Aula_04_-_Funções_(Parte_1)_-_UNESP_2024

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 1
UNESP 
Prof. Andrew Cazé 
Aula 04 – Funções – Parte 1. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1.0 CONCEITOS INICIAIS 5 
1.1 Definição 5 
1.2 Plano Cartesiano 7 
1.3 Domínio, Contradomínio e Imagem 8 
1.4 Estudo do Domínio das funções reais 10 
1.4.1 Função polinomial simples 10 
1.4.2 Função com 𝒙 no denominador 10 
1.4.3 Função com 𝒙 no radicando (radical com índice par) 12 
1.4.4 Função com 𝒙 no radicando e no denominador simultaneamente 12 
1.4.4 Mais de um caso 12 
1.5 Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora 13 
2.0 FUNÇÃO AFIM 16 
2.1 Definição, forma algébrica e gráfico 16 
2.2 Taxa de Variação 22 
3.0 FUNÇÃO QUADRÁTICA 26 
3.1 Definição, forma algébrica e gráfico 26 
3.2 Máximos e mínimos da função do 2º Grau 33 
3.3 Estudo do Sinal da Função Quadrática 35 
3.4 Inequação do 2º Grau 39 
3.5 Questões de função quadrática 40 
4.0 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM NO GRÁFICO 44 
5.0 FUNÇÃO INVERSA 47 
6.0 FUNÇÃO COMPOSTA 54 
7.0 PARIDADE DE FUNÇÕES 55 
7.1. Função par 56 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 3 
7.2. Função ímpar 57 
8.0 QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 60 
9.0 GABARITO 90 
10.0 QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 91 
11.0 CONSIDERAÇÕES FINAIS 160 
12. VERSÕES DAS AULAS 160 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 4 
Introdução 
 
 
 
Fala, galera! 
Olá, estrategista! 
Seja muito bem-vindo(a) a mais uma aula do Curso Extensivo de Matemática. 
A aula de hoje versa sobre um assunto importantíssimo e que cai, praticamente, em toda 
prova de vestibular que contenha a disciplina matemática: as funções. 
Hoje teremos uma introdução à função e estudaremos seus fundamentos, o plano 
cartesiano e algumas funções especiais. Veremos funções por, praticamente, todo o nosso 
curso. 
Esta e as próximas aulas têm o intuito de fundamentar o nosso conhecimento acerca do 
assunto para conseguirmos avançar em tópicos como geometria, polinômios, análise 
combinatória, trigonometria, entre outros. 
Espero que você aproveite bastante a aula. Vamos lá? Vem comigo! 
Qualquer dúvida, basta me chamar no fórum. 
Grande abraço e bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 5 
1.0 Conceitos Iniciais 
 
 
 “A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza.” 
(Stephen Hawking) 
1.1 Definição 
Já vimos uma noção intuitiva de função na nossa primeira aula, agora vamos expandir 
essa visão. 
Tecnicamente, uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto “de 
partida”, chamado Domínio, a elementos de um conjunto “de chegada”, chamado 
Contradomínio. 
Para que tenhamos realmente uma função, apenas duas regras básicas devem ser 
seguidas: 
 
Em outras palavras, jamais sobrarão elementos no conjunto de partida (domínio) e cada 
elemento do conjunto de partida possuirá um único elemento correspondente no conjunto de 
chegada (contradomínio). 
Geralmente, representaremos os elementos do domínio por 𝑥 e os seus elementos 
correspondentes por 𝑓(𝑥). 
A função é uma espécie de espelho, onde o 𝑥 tem que ter uma imagem e apenas uma 
única imagem 𝑓(𝑥) refletida. 
Imagine um espelho com a seguinte regra: pegar todo objeto que está a sua frente e 
refletir uma imagem duplicada. Vamos começar colocando uma bola de futebol em frente ao 
espelho: 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para 
todo 𝑥 pertencente ao 
Domínio. Sem exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥
deve haver um único 
𝑓(𝑥) correspondente.
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AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 6 
 
Note que uma bola produziu a imagem de duas bolas. Então duas bolas irão produzir a 
imagem de quatro bolar e assim por diante. 
Usualmente, representamos uma função através do seu domínio e do seu 
contradomínio. As imagens produzidas estarão em um subconjunto do contradomínio, o qual 
chamaremos de conjunto imagem. 
Dessa forma, se tempos dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que 
indica como associar cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 a um único 𝑦 ∈ 𝐵. 
 
