Tarefa Complementar- Sistemas Lineares - Classificação e Discussão de Sistemas

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Tarefa Complementar 
Sistemas Lineares – Classificação e Discussão de Sistemas Lineares 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
1 
1. (Ufrgs 2013) O sistema de equações 
 
5x 4y 2 0
3x 4y 18 0
  

  
 
 
possui 
a) nenhuma solução. 
b) uma solução. 
c) duas soluções. 
d) três soluções. 
e) infinitas soluções. 
 
2. (Unicamp 2018) Sabendo que k é um número real, 
considere o sistema linear nas variáveis reais x e y, 
 
x ky 1,
x y k.
 

 
 
 
É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo k. 
b) não tem solução única para nenhum k. 
c) não tem solução se k 1. 
d) tem infinitas soluções se k 1. 
 
3. (Fgv 2016) Sendo k um número real, o sistema linear 
9x 6y 21
6x 4y k
 

 
 possui infinitas soluções (x, y) para k igual 
a 
a) 10,5. 
b) 0. 
c) 7. 
d) 10,5. 
e) 14. 
 
 
4. (Ufmg 2013) Considere o seguinte sistema linear nas 
incógnitas x e y 
 
2x 3y 2
6x ay 3
 

 
 
 
Observando-se que o coeficiente de y na segunda equação é 
um parâmetro a, 
a) DETERMINE para quais valores de a o sistema tem 
solução. 
b) DETERMINE as soluções x e y em função do parâmetro a, 
caso o sistema tenha solução. 
c) DETERMINE todos os valores de a para os quais o sistema 
tenha como solução números inteiros x e y. 
 
 
5. (Ita 2016) Se o sistema de equações 
 
x y 4z 2
x 2y 7z 3
3x y az b
  

  
   
 
 
É impossível, então os valores de a e b são tais que 
a) a 6 e b 4.  
b) a 6 e b 4.  
c) a 6 e b 4.  
d) a 6 e b 4.  
e) a é arbitrário e b 4. 
 
6. (Ita 2017) Determine todos os valores reais de a para os 
quais o seguinte sistema linear é impossível: 
 
x ay z 2
x 2y 3z 1.
3x az 5
  

    
  
 
 
7. (Fgv 2017) Chama-se solução trivial de um sistema linear 
aquela em que todos os valores das incógnitas são nulos. 
 
O sistema linear, nas incógnitas x, y e z : 
x 2y z 0
x y 5z 0
5x y mz 0
  

   
   
 
a) é impossível para qualquer valor de m. 
b) admite apenas a solução trivial para qualquer valor de m. 
c) admite soluções diferentes da solução trivial para m 13. 
d) admite soluções diferentes da solução trivial para m 10. 
e) não admite a solução trivial para m 13. 
 
8. (Ufrgs 2020) Para que o sistema de equações lineares 
x y 7
ax 2y 9
 

 
 seja possível e determinado, é necessário e 
suficiente que 
a) a . 
b) a 2 
c) a 1. 
d) a 1. 
e) a 2. 
 
9. (Ueg 2019) Considerando o sistema 
 
x y 1
,
x y 2
 

 
 
 
verifica-se que 
a) as retas que representam esse sistema são paralelas. 
b) as retas que representam esse sistema são coincidentes. 
c) o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema é 
igual a zero. 
d) esse sistema não possui solução. 
e) a solução desse sistema é 
3 1
, .
2 2
  
  
  
 
 
10. (Ufms 2020) Em uma empresa de venda de carros, são 
vendidos três modelos de carros, em três versões diferentes, e 
o faturamento pode ser escrito na forma matricial 
 
 
 2 
1 2 1 x 0
k 1 1 y 0 .
2k 2 3 z 0
     
     
  
     
          
 
 
Para que o sistema tenha soluções próprias, o valor de k é: 
a) 2. 
b) 
1
.
2

 
c) 0. 
d) 
1
.
2
 
e) 2. 
 
11. (Unicamp 2021) Para qual valor de a a equação matricial 
 
a 1 x 3
a 2 a y a 4
    
    
     
 
 
não admite solução? 
a) 1. 
b) 0. 
c) 1. 
d) 2. 
 
