SE 2019 - Aula 30 - Trigonometria

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 30 – Trigonometria 
 
1. (Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e 
C apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem 
escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na 
figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o 
vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, 
até o vértice B tocar o solo, e assim por diante. 
 
 
Usando as dimensões indicadas na figura (AB 1= e BC 2),= qual é o 
comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição 
mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente? 
a) 
3
2
π 
b) 
3 3
3
π
+
 
c) 
13
6
π 
d) 
3 3
2
π
+
 
e) 
8 2 3
3
π
+
 
 
2. (Ueg 2019) Os valores de x, sendo 0 x 2 ,π  para os quais as 
funções f(x) sen x= e g(x) cos x= se interceptam, são 
a) 
4
π
 e 
3
4
π
 
b) 
3
4
π
 e 
7
4
π
 
c) 
4
π
e
5
4
π
 
d) 
5
4
π
e
7
4
π
 
e) 
4
π
 e
7
4
π
 
 
3. (Ufrgs 2019) Considere a função real de variável real 
f(x) 3 5 sen (2x 4).= − + Os valores de máximo, mínimo e o período 
de f(x) são, respectivamente, 
a) 2, 8, .π− 
b) 8, 2, .π− 
c) . 2, 8.π − 
d) , 8, 2.π − 
e) 8, , 2.π − 
4. (Uerj 2019) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano 
xy e raio igual a 1. Nele, AP determina um arco de 120 . 
 
 
 
As coordenadas de P são: 
a) 
1 3
,
2 2
 
−  
 
 b) 
1 2
,
2 2
 
−  
 
 c) 
3 1
,
2 2
 
−  
 
 d) 
2 1
,
2 2
 
−  
 
 
 
5. (Upf 2019) Seja f : ( , )π π− → definida por 
x
f(x) cos ,
2
 
=  
 
 
então, é verdade que 
a) A função é crescente no intervalo ( , 0],π− decrescente no intervalo 
[0, )π e não possui raízes reais. 
b) A função é crescente no intervalo ( , 0],π− decrescente no intervalo 
[0, )π e possui duas raízes reais. 
c) A função é decrescente no intervalo ( , 0],π− crescente no intervalo 
[0, )π e possui duas raízes reais. 
d) A função é decrescente no intervalo ( , )π π− e não possui raízes reais. 
e) A função é crescente no intervalo [0, )π e possui uma raiz real. 
 
6. (Unicamp 2019) Sejam k e θ números reais tais que sen θ e cos θ 
são soluções da equação quadrática 
22x x k 0.+ + = Então, k é um 
número 
a) irracional. b) racional não inteiro. c) inteiro positivo. d) inteiro negativo. 
 
7. (Mackenzie 2019) Os valores de x, 0 x 2 ,π  para os quais 
1
| sen x |
2
 são 
a) 
5
x
6 6
π π
  e 
7 11
x
6 6
π π
  b) 
7
x
6 6
π π
  
 
c) 0 x π  d) 
5 7
x
6 6
π π
  e) 
2
x
3 3
π π
  e 
4 5
x
3 3
π π
  
 
8. (G1 - ifal 2018) O valor de x na expressão 
 
20
tg 2160 cos
3
x
5
sen 2640 cos
4
π
π
 
 + − 
 
=
 −
 é: 
 
a) 0. b) 1. c) 2 3.− d) 3 2.− e) 2. 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
9. (Uece 2018) Seja f : → definida por 3f(x) .
2 sen x
=
+
 Se M e 
m são respectivamente os valores máximo e mínimo que a função f 
assume, o valor do produto M m é 
a) 2,0. b) 3,5. c) 3,0. d) 1,5. 
 
10. (Fuvest 2018) 
 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 
f(x) sen (x)= e que a linha contínua represente o gráfico da função 
g(x) sen ( x),α β= segue que 
a) 0 1α  e 0 1.β  
b) 1α  e 0 1.β  
c) 1α = e 1.β  
d) 0 1α  e 1.β  
e) 0 1α  e 1.β = 
 
11. (Mackenzie 2018) Se 
2
cos x ,
3
= 
3
x 2 ,
2
π
π  então o valor de 
tgx é igual a 
a) 
5
3
− b) 
5
2
− c) 
5
3
 d) 
5
2
 e) 2 5 
 
12. (Unesp 2018) A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos 
A(72 , 0,309), BB(x , 0,309)− e CC(x , 0,309) são alguns dos 
pontos de intersecção dos gráficos. 
 
