4(1 4 5). 
d) 4 5. 
e) 80 4. 
 
20. (Albert Einstein - Medicina 2017) Para a feira cultural da escola, um grupo de alunos irá construir 
uma pirâmide reta de base quadrada. A pirâmide terá 3 m de altura e cada aresta da base medirá 2 m. A 
lateral da pirâmide será coberta com folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas para um 
melhor acabamento. 
Se a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm, o número mínimo dessas folhas necessárias à 
execução do trabalho será 
Utilize 10 3,2 
a) 285 
b) 301 
c) 320 
d) 333 
 
21. (Uece 2017) A medida da altura de uma pirâmide é 10 m e sua base é um triângulo retângulo 
isósceles cuja medida da hipotenusa é 6 m. Pode-se afirmar corretamente que a medida do volume dessa 
pirâmide, em 3m , é igual a 
a) 60. 
b) 30. 
c) 15. 
d) 45. 
 
22. (Udesc 2017) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem o vértice sobre uma semiesfera e a base 
inscrita na base desta semiesfera. Sabendo que a aresta lateral dessa pirâmide mede 10 cm, então o 
volume é igual a: 
a) 3125 6 cm 
b) 3500 3 cm 
c) 3375 6 cm 
d) 35 15
cm
2
 
e) 3250 3 cm 
 
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23. (Unisc 2016) Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. Sabendo que as faces 
laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é 
a) 3q 2 
b) 
3q 2
6
 
c) 
q 2
2
 
d) 
3q 3
6
 
e) 
3q 3
3
 
 
24. (Uece 2016) Se a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide (incluindo a base) é 3.600 
graus, então, a base da pirâmide é um polígono com 
a) 9 lados. 
b) 10 lados. 
c) 11 lados. 
d) 12 lados. 
 
25. (Uerj 2019) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos 
paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral 
em três partes iguais. 
 
Considere as seguintes medidas da pirâmide: 
- altura 9 cm; 
- aresta da base 6 cm; 
- volume total 3108 cm . 
 
 
 
O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em 3cm , é: 
a) 26 
b) 24 
c) 28 
d) 3014 
 
 
Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
26. (G1 - epcar (Cpcar) 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, 
a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um 
orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas. 
 
Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa: 
 
 
 
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca. 
Considere: 7 2,6 e 2 1,4. 
 
No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de 
baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado. 
 
Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear. 
 
Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto, 
então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido 
entre 
a) 390 e 400 
b) 401 e 410 
c) 411 e 420 
d) 421 e 430 
 
 
 
27. (Uece 2018) Considere uma pirâmide regular hexagonal reta cuja medida da altura é 30 m e cuja 
base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 10 m. Desejando-se pintar todas 
as faces triangulares dessa pirâmide, a medida da área a ser pintada, em 2m , é 
a) 115 39. 
b) 150 39. 
c) 125 39. 
d) 140 39. 
 
 
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28. (Uece 2018) Assinale a opção que corresponde à medida da altura do tetraedro regular cuja medida 
da aresta é igual a 3 m. 
a) 
2 6
m.
3
 
b) 6 m. 
c) 
6
m.
2
 
d) 
6
m.
3
 
 
29. (Espcex (Aman) 2017) Determine o volume (em 3cm ) de uma pirâmide retangular de altura "a" e 
lados da base "b" e "c" (a, b e c em centímetros), sabendo que a b c 36   e "a", "b" e "c" são, 
respectivamente, números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2. 
a) 16 
b) 36 
c) 108 
d) 432 
e) 648 
 
 
30. (Uece 2023) A medida, em m3, do volume de uma pirâmide triangular regular na qual a medida da 
altura é igual a 4 m e a base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 3 m é 
a) 3 3. 
b) 5 3. 
c) 7 3. 
d) 9 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Seção Enem 
 
 
31. (Enem 2022) Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90.000 L de água. O casal contratou uma empresa 
de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de 
profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas 
paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de 
revestimento. 
 
