REVISAO DE MATEMÁTICA

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REVISAO DE MATEMÁTICA
NÚMEROS NATURAIS
 Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos. Se um número é inteiro e positivo, podemos dizer que é um número natural.
Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado da letra N e, nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}.
· Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8...}
· Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9...}
O conjunto de números naturais é infinito. Todos possuem um antecessor (número anterior) e um sucessor (número posterior), exceto o número zero (0). Assim:
· o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2;
· o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3;
· o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4;
· o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5.
Cada elemento é igual ao número antecessor mais um, exceptuando-se o zero. Assim, podemos notar que:
· o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1;
· o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2;
· o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3;
· o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4.
A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os homens, antes de inventarem os números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e ordenação das coisas.
Exemplo 1. Adição – A quantidade de meninos de uma turma de sexto ano é 13 e a quantidade de meninas é 12. Qual é a soma total de alunos dessa turma de sexto ano?
Para resolver o problema basta fazer o algoritmo da adição:
Logo, a quantidade de estudantes nesta turma de 6º ano será 25.
Os problemas de adição geralmente possuem comandos como: juntar, acrescentar, agrupar e somar.
Exemplo 2. Subtração – Pedro tinha 35 bolinhas de gude e durante uma partida, perdeu para o seu amigo João 12 de suas bolinhas. Com quantas bolinhas de gude Pedro ficou, após a perda?
Para resolver o problema, utiliza-se o algoritmo da subtração:
Logo, a quantidade de bolinhas de gude que restou a Pedro foi 23.
Os problemas relacionados à subtração possuem comandos como: subtrair, retirar, perder, completar quantidades, comparar, diferença entre outros.
Exemplo 3. Multiplicação – Tiago foi ao supermercado e comprou 5 pacotes de bolacha, cada uma custando R$ 3,00. Qual foi o valor pago por Tiago pelos 5 pacotes de bolacha?
Para resolver o problema, basta organizar o algoritmo da multiplicação:
Logo, o valor pago por Tiago pelos 5 pacotes de bolacha foi: R$ 15,00
Exemplo 4. Divisão – Maria Augusta deseja dividir igualmente entre os seus três filhos a quantia de R$ 36,00. Quanto receberá cada um de seus filhos?
Para resolver esse problema, utiliza-se o algoritmo da divisão, também conhecido como divisão euclidiana.
Logo, cada um dos filhos de Maria Augusta, receberá o valor de R$ 12,00.
Exemplo 5. Potência – Em uma cômoda há três gavetas, cada gaveta contém três pastas e cada pasta, contém três documentos. Quantos documentos ao todo estão nesta cômoda?
Para resolver essa situação, basta escrever o problema em forma de potência:
Assim, nesta cômoda há ao todo 27 documentos.
Toda potência necessita de uma base (número maior) e um expoente (número menor). O expoente determina quantas vezes a base deve multiplicar por ela mesma.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Arme e efetue as operações.
Adição Subtração Multiplicação Divisão
a) 8 337 + 2 791 e) 2 620 – 945 i) 153 x 7 m) 7650 ÷ 3
b) 7 594 + 5 872 f) 7000 – 1096 j) 1007 x 9 n) 11376 ÷ 2
c) 275 103 + 94 924 g) 11 011 – 7 997 k) 758 x 46 o) 4416 ÷ 6
d) 8 649 + 7 514 + 3 211 h) 140926 – 78016 l) 1782 x 240 p) 2397 ÷ 17
Identifique a operação que deve ser utilizada e resolva cada problema.
a) Uma escola funciona em dois turnos. No turno matutino há 1 407 alunos e no turno vespertino há 1 825
alunos. Quantos alunos estudam nessa escola?
b) De acordo com o censo realizado em 1991, o estado da Paraíba tem 1 546 042 homens e 1 654 578
mulheres. Qual é a população da Paraíba segundo esse censo?
c) Um avião pode transportar 295 passageiros. Em determinado vôo, o avião está transportando 209
passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?
d) À vista um automóvel custa R$ 26.454. À prazo o mesmo automóvel custa R$ 38.392. A diferença entre o
preço cobrado é chamado de juros. Qual é a quantia que pagará de juros?
e) De acordo com o Censo de 1980, a população de uma cidade era de 79 412 habitantes. Feito o Censo em
1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94 070 habitantes. Qual foi o aumento da
população dessa cidade nesse período de tempo?
f) Com 12 prestações mensais iguais de 325 reais posso comprar uma moto. Quanto vou pagar por essa
moto?
g) Um carro bem regulado percorre 12 quilômetros com um litro de gasolina. Se numa viagem foram
consumidos 46 litros, qual a distância em quilômetros que o carro percorreu?
h) Em um teatro há 18 fileiras de poltronas. Em cada fileira foram colocadas 26 poltronas. Quantas poltronas
há nesse teatro?
i) Em um teatro há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas foram colocadas
em cada fileira?
j) Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de vinho?
Sendo 43 = 64, responda:
 a) Quem é a base?
 b) Quem é o expoente?
 c) Quem é a potência?
Escreva na forma de potência:
 a) 5 x 5
 b) 3 x 3 x 3
 c) 7 x 7 x 7
 d) 2 x 2 x 2
Calcule as potências:
 a) 23
 b) 42
 c) 54
 d) 05
 e) 16
 f) 30
 g) 40
 h) 62
 i) 241
 j) 670
Sendo x = 2, y = 3 e z = 4, calcule:
 a) x2
 b) y3
 c) z5
 d) xy
 e) yx
 f) xz
 g) 3x
 h) 4z
Calcule:
 a) O quadrado de 11
 b) O cubo de 7
 c) O quadrado de 8
 d) A quinta potência de 2
Quem é maior?
 a) 23 ou 32
 b) 1120 ou 1201
 c) 560 ou 056
Calcule:
a) 3.102
b) 5.34
c) 7.43
Transforme os produtos indicados, em potência:
a)5.5.5 =
b)7.7 =
c)8.8.8 =
d)1.1.=
e)6.6.6 =
f)2.2.2.=
g)45.45=
h)68.68.68=
i)89.89.89 =
Transforme em produto, as potências:
a) 4² =
b) 5³ =
Escreva como se lê:
a) 4² =
b) 5³ =
Resolva e dê a nomenclatura:
 4² =
Base =
Expoente =
Potência =
Na potenciação sempre que a base for 1 a potência será igual a:
Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual à:
Qual o resultado de 43 ?
Todo número natural elevado a 1 é igual a _______________
 
 Escreva as potências com os números naturais e depois resolva-as:
a) Dezesseis elevado ao quadrado
b) Cinquenta e quatro elevado à primeira potência
c)Zero elevado à décima primeira potência
d) Um elevado à vigésima potência
e) Quatorze elevado ao cubo
Simplifique as expressões numéricas :
a) 5 + 3². 2=
b) 7² - 4. 2 + 3 =
c) 10² - 3² + 5=
NUMEROS DECIMAIS FINITOS
Número decimal finito ou exato
Um número decimal é finito ou exato (tem um número finito de dígitos), quando é representado por uma soma com número finito de parcelas. Define-se uma fração decimal, como uma fração cujo denominador é 10 ou potência de 10: 1/10; 5/100, 3/1000, etc.
· Exemplos de número decimal finito:
· 
· 1,3
· -2,15
· 3,25
· 0,3
· 0,5
Como Ler um Número Decimal?
São lidos segundo a posição das casas decimais. Se possuir um número inteiro ele deve ser lido junto com a quantidade de casas decimais da parte fracionária.
Nomenclatura:
	Valor
	Nome
	Casas Decimais
	10−1
	Décimo
	1
	10−2
	Centésimo
	2
	10−3
	Milésimo
	3
	10−4
	Décimo de Milésimo
	4
	10−5
	Centésimo de Milésimos
	5
	10−6
	Milionésimo
	6
Perceba que um número decimal pode ser escrito com uma base 10 elevado a um expoente negativo. Esse expoente equivale à quantidade de casas decimais após a vírgula.
Exemplo:
· 0,2: dois décimos.
· 3,12: três inteiros e 12 centésimos
· 0,223: duzentos e vinte e três milésimos
Adição e Subtração
Adição: para somar dois ou mais números decimais devemos colocar números inteiros sobre inteiros, vírgula sobre vírgula e os decimais sobre os decimais.
Exemplo:
Subtração: para subtrair dois números decimais devemos escolher o maior número e subtrair pelomenor, e o procedimento é análogo à adição.
Exemplo:
Multiplicação e Divisão
Multiplicação: para multiplicar dois ou mais números decimais, não precisamos atentar para a posição da vírgula. Devemos proceder como a multiplicação de dois ou mais números quaisquer.
Após realizar a multiplicação é que vamos contar a quantidade de casas decimais e colocar no resultado do produto.
Exemplo:
Divisão: para dividirmos números decimais precisamos verificar se os números têm as mesmas quantidades de casas decimais, caso contrário devemos completar com zeros.
Se tivermos dividindo um número inteiro por um decimal, temos que transformar o número inteiro em decimal (e vice-versa), acrescentando uma vírgula e zeros após a vírgula.
