Tarefa Complementar - Aulas 7 e 8 - Divisão Euclidiana

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Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Aulas 7 e 8 – Divisão Euclidiana 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
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1. (ifal 2017) Considere a sequência infinita 
IFALMIFALMIFALMIFALMIFALM… 
 
Qual é a 2017ª letra dessa sequência? 
a) I. 
b) F. 
c) A. 
d) L. 
e) M. 
 
2. (Fatec 2017) Os números naturais de 0 a 3.000 foram 
dispostos, consecutivamente, conforme a figura, que mostra o 
começo do processo. 
 
 
 
Nessas condições, o número 2.017 está na 
a) 1ª linha. 
b) 2ª linha. 
c) 3ª linha. 
d) 4ª linha. 
e) 5ª linha. 
 
3. (Espm 2017) Dividindo-se o número natural N por 13, obtém-
se quociente Q e resto R. Aumentando-se 2 unidades no 
dividendo e mantendo-se o divisor, o quociente aumenta de 1 uni-
dade e a divisão é exata. 
 
Sabendo-se que Q R 16,  podemos afirmar que os divisores 
primos de N são: 
a) 2 e 19 
b) 2, 3 e 13 
c) 3 e 17 
d) 3, 5 e 7 
e) 5 e 11 
 
4. (Fuvest 2020) A função E de Euler determina, para cada 
número natural n, a quantidade de números naturais menores do 
que n cujo máximo divisor comum com n é igual a 1. Por 
exemplo, E(6) 2 pois os números menores do que 6 com tal 
propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E(n), para n de 
20 a 25? 
a) 19 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
e) 25 
 
5. (ifce 2019) Ana listou em ordem crescente os primeiros 30 
números naturais N que satisfazem às três condições a seguir. 
 
1) N deixa resto 7 na divisão por 24. 
2) N deixa resto 7 na divisão por 32. 
3) N é maior que 20. 
 
O primeiro número listado por Ana tem soma de algarismos igual a 
a) 4. 
b) 9. 
c) 11. 
d) 12. 
e) 15. 
 
6. (ifce 2016) O número x2 3 6 20   possui exatamente 96 
divisores inteiros positivos quando x é um número natural igual a 
a) 20. 
b) 14. 
c) 16 
d) 18. 
e) 12. 
 
7. (Upf 2015) Dividindo 2 por 7, o 100 algarismo da expansão 
decimal que aparece após a vírgula é: 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 7 
e) 8 
 
8. (Uerj 2020) A soma de dois números naturais diferentes é 68. 
Ambos são múltiplos de 17. 
A diferença entre o maior número e o menor é: 
a) 35 
b) 34 
c) 33 
d) 32 
 
9. (ifce 2019) Se abc é o maior número de três algarismos 
divisível por 11, então a soma a b c  vale 
a) 18. 
b) 22. 
c) 20. 
d) 17. 
e) 16. 
 
 
 
APROFUNDANDO 
 
 
1. ( cftrj 2017) Usando alguns números inteiros fixos e operações 
de aritmética é possível fazer algumas mágicas. 
 
Nesse contexto, um professor de matemática propõe a seguinte 
tarefa a dois alunos: 
 
1. Um aluno pensa num primeiro número x e outro aluno num 
segundo número y, ambos positivos e de dois algarismos. 
2. Depois realizam-se as operações aritméticas a seguir, em 
sequência: 
 
 
 
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I. multiplicar o primeiro número por 4; 
II. somar o resultado de I com 7; 
III. multiplicar o resultado de II por 25; 
IV. somar o resultado de III ao segundo número; 
V. somar o resultado de IV com 125. 
 
Ao concluírem todas as operações e falarem o resultado final, o 
professor disse exatamente quais eram os dois números pensados 
pelos alunos. 
 
Se o resultado final mencionado foi 2016, qual o número x e o 
número y? 
 
2. (Espm 2017) Um número natural é formado por 3 algarismos 
que somam 10. Trocando-se entre si os algarismos das centenas e 
das unidades, ele aumenta 99 unidades. Trocando-se os al-
garismos das dezenas e das unidades, ele diminui 18 unidades. 
Podemos afirmar que esse número é múltiplo de: 
a) 11 
b) 13 
c) 7 
d) 5 
e) 4 
 
3. ( cp2 2018) A respeito de um número natural, sabe-se que: 
 
- divisível por 4; 
- é múltiplo de 3 e de 7; 
- não é múltiplo de 5; 
- está localizado entre 400 e 550. 
 