A maioria das funções terá domínio e contradomínio reais, ou seja 𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 ∈ ℝ, porém 
fique atento às condições de cada problema. 
 
Vamos prosseguir. 
Uma mesma imagem pode ser derivada de dois domínios diferentes, mas o mesmo 
domínio não pode possuir duas imagens. 
Podemos representar essa relação através de um gráfico, com os pontos (𝑥, 𝑦) 
formados, ou através de diagramas de flechas. Veremos a seguir. 
 
𝑓: 𝐴
→ 𝐵 
𝑓:ℝ
→ ℝ 
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AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 7 
1.2 Plano Cartesiano 
O plano cartesiano é um sistema formado por duas retas perpendiculares (formam 
900 entre si), uma na horizontal e a outra na vertical. Ao analisarmos um ponto nessa reta, 
temos o seu “endereço”, ou seja, sua posição sempre nesta ordem: horizontal e vertical. 
Por isso chamamos esses endereços de coordenadas dos pontos de pares ordenados. 
Chamaremos, de agora em diante, as coordenadas horizontais de abscissas e as coordenadas 
verticais de ordenadas. 
A notação mais comum é representamos a abscissa por 𝒙 e a ordenada por 𝒚. 
Logo (𝒙; 𝒚) é uma representação para um par ordenado genérico. 
Desse modo, (2; 3) indica um ponto a duas unidades de distância horizontal e três de 
distância vertical a partir da origem de um plano cartesiano (0,0). Podemos usar vírgula ou 
ponto e vírgula para separar o par. 
Vejamos com o representar essas coordenadas no plano cartesiano. Perceba que os 
eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 8 
 
Alguns detalhes que gostaria que você notasse e os observasse sempre que vir um 
plano cartesiano a partir de agora: 
- Números positivos e negativos, nos eixos, são divididos pelo ponto (0,0). 
- As setas, rigorosamente expressas em apenas uma das extremidades de cada 
eixo, indicam o sentido de crescimento dos números e não, não podem ser 
colocadas em ambas as extremidades, ok? 
- Os números que estão exatamente em cima de um eixo coordenado sempre têm 
uma das coordenadas igual a zero. Se o ponto está no eixo 𝑥, tem a coordenada 𝑦 =
0. Se o ponto está no eixo 𝑦, tem sua coordenada 𝑥 = 0. Essa característica será 
muito útil em toda a nossa jornada na matemática! 
Agora que já sabemos o que é um plano cartesiano, vamos relacionar as funções através 
de diagramas, para desenvolvermos alguns conceitos. 
 
1.3 Domínio, Contradomínio e Imagem 
 
Considere a seguinte relação: 
 
Responda rapidamente. 
A relação acima é uma função? 
Não! Não representa uma função, pois desobedece à condição 1. 
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AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 9 
1) A regra da função deve fornecer um 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 pertencente ao Domínio. 
Sem exceções. 
Vejamos outra relação: 
 
A relação acima representa uma função, pois obedece às duas condições. 
1) A regra da função deve fornecer um 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 pertencente ao Domínio. 
Sem exceções. 
2) Não são aceitas ambiguidades. A cada 𝑥 deve haver um único 𝑓(𝑥) 
correspondente. 
Temos as ideias de domínio e contradomínio bem definidas através dos diagramas. 
Vamos falar do conjunto imagem. 
O conjunto Imagem de uma função, também chamado de conjunto dos valores de 𝑓, é o 
subconjunto do contradomínio que contém somente os elementos relacionados a elementos 
do domínio. 
Resumindo, cada elemento do domínio possuirá uma imagem e essa imagem está 
contida num conjunto maior chamado contradomínio, olha só: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1.10 
 
1.4 Estudo do Domínio das funções reais 
Por conter os valores de 𝑥, elementos do conjunto de partida, o estudo do domínio de 
uma função nos dará a condição de existência da função. 
Assim, encontraremos os possíveis valores de 𝑥, em cada um dos seguintes casos. 
 
