Capitulo29 Conexão com a matemática

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a matemática 
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Capítulo 29 Polinômios e equações polinomiais
a)	P(x)	tem	uma	raiz	real	a,	tal	que	3	,	a	,	5.
b)	P(x)	é	divisível	por	x	2	1.
c)	 P(x)	tem	apenas	4	raízes	reais.
d)	P(x)	não	tem	raiz	real.
e)	 o	grau	de	P(x)	é	maior	ou	igual	a	5.
	 7.	 (Unir-RO)	O	polinômio	P(x)	5	x4	2	1	pode	ser	fato-
rado	como	o	produto	P(x)	5	(x	2	1)	8	Q(x).	Sobre	Q(x),	
pode-se	afirmar	que	possui:
a)	quatro	raízes	imaginárias.
b)	três	raízes	reais.
c)	 três	raízes	imaginárias.
d)	uma	raiz	imaginária	e	duas	raízes	reais.
e)	 duas	raízes	imaginárias	e	uma	real.
	 8.	 (Fuvest-SP)	O	gráfico:
	
y
f
x
	 	 pode	representar	a	função	f(x)	5
a)	x(x	2	1)	 c)	 x3(x	2	1)	 e)	x 2(x	2	1)
b)	x2(x2	2	1)	 d)	x(x2	2	1)
	 9.	 (Fuvest-SP)	Dividindo-se	o	polinômio	P(x)	por	
2x2	2	3x	1	1,	obtêm-se	quociente	3x2	1	1	e	resto	
2x	1	2.	Nessas	condições,	o	resto	da	divisão	de	P(x)	
por	x	2	1	é:
a)	2	 d)	21
b)	1	 e)	22
c)	 0
	10.	 (Fuvest-SP)	Seja	P(x)	um	polinômio	divisível	por	x	2	3.	
Dividindo	P(x)	por	x	2	1	obtemos	quociente	Q(x)	e	
resto	r	5	10.	O	resto	da	divisão	de	Q(x)	por	x	2	3	é:
a)	 25	 b)	23	 c)	 0	 d)	3	 e)	 5
	11.	 (UFSM-RS)	Para	embalar	pastéis	folheados,	são	utili-
zadas	 folhas	 retangulares	de	papel	celofane	cujas	
dimensões	são	as	raízes	reais	positivas	do	polinô-
mio	P(x)	5	x 3	2	12x2	1	20x	1	96.	Sabendo	que	uma	
das	 raízes	 é	 22,	 o	 produto	 de	 duas	 raízes	 poderá	
ser:	
a)	12	 b)	16	 c)	 96	 d)	248	 e)	 216
	12.	 (UFC-CE) Os	números	a,	b,	c	e	d	são	reais.	Determine	os	
coeficientes	do	polinômio	P(x)	5	ax 3	1	bx2	1	cx	1	d,	
sabendo-se	 que	 o	 polinômio	 Q(x)	 5	 ax2	 1	 bx	 1	 1	
divide	P(x)	e	que	P(a)	5	Q(a)	5	a	i	0.	
	 1.	 (UFG-GO)	Considere	o	polinômio:
	 	 P(x)	=	(x	2	1)(x	2	3)2(x	2	5)3(x	2	7)4(x	2	9)5(x	2	11)6
	 	 O	grau	de	P(x)	é	igual	a:
a)	6	 b)	21	 c)	 36	 d)	720	 e)	 1.080
	 2.	 (Vunesp)	Considere	a	matriz	 5 2A
x
x
x
x
x
0
2
1
0
1
2> H
	 	 O	determinante	de	A	é	um	polinômio	P(x).
a)	Verifique	se	2	é	uma	raiz	de	P(x).
b)	Determine	todas	as	raízes	de	P(x).
	 3.	 Uma	fazenda	de	6.000.000	m2	ia	ser	dividida,	em	par-
tes	iguais,	entre	os	herdeiros	de	uma	mesma	família.	
Porém,	no	momento	da	divisão,	surgiram	mais	dois	
herdeiros,	e	isso	implicou	uma	nova	divisão	em	par-
tes	 iguais,	 na	 qual	 os	 herdeiros	 iniciais	 receberam	
100.000	m2	a	menos	do	que	esperavam	receber	ante-
riormente.	Determine	o	número	total	de	herdeiros.
