Matemática - Livro 4-166-168

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MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas166
Texto para as questões de 1 a 4.
As medidas do raio da base, da altura e da geratriz
do cone circular reto ilustrado a seguir formam, nessa
ordem, uma progressão aritmética de razão igual a 5.
R
h
g
1 Calcule os valores do raio da base, da altura e da
geratriz do cone.
2 Faça uma estimativa do volume do cone.
3 Realize uma estimativa da área da superfície total do
cone.
4 Determine a medida, em graus, do ângulo central
do setor circular que se obtém da planificação da
superfície lateral do cone.
5 UFJF 2016 Considere uma esfera de raio 2 cm com
área total A e volume V. Suponha que os valores y, A e
V, formem uma progressão geométrica nessa ordem.
Em centímetros, quanto vale y?
A 3
2
π
b 8
3
π
C 8π
d 24π
E 96π
6 A área lateral de um cone circular reto é igual ao triplo
da área de sua base. Se executarmos a planificação
de sua superfície lateral, obteremos um setor circular
cujo ângulo central mede
A 90o
b 100o
C 110o
d 120o
E 130o
7 FGV-SP A figura indica a planificação da lateral de um
cone circular reto:
O cone a que se refere tal planicação é
A
b
C
d
E
8 Fuvest Deseja-se construir um cone circular reto com
4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso,
recorta-se, em cartolina, um setor circular para a su-
perfície lateral e um círculo para a base. A medida do
ângulo central do setor circular é
A 144o
b 192o
C 240o
d 288o
E 336o
9 Fuvest Um pedaço de cartolina possui a forma de um
semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um
menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a
base apoiada sobre a mesa.
Qual a distância do bico do chapéu à mesa?
A 10 3 cm
b 3 10 cm
C 20 2 cm
d 20 cm
E 10 cm
10 Enem Um vasilhame na forma de um cilindro circular
reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está par-
cialmente ocupado por 625π cm3 de álcool. Suponha
que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de
um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura
de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como
mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distân-
cia da superfície do álcool até o fundo do vasilhame.
Volume do cone: V
r h
3
.
cone
2
=
π
Considerando-se essas informações, qual é o valor da
distância H?
A 5 cm.
b 7 cm.
C 8 cm.
d 12 cm.
E 18 cm.
Exercícios complementares
F
R
E
N
T
E
 3
167
11 Unesp 2014 Prato da culinária japonesa, o temaki é
um tipo de sushi na forma de cone, enrolado exter-
namente com nori, uma espécie de folha feita a partir
de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru,
ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e
cebolinha.
Um temaki típico pode ser representado matematica-
mente por um cone circular reto em que o diâmetro
da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que,
em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde
a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do
salmão é de 0,35 g/cm3, e tomando π = 3, a quantida-
de aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki,
é de
A 46.
b 58.
C 54.
d 50.
E 62.
12 FGV 2014 Um sorvete de casquinha consiste de uma
esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone
circular reto também com 3 cm de raio. Se o sorvete
derreter, ele encherá a casquinha completa e exata-
mente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80%
do volume que ele ocupa quando está congelado.
Calcule a altura da casquinha.
13 Uece 2017 O volume de uma tradicional casquinha de
sorvete, com formato de um cone, feito a partir de um
setor circular de 12 cm de raio e ângulo central de
120 graus é igual a:
A
128 2
3
 cm
3π .
b
64 3
3
 cm
3π .
C
64 2
3
 cm
3π .
d
128 3
3
 cm
3π .
14 UFU Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será
fundida e todo o material derretido será usado na con-
fecção de um cilindro circular e de um cone circular,
ambos maciços com raio da base r cm e altura tam-
bém r cm. Não havendo perda de material durante o
processo, r será igual a
A 4 cm.
b 8 cm.
C 5 cm.
d 10 cm.
15 Fuvest Uma superfície esférica de raio 13 cm é corta-
da por um plano situado a uma distância de 12 cm do
centro da superfície esférica, determinando uma cir-
cunferência.