Nas condições dadas, B Cx x+ é igual a 
a) 538 
b) 488 
c) 540 
d) 432 
e) 460 
 
13. (Unicamp 2018) Seja x um número real tal que 
sen x cos x 0,2.+ = Logo, | sen x cos x |− é igual a 
a) 0,5. b) 0,8. c) 1,1. d) 1,4. 
 
14. (Mackenzie 2018) Se tg x cotg x 1,− = então o valor de tg 2x é 
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1− e) 2− 
 
15. (Fgvrj 2017) Seja f uma função real tal que x 1f x 1,
x
− 
= − 
 
 para todo 
x real não nulo. 
 
Sendo 0 ,
2
π
θ  o valor de 2f(sen )θ é: 
a) 
2sen θ b) 2cos θ c) 2tg θ d) 2sec θ e) 2cossec θ 
 
16. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a 
temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a 
seguinte fórmula: 
 
2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π= +   
 
em que t é medido em horas e V(t) é medido em 3m . A pressão máxima 
do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante 
a) t 0,4= b) t 0,5= c) t 1= d) t 1,5= e) t 2= 
 
17. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 x 2,π  tal que a 
sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a 
razão dessa PA é igual a 
a) 1. b) 5 4. c) 4 3. d) 1 3. 
 
18. (Mackenzie 2017) Os valores de x (x ), para os quais a função 
1
f(x) tg 3x
3 4
π 
= − 
 
 não é definida, são 
a) k , kπ π+  
b) k , k
2
π
π+  
c) 
3
k , k
4
π
π+  
d) k , k
4
π
π+  
e) 
k
, k
4 3
π π
+  
 
19. (Uerj 2017) No esquema abaixo, estão representados um quadrado 
ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. 
O lado do quadrado mede 3r. 
 
A medida θ do ângulo CAP pode ser determinada a partir da seguinte 
identidade trigonométrica: 
 
tg( ) tg( )
tg( )
1 tg( ) tg( )
α β
α β
α β
−
− =
+ 
 
O valor da tangente de θ é igual a: 
a) 0,65 b) 0,60 c) 0,55 d) 0,50 
 
20. (Pucrj 2017) Considere a equação sen (2 ) cos .θ θ= 
Assinale a soma de todas as soluções da equação com [0, 2 ].θ π 
a) 
2
3
π
 b) 
3
π
 c) 
3
2
π
 d) 
6
π
 e) 3π 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
21. (Mackenzie 2017) O número de soluções que a equação 
24 cos x cos2x cosx 2− + = admite no intervalo [0, 2 ]π é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
22. (Mackenzie 2016) Os gráficos das funções f(x) sen 4x= e 
g(x) cos 3x,= para 0 x ,π  se interceptam em 
a) cinco pontos. 
b) quatro pontos. 
c) três pontos. 
d) dois pontos. 
e) apenas um ponto. 
 
23. (Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ˆABC e 
ˆADC são retos, AB AD 1,= = BC CD 2= = e BD é uma 
diagonal. 
O cosseno do ângulo ˆBCD vale 
a) 
3
5
 b) 
2
5
 c) 
3
5
 d) 
2 3
5
 e) 
4
5
 
 
24. (Pucrj 2016) Sabendo que cos(3x) 1,= − quais são os possíveis 
valores para cos(x)? 
a) 
1
2
 e 1− 
b) 
3
2
 e 
1
2
 
c) 
1
2
 e 1 
d) 1− e 5 
e) 0 e 
3
2
 
 
25. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a 
hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm. 
 
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a 
a) 
2
7
 b) 
3
7
 c) 
2
7
 d) 
2 2
7
 e) 
2 3
7
 
26. (Pucrj 2015) Sabendo que 
3
x
2
π
π   e 
1
sen (x) ,
3
= − é correto 
afirmar que sen (2x) é: 
a) 
2
3
− b) 
1
6
− c) 
3
8
 d) 
1
27
 e) 
4 2
9
 
 
27. (Pucrj 2015) Sabemos que 
4
cos x
5
= e x 0, .
2
π 
  
 
 Quanto vale 
tg 2x? 
a) 
3
4
 b) 
7
24
 c) 
24
7
 d) 
1
25
 e) 
1
24
 
 
28. (Uerj 2015) Considere a função real f, de variável real x, definidapelo 
seguinte determinante: 
 
2cos(x) 2
f(x) para 0 x
1 2cos(x)
π=   
 
Observe o gráfico da função f. 
 