Exemplo:
A parte em vermelho indica que o resultado da subtração foi um número menor que 2,5, para isso deslocamos a vírgula para a direita, acrescentando zeros, para que o número fosse maior que 2,5.
Curiosidade: na multiplicação de números decimais por potências de 10, 100, 1000, etc. precisamos apenas deslocar a vírgula para a direita (multiplicação) ou para a esquerda (divisão), conforme a quantidade de zeros que tem o número.
Exemplos:
· Multiplicação:
· 0,12 x 10 = 1,2 (deslocou a vírgula uma casa à direita)
· 1,2345 x 1000 = 1234,5 (deslocou a vírgula três casa à direita)
· Divisão:
· 0,12 ÷ 10 = 0,012 (deslocou a vírgula uma casa à esquerda)
· 1,2345 ÷ 1000 = 0,0012345 (deslocou a vírgula três casa à esquerda)
LISTA DE EXERCÍCIOS
Mariana foi até a padaria e comprou um pedaço de torta de frango por R$ 6,50, um copo de suco por R$ 5,25 e, de sobremesa, dois brigadeiros por R$ 0,75 cada. O valor total pago por ela foi de:
A) R$ 13,25
B) R$ 12,50
C) R$ 11,75
D) R$ 10,00
E) R$ 7,50
Para fazer a decoração de Natal, seu Jerivaldo decidiu alugar um forro para a sua mesa. O comprimento e a largura do forro são de 2,20 metros e 1,10 metros, respectivamente. Podemos afirmar que a área da peça é de:
A) 2,30 m²
B) 2,42 m²
C) 2,50 m²
D)2,69 m²
E) 2,85 m²
Durante o ano, um dos itens com valor que sofreu aumentos consecutivos foi a carne bovina. Em um supermercado, no início de janeiro, pagava-se R$ 22,50 pelo quilo de determinada carne. Após os sucessivos aumentos, essa carne passou a custar R$ 39,90 em dezembro. A diferença paga por um cliente que comprou 2,5 kg desse produto em dezembro e em janeiro é igual a:
A) R$ 99,75
B) R$ 56,25
C) R$ 43,50
D) R$ 39,90
E) R$ 30,75
Na figura a seguir, a medida dos lados está dada em metros:
Podemos dizer que o perímetro dessa figura, em metros, é igual a:
A) 1,8
B) 2,1
C) 2,8
D) 3,1
E) 4,0
Ao abastecer seu veículo, um cliente pagou R$ 145,20. Sabendo que o litro de combustível naquele dia custava R$ 6,60, a quantidade de combustível colocada no veículo foi igual a:
A) 11 litros
B) 12 litros
C) 15 litros
D) 18 litros
E) 22 litros
Para ladrilhar determinada região, foram utilizados 32 pisos de cerâmica com 25,8 cm² cada. Portanto, a área dessa região é igual a:
A) 825,6 cm³
B) 735,4 cm³
C) 690,0 cm³
D) 642,2 cm³
E) 512,0 cm³
O Índice de Massa Corporal (IMC) é calculado pela massa dividida pelo quadrado da altura. Uma pessoa que possui 1,80 metro e pesa 80 kg tem um IMC igual a, aproximadamente:
A) 22,8
B) 24,7
C) 25,3
D) 26,0
E) 27,5
Durante a copa do mundo, é comum a venda de figurinhas para álbuns nas bancas de revistas. Durante um mês, uma banca vendeu um total de 823 pacotes de figurinhas. Sabendo que cada pacote é vendido por R$ 2,50, qual foi o faturamento dessa loja com as vendas?
A) R$ 1625,00
B) R$ 1980,00
C) R$ 2057,50
D) R$ 2120,50
E) R$ 2300,00
(Enem 2012) Os hidrômetros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostrador e dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m³, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros e o outro em décimos de litros, conforme ilustrado na figura abaixo:
Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a
A) 3 534,85.
B) 3 544,20.
C) 3 534 850,00.
D) 3 534 859,35.
E)  3 534 850,39.
(Enem 2011 — segunda aplicação) Toda a esfera visível ao longo do ano, nos hemisférios celestes Norte e Sul, está dividida em 88 partes, incluindo, cada uma delas, um número variável de estrelas. A unidade de medida utilizada pelos astrônomos para calcular a área de uma constelação é o grau quadrado. Algumas constelações são imensas, como Erídano, o rio celeste, localizada no hemisfério celeste Sul e ocupa uma área de 1138 graus quadrados. Em contraponto, a constelação Norma, localizada no mesmo hemisfério, não passa de 165 graus quadrados.
Capozzoli, U. Origem e Evolução das Constelações. Scientific American Brasil. Nº 2. 2010.
Em um mapa do hemisfério celestial feito em uma escala de 1:1000, as constelações Erídano e Norma ocuparão, respectivamente, uma área, em graus quadrados, de
A) 0,1138 e 0,0165.
B) 0,1138 e 0,165.
C) 1,138 e 0,165.
D) 11 380 e 1 650.
E) 1 138 000 e 165 000.
(Enem 2011) A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de Pernambuco.
Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh.
A diferença entre o gasto desses consumidores com 1kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de
A) R$ 0,27.
B) R$ 0,29.
C) R$ 0,32.
D) R$ 0,34.
E) R$ 0,61.
(Enem PPL 2015) Um granjeiro detectou uma infecção bacteriológica em sua criação de 100 coelhos. A massa de cada coelho era de, aproximadamente, 4 kg. Um veterinário prescreveu a aplicação de um antibiótico, vendido em frascos contendo 16 mL, 25 mL, 100 mL, 400 mL ou 1 600 mL. A bula do antibiótico recomenda que, em aves e coelhos, seja administrada uma dose única de 0,25 mL para cada quilograma de massa do animal. Para que todos os coelhos recebessem a dosagem do antibiótico recomendada pela bula, de tal maneira que não sobrasse produto na embalagem, o criador deveria comprar um único frasco com a quantidade, em mililitros, igual a
A) 16.
B) 25.
C) 100.
D) 400.
E) 1 600.
Números Fracionários
Os números fracionários são definidos como aqueles que representam uma ou mais partes do todo, isto é, ao dividir um objeto em um determinado número de partes, cada conjunto dessas partes é um número fracionário.
As pizzas grandes, por exemplo, geralmente estão divididas em 8 ou 10 partes. Cada pedaço representa uma de dez partes da pizza. Portanto, “1 de 10” é um número fracionário. Se for necessário considerar metade de uma pizza, o número fracionário que a 
Representação de números fracionários
A representação de um número fracionário é feita por meio de frações. Em uma fração, a parte do objeto dividido é colocada sobre o número total de partes em que ele foi dividido com um traço no meio. Observe os exemplos:
Uma parte de dez de uma pizza é representada por frações da seguinte maneira:
1
10
Já a metade da pizza que foi dividida em 10 partes é representada por frações da seguinte maneira:
5
10
· Denominação dos elementos de uma fração
O número que fica na parte de cima da fração é chamado numerador, e o número que fica na parte de baixo é chamado denominador.
Por exemplo, na fração:
5
10
O numerador é 5 e o denominador é 10. As frações também representam divisões. Nesse caso, o numerador é equivalente ao dividendo e o denominador é equivalente ao divisor.
· Tipos de fração
Existem quatro tipos de frações:
→ Frações próprias: São aquelas em que o numerador é diferente de zero e é menor que o denominador.
→ Frações impróprias: São aquelas em que o numerador é maior que o denominador, exceto os casos em que são múltiplos.
→ Frações aparentes: São aquelas em que o numerador é múltiplo do denominador.Como as frações representam divisões, dividindo o numerador de uma fração aparente pelo seu denominador, o resultado é um número inteiro. Desse modo, elas apenas têm aparência de fração, por isso, o nome Fração Aparente.
→ Frações decimais: São frações que possuem no denominador um múltiplo de 10.
· Operações matemáticas envolvendo frações
Para quaisquer frações, valem as operações matemáticas, com algumas ressalvas:
→ Adição e subtração de frações: Se os denominadores das frações a serem somadas ou subtraídas forem iguais, basta realizar a operação indicada para os numeradores e preservar os denominadores. Por exemplo:
17 –  4   +  2 = 17 – 4 + 2 = 15
20    20     20         20          20
Se os denominadores forem diferentes, é preciso torná-los iguais antes de repetir o processo acima. Para isso, é necessário encontrar alguma fração equivalente às frações do cálculo que possua o mesmo denominador. O procedimento mais indicado para encontrá-las é o seguinte:
1) Calcula-se o MMC entre os denominadores das frações. O MMC será o denominador comum entre todas as frações presentes no cálculo.
2) Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. Multiplique o resultado encontrado pelo numerador da primeira fração. O resultado será o numerador da primeira fração com o denominador comum às outras.
3) Repita o processo para cada fração presente no cálculo até substituir todas as frações por frações equivalentes.
