Lista_11_-_Complementos

Prévia do material em texto

LISTA 11: COMPLEMENTOS 
 
 
Prof. Rodrigo 
 
1 
I. COMPLEXOS: 
1. (ITA) A equação nx  1 0 , onde n é um número natural 
maior do que 5, tem: 
a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas 
quando n é par. 
b) 1 raiz positiva, (n – 1) raízes não reais quando n é par. 
c) 1 raiz negativa, (n – 1) raízes complexas quando n é ímpar. 
d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas 
quando n é um número natural qualquer. 
e) tem apenas raízes reais simétricas 
 
2. (ITA) Estudando a equação  z z 
5532 1 no plano 
complexo, podemos afirmar que: 
a) a equação possui todas as raízes imaginárias, situadas 
numa circunferência de raio 1. 
b) a equação possui 4 raízes imaginárias situadas uma em 
cada quadrante. 
c) a equação possui 2 raízes imaginárias, uma no 1o 
quadrante e uma no 4o quadrante. 
d) a equação possui 4 raízes imaginárias, duas no 2o 
quadrante e outras duas no 3o quadrante. 
e) A equação possui 4 raízes imaginárias, sendo duas no 1o 
quadrante e outras duas no 4o quadrante. 
 
3. Calcule as raízes da unidade de índice 3, 4 e 6 e faça um 
estudo sobre a representação de tais raízes no plano 
complexo. 
 
4. Seja w uma raiz enésima da unidade (w  1). Prove que 
2 n 11 w w ... w 0     . 
 
5. Seja w uma raiz primitiva da unidade de grau 2n (w  1). 
a) Prove que wn = – 1 
b) Prove que 2 n 1
2
1 w w ... w
1 w
    

. 
 
6. Prove que 2 n 1
n
1 2w 3w ... nw
w 1
    

, onde w é 
uma enésima raiz da unidade (w  1). 
 
7. Sobre raízes enésimas da unidade, mostre que: 
a) Se n q , então qualquer raiz de  nz 1 0 é raiz de 
 qz 1 0 ; 
b) As raízes comuns de  mz 1 0 e  nz 1 0 são raízes de 
 dz 1 0 , onde  d mdc m,n ; 
c) As raízes primitivas de  mz 1 0 são 
 
  k
2k 2k
cos isen
m m
, onde  0 k m e   mdc m,k 1. 
 
8. Considere a definição: w é uma raiz primitiva enésima da 
unidade quando n é o menor inteiro positivo tal que wn = 1. 
a) Encontre as raízes primitivas da unidade para n = 5 e n = 6. 
b) Mostre que se w é uma raiz primitiva enésima da unidade 
então w0, w1, w2, ..., wn-1 são raízes distintas da unidade 
(sendo assim, se você conhece uma raiz primitiva da unidade 
você conhece todas as raízes da unidade). 
 
9. (LEDERMANN) Mostre que os números complexos 
1 2 3, ,z z z correspondem aos vértices de um triângulo 
equilátero se e somente se 
1 2 3 2 3 3 1 1 2² ² ²    z z z z z z z z z . 
 
10. Utilizando propriedades dos números complexos, calcule: 
a)  
n
k
k 1
S q cos kx

 
b)  
n
k
k 1
T q sen kx

 
c) Determine as expressões de S e T para q = 1. 
 
11. (IME) Sejam as somas S0 e S1 definidas por 
0 3 6 9 3[ /3]
0
1 4 7 10 3[( 1)/3] 3
1
...
...  
     
     
n
n n n n n
n
n n n n n
S C C C C C
S C C C C C
 
Calcule os valores de S0 e S1 em função de n, sabendo que 
[r] representa o maior inteiro menor ou igual ao número r. 
Sugestão: utilize o desenvolvimento em binômio de Newton 
de 
2
1
3
 
 
 
n
cis

 
 
12. (TITU ANDREESCU) Calcule a soma 
3 1
0
6
( 1) 3
2 1


 
  
 

n
k k
k
n
k
. 
 
13. (TITU ANDREESCU) Prove a identidade 
2 2
... ... 2
0 2 4 1 3 5
              
                    
              
nn n n n n n . 
 
14. (TITU ANDREESCU) Considere os inteiros , ,n n na b c , 
onde 
...,
0 3 6
...,
1 4 7
....
2 5 8
     
        
     
     
        
     
     
        
     
n
n
n
n n n
a
n n n
b
n n n
c
 
Mostre que: 
1) 3 3 3 3 2    nn n n n n na b c a b c . 
2) 2 2 2 1     n n n n n n n n na b c a b b c c a . 
3) Dois dos inteiros , ,n n na b c são iguais e o terceiro difere-se 
por 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
15. (TITU ANDREESCU) Prove que as seguintes 
identidades: 
0) Para m e p inteiros positivos e m > p: 
 
 
 

       
           
       
 
   
   
  
 

1
2
1
...
0 2 3
2
1 cos cos
p
mm
k
m m m m
p p p
k mk
p p p
 
1) 
1
2
1
... 2 2 cos
0 4 8 4 4
       
          
       
n
nn n n n
. 
2) 
 
1 1
...
0 5 10
1 ( 5 1) ( 5 1) 2
2 cos cos
5 5 52 2 
     
        
     
    
    
 
n n
n
n n
n n n
n n
 
 
16. (TITU ANDREESCU) Considere os inteiros , ,n n nA B C
definidos por 
...,
0 3 6
...,
1 4 7
....
2 5 8
     
        
     
     
         
     
     
        
     
n
n
n
n n n
A
n n n
B
n n n
C
 As seguintes 
identidades são válidas: 
1) 2 2 2 3 ;      nn n n n n n n n nA B C A B B C C A 
2) 2 2 13 .   nn n n nA A B B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. COMBINAÇÕES 
 
17. Mostre que: 
a)  
   n
i 1
n n 1 n 2
i i 1
6

 
  
b)    
     n
i 1
n n 1 n 2 n 3
i i 1 i 2
4

  
   
c) 
   n 2
i 1
n n 1 2n 1
i
6

 
 
d) 
2
n n
3
i 1 i 1
i i
 
 
 
 
 
  
e)  
n
n 1
p 0
n1 1
2 1
p 1 n 1p


 
  
  
 
f) 
   
 
n
n 1
p 0
n1 1
n 2 1
p 2 p n 1 n 2


 
   
   
 
g)  
k 1
p 0
a b a bak
k p
a bk p p k


     
     
    
 
h) 
n nn p
p 1 p p 1
   
   
    
 
i)  
n
p
p 0
n1 1
1
p 1 n 1p

 
  
  