 
Determine os valores de x para os quais f(x) 1.= 
 
29. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de 
diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos. 
 
 
Usando a aproximação 3,π = a medida, em cm, do arco externo do relógio 
determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e 
dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente 
a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20. 
 
30. (Pucrj 2014) Assinale a alternativa correta 
a) sen(1000 ) 0  
b) sen(1000 ) 0  
c) sen(1000 ) cos(1000 ) =  
d) sen(1000 ) sen(1000 ) = −  
e) sen(1000 ) cos(1000 ) = −  
 
31. (Pucrj 2014) Assinale a alternativa correta: 
a) cos(2000 ) 0  
b) sen(2000 ) 0  
c) sen(2000 ) cos(2000 ) =  
d) sen(2000 ) sen(2000 ) = −  
e) sen(2000 ) cos(2000 ) = −  
 
32. (Mackenzie 2014) Em , o domínio da função f, definida por 
sen 2x
f(x) ,
sen x
= é 
a)  x | x k , kπ   
b)  x | 2k x 2k , kπ π π   +  
c) 
3
x | 2k x 2k , k
2 2
π π
π π
 
 +   +  
 
 
d) 
3
x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
π π
π π π π π
 
   +  +   +  
 
 
e) 
3
x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
π π
π π π π π
 
   +  +   +  
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
33. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação 
22 cos x cos(2x) 2, +  em que 0 x ,π  é dado por: 
a) S x (0, ) | 0 x
6
π
π

=   

 ou 
5
x
6
π
π

  

 
b) 
2
S x (0, ) | x
3 3
π π
π
 
=    
 
 
c) S x (0, ) | 0 x
3
π
π

=   

 ou 
2
x
3
π
π

  

 
d) 
5
S x (0, ) | x
6 6
π π
π
 
=    
 
 
e)  S x (0, )π=  
 
34. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x tg x.= O valor de sen x 
é 
a) 
3 1
.
2
−
 
b) 
1 3
.
2
−
 
c) 
5 1
.
2
−
 
d) 
1 5
.
2
−
 
 
35. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo 
comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo 
representam as trajetórias retilíneas AB CD EF,= = contidas nas retas 
de maior declive de cada rampa. 
 
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, 
respectivamente, 1 2h , h e 3h , conclui-se que 1 2h h+ é igual a: 
a) 3h 3 
b) 3h 2 
c) 2h3 
d) h3 
 
36. (Fgvrj 2012) A previsão mensal da venda de sorvetes para 2012, em uma 
sorveteria, é dada por 
x
P 6000 50x 2000cos
6
 
= + +  
 
, em que P é o 
número de unidades vendidas no mês x ; x = 0 representa janeiro de 2012, 
x = 1 representa fevereiro de 2012, x = 2 representa março de 2012 e assim 
por diante. Se essas previsões se verificarem, em julho haverá uma queda na 
quantidade vendida, em relação a março, de aproximadamente: 
 
a) 39,5% b) 38,5% c) 37,5% d) 36,5% e) 35,5% 
 
 
37. (Ibmecrj 2010) O valor de m para que exista um ângulo x com 
( )
2
cosx e tg x m 2
m 1
= = −
−
é dado por: 
a) Um número par. 
b) Um número ímpar. 
c) Um número negativo. 
d) Um número natural maior que 10. 
e) Um número irracional. 
 
38. (Uerj) Considere o teorema e os dados a seguir. 
Se ,α β e α β+ são três ângulos diferentes de k , k ,
2
π
π+  então 
tg tg
tg( ) .
1 (tg )(tg )
α β
α β
α β
+
+ =
−
 
a, b e c são três ângulos, sendo tgb 2= e 
4
tg(a b c) .
5
+ + = 
Calcule tg(a - b + c). 
 
 
39. (Uerj) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 
6.400 km. 
Na representação a seguir, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao 
ponto C, passando por B. 
Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x ; y), em que x 
representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C 
estão indicadas na tabela a seguir. 
 
