Matemática - Livro 3-259-261

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259
17 Unicamp 2017 Um paralelepípedo retângulo tem faces
de áreas 2 cm
2
, 3 cm
2 e 4 cm2. O volume desse para-
lelepípedo é igual a:
A 2 3 cm3.
b 2 6 cm3.
C 24 cm3.
d 12 cm3.
18 UFRGS 2018 Uma partícula parte do ponto A e chega
ao ponto H percorrendo a poligonal ABCDEFGH no
cubo de aresta unitária, representado na figura abaixo
G
H
A C
E
D
F
B
A distância percorrida pela partícula é:
A 1
b 2.
C 7
d +5 2 2.
E +5 2 3
19 PUC-RS 2017 No cubo abaixo, de aresta igual a 8, o
segmento EI mede a quarta parte do segmento AE
H
E
I
A B
G
C
F
D
A área do triângulo BCI é igual a:
A 24
b 36
C 40
d 48
E 80
20 Uefs 2018 Um cubo de isopor foi cortado em dois pa-
ralelepípedos retorretângulos congruentes, cada um
com área total igual a 144 cm2. A medida da aresta
desse cubo é:
A 6 cm.
b 8 cm
C 12 cm.
d 18 cm
E 24 cm.
Texto complementar
Bonaventura Cavalieri e algumas
de suas ideias
Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão por volta de 1598 Foi membro
de uma ordem religiosa (os Jesuados) No ano de 1616, ele foi para Pisa,
onde estudou Filosofia e Teologia. Conheceu o padre Benedito Castelli
(1577-1644) que o apresentou a Galileu (1564-1642), do qual veio a tornar-
-se discípulo. Em 1629, foi indicado à cadeira de professor em Bolonha.
Ocupou esse cargo até sua morte, em 1647 [ ]. Podemos dizer que esse
intelectual foi um padre e estudioso da Matemática, tendo estudado e
publicado vasto material em Matemática pura e aplicada. Dentre os
assuntos em que ele trabalhou podemos citar: geometria, trigonometria,
astronomia. Ele é considerado como um dos responsáveis pela introdu-
ção dos logaritmos na Europa [ ] Em 1632, Cavalieri apresentou seu
livro Directorium universale uranometricum, onde publicou tabelas de
seno, tangentes e secantes, junto com seus logaritmos, até oito casas.
Durante o ano de 1635, Cavalieri apresentou a primeira versão da
obra que lhe deu muito destaque, a famosa Geometria indivisibilibus
continuorum. Nesse trabalho, ele apresenta seu método dos indivi
síveis. Em seu livro de Introdução à História da Matemática, o autor
Howard Eves, diz que o método dos indivisíveis de Cavalieri tem
raízes que remontam a Demócrito e Arquimedes, mas cuja motivação
direta, talvez, se encontre nas tentativas de Kepler de achar certas
áreas e certos volumes
Segundo Boyer, o autor diz que na obra dos indivisíveis de Cavalieri,
o argumento em que ele se baseia é essencialmente o sugerido por
Oresme, Kepler e Galileu, que uma área pode ser pensada como sendo
formada de segmentos ou "indivisíveis" e que volume pode ser conside
rado como composto de áreas que são volumes indivisíveis.
[...] Cavalieri entendia por indivisível [...] de uma porção plana é uma
corda dessa porção e, um indivisível de um sólido dado é uma seção
desse sólido Podemos considerar que uma porção plana seja formada
de uma infinidade de cordas paralelas e que um sólido seja formado de
uma infinidade de seções planas paralelas.
As ideias desenvolvidas por Cavalieri, deram origem a dois princípios,
denominados princípios de Cavalieri, um relativo ao cálculo de áreas e
o outro que é muito utilizado para o cálculo de volumes. [ ]
O princípio de Cavalieri para volumes
[ ] Considere dois sólidos A e B. Se qualquer plano horizontal secciona
A e B segundo figuras planas, tais que a razão entre suas áreas é uma
constante, então a razão entre os volumes V(A) e V(B) é essa constante.
Sólido A
 
