Livro 02 de Matemática 6 ano

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LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
6.° ANO - LIVRO 2
ENSINO FUNDAMENTAL
SAE DIGITAL S/A
Curitiba
2021
SAE DIGITAL S/A
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 1PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 1 02/12/2020 14:26:3602/12/2020 14:26:36
Direção editorial Lucélia Secco
Gerência editorial Tassiane Aparecida Sauerbier, Luis Antonio Tofolo Junior
Coordenação editorial Ednei Leite de Araújo
Coordenação pedagógica Cristiane Sliva, Jardiel Loretto Filho
Edição Anna Chiarello Marcon, Eliane Peixoto de Lima, Janayna da Costa Goulart, Janile Oliveira, Rodrigo Zeni 
Stocco
Revisão Everson de Lara Caetano, Gabriele Varão, Juliana Basichetti Martins, Marilene Wojslaw Pereira Dias, 
Pamela de Fátima Leal, Priscila Sousa, Thainara Gabardo, Victor Truccolo
Cotejo Anna Karolina de Souza, Ludmilla Borinelli, Rafaella Ravedutti, Wagner Revoredo
Qualidade Brunno Freire, Igor Spisila, Mariana Chaves
Projeto gráfico Evandro Pissaia, Fernanda Angeli Andreazzi, Gustavo Ribeiro Vieira
Arte da capa Carlos Morevi, Deny Machado, Guilherme Reginato, Scarllet Anderson
Iconografia Jhennyfer Pertille
Ilustrações Carlos Morevi, Deny Machado, Scarllet Anderson
Diagramação André Lima, Bruna Aparecida de Andrade, Gustavo Ribeiro Vieira, Jéssica Xavier de Carvalho, Leôncio 
Santana, Luana Santos, Luciana Nesello Kunsel, Luisa Piechnik Souza, Maisa Leepkaln, Mariana 
Oliveira, Nadiny Silva, Ralph Glauber Barbosa, Raphaela Candido, Silvia Santos, Thaísa Werner, Thiago 
Figueiredo Venâncio
Coordenação de processos Janaina Alves
Processos Janio Lima, Raul Jungles, Vitor Ribeiro
Colaboração externa Amyr Borhot Hamud (Revisão), Donalia Maira Jakimiu Fernandes Basso (Leitura de Qualidade), Edição 
e Revisão Texto Finito (Leitura de Qualidade), Eduarda Regina Drabczynski Da Matta (Preparação 
de Texto), Evandro Pissaia (Diagramação), Fernanda Tanaka (Leitura de Qualidade), Muse Design 
(Diagramação), Sincronia Design Gráfico (Diagramação), Vanessa De Oliveira (Leitura Técnica)
Autoria Anvimar Galvão Gasparello, Cristine Dantas Jorge Madeira, Edmary Aparecida Vieira e Silva Tavares, 
Maria Augusta de Campos Constantino Bastos, Sofia Macedo
Catalogação na Publicação (CIP)
Ensino Fundamental : Matemática : 6.o ano: livro 2 : professor – 1. ed. – 
Curitiba, PR : SAE Digital S/A, 2021.
92 p.
ISBN: 978-65-5593-657-5
1. Ensino Fundamental. 2. Matemática. 3. Educação. 
I. Título.
 CDD: 510
  CDU: 501:371.1
© 2021 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados.
SAE DIGITAL S/A. 
R. João Domachoski, 5. CEP: 81200-150 
Mossunguê – Curitiba – PR 
0800 725 9797 | Site: sae.digital 
PIP_EF21_6_MAT_L2_LP.indd 2PIP_EF21_6_MAT_L2_LP.indd 2 02/12/2020 17:51:1002/12/2020 17:51:10
MATEMÁTICA III
Programação anual de conteúdos – Matemática – 6.o ano
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
Li
vr
o 
1
1. Sistemas de 
numeração
1. Números: um 
pouco de história
• Sistema de numeração egípcio, babilônico e romano
• Significado de sistema de numeração
• Sistema de numeração decimal
• Evolução dos sistemas de numeração
EF06MA02 8
2. Números 
naturais
• O conjunto dos números naturais
• Representação dos números naturais
• Elementos do conjunto dos números naturais
• Sequência dos números naturais
EF06MA01
EF06MA02 6
2. Operações com 
números naturais
1. Adição e 
subtração
• Adição e subtração com os números naturais e suas propriedades
• Arredondamento e estimativas
• Expressões numéricas e problemas envolvendo adição e subtração
EF06MA03 9
2. Multiplicação 
e divisão
• Multiplicação, divisão com números naturais e suas propriedades
• Expressões numéricas envolvendo as quatro operações
• Ideias de adição em parcelas iguais, 
proporcionalidade, combinação e contagem
• Algoritmos da multiplicação e da divisão
EF06MA03 9
3. Potências e raízes
• Definição e propriedades da potenciação
• Definição e propriedades da radiciação
• Leitura e escrita de potências e de radicais
• Números quadrados perfeitos
• Resolução de expressões numéricas
EF06MA03 8
3. Fundamentos 
da Geometria
1. Elementos 
fundamentais
• Ponto, reta e plano
• Semirreta e segmento de reta
• Retas coplanares e posições relativas entre retas
EF06MA22
EF06MA23
EF06MA26
6
2. Ângulos
• Medida e classificação de um ângulo
• Construção de um transferidor
• Unidade de medida de ângulo
EF06MA27 4
Li
vr
o 
2
4. Representação 
simbólica e 
divisibilidade
1. Múltiplos e 
divisores
• Múltiplos de um número natural e critérios de divisibilidade
• Números primos e compostos
• MMC e MDC
EF06MA04
EF06MA05
EF06MA06
11
2. Valores 
desconhecidos
• Raciocínio algébrico
• Significado de uma expressão algébrica
• Representação de expressões algébricas
• Resolução de problemas envolvendo um valor desconhecido
EF06MA14 8
5. Estatística e 
probabilidade
1. Tabelas e gráficos
• Interpretação de informações contidas em tabelas, gráficos de barras, 
de linhas e de setores
• Construção de gráficos a partir dos dados apresentados em uma 
tabela
EF06MA31
EF06MA32
EF06MA33
EF06MA34
9
2. Experimentos 
aleatórios
• Conceito de probabilidade
• Representação de uma probabilidade na 
forma fracionária e percentual
• Cálculo da probabilidade de um evento aleatório
• Registro dos resultados de um experimento 
aleatório em gráficos e tabelas
EF06MA30 4
6. Geometria 
1. Polígonos 
• Segmentos colineares e consecutivos
• Linhas poligonais
• Polígonos côncavos e convexos
• Elementos de um polígono e sua nomenclatura
• Polígonos regulares
• Construção geométrica de retas paralelas
EF06MA22 9
2. Formas planas
• Círculo e circunferência
• Ampliação e redução de figuras planas
• Representação de um polígono no plano cartesiano 
EF06MA16
EF06MA18
EF06MA19
EF06MA20
EF06MA21
4
3. Formas espaciais
• Corpos redondos: cilindro, cone e esfera 
• Poliedros: pirâmides e prismas
• Características dos sólidos geométricos
• Elementos: face, aresta e vértice no sólido geométrico
EF06MA17 5
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 3PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 3 02/12/2020 14:26:3602/12/2020 14:26:36
MATEMÁTICAIV
Unidades Capítulos Conteúdos Habilidades Aulas
Li
vr
o 
3
7. Números 
racionais
1. Números 
fracionários
• Significado de frações e sua leitura
• Frações próprias, impróprias, aparentes e equivalentes
• Redução de frações ao mesmo denominador
• Simplificação de frações e frações irredutíveis
• Representação de frações na reta numérica
EF06MA07
EF06MA08
EF06MA09
9
2. Operações 
com números 
fracionários
• Adição, subtração de frações
• Frações impróprias e número misto
• Multiplicação e divisão de frações
• Potenciação e radiciação de frações
• Expressões numéricas envolvendo frações
EF06MA10
EF06MA11 10
3. Resolução de 
problemas
• Estratégia para a resolução de situações-problema
• Resolução de problemas envolvendo frações e números decimais
EF06MA10
EF06MA11
EF06MA15
6
8. Porcentagens 
e números 
decimais
1. Frações e 
porcentagem
• Interpretação de uma porcentagem
• Transformação de frações em porcentagens e de porcentagens em 
frações irredutíveis
• Leitura e interpretação de gráficos de setores
• Cálculo de porcentagem
• Resolução de problemas que envolvem porcentagem
EF06MA13 7
2. Números 
racionais e sua 
forma decimal
• Números decimais
• Transformações de frações em números decimais e de números 
decimais em frações
• Propriedades dos números decimais
• Comparação e representação de números decimais
• Dízimas periódicas
EF06MA08 6
9. Sólidos 
geométricos
1. Tipos de sólidos 
e de vistas
• Poliedros regulares
• Relação de Euler
• Vistas
EF06MA17
EF06MA28 6
2. Planificações
• Planificação do prisma e da pirâmide
• Identificação de faces, vértices e arestas na planificação
• Diferentes vistas de um mesmo sólido geométrico
EF06MA17 5
Li
vr
o 
4
10. Operações 
com números 
decimais
1. Adição, 
subtração e 
multiplicação
• Adição, subtraçãoe multiplicação
• Expressões numéricas
• Cálculo com porcentagens
EF06MA11
EF06MA13 8
2. Divisão, 
potenciação 
e radiciação
• Divisão com inteiros, com decimais e aproximada
• Transformação de uma fração em número decimal
• Potenciação e radiciação
• Expressões numéricas
• Resolução de problemas com números decimais
EF06MA11 11
11. Grandezas e 
medidas
1. Comprimentos 
e superfícies
• Leituras das medidas de comprimento
• Conversões de unidades
• Perímetro
• Medidas de área 
• Unidades de medida padrão para comprimentos e área
• Múltiplos e submúltiplos do metro e do metro quadrado e conversões 
EF06MA24
EF06MA29 10
2. Cálculo de áreas • Áreas do retângulo, do quadrado, do triângulo, do losango EF06MA16EF06MA29 9
3. Volume, 
capacidade, 
massa, tempo 
e temperatura
• Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico e conversões
• Volume do cubo e do paralelepípedo
• Unidade de medida padrão de volume e de capacidade
• Múltiplos e submúltiplos do litro e conversões
• Múltiplos e submúltiplos do grama e conversões
• Unidades de temperatura
• Múltiplos e submúltiplos do segundo e conversões
EF06MA24 13
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 4PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 4 02/12/2020 14:26:3602/12/2020 14:26:36
MATEMÁTICA V
Conheça as seções, os boxes e os ícones do seu livro
Esta seção apresenta exercícios mais 
desa� adores e de � xação que devem ser 
resolvidos no caderno.