A soma dos algarismos desse número é igual a 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
 
4. (Fatec 2017) Para a realização de uma atividade, um professor 
pretende dividir a sua turma em grupos. O professor observou que, 
se dividir a turma em grupos de 3 alunos, exatamente um aluno 
ficará de fora da atividade; se dividir em grupos de 4 alunos, 
exatamente um aluno também ficará de fora. 
 
Considere que nessa turma há N alunos, dos quais 17 são homens, 
e que o número de mulheres é maior que o número de homens. 
 
Nessas condições, o menor valor de N é um número 
a) primo e não par. 
b) par e não divisível por 4. 
c) ímpar e divisível por 5. 
d) quadrado perfeito. 
e) cubo perfeito. 
 
 
5. ( ifce 2016) O menor número natural que deve ser somado a 
1983 para que o resultado seja um múltiplo de 7 é 
a) 4. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 1. 
e) 3. 
 
6. ( cftrj 2016) Observe o algoritmo a seguir, 
 
n 8
0 ,625
 
 
apresenta a divisão de certo número natural não nulo n por 8 : 
Mesmo sem informação sobre n e a parte inteira do quociente 
 , podemos afirmar que o menor número natural, maior do que 
n e divisível por 8 (quociente natural e resto zero) é: 
a) n 1 
b) n 3 
c) n 5 
d) n 7 
 
7. (Uece 2016) Se o resto da divisão do número natural n por 20 é 
igual a 8 e o número natural r é o resto da divisão do mesmo 
número por 5, então, o valor de 3r é igual a 
a) 1. 
b) 
1
.
8
 
c) 
1
.
27
 
d) 
1
.
64
 
 
8. (cftmg 2020) A figura abaixo apresenta algumas obras do 
escritor Eça de Queirós que foram adaptadas para o cinema ou 
televisão. 
 
 
 
Na figura, os cinco números mencionados correspondem aos anos 
em que essas obras foram escritas. Sobre esses números, afirma-se 
que: 
 
I. Apenas dois são múltiplos de 3. 
II. Apenas três são múltiplos de 4. 
III. Apenas dois são primos. 
IV. O máximo divisor comum entre 1870 e 1880 é múltiplo de 
10. 
V. Os múltiplos de 1875 possuem o número 5 como um de seus 
fatores primos. 
 
Estão corretas apenas as afirmativas 
a) I, II e IV. 
b) I, IV e V. 
c) II, III e V. 
d) III, IV e V. 
 
 
 
 
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9. (Uerj 2020) A soma de dois números naturais diferentes é 68. 
Ambos são múltiplos de 17. 
A diferença entre o maior número e o menor é: 
a) 35 
b) 34 
c) 33 
d) 32 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Observamos que as letras I, F, A, L, M, se repetem nesta ordem 
continuamente. Para obter a 2017ª posição, basta dividir 2017 
por 5 e seu resto indicara a qual das cinco letras está relacionada. 
Dividindo: 
 
2017 5
2 403
 
 
Visto que o resto é dois, basta procurar a letra que ocupa a segunda 
posição da sequência I, F, A, L, M. Desta maneira, a letra da 
2017ª posição é a letra F. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Na primeira linha se encontra todos os números que quando 
divididos por 4 deixam resto zero e apresentam um quociente par. 
Sabendo que 2016 504 16,  podemos concluir que 2016 
encontra-se na primeira linha, portanto 2017 encontra-se na 
segunda linha. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Desde que R 16 Q  e N 13Q R,  temos 
N 13Q 16 Q N 12Q 16.      
 
Ademais, se N 2 13(Q 1),   então 
12Q 16 2 13Q 13 Q 5.      
 
Portanto, vem R 11 e N 76. 
Escrevendo 276 2 19,  podemos concluir que os divisores 
primos de N são 2 e 19. 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Sendo 23 o único primo entre 20 e 25, segue que 
E(23) 23 1 22   é o valor máximo de E(n) quando n varia de 
20 a 25. 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
N 7 é múltiplo de 24 
N 7 é múltiplo de 32 
 
Portanto, N 7 é múltiplo do MMC(24, 32) 96. 
 