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos 
projetos, são: 
 
- projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m; 
- projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m; 
- projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m; 
- projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m; 
- projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m. 
 
O projeto que o casal deverá escolher será o 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
 
32. (Enem 2021) O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura 
dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso 
interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas 
necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a 
largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos 
aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas 
quantidades de tinta necessárias. 
Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas 
pelos fornecedores foram as seguintes: 
 
- Fornecedor I: “O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso.” 
- Fornecedor II: “O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso.” 
- Fornecedor III: “Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso.” 
- Fornecedor IV: “Quatro vezes para as paredes e o dobro para o piso.” 
- Fornecedor V: “Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso.” 
 
Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de 
material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes. 
 
Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo ser o escolhido pelo construtor para 
a aquisição do material? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
 
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Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
33. (Enem 2020) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a 
altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. 
Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. 
Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de 
volume igual a 36 cm cada, que ficarão totalmente submersas 
 
 
 
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo 
as instruções dadas, é de 
a) 14. 
b) 16. 
c) 18. 
d) 30. 
e) 34. 
 
34. (Enem 2019) Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando concreto 
usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a laje será fornecido 
por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 3 32 m , 5 m e 310 m de concreto. 
 
 
 
Qual a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras 
deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje? 
a) Dez caminhões com capacidade máxima de 310 m . 
b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 310 m . 
c) Um caminhão com capacidade máxima de 35 m . 
d) Dez caminhões com capacidade máxima de 32 m . 
e) Um caminhão com capacidade máxima de 32 m . 
 
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Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
 
35. (Enem 2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de 
diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de 
tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser 
fechadas. 
No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo 
reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas: 
 
Modelo 
Comprimento (cm) 
 
Largura (cm) 
 
Altura (cm) 
 
I 8 8 40 
II 8 20 14 
III 18 5 35 
IV 20 12 12 
V 24 8 14 
 
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por 
caixa? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
36. (Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme 
Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia 
é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza. 
 
 
 
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é 
a) tetraedro. 
b) pirâmide retangular. 
c) tronco de pirâmide retangular. 
d) prisma quadrangular reto. 
e) prisma triangular reto. 
 
37. (Enem 2017) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para 
tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto 
para cada 1.000L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base 
retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, 
respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina. 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às 
suas especificações técnicas é 
a) 11,25. 
b) 27,00. 
c) 28,80. 
d) 32,25. 
 
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e) 49,50. 
38. (Enem 2017) Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão 
um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, 
com diferentes dimensões, conforme descrito: 
 
- Caixa 1: 86 cm 86 cm 86 cm  
- Caixa 2: 75 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 3: 85 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 4: 82 cm 95 cm 82 cm  
- Caixa 5: 80 cm 95 cm 85 cm  
 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em 
seu interior. 
 
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
39. (Enem 2016) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as 
dimensões dadas por 60 m 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto 
ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, 
de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de 
base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento 
no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará. 
 
 
 
Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um 
acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C. 
Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias. 
 
Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de 
a) 3 31,4 10 m 
b) 3 31,8 10 m 
c) 3 32,0 10 m 
d) 3 33,2 10 m 
e) 3 36,0 10 m 
 
 
 
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40. (Enem 2015) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo 
retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No 
processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando 
levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa. 
Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 31.000 cm e, após 
essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do 
processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem 
transbordar. 
 
O volume máximo, em 3cm , da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é 
a) 450. 
b) 500. 
c) 600. 
d) 750. 
e) 1.000. 
 
41. (Enem 2019) As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos 
geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções 
paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de 
maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções 
está indicada na figura. 
 
 
 
Essa luminária terá por faces 
a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
b) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
c) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
d) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
e) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
 
42. (Enem 2016) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, 
por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, 
pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular 
de base quadrada. 
 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo artista plástico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas. 
 
 
 
 
 
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43. (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes 
formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. 
 
