Matemática - Livro 4-181-183

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4 USF 2016 Um funil de vidro, em formato de tronco de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado para enva-
sar frascos de remédios. Suas dimensões são indicadas na figura.
Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacidade desse
funil. Sabe-se que 5 L de xarope caseiro serão envasados. Deter-
mine o número mínimo de frascos necessários para o envase.
(Use p ≅ 3,14).
5 FGV-RJ 2016 A figura abaixo mostra um tronco de pirâmide regular formado por dois quadrados ABCD e A'B'C'D' de
centros O e O' contidos em planos paralelos e quatro trapézios congruentes. Os quadrados são as bases do tronco
e a sua altura é a distância OO' = h entre os planos paralelos.
D' C'
O'
A'
B'
D
O
A
B
C
Se S e S' são as áreas das bases de um tronco de pirâmide de altura h, o volume desse tronco é dado pela fórmula
( )= + +V
h
3
S S'' SS' .
São dadas, em decímetros, as medidas das arestas: AB = 12, A'B' = 6, AA' = 9.
Calcule o volume desse poliedro em decímetros cúbicos e dê um valor aproximado, usando algum dos dados abaixo.
Dados: ≅2 1,41, ≅3 1,73, ≅5 2,24 e ≅7 2,65.
MATEMÁTICA Capítulo 16 Troncos182
1 Enem 2013 Uma cozinheira, especialista em fazer bo-
los, utiliza uma forma no formato representado na
figura:
Nela identica-se a representação de duas guras
geométricas tridimensionais.
Essas guras são
A um tronco de cone e um cilindro.
b um cone e um cilindro.
C um tronco de pirâmide e um cilindro.
D dois troncos de cone.
E dois cilindros.
2 UFC Ao seccionarmos um cone circular reto por um
plano paralelo a sua base, cuja distância ao vértice do
cone é igual a um terço da sua altura, obtemos dois
sólidos: um cone circular reto S1 e um tronco de cone
S2. A relação
volume (S )
volume (S )
2
1
 é igual a:
A 33.
b 27.
C 26.
D 9.
E 3.
3 Famerp 2017 Um desodorante é vendido em duas em-
balagens de tamanhos diferentes, porém de formatos
matematicamente semelhantes. A figura indica algu-
mas das medidas dessas embalagens.
Se a capacidade da embalagem maior é de 100 mL, a
capacidade da embalagem menor é de
A 64,0 mL
b 48,6 mL
C 56,4 mL
D 80,0 mL
E 51,2 mL
4 Uerj A figura abaixo representa um recipiente cônico
com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O
nível desse líquido tem 12 cm de altura.
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução
inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-
-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equiva-
lente a:
A 16
b 18
C 20
D 22
5 IFSC 2016 (Adapt.) Suponha que o copo representado
na figura abaixo tenha sido utilizado na Oktoberfest
para servir chopp. Admitindo que o copo é um tronco
de cone e que p = 3, é CORRETO afirmar que a capa-
cidade total, em mL, desse copo é
A maior que 600 mL.
b entre 300 mL e 400 mL.
C maior que meio litro e menor que 0,6 L.
D entre 200 mL e 300 mL.
E menor que 200 mL.
6 Uece 2015 Um cone circular reto, cuja medida do raio
da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua
base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um
destes sólidos é um cone circular reto, cuja medida
do raio da base é r. A relação existente entre R e r é
A R3 = 3r3.
b R2 = 2r2.
C R3 = 2r3.
D R2 = 3r2.
Exercícios propostos
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7 Insper 2016 No filme “Enrolados”, os estúdios Disney
recriaram a torre onde vivia a famosa personagem
dos contos de fadas Rapunzel (figura 1). Nesta recria-
ção, podemos aproximar o sólido onde se apoiava a
sua morada por um cilindro circular reto conectado
a um tronco de cone, com as dimensões indicadas
na figura 2, feita fora de escala.
Figura 1
Disponível em: http://g1.globo.com/pop-art/
noticia/2010/08/disney-divulga-poster de-rapunzel.html.
Acesso em 16.10.15.
Figura 2
Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lan-
çava suas longas tranças para baixo. Nessa operação,
suponha que uma das extremidades da trança casse
no ponto A e a outra no ponto C, onde se encontrava
o rapaz.
Considerando que a trança casse esticada e perfei-
tamente sobreposta à linha poligonal formada pelos
segmentos AB e BC, destacada em linha grossa na
gura 2, o comprimento da trança de Rapunzel, em
metros, é igual a
A 35.
b 38.
C 40.
D 42.
E 45.
8 Enem 2012 Nas empresas em geral, são utilizados dois
tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a
forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das
bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das
bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois mo-
delos de copos descartáveis, fornecendo para cada
um de seus funcionários canecas com a forma de um
cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da
base de comprimento igual a y centímetros. Tais ca-
necas serão usadas tanto para beber café como para
beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circu-
lar reto, cujos raios das bases são respectivamente
iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
=
π
+ +V
h
3
(R r Rr)
tronco de cone
2 2
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y 2
seja, no mínimo, igual a
A 2,664 cm.
b 7,412 cm.
C 12,160 cm.
D 14,824 cm.
E 19,840 cm.
9 Uerj 2015 Um recipiente com a forma de um cone
circular reto de eixo vertical recebe água na razão
constante de 1 cm3/s. A altura do cone mede 24 cm,
e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a
imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia
em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A
medida de h corresponde à distância entre o vértice
do cone e a superfície livre do líquido.
Admitindo p ≅ 3, a equação que relaciona a altura h,
em centímetros, e o tempo t, em segundos, é repre-
sentada por:
A =h 4 t3
b =h 2 t3
C =h 2 t
D =h 4 t