 12. (Fuvest 2021) É dado o sistema linear 
 
2x 3y 5
,
px qy 2
 

 
 
 
em que p e q são números reais. 
 
a) Determine todos os valores de p e q para que o sistema 
seja possível e indeterminado (isto é, tenha mais do que 
uma solução). 
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema 
tenha solução (x; y) com x 0. 
c) Determine todos os valores de p e q para que o sistema 
não tenha solução. 
 
 
Aprofundando 
 
 
 
1. (Unicamp 2018) Sabendo que p e q são números reais, 
considere as matrizes 
 
1 0 1
A 1 2 p
1 p 1
 
 
  
 
 
 e 
p
B 0 .
q
 
 
  
 
 
 
 
a) Prove que para quaisquer p e q teremos 
T
B AB 0. 
b) Determine os valores de p e q para os quais o sistema 
linear nas variáveis reais x, y e z, 
x
A y B,
z
 
 
 
 
 
 tem 
infinitas soluções. 
 
2. (Espcex (Aman) 2017) Considere o sistema linear 
homogêneo 
x 3y kz 0
3x ky z 0,
kx y 0
  

  
  
 onde k é um número real. 
 
O único valor que torna o sistema, acima, possível e 
indeterminado, pertence ao intervalo 
a) ( 4, 2]  
b) ( 2, 1] 
c) (1, 2] 
d) (2, 4] 
e) (4, 6] 
 
 3. (Unicamp 2017) Sabendo que m é um número real, 
considere o sistema linear nas variáveis x, y e z : 
 
mx 2z 4,
x y z 3,
2x mz 4.
 

  
  
 
 
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine 
os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos 
elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da 
matriz 
2
A A A.  
b) Para m 2, encontre a solução do sistema linear para a 
qual o produto xyz é mínimo. 
 
4. (Ita 2017) Considere o sistema de equações 
 

  



  


   

2 3
2 3
2 3
1 27 8
3
x y z
4 81 40
S 10 .
x y z
2 54 24
7
x y z
 
 
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então | x | | y | | z |  
é igual a 
a) 0. 
b) 3. 
c) 6. 
d) 9. 
e) 12. 
 
 
 
 
 3 
5. (Espcex (Aman) 2016) Para que o sistema linear 
x y az 1
x 2y z 2 ,
2x 5y 3z b
  

  
   
 em que a e b são reais, seja possível e 
indeterminado, o valor de a b é igual a 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
6. (Pucrj 2016) Considere o sistema 
2x ay 3
x 2y 1
 

 
 e assinale 
a alternativa correta: 
a) O sistema tem solução para todo a . 
b) O sistema tem exatamente uma solução para a 2. 
c) O sistema tem infinitas soluções para a 1. 
d) O sistema tem solução para a 4. 
e) O sistema tem exatamente três soluções para a 1.  
 
 
7. (Unicamp 2015) Considere o sistema linear nas variáveis 
x, y e z 
 
x 2y 3z 20
7x 8y mz 26,
  

  
 
 
onde m é um número real. Sejam a b c  números inteiros 
consecutivos tais que (x,y,z) (a,b,c) é uma solução desse 
sistema. O valor de m é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 0. 
 
8. (Unicamp 2014) Considere a matriz 
a 1 1
A 1 0 b ,
c 2 0
 
 
  
  
 
onde a, b e c são números reais. 
 
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que 
TA A.  
b) Dados a 1 e b 1,  para que os valores de c e d o 
sistema linear 
x 1
A y 1
z d
   
   
   
   
   
 tem infinitas soluções? 
 
 
9. (Ita 2014) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e 
z 
 
 
 
x y 2z 0
x sen y 4z 0,
2x 1 cos2 y 16z
θ
θ
   

   

   
  0,2 .θ π 
 
a) Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções. 
b) Para θ encontrado em (a), determine o conjunto-solução 
do sistema. 
 
 
10. (Epcar (Afa) 2014) O sistema linear nas incógnitas x, y 
e z abaixo possui uma infinidade de soluções. 
 
(sen a)x y z 0
x (sen a)y z 0
x y cos a
  

  
  
 
 
Sobre o parâmetro a, a , pode-se afirmar que 
a) a k , kπ  
b) a 2k , kπ  
c) a 2k , k
2
π
π   
d) a k , k
2
π
π   
 
11. (Ufjf 2012) Considere o sistema de equações lineares nas 
incógnitas x e y: 
 
 
 
2
a 4
3 2
ax log a y 0
a 2 x 3e y 0
 
 
 
  


   
 
 
em que a > 0. 
 