VAMOS PRATICAR MAIS?
É um espaço que apresenta relações entre o conteúdo que você 
está estudando e as tecnologias referentes a ele. 
MATEMÁTICA E TECNOLOGIA
ATIVIDADES
Geralmente esta seção está no � nal de cada 
capítulo. Seu objetivo é levá -lo a rever os con-
teúdos estudados. 
PARA SABER MAIS
Indica o momento de aprofundar ou ampliar 
algum aspecto do conteúdo que você está 
estudando no capítulo.
CONEXÃO
Este é um espaço que apresenta texto e 
atividades que fazem a articulação entre 
diversos conteúdos.
INTERAÇÃO
Quando aparecer esta seção, será proposto um 
trabalho em grupo, como debate, pesquisa e 
elaboração de painel.
PARA IR ALÉM
Aqui você encontra dicas de leituras, músicas 
ou vídeos para aprofundar seu conhecimento.
COLOCANDO EM PRÁTICA
É um espaço que apresenta exercícios resolvidos 
para você compreender a sua sistematização.
TER ATITUDE
Esta seção apresenta uma proposta para um 
trabalho prático.
DESENVOLVER E APLICAR
Esta seção propõe atividades investigativas e 
motivadoras para você resolver individualmente. 
DE OLHO NA PROVA
É uma seção exclusiva para o 9.º ano e apre-
senta questões de provas para auxiliar você a 
ingressar no Ensino Médio.
EM TEMPO
É o momento de recordar uma ideia ou uma 
fórmula já estudada. Pode apresentar, também, 
a explicação ou o signi� cado de um termo ou 
de um conteúdo apresentado no texto.
Este ícone indica que há uma Realidade 
aumentada que pode ser acessada com 
o celular ou tablet.
Quando aparecer este ícone, será a hora 
de exercitar a oralidade com os colegas 
de turma.
Esta seção aparece quando há necessi-
dade de explicar os procedimentos para 
realização de uma atividade.realização de uma atividade.COMO
FA
ZE
R
Este ícone indica o 
desenvolvimento 
da educação para o 
consumo consciente.
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 5PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 5 02/12/2020 14:26:3802/12/2020 14:26:38
MATEMÁTICAVI
Anotações
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 6PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 6 02/12/2020 14:26:3802/12/2020 14:26:38
us
tw
o 
ga
m
es
Matemática
Unidade 4 | Representação simbólica e divisibilidade
Capítulo 1 | Múltiplos e divisores .......................................................................... 72
Capítulo 2 | Valores desconhecidos ..................................................................... 90
Unidade 5 | Estatística e probabilidade
Capítulo 1 | Tabelas e gráficos ............................................................................. 101
Capítulo 2 | Experimentos aleatórios ................................................................ 116
Unidade 6 | Geometria
Capítulo 1 | Polígonos ............................................................................................... 123
Capítulo 2 | Formas planas .................................................................................... 138
Capítulo 3 | Formas espaciais ................................................................................ 145
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 71PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 71 02/12/2020 14:26:3902/12/2020 14:26:39
72 MATEMÁTICA
Objetivos do capítulo
• Identificar os divisores de um 
número.
• Identificar os múltiplos de 
um número.
• Identificar números primos e 
compostos.
• Reconhecer e aplicar os 
critérios de divisibilidade de 
um número.
Realidade aumentada
• Critérios de divisibilidade 
por 6 e 7
Encaminhamento 
metodológico
Neste capítulo, trabalhare-
mos as habilidades EF06MA04, 
EF06MA05 e EF06MA06, in-
dicadas na BNCC. A primeira, 
EF06MA04, é a habilidade de 
construir algoritmo em lingua-
gem natural e representá-lo por 
um fluxograma que indique 
a resolução de um problema 
simples (por exemplo, se um 
número natural qualquer é par). 
A segunda, EF06MA05, é a ha-
bilidade de classificar números 
naturais primos e compostos, 
estabelecer relações entre nú-
meros, expressas pelos termos 
“é múltiplo de”, “é divisor de”, 
“é fator de”, e estabelecer, por 
meio de investigações, critérios 
de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 
8, 9, 10, 100 e 1 000. A terceira, 
EF06MA06, é a habilidade de re-
solver e elaborar problemas que 
envolvam ideias de múltiplos e 
de divisores.
Na abertura do capítulo, é 
possível fazer questionamentos 
a respeito das embalagens para 
verificar qual a é a concepção 
dos alunos acerca de uma divi-
são exata e, uma vez que eles 
resolvam esses problemas, será 
possível analisar qual a familia-
ridade deles com a ideia de se 
ter um divisor para um número 
natural e o que isso significa em 
situações-problema.
As seções Interação, 
Desenvolver e aplicar, 
Matemática e tecnologia, 
Conexão e Ter atitude podem 
aparecer durante o conteúdo. 
Elas apresentam atividades 
contextualizadas, que buscam a interação com os saberes de colegas ou com infor-
mações provenientes de diferentes textos e imagens. Antes de iniciar o trabalho do 
bimestre com os alunos, sugerimos que você selecione essas seções em cada capítulo, 
reservando um espaço adequado para cada uma em seu planejamento.
A seção Atividades apresenta exercícios com outro objetivo: sistematizar, de 
maneira direta, os conteúdos trabalhados. A seção está localizada, geralmente, ao final 
de cada capítulo, antes do mapa conceitual. Sugerimos duas possibilidades para você 
desenvolver o trabalho com ela:
• selecionar as atividades de acordo com a sequência do conteúdo, auxiliando os 
alunos a resolvê-las em casa;
• trabalhar com todas elas ao final do capítulo, como revisão do que foi estudado.
73MATEMÁTICA
Milleflore Im
ages/Shu
tterstoc
k
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
Divisores de um número natural 
Entre os anos 280 a.C. e 416 d.C., a biblioteca de Alexandria reuniu 
o maior acervo de cultura e ciência que existiu na Antiguidade. Não se 
contentando em ser apenas um enorme depósito de rolos de papiros e 
livros, tornou-se fonte de instigação aos homens das Ciências e das Letras, 
que desbravaram o mundo de diversas áreas do conhecimento, deixando, 
assim, um notável legado para o desenvolvimento geral da humanidade.
Pensando na organização de uma biblioteca, imagine que um 
bibliotecário precisa organizar 36 livros em 3 prateleiras com a mesma 
quantidade de livros.
• Isso é possível? Quantos livros seriam colocados em cada prateleira? 
• E se fossem 4 prateleiras? Seria possível dividir os livros em 4 prateleiras com a mesma quanti-
dade de livros em cada uma? 
• Seria possível organizar os livros em 7 prateleiras com a mesma quantidade de livros emcada uma?
36 3
–3 12
 6
–6
0
Resto zero.
36 4
–36 9
0
Resto zero.
36 7
–35 5
 1
Resto 
diferente 
de zero.
Observe que, ao dividirmos 36 por 3 ou por 4, obtivemos resto igual a zero.
Assim, dizemos que:
• 36 é divisível por 3 e 4; • 3 e 4 são divisores de 36.
Um número natural é divisor de outro número natural quando o resto da divisão entre eles 
é igual a zero.
Observe que todos os números são divisíveis por 1 e que o maior divisor de um número é ele 
mesmo. Dessa forma, se dividirmos 36 por todos os números naturais menores que ele, encontramos 
seus divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
 Exemplos:
2 é divisor de 76?
Vamos verificar, dividindo 76 por 2.
76 2
–6 38
16
–16
0
Resto zero = divisão exata.
Logo, 2 é divisor de 76 ou 76 é divisível por 2.
3 é divisor de 54?
Vamos verificar, dividindo 54 por 3.
54 3
–3 18
24
–24
0
Resto zero = divisão exata.
Logo, 3 é divisor de 54 ou 54 é divisível por 3.
In
-F
in
ity
/S
hu
tt
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st
oc
k
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tterstoc
k
Milleflore Im
ages/Shu
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un
idade
72
Escola Digital
4
• Múltiplos de um número natural 
e critérios de divisibilidade
• Divisores de um número natural
• Números primos e compostos
• MMC e MDC
• Uso dos critérios de 
 divisibilidade de um número
1. Múltiplos e divisores
Montar embalagens com balas, iogurtes, peças, figurinhas, garrafas e tantos outros objetos é uma 
tarefa comum na vida de muitos profissionais.
Se precisarmos organizar 216 balas de morango em 8 embalagens, será que haverá sobras? E se qui-
sermos organizar 72 chocolates também em 8 embalagens?
Representação simbóli
ca e
divisibilidade
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 72PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 72 02/12/2020 14:27:0202/12/2020 14:27:02
73MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Inicialmente, ao apresentar o problema de organização de uma biblioteca, 
baseando-se nas dificuldades que os alunos apresentaram durante a realização do 
problema proposta na abertura do capítulo, é interessante apresentar situações mais 
simples, por exemplo: organizar 20 livros em duas prateleiras, organizar 15 livros em 
três prateleiras e assim por diante, de forma a gerar familiaridade e confiança nos alu-
nos para, então, trabalhar o que é apresentado no ícone Oralidade. 
Espera-se que, depois de realizar a atividade, os alunos consigam concluir que a 
divisão exata é aquela em que o resto é igual a zero.
Ao final, oralmente, proponha aos alunos que encontrem outros produtos de dois 
fatores que resultem em 36. Você pode mostrar a eles que os termos equidistantes da 
sequência 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, quando multiplicados, resultam em 36.
Resposta
As respostas para o ícone 
Oralidade são:
• Sim. 12 livros em cada 
prateleira.
• Sim. 9 livros em cada 
prateleira.
• Não. Colocando 5 livros em 
cada prateleira, sobraria 1 livro.
Dica para ampliar 
o trabalho
Este tópico traz uma boa 
oportunidade de trabalhar com 
os alunos o jogo Trilha do Resto 
• Disponível em: http://url.sae.
digital/vagYBsw. Acesso em: 
23 out. 2019.
Com o mesmo tabuleiro 
e ainda durante a atividade, 
pode-se começar o questiona-
mento com relação aos critérios 
de divisibilidade dos números 
apresentados no jogo pelos 
números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
73MATEMÁTICA
Milleflore Im
ages/Shu
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k
EF
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_M
AT
_L
2_
U
4_
01
Divisores de um número natural 
Entre os anos 280 a.C. e 416 d.C., a biblioteca de Alexandria reuniu 
o maior acervo de cultura e ciência que existiu na Antiguidade. Não se 
contentando em ser apenas um enorme depósito de rolos de papiros e 
livros, tornou-se fonte de instigação aos homens das Ciências e das Letras, 
que desbravaram o mundo de diversas áreas do conhecimento, deixando, 
assim, um notável legado para o desenvolvimento geral da humanidade.