Considerando π igual a 3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo 
navio no trajeto ABC é igual a: 
a) 11.200 b) 10.800 c) 8.800 d) 5.600 
 
40. (Uerj) Para executar a rotação do vetor (figura 1) de um ângulo θ no 
sentido anti-horário, um programa de computador multiplica-o pela matriz de 
rotação (figura 2). O vetor ω = Rθ . v é o resultado desta rotação. 
a) Para quaisquer θ1 e θ2, demonstre que Rθ1 . Rθ2 = R(θ1+θ2). 
b) Determine o valor de θ que torna verdadeira a igualdade R3θ = - I, na qual I 
é a matriz identidade 2x2. 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [C] 2: [C] 3: [B] 4: [A] 5: [A] 6: [B] 7: [A] 8: [C] 9: [C] 10: [A] 11: [B] 
 
12: [C] 13: [D] 14: [E] 15: [C] 16: [D] 17: [D] 18: [E] 19: [B] 20: [E] 21: [D] 
 
22: [A] 23: [C] 24: [A] 25: [B] 26: [E] 27: [C] 
 
28: Desenvolvendo o determinante, temos: 
= −
=
= −
=
=   = =
2
2
2
f(x) 4cos x 2
fazendo f(x) 1
1 4cos x 2
4cos x 3
3 5
cosx x ou x
2 6 6
π π
 
 
29: [B] 30: [A] 31: [A] 32: [D] 33: [A] 34: [C] 35: [D] 36: [A] 37: [B] 38: - 32 
 
39: [C] 40: a) Demonstração b) θ = 60° ou 
3
π rad 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
Desde que o triângulo ABC é retângulo em A, temos 
AB 1
senACB senACB
2BC
ACB rad.
6
π
=  =
 =
 
O resultado pedido corresponde à soma dos comprimentos dos arcos 1BB e 
1 2B B , isto é, 
1 1 1 2
5
BCB BC B A B AB 2 1
6 2
13
.
6
π π
π
 +  =  + 
=
 
 
Resposta da questão 2: [C] 
Sendo 0 x 2 ,π  x
2
π
 e 
3
x ,
2
π
 temos 
 
senx cosx tgx 1
5
x ou x .
4 4
π π
=  =
 = =
 
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Calculando: 
f(x) 3 5 sen (2x 4)
f(x) 3 5 8 máx
sen (2x 4) 1
f(x) 3 5 2 mín
2 2
Período
k 2
π π
π
= − +
= + = 
+ =   
= − = − 
 = =
 
 
Resposta da questão 4: [A] 
 
Calculando: 
3
sen 120 sen 60
2
1
cos120 cos60
2
 =  =
 = −  = −
 
 
Resposta da questão 5: [A] 
 
Calculando: 
( )
( )
f : ( , )
f( ) cos 0
2 crescente
f(0) cos 0 1
f(0) cos 0 1
decrescente
f( ) cos 0
2
x
cos 0 x x ( , )
2
π π
π
π
π
π
π π π
− →
− 
− = = 
→ 
= =
= =
→ 
= = 
 
 
= → =  →  − 
 
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Se senθ e cosθ são soluções, então, pelas Relações de Girard, temos 
1
sen cos
2
θ θ+ = − e 
k
sen cos .
2
θ θ = 
 
Logo, vem 
2
2 2 21 1(sen cos ) sen 2sen cos cos
2 4
k 1
1 2
2 4
3
k .
4
θ θ θ θ θ θ
 
+ = −  + + = 
 
 +  =
 = −
 
 
Por conseguinte, k é um racional não inteiro. 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
Tem-se que 
1 1 1
| senx | senx ou senx .
2 2 2
   −  
 
Logo, sendo 
7
6
π
 e 
11
6
π
 os arcos cujo seno é igual a 
1
,
2
− bem como 
6
π
 
e 
5
6
π
 os arcos cujo seno é igual a 
1
,
2
 podemos afirmar que a resposta é 
5
x
6 6
π π
  ou 
7 11
x .
6 6
π π
  
 
Resposta da questão 8: [C] 
 
Reduzindo a primeira volta do ciclo trigonométrico temos: 
20 2 1tg 2160 cos tg (0) cos 0
3 3 2x 2 3
5 2 5 3 2sen 2640 cos sen ( ) cos
4 3 4 2 2
π π
π π π
   
 + − + − −   
   
= = = = −
− − − −
 
 
Resposta da questão 9: [C] 
 
Calculando: 
máx
mín
3
f(x)
2 sen x
3M f (x) sen x 1 f(x) 3
1
M m 3 1 3
3m f (x) sen x 1 f(x) 1
3
=
+
=  = −  = =
  =  =
=  =  = =
 
