Geometria Analitica (Só Exatas)

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 Geometria Analítica 
 
1. (Uerj 2015) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos 
celulares apresentam em determinado instante, 
respectivamente, 100% e 90% da carga total. 
Considere as seguintes informações: 
 
- as baterias descarregam linearmente ao longo do 
tempo; 
- para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 
leva duas horas a mais do que B1; 
- no instante z, as duas baterias possuem o mesmo 
percentual de carga igual a 75%. 
 
Observe o gráfico: 
 
 
 
O valor de t, em horas, equivale a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
2. (Uepg 2014) A circunferência 1C tem equação 
2 2x y 4x 6y m 0+ − − + = e a circunferência 2C tem 
centro em (–2,6) e raio igual a 4. Sabendo que 1C e 
2C são tangentes exteriormente, assinale o que for 
correto. 
01) O ponto de tangência pertence ao 2º quadrante. 
02) m 10> 
04) A reta de equação 4x 3y 4 0− + = é perpendicular 
à reta que passa pelos centros de 1C e 2C . 
08) A circunferência 1C não intercepta os eixos 
coordenados. 
16) A distância entre os centros de 1C e 2C é 5. 
 
3. (Ufpr 2014) A figura abaixo apresenta o gráfico da 
reta r: 2y – x + 2 = 0 no plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado 
nessa figura, são: 
a) (3,6). 
b) (4,3). 
c) (8,3). 
d) (6,3). 
e) (3,8). 
 
4. (Ufpr 2014) Uma reta passando pelo ponto 
P(16, 3)− é tangente ao círculo 2 2 2x y r+ = em um 
ponto Q. Sabendo que a medida do segmento PQ é 
de 12 unidades calcule: 
 
a) a distância do ponto P à origem do sistema 
cartesiano; 
b) a medida do raio r da circunferência. 
 
5. (Pucrj 2014) Considere o quadrado ABCD como na 
figura. Assuma que A (5,12)= e B (13,6).= 
 
 
 
a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD. 
b) Determine a equação da reta que passa por C e D. 
c) Determine a equação do círculo inscrito no 
quadrado ABCD. 
 
6. (Uea 2014) Num plano cartesiano, sabe-se que os 
pontos A, B (1, 2) e C (2, 3) pertencem a uma mesma 
reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da 
ordenada de A é 
a) 0. 
b) 3. 
c) – 1. 
d) 2. 
e) 1. 
 
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7. (Uem 2014) Uma chapa plana, com densidade 
homogênea, tem a forma de um quadrilátero cujos 
vértices são os pontos A = (0,0), B = (1,1), C = (2,1) e 
D = (3,0). Suponha que essa placa foi obtida pela 
união de duas placas triangulares ABC e ACD. 
Considerando essas placas e os conhecimentos 
relativos à determinação do centro de massa de 
figuras planas, assinale o que for correto. 
01) Os centros de massa das placas triangulares ABC 
e ACD são formados pelos seus baricentros, que 
são, respectivamente, os pontos 
2
1,
3
 
 
 
 e 
5 1
, .
3 3
 
 
 
 
02) A massa da chapa triangular ACD é o triplo da 
massa da chapa triangular ABC. 
04) O centro de massa da chapa ABCD deve estar 
sobre a reta vertical 
3
x ,
2
= pois essa reta é um 
eixo de simetria da chapa. 
08) Em qualquer quadrilátero, o centro de massa é 
dado pelo ponto de interseção de suas diagonais. 
16) O centro de massa de uma chapa plana formada 
pela união de duas outras chapas planas é sempre 
o ponto médio do segmento de reta que une seus 
respectivos centros de massa. 
 
8. (Ifsc 2014) Marina encomendou um mural de fotos 
para a sua sala com o formato de um paralelogramo 
que irá de um lado a outro de uma parede (conforme a 
figura a seguir). Para garantir a colocação correta do 
mural após a confecção, ela considerou a parede 
parte do primeiro quadrante do plano cartesiano 
limitado pelos cantos (0,0), (0,4), (3,0) e (3,4), sendo a 
abscissa o comprimento e a ordenada a altura da 
parede em metros. 
Assim, marcou quatro pontos por onde devem passar 
os lados opostos A e C do mural: 1P (1, 7 3) e 
2P (2, 8 3) para o lado A e 3P (1, 4 3) e 4P (2, 5 3). 
 
 
 
Com base nas informações, analise as proposições 
abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 
01) Considerando o plano cartesiano, a reta por onde 
passa o lado C pode ser equacionada como 
x 3y 3 0.− + = 
02) Considerando o plano cartesiano, a reta por onde 
passa o lado C pode ser equacionada como 
x 3y 4 0.− + = 
04) Se Marina decidir colocar uma 
estante de 0,75 m de altura, 
encostada nessa parede, não há 
chances de a estante atingir a 
altura em que começa o mural. 
08) A distância entre os lados A e C é 0,5 m. 
 