Pensando na organização de uma biblioteca, imagine que um 
bibliotecário precisa organizar 36 livros em 3 prateleiras com a mesma 
quantidade de livros.
• Isso é possível? Quantos livros seriam colocados em cada prateleira? 
• E se fossem 4 prateleiras? Seria possível dividir os livros em 4 prateleiras com a mesma quanti-
dade de livros em cada uma? 
• Seria possível organizar os livros em 7 prateleiras com a mesma quantidade de livros em cada uma?
36 3
–3 12
 6
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Resto zero.
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–36 9
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Resto zero.
36 7
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 1
Resto 
diferente 
de zero.
Observe que, ao dividirmos 36 por 3 ou por 4, obtivemos resto igual a zero.
Assim, dizemos que:
• 36 é divisível por 3 e 4; • 3 e 4 são divisores de 36.
Um número natural é divisor de outro número natural quando o resto da divisão entre eles 
é igual a zero.
Observe que todos os números são divisíveis por 1 e que o maior divisor de um número é ele 
mesmo. Dessa forma, se dividirmos 36 por todos os números naturais menores que ele, encontramos 
seus divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
 Exemplos:
2 é divisor de 76?
Vamos verificar, dividindo 76 por 2.
76 2
–6 38
16
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Resto zero = divisão exata.
Logo, 2 é divisor de 76 ou 76 é divisível por 2.
3 é divisor de 54?
Vamos verificar, dividindo 54 por 3.
54 3
–3 18
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Resto zero = divisão exata.
Logo, 3 é divisor de 54 ou 54 é divisível por 3.
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Escola Digital
4
• Múltiplos de um número natural 
e critérios de divisibilidade
• Divisores de um número natural
• Números primos e compostos
• MMC e MDC
• Uso dos critérios de 
 divisibilidade de um número
1. Múltiplos e divisores
Montar embalagens com balas, iogurtes, peças, figurinhas, garrafas e tantos outros objetos é uma 
tarefa comum na vida de muitos profissionais.
Se precisarmos organizar 216 balas de morango em 8 embalagens, será que haverá sobras? E se qui-
sermos organizar 72 chocolates também em 8 embalagens?
Representação simbóli
ca e
divisibilidade
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 73PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 73 02/12/2020 14:27:0502/12/2020 14:27:05
74 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Apresente os critérios de 
divisibilidade como facilita-
dores e incentive a análise de 
cada item. Se preferir, reúna os 
alunos em duplas para que eles 
possam levantar hipóteses e, 
depois, validá-las com o grupo. 
Evite apresentar somente a 
regra. Nesse momento, todos 
os critérios de divisibilidade são 
apresentados em sequência, 
para que o aluno faça cone-
xões entre cada um deles. Por 
exemplo, para descobrir se um 
número é divisível por 6, o aluno 
precisa compreender e relacio-
nar os conceitos de divisibili-
dade por 2 e 3. Na sequência, 
o aluno encontrará atividades 
em ordem para que aplique os 
conceitos recém-vistos. 
O trabalho será desenvol-
vido com mais fluidez caso os 
alunos não enfrentem dificulda-
des relacionadas à multiplicação 
e à divisão de quaisquer núme-
ros, portanto é interessante que 
se retomem os conceitos das 
quatro operações fundamentais. 
Esses conceitos podem ser abor-
dados por meio de um jogo ou 
uma atividade lúdica. Sugestão 
de jogo: 
• Robô Logico. Disponível 
em: http://www.
escolagames.com.br/jogos/
roboLogico/?deviceType=
computer. Acesso em: 8 jul. 
2018.
Resposta
As respostas para a seção 
Atividades estão no livro do aluno.
As respostas para os ícones 
Oralidade são:
Divisibilidade por 2
• As divisões que têm resto 
igual a zero são: 22 e 46.
• Resposta pessoal. Espera-se 
que os alunos percebam que 
são todos pares.
Divisibilidade por 3
• 60, 63, 66 e 69.
• As somas resultam em 6, 9 
e 12. Ao dividir todos por 3, o 
resto será 0.
• 102, 234, 99 e 3 000.
75MATEMÁTICA
EF
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_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
Divisibilidade por 6 
Sabemos que 6 = 2 · 3 e, por isso, dividir por 6 é o mesmo que dividir por 2 e depois por 3. 
Portanto, o critério de divisibilidade por 6 é a combinação dos critérios de divisibilidade por 2 e por 3.
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
 Exemplos:
•234 → É divisível por 2 porque é par e é divisível por 3 porque 2 + 3 + 4 = 9; logo, é divisível por 6
• 182 → É divisível por 2 porque é par e não é divisível por 3 porque 1 + 8 + 2 = 11; logo, não é divisível por 6.
Portanto, um número é divisível por 6 quando ele é par e a soma dos seus algarismos é um múl-
tiplo de 3.
Divisibilidade por 4
Os números a seguir são divisíveis por 4. Isso significa que, ao dividi-los por 4, o resto da divisão 
será igual a zero. Observe os dois últimos algarismos de cada número.
124, 100, 236, 328, 1 024, 1 200 e 716.
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois 
últimos algarismos da direita for divisível por 4.
 Exemplos:
• 5 728→ 28 : 4 = 7 e resto zero; logo, 5 728 é divisível por 4.
• 1 200→ Termina em 00; logo, é divisível por 4.
Divisibilidade por 8
Como o número 8 é igual a 4 · 2, será que o critério de divisibilidade por 8 tem algo a ver com os 
critérios de divisibilidade por 2 e por 4?
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus 
três últimos algarismos da direita for divisível 8.
 Exemplos:
• 5 000→ Termina em 000; logo, 5 000 é divisível por 8.
• 4 864→ 864 :  8 = 608 e resto zero; logo, 4 864 é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Como o número 9 é igual a 3 · 3, será que o critério de divisibilidade por 9 tem algo a ver com o 
critério de divisibilidade por 3?
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9.
 Exemplos:
• 2 871 → 2 + 8 + 7 + 1 = 18 → 18 : 9 = 2 e resto zero; logo, 2 871 é divisível por 9.
• 3 546 → 3 + 5 + 4 + 6 = 18 → 18 : 9 = 2 e resto zero; logo, 3546 é divisível por 9.
Soma dos algarismos.
Soma dos algarismos.
74 MATEMÁTICA
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
1. Escreva V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.
 a) ( ) 9 é divisor de 54.
 c) ( ) 13 é divisor de 91.
 e) ( ) 12 é divisor de 144.
 b) ( ) 15 é divisor de 5. 
 d) ( ) 31 é divisor de 69. 
ATIVIDADES
Critérios de divisibilidade 
Verificar se um número natural é divisível por outro número natural por meio de divisões pode ser 
um processo trabalhoso e, muitas vezes, demorado. Porém, existem algumas regras, chamadas critérios 
de divisibilidade, que facilitam a realização dessa verificação. 
Divisibilidade por 2 
• Quais das divisões a seguir têm resto igual a zero?
17 2
 1 8
22 2
 0 11
63 2
 1 31
46 2
 0 23
 9 2
 1 4
• O que os números que têm resto zero têm em comum? 
Um número é divisível por 2 quando for par.
Divisibilidade por 3 
Os números a seguir fazem parte de uma sequência de números divisíveis por 3. Isso significa que, 
ao dividi-los por 3, o resto é igual a zero. Observe:
... 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, ...
• Quais serão os próximos quatro números dessa sequência?
• Adicione os algarismos de cada um dos números dessa sequência e divida cada uma dessas 
somas por 3. Quais valores você obteve como resultado? O que eles têm em comum?
• Sem dividir os números por 3, que números fazem parte da sequência anterior? 
102, 64, 234, 99, 301 e 3 000. 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. 
 Exemplos:
• 1 902 → 1 + 9 + 0 + 2 = 12 →12 : 3 = 4 e resto zero; logo, 1 902 é divisível por 3.
• 2 759 → 2 + 7 + 5 + 9 = 23 → 23 : 3 = 7 e resto 2; logo, 2 759 não é divisível por 3.
•
•
•
Soma dos algarismos.
Soma dos algarismos.
V
V
V
F
F
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 74PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 74 02/12/2020 14:27:0802/12/2020 14:27:08
75MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Nesse momento são apresentados os critérios de divisibilidade por 6, 4, 8 e 9. 
Neste momento, faça a relação entre os critérios dos números com os respectivos fato-
res primos, como no caso do 6, que tem como critério a combinação do 2 e 3, ou do 9, 
que tem critério análogo à propriedade do 3.
Resposta
Resposta para o primeiro ícone Oralidade:
Divisibilidade por 8
Espera-se que os alunos discutam a respeito do critério de divisibilidade do 8 
levantando hipóteses. O intuito é de que uma vez que seja apresentado o critério, eles 
notem a semelhança com o critério do 4.
Resposta para o segundo 
ícone Oralidade:
Divisibilidade por 9
Espera-se que os alunos, 
sabendo do critério do 6, con-
jecturem a respeito do qual seria 
o critério do 9, para quando for 
definido o critério, eles notem a 
semelhança com o critério do 3.
Orientação para RA
Esta Realidade aumen-
tada traz mais dois critérios 
de divisibilidade: por 6 e por 
7. Apresente-os e explique-os
aos alunos. Em seguida, realize 
alguns exemplos no quadro 
e solicite a eles que analisem 
alguns números e citem quais 
deles são divisíveis por 6, por 7 e 
quais não são divisíveis por 6 ou 
por 7. Os alunos devem res-
ponder sem efetuar os cálculos, 
apenas utilizando os critérios 
apresentados. 
Dica para ampliar 
o trabalho
No site indicado a se-
guir, das páginas 26 a 31, há 
um texto sobre critérios de
multiplicidade. 
• HEFEZ, Abramo. Iniciação 
à aritmética. Disponível em: 
www.obmep.org.br/docs/ 
apostila1.pdf. Acesso em: 29 
out. 2019.
75MATEMÁTICA
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_M
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2_
U
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01
Divisibilidade por 6 
Sabemos que 6 = 2 · 3 e, por isso, dividir por 6 é o mesmo que dividir por 2 e depois por 3. 
Portanto, o critério de divisibilidade por 6 é a combinação dos critérios de divisibilidade por 2 e por 3.Portanto, o critério de divisibilidade por 6 é a combinação dos critérios de divisibilidade por 2 e por 3.
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
 Exemplos:
• 234 → É divisível por 2 porque é par e é divisível por 3 porque 2 + 3 + 4 = 9; logo, é divisível por 6
• 182 → É divisível por 2 porque é par e não é divisível por 3 porque 1 + 8 + 2 = 11; logo, não é divisível por 6.