Exemplo:
 5 + 5 =     +     = 25 + 5 = 30
 2   10   10   10    10   10   10
→ Multiplicação de frações: Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:
5 · 5 = 25
2  10  100
Divisão de frações: Reescreva as frações da seguinte maneira: repita a primeira e multiplique-a pelo inverso da segunda. Após isso, basta fazer o processo de multiplicação acima. Por exemplo:
5 : 5 = 5 · 10 = 50
2  10   2    5     10
· Números racionais
As frações pertencem ao conjunto dos números racionais. Esse conjunto contém todos os números que podem ser escritos na forma de fração, isto é, “x” é um número racional se:
x = a
      b
→ a e b são números inteiros e b é sempre diferente de zero.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Um grupo possui 12 pessoas, das quais 8
são mulheres e 4 são homens. Indique que
fração do total de pessoas o número de
homens representa. Faça o mesmo com o
grupo de mulheres.
 Escreva as frações abaixo por extenso.
a) 1/5.
b) 3/8.
c) 7/20.
d) 5/100.
e) 125/1000.
Calcule:
a) 1/3 de 42.
b) 1/8 de 92.
c) 4/5 de 65.
d) 9/7 de 63.
104 alunos de um curso são destros. Se o
1/9 dos alunos são canhotos, quantos
estudantes tem o curso?
Se 5/6 de um número são 350, calcule 4/7
desse número.
Converta os números abaixo em frações.
a) 3 e 4/7.
b) 5 e 3/4.
c) 2 e 9/12.
Escreva duas frações equivalentes a cada
fração abaixo.
a) 1/3.
b) 2/5
c) 5/4
Escreva as frações do exercício 7 no
formato decimal
Escreva cada fração abaixo na forma mais
simples possível.
a) 6/12.
b) 15/25
c) 4/24.
d) 35/14.
Simplifique a fração 16/64 dividindo o
numerador e o denominador por 2
sucessivas vezes.
PORCENTAGEM
Porcentagem, representada pelo símbolo %, é a divisão de um número qualquer por 100. A expressão 25%, por exemplo, significa que 25 partes de um todo foram divididas em 100 partes.
Há três formas de representar uma porcentagem: forma percentual, forma fracionária e forma decimal. O cálculo do valor representado por uma porcentagem geralmente é feito a partir de uma multiplicação de frações ou de números decimais, por isso o domínio das quatro operações é fundamental para a compreensão de como calcular corretamente uma porcentagem.
Representações de uma porcentagem
· Forma percentual
A representação na forma percentual ocorre quando o número é seguido do símbolo % (por cento).
Exemplos:
5%
0,1%
150%
· Forma fracionária
Para realização de cálculos, uma das formas possíveis de representação de uma porcentagem é a forma fracionária, que pode ser uma fração Exemplo:
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· Forma decimal
A forma decimal é uma possibilidade de representação também. Para encontrá-la, é necessária a realização da divisão.
Exemplo:
A forma decima
l de 25% é obtida pela divisão de 25 : 100 = 0,25.
	Macete
Lembrando que a nossa base é decimal, então, ao dividir por 100, basta andar com a vírgula duas casas para a esquerda.
Exemplos:
Forma percentual para a forma decimal:
30% = 0,30 = 0,3
5% = 0,05
152% = 1,52
Alguns exercícios pedem para fazermos o contrário, ou seja, transformar um número decimal em porcentagem. Para isso, basta andarmos com a vírgula duas casas para a direita (aumentando o número) e acrescentar o símbolo %.
Forma decimal para a forma percentual:
0,23 = 23%
0,111 = 11,1%
0,8 = 80%
1,74 = 174 %
Como calcular uma porcentagem?
Os problemas que envolvem porcentagem são bastante recorrentes, portanto saber calculá-la é essencial. A estratégia de resolução depende do tipo de problema com o qual se está lidando. Veja algumas possibilidades:
Exemplo 1: Um plano de uma empresa de telefonia custava R$50,00, porém houve um aumento de 4%. Qual é o valor do aumento em reais? Qual é o novo valor da fatura?
Resolução por meio de multiplicação de frações:
Vamos encontrar o valor de referência, ou seja, o valor que corresponde a 100%. No caso, o valor de referência é R$ 50,00, que sofreu o aumento de 4%.
Calcularemos o valor do aumento a partir da forma fracionária, isto é, 4% de 50:
Lembrando que, na multiplicação de frações, multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador.
Então, o aumento será de R$ 2,00, e o novo valor da fatura será de R$ 52,00.
Exemplo 2: 
Suponha que um produto custava R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 25,00. Qual foi o valor percentual de desconto?
Resolução:
Temos como valor referente aos 100% os R$ 400,00. Logo, para calcular o desconto em porcentagem, basta calcular a razão do valor de desconto sobre o valor de referência.
Exemplo 3: 
Para a mudança de categoria na luta, um lutador precisava aumentar seu peso em 20%, atingindo um peso total de 76,8 kg. Qual é o peso atual do atleta?
Resolução:
Tendo em vista que o peso inicial do atleta corresponde a 100%, ele terá um aumento de 20%, logo, em comparação com o peso inicial do lutador, 80 kg corresponde a 120%.
Utilizando regra de três, temos que:
	Peso(kg)
	%
	76,8
	120
	x
	100
Como as grandezas são diretamente proporcionais (à medida que o peso aumenta, a porcentagem referente a ele também aumenta), vamos multiplicar cruzado:
 
· Cálculo de porcentagem de porcentagem
Exemplo: Calcule 15% de 38%.
Resolução: Para calcular porcentagem de porcentagem, utilizamos a multiplicação de duas frações ou a multiplicação de dois números decimais.
Forma fracionária:
Ou
Forma decimal: 0,15 ∙ 0.38 = 0.057 = 5,7%
Exercícios resolvidos
(Enem) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente:
a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t.
b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t.
c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.
d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t.
e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t
Resolução:
Tendo como valor de referência 12 toneladas, então queremos:
· 60% de 12 = 0,6 ∙12 = 7,2 t para o ponto de sustentação central;
· 12 – 7,2 = 4,8 t, que serão igualmente distribuídas;
· 4,8 : 2 = 2,4.
Os pontos de sustentação receberão, respectivamente, 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t (letra C). 
LISTA DE EXERCÍCIOS
Um funcionário de uma empresa recebeu a quantia de R$ 315,00 a mais no seu salário, referente a um aumento de 12,5%. Sendo assim, o seu salário atual é de:
a) R$ 2.205,00.
b) R$ 2.520,00.
c) R$ 2.835,00.
d) R$ 2.913,00.
e) R$ 3.050,00.
Três laboratórios produzem certo medicamento. A tabela abaixo mostra, para um certo mês, o número de unidades produzidas desse medicamento e a porcentagem de vendas dessa produção.
Se,nesse mês, os três laboratórios venderam um total de 13.900 unidades desse medicamento, então o valor de x é:
a) 80.
b) 75.
c) 70.
d) 65.
e) 60.
Após fazer 80 arremessos à cesta, Marcelinho constatou que acertou 70% deles. Após fazer mais 20 arremessos, ele melhorou seu percentual de acertos para 71% do total de arremessos. Dos últimos 20 arremessos, Marcelinho errou apenas:
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
Numa comunidade com 320 pessoas sabe-se que 25% são idosos e 40% são crianças. Nessas condições o total de idosos e crianças dessa comunidade é:
a) 128.
b) 112.
c) 168.
d) 208.
Uma papelaria vende cadernos de dois tamanhos: pequenos e grandes. Esses cadernos podem ser verdes ou vermelhos. No estoque da papelaria, há 155 cadernos, dos quais 82 são vermelhos e 85 são pequenos. Sabendo
que 33 dos cadernos em estoque são pequenos e vermelhos, a porcentagem dos cadernos grandes que são verdes é
a) 25%.
b) 30%.
c) 15%.
d) 20%.
e) 35%.
Levantamento efetuado pela Secretaria de Educação de certo município mostrou que atos de violência física ou psicológica, intencionais e repetitivos (bullying), estiveram envolvidos em cinco de cada oito desavenças entre alunos ocorridas em determinado período.
Com base nessas informações, é correto afirmar que as desavenças não motivadas por bullying representam, do número total de desavenças ocorridas nesse período,
a) 62,5%.
b) 60%.
c) 40%.
d) 37,5%.
e) 26,5%.
Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compra.
 Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de.
a) 15,00.
b) 14,00.
c) 10,00.
d) 5,00.
e) 4,00.
Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte estatística:20% dos rapazes são fumantes;30% das moças são fumantes.Logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é de:
a) 25%.
b) 50%.
c) 60%.
d) 65%.
e) 75%
João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$1.320,00. O salário de João antes do aumento era igual a ?
a) R$ 1.188,00.
b) R$ 1.200,00.
c) R$ 1.220,00.
d) R$ 1.310,00.
e) R$ 1.452,00.
Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$1202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres?
a)240,40.
b) 548,11.
c) 1 723,67.
d) 4 026,70.
e) 5 216,68.
Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura.
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I( x) = k . sen (x), sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0º e 90º.
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?
a) 33%.
b) 50%.
c) 57%.
d) 70%.
e) 86%.