É CORRETO afirmar que: 
a) se a = 4, então o sistema é impossível. 
b) se a = 4, então o sistema é possível e determinado.c) se a = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
d) se a 4, então o sistema é impossível. 
e) se a = 2, então o sistema é possível e indeterminado. 
 
12. (Ita 2011) O sistema 
x 2y 3z a
y 2z b
3x y 5cz 0
  

 
   
 
a) é possível, a,b,c .  
b) é possível quando 
7b
a ou c 1.
3
  
c) é impossível quando c 1, a,b .   
d) é impossível quando 
7b
a , c .
3
   
e) é possível quando 
7b
c 1 e a .
3
  
 
13. (Mackenzie 2011) Relativas ao sistema 
kx 4ky 0
,k
3x ky 8
 

 
, considere as afirmações I, II e III 
abaixo. 
 
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores 
distintos de k. 
 
 
 4 
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. 
III. É impossível para um único valor de k. 
 
Dessa forma, 
a) somente I está correta. 
b) somente II e III estão corretas. 
c) somente I e III estão corretas. 
d) somente III está correta. 
e) I, II e III estão corretas. 
 
14. (Uece 2019) Os valores de k para os quais 
x y z 0   seja a única solução do sistema 
 
2
kx y z 0
x 2y kz 0
x 4y k z 0
   

  

  
 
 
NÃO pertencem ao conjunto 
a) {1, 2, 1 2}. 
b) { 1, 2, 1 6}.   
c) { 1, 3, 1 5}.  
d) { 1, 2, 1 4}.   
 
15. (Uece 2015) Em relação ao sistema 
x y z 0
x my z 0,
mx y z 0
  

  
   
 
pode-se afirmar corretamente que 
a) o sistema admite solução não nula apenas quando m 1.  
b) para qualquer valor de m, a solução nula 
(x 0, y 0, z 0)   é a única solução do sistema. 
c) o sistema admite solução não nula quando m 2 ou 
m 2.  
d) não temos dados suficientes para concluir que o sistema 
tem solução não nula. 
 
16. (Ufpe 2013) Sobre o sistema de equações lineares 
apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo a 
um parâmetro real. 
 
x y z 2
x ay 2z 1
2x y z 3
  

  
   
 
( ) Se a 2, então o sistema admite infinitas soluções. 
( ) O sistema sempre admite solução. 
( ) Quando o sistema admite solução, temos que x 1. 
( ) Se a 2, então o sistema admite uma única solução. 
( ) Se a 1, então o sistema admite a solução (1, 2, –1). 
 
 
 
 5 
17. (Epcar (Afa) 2020) Três amigas: Tereza, Ana e Kely 
entram juntas numa loja de chocolates. 
 
A tabela abaixo indica a quantidade de caixas e o tipo de 
trufas que cada uma comprou na loja. 
 
 
Trufas de 
morango 
Trufas de 
nozes 
Trufaz de 
coco 
Tereza 3 7 1 
Ana 4 10 1 
Kely 1 1 1 
 
Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou 
105 reais. 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira 
ou (F) Falsa. 
 
( ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor da 
caixa de trufas de nozes. 
( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou. 
( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais. 
 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas uma é falsa. 
c) apenas duas são falsas. 
d) todas são falsas. 
 
18. (Famerp 2020) Seja k um número real e 
y kx 14
y x 28
 

 
 
um sistema de equações nas incógnitas x e y. Os valores de 
k para que a solução gráfica desse sistema pertença ao 
interior do terceiro quadrante do plano cartesiano são dados 
pelo intervalo 
a) 1 k 0   
b) 
1
k 1
2
  
c) 
1
1 k
2
    
d) 
1
k
2
  
e) k 1 
 
19. (Espcex (Aman) 2020) A condição para que o sistema 
ax y z 0
x 2y z 0,
x y z 0
  

  
   
 a , tenha solução única é 
a) a 1. 
b) a 1.  
c) a 2. 
d) a 2.  
e) a 0. 
 