9. (Ufrgs 2014) Construídas no mesmo sistema de 
coordenadas cartesianas, as inequações 2 2x y 4+ < 
e y x 1< + delimitam uma região no plano. O número 
de pontos que estão no interior dessa região e 
possuem coordenadas inteiras é 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
10. (Uem 2014) Considere as retas r, s e t no plano 
cujas equações são 
 
r : x + y =1, 
s : 2x + y = 0 , 
t : x − 2y =1. 
 
Sobre essas retas, assinale o que for correto. 
01) A interseção das retas r e s é o ponto (−1,2), das 
retas r e t é o ponto (1,0) e das retas s e t é o 
ponto (1/5,− 2/5). 
02) As retas s e t são perpendiculares. 
04) O ponto de interseção das retas r e t está a uma 
distância igual a 
2 5
5
da reta s. 
08) A área do triângulo delimitado por essas retas é 
6/5. 
16) A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r 
e s é 3. 
 
11. (Cefet MG 2014) No plano cartesiano, duas retas 
r e s se interceptam num ponto S(x,0) e tangenciam a 
circunferência x2 + y2 = 10 nos pontos P(3,p) e Q(3,q), 
respectivamente. Os pontos P, Q, S e O, sendo O o 
centro da circunferência, determinam um quadrilátero 
cuja área, em unidades de área, é 
a) 
5
.
3
 
b) 
10
.
3
 
c) 
10
.
3
 
d) 
5 10
.
9
 
e) 
20 10
.
9
 
 
12. (Uerj 2014) 
 
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No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), 
B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que 
se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no 
segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se 
desloca no segmento de A até B. Nesses 
deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é 
igual à ordenada de Q. 
Determine a medida da maior área que o triângulo 
PAQ pode assumir. 
 
13. (Fgv 2014) Os pontos ( )A 3, 2− e ( )C 1,4− do 
plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD 
cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da 
diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no 
ponto de ordenada: 
a) 2/3 
b) 3/5 
c) 1/2 
d) 1/3 
e) 0 
 
14. (Insper 2014) No plano cartesiano da figura, feito 
fora de escala, o eixo x representa uma estrada já 
existente, os pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam 
duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa 
uma estrada que será construída. 
 
 
 
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até 
a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova 
estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas 
a) 
1
, 0 .
2
 
 
 
 
b) ( )1, 0 . 
c) 
3
, 0 .
2
 
 
 
 
d) ( )2, 0 . 
e) 
5
, 0 .
2
 
 
 
 
 
15. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e 
classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. 
 
( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 
12cm. Sabendo que temos uma circunferência 
inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC, 
então, a razão entre a área da circunferência 
inscrita e a área da circunferência circunscrita é 
1
.
4
 
( ) Uma das diagonais de um quadrado está contida 
na reta x y 4 0.− − = Sabendo que a reta 
suporte da outra diagonal passa pelo ponto de 
coordenadas (5, 3),− pode-se concluir que o 
perímetro desse quadrado, em unidades de 
comprimento, é igual a 16 2. 
( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito 
num triângulo PRQ. Sendo RQ 36cm= e a 
altura relativa a essa base igual a 24cm, então, a 
área da região hachurada vale, 
aproximadamente, 225cm2. 
 
 
 
A sequência correta, de cima para baixo, é: 
a) V - V - F 
b) V - F - V 
c) V - F - F 
d) F - F - V16. (Espcex (Aman) 2014) Sejam dados a 
circunferência 2 2: x y 4x 10y 25 0λ + + + + = e o ponto 
P, que é simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das 
abscissas. Determine a equação da circunferência 
concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. 
a) 2 2: x y 4x 10y 16 0λ + + + + = 
b) 2 2: x y 4x 10y 12 0λ + + + + = 
c) 2 2: x y 4x 5y 16 0λ − + − + = 
d) 2 2: x y 4x 5y 12 0λ + − − + = 
e) 2 2: x y 4x 10y 17 0λ − − − − = 
 
 
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17. (Espm 2014) As coordenadas do centro e a 
medida do raio da circunferência de equação 
2 2x 4x (y 1) 0− + + = são, respectivamente: 
a) (– 2, 1) e 4 
b) (2, – 1) e 2 
c) (4, – 1) e 2 
d) ( )1, 2− e 2 
e) ( )2, 2 e 2 
 
18. (Pucrs 2014) Uma circunferência de centro em 
P(c, c), com c 0,≠ tangencia o eixo das abscissas e 
o eixo das ordenadas. Sua equação é 
a) 2 2 2x y c+ = 
b) ( )2 2 2x c y c− + = 
c) ( )22 2x y c c+ − = 
d) ( ) ( )2 2x c y c c− + − = 
e) ( ) ( )2 2 2x c y c c− + − = 
 
19. (Pucrs 2014) Resolver a questão com base na 
regra 2 da FIFA, segundo a qual a bola oficial de 
futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 
68cm a 70cm. 
 