Num dia de tempestade, a alteração na profundidade de um rio, num determinado local, foi registrada durante um período de 4 horas. Os resultados estão indicados no gráfico de linhas. Nele, a profundidade h, registrada às 13 horas, não foi anotada e, a partir de h, cada unidade sobre o eixo vertical representa um metro.
Foi informado que entre 15 horas e 16 horas, a profundidade do rio diminuiu em 10%.
Às 16 horas, qual é a profundidade do rio, em metro, no local onde foram feitos os registro
a) 18.
b) 20.
c) 24.
d) 36.
e) 40.
Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda um guarda-roupa nas dimensões 220 cm de altura, 120 cm de largura e 50 cm de profundidade. Alguns dias depois, o projetista, com o desenho elaborado na escala 1 : 8, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação. No momento da impressão, o profissional percebe que o desenho não caberia na folha de papel que costumava usar. Para resolver o problema, configurou a impressora para que a figura fosse reduzida em 20%.
A altura, a largura e a profundidade do desenho impresso para a apresentação serão, respectivamente,
a) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm.
b) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,25 cm.
c) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81 cm.
d) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm.
e) 44,00 cm, 24,00 cm e 10,00 cm.
O setor de recursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 93 da Lei n° 8.213/91, que dispõe:
Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitados, na seguinte proporção:
I. até 200 empregados ……………………………….. 2%;
II. de 201 a 500 empregados………………………… 3%;
II. de 501 a 1 000 empregados……………………… 4%;
V. de 1 001 em diante………………………………….. 5%.
Constatou-se que a empresa possui 1 200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados.
Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93.
O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela empresa é
a) 74.
b) 70.
c) 64.
d) 60.
e) 53.
CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes.
Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades.
Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades.
Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos.
Exemplo 1
João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico.
De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping?
Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de combinações.
Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore.
Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12.
Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12.
Exemplo 2
Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?
Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S).
Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato?
a) 12 combinações
b) 32 combinações
c) 24 combinações
d) 16 combinações
Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido?
a) 25
b) 40
c) 24
d) 32
De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
a) 200
b) 150
c) 250
d) 100
Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 720
Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:
a) 288
b) 296
c) 864
d) 1728
e) 2130
Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? 
a) 14
b) 180
c) 240
d) 288
e) 360
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Num acidente rodoviário, após ouvir várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituída de 2 vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 5. Isso não facilitou o trabalho de polícia, pois o número de placas suspeitas é de: 
a) 10 800 
b) 10 080 
c) 8 100 
d) 1 080 
e) 524  
Um trem é constituído de uma locomotiva e cinco vagões distintos, um dos quais é um vagão-restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes em que a composição pode ser montada é igual a: 
a) 18 
b) 96 
c) 120 
d) 360 
e) 600  
O número de palavras código de 5 letras que podem ser formadas com as letras a, b, c, d, e, f, g, h, sem que nenhuma letra possa ser repetida, é: 
a) 56 
b) 120 
c) 720 
d) 2401 
e) 6720  
O número de anagramas da palavra BEDUKA que começam e terminam por vogal é: 
a) 24 
b) 48 
c) 96 
d) 120 
e) 144  
Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.
Opção I- LDDDDD
Opção II- DDDDDD
Opção III- LLDDDD
Opção IV- DDDDD
Opção V- LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da empresa é
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
ÁLGEBRA
O que é álgebra? Trata-se do ramo da Matemática que testa e comprova as operações básicas e as relações entre conjuntos numéricos
Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.
A operação “adição”, por exemplo, realmente funciona em todos os números pertencentes ao conjunto dos números naturais? Ou existe algum número natural muito grande, próximo ao infinito, que se comporta de maneira diferente dos demais ao ser somado? A resposta para essa pergunta é dada pela álgebra: Primeiramente, é definido o conjunto dos números naturais e a operação soma; depois, é comprovado que a operação soma funciona para qualquer número natural.
NOÇÃO DE EQUIVALENTE 
Em todas as igualdades podemos somar ou subtrair a mesma quantidade em ambos os lados, como também multiplicar ou dividir pela mesma quantidade os dois membros, desde que seja uma quantidade diferente de zero.
Podemos utilizar a Matemática para desvendar problemas relacionados a números desconhecidos, que são representados por letras (símbolos). Observe como utilizar uma letra no cálculo de um número que não conhecemos.
Carlos perguntou a Paulo:
- Qual o número que somado ao seu dobro tem 12 como resultado?
Sabe como esse problema pode ser resolvido? Escolhendo números e realizando os cálculos, veja:
De acordo com a tabela, o número que somado ao seu dobro resulta em 12, é o 4.
Esses problemas são chamados de equações matemáticas e podem ser resolvidos com a ajuda de letras. No caso desse problema, podemos obter a solução por meio da seguinte equação: x + 2x = 12.
x: número desconhecido
2x: dobro do número desconhecido
x + 2x: número desconhecido somado ao seu dobro
x + 2x = 12: equação do problema
A soma: x + 2x é igual a 3x, pois as letras são iguais. Isso pode ser comparado à seguinte questão: uma laranja mais duas laranjas são iguais a três laranjas. A semelhança está entre a laranja e a letra x.
 
2º problema:
O triplo de um número, subtraído do seu dobro é igual a 10. Qual é o número?
Vamos resolver por meio da ideia de equação:
Triplo de um número: 3x
Dobro de um número: 2x
Triplo subtraído do dobro: 3x – 2x
Equação: 3x – 2x = 10
Resolução:
3x – 2x = 10
x = 10
O número procurado é igual a 10.
3º problema:
Qual o número que somado ao seu quádruplo tem como resultado 25?
Número: x
Quádruplo do número: 4x
Número somado ao quádruplo: x + 4x
Equação: x + 4x = 25
Resolução:
x + 4x = 25
5x = 25, (o número que, multiplicado por 5 resulta em 5 é o próprio 5)
x = 5
O número desconhecido é o 5.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Calcule o valor do x
a) x + 5 = 8 (R:3)
b) x + 6 = 10 (R: 4)
c) x + 13 = 54 (R: 41)
d) x + 27 = 42 (R: 15)
e) x + 10 = 21
f) x + 12 = 78 
g) 4 + x = 9 
h) 9 + x = 43 
i) 18 + x = 54
Calcule o valor de x:
a) x - 1 = 7
b) x - 4 = 9 
c) x - 3 = 15 
d) x - 19 = 12 
e) x - 18 = 54 
f) x - 37 = 13 
g) 8 - x = 7 
h) 10 - x = 3
i) 30 - x = 14
Calcule o valor de x:
a) 2 . x = 14 
b) 8 . x = 40 
c) 6 . x = 18 
d) 4 . x = 28 
e) 15 . x = 60 
f) 12 . x = 84 
g) x . 5 = 45 
h) x . 7 = 28 
Calcule o valor de x:
a) 2x + 1 = 7
b) 5x -2 = 8 
c) 2x + 1 = 15 
d) 6x - 3 = 9 
e) 5x - 2 = 23
f) 3x + 1 = 76
g) 3x - 2 = 16 
h) 4x + 1 = 33 
i) 7x - 1 = 41 
j) 5x - 10 = 80 
l) 5x + 3 = 78 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Na resolução de problemas, você deve proceder do seguinte modo:
1°) Leia o problema com muita atenção.
2°) Escreva a sentença matemática do problema
3°) Efetue as operações indicadas na sentença matemática
4°) Escreva a resposta do problema.
exemplos
um número somado a 15 é igual a 94. Qual é esse número?
solução
Um número----------------------------xsomado a 15---------------------------x + 15
é igual a 94----------------------------x + 15 = 94
x + 15 = 94
x+ 94 = 15
x = 79 (R: O número é 79)
LISTA DE EXERCÍCIOS
Um número somado a 42 é igual a 138. Qual é esse número?
 Calcule um número que adicionado a 21 é igual a 83 
 Um número menos 37 é igual a 15. Qual é esse número? 
Um número diminuído de 14 é igual a 68. Qual é esse número? 
A idade de Helena aumentada de 17 anos é igual a 56. Qual é a idade de Helena? 
Pensei em um número, aumentei 7 e obtive o dobro de 11. Em que número pensei?
 
O dobro de um número é igual a 70. Qual é esse número?
O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número? 
 O triplo da idade de Carina é 78 anos. Qual é a idade de Carina?
O dobro de um número, mais 5, é igual a 37. Qual é esse número ?
PROPORCIONALIDADE
A proporcionalidade entre duas grandezas pode acontecer de duas formas: direta – e as grandezas são chamadas diretamente proporcionais – ou inversa – e as grandezas são chamadas inversamente proporcionais. Para o estudo das grandezas diretamente proporcionais, é importante saber sobre a proporcionalidade entre grandezas, conteúdo que será explicado a seguir.
Proporcionalidade entre grandezas
Duas grandezas são ditas proporcionais se for possível construir duas razões equivalentes entre elas, de medidas distintas e em momentos distintos.
Exemplo: um automóvel move-se a 60 km/h e, em determinado período de tempo, consegue percorrer 240 km. Se esse automóvel estiver a 120 km/h, ele conseguirá percorrer 480 km no mesmo período de tempo.