20. (Uece 2019) Os valores de k para os quais 
x y z 0   seja a única solução do sistema 
 
2
kx y z 0
x 2y kz 0
x 4y k z 0
   

  

  
 
 
NÃO pertencem ao conjunto 
a) {1, 2, 1 2}. 
b) { 1, 2, 1 6}.   
c) { 1, 3, 1 5}.  
d) { 1, 2, 1 4}.   
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
GABARITO: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Como 
5 4
,
3 4


 segue que o sistema é possível e determinado, 
ou seja, possui uma solução. 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
O sistema possui solução única se, e somente se, 
1 k
k 1.
1 1
   
 
Por outro lado, se k 1 as equações do sistema serão 
idênticas e, portanto, o sistema terá mais de uma solução. 
Em consequência, o sistema tem solução para todo k. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Calculando: 
3x 2y 79x 6y 21
k3x 3y6x 4y k
2
k
7 k 14
2
   
 
   
  
 
 
Resposta da questão 4: 
 a) 
2x 3y 2
6x ay 3
 

 
 
 
Multiplicando a primeira equação por –3 e somando os 
resultados com a segunda, temos a seguinte equação: 
 
(a – 9)y = –3, que terá solução se, e somente se, a  9 
 
b) Do item (a), concluímos que 
3
y
9 a


 e que 
2a 9
x .
2 (a 9)


 
 
 
c) x = i + 3y/2 o que nos leva a concluir que o valor de y 
deverá ser par, portanto y = 2.n, com n inteiro. 
 
*3 18n 3
2n a , com n .
9 a 2n

   

 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
O primeiro passo e escalonar o sistema: 
 
 
 
Portanto, para que o sistema seja impossível, devemos ter: 
a 6 0 a 6    
 
e 
 
b 4 0 b 4    
 
Resposta da questão 6: 
 Utilizando a Regra de Cramer: 
2
SI ou SPI D 0
x ay z 2 1 a 1
a ' 1
x 2y 3z 1 D 1 2 3 a 7a 6 0
a '' 6
3x 0y az 5 3 0 a
se a 1:
x y z 2
4x y 7
x 2y 3z 1 SPI
4x y 7
3x z 5
se a 6 :
x 6y z 2
9x 36y 27
x 2y 3z 1
9x 36y 17
3x 6z 5
 
  
 
             
    
 
  
   
       
   
 
  
   
      
   
SI

 
 
Ou ainda: 
x
x
2
x
D
x D 0
D
2 a 1
a ' 1
D 1 2 3 a 11a 10 0
a '' 10
5 0 a
  
 
       
 
 
 
Assim, a 6.  
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Calculando: 
x 2y z 0 1 2 1
x y 5z 0 1 1 5 3m 39
5x y mz 0 5 1 m
   

         
    
 
 
Caso 1) D 0 3m 39 0 m 13 SPD       
Caso 2) D 0 3m 39 0 m 13 SPI        admite 
soluções diferentes da trivial. 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
 
 
 7 
Para que o sistema seja possível e determinado é necessário e 
suficiente que 
a 2
a 2.
1 1
   
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
x y 1
x y 2
  

 
 
 
Somando as equações, obtemos: 
3
2x 3 x
2
   
 
Portanto: 
3 1
y 1 y
2 2
     
 
Logo, a solução desse sistema é 
3 1
, .
2 2
  
  
  
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Para que o sistema tenha soluções próprias, o valor de k deve 
ser tal que 
1 2 1
k 1 1 0 3 4k 2k 2k 2 6k 0
2k 2 3
1
k .
2

         
  
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
O sistema não admite solução se, e somente se, 
a 1 3
.
a 2 a a 4

 
 
 
 
Assim, tomando as duas primeiras razões, vem 
2a 1
a a 2 0
a 2 a
a 1 ou a 2.

    

   
 
 
Considerando agora as duas últimas razões, para a 1, temos 
1 3
1 1,
1 1 4

    

 
 
ou seja, contradição. 
Por outro lado, para a 2,  vem 
1 3 1 1
.
2 2 4 2 2

   
  
 
 
A resposta é a 2.  
 