Considerando essa maior circunferência com 70cm e 
usando um referencial cartesiano para representá-la, 
como no desenho abaixo, poderíamos apresentar sua 
equação como 
 
 
a) 2 2
35
x y
π
+ = 
b) 
2
2 2 35x y
π
 
+ =  
 
 
c) 2 2
70
x y
π
+ = 
d) 
2
2 2 70x y
π
 
+ =  
 
 
e) 2 2 2x y 70+ = 
 
20. (Uerj 2014) Um disco metálico de centro O e 
diâmetro AB = 4 dm, utilizado na fabricação de 
determinada peça, é representado pelo seguinte 
esquema: 
 
 
 
PJ
cortes retilíneos
PK



 
M − ponto médio do raio OB 
N − ponto médio do raio AO 
P − ponto médio do raio OC 
J − intersecção da semirreta PM com a circunferência 
K − intersecção da semirreta PN com a circunferência 
 
Calcule a distância entre os pontos J e K. 
 
21. (Fgv 2014) No plano cartesiano, uma 
circunferência tem centro C(5,3) e tangencia a reta de 
equação 3x 4y 12 0.+ − = 
A equação dessa circunferência é: 
a) 2 2x y 10x 6y 25 0+ − − + = 
b) 2 2x y 10x 6y 36 0+ − − + = 
c) 2 2x y 10x 6y 49 0+ − − + = 
d) 2 2x y 10x 6y 16 0+ + + + = 
e) 2 2x y 10x 6y 9 0+ + + + = 
 
22. (Upf 2014) Considere uma circunferência C 
definida pela equação 2 2x y 36.+ = O ponto P de 
coordenadas (x, 4) pertence a essa circunferência e 
está localizado no 1º quadrante. Considerando que o 
ponto O é o centro da circunferência e o ângulo α é 
formado pelo segmento OP com o lado positivo do 
eixo x, o cosseno dos ângulos α e (180 )α° − será 
igual a: 
a) 
5
6
 e 
5
6
− 
b) 
2
3
 e 
2
3
− 
c) 
5
6
 e 
4
5
 
d) 
2 5
3
 e 
2 5
3
− 
e) 
5
3
 e 
5
3
− 
 
23. (Uem 2014) Considere, no plano cartesiano, a 
circunferência λ de raio 1 unidade de comprimento 
 
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com centro no ponto Q de coordenadas (1,0). Sendo 
O a origem dos eixos coordenados e A o ponto de 
coordenadas (2,0), assinale o que for correto. 
01) O ponto de coordenadas 
1 2
,
3 3
 
 
 
 pertence a .λ 
02) Todo ponto P de coordenadas (x, y) pertencente à 
circunferência e, com y positivo, satisfaz a 
equação ( )2y 1 x 1 .= − − 
04) A área do círculo delimitado pela circunferência λ 
é de 2π unidades de área. 
08) Os pontos P da circunferência para os quais o 
triângulo APO possui a maior área são aqueles de 
abscissa (coordenada x) igual a 1. 
16) Para qualquer ponto P de coordenadas (x, y) 
pertencente à circunferência e com y 0,≠ o 
triângulo APO é retângulo. 
 
24. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º 
quadrante que tem área igual a 4π (unidades de 
área) e é tangente, simultaneamente, às retas 
r : 2x 2y 5 0− + = e s : x y 4 0+ − = é 
a) 
2 2
3 10
x y 4.
4 4
   
− + − =   
   
 
b) 
22
3 3
x y 2 2 4.
4 4
    
− + − + =    
    
 
c) 
2 2
3 10
x 2 2 y 4.
4 4
    
− + + − =    
    
 
d) 
2 2
3 13
x 2 2 y 4.
4 4
    
− + + − =    
    
 
e) 
2 2
3 11
x 2 2 y 4.
4 4
    
− + + − =    
    
 
 
25. (Uema 2014) O proprietário de um lote, visando a 
sua ornamentação, dividiu-o em área circular, tendo 
subdividido-o em dois triângulos idênticos opostos, 
inscritos no círculo, cujos vértices são A( 14,9),− 
B( 4,9)− e C( 9,14);− sendo AB o diâmetro da 
circunferência. 
Considerando as condições descritas e as medidas 
em metros, 
a) faça a ilustração gráfica desse lote no sistema 
cartesiano ortogonal do plano. 
 
 
b) calcule a equação da 
circunferência. 
c) determine a área correspondente 
aos triângulos idênticos. 
 