Nesse caso, foram observadas duas situações diferentes para as grandezas velocidade e distância. Na primeira situação, podemos escrever a seguinte razão entre essas grandezas:
 60 
240
Na segunda situação, podemos escrever a seguinte razão entre essas grandezas:
120
480
Observe que ambas as razões têm como resultado o número 0,25, portanto elas formam a seguinte proporção:
 60 = 120
240   480
Podemos dizer, portanto, que as grandezas velocidade e distância são proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais
Quando duas grandezas são proporcionais, deve-se avaliar se essa proporcionalidade é direta ou indireta, especialmente para exercícios em que não houver uma das medidas da proporção e é necessário encontrá-la (isso pode ser feito de diversas maneiras, a mais conhecida é a regra de três).
Dadas as grandezas proporcionais X e Y, a variação na grandeza X gera uma variação na grandeza Y, na mesma proporção. No exemplo anterior, do automóvel, ao dobrarmos a velocidade, a distância percorrida também dobrará.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando um aumento na medida da primeira gera um aumento na medida da segunda, ou quando uma diminuição da medida da primeira gera uma diminuição da medida da segunda.
São exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
· Velocidade e distância;
· Gravidade e peso.
Regra de três
Quando a regra de três envolve grandezas diretamente proporcionais, basta aplicar a propriedade fundamental das proporções (também conhecida como multiplicar cruzado) para transformar a proporção em uma equação com solução facilitada.
Exemplo: um automóvel está movendo-se a uma velocidade de 60 km/h e percorre 240 km em determinado período de tempo. Quantos quilômetros percorrerá a uma velocidade de 90 km/h?
Solução: Aumentando a velocidade, aumentamos também a distância percorrida pelo automóvel. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. Para solucionar esse problema, basta construir a proporção entre elas e aplicar a propriedade fundamental das proporções:
 60 = 90
240    x 
60x = 90·240
60x = 21600
x = 21600
      60
x = 360 (R: Serão percorridos 360 km.)
LISTA DE EXERCÍCIOS
Em uma determinada prova, um candidato que acertou 12 questões recebeu um total de 39 pontos. Sabendo que o valor das questões é sempre o mesmo, um candidato que obteve 52 pontos acertou um total de:
A) 15 questões
B) 16 questões
C) 17 questões
D) 18 questões
E) 20 questões
Os ângulos de um triângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 6, então, a medida do seu menor ângulo é de:
A) 12º
B) 36º
C) 48º
D) 60º
E) 72º
Uma herança de R$ 3.000.000 será dividida de forma diretamente proporcional entre as idades dos três herdeiros. Sabendo que eles possuem 24, 28 e 44 anos, o herdeiro de maior idade receberá um total de:
A) R$ 950.000
B) R$ 975.000
C) R$ 1.225.000
D) R$ 1.375.000
E) R$ 1.625.000
Um automóvel percorreu 272 km e consumiu um total de 32 litros de etanol. Supondo que esse consumo se mantenha o mesmo, e que o tanque do carro tem capacidade máxima de 50 litros, então, a quantidade de quilômetros que esse automóvel percorre quando está de tanque cheio é igual a:
A) 280 km
B) 298 km
C) 350 km
D) 375 km
E) 425 km
Das situações a seguir, marque aquela que contém uma relação entre duas grandezas diretamente proporcionais:
A) Velocidade de um automóvel e o tempo que ele demora para fazer determinado percurso.
B) Tempo de funcionamento de um aparelho eletrônico e a energia consumida.
C) Quantidade de funcionários para executar um serviço e o número de acidentes de trabalho ocorridos.
D) Número de eleitores e a quantidade de votos obtidos por um determinado candidato.
 (Enem 2012) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos.
Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é
A) 153.
B) 460.
C) 1218.
D) 1380.
E) 3066.
Para a produção de 15 litros de etanol, são necessários 187,5 kg de cana-de-açúcar. Com um total de 250 kg de cana-de-açúcar, é possível produzir um total de:
A) 18 L
B) 20 L
C) 22 L
D) 25 L
E) 30 L
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou calculado, porém quando analisamos duas grandezas proporcionais, elas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Sabendo disso, analise as alternativas abaixo e marque a opção CORRETA.
A) Distância e tempo são grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior a distância que precisa ser percorrida, menos tempo será gasto no percurso.
B) Velocidade e quantidade de alimento comprado por uma família são grandezas diretamente proporcionais.
C) Em um churrasco, a quantidade de carne e a quantidade de pessoas são grandezas diretamente proporcionais.
D) Velocidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade, menor o tempo gasto em um percurso.
Na bula de um remédio para crianças, a dosagem recebida é diretamente proporcional ao peso da criança. Sabendo que são recomendadas 3 gotas do medicamento a cada 2 kg, então, a dosagem oferecida para uma criança que tem 18 kg é de:
A) 22 gotas
B) 24 gotas
C) 27 gotas
D) 30 gotas
E) 54 gotas
Em uma fábrica de luvas, uma certa máquina, funcionando 5 horas por dia, consegue fabricar um total de 14.000 luvas. Devido a um pedido de emergência de produção para atender a demanda da pandemia, a fábrica realizou uma produção de 33.600 luvas. O tempo de funcionamento dessa máquina para realizar essa produção é de:
A) 8 horas
B) 9 horas
C) 10 horas
D) 11 horas
E) 12 horas
(UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²?
A) 4 horas
B) 5 horas
C) 7 horas
D) 9 horas
Os ângulos de um quadrilátero são diretamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 7. Então, a medida do menor ângulo desse quadrilátero é igual a:
A) 45º
B) 75º
C) 90º
D) 180º
E) 35º
PARTIÇÃO
Quando se fala de uma divisão, a primeira ideia que vem à mente é uma divisão exata e em partes iguais. Esse é o tipo de divisão mais recorrente.
Exemplo:
Carlos e Bruno estão participandode uma gincana de doação de alimentos. Juntos conseguiram 606060 litros de leite para doação. Suponha que cada um tenha sido responsável por arrecadar metade da quantidade. Quanto cada um arrecadou?
Lembre-se de que metade é a mesma coisa que dividir por 222.
Total de 60 litros de leite:
Resolução:
 60÷2=30 litros de leite cada.
Dividindo em quantidades diferentes
Nem sempre a divisão será feita em partes iguais, pode-se dividir uma quantidade em duas ou mais partes desiguais.
Vejamos um exemplo muito parecido com o anterior.
Exemplo:
Carlos e Bruno estão participando de uma gincana de doação de alimentos. Juntos conseguiram 606060 litros de leite para doação. Suponha que Carlos tenha arrecadado o triplo da quantidade de litros de leite de Bruno. Quanto cada um arrecadou?
Lembre-se de que o triplo é a mesma coisa que multiplicar por 333.
Total de 60 litros de leite:
Pode-se afirmar que Bruno arrecadou 1 parte da quantidade de leite e que Carlos 3partes. Total: 1+3= 4 partes
Dividindo em 4 partes iguais os 60 litros de leite, temos:
60÷4 =15 litros de leite cada parte.
Bruno arrecadou 15 litros de leite.
Carlos arrecadou 3 partes: 15×3=45 litros de leite.
LISTA DE EXERCÍCIOS
A respeito da operação conhecida como divisão, assinale a alternativa correta.
a) Por meio do algoritmo básico da divisão, é possível dividir um objeto ou uma quantidade em partes diferentes.
b) A divisão é a operação que reparte um objeto ou quantidade em partes iguais.
c) A divisão entre dois números com sinais negativos tem como resultado um número também negativo.
d) Na divisão de números com sinais diferentes, é preciso avaliar cada caso para determinar o sinal do resultado.
e) É impossível realizar a divisão com números negativos.
Uma empresa solicitou a um banco um empréstimo no valor de R$ 20000,00. Sabendo que essa empresa possui 5 sócios e que eles participam igualmente tanto dos lucros quanto dos prejuízos da empresa, assinale a alternativa correta:
a) Pode-se afirmar que cada sócio deve R$ 4000,00, mas é impossível representar essa dívida utilizando sinais positivos e negativos.
b) Como a participação de cada sócio é igual, pode-se dizer que o saldo de cada um deles na empresa é de + 4000.
c) Como a participação de cada sócio é igual, pode-se dizer que o saldo de cada um deles na empresa é de – 20000.
d) É impossível realizar a divisão – 20000 por 5, uma vez que a divisão não está definida para números negativos.
e) O empréstimo, dividido igualmente para os sócios dessa empresa, é representado por – 4000.
O resto da divisão é encontrado todas as vezes que o fator a ser dividido não pode ser representado por números decimais. Um exemplo é quando dividimos pessoas em carros para uma viagem. Não é possível repartir uma pessoa em duas partes iguais, por isso, não podemos utilizar vírgulas quando a divisão é desse tipo.
Sabendo disso, qual é o resto da divisão de – 45 por – 4?
a) – 1
b) 1
c) 2
d) – 3
e) 
Qual é a diferença entre o quociente e o resto da divisão de 256 por 3?
a) 1
b) 85
c) 84
d) 86
e) 100
GEOMETRIA
COORDENADAS NO PLANO
Plano cartesiano é um método criado pelo filósofo e matemático francês, René Descartes. Trata-se de dois eixos perpendiculares que pertencem a um plano em comum.