O raio desta circunferência, em cm, é
A 1
b 2
C 3
d 4
E 5
16 FGV-SP 2012 Um ralador de queijo tem a forma de
cone circular reto de raio da base 4 cm e altura 10 cm.
O queijo é ralado na base do cone e fica acumulado
em seu interior (figura 1). Deseja-se retirar uma fatia
de um queijo com a forma de cilindro circular reto de
raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por dois cortes
perpendiculares à base, partindo do centro da base
do queijo e formando um ângulo α (figura 2), de for-
ma que o volume de queijo dessa fatia corresponda a
90% do volume do ralador.
Nas condições do problema, α é igual a
A 45o.
b 50o.
C 55o.
d 60o.
E 65o.
17 FGV 2017 (Adapt.) Uma bola de vidro que é uma es-
fera de centro O se encaixou num copo exatamente
como mostra a figura. O raio da bola mede 13 cm e
OC = 5 cm. O segmento AC é o raio do cilindro. O
que tem o maior volume: a bola ou o copo?
MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas168
18 FGV-SP As alturas de um cone circular reto de volume
P e de um cilindro reto de volume Q são iguais ao
diâmetro de uma esfera de volume R. Se os raios das
bases do cone e do cilindro são iguais ao raio da es-
fera, então P – Q + R é igual a
A 0.
b 2
3
π .
C π.
d 4
3
π .
E 2π.
19 Acafe 2017 Um cone de revolução tem altura 8 cm e
está circunscrito a uma esfera de raio igual a 2 cm. A
razão entre o volume da esfera e o volume do cone
é igual a
A 1/4.
b 1/8.
C 1/2.
d 2.
20 Fuvest Um cone circular reto está inscrito em um pa-
ralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como
mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do
paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Então,
o comprimento g da geratriz do cone é
A 5
b 6
C 7
d 10
E 11
21 EEAR 2017 Um escultor irá pintar completamente a su-
perfície de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando
uma tinta que, para essa superfície, rende 3 m2 por
litro. Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo,
_____ litros de tinta. (Considere π = 3)
A 18
b 24
C 36
d 48
22 Efomm 2016 Seja uma esfera de raio R e um cubo de
aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A
razão entre o volume do cubo e o volume da esfera
é igual a
A 1
π
.
b
12
π .
C
3
2π .
d
3
π .
E
6
π .
23 Unifesp 2015 O metano (CH4) possui molécula de
geometria tetraédrica (figura 1). Do ponto de vista
matemático, isso significa que, em uma molécula
de metano, os 4 átomos de hidrogênio localizam se
idealmente nos vértices de um tetraedro regular, e o
átomo de carbono localiza-se no centro da esfera que
circunscreve esse tetraedro (figura 2). Nesse modelo
de molécula, a distância entre um átomo de hidrogê-
nio e o átomo de carbono é de 0,109 nanômetro (nm).
a) Sabendo que 1 nm = 10 9 m, calcule, em milíme-
tros, a medida da distância entre hidrogênio e
carbono na molécula de metano. Registre sua
resposta em notação científica.
) Uma importante propriedade do tetraedro regular
é a de que, sendo P um ponto interior qualquer,
a soma das distâncias de P às quatro faces do
tetraedro será igual à altura do tetraedro. Nas
condições do problema, isso equivale a dizer que
a altura do tetraedro é igual a 4
3
 do raio da esfera.
Na figura 2, α indica a medida do ângulo de liga-
ção HCH na molécula de metano. Considerando
a tabela trigonométrica a seguir e as informações
fornecidas, calcule o valor aproximado de α.
α (em grau) sen α cos α tg α
70 0,9397 0,3420 2,7475
70,5 0,9426 0,3338 2,8239
71 0,9455 0,3256 2,9042
71,5 0,9483 0,3173 2,9887
72 0,9511 0,3090 3,0777
72,5 0,9537 0,3007 3,1716
73 0,9563 0,2924 3,2709
73,5 0,9588 0,2840 3,3759
74 0,9613 0,2756 3,4874
74,5 0,9636 0,2672 3,6059
75 0,9659 0,2588 3,7321
75,5 0,9681 0,2504 3,8667
76 0,9703 0,2419 4,0108