26. (Epcar (Afa) 2013) Sejam a e b dois números 
reais positivos. 
As retas r e s se interceptam no ponto (a, b) 
Se 
a
, 0 r
2
  ∈ 
 
 e 
b
0, s,
2
  ∈ 
 
 então uma equação para a 
reta t, que passa por (0, 0) e tem a tangente do ângulo 
agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é 
a) ( )2 23abx 2a – b y 0+ = 
b) ( )2 23bx – b a b y 0+ = 
c) ( )2 23ax – a a b y 0+ = 
d) ( )2 23abx – 2 a b y 0+ = 
 
27. (Uem 2013) Sobre a reta r de equação 
3x 2y 5 0,− + = assinale o que for correto. 
01) O ponto ( )2, 5 pertence a r. 
02) Se (x, y) pertence a r, então x e y não podem ser 
ambos racionais. 
04) O menor ângulo que a reta r faz com o eixo das 
abscissas é superior a 45°. 
08) A reta de equação 6x 3y 3 5 0− + = é paralela à 
reta r. 
16) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto 
5
0, .
2
 
 
 
 
 
28. (Uern 2013) 
 
 
A área do triângulo retângulo formada pela 
sobreposição das retas r e s, no gráfico, é igual a 36 
unidades. Logo, a equação da reta r é 
a) y = x + 12 
b) y = – x + 16 
c) y = – 2x + 16 
d) y = – 2x + 12 
 
29. (Unicamp 2013) Na formulação de fertilizantes, os 
teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, 
associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e 
potássio, são representados por x, y e z. 
 
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a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte 
sistema de equações lineares: 
 
3x y z 0,20
2y z 0,55
z 0,25
+ − =

+ =
 =
 
 
Calcule x e y nesse caso. 
b) Suponha que para outro fertilizante valem as 
relações 
24% x y z 54%, x 10%, y 20% e z 10%.≤ + + ≤ ≥ ≥ =
 Indique no plano cartesiano abaixo a região de 
teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante. 
 
 
 
30. (Unioeste 2013) Os valores de k para que as retas 
2x + ky = 3 e x + y = 1 sejam paralelas e 
perpendiculares entre si, respectivamente, são 
a) 
3
2
− e 1. 
b) −1 e 1. 
c) 1 e −1. 
d) −2 e 2. 
e) 2 e −2. 
 
 
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Resolução das Questões 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
 
 
Fazendo (I) = (II), temos: 
t t 2
6t 4t 8 t 4.
4 6
+
= ⇒ = + ⇒ = 
 
Resposta da questão 2: 
 02 + 04 + 08 + 16 = 30. 
 
Completando os quadrados, encontramos 
 
2 2 2 2x y 4x 6y m 0 (x 2) (y 3) 13 m.+ − − + = ⇔ − + − = − 
 
Logo, se 1A e 1r são, respectivamente, o centro e o 
raio de 1C , então 1A (2, 3)= e 1r 13 m.= − 
 
Seja 2A ( 2, 6)= − o centro de 2C . Assim, a distância 
entre os centros de 1C e 2C é igual a 
 
2 2
1 2d(A , A ) ( 2 2) (6 3)
16 9
5.
= − − + −
= +
=
 
 
Sendo 2r 4= o raio de 2C , e dado que as 
circunferências 1C e 2C são tangentes exteriormente, 
temos 
 
1 2 1 2d(A , A ) r r 5 13 m 4
m 12.
= + ⇔ = − +
⇔ =
 
 
A reta 1 2A A
suuuuur
 tem para equação 
 
6 3 3 9
y 3 (x 2) y x .
2 2 4 2
−
− = ⋅ − ⇔ = − +
− −
 
 
Seja t tT (x , y )= o ponto de tangência 
de 1C e 2C . É fácil ver que t2 x 2.− < < Desse modo, 
como T pertence à reta 1 2A A ,
suuuuur
 vem 
 
2
2 2 2
t t t t
2
t
t
3 9 9
(x 2) x 3 1 (x 2) (x 2) 1
4 2 16
16
(x 2)
25
6
x .
5
 
−+ − + − = ⇔ − + − = 
 
⇔ − =
⇒ =
 
 
Portanto, segue que 
6 18
T , ,
5 5
 
=  
 
 ou seja, T pertence 
ao primeiro quadrante. 
 