Descartes criou esse sistema de coordenadas para demostrar a localização de alguns pontos no espaço.
Esse método gráfico é utilizado em diversas áreas, sobretudo na matemática e na cartografia.
Como Fazer?
Para localizar pontos num plano cartesiano, devemos ter em conta algumas indicações importantes.
A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas (y). Já a linha horizontal é chamada de eixo das abscissas (x). Com a intersecção dessas linhas temos a formação de 4 quadrantes:
Representação do plano cartesiano
É importante notar que no plano cartesiano os números podem ser positivos ou negativos.
Ou seja, os números positivos vão para cima ou para a direita, dependendo do eixo (x ou y). Já os números negativos, vão para a esquerda ou para baixo.
· 1.º quadrante: os números sempre serão positivos: x > 0 e y > 0
· 2.º quadrante: os números são negativos ou positivos: x 0
· 3.º quadrante: os números são sempre negativos: x
· 4.º quadrante: os números podem ser positivos ou negativos: x > 0 e y
Exemplos
As coordenadas cartesianas são representadas por dois números racionais entre parênteses, os quais são chamados de elementos:
A: (4, 7)
B: (8, -9)
C: (-2, 2)
D: (-5, -4)
E: (5, 3)
Exemplo:
Esses elementos formam um “par ordenado”. O primeiro elemento corresponde ao eixo das abscissas (x). Já o segundo elemento corresponde ao eixo das ordenadas (y).
Note que o ponto em que os eixos se encontram é chamado de “origem” e corresponde ao par ordenado (0, 0).
Produto Cartesiano
O produto cartesiano é usado na teoria dos conjuntos. É aplicado em conjuntos distintos e corresponde à multiplicação entre os pares ordenados. Esse método também foi criado por René Descartes.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:
I - O eixo horizontal é conhecido também como eixo das abscissas.
II - O ponto A (-5, 3) é um ponto do terceiro quadrante.
III - O eixo vertical é conhecido também como eixo das coordenadas.
Podemos afirmar que:
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
E) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Em um plano cartesiano, foram marcados os pontos A (2, 3), B(-1, 2), C (2, -3) e D (1, 0). O único quadrante em que não há nenhum ponto marcado é:
A) I
B) II
C) III
D) IV
O plano cartesiano é um sistema de coordenadas desenvolvido por René Descartes. Esse sistema de coordenadas é formado por duas retas perpendiculares, chamadas de eixos cartesianos. O plano cartesiano é dividido em quadrantes. Sobre os quadrantes do plano cartesiano, considerando um ponto A (x, y), em que x > 0 e y < 0, temos um ponto que pertence ao:
A) primeiro quadrante
B) segundo quadrante
C) terceiro quadrante
D) quarto quadrante
E) eixo das abscissas
 (USP) Uma das diagonais de um quadrado tem extremidades A (1; 1) e C (3; 3). As coordenadas dos outros dois vértices são:
A) (2; 3) e (3; 2)
B) (3; 1) e (1; 3)
C) (3; 0) e (1; 4)
D) (5; 2) e  (4; 1)
E) nenhuma das anteriores
(Enem Digital 2020) O gráfico mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A (2; 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo, no plano cartesiano.
O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos.
Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada, após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A?
A) (0; 18)
B) (18; 2)
C) (18; 0)
D) (14; 6)
E) (6; 14)
 (FGV) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (-2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é:
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Analisando a imagem, as coordenadas do ponto A são:
A) (3, 2)
B) (-3, 2)
C) (-3, -2)
D) (-2, 3)
E) (-2, 3)
No plano cartesiano a seguir, estão marcados alguns pontos. Podemos afirmar que pertencem ao quarto quadrante os pontos:
A) G e E
B) D e A
C) D, A e J
D) F e J
E) G, E, O e B
Nas aulas de geografia, a professora Kárita registrou num sistema ortogonal as coordenadas de alguns pontos estratégicos da cidade, em que os valores da abscissa e da ordenada são dados em quilômetros. Além disso, a origem é o centro da cidade.
Analisando o plano, as coordenadas do banco são:
A) (2, -3)
B) (-3, 2)
C) (3, 2)
D) (2, 3)
E) (2, -3)
Região metropolitana é um recorte político-espacial complexo que envolve uma cidade central (metrópole) e polariza e dinamiza as demais cidades ao redor, influenciando-as econômica, social e politicamente.
A polarização de uma cidade refere-se à capacidade de assumir a concentração dos principais equipamentos urbanos de uma determinada região, como serviços públicos, centros comerciais, de lazer, educação etc. Já a dinâmicaé estabelecida pelo movimento que se observa nas cidades, como o fluxo de pessoas, carros e empresas, bem como o sentido desses movimentos.
 MOTA, Hugo. O que é região metropolitana? Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/geografia/o-que-e-regiao-metropolitana.htm.
A região metropolitana em Goiás tem como metrópole a cidade de Goiânia, que é a capital do estado, e é composta por mais 20 municípios. Uma fábrica de vidro decidiu mapear quais são as cidades em que ela possui clientes nessa região. Para isso, ela usou um polígono, em que os vértices são as cidades-limites que eles atendem para aquela região, conforme o plano cartesiano a seguir.
Analisando a construção do plano cartesiano, as coordenadas da cidade de Hidrolândia e Terezópolis de Goiás são, respectivamente:
A) (4, 0) e (3, 1)
B) (0, -4) e (1, 3)
C) (1, 3) e (0, 4)
D) (0, -4) e (3, 1)
E) (3, 1) e (-4, 0)
Analisando a construção do plano cartesiano, as coordenadas da cidade de Hidrolândia e Terezópolis de Goiás são, respectivamente:
A) (4, 0) e (3, 1)
B) (0, -4) e (1, 3)
C) (1, 3) e (0, 4)
D) (0, -4) e (3, 1)
E) (3, 1) e (-4, 0)
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:
I - Os pontos no plano cartesiano são conhecidos como par ordenado.
II - No primeiro quadrante, o par ordenado (x, y) é composto por dois números positivos.
III - No quarto quadrante, o par ordenado (x, y) é composto por dois números negativos.
As afirmativas I, II e III são, respectivamente:
A) Verdadeira, falsa e verdadeira.
B) Falsa, verdadeira e verdadeira.
C) Verdadeira, verdadeira e falsa.
D) Falsa, verdadeira e falsa.
E) Verdadeira, verdadeira e verdadeira.
A figura mostra o mapa de um bairro, no qual estão localizados alguns edifícios.
Para localizar um dos edifícios, deve-se utilizar uma letra para indicar a coluna, seguido de um número para indicar a linha na qual o edifício está posicionado.
Segundo as informações apresentadas, a localização Q5 se refere a que edifício?
A) Cinema
B) Posto
C) Restaurante
D) Supermercado
ÂNGULOS E POLÍGONOS
Ângulos: São a região interna formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto.
Ângulos notáveis e alguns instrumentos que os representam
A palavra ângulo é usada para nomear dois objetos. O primeiro é a abertura entre duas semirretas que compartilham o mesmo ponto inicial ou entre dois segmentos de reta que possuem apenas uma extremidade comum. O segundo é um número usado para medir essa abertura. Sendo assim, quanto maior o valor numérico atribuído a um ângulo, maior será a abertura entre as duas semirretas relacionadas a ele.
Definição formal de ângulo
Um ângulo é o conjunto de pontos formados por duas semirretas (lados do ângulo) que possuem o mesmo ponto de partida (vértice do ângulo). Para compreender o que é o ponto de partida de uma semirreta, clique aqui.
Exemplo de ângulo formado pela região interna a dois segmentos de reta
Na imagem acima, as semirretas com origem no ponto O definem o ângulo AÔB, que também pode ser representado por uma letra minúscula ou por uma letra grega minúscula. A unidade de medida usada para os ângulos é o grau, representado pelo símbolo ° logo depois do número referente a ele.
Os ângulos também podem dar a ideia de movimento do ponto. Esse movimento sempre será circular, e uma volta completa representará a medida 360°.
Medindo ângulos
O instrumento utilizado para medir um ângulo é o transferidor. Observe que a distância entre dois segmentos de reta é diferente dependendo do lugar escolhido para extrair essa medida:
Posicione o vértice do ângulo no centro do transferidor, como indicado. Quando uma das semirretas estiver apontando para 0°, a outra apontará para o ângulo formado por elas naquele sentido. No exemplo, o sentido é o horário, por isso, acompanhamos no transferidor os números dispostos nesse sentido.
Ângulos notáveis: ângulo raso
O ângulo raso mede 180°. Como uma volta completa representa um ângulo de 360° e 180° é exatamente metade de 360°, o ângulo raso também representa meia-volta.
Analisando a imagem acima, notamos que as semirretas que formam um ângulo raso são “lados” de uma reta. Na realidade, se marcarmos um ponto de interesse sobre uma reta, ao medir o ângulo formado nesse ponto, encontraremos 180°.