 
Resposta da questão 10: [A] 
 
Vamos supor que α e β sejam reais positivos. 
Sabendo que fIm [ 1,1]= − e fP 2 ,π= dos gráficos, temos 
gIm [ , ],α α= − com 0 1α  e gP 4 .π= Assim, vem 
1
0 1.
2
β =  
 
Resposta da questão 11: [B] 
Se 
3
x 2 ,
2
π
π  então x é um ângulo entre 270 e 360 graus, com 
tangente negativa. Calculando: 
2 2 2 4 5sen x cos x 1 sen x 1 senx
9 3
5 3 5
tgx
3 2 2
+ =  = −  =
 
= −  = −  
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
O gráfico representa a função cosseno. Os pontos Bx e Cx estão 
respectivamente no terceiro e quarto quadrantes. Assim, se 
cos 72 0,309, = então: 
( )
( )
B B
C C
3Q cos x 0,309 x 72 180 252
252 288 540
4Q cos x 0,309 x 36072 288
→ = − → = + = 
+ = 
→ = → = − =  
 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
Tem-se que 
2 2(senx cosx) 0,2 1 2senxcosx 0,04
2senxcosx 0,96.
+ =  + =
 = −
 
 
Logo, sabendo que 
2 2| y | y ,= para todo y , vem 
2 2| senx cosx | (senx cosx) 1 2senxcosx.− = − = − 
 
Em consequência, encontramos 
2| senx cosx | 1 0,96 | senx cosx | 1,96
| senx cosx | 1,4.
− = +  − =
 − =
 
 
Resposta da questão 14: [E] 
2 21tgx cotgx 1 tgx 1 tg x 1 tgx 1 tg x tgx
tgx
− =  − =  − =  − = − 
Portanto, 
2
2 tgx 2 tgx
tg(2x) 2
tgx1 tg x
 
= = = −
−−
 
 
Resposta da questão 15: [C] 
 
Calculando: 
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2
2
22 2
2
2 2 2
2
x 1
f x 1
x
f g(x) x 1
x 1
g(x)
x
x 1
g(x) sen x 1 x sen x x sen 1 x 1 sen 1
x
1 1
x
1 sen cos
1 x 1
quando x f g(x) f f sen
xcos
1 1 cos sen sen
f sen 1
coscos cos cos
f sen
θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
θθ θ θ
− 
= − 
 
= −
−
=
−
= =  − =   −  =   − =
= =
−
− 
=  = = 
 
−  
= − = = =  
 
( ) 2tgθ θ=
 
 
Resposta da questão 16: [D] 
 
Pela equação de Clapeyron (da Química): 
PV nRT
P pressão
V volume
n quantidade de matéria (nº mols)
R constante universal dos gases
T temperatura
=
=
=
=
=
=
 
 
Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a 
pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função 
logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o 
logaritmando for mínimo. Ou seja: 
mín
logaritmando (5 2 sen( t))
f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo
3 3 3
t 2k t 2k t 1,5
2 2 2
π
π π
π
π π
→ +
= + →
= + → = + → = =
 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
Calculando: 
( )1 2 3 2 1 3
2
2 2 2 2
PA a , a , a 2a a a
1 senx
2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cos x 2 sen x 2 2cos x
cos x cos x
sen x 1 cos x
1 cos x 2 2cos x 1 cos x 4 8cos x 4cos x 5cos x 8cos x 3 0
3
cos x ou cos x 1 (não convém)
5
5 4
sec x ; tgx
3 3
5 4 1
PA r r
3 3 3
→ → = +
= + →  = + → + = → = −
= −
− = − → − = − + → − + =
= =
= =
→ = − → =
 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Para que f esteja definida, deve-se ter 
3x k 3x k
4 2 2 4
3
3x k
4
k
x , k .
4 3
π π π π
π π
π
π
π π
−  +   + +
  +
  + 
 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
3r
CÂB tg 1
3r
r 1
PÂB tg
4r 4
11 3 4 34tg tg ( ) tg tg 0,6
1 4 5 51 1
4
α α
β β
θ α β θ α β θ θ
= → = =
= → = =
−
= − → = − = → =  → = =
+ 
 
 
Resposta da questão 20: [E] 
 