[01] Incorreto. O ponto de tangência pertence ao 
primeiro quadrante. 
 
[02] Correto. m 12 10.= > 
 
[04] Correto. O coeficiente angular da reta 
r : 4x 3y 4 0− + = é 
4
.
3
 Assim, como o coeficiente 
angular da reta 1 2A A
suuuuur
 é 
3
,
4
− segue-se que 
4 3
1
3 4
 
⋅ − = − 
 
 e, portanto, 1 2r A A .⊥
suuuuur
 
 
[08] Correto. Como 1A (2, 3)= e 1r 1,= concluímos 
que a circunferência 1C não intersecta os eixos 
coordenados. 
 
[16] Correto. Tem-se que 1 2d(A , A ) 5.= 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
O ponto P possui coordenadas (x, 3), logo: 
 
( )2 3 x 2 0 x 8 P 8,3 .⋅ − + = ⇒ = ⇒ 
 
Resposta da questão 4: 
 a) A distância do ponto P à origem O do sistema 
cartesiano de eixos é dada por 
 
2 2
P, Od 16 ( 3) 265.= + − = 
 
b) Como a reta PQ
suur
 é tangente à circunferência em Q, 
segue-se que o triângulo OPQ é retângulo em Q. 
Daí, sabendo que PQ 12 u.c.,= pelo Teorema de 
Pitágoras, vem 
 
 
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2 2 2 2
OP OQ PQ 265 OQ 144
OQ 11u.c.
= + ⇒ = +
⇒ =
 
 
Portanto, r OQ 11u.c.= = 
 
Resposta da questão 5: 
 a) A medida do lado do quadrado é igual a 
 
2 2d(A, B) (13 5) (6 12)
64 36
10 u.c.
= − + −
= +
=
 
 
b) O coeficiente angular da reta AB
suur
 é igual a 
 
AB
6 12 3
m .
13 5 4
−
= = −
−
suur 
 
Como ABCD é quadrado, segue que AB BC.⊥
suur suur
 
Logo, se BCm
suur denota o coeficiente angular da reta 
BC,
suur
 então 
BC
4
m .
3
=suur 
 
Seja C ( , ),α β= com 13α > e 6,β > de acordo com 
a figura abaixo. 
 
 
 
Sabendo que $BCm tgPBC,=
suur tem-se 
 
$ PC 4tgPBC PC PB.
3PB
= ⇔ = ⋅ 
 
Por (a) vem que BC 10.= Agora, pelo Teorema de 
Pitágoras aplicado no triângulo BPC, concluímos 
que PB 6,= o que implica em PC 8.= Donde 
obtemos C (19,14).= 
 
Finalmente, segue que a equação da reta que 
passa por C e D é 
 
3 3 113
y 14 (x 19) y x .
4 4 4
− = − − ⇔ = − + 
 
c) O centro do círculo é o ponto médio 
da diagonal AC, ou seja, 
5 19 12 14
, (12,13),
2 2
+ + 
= 
 
 e seu raio 
mede a metade do lado do quadrado, isto é, 5. 
Portanto, a equação pedida é 
2 2(x 12) (y 13) 25.− + − = 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
O ponto A é da forma (0, k), como os pontos A, B e C 
estão alinhados, temos: 
0 k 1
1 2 1 0 2k 3 4 k 0 k 1
2 3 1
= ⇒ + − − = ⇒ = 
 
Resposta da questão 7: 
 01 + 02 + 04 = 07. 
 
 
 
[01] Verdadeira. 
Baricentro da placa ABC: 
0 1 2 0 1 1 2
, 1, .
3 3 3
+ + + +   
=   
   
 
 
Baricentro da placa ACD: 
0 2 3 0 1 0 5 1
, , .
3 3 3 3
+ + + +   
=   
   
 
 
[02] Verdadeira, pois a razão entre as áreas é 3. 
(ACD)
(ABC)
3 1
S 2 3
1 1S
2
Δ
Δ
⋅
= =
⋅
 
 
[04] Verdadeira, pois x = 3/3 é a mediatriz do 
segmento BC. 
 
[08] Falsa. O centro de gravidade do quadrilátero 
abaixo não é a intersecção de suas diagonais. 
 
 
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[16] Falsa. Observe a figura abaixo. 
 
 
 
Baricentro do triângulo AOB: (-2,1) 
 
Baricentro do triângulo: AOC: ( 1,1) 
 
Ponto médio de G1G2: ( -1/2,1) 
 
Baricentro do triângulo ABC: (-3/2,1) 
 
Resposta da questão 8: 
 01 + 04 = 05. 
 