Portanto, um número é divisível por 6 quando ele é par e a soma dos seus algarismos é um múl-
tiplo de 3.
Divisibilidade por 4
Os números a seguir são divisíveis por 4. Isso significa que, ao dividi-los por 4, o resto da divisão 
será igual a zero. Observe os dois últimos algarismos de cada número.
124, 100, 236, 328, 1 024, 1 200 e 716.
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois 
últimos algarismos da direita for divisível por 4.
 Exemplos:
• 5 728→ 28 : 4 = 7 e resto zero; logo, 5 728 é divisível por 4.
• 1 200→ Termina em 00; logo, é divisível por 4.
Divisibilidade por 8
Como o número 8 é igual a 4 · 2, será que o critério de divisibilidade por 8 tem algo a ver com os 
critérios de divisibilidade por 2 e por 4?
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus 
três últimos algarismos da direita for divisível 8.
 Exemplos:
• 5 000→ Termina em 000; logo, 5 000 é divisível por 8.
• 4 864→ 864 :  8 = 608 e resto zero; logo, 4 864 é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Como o número 9 é igual a 3 · 3, será que o critério de divisibilidade por 9 tem algo a ver com o 
critério de divisibilidade por 3?critério de divisibilidade por 3?
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for divisível por 9.
 Exemplos:
• 2 871 → 2 + 8 + 7 + 1 = 18 → 18 : 9 = 2 e resto zero; logo, 2 871 é divisível por 9.
• 3 546 → 3 + 5 + 4 + 6 = 18 → 18 : 9 = 2 e resto zero; logo, 3546 é divisível por 9.
Como o número 8 é igual a 4 · 2, será que o critério de divisibilidade por 8 tem algo a ver com os 
critérios de divisibilidade por 2 e por 4?
Como o número 9 é igual a 3 · 3, será que o critério de divisibilidade por 9 tem algo a ver com o 
critério de divisibilidade por 3?critério de divisibilidade por 3?
Soma dos algarismos.
Soma dos algarismos.
74 MATEMÁTICA
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_M
AT
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01
EF
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_6
_M
AT
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2_
U
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01
1. Escreva V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.
 a) ( ) 9 é divisor de 54.
 c) ( ) 13 é divisor de 91.
 e) ( ) 12 é divisor de 144.b) ( ) 15 é divisor de 5. 
 d) ( ) 31 é divisor de 69. 
ATIVIDADES
Critérios de divisibilidade 
Verificar se um número natural é divisível por outro número natural por meio de divisões pode ser 
um processo trabalhoso e, muitas vezes, demorado. Porém, existem algumas regras, chamadas critérios 
de divisibilidade, que facilitam a realização dessa verificação. 
Divisibilidade por 2 
• Quais das divisões a seguir têm resto igual a zero?
17 2
 1 8
22 2
 0 11
63 2
 1 31
46 2
 0 23
 9 2
 1 4
• O que os números que têm resto zero têm em comum? 
Um número é divisível por 2 quando for par.
Divisibilidade por 3 
Os números a seguir fazem parte de uma sequência de números divisíveis por 3. Isso significa que, 
ao dividi-los por 3, o resto é igual a zero. Observe:
... 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, ...
• Quais serão os próximos quatro números dessa sequência?
• Adicione os algarismos de cada um dos números dessa sequência e divida cada uma dessas 
somas por 3. Quais valores você obteve como resultado? O que eles têm em comum?
• Sem dividir os números por 3, que números fazem parte da sequência anterior? 
102, 64, 234, 99, 301 e 3 000. 
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3. 
 Exemplos:
• 1 902 → 1 + 9 + 0 + 2 = 12 →12 : 3 = 4 e resto zero; logo, 1 902 é divisível por 3.
• 2 759 → 2 + 7 + 5 + 9 = 23 → 23 : 3 = 7 e resto 2; logo, 2 759 não é divisível por 3.
Soma dos algarismos.
Soma dos algarismos.
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 75PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 75 02/12/2020 14:27:0902/12/2020 14:27:09
76 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação suge-
re-se, como atividade extra ou 
como sistematização ao final 
do conteúdo de critérios de 
divisibilidade, a construção de 
um modelo de algoritmo com 
os alunos, visando a reforçar a 
habilidade EF06MA04, que bus-
ca solucionar situações por meio 
de fluxogramas, e ainda atingir 
a habilidade EF06MA05, no que 
tange os critérios de divisibili-
dade. Apresente-os modelos 
de fluxogramas para que eles 
consigam estabelecer relação 
com o conteúdo.
Resposta
Resposta para o primeiro 
ícone Oralidade:
Divisibilidade por 5
Espera-se que os alunos 
percebam que os algarismos 
das unidades sempre terminam 
em 0 ou 5.
Resposta para o segundo 
ícone Oralidade:
..., 30, 40, 50, 60, 70, ...
Resposta para o terceiro 
ícone Oralidade:
Espera-se que os alunos, 
sabendo qual é o critério do 10, 
deduzam o critério do 100.
Resposta para o quarto 
ícone Oralidade:
Espera-se que os alunos, 
sabendo qual é o critério do 10 
e do 100, deduzam o critério do 
1 000.
Resposta
1. As respostas estão no Livro 
do aluno.
2. As respostas estão no Livro 
do aluno.
3. 
a) 7
b) 0 ou 9 (qualquer um 
dos números que os alunos 
escolham é valido).
c) 0 ou 9 (qualquer um 
dos números que os alunos 
escolham é valido).
d) 4
4. As respostas estão no livro do 
aluno.
77MATEMÁTICA
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01
Números primos e números compostos 
Os números naturais que apresentam apenas dois divisores (o número 1 e o próprio número) são
chamados números primos.
Números compostos são números naturais que apresentam mais de dois divisores.
O número 1 não é primo nem composto.
Decomposição em fatores primos
Na multiplicação, os termos que estão multiplicando são chamados fatores. Por exemplo, na ex-
pressão 3 · 2, temos 2 como fator de 3 e 3 como fator de 2, pois um está multiplicando o outro. Quando 
temos um número composto, podemos decompô-lo em seus fatores, que são os números primos que 
o dividem.
15
15 = 3 · 5
3 5
30 = 3 · 2 · 5
30
3
2
10
5
Não é primo.
27 = 3 · 3 · 3
27
3
3
9
3
Não é primo.
1. Utilizando o processo prático de fatoração, fatore o número 75.
 Solução:
1.º) Escrevemos o número e, ao lado dele, 
traçamos um risco vertical.
75 
2.º) Escolhemos o primeiro e menor de seus 
divisores primos e efetuamos a divisão. Neste caso, 
vamos iniciar com o número 3.
75 3
25
COLOCANDO EM PRÁTICA
3. Descubra o algarismo que está faltando em cada número para que ele seja divisível por 9.
a) 65 ? : 
c) 8 ? 1: 
b) 1 ? 98: 
d) 55 ? 4: 
4. Utilizando o critério de divisibilidade por 10, complete as alternativas com é divisível ou não 
é divisível.
a) 720: 
c) 9 470: 
e) 5 647: 
b) 1 998: 
d) 6 311: 
f) 1 400: 
5. Considere o número 8A5B. Substitua A e B por algarismos, de modo a obter um número divi-
sível por 2, 3, 9 e 10, simultaneamente.
76 MATEMÁTICA
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01
1. Utilizando o critério de divisibilidade por 3, complete as alternativas com é divisível ou não 
é divisível.
a) 27: 
c) 127: 
e) 364: 
b) 135: 
d) 369: 
f) 465: 
2. Utilizando o critério de divisibilidade por 4, complete as alternativas com é divisível ou não 
é divisível.
a) 400: 
c) 658: 
e) 1 364: 
b) 1 793: 
d) 2 697: 
f) 4 971: 
ATIVIDADES
Divisibilidade por 5
Os números a seguir fazem parte de uma sequência de números divisíveis por 5. Isso significa que, 
ao dividi-los por 5, o resto é igual a zero. Observe:
... 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...
O que você observa quanto aos algarismos das unidades dos termos dessa sequência?O que você observa quanto aos algarismos das unidades dos termos dessa sequência?
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Divisibilidade por 10, 100 e 1 000
Como 10 é igual a 5 · 2, o critério de divisibilidade por 10 é uma combinação dos critérios de divisi-
bilidade por 5 e por 2. Um número é divisível por 10 quando é divisível por 5 e por 2 ao mesmo tempo.
Vamos observar a sequência de números divisíveis por 5:
... 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...
Quais desses números também são divisíveis por 2?Quais desses números também são divisíveis por 2?
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
E quando um número é divisível por 100?
Sabemos que 100 é igual a 10 · 10, portanto, dividir por 100 é o mesmo que dividir por 10 duas 
vezes seguidas.vezes seguidas.
Um número é divisível por 100 quando termina em 00.
Seguindo o mesmo raciocínio, quando um número é divisível por 1 000?Seguindo o mesmo raciocínio, quando um número é divisível por 1 000?
Um número é divisível por 1 000 quando termina em 000.
O que você observa quanto aos algarismos das unidades dos termos dessa sequência?
Quais desses números também são divisíveis por 2?
E quando um número é divisível por 100?
Sabemos que 100 é igual a 10 · 10, portanto, dividir por 100 é o mesmo que dividir por 10 duas 
vezes seguidas.
Seguindo o mesmo raciocínio, quando um número é divisível por 1 000?
Vamos construir um fluxograma? Reúna-se com seu colega para montar um fluxograma a respeito 
dos critérios de divisibilidade que você aprendeu. Você pode usar cartolina para apresentar os dados.
INTERAÇÃO
É divisível Não é divisível
Não é divisível Não é divisível
É divisível Não é divisível
É divisível É divisível
Não é divisível É divisível
Não é divisível É divisível
5. A = 5 e B = 0.
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 76PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 76 02/12/2020 14:27:1102/12/2020 14:27:11
77MATEMÁTICA
Encaminhamento metodológico
Na seção Colocando em prática, é apresentado o dispositivo prático de fatoração. 
Comente com os alunos que não começaremos pelo menor número primo (2), porque 
o número 75 não é divisível por ele. A fatoração será iniciada pelo menor número primo 
possível, aquele que divide o número, neste caso, o 3. Aproveite para desenvolver no-
vos exemplos que comecem por 2, 5, 7 etc.
Sugestão de atividade
Apresente a tabela a seguir com os números e seus divisores e peça aos alunos 
que a observem. Em seguida, pergunte: Há uma regra para a quantidade de divisores 
distintos de um número? Todo número tem pelo menos um divisor? Pergunte, ainda, 
que outros fatos eles observaram. Aproveite para enfatizar o uso das expressões é multi-
plo de e é divisor de em vistas de desenvolver a habilidade EF06MA05.