( )
( )
sen 2 cos , 0 2
2sen cos cos
2sen cos cos 0
cos 2sen 1 0
θ θ θ π
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
=  
=
− =
− =
 
cos 0θ = ou 2sen 1 0θ− = 
 
De cos 0,θ = 
2
π
θ = ou 
3
2
π
θ = 
 
De 2sen 1 0,θ− = ou seja, 
1
sen ,
2
θ = 
6
π
θ = ou 
5
6
π
θ = 
 
Assim, a soma das raízes da equação ( )sen 2 cos , 0 2θ θ θ π=   é: 
3 5 4 6
2 2 6 6 2 6
3 5
2
2 2 6 6
3 5
3
2 2 6 6
π π π π π π
π π π π
π π
π π π π
π
+ + + = +
+ + + = +
+ + + =
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Resposta da questão 21: [D] 
 
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
sen x
2
2
4cos x cos2x cos x 2
4cos x cos x sen x cos x 2
4cos x cos x sen x cos x 2
3cos x 1 cos x cos x 2
2cos x cos x 1 0
1 1 4 2 1
cos x
2 2
− + =
− − + =
− + + =
+ − + =
+ − =
−  −   −
=

 
1
cosx
2
= ou cosx 1= − 
 
De  
1
cosx , x 0,2 ,
2
π=  
x
3
π
= ou 
5
x .
3
π
= 
 
De  cosx 1, x 0,2 ,π= −  
x .π= 
 
Assim, a equação  24cos x cos2x cosx 2, x 0,2 ,π− + =  admite 
três soluções. 
 
Resposta da questão 22: [A] 
 
As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g são tais que 
 
f(x) g(x) sen4x cos3x
sen4x sen 3x
2
2k
x , k
14 7
 ou .
x 2k , k
2
π
π π
π
π
=  =
 
 = − 
 
= + 

= + 
 
 
Portanto, tomando 0 k 3,  obtemos  5 9 13x , , , , ,
2 14 14 14 14
π π π π π
 
correspondendo, assim, a cinco pontos de interseção. 
 
Resposta da questão 23: [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos 
 
2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2
AC 5.
= +  = +
 =
 
 
Desse modo, vem 
 
CD 2
cos ACD cos ACD .
AC 5
=  = 
 
Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que 
BCD 2 ACD=  e, portanto, 
 
2
2
cosBCD 2 cos ACD 1
2
2 1
5
3
.
5
=  −
 
=  − 
 
=
 
 
Resposta da questão 24: [A] 
 
Sendo k , temos 
 
cos3x 1 cos3x cos
3x 2k
2k 1
x .
3
π
π π
π
= −  =
 =  +

 =
 
 
Por conseguinte, vem cosx 1= − ou 
1
cosx .
2
= 
 
Resposta da questão 25: [B] 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem 
 
2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6
AB 108
AB 6 3 cm.
= +  = −
 =
 =
 
 
Do triângulo ABM encontramos 
 
BM 3 3
tgBAM tgBAM .
6AB 6 3
=  = = 
 
É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM.=  Logo, obtemos 
 
2
2
tgMAC tg(BAC BAM)
2 tgBAM tgBAM
1 2 tgBAM tgBAM
tgBAM
1 2 tg BAM
3
6
3
1 2
6
3 6
6 7
3
.
7
= −
 −
=
+  
=
+ 
=
 
+   
 
= 
=
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
Resposta da questão 26: [E] 
 
2
21 8 2 2cosx 1 cos x cosx
3 9 3
 
= − −  =  =  
 
 
Como 
3
x ,
2
π
π   temos: 
2 2
cosx
3
= − 
 
Portanto: 
sen2x 2senx cosx
1 2 2 4 2
sen2x 2
3 3 9
= 
   
=  −  − =       
 
 
Resposta da questão 27: [C] 
 
Se 
4
cos x
5
= e x 0, ,
2
π 
  
 
 podemos considerar um triângulo retângulo 
com um dos ângulos agudos medindo x, o cateto adjacente a ele medindo 
4 e a hipotenusa medindo 5. 
 