	 4.	 Seja	f (x)	5	anx
n	1	an	2	1	x
n	2	1	1	...	1	a1x	1	a 0	um	polinô-
mio	de	grau	n	tal	que	an	i	0	e	aj	Ñ	R,	para	qualquer	
j	entre	0	e	n.	
	 	 Seja	g(x)	5	nan x
n	2	1	1	(n	2	1)an	2	1x
n	2	2	1	...	1	2a2	x	1	a1	
o	polinômio	de	grau	n	2	1	em	que	os	coeficientes	
a1,	a2,	...	an	são	os	mesmos	empregados	na	definição	
de	f (x).
a)	Supondo	que	n	5	2,	mostre	que	 1g x
h
2
=d n
( ) ( )1 2
h
f x h f x
= ,	para	todo	x,	h	Ñ	R,	h	i	0.
b)	Supondo	que	n	5	3	e	a3	5	1,	determine	a	expres-
são	do	polinômio	f(x ),	sabendo	que	f(1)	5	g(1)	5
5	f (21)	5	0.
	 5.	 (Unicamp-SP)	Seja	a	um	número	real	e	seja:
	 	
( )
2 2
2 2
2
detP x
x
a x
x
3
0
0
1
4
2
1
1
= > H
a)	Para	a	5	1,	encontre	todas	as	raízes	da	equação	
P(x )	5	0.
b)	Encontre	os	valores	de	a	para	os	quais	a	equação	
P(x)	5	0	tem	uma	única	raiz	real.
	 6.	 (Unifesp)	Se	a	figura	representa	o	gráfico	de	um	poli-
nômio	real,	P(x),	podemos	afirmar	que:
	
y
x
2 3
5–2
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Polinômios e equações polinomiaiscapítulo 29
Grau de dificuldade das questões:
Fácil	 Médio	 Difícil
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	13.	 (Fuvest-SP)	O	polinômio	P(x)	5	x3	1	ax2	1	bx,	em	que	
a	e	b	 são	números	reais,	 tem	restos	2	e	4	quando	
dividido	por	x	2	2	e	x	2	1,	respectivamente.	Assim,	
o	valor	de	a	é:	
a)	 26	 d)	29
b)	27	 e)	210
c)	 28
	14.	 (UFPel-RS)	O	polinômio	P(x)	está	representado	no	grá-
fico	abaixo	e	o	polinômio	Q(x)	é	dado	pela	expres-
são	Q(x)	5	x	1	5.
	
0
–4
1–1–2 x
y
 Com	base	nos	textos,	é	correto	afirmar	que	o	resto	
da	divisão	de	P(x)	por	Q(x)	é:
a)	 2136	 d)	272
b)	2197	 e)	2100
c)	 2144	 f )	 I.R.
	15.	 (Unifor-CE)	Na	divisão	de	um	polinômio	F	por	x2	2	2	
obtêm-se	 quociente	 kx	 1	 t	 e	 resto	 2x	 1	 1.	 Se	 F	 é	
divisível	por	x2	2	1,	então	um	outro	divisor	de	F	é	o	
polinômio:
a)	2x2	2	x	2	1
b)	2x2	1	x	2	1
c)	 2x2	2	3x	2	1	
d)	2x	2	3
e)	 2x	2	1
	16.	 (Fuvest-SP) Sejam	R1	e	R2	os	restos	das	divisões	de	um	
polinômio	P(x)	por	x	2	1	e	por	x	1	1,	respectivamen-
te.	Nessas	condições,	se	R(x)	é	o	resto	da	divisão	de	
P(x)	por	(x2	2	1),	então	R(0)	é	igual	a:
a)	R1	2	R2	 d)	R1R2
b)	
8
1
R R
R R
1 2
1 2
	 e)	
1R R
2
1 2
c)	 R1	1	R2	
	 17.	 (UFSCar-SP)	A	figura	mostra	um	prisma	retangular	
reto	de	base	quadrada	com	um	cilindro	circular	reto	
inscrito	no	prisma.	O	lado	da	base	do	prisma	mede	
4	dm	e	a	altura	é	dada	por	H(x)	5	x3	2	5x2	1	8x	dm,	
com	x	.	0.