Nestatabela estão todos 
os divisores dos números natu-
rais de 11 a 20.
Número Divisores
11 1, 11
12 1, 2, 3, 4, 6, 12
13 1, 13
14 1, 2, 7, 14
15 1, 3, 5, 15
16 1, 2, 4, 8, 16
17 1, 17
18 1, 2, 3, 6, 9, 18
19 1, 19
20 1, 2, 4, 5, 10, 20
Qual é o único número divisor 
de todos os outros?
 Solução: 1
É correto afirmar que todo 
número ímpar tem apenas dois 
divisores?
 Solução:
Não. O 15, por exemplo, tem 4 
divisores.
Quais números têm apenas dois 
divisores: 1 e ele mesmo?
 Solução: 11, 13, 17 e 19.
77MATEMÁTICA
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01
Números primos e números compostos 
Os números naturais que apresentam apenas dois divisores (o número 1 e o próprio número) são
chamados números primos.
Números compostos são números naturais que apresentam mais de dois divisores.compostos são números naturais que apresentam mais de dois divisores.
O número 1 não é primo nem composto.
Decomposição em fatores primos
Na multiplicação, os termos que estão multiplicando são chamados fatores. Por exemplo, na ex-
pressão 3 · 2, temos 2 como fator de 3 e 3 como fator de 2, pois um está multiplicando o outro. Quando 
temos um número composto, podemos decompô-lo em seus fatores, que são os números primos que 
o dividem.
15
15 = 3 · 5
3 5
30 = 3 · 2 · 5
30
3
2
10
5
Não é primo.
27 = 3 · 3 · 3
27
3
3
9
3
Não é primo.
1. Utilizando o processo prático de fatoração, fatore o número 75.
 Solução:
1.º) Escrevemos o número e, ao lado dele, 
traçamos um risco vertical.
75 
2.º) Escolhemos o primeiro e menor de seus 
divisores primos e efetuamos a divisão. Neste caso, 
vamos iniciar com o número 3.
75 3
25
COLOCANDO EM PRÁTICA
3. Descubra o algarismo que está faltando em cada número para que ele seja divisível por 9.
a) 65 ? : 
c) 8 ? 1: 
b) 1 ? 98: 
d) 55 ? 4: 
4. Utilizando o critério de divisibilidade por 10, complete as alternativas com é divisível ou não 
é divisível.
a) 720: 
c) 9 470: 
e) 5 647: 
b) 1 998: 
d) 6 311: 
f) 1 400: 
5. Considere o número 8A5B. Substitua A e B por algarismos, de modo a obter um número divi-
sível por 2, 3, 9 e 10, simultaneamente.
76 MATEMÁTICA
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
1. Utilizando o critério de divisibilidade por 3, complete as alternativas com é divisível ou não 
é divisível.
a) 27: 
c) 127: 
e) 364: 
b) 135: 
d) 369: 
f) 465: 
2. Utilizando o critério de divisibilidade por 4, complete as alternativas com é divisível ou não 
é divisível.
a) 400: 
c) 658: 
e) 1 364: 
b) 1 793: 
d) 2 697: 
f) 4 971: 
ATIVIDADES
Divisibilidade por 5
Os números a seguir fazem parte de uma sequência de números divisíveis por 5. Isso significa que, 
ao dividi-los por 5, o resto é igual a zero. Observe:
... 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...
O que você observa quanto aos algarismos das unidades dos termos dessa sequência?
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Divisibilidade por 10, 100 e 1 000
Como 10 é igual a 5 · 2, o critério de divisibilidade por 10 é uma combinação dos critérios de divisi-
bilidade por 5 e por 2. Um número é divisível por 10 quando é divisível por 5 e por 2 ao mesmo tempo.
Vamos observar a sequência de números divisíveis por 5:
... 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...
Quais desses números também são divisíveis por 2?
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
E quando um número é divisível por 100?
Sabemos que 100 é igual a 10 · 10, portanto, dividir por 100 é o mesmo que dividir por 10 duas 
vezes seguidas.
Um número é divisível por 100 quando termina em 00.
Seguindo o mesmo raciocínio, quando um número é divisível por 1 000?
Um número é divisível por 1 000 quando termina em 000.
Vamos construir um fluxograma? Reúna-se com seu colega para montar um fluxograma a respeito 
dos critérios de divisibilidade que você aprendeu. Você pode usar cartolina para apresentar os dados.
INTERAÇÃO
É divisível Não é divisível
É divisível Não é divisível
Não é divisível É divisível
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 77PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 77 02/12/2020 14:27:1102/12/2020 14:27:11
78 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Desenvolver e 
aplicar, é proposto aos alunos 
que, por meio de um método 
criado há muitos anos, explorem 
os números primos. Instigue os 
alunos a continuar o quadro até 
60, 70 ou 100.
Dica para ampliar 
o trabalho
Neste artigo, encontram-se 
informações complementares 
sobre os números primos e o 
fascínio em torno deles. 
• WEISSMAN, Martin. Por 
que números primos ainda 
fascinam os matemáticos, 
2 300 anos depois. Nexo. São 
Paulo, 21 abr. 2018. Disponível 
em: http://url.sae.digital/
G3PkNM9. Acesso em: 28 out. 
2019.
79MATEMÁTICA
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
Múltiplos de um número natural 
Encontramos o múltiplo de um número natural ao multiplicá-lo por 0, 1, 2, 3, 4... ou qualquer outro 
número natural. 
Para entender melhor, vamos montar uma tabela. Complete as multiplicações a seguir. 
5 · 0 =
5 · 1 =
5 · 2 =
5 · 3 =
5 · 4 =
5 · 5 =
5 · 6 =
5 · 7 =
5 · 8 =
5 · 9 =
5 · 10 =
• O que você observa da tabela que você preencheu?
• Como podemos encontrar os múltiplos de outros números naturais? 
Os valores preenchidos na tabela acima são divisíveis por 5 e, consequentemente, múltiplos de 5.
Observe que o número 20 é divisível por 5. Assim, como 5 · 4 = 20, dizemos que 20 é múltiplo de 5. 
Um número natural a é múltiplo de um número natural b
(diferente de zero) se a for divisível por b.
Outro exemplo de múltiplo de 5 é o número 15. No entanto, também encontramos esse número 
como múltiplo de 3. Assim, constatamos que 15 é múltiplo de 5 e de 3, pois ambos os resultados dessas 
divisões dão resto igual a zero.
O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos, portanto, o conjunto dos múltiplos 
também será infinito, já que a multiplicação de dois números naturais sempre resultará em um 
número natural.
PARA SABER MAIS
Dessa forma:
• Um número natural é múltiplo de todos os seus divisores.
• O menor múltiplo natural de qualquer número natural é sempre o zero.
• Não existe o maior múltiplo de um número natural, pois a sequência dos números naturais é infinita.
• Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
78 MATEMÁTICA
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
3.º) Escolhemos, agora, o menor divisor 
primo de 25 e efetuamos a divisão.
75 3
25 5
5
4.º) Escolhemos um dos fatores primos de 
5, ou seja, 5, e efetuamos a divisão.
75 3
25 5
5 5
1
Esse processo é executado até atingirmos o número 1 na coluna do lado esquerdo.
Logo, a decomposição do número 75 em fatores primos fica: 
75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 52
+
Eratóstenes (273-192 a.C.), bibliotecário de Alexandria, era famoso 
por sua descrição apurada da circunferência da Terra e por desenvolver 
um método que consistia em encontrar números primos, conhecido 
pelo nome de Crivo de Eratóstenes.
O Crivo consistia em um método simples para isolar os números 
primos em dado conjunto de números naturais. Os números eram 
dispostos em ordem crescente em uma tábua, sendo furados os nú-
meros compostos.
No quadro a seguir, é possível descobrir os números primos entre 
1 e 50. Depois de observá-lo, faça o que se pede.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• Risque o número 1.
• O número 2 é primo, mas os números que são divisíveis por 2 não são. Risque-os.
• O número 3 é primo, mas os números que são divisíveis por 3 não são. Risque-os.
• Seguindo o mesmo raciocínio para os números 5, 7 e 11, que são primos, risque os números 
que tem 5, 7 ou 11 como divisor.
• Circule os números que sobraram. Os números circulados são os primos.
DESENVOLVER E APLICAR
Eratóstenes.
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 78PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 78 02/12/2020 14:27:1402/12/2020 14:27:14
79MATEMÁTICA
Sugestão de atividade
O artigo a seguir discorre sobre a importância e as possíveis maneirasde fazer 
com que a tabuada tenha mais sentido para os alunos. 
• SANTOMAURO, Beatriz. Um novo jeito de ensinar a tabuada. Nova Escola. São 
Paulo, 1.º dez. 2011. Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/162/novo-
jeito-ensinar-tabuada. Acesso em: 29 out. 2019.
Pode-se propor a montagem de uma tabela para que esses valores sejam observa-
dos com mais facilidade.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alguns comandos e ques-
tionamentos podem ser feitos:
• Circule os valores da 
diagonal principal – esses 
números são quadrados 
perfeitos.
• Pinte os múltiplos de 2 de 
azul e os múltiplos de 3 de 
vermelho. Alguns números 
foram pintados com as duas 
cores, o que isso significa?
Por meio das investigações 
para responder aos questiona-
mentos do professor, os alunos 
formalizarão os seus aprendiza-
dos em classe. 
Resposta
As respostas para o 
ícone Oralidade são pessoais, 
mas espera-se que o aluno
perceba a regularidade da 
tabuada do 5 e a possibilida-
de de encontrar os múltiplos
efetuando a multiplicação de 
números naturais.
79MATEMÁTICA
EF
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_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
Múltiplos de um número natural 
Encontramos o múltiplo de um número natural ao multiplicá-lo por 0, 1, 2, 3, 4... ou qualquer outro 
número natural. 
Para entender melhor, vamos montar uma tabela. Complete as multiplicações a seguir. 
5 · 0 =
5 · 1 =
5 · 2 =
5 · 3 =
5 · 4 =
5 · 5 =
5 · 6 =
5 · 7 =
5 · 8 =
5 · 9 =
5 · 10 =
• O que você observa da tabela que você preencheu?
• Como podemos encontrar os múltiplos de outros números naturais? 
Os valores preenchidos na tabela acima são divisíveis por 5 e, consequentemente, múltiplos de 5.
Observe que o número 20 é divisível por 5. Assim, como 5 · 4 = 20, dizemos que 20 é múltiplo de 5. 
