08 23 - (Lista - Trigonometria V)

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Prof. Hiroshi 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Trigonometria V 
 
1. (UFES - adaptada) A imagem I e o período P da 
função real de variável real f(x) = −
1
4
+
1
2
. senx. cosx, são: 
 
a) 𝐈 = [−
𝟏
𝟒
,
𝟏
𝟒
] 𝐞 𝐏 = 𝟐𝛑 
 
b) 𝐈 = [−
𝟏
𝟒
,
𝟏
𝟒
] 𝐞 𝐏 = 𝛑 
 
c) 𝐈 = [−
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
] 𝐞 𝐏 = 𝟐𝛑 
d) 𝐈 = [−
𝟏
𝟒
, 𝟎] 𝐞 𝐏 = 𝟐𝛑 
 
e) 𝐈 = [−
𝟏
𝟐
, 𝟎] 𝐞 𝐏 = 𝛑 
 
 
2. (Fuvest 2008) A medida 𝑥, em radianos, de um 
ângulo satisfaz 
π
2
< 𝑥 < π e verifica a equação 𝑠𝑒𝑛𝑥 +
 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 0. Assim, 
 
a) determine 𝑥. 
b) calcule 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥. 
 
3. (Fuvest 2009) Seja x no intervalo ]0,
π
2
[ satisfazendo 
a equação 𝑡𝑔 𝑥 +
2
√5
. sec 𝑥 =
3
2
 . Assim, calcule o valor de 
 
a) sec x. 
b) sen (𝑥 +
𝜋
4
) 
 
4. (Fuvest 2010) Sejam x e y dois números reais, com 
0 < 𝑥 <
π
2
 e 
π
2
< 𝑦 < π, satisfazendo 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 
4
5
 e 
11 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5 𝑐𝑜𝑠(𝑦 – 𝑥) = 3. Nessas condições, 
determine 
 
a) 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
b) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥. 
 
5. (Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos 
tais que 𝑥 + 𝑦 = 
𝜋
2
. Sabendo-se que 𝑠𝑒𝑛(𝑦 – 𝑥) = 
1
3
, o 
valor de 𝑡𝑔²𝑦 – 𝑡𝑔²𝑥 é igual a 
 
a) 
3
2
 b) 
5
4
 c) 
1
2
 d) 
1
4
 e) 
1
8
 
 
6. (Fuvest 2012) O número real 𝑥, com 0 < 𝑥 < 𝜋, 
satisfaz a equação log3(1– 𝑐𝑜𝑠 𝑥) + log3(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) =
 – 2. Então, 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 vale: 
 
a) 
1
3
 b) 
2
3
 c) 
7
9
 d) 
8
9
 e) 
10
9
 
 
7. (Fuvest 2012) No triângulo acutângulo 𝐴𝐵𝐶, 
ilustrado na figura, o comprimento do lado 𝐵𝐶 mede 
√𝟏𝟓
𝟓
, o 
ângulo interno de vértice C mede 𝛂, e o ângulo interno de 
vértice B mede 
𝛂
𝟐
. 
Sabe-se, também, que 2 cos(2𝛂) + 3cos𝛂 + 1 = 0. 
 
 
 
Nessas condições, 
calcule 
 
a) o valor de 𝑠𝑒𝑛 𝛂; 
b) o comprimento do 
lado 𝐴𝐶. 
 
8. (Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com 
inclinação de 15º. A diferença entre a altura final e a altura 
inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de 
percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente, 
 
a) 7 m 
b) 26 m 
c) 40 m 
d) 52 m 
e) 67 m 
 
 
9. (Ufpr 2018) Faça o que se pede. 
 
a) Seja 𝛼 ∈ [0, 
𝜋
2
]. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,6, calcule 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
e o determinante da matriz 𝐴 = (
𝑐𝑜𝑠 𝛼 4
1 3
). 
b) Encontre todos os valores de θ ∈ ℝ para os quais a 
matriz 𝐵 = (
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠 𝑒𝑛𝜃 0
1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠 𝑒𝑛𝜃
1 √2 1
) tem determinante 
𝑑𝑒𝑡( 𝐵) = 1. 
 
10. (Espcex Aman 2018) O conjunto solução da 
inequação 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 ≥ 0, no intervalo ]0,  2𝜋] é 
 
a) [
2𝜋
3
,  
4𝜋
3
]. 
b) [
𝜋
3
,  
5𝜋
6
]. 
c) [
𝜋
3
,  
5𝜋
3
]. 
d) [
𝜋
3
,  
2𝜋
3
] ∪ [
4𝜋
3
,  
5𝜋
3
]. 
e) [
𝜋
6
,  
5𝜋
6
] ∪ [
7𝜋
6
,  
10𝜋
6
]. 
 
 
11. (Epcar Afa 2017) Seja a matriz 
 
𝐴 = (
1 𝑐𝑜𝑠   𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠   𝑥 1 0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 1
). 
 
Considere a função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡   𝐴. 
Sobre a função g: IR → IR definida por 𝑔(𝑥) = 1 −
1
2
⋅
| 𝑓( 𝑥) |, em que | 𝑓( 𝑥) | é o módulo de 𝑓( 𝑥), é correto 
afirmar que 
 
a) possui período 𝜋. 
b) seu conjunto imagem é [−
1
2
,  0]. 
c) é par. 
d) é crescente no intervalo [−
𝜋
4
,  
𝜋
4
]. 
 
12. (Udesc 2017) Considere a função 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠   (𝑥) + √3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥), 
 
e analise as proposições. 
 