	
h (x)
4
4
a)	Calcule	o	volume	do	prisma	para	x	5	3	dm.
b)	Para	 x	 5	 1	 dm	 o	 volume	 do	 cilindro	 inscrito	 é	
16π	dm3.	Encontre	os	outros	valores	de	x	para	os	
quais	isto	acontece.
	18.	 (UFG-GO)	Sabe-se	que	todo	polinômio	de	grau	ímpar	
com	coeficientes	reais	admite	pelo	menos	uma	raiz	
real.	Dado	o	polinômio	P(x)	5	[(m	2	1)(m2	1	1)]x5	1	
1	x2	1	kx	1	1,	com	m,	k	Ñ	R,	as	condições	sobre	m	e	k,	
para	que	o	polinômio	P(x)	não	admita	raiz	real,	são:
a)	m	=	0	e	k	,	22
b)	m	=	21	e	22	,	k	,	2
c)	 m	=	1	e	k	,	22
d)	m	=	1	e	22	,	k	,	2
e)	 m	=	0	e	k .	2
	19.	 (UFPel-RS)	 Encontre	 um	 polinômio	 P(x)	 de	 menor	
grau	indicando-o	na	forma	de	produto,	com	coefi-
cientes	reais	tais	que	4	seja	uma	raiz	de	multiplici-
dade	3;	22	seja	raiz	de	multiplicidade	2	e	que	esse	
polinômio	tenha	ainda	5	1	2i	e	0	(zero)	como	raízes.
	20.	 (UFPel-RS)	O	estudo	e	o	desenvolvimento	dos	méto-
dos	de	resolução	de	equações	de	graus	superiores	
a	2	tiveram	grande	impulso	nos	séculos	XV	e	XVI,	
com	 grupos	 matemáticos	 italianos.	 O	 primeiro	 a	
encontrar	 um	 método	 para	 determinar	 a	 resolu-
ção	de	equações	do	3o	grau	foi	Scipione	Del	Ferro.	
Outro	matemático	italiano,	conhecido	como	Tarta-
glia,	também	desenvolveu	um	método	de	resolução	
para	equação	do	3o	grau.	As	 fórmulas	de	Tartaglia	
são	as	mais	célebres	da	Álgebra,	sendo	conhecidas	
como	fórmulas	de	Cardano.
	 	 Considerando	o	polinômio	do	3o	grau	t3	2	4t2	1	t	1	6,	
é	correto	afirmar	que	a	soma	dos	módulos	das	raí-
zes	desse	polinômio	é:
a)	4	 d)	3
b)	5	 e)	1
c)	 6	 f )	 I.R.
	21.	 (Unifesp)	Considere	o	polinômio	P(x)	 2	x3	 1	ax2	 1	
1	bx 1	c,	sabendo	que	a,	b	e	c	são	números	reais	e	
que	o	número	1	e	o	número	complexo	1	 1	 2i	 são	
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Capítulo 29 Polinômios e equações polinomiais
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raízes	de	P(x),	isto	é,	que	P(1)	5	P(1	1	2i)	5	0.	Nes-
tas	condições,	existe	um	polinômio	Q(x)	para	o	qual	
P(x) 5	(1 2	x)	8	Q(x).	Uma	possível	configuração	para	
o	gráfico	de	y	5	Q(x)	é:
a)	
1 x
y 	 d)	
x
y
b)	
x
y 	 e)	
x
y
c)	
1 x
y
	22.	 Determine	o	resto	da	divisão	de	x4	2	2x3	2	2x	2	1	por	
x	1	2.
	23.	 Resolva	a	equação	x4	2	5x2	2	10x	2	6	5	0	sabendo	que	
3	e	21	são	duas	de	suas	raízes.
	24.	 Escreva	uma	equação	do	3o	grau	com	coeficiente	do-
minante	igual	a	2,	sabendo	que	0,	2	e	3	são	suas	raízes.