Um número natural a é múltiplo de um número natural b
(diferente de zero) se a for divisível por b.
Outro exemplo de múltiplo de 5 é o número 15. No entanto, também encontramos esse número 
como múltiplo de 3. Assim, constatamos que 15 é múltiplo de 5 e de 3, pois ambos os resultados dessas 
divisões dão resto igual a zero.
•
•
O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos, portanto, o conjunto dos múltiplos 
também será infinito, já que a multiplicação de dois números naturais sempre resultará em um 
número natural.
PARA SABER MAIS
Dessa forma:
• Um número natural é múltiplo de todos os seus divisores.
• O menor múltiplo natural de qualquer número natural é sempre o zero.
• Não existe o maior múltiplo de um número natural, pois a sequência dos números naturais é infinita.
• Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
78 MATEMÁTICA
EF
21
_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
3.º) Escolhemos, agora, o menor divisor 
primo de 25 e efetuamos a divisão.
75 3
25 5
5
4.º) Escolhemos um dos fatores primos de 
5, ou seja, 5, e efetuamos a divisão.
75 3
25 5
5 5
1
Esse processo é executado até atingirmos o número 1 na coluna do lado esquerdo.
Logo, a decomposição do número 75 em fatores primos fica: 
75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 52
+
Eratóstenes (273-192 a.C.), bibliotecário de Alexandria, era famoso 
por sua descrição apurada da circunferência da Terra e por desenvolver 
um método que consistia em encontrar números primos, conhecido 
pelo nome de Crivo de Eratóstenes.
O Crivo consistia em um método simples para isolar os números 
primos em dado conjunto de números naturais. Os números eram 
dispostos em ordem crescente em uma tábua, sendo furados os nú-
meros compostos.
No quadro a seguir, é possível descobrir os números primos entre 
1 e 50. Depois de observá-lo, faça o que se pede.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
• Risque o número 1.
• O número 2 é primo, mas os números que são divisíveis por 2 não são. Risque-os.
• O número 3 é primo, mas os números que são divisíveis por 3 não são. Risque-os.
• Seguindo o mesmo raciocínio para os números 5, 7 e 11, que são primos, risque os números 
que tem 5, 7 ou 11 como divisor.
• Circule os números que sobraram. Os números circulados são os primos.
DESENVOLVER E APLICAR
Eratóstenes.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 79PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 79 02/12/2020 14:27:1502/12/2020 14:27:15
80 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação, os alu-
nos devem perceber a proprie-
dade de divisibilidade por 6.
É esperado que eles notem que 
os múltiplos de dois são nú-
meros pares em uma primeira 
observação. Após verificar os 
números que foram pintados 
nos dois quadrados, retome a 
tabuada do 6 e ajude na con-
clusão da análise, apresentando 
o enunciado do critério: se os 
números são múltiplos de 2 e de 
3, eles também são múltiplos de 
6. Com os processos investiga-
tivos, os alunos estarão traba-
lhando a habilidade EF06MA05.
Resposta
As respostas para a seção 
Interação estão no Livro do 
aluno e as respostas para as 
justificativas são pessoais.
Resposta para a seção 
Atividades:
1. As respostas estão no Livro 
do aluno.
Dica para ampliar 
o trabalho
Fatores e divisores de um 
número natural
Os números a seguir são os 
divisores de 36, ou seja, ao divi-
dir 36 por qualquer um deles, o 
resto da divisão será igual a 0.
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
O número 36 pode ser 
escrito como produto de dois 
fatores, como 4 e 9. Observe: 
4 · 9 = 36.
Dizemos que 4 e 9 são 
fatores de 36.
Solicite aos alunos que es-
crevam o número 36 usando ou-
tros divisores, como 1 · 2 · 3 · 6, 
entre outros.
81MATEMÁTICA
EF
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_6
_M
AT
_L
2_
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4_
01
Máximo divisor comum (MDC) 
Observe a seguinte situação:
Para recepcionar um grupo de estrangeiros que visitará a ilha de Fernando de Noronha, um guia 
de turismo pretende distribuir 30 bonés e 20 camisetas de forma que não sobre nenhum item. Sabendo 
que essa distribuição deve ser feita igualmente entre todos os estrangeiros, qual será o número máximo 
de pessoas que esse grupo pode ter?
Para que o guia possa repartir igualmente 30 bonés, o número de pessoas do grupo pode ser 
qualquer divisor de 30. É possível encontrar os divisores de 30 exercitando a fatoração em números 
primos. Assim, identificamos todas as combinações entre esses fatores.
30
Fatores primos
2
Divisores
2 Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
15 3 2 · 3 = 6 
5 5 2 · 5 = 10 e 
1 3 · 5 = 15
Vamos raciocinar da mesma forma para as 20 camisetas: para dividir 20 camisetas em quantidades 
iguais, o número de estrangeiros pode ser qualquer divisor de 20.
20
Fatores primos
2
Divisores
2 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. 
10 2 2 · 2 = 4 
5 5 2 · 5 = 10 
1
Observe que há divisores comuns de 20 e 30, são eles: 1, 2, 5 e 10. Esses divisores correspondem, 
portanto, ao número de pessoas que poderão formar o grupo de estrangeiros.
Logo, o número máximo de pessoas que esse grupo pode ter é 10. Dessa forma, podemos dizer 
que 10 é o máximo divisor comum entre 20 e 30.
O máximo divisor comum (MDC), ou maior divisor comum, entre dois ou mais números 
naturais diferentes de zero é o maior número que divide, ao mesmo tempo, todos esses números.
Método da decomposição simultânea 
Há um dispositivo prático para determinar o MDC entre dois ou mais números naturais. Inicialmente, 
decompomos os números dados em fatores primos. A seguir, retiramos das formas fatoradas os fatores 
comuns, cada um com o menor expoente. O produto desses fatores é o MDC procurado.
 Exemplo:
Vamos calcular o MDC entre 72 e 20 utilizando o 
método de decomposição simultânea.
72, 20 2
 36, 10 2
 18, 5Os fatores primos do MDC são os fatores comuns:
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
20 = 2 · 2 · 5
Assim, MDC(72, 20) = 2 · 2 = 4.
Fatores primos em comum.
Não há divisores em comum.
80 MATEMÁTICA
EF
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_6
_M
AT
_L
2_
U
4_
01
Vamos explorar um pouco mais as propriedades dos múltiplos.
Forme dupla com um colega e, nos quadrados abaixo, pintem os espaços que contêm números 
múltiplos ao quadrado central. Depois, respondam às questões a seguir.
23
54
15
40
50
63
4
21
12
17
25
48
9
32
18
59
23
54
15
40
50
63
4
21
12
17
25
48
9
32
18
59
2 3
• Quais foram os números pintados no primeiro quadro? O que é possível concluir sobre os 
números que são múltiplos de dois?
• Nós já falamos sobre os critérios de divisibilidade do número 3, então os múltiplos do nú-
mero 3 também seguem a mesma regra em que a soma dos seus algarismos deve ser um 
número múltiplo de 3. Partindo dessa ideia, vocês conseguem escrever uma regra para os 
múltiplos de 6? 
Dica: Iniciem suas respostas comparando os números que foram pintados nos dois quadrados. 
INTERAÇÃO
1. Complete o parágrafo a seguir com as expressões do quadro que preencham corretamente 
os espaços.
fatores – números compostos – números primos – múltiplos – divisor
Classificamos alguns números naturais em , ou seja, 
aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Todos os outros são formados por
 primos e são chamados de . 
Cada fator que compõe o número composto é também 
 desse número. Todos os resultados das multiplicações entre números naturais são
 desses números. 
ATIVIDADES
números primos
fatores números compostos
divisor
múltiplos
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 80PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 80 02/12/2020 14:27:1602/12/2020 14:27:16
81MATEMÁTICA
Dica para ampliar o trabalho
Explorando o MDC
• Dois ou mais números são ditos primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1.
MDC(11, 17) = 1
MDC(3, 5, 7) = 1
•O MDC entre dois ou mais números em que os maiores são divisíveis pelo menor é o 
menor número inteiro.
MDC (50, 150) = 50
MDC (70, 210, 280) = 70
No site a seguir, há uma exemplificação do cálculo do MDC e algumas atividades. 
Acesse o site e escolha o idioma Português. 
• Disponível em: www.hypatiamat.com/decomp_n_primos.php.
Método das divisões suces-
sivas (ou algoritmo de Euclides)
1.º) Divide-se o maior nú-
mero pelo menor número dado. 
Se o resto dessa divisão for zero, 
o MDC será o menor dos núme-
ros, que é o divisor.
2.º) Se o resto encontrado 
não for zero, efetuamos uma 
nova divisão do divisor pelo 
resto.
3.º) Repetimos esse proce-
dimento até encontrarmos resto 
zero; quando isso acontecer, o 
último divisor será o MDC dos 
números dados.
 Exemplo:
1. Determine o MDC entre 30 
e 54.
1.ª etapa – pelo Algoritmo de 
Euclides:
54 30
– 30 1
24
Resto diferente de zero.
1
54 30
24
2.ª etapa:
30 24
– 24 1
6
Resto diferente de zero.
1 1
54 30 24
24 6
3.ª etapa:
24 6
– 24 4
0
Resto zero, então o 
MDC será igual a 6.
1 1 4
54 30 24 6
24 6 0
Quociente
MDC
Resto
MDC(30, 54) = 6
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_M
AT
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2_
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01
Máximo divisor comum (MDC) 
Observe a seguinte situação:
Para recepcionar um grupo de estrangeiros que visitará a ilha de Fernando de Noronha, um guia 
de turismo pretende distribuir 30 bonés e 20 camisetas de forma que não sobre nenhum item. Sabendo 
que essa distribuição deve ser feita igualmente entre todos os estrangeiros, qual será o número máximo 
de pessoas que esse grupo pode ter?
Para que o guia possa repartir igualmente 30 bonés, o número de pessoas do grupo pode ser 
qualquer divisor de 30. É possível encontrar os divisores de 30 exercitando a fatoração em números 
primos. Assim, identificamos todas as combinações entre esses fatores.
30
Fatores primos
2
Divisores
2 Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
15 3 2 · 3 = 6 
5 5 2 · 5 = 10 e 
1 3 · 5 = 15
Vamos raciocinar da mesma forma para as 20 camisetas: para dividir 20 camisetas em quantidades 
iguais, o número de estrangeiros pode ser qualquer divisor de 20.
20
Fatores primos
2
Divisores
2 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. 
10 2 2 · 2 = 4 
5 5 2 · 5 = 10 
1
Observe que há divisores comuns de 20 e 30, são eles: 1, 2, 5 e 10. Esses divisores correspondem, 
portanto, ao número de pessoas que poderão formar o grupo de estrangeiros.