Sólido B
Seção A Seção B
Princípio de Cavalieri.
O princípio de Cavalieri reduz o cálculo de volumes ao cálculo de áreas,
para isso, devemos comparar as áreas das seções obtidas nos sólidos
por planos paralelos ao plano das suas bases, sendo que esses sólidos
deverão ter mesma altura e devem ser considerados apoiados sobre o
mesmo plano. Se a razão entre as áreas de seções correspondentes é
constante, então a razão entre os volumes dos sólidos considerados é
essa mesma constante. Esse fato nos leva a entender que, se as áreas
das seções correspondentes são iguais, os sólidos têm o mesmo volume.
PRIMO, Márcio Eduardo. O princípio de Cavalieri para
cálculo de volumes no ensino médio: algumas possibilidades.
Dissertação (Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional) Universidade
Federal de Juiz de Fora Juiz de Fora, 2013 p. 20-2
MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos260
Unidades de volume e capacidade
1 m
3 equivale a 1 000 L 1 L equivale a 1 000 cm31 L equivale a 1 dm3 1 mL equivale a 1 cm3
Teorema da razão de semelhança no espaço
Se dois sólidos geométricos são semelhantes um ao outro e k é a razão dessa semelhança, então:
=
comprimento
comprimento'
k =
área
área'
k
2
=
volume
volume'
k
3
Paralelepípedo retorretângulo
Volume: = ⋅ ⋅V a b c
Área total: ( )= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅A 2 a b a c b ctotal
Diagonal: = + +d a b c2 2 2
H G
C
B
F
A a
b
c
E
D
d
Cubo
Volume: =V
3
Área total: =A 6
total
2
Diagonal: =d 3
H
E
A B
G



C
F
d
D
Resumindo
Quer saber mais?
Sites
• Unidades de medida: volume e capacidade
Disponível em: <https://blogdoenem.com.br/volume-capacidade-matematica-enem>.
• Distância entre pontos no espaço
Disponível em: <https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos-no-espaco.htm>.
• Seções de um cubo
Disponível em: <www.casadasciencias.org/cc/redindex.php?idart=303&gid=39258701>.
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Exercícios complementares
1 UFJF 2017 Um quebra-cabeça tem 8 peças, sendo:
– 01 peça cúbica com 2 cm de lado;
– 01 peça cúbica com 3 cm de lado;
– 03 peças em forma de paralelepípedo retangular
com medidas 2 cm × 2 cm × 3 cm;
– 03 peças em forma de paralelepípedo retangular
com medidas 3 cm × 3 cm × 2 cm.
3
3
3
2
2 2
2
2
2
3
3
3
Além disso, o quebra-cabeça montado é um cubo
5 × 5 × 5 conforme ilustração abaixo
3
3
3
2
2
2
Se pintarmos todas as faces do cubo montado, após
desmontá-lo podemos armar que as peças:
A cúbicas totalizam 5 faces não pintadas.
b cúbicas totalizam 5 faces pintadas.
C 2 × 2 × 3 totalizam 16 cm
2
 de área de faces não
pintadas.
d 3 × 3 × 2 totalizam 63 cm
2
 de área de faces não
pintadas.
E não cúbicas totalizam 15 faces não pintadas.
2 Enem 2015 Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens
plásticas no formato de paralelepípedo retangular
reto Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e
base de 20 cm por 10 cm No processo de confecção
do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no
estado líquido e, quando levada ao congelador, tem
seu volume aumentado em 25%, ficando com consis
tência cremosa
Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura
sabor chocolate com volume de 1 000 cm
3
 e, após
essa mistura car cremosa, será adicionada uma
mistura sabor morango, de modo que, ao nal do
processo de congelamento, a embalagem que com-
pletamente preenchida com sorvete, sem transbordar.
O volume máximo, em cm
3
, da mistura sabor morango
que deverá ser colocado na embalagem é
A 450
b 500
C 600
d 750
E 1  000
3 Enem 2014 Um fazendeiro tem um depósito para arma-
zenar leite formado por duas partes cúbicas que se
comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte
cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida
da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada
para encher o depósito tem vazão constante e levou 8
minutos para encher metade da parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher
completamente o restante do depósito?
A 8 b 10 C 16 d 18 E 24
4 Enem 2012 Alguns objetos, durante a sua fabricação,
necessitam passar por um processo de resfriamento.
Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de
resfriamento, como mostrado na figura.
25 cm
30 cm
40 cm
5 cm
O que aconteceria com o nível da água se colocás-
semos no tanque um objeto cujo volume fosse de
2 400 cm
3
?
A O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com
20,2 cm de altura.
b O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm
de altura.
C O nível subiria2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm
de altura.
d O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.