Resposta da questão 12: 
 a) Igualando o determinante da matriz dos coeficientes a zero, 
obtemos: 
2 3 3p
0 2q 3p 0 q
p q 2
      
 
Substituindo esse valor no sistema, chegamos a: 
5 3y
x2x 3y 5
5 3y 4 3py2
3py
4 3py 2 2ppx 2
x2
2p
4
5p 3py 4 3py 5p 4 p
5

     
    
   

       
 
 
E: 
3 4 6
q q
2 5 5
    
 
b) Fazendo x 0, vem: 
5
y
2 0 3y 5 3 63
q 2 q
2p 0 qy 2 5 5
q
y

   
      
    

 
 
Para qualquer valor de p real. 
 
c) Do item a), obtemos: 
3p
p,
2
 
 
 
 com 
4
p
5
 
 
 
Aprofundando 
 
 
Resposta da questão 1: 
 a) Sendo  tB p 0 q , temos 
 
 

 
t
2 2
2
1 0 1 p
B AB p 0 q 1 2 p 0
1 p 1 q
p
p q pq p q 0
q
p pq pq q
(p q) .
   
   
    
   
   
 
 
    
 
 
   
 
 
 
Portanto, como 2(p q) 0  para quaisquer p, q , 
segue o resultado. 
 
b) Tem-se que 
 
 
 8 
x 1 0 1 x p
A y B 1 2 p y 0
z 1 p 1 z q
x z p
x 2y pz 0 .
x py z q
       
       
         
       
       
   
   
      
       
 
 
Logo, tomando a matriz ampliada do sistema e 
escalonando, vem 
 
2 2
1 0 1 p 1 0 1 p
1 2 p 0 0 2 p 1 p
1 p 1 q 0 p 0 p q
1 0 1 p
p 1 p
0 1
2 2
0 p 0 p q
1 0 1 p
p 1 p
0 1 .
2 2
p p p
0 0 p q
2 2
   
   
    
       
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
    
 
 
 
Portanto, se p 0 e q 0 ou se p 1 e 
1
q ,
2
 o sistema 
será possível e indeterminado. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Para que o sistema homogêneo seja indeterminado devemos 
considerar o determinante dos coeficientes nulo. 
 
Então: 
3 3
1 3 k
3 k 1 0 k 1 0 k 1
k 1 0

       
 
Como k é um número real, devemos considerar k 1.  
 
Portanto,  k 1 2,1 .    
 
 
Resposta da questão 3: 
 a) Se 
m 0 2
A 1 1 1 ,
2 0 m
 
 
  
 
 
 então 
2
2
2
m 4 0 4m
A m 1 1 m 1
4m 0 m 4
 
 
   
 
 
 
e, portanto, 
 
2 2
2m 8 3 2m 8 2m 2 8m 1 10m 0
m 0.
         
 
 
 
b) Para m 2, temos: 
x y z 3 y 1
x z 2 z 2 x
     
 
    
 
 
Logo, tomando x k, com k , vem 
S {(k, 1, 2 k)}.   
O produto xyz k ( 1) (2 k) k (k 2)        é mínimo 
quando 
0 2
k 1.
2

  
Por conseguinte, a resposta é (1, 1,1). 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Calculando: 
2 3
2 3
2 3
1 27 8
3
x y z
4 81 40
10
x y z
2 54 24
7
x y z

  



  


   

 
 
Fazendo: 
2 3
1 27 8
a; b; c
x y z
a b c 3
4a 3b 5c 10
2a 2b 3c 7
  
  

  
   
 
 
(iii) 2(ii), tem-se: 
2
3
3c 2c 1 c 1
a b 1 3 a b 2
b 3
4a 3b 5 10 4a 3b 5
a 1
2a 2b 3 7 2a 2b 4
1
1 x 1
x
27
3 y 3 | 1| | 3 | | 2 | 6
y
8
1 z 2
z
   
     
 
       
       
    
       
  
 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Para que o sistema seja possível e indeterminado é necessário 
que: 
1 1 a
1 2 1 0 6 5a 2 4a 5 3 0 a 6
2 5 3
          

 
 
 
 9 
 
Fazendo a 6 no sistema, temos: 
x y 6z 1 x y 6z 1 x y 6z 1
x 2y z 2 0 y 5z 1 0 y 5z 1
2x 5y 3z b 0 3y 15z b 2 0 0 0 b 5
          
  
            
              
 
 
Considerando b 5 0,  temos: 
b 5 e a b 6 5 11.    
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
O sistema é possível e determinado se, e somente se, 
2 a
,
1 2
 
ou seja, a 4. Se a 4, temos 
2 4 3
1 2 1
  e, portanto, o 
sistema é impossível. Logo, o sistema não é indeterminado 
para nenhum valor real de a. Desse modo, segue o resultado. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Sendo a b c  números inteiros consecutivos, temos 
b a 1  e c a 2.  Em consequência, da primeira equação 
do sistema, vem 
 
a 2 (a 1) 3 (a 2) 20 a 2.         
 