Logo, o número máximo de pessoas que esse grupo pode ter é 10. Dessa forma, podemos dizer 
que 10 é o máximo divisor comum entre 20 e 30.
O máximo divisor comum (MDC), ou maior divisor comum, entre dois ou mais números 
naturais diferentes de zero é o maior número que divide, ao mesmo tempo, todos esses números.
Método da decomposição simultânea 
Há um dispositivo prático para determinar o MDC entre dois ou mais números naturais. Inicialmente, 
decompomos os números dados em fatores primos. A seguir, retiramos das formas fatoradas os fatores 
comuns, cada um com o menor expoente. O produto desses fatores é o MDC procurado.
 Exemplo:
Vamos calcular o MDC entre 72 e 20 utilizando o 
método de decomposição simultânea.
72, 20 2
 36, 10 2
 18, 5
 
Os fatores primos do MDC são os fatores comuns:
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
20 = 2 · 2 · 5
Assim, MDC(72, 20) = 2 · 2 = 4.
Fatores primos em comum.
Não há divisores em comum.
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01
Vamos explorar um pouco mais as propriedades dos múltiplos.
Forme dupla com um colega e, nos quadrados abaixo, pintem os espaços que contêm números 
múltiplos ao quadrado central. Depois, respondam às questões a seguir.
23
54
15
40
50
63
4
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18
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2 3
• Quais foram os números pintados no primeiro quadro? O que é possível concluir sobre os 
números que são múltiplos de dois?
• Nós já falamos sobre os critérios de divisibilidade do número 3, então os múltiplos do nú-
mero 3 também seguem a mesma regra em que a soma dos seus algarismos deve ser um 
número múltiplo de 3. Partindo dessa ideia, vocês conseguem escrever uma regra para os 
múltiplos de 6? 
Dica: Iniciem suas respostas comparando os números que foram pintados nos dois quadrados. 
INTERAÇÃO
1. Complete o parágrafo a seguir com as expressões do quadro que preencham corretamente 
os espaços.
fatores – números compostos – números primos – múltiplos – divisor
Classificamos alguns números naturais em , ou seja, 
aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Todos os outros são formados por
 primos e são chamados de . 
Cada fator que compõe o número composto é também 
 desse número. Todos os resultados das multiplicações entre números naturais são
 desses números. 
ATIVIDADES
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 81PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 81 02/12/2020 14:27:1602/12/2020 14:27:16
82 MATEMÁTICA
Encaminhamento 
metodológico
Quando estiver trabalhan-
do com o método da decom-
posição em fatores primos para 
encontrar o mínimo múltiplo 
comum entre dois números, se 
possível, realize mais exemplos.
Resposta
1. 
a) 22 · 3 = 12
b) 3 · 5 = 15
c) 22 · 32 = 36
d) 3 · 5 = 15
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01
O período real de translação de um 
planeta em torno do Sol, em relação a uma 
estrela fixa, é chamado período sideral. Os 
planetas Júpiter, Saturno e Urano têm perío-
dos siderais em torno do Sol de, aproxima-
damente, 12, 30 e 84 anos, respectivamente.
Pesquisem e respondam: quanto tem-
po decorrerá, depois de uma observação, 
para que esses planetas voltem a ocupar, 
simultaneamente, as mesmas posições 
em que se encontravam no momento 
da observação?
INTERAÇÃO
2. Faça a decomposição simultânea dos números a seguir e identifique o MMC de cada um deles.
a) MMC(90, 80) 
b) MMC(72, 90) 
c) MMC(45, 65) 
d) MMC(50, 21, 2) 
3. Complete a tabela a seguir com os valores correspondentes.a b MMC(a,b) MDC(a,b) MMC(a,b) · MDC(a,b) a · b
6 22
18 45
Observando os valores encontrados nas duas últimas colunas da tabela, que propriedade 
pode ser encontrada?
Vadim Sadovski/Shutterstock
MATEMÁTICA 8382 MATEMÁTICA
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01
Mínimo múltiplo comum (MMC)
Observe a seguinte situação:
Pedro e Fernando treinam futebol, regularmente, no mesmo clube. Pedro treina de 4 em 4 dias 
e Fernando, de 6 em 6 dias. Hoje, eles se encontraram no clube. Daqui a quantos dias eles voltarão a 
se encontrar?
Dias em que os treinos acontecerão para:
• Pedro – 4 dias, 8 dias, 12 dias, 16 dias, 20 dias, 24 dias, ...
• Fernando – 6 dias, 12 dias, 18 dias, 24 dias, 30 dias, 36 dias, ...
Assim, eles se encontrarão novamente daqui a 12, 24, 36 dias, ..., que são múltiplos comuns de 4 e 6.
Analisando os conjuntos de múltiplos de 4 e 6, teremos:
• M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...}
• M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
O menor múltiplo comum de 4 e 6 é o menor número diferente de zero e múltiplo de 4 e 6.
Você observou que esse número é o 12? Podemos representar o MMC entre 4 e 6 da seguinte  maneira:
MMC(4, 6) = 12
O mínimo múltiplo comum (MMC), ou menor múltiplo comum, de dois ou mais números 
diferentes de zero é o menor múltiplo natural comum a eles. 
Método da decomposição simultânea 
Inicialmente, decompomos os números dados em fatores primos. A seguir, fazemos o produto 
entre todos os fatores (fatores comuns e não comuns); esse produto será o MMC procurado.
 Exemplo:
Vamos calcular o MMC entre 10 e 30 utilizando o 
método de decomposição simultânea.
10, 30 2 fator primo comum
 5, 15 3 fator primo não comum
 5, 5 5 fator primo comum
 1,1 MMC(10,30) = 2 · 3 · 5
O MMC será o produto entre os fatores comuns 
e não comuns:
10 = 2 · 5
30 = 2 · 3 · 5
Logo, MMC(10, 30) = 2 · 3 · 5 = 30.
1. Determine o MDC entre os números a seguir pelo método de decomposição simultânea em 
fatores primos.
a) MDC(12, 36)
b) MDC(15, 75)
c) MDC(216, 180)
d) MDC(75, 135, 150)
ATIVIDADES
PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 82PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 82 02/12/2020 14:27:4702/12/2020 14:27:47
83MATEMÁTICA
Resposta
Respostas para a seção Atividades:
2. 
a) 24 · 32 · 5 = 720
b) 23 · 32 · 5 = 360
c) 32 · 5 · 13 = 585
d) 2 · 3 · 52 · 7 = 1 050
3. As respostas da tabela estão no Livro do aluno. 
Espera-se que o aluno chegue à conclusão de que é possível encontrar a propriedade: 
MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b.
Resposta para a seção 
Interação:
Para encontrarmos o tem-
po em que os planetas Júpiter, 
Saturno e Urano ocuparão a 
mesma posição, basta calcular 
o MMC entre 12, 30 e 84. Assim, 
decorrerão 420 anos para que 
ocupem a mesma posição 
novamente.
Encaminhamento 
metodológico
Na seção Interação, 
aproveite a atividade para 
questionar os alunos em quais 
outros problemas o uso de 
MMC e MDC poderia ajudar na 
solução. Trabalhe a habilidade 
EF06MA06, levantando hipóte-
ses sobre anos bissextos, luzes 
que piscam alternadamente, 
atletas participando de corridas 
etc. Em seguida, peça aos alunos 
que deem exemplos e, se pos-
sível, desenvolva um trabalho 
rápido em duplas, em que eles 
devem criar um problema para 
outra dupla resolver.
Sugestão de atividade
Para a seção Atividades
desta página, calcule o MMC 
dos números dados no exercício 
1 e, para o exercício 2, calcule o 
MDC dos números dados.
 Solução:
1. 
a) 22 · 32 = 36
b) 2 · 52 = 75
c) 23 · 33 · 5 = 1 080
d) 2 · 33 · 52 = 1 350
2. 
a) 2 · 5=10
b) 2 · 3² = 18
c) 5
d) 1
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O período real de translação de um 
planeta em torno do Sol, em relação a uma 
estrela fixa, é chamado período sideral. Os 
planetas Júpiter, Saturno e Urano têm perío-
dos siderais em torno do Sol de, aproxima-
damente, 12, 30 e 84 anos, respectivamente.
Pesquisem e respondam: quanto tem-
po decorrerá, depois de uma observação, 
para que esses planetas voltem a ocupar, 
simultaneamente, as mesmas posições 
em que se encontravam no momento 
da observação?
INTERAÇÃO
2. Faça a decomposição simultânea dos números a seguir e identifique o MMC de cada um deles.
a) MMC(90, 80) 
b) MMC(72, 90) 
c) MMC(45, 65) 
d) MMC(50, 21, 2) 
3. Complete a tabela a seguir com os valores correspondentes.
a b MMC(a,b) MDC(a,b) MMC(a,b) · MDC(a,b) a · b
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Observando os valores encontrados nas duas últimas colunas da tabela, que propriedade 
pode ser encontrada?
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para que esses planetas voltem a ocupar, 
simultaneamente, as mesmas posições 
em que se encontravam no momento 
da observação?
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Mínimo múltiplo comum (MMC)
Observe a seguinte situação:
Pedro e Fernando treinam futebol, regularmente, no mesmo clube. Pedro treina de 4 em 4 dias 
e Fernando, de 6 em 6 dias. Hoje, eles se encontraram no clube. Daqui a quantos dias eles voltarão a 
se encontrar?
Dias em que os treinos acontecerão para:
• Pedro – 4 dias, 8 dias, 12 dias, 16 dias, 20 dias, 24 dias, ...
• Fernando – 6 dias, 12 dias, 18 dias, 24 dias, 30 dias, 36 dias, ...
Assim, eles se encontrarão novamente daqui a 12, 24, 36 dias, ..., que são múltiplos comuns de 4 e 6.
Analisando os conjuntos de múltiplos de 4 e 6, teremos:
• M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...}
• M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
O menor múltiplo comum de 4 e 6 é o menor número diferente de zero e múltiplo de 4 e 6.
Você observou que esse número é o 12? Podemos representar o MMC entre 4 e 6 da seguinte  maneira:
MMC(4, 6) = 12
O mínimo múltiplo comum (MMC), ou menor múltiplo comum, de dois ou mais números 
diferentes de zero é o menor múltiplo natural comum a eles. 
Método da decomposição simultânea 
Inicialmente, decompomos os números dados em fatores primos. A seguir, fazemos o produto 
entre todos os fatores (fatores comuns e não comuns); esse produto será o MMC procurado.
 Exemplo:
Vamos calcular o MMC entre 10 e 30 utilizando o 
método de decomposição simultânea.