Determinando a equação da reta suporte do lado C do 
paralelogramo. 
 
Cálculo do coeficiente angular: 
5 4
13 3m
2 1 3
−
= =
−
 
 
Equação da reta suporte do lado C: 
4 1
y (x 1) x 3y 3 0
3 3
− = − ⇒ − + = 
 
Portanto: 
[01] Verdadeira. 
[02] Falsa. 
[04] Verdadeira. O coeficiente linear da reta suporte de 
C é 1, portanto não há chance da estante atingir a 
altura do início do mural. 
[08] Falsa, pois a distância entre as retas paralelas 
será dada pela distância de P1 até a reta suporte 
do lado C. 
( )22
7
1 3 3
33
d
101 3
− ⋅ +
= =
+ −
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
 
 
A representação da região ao lado nos mostra que 
existem apenas 6 pontos com coordenadas inteiras 
nesta região. 
São eles: 
(1,1); (0,0); (1,0); (1,-1); (0,-1); (-1,-1) 
 
Resposta da questão 10: 
 01 + 02 + 04 + 08 = 15. 
 
Resolvendo os sistemas e determinando o ponto de 
encontro entre as retas: 
 
x y 1 (r)
2x y 0 (s)
+ =

+ =
 
 
Ponto de encontro de r e s.(-1,2) 
 
x y 1 (r)
x 2y 1 (t)
+ =

− =
 
 
Ponto de encontro de r e t (1,0) 
 
2x y 1 (t)
2x y 0 (s)
− −

+ =
 
 
Ponto de encontro de s e t (1/5, -2/5) 
 
[01] Verdadeira. 
 
[02] Verdadeira, pois o produto dos coeficientes 
angulares das retas é -1, ou seja, 
1
2 1.
2
 
− ⋅ = − 
 
 
 
[04] Verdadeira, pois a distância de (1,0) até s é dada 
por 
2 2
2 1 0 2 2 5
d .
552 1
⋅ +
= = =
+
 
 
[08] Verdadeira, pois 
1 2 1
D 1 0 1 12 / 5.
1/ 5 2 / 5 1
−
= = −
−
 
Portanto, a área será 
1 1 12 6
A D .
2 2 5 5
= ⋅ = ⋅ − = 
 
 
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[16] Falsa. r s
r s
m m 1 ( 2) 1
tg .
1 m m 1 ( 1) ( 2) 3
θ
− − − −
= = =
+ ⋅ + − ⋅ −
 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Como P e Q pertencem à circunferência, vem 
 
2 23 y 10 y 1.+ = ⇔ = ± 
 
Daí, podemos tomar P(3, 1) e Q(3, 1).− 
 
É fácil ver que o coeficiente angular da reta OP
suur
 é 
igual a 
1
.
3
 Logo, como r OP,⊥
suur
 segue-se que a 
equação da reta r é 
 
y 1 3(x 3) y 3x 10.− = − − ⇔ = − + 
 
 
 
Em consequência, impondo y 0= na equação da reta 
r, vem 
10
S , 0 .
3
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
(OPSQ) 2 (OPS)
1 10
2 1
2 3
10
.
3
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
 
 
Resposta da questão 12: 
 Equação da reta AC: y = -x + 1 
Equação da reta AQ: y = x – 1 
P(a, a-1) e Q(a+1, a) 
 
Cálculo da área do triângulo APQ: 
2
1 0 1
1
A a 1 a 1 a a
2
a 1 a 1
= − = −
+
 
 
Como 0 < a < 1, temos: 
2A a a= − + 
 
Valor da Área máxima: 
máx
1 1
A .
4 a 4 ( 1) 4
Δ
= − = − =
⋅ ⋅ −
 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
O coeficiente angular da reta AC
suur
 é igual a 
AC
4 ( 2) 3
m .
1 3 2
− −
= = −
− −
suur Daí, como AC
suur
 e BD
suur
 são 
perpendiculares, segue-se que 
AC BD BD
2
m m 1 m ,
3
⋅ = − ⇔ =suur suur suur com BDm
suur sendo o 
coeficiente angular da reta BD.
suur
 
 
Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos 
3 ( 1) 2 4
M , (1, 1).
2 2
+ − − + 
= = 
 
 
 
Sabendo que M é o ponto de interseção das retas 
AC
suur
 e BD,
suur
 concluímos que a equação de BD
suur
 é 
 
2 2 1
y 1 (x 1) y x .
3 3 3
− = ⋅ − ⇔ = + 
 
Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto 
de interseção de BD
suur
 com o eixo Oy é igual a 
1
.
3
 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. 
 