1.4.1 Função polinomial simples 
Caso a função seja formada apenas por um polinômio, seu domínio será dado por todos 
os números reais. 
Domínio: {ℝ} 𝒐𝒖 (−∞;∞) 
Vejamos alguns exemplos: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 
Note que, nas funções acima, podemos substituir x por qualquer valor que 
encontraremos um 𝑓(𝑥) correspondente. 
 
1.4.2 Função com 𝒙 no denominador 
Ao encontramos x no denominador de uma função, devemos ter um cuidado a mais, 
pois não existe divisão por zero. 
Dessa forma, devemos diferenciar o denominador de zero. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 11 
Acompanhe o seguinte exemplo. 
Dada a função, 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 1
𝑥2 + 5𝑥 + 6
 
Temos a condição de existência 
𝑥2 + 5𝑥 + 6 ≠ 0 
Aqui, devemos lembrar do cálculo das raízes de uma equação quadrática. 
𝑥 ≠
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 ≠
−5 ± √52 − 4.1.6
2.1
 
𝑥 ≠
−5 ± 1
2
 
𝑥1 ≠ −2 𝑜𝑢 𝑥2 − 3 
Logo, o domínio da função 𝑓(𝑥) será 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ −2 𝑒 𝑥 ≠ −3} 
Vamos treinar com um exemplo um pouco diferente 
𝑔(𝑥) =
2
𝑥2 + 5
 
A condição de existência será 
𝑥2 + 5 ≠ 0 
Dessa forma, 
𝑥2 ≠ −5 
E paramos por aqui, pois qualquer número x que seja elevado ao quadrado, não 
importando o seu sinal, nos retornará um valor diferente de −5. 
Dessa forma, o domínio será dado por 
𝐷𝑔 = {𝑥 ∈ ℝ} 
 
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AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 12 
1.4.3 Função com 𝒙 no radicando (radical com índice par) 
Partindo da premissa de que o radicando precisa ser maior ou igual a zero, quando o 
índice do radical for par, vamos analisar o domínio da seguinte função 
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 
Sendo assim, faremos o radicando ser maior ou igual a zero. 
𝑥 + 1 ≥ 0 
𝑥 ≥ −1 
Logo, o domínio da função será dado por 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ −1} 
Ou ainda 
𝐷𝑓 = [−1,∞[. 
 
1.4.4 Função com 𝒙 no radicando e no denominador simultaneamente 
Misturando os conceitos dos dois tópicos anteriores, iremos fazer o radicando maior 
que zero, quando houver x no radicando e denominador ao mesmo tempo. 
Vamos lá! 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥 + 3
√𝑥 + 1
 
Aplicando a condição de existência: 
𝑥 + 1 > 0 
𝑥 > −1 
Assim, temos o domínio de 𝑓 
𝐷𝑓 = {𝑥 > −1} 
 
1.4.4 Mais de um caso 
Quando identificarmos mais de um dos casos anteriores, basta fazermos a interseção 
dos valores encontrados. 
Considere a seguinte função: 
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AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 13 
𝒇(𝒙) =
√𝒙 + 𝟏
𝒙² − 𝟒
 
Note que teremos duas condições de existência, uma para o numerador e outra para o 
denominador. 
Aplicando a primeira condição, temos que 
𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎 
𝑥 ≥ −1 
Aplicando a segunda, 
𝒙𝟐 − 𝟒 ≠ 𝟎 
𝑥 ≠ ±2 
Fazendo a interseção dos possíveis valores encontrados, teremos o seguinte domínio: 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ −1 𝑒 𝑥 ≠ 2} 
Note que não precisamos escrever que 𝑥 ≠ −2, pois sendo 𝑥 > −1, 𝑥 automaticamente 
será diferente de −2. Pegou o 𝑏𝑖𝑧𝑢?! 
 