 
 
Calculando a medida do cateto b através do Teorema de Pitágoras, 
podemos escrever: 
2 2 2b 4 5 b 3.+ =  = 
 
Concluímos então que 
3
tgx
4
= e que: 
 
2 2
3 3 3
2
2 tgx 3 16 244 2 2tg(2x) .
9 7 2 7 71 tg x 3 11 16 164


= = = = =  =
−   −−  
 
 
 
 
Resposta da questão 28: 
 
Desenvolvendo o determinante, temos: 
= −
=
= −
=
=   = =
2
2
2
f(x) 4cos x 2
fazendo f(x) 1
1 4cos x 2
4cos x 3
3 5
cosx x ou x
2 6 6
π π
 
 
Resposta da questão 29: [B] 
 
 
 
Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α =  +  =  
 
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o 
ponteiro das horas se desloca 30°, temos: 
 
60min 30
54min

β
 
 
Logo, 27 ,β =  portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°. 
 
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos: 
 
93 2 20
31 cm (considerando, 3)
360
π
π
  
= =

 
 
Resposta da questão 30: [A] 
 
Note que 1000 2 360 280 . =   +  Por conseguinte, sendo 280 um 
arco do quarto quadrante, vem que sen(1000 ) sen(280 ) 0. =   
 
Resposta da questão 31: [A] 
 
Note que 2000 5 360 200 . =   +  Por conseguinte, sendo 200 um 
arco do terceiro quadrante, vem que cos(2000 ) cos(200 ) 0. =   
 
 
Resposta da questão 32: [D] 
 
O maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida é tal que 
 
sen2x 2senxcosx
0 0.
senx senx
   
 
Como senx 0 para x k ,π k , vem 
 
2senxcosx
0 cosx 0.
senx
   
 
Portanto, o resultado pedido é 
 
3
D(f) x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
π π
π π π π π
 
=    +  +   +  
 
 
 
Resposta da questão 33: [A] 
 
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2
2cos x cos 2x 2
2cos x cos x – sen x 2
2cos x cos x – 1– cos x 2
4cos x – 3 
3 3
cosx ou cosx 
2
0
2
+ 
+ 
+

 

−
 
 
 
Logo, o conjunto solução será: 
5
S x (0, ) | 0 x ou x
6 6
π π
π π
 
=      
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Resposta da questão 34: [C] 
 
Sabendo que 
senx
tgx ,
cos x
= com x k
2
π
π + e 
2 2cos x 1 sen x,= − vem 
 
2
2
2
senx
cosx tgx cosx
cosx
cos x senx
sen x senx 1
11
1senx
42
1 5
senx
2 2
5 1
senx .
2
=  =
 =
 + =
 
 − =+ 
 
 + = 
−
 =
 
 
Resposta da questão 35: [D] 
 
Como 
 
sen15 sen(45 30 )
sen45 cos30 sen30 cos45
2 3 1 2
2 2 2 2
6 2
4
 =  − 
=   −  
=  − 
−
=
 
 
Então: 
 
1
1
h a( 6 2)
sen15 h .
a 4
−
 =  = 
 
Além disso,2
2
h a 2
sen45 h
a 2
 =  = 
 
Então: 
 
1 2
a( 6 2) a 2
h h
4 2
a( 6 2)
.
4
−
+ = +
+
=
 
 
Por outro lado, 
 
sen75 sen(45 30 )
sen45 cos30 sen30 cos45
2 3 1 2
2 2 2 2
6 2
4
 =  + 
=   +  
=  + 
+
=
 
Então: 
 
3
3
h a( 6 2)
sen75 h .
a 4
+
 =  = 
 
Portanto, 1 2 3h h h .+ = 
 
Resposta da questão 36: [A] 
 
Mês de Março: ( )
2
P 2 6000 50 2 2000 cos 7100
6
π 
= +  +  = 
 
 
Mês de Julho: ( )
6
P 6 6000 50 6 2000 cos 4300
6
π 
= +  +  = 
 
 
 
Queda da quantia vendida em porcentagem: 
4300 7100
39,5%
7100
−
− 
 
Resposta da questão 37: [B] 
 
Se cosx = 
2
, temos
m 1−
 secx = 
2
1−m
 
tg(x) = 2−m para m 2 
 
Sabendo que, sec2x = 1 + tg2x, temos: 
2
2
21
2
1
−+=




 −
m
m
 
 
Desenvolvendo, temos: 
m2 – 6m + 5 = 0 m = 5 ou m =1 (não convém, pois m 2 ) 
 
 
 
 
Resposta da questão 38: - 32 
 
 
Resposta da questão 39: [C] 
 
Resposta da questão 40: a) Demonstração b) θ = 60° ou 
3
π
 rad