Lista 3_ Circunferência 2

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GEOM. ANALITICA-3: CIRCUNFERENCIA-2 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. A reta r passa é tangente a circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 25 no ponto 
𝑃 = (3,4). Determine a equação reduzida de r. 
 
2. A circunferência λ tem centro em(2,3) e tangencia a reta 𝑥 + 𝑦 −
5 = 0. Determine a equação da circunferência. 
 
3. Determine as equações das retas que passam pela origem e 
tangenciam a circunferência (𝑥 − 6)2 + 𝑦2 = 4 
 
4. Determine as equações das retas que passam pelo ponto 𝑃 =
(6,1) e tangenciam a circunferência (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 4. 
 
5. Determine as equações das retas que passam pelo ponto 𝑃 =
(4,2√2 + 5) e tangenciam a circunferência (𝑥 − 4)2 +
(𝑦 − 2√2)
2
= 9. 
 
6. Determine as equações das retas que passam pela origem e são 
tangentes ‘a circunferência (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 3)2 = 9 
 
7. Determinar as equações das retas que passam por 
P 2,2
 e que 
sejam tangentes a circunferência 
2 2x y 1. 
 
8. (ITA 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e 
tangentes à circunferência 2 2x y 2x y 0    . Se d1 é a distância de r1 
até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a: 
 
a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 5 
 
9. (Ita 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente 
às retas r : 3x 4y 4 0   e s : 3x 4y 19 0.   A área do círculo 
determinado por C é igual a 
a) 
5
.
7

 b) 
4
.
5

 c) 
3
.
2

 d) 
8
.
3

 e) 
9
.
4

 
 
10. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro 
P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P 
pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b do 
ponto P é igual a 
 
a) 2 2 2 b) 3 2 2 c) 4 2 2 
d) 5 2 2 e) 6 2 2 
 
11. (FUVEST 2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação 
x+y=2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto 
(1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a? 
 
12. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem 
centro no ponto P (2,1), e a reta t é tangente a C no ponto 
Q ( 1, 5).  
a) Determine o raio da circunferência C. 
b) Encontre uma equação para a reta t. 
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de 
t com o eixo 0x. 
 
13. (ITA 2009) Dadas a circunferência C:    
2 2
x 3 y 1 20    e a 
reta r: 3x−y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo 
de 45º com r e cuja distância à origem é 
3 5
5
.Determine uma equação 
da reta t. 
 
14. (ITA) A equação da reta t, tangente à circunferência de raio r no 
ponto P, conforme figura abaixo é dada por: 
a) x sen y cos r  
b) x sen y cos r   
c) x cos ysen r    
d) x cos y sen r  
e) x cos y sen r   
 
15. (ITA) Uma das circunferências que passa pelo ponto P: (0,0) e 
tangencia as retas 1 2(r ) : x y 0 e (r ) : x y 2    tem sua equação dada 
por: 
a)    x 1 ² y 1 ² 2    
b)    x 1 ² y 1 ² 2    
c)    x 1 ² y 1 ² 2    
d)    x 1 ² y 1 ² 2    
e)    x 1 ² y 1 ² 2    
f) 
16. (ITA 1987) Uma circunferência, tangente às retas de equações 
2x 3y 9 0 e 3x 2y 1 0      , tem o seu centro sobre a reta 
x 2y 10 0   . Encontre a equação dessa circunferência. 
17. 
18. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que 
tem área igual a 4 (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, 
às retas r : 2x 2y 5 0   e s : x y 4 0   é 
a) 
2 2
3 10
x y 4.
4 4
   
      
   
 
b) 
22
3 3
x y 2 2 4.
4 4
    
        
    
 
c) 
2 2
3 10
x 2 2 y 4.
4 4
    
        
    
 
d) 
2 2
3 13
x 2 2 y 4.
4 4
    
        
    
 
e) 
2 2
3 11
x 2 2 y 4.
4 4
    
        
    
 
 
19. (Esc. Naval 2014) A equação da circunferência tangente às retas 
y x e y x  nos pontos (3, 3) e ( 3, 3) é 
a) 2 2x y 12x 18 0    
b) 2 2x y 12y 18 0    
c) 2 2x y 6x 9 0    
d) 2 2x y 6y 9 0    
e) 2 2x y 16x 20 0    
 