1.5 Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora 
Podemos classificar as funções em injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Vamos lá! 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, com 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵, será injetora se encontrarmos imagens 
diferentes para domínios diferentes. 
𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 
 
Podemos notar isso na função 𝑓:ℝ → ℝ, dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1. 
Para cada valor de 𝑥, encontraremos um valor diferente de 𝑓(𝑥), veja só: 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
−𝟏 3. (−1) + 1 = −2 
𝟎 3. (0) + 1 = 1 
𝟏 3. (1) + 1 = 4 
... ... 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 14 
Injetiva (ou injetora) → quando não há elementos da imagem relacionados a mais 
de um elemento do domínio. Em outras palavras, não há dois elementos distintos de 
A com a mesma imagem de B. 
 
Vejamos um exemplo com diagramas: 
 
Pode-se dizer que, para uma função injetiva, se 𝒇(𝒙𝟏) ≠ 𝒇(𝒙𝟐), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐. 
Podemos definir graficamente se uma função é injetora ou não. 
Acompanhe os seguintes gráficos: 
 
Note que, no gráfico acima, todos os valores de 𝑥, possuem imagens distintas no eixo 𝑦, 
diferente do que acontece no gráfico abaixo, onde temos valores de 𝑦 sendo imagem de mais 
de um 𝑥. 
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AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 15 
` 
Por outro lado, uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, com 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵, será sobrejetora quando a 
imagem da função f corresponder ao conjunto contradomínio, ou seja, Im(𝑓) = 𝐵. 
Sobrejetiva (ou sobrejetora) → quando todos os elementos do contradomínio 
recebam correspondência de pelo menos um elemento do domínio. 
Não sobram elementos em B que não sejam imagem de elemento de A. 
Considere a função 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥. Podemos notar facilmente que todo elemento 
do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio. 
 
Assim, para uma função ser sobrejetiva, basta que o contradomínio seja igual à imagem, 
não importando se há a sobreposição ou não. 
 
Por fim, uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, com 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 será considerada bijetora quando 
for injetora e sobrejetora simultaneamente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 16 
Sendo assim, a função não deve apresentar sobreposição e ter o conjunto domínio 
idêntico ao conjunto imagem, como no diagrama a seguir. 
 
Podemos notar isso na função 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. 
𝒙 𝒇(𝒙) 
−𝟏 2. (−1) − 1 = −3 
𝟎 2. (0) − 1 = −2 
𝟏 2. (1) − 1 = −1 
... ... 
 
2.0 Função Afim 
2.1 Definição, forma algébrica e gráfico 
Vamos começar o tópico com um exemplo. 
Imagine a seguinte situação: 
Um vendedor de automóveis tem seu salário mensal composto de uma parte fixa de 2 mi
l reais e uma comissão (variável), de acordo com o número de carros vendidos. A cada carro 
vendido, ganha 50 reais de comissão. 
Podemos representar essa situação algebricamente, através da função: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 17 
𝒇(𝒙) = 𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝟎 
Esse tipo de função, composto de uma parte fixa, com um termo independente de 
variável, e outra parte variável, com uma variável de grau 1, é chamada de função afim ou 
função do primeiro grau. 
Esse tipo de função terá um crescimento linear, assim como a progressão aritmética já 
estudada. Inclusive muitas questões de P.A. podem ser resolvidas através dos conceitos de 
função do primeiro grau. 
Assim, a forma genérica de representar uma função do 1º grau é 
 
Toda função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 números reais e 𝑎 ≠ 0, é denominada 
função polinomial do 1° grau ou função afim. 
O gráfico cartesiano da função afim é uma reta. Ele pode ser obtido representando-se 
dois pontos distintos de 𝑓 e traçando-se a reta que passa por eles. 
 
Os coeficientes 𝑎 e 𝑏 representam constantes numéricas (não variáveis) e 𝑎 é diferente 
de zero, para que a função tenha grau um, daí o nome. 
A função do 1º grau, ou função afim, possui seu gráfico em formato de reta, onde os 
coeficientes 𝑎 e 𝑏 exercem papel fundamental. Vejamos todos os pontos importantes das 
funções do 1º grau. 
 