O primeiro número listado será dado por: 
N 7 96 N 103    
 
A soma de seus algarismos será 1 0 3 4.   
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
x x 2 x 3 22 3 6 20 2 3 3 2 2 5 2 3 5            
 
O número de divisores positivos será dado por: 
(x 3 1) (2 1) (1 1) 96
(x 4) 6 96
x 4 16
x 12
      
  
 

 
 
Resposta da questão 7:[D] 
 
Tem-se que 2 7 0,285714,  ou seja, uma dízima periódica 
simples de período igual a 285714. Logo, como 100 6 16 4,   
segue-se que o resultado pedido é 7. 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Sejam os números naturais 17α e 17 ,β com 0.α β  Tem-se 
que 
17 17 68 4α β α β     
 
Portanto, só pode ser 3α  e 1.β  
A resposta é 
17 17 17(3 1) 34.α β    
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Sabemos que 999 11 90 9   . 
Portanto o maior número de três algarismos que é divisível por 11 
é 999 9 990.  
Logo a soma pedida será: 
a b c 9 9 0 18.      
 
 
Aprofundando: 
 
 
Resposta da questão 1: 
 Sejam A, B, C e D números inteiros. 
 
Podemos então considerar que x 10 A B   e y 10 C D.   
 
 
 
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Realizando, agora, as operações indicadas acima: 
[I] 4 x 40 A 4 B     
[II] 40 A 4 B 7    
[III] 25 (40 A 4 B 7) 1000 A 100 B 175          
[IV] 
1000 A 100 B 175 10 C D 1000 A 100 B 175 10 C D               
[V] 
1000 A 100 B 175 10 C D 125 1000 A 100 B 175 10 C D                
 
Fazendo 1000 A 100 B 175 10 C D 2016,        temos: 
 
A 2, B 3, C 1    e D 6, então: 
 
x 17 e y 16. 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Seja abc o número natural. Tem-se que 
a b c 10 a b c 10
cba abc 99 100c 10b a 100a 10b c 99
acb abc 18 100a 10c b 100a 10b c 18
a b c 10
a c 1
b c 2
a 2
b 5 .
c 3
      
         
         
  
  
  

 
 



 
 
Em consequência, o número é 253 11 23,  ou seja, um múltiplo 
de 11. 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Considerando que este número natural N é divisível por 4, é 
múltiplo de 3 e de 7; podemos escrevê-lo da seguinte forma. 
N 4 3 7 k com k
N 84 k, com k
400 84 k 550
400 550
84 k
84 84
4,76 k 6,5
    
  
  
  
 


 
 
Portanto, k 6 ou k 5 (não convém, pois N é múltiplo de 5) 
Logo, N 84 6 504   
A soma de seus algarismos será 5 4 9.  
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Considerando N o número de alunos da turma, temos: 
N 3x 1, x
N 1 3x, x
N 4x 1, x
N 1 4x, x
  
  
  
  




 
 
Concluímos então que N 1 é múltiplo de 12, ou seja, 
N 12 k 1, k .    
N {1,13, 25, 37, 49, 61, 73,...} 
 
Como 17 são homens e o número de mulheres é maior que o 
número de homens, o menor valor possível para N será: 
N 37 (37 17 20 e 20 17)    
 
Logo, a resposta correta é N é um primo e não par. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
1.983 7 283 2   
Portanto, o menor número que deverá ser somado a 1.983, para 
que se torne um múltiplo de 7, é 7 2 5.  
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Se a parte inteira do quociente fosse igual a zero (menor número 
possível nesse caso), poder-se-ia escrever: 
0,625 8 n n 5    
 
Assim, o menor número natural, maior do que n e divisível por 8 é 
n 3, ou oito. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Desde que n 20a 8  e n 5b r,  com a, b inteiros positivos e 
0 r 4,  temos 
 
n 5 4a 5 3 5(4a 1) 3.       
 
Daí, vem b 4a 1  e r 3. Por conseguinte, a resposta é 
3 3 1r 3 .
27
   
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
[I] Verdadeira. Os múltiplos de 3 3 são 1875 e 1878. 
 
[II] Falsa. Apenas o 1880 é múltiplo de 4. 
 
[III] Falsa. Temos apenas 1 número primo o 1877. 
 
[IV] Verdadeira. Pois: 
 
 
 
 
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[V] Verdadeira. 1875 é múltiplo de 5. 
 
Resposta: 
[B] I, IV e V. 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sejam os números naturais 17α e 17 ,β com 0.α β  Tem-se 
que 
17 17 68 4α β α β     
 
Portanto, só pode ser 3α  e 1.β  
A resposta é 
17 17 17(3 1) 34.α β    
 
 
 
 
 
 
 
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