10, 30 2 fator primo comum
 5, 15 3 fator primo não comum
 5, 5 5 fator primo comum
 1,1 MMC(10,30) = 2 · 3 · 5
O MMC será o produto entre os fatores comuns 
e não comuns:
10 = 2 · 5
30 = 2 · 3 · 5
Logo, MMC(10, 30) = 2 · 3 · 5 = 30.
1. Determine o MDC entre os números a seguir pelo método de decomposição simultânea em 
fatores primos.
a) MDC(12, 36)
b) MDC(15, 75)
c) MDC(216, 180)
d) MDC(75, 135, 150)
ATIVIDADES
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84 MATEMÁTICA
Resposta
1. 
a) Sim.
b) Não. Sim.
c) Sim. Não.
d) Divisibilidade por 8: um 
número é divisível por 8 se 
terminar em 000 ou se os três 
últimos algarismos forem 
números divisíveis por 8.
2. 
a) O divisor de 525 é 5.
b) O divisor de 38 é 2.
c) O divisor de 1 520 é 10. Os 
números 2 e 5 também são 
divisores de 1 520.
d) O divisor de 12 372 é 6.
3. Se tivermos 2 jogadores, o 
número deve ser divisível por 2. 
Logo, deve ser par.
Se tivermos 5 jogadores, o 
número deve ser divisível por 5. 
Logo, deve terminar em 0 ou 5.
Os números com final 5 estão 
descartados, pois o número 
deve ser par.
O número deve ser divisível 
por 3. Logo, a soma dos seus 
algarismos precisa ser divisível 
por 3. Desse modo, ou o número 
é 30 ou é 60.
O número 30 é descartado 
porque não é divisível por 4. 
Logo, o número mínimo de 
cartas deve ser 60.
4. 
a) Não, porque 8 123 : 2 = 4 061 
e sobra resto.
b) Não, porque 8 123 : 12 = 676 
e sobra resto.
c) Não, porque 8 123 : 8 = 1 015 
e sobra resto.
d) Não, apenas ele mesmo e o 1. 
8 123 é um número primo.
85MATEMÁTICA
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01
5. Uma fábrica de sucos naturais resolveu lançar no mercado um 
suco vendido em pequenas latas, devidamente colocadas em 
embalagens especiais com capacidade para 4, 6 ou 12 latas 
cada.Observe as informações a seguir e responda.
• Caixa A – capacidade para 4 latas.
• Caixa B – capacidade para 6 latas.
• Caixa C – capacidade para 12 latas.
a) Cada tipo de embalagem deve armazenar 384 latas de suco. Quantas embalagens de cada 
tipo serão necessárias?
b) O número 384 é múltiplo de 4? De 6? E de 12?
6. Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira.
a) O maior múltiplo de 6, menor que 100 e que termina em zero. ( ) 96
b) O maior múltiplo de 4, menor que 100. ( ) 102
c) O menor múltiplo de 6, maior que 100. ( ) 104
d) O menor múltiplo de 4, maior que 100. ( ) 90
7. Júlia recebeu três encomendas de tortinhas. Uma de 280 tortinhas para 
Ana, outra de 320 para Paula e a última de 840 para Carlos. Júlia, então, 
resolveu fazer embalagens com quantidades iguais de tortinhas. Para 
ganhar tempo, fez o menor número possível de pacotes.
a) Qual é a quantidade de tortinhas em cada pacote?
b) Quantos pacotes receberam Ana, Paula e Carlos?
8. Chamamos de anos bissextos aqueles em que o mês de fevereiro tem 29 dias, totalizando 
366 dias em vez de 365. Essa alteração ocorre a cada 4 anos; assim, podemos dizer que o ano 
bissexto é um número múltiplo de 4. Considerando as afirmações, calcule quantos e quais são 
os anos bissextos entre os anos de 2011 e 2021. 
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1. Resolva as divisões e, quando necessário, responda ao que se pede.
a) 160 é divisível por 8? 
b) 6 100 é divisível por 8? E 100? 
c) 8 432 é divisível por 8? E 432? 
d) Procure observar os três algarismos finais dos números divisíveis por 8. O que você 
pode concluir? 
2. Nas frases a seguir, os divisores foram colocados no lugar errado. Realoque-os de maneira que 
todas as afirmativas fiquem corretas.
a) 2 é divisor de 525 → o correto é 
b) 5 é divisor de 38 → o correto é 
c) 6 é divisor de 1 520 → o correto é 
d) 10 é divisor de 12 372 → o correto é 
3. Um jogo de cartas foi planejado para ter de 2 a 5 participan-
tes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos jogadores e 
todos devem receber a mesma quantidade de cartas. Qual 
é o número mínimo de cartas que esse jogo deve conter?
4. Uma empresa distribuirá 8 123 livros em algumas escolas. 
Considerando a informação, tente responder às perguntas a seguir sem efetuar as divisões. 
Lembre-se dos critérios de divisibilidade apresentados anteriormente.
a) É possível distribuí-los igualmente entre 2 escolas, de modo 
que não sobre livro algum?
b) É possível distribuí-los igualmente em 12 escolas, de modo 
que não sobre livro algum?
c) É possível distribuí-los igualmente em 8 escolas, de modo 
que não sobre livro algum?
d) Existe algum número que divida exatamente o 8 123? O que 
é possível concluir?
ATIVIDADES
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PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 84PG21LP262SDM0_MIOLO_EF21_6_MAT_L2_LP.indb 84 02/12/2020 14:28:0502/12/2020 14:28:05
85MATEMÁTICA
Resposta
5. 
a) Caixa A = 96 embalagens. Caixa B = 64 embalagens. Caixa C = 32 embalagens.
b) Sim, pois é divisível por 4, 6 e 12, conforme as divisões do item A. 
6. As respostas estão no Livro do aluno.
7. 
a) 40
b) Ana – 280 : 40 = 7
Paula – 320 : 40 = 8
Carlos – 840 : 40 = 21
8. É esperado que os alunos façam uso dos conhecimentos sobre divisibilidade por 4 
para resolver esse problema. 
Os números divisíveis por 4 são 
aqueles em que os dois últimos 
algarismos são divisíveis por 
4. Portanto, entre 2011 e 2021 
temos: 2012, 2016 e 2020.
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01
5. Uma fábrica de sucos naturais resolveu lançar no mercado um 
suco vendido em pequenas latas, devidamente colocadas em 
embalagens especiais com capacidade para 4, 6 ou 12 latas 
cada. Observe as informações a seguir e responda.
• Caixa A – capacidade para 4 latas.
• Caixa B – capacidade para 6 latas.
• Caixa C – capacidade para 12 latas.
a) Cada tipo de embalagem deve armazenar 384 latas de suco. Quantas embalagens de cada 
tipo serão necessárias?
b) O número 384 é múltiplo de 4? De 6? E de 12?
6. Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira.
a) O maior múltiplo de 6, menor que 100 e que termina em zero. ( ) 96
b) O maior múltiplo de 4, menor que 100. ( ) 102
c) O menor múltiplo de 6, maior que 100. ( ) 104
d) O menor múltiplo de 4, maior que 100. ( ) 90
7. Júlia recebeu três encomendas de tortinhas. Uma de 280 tortinhas para 
Ana, outra de 320 para Paula e a última de 840 para Carlos. Júlia, então, 
resolveu fazer embalagens com quantidades iguais de tortinhas. Para 
ganhar tempo, fez o menor número possível de pacotes.
a) Qual é a quantidade de tortinhas em cada pacote?
b) Quantos pacotes receberam Ana, Paula e Carlos?
8. Chamamos de anos bissextos aqueles em que o mês de fevereiro tem 29 dias, totalizando 
366 dias em vez de 365. Essa alteração ocorre a cada 4 anos; assim, podemos dizer que o ano 
bissexto é um número múltiplo de 4. Considerando as afirmações, calcule quantos e quais são 
os anos bissextos entre os anos de 2011 e 2021. 
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1. Resolva as divisões e, quando necessário, responda ao que se pede.
a) 160 é divisível por 8? 
b) 6 100 é divisível por 8? E 100? 
c) 8 432 é divisível por 8? E 432? 
d) Procure observar os três algarismos finais dos números divisíveis por 8. O que você 
pode concluir? 
2. Nas frases a seguir, os divisores foram colocados no lugar errado. Realoque-os de maneira que 
todas as afirmativas fiquem corretas.
a) 2 é divisor de 525 → o correto é 
b) 5 é divisor de 38 → o correto é 
c) 6 é divisor de 1 520 → o correto é 
d) 10 é divisor de 12 372 → o correto é 
3. Um jogo de cartas foi planejado para ter de 2 a 5 participan-
tes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos jogadores e 
todos devem receber a mesma quantidade de cartas. Qual 
é o número mínimo de cartas que esse jogo deve conter?
4. Uma empresa distribuirá 8 123 livros em algumas escolas. 
Considerando a informação, tente responder às perguntas a seguir sem efetuar as divisões. 
Lembre-se dos critérios de divisibilidade apresentados anteriormente.
a) É possível distribuí-los igualmente entre 2 escolas, de modo 
que não sobre livro algum?
b) É possível distribuí-los igualmente em 12 escolas, de modo 
que não sobre livro algum?
c) É possível distribuí-los igualmente em 8 escolas, de modo 
que não sobre livro algum?
d) Existe algum número que divida exatamente o 8 123? O que 
é possível concluir?
ATIVIDADES
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86 MATEMÁTICA
Resposta
9. 
a) 5 · 11 = 55
b) 99 = 3 · 33
c) 1
d) 5
e) 17, 23, 41, 11 ou 97.
f ) 12, 15, 16, 20, 25, 27, 30, 36, 
48, 55, 57, 63, 77, 81 e 99.
g) 36
h) 99
i) 11
j) 8
k) 8
10. As luzes piscarão juntas às 
8h46min11s.
11. Os cometas passarão juntos 
pela Terra novamente em 2102.
87MATEMÁTICA
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1. Classifique os números a seguir em divisíveis por 2, 3 e/ou 5. 
4 230 4 626 31542 330 3 333 11 154 52 380 9 890
2. O número 555 é divisível por 37. Qual é o próximo número natural divisível por 37?
3. Celeste recebeu uma carta muito importante e precisava respondê-la com urgência. Porém, 
o envelope da carta foi molhado pela chuva, e Celeste não conseguia identificar o número 
completo do endereço. Sabendo apenas que era um número múltiplo de 11, qual é o valor 
possível para o algarismo que está faltando?
Mariana Oliveira
R. da União, 1 1
Jardim da Paz
Americana - SP 
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oc
k
4. Em uma gincana, estão inscritas 72 pessoas. A comissão organizadora quer formar grupos 
com o mesmo número de participantes,