Ângulos notáveis: ângulo reto
O ângulo reto mede 90°. Ele equivale a um quarto de volta, já que 90° é igual a um quarto de 360° – a volta completa. Esse ângulo é muito usado em propriedades de figuras geométricas com relação à sua altura, pois esta é o segmento de reta que liga o ponto “mais alto” de uma figura ao solo, formando um ângulo de 90°.
Ângulos notáveis
Alguns ângulos são considerados notáveis por causa de sua grande relevância nos cálculos matemáticos e por serem encontrados com mais frequência na natureza e nas obras humanas. Esses ângulos são 30°, 45° e 60°, respectivamente AÔB1, AÔB2 e AÔB3.
 
Polígonos: Polígonos são figuras planas e fechadas, ou seja, limitadas por segmentos de retas. Os polígonos têm como elementos: lados, vértices, ângulos e diagonais.
Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados.
Elementos de um polígono
Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:
Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.
Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.
Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:
Número de lados + gono
Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.
Exemplo
Determine o nome do polígono a seguir:
A quantidade de lados do polígono é sete, logo, o polígono é um heptágono.
Classificação dos polígonos
Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.
Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.
Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.
Redução e ampliação de um polígono
O processo de aumentar alguma coisa, mantendo-se as mesmas características, isto é, a mesma forma, é conhecido como ampliação.
Quando ampliamos alguma coisa, uma figura geométrica, por exemplo, obtemos outra maior, com ângulos equivalentes e medidas dos lados correspondentes proporcionais.
É possível notar que seus ângulos permanecem com as mesmas medidas (congruentes), mas as medidas dos seus lados correspondentes ampliaram de maneira proporcional
Redução
O processo inverso da ampliação é conhecido como redução.
Quando reduzimos uma figura geométrica obtemos outra menor, com ângulos equivalentes e medidas dos lados correspondentes proporcionais.
Exemplo:
É possível notar que seus ângulos permanecem com as mesmas medidas (congruentes), mas as medidas dos seus lados correspondentes reduziram de maneira proporcional.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Os quadriláteros são polígonos que possuem 4 lados, 4 vértices e 4 ângulos. Das figuras abaixo, qual podemos identificar como um quadrilátero?
a) FiguraI.
b) Figura II.
c) Figura III.
d) Figura IV.
Denominamos polígono como uma superfície plana concentrada por uma linha poligonal fechada e reta. De acordo com essa definição, quantas das figuras abaixo são consideradas como um polígono?
a) Cinco figuras.
b) Quatro figuras.
c) Duas figuras.
d) Uma figuras.
 Observe a placa de trânsito abaixo:
Essa placa lembra um polígono de quantos vértices?
a) 4 vértices.
b) 5 vértices.
c) 6 vértices.
d) 8 vértices.
Roberta estava estudando sobre as bandeiras e notou que a parte verde da bandeira do Brasil se parecia com um polígono. Que polígono é esse?
a) Losango.
b) Quadrado.
c) Hexágono.
d) Retângulo.
 Qual das figuras abaixo podemos utilizar para fazer o desenho de uma colmeia?
a) Figura 1.
b) Figura 2.
c) Figura 3.
d) Figura 4
Anna passou em frente a uma feira e ficou encantada com a exposição de figuras de mandalas. Ela percebeu que elas tinham os formatos muito variáveis. Observe a figura que mais chamou a atenção de Anna:
Quantos vértices possui a figura acima?
a) 4 vértices.
b) 5 vértices.
c) 6 vértices.
d) 8 vértices.
A Linha poligonal é conhecida por formar os polígonos e são de suma importância nos estudos da geometria. Para ser identificado como um polígono, uma figura geométrica plana precisa ser:
a) Aberta e limitada por segmentos de retas que se cruzam.
b) Fechada e formada por segmentos de retas que não se cruzam.
c) Aberta e limitada por seguimentos de retas que não se cruzam.
d) Fechada e formada por seguimentos de retas que se cruzam.
 Leo mora em uma cidade na qual as avenidas estão dispostas na direção Norte-Sul e as ruas na direção Leste-Oeste. A casa dele está localizada em uma esquina e a escola onde ele estuda fica localizada em outra esquina, 2 quadras ao Sul e 3 quadras a Leste.
Fonte: (DANTE, 2018, p. 165) PNLD
a) Localize a escola de Leo no mapa e registre no caderno. 
b) Descreva no caderno um possível caminho para Leo ir da casa dele até a escola.
c) Quantos caminhos diferentes Leo pode fazer para ir da casa dele até a escola percorrendo sempre a mesma medida de distância de 5 quadras?
Observe as figuras A, B, C, D e E na malha quadriculada abaixo. Em seguida responda qual figura é uma ampliação da figura A. (Explique o motivo).
Considere esta figura em uma malha quadriculada de 1 cm, e a mesma malha (agora sem desenho ao lado).
PRISMAS, PIRÂMIDES, CILINDROS E CONES
Existem dois tipos de sólidos geométricos, os poliedros e os não poliedros (corpos redondos). Os poliedros são as pirâmides, os prismas e os sólidos de Platão. Os não poliedros são conhecidos como corpos redondos ou sólidos de revolução. São eles o cone, o cilindro e a esfera. Tanto os poliedros quanto os não poliedros são de grande importância em nosso cotidiano.
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais.
· Poliedros
Os poliedros são sólidos que possuem três elementos importantes:
· vértices;
· arestas;
· faces.
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Na geometria espacial, para que um sólido geométrico seja considerado um poliedro, as faces precisam possuir o formato de polígonos. Existem três casos mais importantes de poliedros: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão.
· Prismas: são sólidos geométricos que possuem duas faces paralelas iguais, conhecidas como bases. Essa base pode ser qualquer polígono, havendo prismas de bases quadradas, pentagonais, triangulares, entre outras.
Prisma de base triangular e prisma de base hexagonal, respectivamente.
· Pirâmides: possuem um formato bastante conhecido em razão das gigantes pirâmides do Egito. O ponto na parte superior é conhecido como vértice da pirâmide, e a parte inferior, como base. Assim como nos prismas, a base da pirâmide pode possuir diferentes formas.
Pirâmide de base retangular e pirâmide de base pentagonal, respectivamente.
Veja também: Volume da pirâmide: como calcular?
· Sólidos de Platão: grupo composto por cinco poliedros regulares (todas as faces formadas pelo mesmo polígono e todas as arestas congruentes), a saber: tetraedro, hexaedro ou cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro.
· Não poliedros ou corpos redondos
Conhecemos como não poliedros os sólidos geométricos que não possuem faces formadas por polígonos. Eles possuem formas arredondadas e, por isso, recebem o nome de corpos redondos ou sólidos de revolução. São eles: o cilindro, a esfera e o cone.
· Cilindro: é um corpo redondo que possui duas bases formadas por círculos. Por ser um corpo redondo, não possui vértices nem arestas. Esse sólido é bastante comum para armazenagem de gases, entre outras substâncias.
· Cone: corpo redondo que, diferentemente do cilindro, possui somente uma base formada por um círculo. A parte superior do cone é conhecida como vértice. Ainda que ele tenha vértice, ele não possui arestas, e a sua face não é formada por um polígono, o que faz com que ele seja considerado um corpo redondo. É possível perceber que, se fizermos uma rotação de um triângulo, encontramos um cone.
· Esfera: nada mais é do que a rotação de uma circunferência. Ela possui todas as faces redondas.
Acesse também: Quais são as dimensões do espaço?
Planificação dos sólidos geométricos
Conhecemos como planificação de um sólido geométrico a representação desse objeto tridimensional em um plano que possui duas dimensões. Quando vamos confeccionar alguns desses objetos, é importante pensar em sua planificação. Cada sólido geométrico possui sua planificação e, em alguns casos, existe mais de uma maneira de representar esse sólido planificado. É bastante comum em exames de vestibulares questões que cobram a correspondência entre a planificação e o sólido correspondente.
Sólidos de Platão planificados.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide
C) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
E) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Resolução
Alternativa A.
A questão exige que você consiga perceber qual sólido será formado quando dobrarmos as divisórias da figura. Podemos notar que a primeira delas possui duas bases circulares, característica do cilindro. A segunda figura possui duas faces pentagonais e as demais retangulares, ou seja, é um prisma de base pentagonal. Por fim, temos uma pirâmide.
Questão 2 – Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é
A) tetraedro.
B) pirâmide retangular.
C) tronco de pirâmide retangular.
D) prisma quadrangular reto.
E) prisma triangular reto.
Resolução
Alternativa E.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:
A) cubo.
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
Um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:
A) 20.
B) 24.
C) 28.
D) 30.
E) 32.
 (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui:
A) 33 vértices e 22 arestas.
B) 12 vértices e 11 arestas.
C) 22 vértices e 11 arestas.
D) 11 vértices e 22 arestas.
E) 12 vértices e 22 arestas.
Analise o sólido geométrico a seguir:
Podemos afirmar que:
(I) esse sólido geométrico possui o total de 10 arestas.