Coeficiente angular (𝒂): determina o ângulo que a reta forma com o eixo horizontal 
(𝑥). Quanto maior seu módulo, mais vertical a reta será. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 18 
→ Se for positivo, a reta será crescente, como nas funções abaixo: 
 
 
→ Se for negativo, a reta será crescente, na forma das seguintes funções: 
 
Perceba nos exemplos que todas as retas cruzam a origem do plano cartesiano (0; 0), 
logo elas são do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥, ou seja 𝑏 = 0. 
Aprofundaremos o estudo do coeficiente angular na aula sobre trigonometria, veremos 
em detalhes como esse coeficiente representa a tangente do ângulo entre a reta e o eixo 𝑥.O coeficiente angular pode ser calculado, através da seguinte fórmula: 
 
Isso justifica o fato de o sinal do coeficiente alterar a inclinação da reta. 
𝑎 = 𝑡𝑔 𝛼 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 19 
Coeficiente angular positivo, a reta crescente, pois nos quadrantes ímpares a tangente 
é positiva. 
Coeficiente angular negativo, a reta será decrescente, pois nos quadrantes pares a 
tangente é negativa. 
Aprofundaremos esse conceito na aula de trigonometria, não se preocupe! 
Vamos continuar! 
 
Coeficiente linear (𝒃): determina o ponto de intersecção entre a reta e o eixo 𝑦, 
também conhecido como intercepto-y. 
Nos seguintes exemplos utilizamos uma mesma função, modificando apenas os valores 
de b: 
 
O ponto onde a reta corta o eixo 𝑦 tem sempre coordenada (0; 𝑦). Assim, podemos 
concluir que: 
Toda função do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 intercepta o eixo das ordenadas sempre em um ponto 
(0; 𝑏), ou seja, 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑏. Ou seja, b é onde a reta corta o eixo 𝑦. 
Testemos nossas habilidades. Como seria o gráfico de, digamos, 𝑦 = −2𝑥 + 5? 
O gráfico dessa função deve ser decrescente, pois o coeficiente linear 𝑎 é negativo; e 
interceptar o eixo 𝑦 em (0; 5), pois o coeficiente linear é 𝑏 = 5. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 20 
 
Raiz da função (ou zero da função) → determina o ponto onde a reta da função 
corta o eixo 𝑥, também é conhecido como 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 − 𝑥. Em outras palavras, a raiz 
é o valor de 𝑥 para o qual 𝑦 = 0. 
Para calcularmos a raiz da função, basta substituir 𝒚 = 𝟎 na sua lei de formação. 
Vamos calcular o zero da função do exemplo anterior: 
𝑦 = −2𝑥 + 5 
0 = −2𝑥 + 5 
2𝑥 = 5 
𝑥 =
5
2
 
𝑥 = 2,5 
Assim, dizemos que a raiz da função 𝑦 = −2𝑥 + 5 é 𝑥 = 2,5. 
Uma observação importante, se 𝑎 for igual a zero, esse tipo de função será chamado de 
função constante e, para esse caso específico, tem o seguinte gráfico: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 21 
 
Ou seja, não importa o valor de 𝑥, o gráfico passará sempre pelo mesmo ponto em 𝑦 =
 𝑏 
 
 
De acordo com o que vimos até agora, há 6 tipos principais de funções de primeiro grau, 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, não constantes, veja a seguir: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 22 
 
 
Atenção, apenas nomeamos os tipos de função de 1 a 6 para de numerar os tipos com 
um fim didático. Não se refira em uma prova a uma função do tipo 5 por exemplo. Ao invés 
disso, explicite as condições dos coeficientes 𝑎 e 𝑏. 
 