Assim, encontramos (x, y, z) (2, 3, 4) e, portanto, temos 
7 2 8 3 m 4 26,      implicando em m 3. 
 
Resposta da questão 8: 
 a) Se 
t
A A,  então A é antissimétrica. Logo, deve-se 
ter a 0, b 2 e c 1.  
 
b) Se a 1 e b 1,  a matriz ampliada do sistema 
x 1
A y 1
z d
   
   
   
   
   
 é 
1 1 1 1
1 0 1 1 .
c 2 0 d
 
 
  
  
 Logo, efetuando as 
operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz 
equivalente 
 
1 1 1 1
0 1 0 2 .
0 0 c c d 4
 
 
 
    
 
 
Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c 0 
e d 4.  
 
Resposta da questão 9: 
 a) Como o sistema é homogêneo, basta que o determinante 
da matriz dos coeficientes seja nulo para que o sistema seja 
possível e indeterminado. Logo, vem 
 
1 1 2
1 sen 4 0 cos2 2sen 3 0.
2 1 cos2 16
        
 
 
 
Daí, lembrando que 2cos2 1 2sen ,    obtemos 
 
2
sen sen 2 0 (sen 2)(sen 1) 0.          
 
Assim, convém apenas sen 1.   Sendo [0, 2 ],   
concluímos que 
3
rad.
2

  
 
b) Para 
3
rad
2

  temos 
 
'
2 1 2
'
3 1 3
'' ' '
3 2 3
1 1 2 1 1 2
1 1 4 0 0 6
2 2 16 0 0 12
L 1 L L
L ( 2) L L
1 1 2
0 0 6
0 0 0
L ( 2) L L .
   
   
    
   
   
  
   
 
 
 
 
 
   
 
 
O sistema equivalente é 
 
x y z 0
.
6z 0
   


 
 
Portanto, temos z 0, x y  e o conjunto solução do 
sistema é S {( , , 0); }.     
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Resolvendo o sistema: 
(sen a)x y z 0 sena 1 1
x (sen a)y z 0 1 sena 1 2sena
x y cos a 1 1 0
   

     
  
 
 
Para sena 0 o sistema será possível e determinado. Assim, 
para que o sistema possua infinitas soluções é preciso que 
sena 0. Fazendo a substituição e resolvendo o sistema: 
 
 
 10 
y z 0
x z 0
x y cos a quando cosa 1 o sistema terá inf initas soluções
Assim :
sen a 0
cosa 1
a 2k , kπ
 

 
    


 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
O determinante da matriz dos coeficientes é dado por 
 
a 42
32a 4 2
3 2
a log a
a 3e (a 2) log a.
(a 2) 3e
 
 
  
 
 
    

 
 
Logo, para a = 4, temos que 
4 4
32
24 3e (4 2) log 4 12 16 0,
 
 
        ou seja, o 
sistema é possível e determinado. 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
D= 
1 2 3
0 1 2 5c 12 9 2 5c 5
3 1 5c
       
 
 
 
Se -5c + 5  0  c  1 o sistema será possível e determinado. 
Se c = 1, temos: 
x 2y 3z a
y 2z b
3x y 5z 0
  

 
   
 , multiplicando a primeira equação por -1 e 
somando com a segunda temos: 
x 2y 3z a
y 2z b
0 2y 14z 3a
  

 
    
, multiplicando a segunda equação por 
sete e somando com a terceira temos: 
x 2y 3z a
0 y 2z b
0 0 0 7b 3a
  

  
    
 se c = 1 e a = 7b/3 o sistema será 
possível e indeterminado e se c = 1 e a  7b/3 
 
O sistema será impossível. 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
2k 4k
0 k 12k 0 k 0 e k 12
3 k
       (o sistema 
possui solução única) 
 
Se k = 0 temos 
0 0 0 8
x e y pode ser qualquer real, logo o sistema possui infinitas soluções.
3x 8 3
 
 

 
 