	25.	 (Udesc)	Dividindo	o	polinômio	P(x)	por	D(x)	5	x2	1	1,	
encontram-se	 o	 quociente	 Q(x)	 5	 x	 1	 3	 e	 o	 resto	
R(x)	5	27x	2	11.	Então,	a	soma	de	todas	as	soluções	
da	equação	P(x)	5	0	é	igual	a:
a)	 23	 b)	21	 c)	 8	 d)	16	 e)	 4
	26.	 Sabendo	 que	 a	 soma	 de	 duas	 raízes	 da	 equação	
x3	2	3x2	2	x 1	3	5	0	é	igual	a	2,	determine	uma	de	
suas	raízes.
	 27.	 Determine	o	valor	de	k	na	equação	x3	1	3x2	2	6x	1	k	5	0	
para	que	uma	raiz	seja	a	média	aritmética	das	ou-
tras	duas.
	28.	 (Fuvest-SP)	P(x)	é	um	polinômio	cujas	raízes	formam	
uma	progressão	geométrica	de	razão	2	e	primeiro	
termo	2.	O	coeficiente	do	termo	de	mais	alto	grau	
de	P(x)	é	1	e	o	termo	independente	é	221.	O	grau	do	
polinômio	é:
a)	4	 b)	5	 c)	 6	 d)	7	 e)	 829.	 Determine	o	conjunto	solução	da	equação	x3	2	9x2	1	
1	23x 2	15	5	0	sabendo	que	suas	raízes	estão	em	
progressão	aritmética.
	30.	 (UFBA)	Considerando	o	polinômio	P(x)	5	x4	2	2x3	1	
1	 4x2	 2	 2x	 1	 3,	 mostre	 que	 z1	 5	 i	 é	 uma	 raiz	 de	
P(x),	que,	juntamente	com	as	demais	raízes	z2,	z3	e	
z4,		satisfaz	a	equação	z z z z 101 21 2 3 4
2 2 2 2 = .
	31.	 (Fuvest-SP) As	raízes	do	polinômio	P(x)	5	x3	2	3x2	1	m,	
onde	 m	 é	 um	 número	 real,	 estão	 em	 progressão	
aritmética.	Determine:
a)	o	valor	de	m;
b)	as	raízes	desse	polinômio.
	32.	 Determine	as	raízes	da	equação	x3	2	x2	2	x	1	1	=	0.
	33.	 (Fuvest-SP)	Seja	 F(x)	 5	 ax2	 1	 (1	 2	 a)x	 1	 1,	 onde	 a	
é	 um	 número	 real	 diferente	 de	 zero.	 Determine		
os	valores	de	a	para	os	quais	as	raízes	da	equação	
F(x)	5	0	são	reais	e	o	número	x	5	3	pertence	ao	in-
tervalo	fechado	compreendido	entre	as	raízes.
	34.	 (Unifesp)	Sejam	p,	q,	r	as	raízes	distintas	da	equação	
x3	2	2x2	1	x	2	2	5	0.	A	soma	dos	quadrados	dessas	
raízes	é	igual	a:
a)	1	 b)	2	 c)	 4	 d)	 8	 e)	 9
	35.	 Determine		os	valores	de	m	e	n,	reais,	sabendo	que		a	
equação	x3	2	6x2	1	mx 1	n	=	0	admite	1	2	i	como	raiz.
	36.	 (Unifor-CE)	Os	valores	de	a,	b	e	c	que	satisfazem	a	
equação	 matricial	 2
2
8
2a
b
c
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
=> > >H H H	 são	 raí-
zes	do	polinômio	F(x)	5	x4	2	8x3	1	14x2	1	8x	1	k,	em	
que	k	é	um	número	real.
	 	 Nessas	condições,	é	correto	afirmar	que:
a)	duas	das	raízes	de	F	são	negativas.
b)	o	produto	das	raízes	de	F	é	215.
c)	 a	menor	das	raízes	de	F	é	25.
d)	23	é	raiz	de	F.
e)	 k	5	15
	37.	 (Fuvest-SP)	Sabe-se	que	o	produto	de	duas	raízes	da	
equação	algébrica	2x3	2	x2	1	kx	1	4	5	0	é	igual	a	1.	
Então,	o	valor	de	k	é:
a)	 28	 b)	24	 c)	 0	 d)	 4	 e)	 8
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Capítulo 29 Polinômios e equações polinomiais