08 15 - (Lista Geometria Espacial de Posicao)

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Geometria Espacial de Posição
1. (Enem 2017) Uma lagartixa está no interior de um quarto e 
começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de 
um paralelepípedo retangular, é representado pela figura. 
 
 
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela 
se desloca, pela parede, até o ponto M, que é o ponto médio do 
segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto 
H. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo 
caminho de menor distância entre os respectivos pontos 
envolvidos. 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém 
o chão do quarto é dado por: 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
2. (Espcex (Aman) 2018) Considere dois planos α e β 
perpendiculares e três retas distintas r, s e t tais que 
r , sα β  e t .α β=  
Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que 
a) as retas r e s somente definirão um plano se forem 
concorrentes com t em um único ponto. 
b) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t. 
c) as retas r e s são necessariamente concorrentes. 
d) se r e s forem paralelas, então elas definem um plano 
perpendicular a α e .β 
e) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s. 
 
3. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2017) Seja uma reta r e os 
planos secantes α e ,β de modo que r.α β = Seja s uma reta 
paralela à reta r, de modo que s .β =  Seja t uma reta 
secante ao plano β no ponto P, de modo que P r. De acordo 
com essas informações, necessariamente 
a) s sα = 
b) t β =  
c) P α 
d) r t   
 
4. (Upe 2016) Analise as afirmativas a seguir, relativas à 
geometria espacial e coloque V nas Verdadeiras 
e F nas Falsas. 
( ) Se uma reta está contida em um plano, então toda reta 
perpendicular a ela será perpendicular ao plano. 
( ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta 
perpendicular a um deles é paralela ao outro. 
( ) Se dois planos distintos são paralelos a uma reta fora deles, 
então eles são paralelos entre si. 
( ) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um 
deles é paralela a qualquer reta do outro. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA. 
a) F – F – V – V 
b) F – V – V – F 
c) F – F – F – F 
d) V – F – F – V 
e) V – V – F – F 
 
5. (Uem 2017) Considere uma reta r e um plano ,π no espaço 
tridimensional. Assinale o que for correto. 
01) Se existe uma reta no plano ,π paralela à reta r, então a reta 
r é paralela ao plano π ou está contida nele. 
02) Se a reta r é perpendicular a uma reta de ,π então a reta r 
é perpendicular a .π 
04) Se um plano 'π é paralelo ao plano ,π então o plano 'π tem 
interseção com r . 
08) Se um plano 'π é perpendicular ao plano π e se a reta r 
também é perpendicular a ,π então a reta r está contida em '.π 
16) Se dois pontos de r estão contidos em ,π então r está 
contida em .π 
 
6. (Enem 2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão 
marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão 
localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre 
um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, 
pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho 
de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o 
trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e 
C. 
Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura. 
 
 
 
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A projeção ortogonal, no plano ,α do caminho traçado no globo 
pode ser representada por 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
7. (Ime 2016) Sejam dois quadrados de lado a situados em 
planos distintos que sمo paralelos entre si e situados a uma 
distância d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados 
é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é 
paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de 
cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro 
quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com 
os quadrados, formam um sólido S. Qual a distância entre estes 
planos distintos em função de a, de modo que os triângulos 
descritos acima sejam equiláteros? 
a) 
a
2
 
b) 
a 3
2
 
c) 
a 10
8
 
d) 
4a 2
8
 
e) 
a(4 3 2
2
−
 
 
8. (Esc. Naval 2013) Nas proposições abaixo, coloque V na 
coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e F quando 
for falsa. 
 ( ) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um 
plano, então ela é perpendicular ao plano. 
( ) Se uma rota é perpendicular a uma reta perpendicular a um 
plano, então ela é paralela a uma reta do plano. 
( ) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas. 
( ) Se dois planos são perpendiculares, todo plano paralelo a um 
deles é perpendicular ao outro 
( ) Se três planos são dois a dois perpendiculares , eles têm um 
único ponto em comum. 
 
Lendo-se a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se 
a) F – F – V – F – V 
b) V – F – V – V – F 
c) V – V – F – V – V 
d) F – V – V – V – V 
e) V – V – V – V – V 
 
 
9. (Ita 2013) Das afirmações: 
 
I. Duas retas coplanares são concorrentes; 
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; 
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos 
paralelos, cada um contendo uma das retas; 
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso 
definem um paralelogramo, 
 
é (são) verdadeira(s) apenas 
a) III. 
b) I e III. 
c) II e III. 
d) III e IV. 
e) I e II e IV. 
 
10. (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma 
tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central 
(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas 
extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, 
fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o 
movimento da gangorra. 
Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos 
A e B são equidistantes do pivô: 
 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano 
do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
11. (Uem 2018) Sobre geometria espacial, assinale o que for 
correto. 
01) Dois planos sempre se interceptam. 
02) Duas retas perpendiculares determinam um único plano. 
04) Dado um ponto qualquer P em um plano ,π existe uma única 
reta passando por P perpendicular ao plano. 
08) Se duas retas não são paralelas, então elas são reversas. 
16) Se uma reta não intercepta um determinado plano, então 
necessariamente ela é paralela a ele. 
 