 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
 
 
44. (Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm 
de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos 
de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 1cm entre eles, sendo 
que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro 
passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
 
 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm 
de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar 
uma vela? 
a) 3156 cm . 
b) 3189 cm . 
c) 3192 cm . 
d) 3216 cm . 
e) 3540 cm . 
 
 
 
 
 
 
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45. (Enem PPL 2016) A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada 
e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma 
haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície 
da cobertura da tenda. 
 
 
 
A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão 
a) 
2
2 y
2y x
4
 
b) 
2
2 y
2y x
2
 
c) 2 24y x y 
d) 
2
2 y
4 x
4
 
e) 
2
2 y
4 x
2
 
 
 
46. (Enem PPL 2016) A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande 
Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui 
aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere 
que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces 
laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m. 
 
 
 
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é 
a) 97,0. 
b) 136,8. 
c) 173,7. 
d) 189,3. 
e) 240,0. 
 
 
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Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
47. (Enem) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a 
partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo, No esquema, estão indicados o sólido 
original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele. 
 
 
 
Os pontos A. B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do 
cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD , BC , AB e CD , nessa ordem. Após os 
cortes, são descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são 
a) todos iguais. 
b) todos diferentes. 
c) trêsiguais e um diferente. 
d) apenas dois iguais. 
e) iguais dois a dois. 
 
48. (Enem) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada 
com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas 
poderia ter uma das faces pentagonal. 
 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide 
intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. 
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, 
divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. 
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento 
de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. 
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é 
igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. 
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual 
ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 
lados. 
 
 
49. (Enem PPL 2023) Uma piscina de um clube tem o formato de paralelepípedo reto retângulo com 50 
m de comprimento, 25 m de largura e 3 m de profundidade. O proprietário do clube construirá duas novas 
piscinas, de formatos diferentes, e necessita que cada uma tenha o mesmo volume da existente ou o 
mais próximo possível desse volume. A empresa de construção contratada disponibilizou, para a 
avaliação desse proprietário, uma proposta com cinco projetos de piscina: três com o formato de cilindro 
circular reto e duas com o formato de paralelepípedo reto retângulo: 
 
- piscina cilíndrica I (C1): 50 m de diâmetro de base e 2 m de profundidade; 
- piscina cilíndrica II (C2): 40 m de diâmetro de base e 3 m de profundidade; 
- piscina cilíndrica III (C3): 46 m de diâmetro de base e 2,5 m de profundidade; 
- piscina em formato de paralelepípedo I (P1): 62 m de comprimento, 24 m de largura e 2 m de 
profundidade; 
- piscina em formato de paralelepípedo II (P2): 64 m de comprimento, 30 m de largura e 2 m de 
profundidade. 
 
Considere 3 como valor aproximado de π. 
 
Para atender às suas necessidades, dentre os projetos propostos, o proprietário desse clube deverá 
escolher as piscinas 
 
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Geometria Espacial - I_Prismas e Pirâmides_2ª Parte_Aluno 
 
a) C1 e P2. 
b) C1 e C3. 
c) C2 e P1. 
d) C3 e P2. 
e) P1 e P2. 
 
50. (Enem PPL 2022) Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base 
quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, 
como representado na figura. 
 
 
 
Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter 
uma capacidade igual ao triplo da atual. 
 
A altura da nova embalagem será igual a 
4
3
 da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova 
embalagem serão denominadas de x. 
 
Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual? 
a) x = a 
b) x = 3a 
c) x = 9a 
d) 
3a
x
2
 
e) x a 3 
 
 
 
Gabarito – Atividades Complementares – Questões de vestibulares 
 
Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Resposta B D D D C A A C A C A C D B C A A B E C 
 
Questão 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Resposta B A B C C B B B D D 
 
 
Gabarito – Atividades Complementares – Seção Enem 
 
Questão 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
Resposta B B A C D E B C D C A E A B A B E C A D