 2 
20. (ITA) Seja s a reta do plano cartesiano, que passa pelo ponto (1,3) e 
é perpendicular à reta x + y + 1 =0. Considere uma circunferência com 
centro na origem e raio R >0. Nestas condições, se s for tangente à 
circunferência, então: 
a) R é um número irracional e 
1
R
2
 
b) R é um número irracional e 
1
R 1
2
  
c) R é um número irracional e R 1 
d) R é um número racional e R 1 
 
21. (ITA) Seja r a mediatriz do segmento de reta de extremos M = (-4 , 
-6) e N = (8 , -2). Seja R o raio da circunferência com centro na origem e 
que tangencia a reta r. Então: 
a) R = 
7
3
 b) R= 
15
3
 c) R= 
10
3
 
d) R = 
10
5 e) n.d.a. 
 
22. (Ime 2015) Sejam r a circunferência que passa pelos pontos 
(6, 7), (4,1) e (8, 5) e t a reta tangente à r, que passa por (0, 1) e 
o ponto de tangência tem ordenada 5. A menor distância do ponto 
P( 1, 4) à reta t é: 
a) 3 2 b) 4 c) 2 3 d) 3 e) 4 10 5 
 
23. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, 
tangente ao eixo Ox e à reta r : x y 0.  Sabendo-se que a potência 
do ponto O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então 
o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a 
a) (2, 2 2 2) e 2 2 2. 
b) 
2 1
2,
2 2
 
  
 
 e 
2 1
.
2 2
 
c) (2, 2 1) e 2 1. 
d) (2, 2 2) e 2 2. 
e) (2, 4 2 4) e 4 2 4. 
 
24. (Ita 2010) Determine uma equação da circunferência inscrita no 
triangulo cujos vértices são A (1,1), B (1, 7) e C (5, 4) no plano 
xOy. 
 
25. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de 
coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação 
   
2 2
x 1 y 2 1.    Uma reta t passa por P e é tangente a C em um 
ponto Q. Então a distância de P a Q é 
a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 
 
26. (FUVEST 2006) 
a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos 
de 
12
y 1
x
  e x y 6 0   se interceptam. 
b) Sendo O a origem ,determine o ponto C no quarto quadrante que 
satisfaz ˆ ˆAOB ACB e pertence `a reta x=2. 
 
 
 
27. (FUVEST 2003) 
a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente 
angular m >0. A circunferência C passa pelos pontos (1,0 ) e (3, 0) e tem 
centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? 
b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele 
determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado 
pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C. 
 
28. (ITA 2004) Sejam os pontos      A : 2,0 , B 4,0 e P 3,5 2 2 . 
a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado 
no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eixo y. 
b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que 
passam pelo ponto P. 
 
29. (ITA 2005) Seja C a circunferência de centro na origem , passando 
pelo ponto P=(3,4) . Se t é a reta tangente a C por P , determine a 
circunferência C’ de menor raio , com centro sobre o eixo x e tangente 
simultaneamente à reta t e a circunferência C. 
 
30. (ITA 2006) Sejam a reta s :12x 5y 7 0   e a circunferência 
2 2C : x y 4x 2y 11    . A reta p, que é perpendicular a s e secante a 
C, corta o eixo y num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte 
intervalo: 
 
31. (ITA 2002) Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano : 
“Se a circunferência de centro C =(h,0) e raio r intercepta a curva 
y x,x 0   , no ponto A (a, a) de forma que o segmento AC 
seja perpendicular à reta tangente à curva em A, então x = a é raiz dupla 
da equação em x que se obtém da intersecção da curva com a 
circunferência.” 
Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta 
tangente em A é 
1
2 a
. 
 
32. (IME 2008) Considere todos os pontos decoordenadas  ;x y que 
pertençam à circunferência de equação 2 2x y 6x 6y 14 0     . 
Determine o maior valor possível de 
y
x
. 
 
33. (FUVEST 2008) São dados , no plano cartesiano de origem O , a 
circunferência de equação 2 2x y 5  , o ponto  P 1, 3 e a reta 
que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada 
positiva em que a reta s intercepta a circunferência.Assim sendo , 
determine : 
a) a reta tangente à circunferência no ponto E . 
b) o ponto de encontro das alturas do triãngulo OPE. 
 