Se A, r B, rd d d,= = então M pertence à reta r. Logo, 
 
8 3 2 6 11
M , , 4
2 2 2
+ +   
= =   
   
 
 
e, portanto, a equação de r é 
 
11 3
y 4 tg45 x y x .
2 2
 
− = ° ⋅ − ⇔ = − 
 
 
 
Em consequência, tomando y 0,= segue-se que 
3
C , 0 .
2
 
=  
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Sejam r e R, respectivamente, o raio da 
circunferência inscrita e o raio da circunferência 
 
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circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que 
r 1
,
R 2
= 
vem 
 
2 22
2
r r 1 1
.
R 2 4R
π
π
   
= = =   
   
 
 
Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas 
a equação da reta suporte da outra diagonal. Portanto, 
nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado. 
 
Seja l a medida do lado do quadrado ABCD. Como 
os triângulos PRQ e PAB são semelhantes por AA, 
tem-se que 
 
24 72
cm.
24 36 5
−
= ⇔ =
l l
l 
 
Por conseguinte, a área hachurada é dada por 
 
2
236 24 72 225cm .
2 5
⋅  
− ≅ 
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Determinando o centro C da circunferência dada: 
 
x2 + 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25 + 4 + 25 
 
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 4 
 
Logo, o centro é C(–2,–5). 
 
O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao 
eixo x é P (–1, –1). 
 
Portanto, o raio R da circunferência pedida será adistância entre os pontos P e C. Temos, 
 
R2 = (–1 – (–2))2 + (–1 – (–5))2 = 17 
 
Logo, a equação da circunferência pedida será dada 
por : 
 
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 17 ⇒ x2 + y2 + 4x + 10y + 29 – 17 
= 0 ⇒ x2 + y2 + 4x + 10y + 12 = 0 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Completando o quadrado, vem 
 
2 2 2 2 2x 4x (y 1) 0 (x 2) (y 1) 2 .− + + = ⇔ − + + = 
 
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (2, 1)− 
e seu raio é 2. 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Existem duas possíveis posições para 
a circunferência citada no enunciado 
da questão e, nos dois casos, o raio 
das circunferências é dado por | c | . 
 
 
 
Logo, a equação da circunferência será: 
( ) ( )2 22 2 2 2x c (y c) | c | x c (y c) c .− + − = ⇒ − + − = 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Considerando R o raio da maior circunferência, temos: 
 
70 35
2 R 70 R
2
π
π π
= ⇒ = = 
Portanto, a equação da circunferência será dada por: 
2
2 2 35x y .
π
 
+ =  
 
 
 
Resposta da questão 20: 
 Equação da reta PJ: y x 1= − 
 
Determinando a abscissa do ponto J: 
2 2
y x 1
x y 4
= −

+ =
 
 
Logo, ( )22 J
1 7
x .
2
x 1 4 x+ − = ⇒
+
= 
 
Portanto, ( )1 7 1 7 dm.
2
KJ 2
+
= += ⋅ 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
O raio da circunferência corresponde à distância de 
C(5, 3) à reta 3x 4y 12 0,+ − = isto é, 
 
2 2
| 3 5 4 3 12 |
3.
3 4
⋅ + ⋅ −
=
+
 
 
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Portanto, a equação da circunferência é 
 
2 2 2 2 2(x 5) (y 3) 3 x y 10x 6y 25 0.− + − = ⇔ + − − + = 
 
Resposta da questão 22: 
 [E] 
 
 
 
Fazendo y = 4, temos a seguinte equação: 
52x20x364x 222 ±=⇒=⇒=+ 
 
Como P está no primeiro quadrante, temos: 
52x = 
 
Portanto, 
2 5 5
cos
6 3
α = = e ( ) 5cos 180 cos .
3
α α− = − = −o 
 
Resposta da questão 23: 
 02 + 08 + 16 = 26. 
 
 
 
[01] Falsa, pois 
2 2
1 2
1 0 1.
3 3
   
− + − ≠   
   
 
 
[02] Verdadeira, pois a equação da circunferência com 
y positivo é ( )2y 1 x 1 .= − − 
 
[04] Falsa, pois a área é 2A 1 .π π= ⋅ = 
 
[08] Verdadeira. AP = 1 (maior valor 
possível para AP é 1, ou seja a 
medida do raio). 
 
[16] Verdadeira. Todo um ângulo 
inscrito, que determina um arco de 180° numa 
circunferência, é reto. 
 