I. 𝑓( 𝑥) = 2  𝑠𝑒𝑛   (𝑥 + 𝑎) para algum 𝑎 ∈ [0, 
𝜋
2
] 
II. 𝑓 possui uma raiz no intervalo [0, 
𝜋
2
] 
III. 𝑓 tem período 𝜋 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Prof. Hiroshi 
Matemática 
 
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a) Somente a proposição II é verdadeira. 
b) Somente as proposições I e II são verdadeiras. 
c) Somente as proposições II e III são verdadeiras. 
d) Somente a proposição III é verdadeira. 
e) Somente a proposição I é verdadeira. 
 
13. (Unicamp 2017) Sabendo que 𝑘 é um número real, 
considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑘   𝑠𝑒𝑛   𝑥 + 𝑐𝑜𝑠   𝑥, definida 
para todo número real 𝑥. 
 
a) Seja 𝑡 um número real tal que 𝑓( 𝑡) = 0. Mostre que 
𝑓( 2 𝑡) = −1. 
b) Para 𝑘 = 3, encontre todas as soluções da equação 
𝑓(𝑥)2 + 𝑓(− 𝑥)2 = 10 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋. 
 
14. (Fgv 2017) A única solução da equação 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ⋅
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠   2𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   3𝑥 com 0° ≤ 𝑥 < 90°, é 
 
a) 72°. b) 36°. c) 24°. d) 18°. e) 15°. 
 
15. (Mackenzie 2017) O número de soluções que a 
equação 4  𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 admite no 
intervalo [0,  2𝜋] é 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
16. (Ita 2019) Seja 𝛾 a circunferência de equação 
𝑥2 + 𝑦2 = 4. Se 𝑟 e 𝑠 são duas retas que se interceptam 
no ponto 𝑃 = (1,  3) e são tangentes a 𝛾, então o cosseno 
do ângulo entre 𝑟 e 𝑠 é igual a 
 
a) 
1
5
. b) 
√7
7
. c) 
1
2
. d) 
√2
2
. e) 
2√6
5
. 
 
17. (Unicamp 2019) Sejam 𝑘 e 𝜃 números reais tais 
que 𝑠𝑒𝑛 𝜃 e 𝑐𝑜𝑠   𝜃 são soluções da equação quadrática 
2𝑥2 + 𝑥 + 𝑘 = 0. Então, 𝑘 é um número 
 
a) irracional. 
b) racional não inteiro. 
c) inteiro positivo. 
d) inteiro negativo. 
 
18. (Eear 2019) Simplificando a expressão 
𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(3𝜋 + 𝑥), obtém-se 
 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 b) −𝑠𝑒𝑛 𝑥 c) 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 d) −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
19. (Uerj 2017) No esquema abaixo, estão 
representados um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 e um círculo de centro 
𝑃 e raio 𝑟, tangente às retas 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶. O lado do quadrado 
mede 3𝑟. 
 
A medida 𝜃 do ângulo 𝐶Â𝑃 pode ser determinada a partir 
da seguinte identidade trigonométrica: 
 
tan(𝛼 − 𝛽) =
tan 𝛼 − tan 𝛽
1 + tan 𝛼 × tan 𝛽
 
 
O valor da tangente de 𝜃 é igual a: 
 
a) 0,65 b) 0,60 c) 0,55 d) 0,50 
 
20. Se cos 2𝜃 =
7
25
 e 𝜃 pertence ao primeiro 
quadrante, então cos 𝜃 é igual a: 
 
a) 
4
5
 b) 
3
5
 c) 
√5
3
 d) 
5
7
 e) 
√3
2
 
 
21. Qual é o valor de sin 2𝛼 para 𝛼 tal que sin 𝛼 =
1
4
 e 𝜋 ≤
𝛼 ≤ 𝜋. 
 
a) −
√15
4
 b) −
√15
8
 c) 
√15
8
 d) −
√3
4
 e) 
√15
4
 
 
22. (Fuvest) A figura representa um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 
de lado 1. O ponto 𝐹 está em 𝐵𝐶, 𝐵𝐹 mede 
√𝟓
4
, o ponto 𝐸 
está em 𝐶𝐷 e 𝐴𝐹 é bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐸. 
 
Nessas condições, o 
segmento 𝐷𝐸 mede: 
 
a) 
3√5
40
 
b) 
7√5
40
 
c) 
9√5
40
 
d) 
11√5
40
 
e) 
13√5
40
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1.e 
2.a) x = 
𝟐𝛑
𝟑
 
 b) 𝐜𝐨 𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨 𝐬 𝟐𝒙 + 𝐜𝐨 𝐬 𝟑𝒙 = 𝟎 
3. a) 
√𝟓
𝟐
 / b) 
𝟑√𝟏𝟎
𝟏𝟎
 
4. a) −
𝟑
𝟓
 / b) 
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟔𝟗
 
5.a 
6.e 
7. a) −
√𝟏𝟓
𝟒
 / b) 
𝟐√𝟏𝟓
𝟏𝟓
 
8.b 
9. a) Det(A) = -1,6 
b) 𝜽 = 𝒌. 𝝅 𝒐𝒖 𝜽 = ±
𝟑𝝅
𝟒
+ 𝒌. 𝟐𝝅 
10.c 
11.c 
12.e 
13. a) 
b) 𝑺 =
{
𝝅
𝟒
,  
𝟑𝝅
𝟒
,  
𝟓𝝅
𝟒
,  
𝟕𝝅
𝟒
} 
14.d 
15.d 
16.a 
17.b 
18.d 
19.b 
20.a 
21.b 
22.d