34. (Ime 2015) Descreva o lugar geométrico do número complexo z 
que atende à equação 
 
1 2 3arg(z z ) arg(z z ) arg(z z ) k ,       
 
em que 1z é real, 2z e 3z são complexos conjugados com parte 
imaginária não nula e k é um número inteiro. 
 
Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z. 
 
 
 
 
 3 
35. Determine a posição relativa das circunferências: 
a)   2 21 : x y 9   e      
2 2
2 : x 6 y 8 1     
b)   2 21 : x y 9   e      
2 2
2 : x 6 y 8 49     
c)   2 21 : x y 9   e      
2 2
2 : x 6 y 8 64     
d)   2 21 : x y 100   e      
2 2
2 : x 3 y 4 25     
 
36. (Unifei/2009) Duas circunferências de raio 10, em unidade de 
comprimento, tangenciam a circunferência x2 + y2 = 36 no ponto P
	
3,3 3( ). Determine os centros dessas circunferências. 
 
37. (ITA) As circunferências x² y² 2x e x² y² 4y    possuem um 
ponto comum P, distinto da origem. Obtenha a equação da reta tangente 
à primeira circunferência no ponto P. 
a) 5x 10y 16  
b) 5x 15y 20  
c) 5x 5y 12  
d) 3x 4y 8  
e) 10x 5y 20  
 
38. (Unicamp 1994) a) Identifique as circunferências de equações x2 + 
y2 = x e x2 + y2 = y, calculando o raio e o centro das mesmas. Esboce 
seus gráficos. 
b) Determine os pontos de intersecção dessas circunferências e mostre 
que as retas a elas tangentes em cada um desses pontos são 
perpendiculares entre si. 
 
39. (Ufg 2007) Considere duas circunferências no plano cartesiano 
descritas pelas equações x2 + y2 = 10 e (x - x0)2 + (y - y0) 2 = 1. 
Determine o ponto P (x0, y0) para que as duas circunferências sejam 
tangentes externas no ponto, A(3,1). 
 
40. (Ita 2016) Considere as circunferências 
 
2 2
1
2 2
2
: x u 8x 4y 20
e
: x y 2x 8y 8.
    
    
 
O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades: 
a) o lado AB coincide com a corda comum a 1 e 2; 
b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante; 
c) o vértice C pertence a 1 e a reta que contém AC é tangente a 
2. 
Determine as coordenadas do vértice C. 
 
41. Fuvest (2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) 
pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-
1/2,4) é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale 
 
a) 
5
8
 b) 
5
4
 c) 
5
2
 d) 
3 5
4
 e) 5 
 
 
 
 
 
 
42. (Unicamp 2003) As equações (x + 1)2 + y2 = 1 e (x - 2)2 + y2 = 4 
representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das 
abscissas. 
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas 
circunferências. 
b) Encontre o valor de a ∈ IR, a ≠ 0, de modo que duas retas que 
passam pelo ponto (a, 0), sejam tangentes às duas circunferências. 
 
43. (Uff) A circunferência C1, de raio 1, é tangente aos eixos 
coordenados, conforme representação abaixo. Determine a equação da 
circunferência C2, tangente simultaneamente aos eixos coordenados e à 
C1. 
 
 
44. (Ime 2016) A circunferência C tem equação 2 2x y 16.  Seja 
C ' uma circunferência de raio 1 que se desloca tangenciando 
internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos 
de contato, ou seja, C ' rola internamente sobre C. 
 
 
 
Define-se o ponto P sobre C ' de forma que no início do movimento de 
C ' o ponto P coincide com o ponto de tangência (4,0), conforme 
figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta 
que une o centro das circunferências é ,α conforme figura b. 
 
- Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C ' em função 
do ângulo .α 
- Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar 
geométrico do ponto P quando α varia no intervalo [0, 2 ). 
 
45. (ITA) Seja C a circunferência de centro na origem , passando pelo 
ponto P=(3,4) . Se t é a reta tangente a C por P , determine a 
circunferência C’ de menor raio , com centro sobre o eixo x e tangente 
simultaneamente à reta t e a circunferência C. 
 
46. (ITA-2007) Considere no plano cartesiano xy, duas circunferências 
1 2C e C , que se tangenciam exteriormente em P(5,10) . O ponto Q 
(10,12) é o centro de 1C . Determine o raio da circunferência 2C , 
sabendo que ele tangencia a reta definida pela equação x=y.