(II) esse sólido geométrico é composto por 5 retângulos e 2 pentágonos.
(III) esse sólido geométrico é um poliedro.
Marque a alternativa correta.
A) Somente I é falsa
B) Somente II é falsaC) Somente III é falsa
D) Somente I e II são falsas
E) Somente I e III são falsas
Considere as afirmações a seguir sobre poliedros.
I → O cilindro é um poliedro, pois suas faces são formadas por círculos.
II → A pirâmide é um poliedro, pois sua base é um polígono e as suas faces laterais são triângulos.
III →  O trapézio é um poliedro, pois ele possui lados formados por polígonos e é fechado.
Marque a alternativa correta.
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
 (Enem 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é
A) tetraedro.
B) pirâmide retangular.
C) tronco de pirâmide retangular.
D) prisma quadrangular reto.
E) prisma triangular reto.
Um poliedro pode ser classificado como convexo ou côncavo, dependendo do seu formato. Veja alguns poliedros.
A) Convexo, convexo e côncavo.
B) Côncavo, convexo e côncavo.
C) Convexo, côncavo e convexo.
D) Convexo, Convexo e côncavo.
E) Côncavo, côncavo e convexo.
Um garimpeiro encontrou uma pedra preciosa que possui o formato igual ao do poliedro a seguir:
Analisando o poliedro a seguir, podemos afirmar que a soma do número de faces, vértices e arestas é igual a:
A) 26.
B) 25.
C) 24.
D) 23.
E) 22.
 (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:
A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.
 (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:
A) 35.
B) 34.
C) 33.
D) 32.
E) 31.
Considere os sólidos geométricos a seguir.
Podemos afirmar que:
A) somente I é um poliedro.
B) somente II é um poliedro.
C) ambos são poliedros.
D) nenhum deles é um poliedro.
E) ambos são polígonos.
Marque a alternativa que possui somente poliedros.
A) Hexaedro, prisma de base triangular, cone.
B) Esfera, cilindro e tronco de cone.
C) Cubo, pirâmide de base quadrada e prisma.
D) Cubo, cone e cilindro.
E) Tronco da pirâmide, pirâmide e elipse.
GRANDEZAS E MEDIDAS
Unidades de medida são grandezas que compõem o sistema métrico decimal. Hoje, vamos
rever algumas das unidades de medida mais importantes para resolver problemas matemáticos. Além disso, vamos mostrar as conversões e, ainda, vamos resolver alguns exercícios para facilitar o entendimento por parte do aluno.
Às vezes, ao tentar resolver um exercício torna-se necessário por parte do aluno fazer uma
conversão de uma unidade de medida para outra. Vamos mostrar os símbolos de cada
uma adotado por convenção no Sistema Internacional (SI).
Conheça as unidades de medida
	GRANDEZA
	NOME DA UNIDADE
	SÍMBOLO (SI)
	comprimento
	metro
	m
	capacidade
	litro
	l
	massa
	quilograma
	kg
	superfície/área
	metro quadrado
	m²
	medidas agrárias
	are
	a
	volume
	metro cúbico
	m³
	tempo
	segundos
	s
Medidas de comprimento
Comprimento é, talvez, a medida mais utilizada no cotidiano. Por isso, acredito que todos devem ter facilidades para entender essa grandeza e sua unidade de medida.
Perceba pela imagem que para uma conversão para a direita é o mesmo que multiplicar
por 10. Enquanto para a esquerda é dividir por 10.
Dessa forma, podemos entender que para multiplicar por 10 basta deslocar a vírgula para a direita uma vez, sendo a quantidade de zeros. Já para dividir basta deslocar a vírgula para a esquerda uma vez, a quantidade de zeros.
Então se quisermos converter metro (m) em milímetro (mm), multiplicamos por 1000 (10 x 10 x 10), o mesmo que deslocar a vírgula três casas à direita. Um metro tem 1000 milímetros. Se quisermos converter metros (m) em quilômetros (km), temos que dividir por 1000 (10 ÷ 10 ÷ 10), o mesmo que deslocar a vírgula três casas à esquerda. Portanto, 1 metro equivale a 0,001 km.
A unidade de medida padrão: metro (m)
· Quilômetros → 1 km = 1000 m
· Hectômetro → 1 hm = 100 m
· Decâmetro → 1 dam = 10 m
· Metro → 1 m = 1 m
· Decímetro → 1 dm = 0,1 m
· Centímetro → 1 cm = 0,01 m
· Milímetro → 1 mm = 0,001 m
Exemplos:
· Converter 10 dam em cm:
· dam → m → dm → cm
· 10 dam = 100 m = 1.000 dm = 10.000 cm
· É o mesmo que deslocar a vírgula para a direita em três casas:
· 10 dam = 10.000 cm
· Converter 320 dm em km:
· km ← hm ← dam ← m ← dm
· É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas à esquerda.
· 320 dm = 0,032 km
Medidas de capacidade
Medidas de capacidade também é muito importante no nosso cotidiano. A unidade padrão para essa grandeza é o litro (l).
· Quilolitro → 1 kl = 1000 l
· Hectolitro → 1 hl = 100 l
· Decalitro → 1 dal = 10 l
· Litro → 1 l = 1 l
· Decilitro → 1 dl = 0,1 l
· Centilitro → 1 cl = 0,01 l
· Mililitro → 1 ml = 0,001 l
Exemplo:
· Converter 20 ml em dl
· dl  ←  cl  ← ml
Basta deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
· 20 ml = 0,20 dl
Pela imagem abaixo, veja que converter é o mesmo que dividir por 10 para a esquerda ou multiplicar por 10 para a direita. Também pode se entender que essa multiplicação ou divisão é o mesmo que deslocar a vírgula uma vez de uma unidade para a outra.
Medidas de massa
A grandeza massa não é muito usual no dia a dia, mas muito comum quando nos deparamos com problemas de física. Unidade padrão: quilograma (kg)
· Quilograma → 1 kg = 1000 g
· Hectograma → 1 hg = 100 g
· Decagrama → 1 dag = 10 g
· Grama → 1 g = 1 g
· Decigrama → 1 dg = 0,1 g
· Centigrama → 1 cg = 0,01 g
· Miligrama → 1 mg = 0,001 g
Dizemos que 1.000 kg corresponde a 1 tonelada
· 1 t = 1.000 kg
Exemplos:
· Converter 32 g em hg:
· hg  ←  dag  ←  g
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda.
· 32 g   =  0,32 hg
· Converter 782 kg em toneladas:
Uma tonelada (1t) equivale a 1.000 kg. Assim, devemos dividir a quantidade de kg por 1.000, o mesmo que deslocar a vírgula três casas decimais à esquerda.
Logo, 782 kg = 0,782t
Estude a imagem para entender melhor.
Medidas de superfície ou área
Medidas de superfície ou área também está presente no nosso dia a dia. A unidade de medida padrão é: metro quadrado (m²)
· 1 km² → 1.000.000 m² = 106 m²
· 1 hm² → 10.000 m² = 104 m²
· 1 dam² → 100 m² = 102 m²
· m² → 1 m² = 1 m²
· 1 dm² → 0,01 m² = 10-2 m²
· 1 cm² → 0,0001 m² = 10-4 m²
· 1 mm² → 0,000001 m² = 10-6 m²
Medidas agrárias
Os fazendeiros devem conhecer essas unidades de medida muito bem e, aqui, você também vai entender. A unidade de medida padrão é: are (a)
· 1 a = 1 dam²
· Hectare (ha) = 1 hm² (100 m x 100 m) ou (10m x 1000m) ou (1m x 10.000m) igual a 10.000m²
· Centiare (ca) = 1 m²
Exemplos:
· Converter 3,2 hm² em m²:
· hm²  →  dam²  →  m²
· 3,2 hm² = 320 dam² = 32.000 m²
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas decimais à direita, pois as unidades são quadradas.
· Converter 48,6 dm² em m²:
· m² ← dm²
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
· 48,6 dm² = 0,486 m²
· Converter 21,7 ha (hectare) em km²:
· 21,7 ha = 21,7 hm²
· km²  ←  hm²
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
· 21,7 ha = 21,7 hm² = 0,217 km²
Medidas de volume
Quem nunca quis saber quanto cabe em uma caixa d’água, por exemplo. Para essa grandeza utilizamos a unidade de medida padrão: metro cúbico (m³)
· 1 km³ = 109 m³
· 1 hm³ = 106 m³
· 1 dam³ = 103 m³
· m³ → 1 m³ = 1 m³
· 1 dm³ = 10-3 m³ (equivale a 1 litro)
· 1 cm³ = 10-6 m³
· 1 mm³ = 10-9 m³
Exemplos:
· Converta 2.578 mm³ em dm³:
· dm³ ← cm³ ← mm³
· 2.578 mm³ = 2,578 cm³ = 0,002578 dm³
Na prática, é o mesmo que deslocar a vírgula seis casas decimais para esquerda.
· Converta 28,3 m³ em dm³:
· m³ → dm³
Deveremos deslocar a vírgula três casas decimais para a direita.
· 28,3 m³ = 28.300 dm³
Medidas de tempo
A