2.2 Taxa de Variação 
A função do primeiro grau possui crescimento linear. Esse crescimento depende do valor 
do coeficiente angular, quanto maior o valor de a, mais acentuado será esse crescimento. 
Dessa forma, o coeficiente angular (a) também recebe o nome de taxa de variação. 
Podemos calculá-lo, também, quando conhecemos dois pontos, A e B, de uma função afim. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 23 
 
Onde 𝛥𝑦 é a variação entre as ordenadas dos dois pontos e 𝛥𝑥, a variação entre as 
abscissas dos pontos A e B. 
Podemos reescrever a expressão, da seguinte forma 
 
Vejamos algumas questões envolvendo funções do 1º grau: 
1. (ENEM / 2018 / QUESTÃO 180 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELA) Uma 
indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de 
combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes 
até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra 
o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no 
eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal). 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a 
distância percorrida pelo automóvel é 
a) − 10𝑥 + 500 
𝑏) −
𝑥
10
+ 50 
𝑐) −
𝑥
10
+ 500 
𝑎 =
Δ𝑦
Δ𝑥
 
𝑎 =
yA − yB
xA − xB
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 24 
𝑑)
𝑥
10
+ 50 
𝑑)
𝑥
10
+ 500 
Comentários: 
Pelo gráfico, observamos que se trata de uma função de primeiro grau cujo coeficiente linear é 
igual a 50 ⟶ ponto em que a reta toca no eixo y. 
Na análise gráfica, percebemos que a reta passa pelos pontos (0, 50) e (500, 0). 
No cálculo do coeficiente angular dessa função, temos: 
𝑎 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
50 − 0
0 − 500
=
50
−500
= −
1
10
 
Portanto a lei de formação da função é dada por 
𝑦 = −
𝑥
10
+ 50. 
Gabarito: B 
2. (UNESP/2018 - Questão 86) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de 
rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais 
os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas 
tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os 
segmentos de retas nos gráficos. 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas 
pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares após 
8,225 anos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 25 
9,375 anos. 
10,025 anos. 
10,175 anos. 
9,625 anos. 
Comentários 
Utilizando o eixo x como o tempo em anos, e y a reflexão dos raios solares, em percentual, 
temos como calcular a equação das funções afins, da seguinte forma: 
Pista de concreto (𝑏 = 35): 
𝑎𝑐 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥2
=
25 − 35
6 − 0
= −
5
3
 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = −
5
3
𝑥 + 35 
 
Pista de asfalto (𝑏 = 10): 
𝑎𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥2
=
16 − 10
6 − 0
= 1 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 𝑥 + 10 
Agora podemos igualar as equações para descobrir em quanto tempo (eixo x) as duas pistas 
terão a mesma porcentagem de reflexão: 
−
5
3
𝑥 + 35 = 𝑥 + 10 
−5𝑥 + 105 = 3𝑥 + 30 
−5𝑥 − 3𝑥 = 30 − 105 
−8𝑥 = −75 
𝑥 = 9,375 𝑎𝑛𝑜𝑠 
Gabarito: b) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 26 
3.0 Função Quadrática 
3.1 Definição, forma algébrica e gráfico 
Nos mesmos moldes da análise anterior, temos que uma função de segundo grau (ou 
quadrática) é da forma 
 
Outra maneira de igualmente representá-la é trocando 𝑓(𝑥) por 𝑦: 
𝒚 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Diferentemente da função do primeiro grau, que tem apenas dois coeficientes, aqui 
vemos três coeficientes; 𝒂, 𝒃, 𝒄. 
Outra diferença gira em torno do gráfico, pois o gráfico da função do segundo grau é 
uma parábola. 
Tomemos como exemplo o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2: 
 
𝒇(𝒙) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 27 
Perceba que o gráfico apresenta simetria axial1 e esse eixo é exatamente o eixo vertical, 
ou seja, os valores de 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Essa característica é consequência do expoente par da 
função e a classifica como função par, mas veremos essa classificação na aula 02. Por 
enquanto, basta notar a simetria e saber que nem toda função quadrática é par. 
Vale ressaltar que toda função do 2º grau possui eixo de simetria, uma reta vertical 
paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. Esse eixo 
divide a parábola em duas metades, uma crescente e outra decrescente. 
Da mesma forma que fizemos para a função de primeiro grau, iremos analisar cada 
coeficiente. 
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 → o sinal de 𝒂 tem interferência direta no gráfico da função. Se ele 
for positivo (𝒂 > 𝟎) sua concavidade (abertura) será voltada para cima. Se for 
negativo (𝒂 < 𝟎), sua concavidade será voltada para baixo. 
Vejamos: 
 