Se k = 12 temos 
12x 48y 0(: 4) 3x 12y 0
 (sistema impossível)
3x 12y 8 3x 12y 8
    
 
    
 
 
I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. 
II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções. 
III) Verdadeira, é impossível se k = 12 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Para que o sistema linear homogêneo admita apenas a solução 
trivial, deve-se ter 
3 2
2
k 1 1
1 2 k 0 2k 5k k 2 0
1 4 k
1
(k 1)(k 2) k 0
2
1
k 1 e k 2 e k .
2
     
 
     
 
    
 
 
Portanto, os valores de k que satisfazem a condição não 
pertencem ao conjunto 
1
1, 2, .
2
 
 
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
O sistema admite solução não nula apenas quando 
 
2
2
2
1 1 1
1 m 1 0 m m 1 m 1 1 0
m 1 1
m 2m 1 0
(m 1) 0
m 1.
        
 
   
  
  
 
 
Resposta da questão 16: 
 F – F – V – V – V. 
 
Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, 
encontramos: 
 
1 1 1
1 a 2 a 4 1 (2a 1 2) a 2.
2 1 1
         
 
Para a 2 esse determinante se anula. Tomemos a matriz 
ampliada do sistema, com a 2 : 
 
 
 
 11 
1 1 1 2
1 2 2 1 .
2 1 1 3
 
 
 
 
 
 
Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa 
matriz, encontramos: 
 
1 1 1 2
0 11 1 .
0 0 0 2
 
 
 
 
 
 
Desse modo, podemos concluir que para a 2 o sistema é 
impossível, e que para a 2 o sistema é possível e 
determinado. 
 
Para a 2, a matriz ampliada fica 
 
1 1 1 2
1 a 2 1 .
2 1 1 3
 
 
 
 
 
 
Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa 
matriz, obtemos: 
 
1 1 1 2
0 1 1 1 .
0 0 a 2 a
 
 
 
   
 
 
Daí, segue que az ,
a 2


 2y
a 2
 

 e x 1, para todo 
a 2. 
Se a 1, então 1z 1,
1 2
  

 2y 2
1 2
  

 e x 1. 
Logo, a terna ordenada (1, 2, 1) é solução do sistema. 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Admitindo que: 
x seja o preço da caixa de trufas de morango. 
y seja o preço da caixa de trufas de nozes. 
z seja o preço da caixa de trufas de coco, temos o seguinte 
sistema: 
 
3x 7y z 315
x y z 105
  

  
 
 
Multiplicando a segunda equação do sistema por 3 e 
somando com a primeira, obtemos: 
4y 2z 0 z 2y.    
 
Portanto, a primeira proposição é verdadeira: 
Verdadeira. O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do 
valor da caixa de trufas de nozes. 
 
Escrevendo, agora, x em função de y. 
x y z 105 x y 2y 105 x 105 3y          
 
Podemos, então concluir, que Ana gastou: 
4x 10y z 4 (105 3y) 10y 2y 420        
 
Logo, a segunda proposição também é verdadeira. 
Verdadeira. Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou. 
(420 4 105).  
 
A proposição três é falsa: 
Falsa. As três juntas gastaram menos de 800 reais, pois 
315 105 420 R$ 840,00   
 
Resposta: [B] apenas uma é falsa. 
 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Seja (r, s), com r 0 e s 0, a solução do sistema. Logo, 
devemos ter 
    

14
kr 14 r 28 r .
k 1
 
 
Em consequência, vem 
 
 
 
   
 
1
28 k
14 2
s 28 s .
k 1 k 1
 
 
Portanto, segue que 
 
 
 
   

1
28 k
12
0 k 1.
k 1 2
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
O sistema é possível e determinado se, e somente se, 
       
 
a 1 1
1 2 1 0 2a 1 1 2 a 1 0
1 1 1
a 1.
 
 
Resposta da questão 20: 
 [A] 
 
Para que o sistema linear homogêneo admita apenas a solução 
trivial, deve-se ter 
3 2
2
k 1 1
1 2 k 0 2k 5k k 2 0
1 4 k
1
(k 1)(k 2) k 0
2
1
k 1 e k 2 e k .
2
     
 
     
 
    
 
 
 
 
 12 
Portanto, os valores de k que satisfazem a condição não 
pertencem ao conjunto 
1
1, 2, .
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 13