Resposta da questão 24: 
 [D] 
 
 
 
As retas são perpendiculares, pois 
 
( )r sm m 1 1 1.= ⋅ − = −⋅ 
 
Considerando o ponto C centro da circunferência de 
raio 2, pois sua área é 4 .π 
A reta PC é paralela ao eixo x, logo: 
 
P cy y = e c Px x k= + 
 
Para determinar as coordenadas do ponto P basta 
resolver o sistema abaixo: 
 



=−+
=++
04yx
05y2x2
 
 
Portanto, 
3 13
P ,
4 4
 
 
 
 
 
Determinando o valor de k no triângulo assinalado, 
temos: 
 
2
sen 45 k 2 2
k
° = ⇒ = 
 
Portanto, cx 2
3
4
2= + e c
13
y .
4
= 
 
Logo, a equação da circunferência será dada por: 
 
 
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2 2
3 13
x 2 2 y 4.
4 4
    
− + + − =    
    
 
 
Resposta da questão 25: 
 a) Considere a figura. 
 
 
 
b) Dado que AB é diâmetro, o centro da 
circunferência, que chamaremos de M, é o ponto 
médio de AB, ou seja, 
 
14 4 9 9
M , ( 9, 9).
2 2
− − + 
= = − 
 
 
 
Além disso, o raio r da circunferência é dado por 
 
d(A, B) 10
r 5 m.
2 2
= = = 
 
Por conseguinte, a equação pedida é 
2 2(x 9) (y 9) 25.+ + − = 
 
c) Como as abscissas dos pontos C e M são iguais e 
AB é paralelo ao eixo OX, é imediato que o triângulo 
ABC é isósceles e retângulo em C. Daí, sendo D o 
simétrico de C em relação a AB, tem-se que o 
quadrilátero ABCD é um quadrado de diagonal 10 m. 
Portanto, a área pedida é igual a 
2
210 50 m .
2
= 
 
Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
 
 
Calculando os coeficientes angulares 
das retas r e s 
 
r
b 0 b 2b
m
a a aa
2 2
−
= = =
−
 
 
s
b b
b b2 2m
a 0 a 2a
−
= = =
−
 
 
Calculando a tangente do ângulo agudo formado pelas 
reatas r e s. 
 
 
2 2
2b b
a 2a
tg
2b b
1
a 2a
3ab
tg
2 (a b )
θ
θ
−
=
+ ⋅
=
⋅ +
 
 
Portanto, a reta t passa pelo ponto (0, 0) e tem 
coeficiente angular t 2 2
3ab
m
2 (a b )
=
⋅ +
 
 
Logo, sua equação será dada por 
2 2
2 2
3 a b
y 0 ( x 0 ) 3 a b x 2 (a b ) y 0 .
2 (a b )
− = − ⇒ − ⋅ + ⋅ =
⋅ +
 
 
Resposta da questão 27: 
 02 + 04 + 16 = 22. 
 
[01] Falsa, pois 3 2 2 5 5 0.⋅ − + ≠ 
 
[02] Verdadeira, pois a soma de 3x – 2y dever ser 
5.− 
 
[04] Verdadeira, pois a tangente desse ângulo é 
3
1,
( 2)
− >
−
 portanto, este ângulo é maior que 45°. 
 
[08] Falsa, pois seus coeficientes angulares são 
distintos. 
 
[16] Verdadeira, substituindo zero em x temos 
5
y .
2
= 
 
Resposta da questão 28: 
 [C] 
 
Sabendo que a área do triângulo é igual a 36 
unidades, vem 
 
 
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1
(k 4) (6 0) 36 k 4 12
2
k 16.
⋅ − ⋅ − = ⇔ − =
⇔ =
 
 
Portanto, a equação da reta r é dada por 
 
12
y x 16 2x 16.
6
= − + = − + 
 
Resposta da questão 29: 
 a) 
 
3x y z 0,20
2y z 0,55
z 0,25
2y 0,25 0,55 y 0,15
3x 0,15 0,25 0,20 x 0,10
+ − =

+ =
 =
+ = ⇒ =
+ − = ⇒ =
 
 
b) 
Como z 10%.
24% x y 10% 54% 14% x y 44%
temos então o sistema reprsentado no plano ao abaixo
x y 44%
x y 14%
x 10%
y 20%
=
≤ + + ≤ ⇒ ≤ + ≤
+ ≤
 + ≥

≥
 ≥
 
 
 
 
Resposta da questão 30: 
 [E] 
 
r
s
2
(r) 2x ky 3 m
(s) x
k
y 1 m 1
+ = ⇒ =
+ = ⇒ = −
−
 
Para que r seja paralela a s: 
r s
2
m m 1 k 2
k
= ⇒ − = − ⇒ = 
Para que r seja perpendicular a s: 
r s
2
m m 1 ( 1) 1 k 2
k
⋅ = − ⇒ − ⋅ − = − ⇒ = −