12. (Enem 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de 
classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir 
e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no 
plano da base da pirâmide. 
 
 
 
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O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, 
sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E 
ao ponto M, e depois de M a C. 
O desenho que Bruno deve fazer é 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
13. (Uem 2012) Sabendo que r, s e t são três retas no espaço 
tridimensional com r e s paralelas distintas, assinale o que for 
correto. 
01) Se a reta r é perpendicular a um plano α , então a reta s 
também é perpendicular ao plano α . 
02) Se a reta t é concorrente com a reta s, então t também é 
concorrente com a reta r. 
04) Se um plano β contém a reta s, então o plano β também 
contém a reta r. 
08) Se a reta t é perpendicular à reta r, então t é perpendicular ou 
ortogonal à reta s. 
16) Se as três retas r, s e t são paralelas distintas, então existe um 
plano α que contém as três retas.14. (Fatec) No cubo ABCDEFGH, da figura, cuja aresta tem 
medida a, a 1, sejam: 
 
- P um ponto pertencente ao interior do cubo, tal que DP = 1; 
- Q o ponto que é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano 
ABCD; 
- α a medida do ângulo agudo que a reta DP forma com o plano 
ABCD; 
- R o ponto que é a projeção ortogonal do ponto Q sobre a reta 
AD; 
- β a medida do ângulo agudo que a reta DQ forma com a reta 
AD. 
 
 
 
Nessas condições, a medida do segmento DR, expressa em 
função de α e ,β é 
a) sen sen .α β 
b) sen tg .α β 
c) cos sen .α β 
d) cos cos .α β 
e) tg cos .α β 
 
15. (Fuvest) Dois planos ð1 e ð2 se interceptam ao longo de uma 
reta r, de maneira que o angulo entre eles meça á radianos, 
0
2
π
α  .Um triangulo equilátero ABC, de lado ℓ, esta contido 
em ð2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal 
de C sobre o plano ð1, e suponha que a medida è, em radianos, 
do angulo CÂD, satisfaça 
6
sen
4
θ = . 
Nessas condições, determine, em função de ℓ, 
a) o valor de á. 
b) a área do triangulo ABD. 
c) o volume do tetraedro ABCD. 
 
16. (Fuvest) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal que 
5
tg .
5
θ = O ponto P pertence a α e a distância de P a β vale 
1. Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é igual a: 
a) 3 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
17. (Ita) Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao 
centro de uma esfera de volume 4 3 ğ cm3 que tangencia as 
faces do diedro é, em cm, igual a 
a) 3 3 
b) 3 3 
c) 2 3 
d) 2 2 
e) 2 
 
18. (Uel) Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, 
considere as afirmativas: 
 
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são 
concorrentes. 
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano. 
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano. 
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único plano 
á que contém r e é paralelo a s. 
 
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: 
a) I e II 
b) I e IV 
c) III e IV 
d) I, II e III 
e) II, III e IV 
 
 
 
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19. (Fatec) O ponto A pertence à reta r, contida no plano á. A reta 
s, perpendicular a á, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence 
a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r 
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a 
C, em centímetros, é igual a 
a) 9 5 
b) 9 
c) 7 
d) 4 
e) 3 5 
 
20. (Ueg) Observe e classifique as afirmações abaixo como sendo 
verdadeiras ou falsas: 
I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então as 
interseções são retas paralelas. 
II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é 
paralela a qualquer reta do outro. 
III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são 
paralelos. 
IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode ser 
reversa a uma reta do outro. 
Marque a alternativa CORRETA: 
a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras. 
 
21. (Fuvest) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do 
prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto 
especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta 
perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a 
diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio 
percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice 
 
 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
22. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de 
área 10 cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa 
figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que 
os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. 
 
 
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: 
a) 6 cm 
b) 5 cm 
c) 4 2 cm 
d) 5 2 cm 
e) 6 2 cm 
 
23. (Fuvest) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um cubo. 
Um plano á, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas 
partes iguais. A intersecção do plano á com o cubo é um: 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) retângulo. 
d) pentágono. 
e) hexágono. 
 
24. (Enem 2016) É comum os artistas plásticos se apropriarem de 
entes matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e 
imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma 
de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos 
pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base 
quadrada. 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis 
de serem obtidos pelo artista plástico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, 
apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e 
pentágonos, apenas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________________________________ 
 
Gabarito 
 
1. b) 2. b) 3. d) 4. c) 
 
5. 01 + 16 = 17. 6. e) 7. d) 
 
8. d) 9. d) 10. b) 
 
11. 02 + 04 + 16 = 22. 12. c) 13. 09 
 
14. d) 15. 
32 6
a) b) c)
4 8 16
π 16. c) 
 
17. e) 18. c) 19. b) 20. c) 
 
21. e) 22. a) 23. e) 24. e)