Uma maneira de memorizar isso é utilizar um esquema de emojis, positivo, emoji feliz, 
negativo, emoji triste: 
 
1 Simetria Axial: diz-se de uma figura que tem, pelo menos, um eixo que a divide em duas partes semelhantes, iguais, 
correspondentes. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 28 
 
Vale ressaltar que 𝑎 ≠ 0, para termos uma função quadrática.𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒃 → o sinal de 𝑏 nos mostra qual parte da parábola está cruzando o 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. Se a parábola cruza eixo y na metade em que ela está crescendo, então o 
"b" é positivo. Se cruza o eixo "y", na metade que está decrescendo, o "b" é 
negativo. Se cruza no vértice então 𝑏 = 0. 
Calma, vamos entender melhor, analisando o gráfico das seguintes funções: 
 
Se você imaginar o eixo de simetria de cada uma das funções, perceberá que todas elas 
cruzam o eixo y na metade em que a parábola está crescendo, logo todas possuem 𝒃 > 𝟎, 
exceto a função 𝑦 = 𝑥2, que possui 𝑏 = 0. 
Vejamos agora funções com o 𝑏 negativo: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 29 
 
Se você imaginar o eixo de simetria de cada uma das funções, perceberá que todas elas 
cruzam o eixo y na metade em que a parábola está decrescendo, logo todas possuem 𝒃 < 𝟎, 
exceto a função 𝑦 = 𝑥2, que possui 𝑏 = 0. 
Note que o mesmo aconteceria para as duas situações, independentemente do valor de 
a. 
Em resumo: 
 
 
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑪 → chamado de termo independente, o coeficiente 𝑐 indica a 
ordenada (valor de y) do ponto de interseção da parábola com o eixo vertical. 
Ou seja, o ponto de encontro da parábola com o eixo y será o ponto (0, 𝑐). Olha só: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 30 
 
Na função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝒄, o termo independente traz a informação do 
𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕𝒐 − 𝒚. 
Já que falamos em 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 − 𝑦, vamos falar de 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 − 𝑥 da função do 2º grau. 
 
Raízes → a função do 2º grau, no conjunto dos números reais, pode ter duas 
raízes, uma raiz ou nenhuma raiz. O número de raízes (ou zeros) será exatamente 
igual ao número de pontos em que a parábola intercepta o eixo horizontal. 
 Como exemplo, vamos calcular as raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, igual fizemos na 
função do 1º grau, ou seja, fazendo 𝑦 = 0: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 
0 = 𝑥2 − 1 
1 = 𝑥2 
√1 = √𝑥2 
1 = |𝑥| 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 31 
±1 = 𝑥 
Duas raízes indicam que a função corta o eixo x nos pontos (−𝟏; 𝟎) e (𝟏; 𝟎). Outro 
exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
0 = 𝑥2 + 1 
−1 = 𝑥2 
√−1 = √𝑥2 
Perceba que não existe, no conjunto dos números reais, a raiz quadrada de número 
negativo. Nesse caso, a parábola ficará “flutuando”, a função estará toda acima ou toda abaixo 
do eixo x, sem “tocá-lo”, como veremos a seguir, no estudo do discriminante ∆. 
Show de bola, vamos lá! 
 
Quando quisermos calcular as raízes de uma função do 2º grau, igualamos ela a zero: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Transformamos a função em uma equação do 2º grau, cujo cálculo é pela fórmula que 
vimos na aula anterior: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥′′ =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Ou, em sua forma alternativa, 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
{
 
 
 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥′′ =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
Note que o discriminante ∆, sempre está dentro da raiz quadrada: 
√∆ 
Significa dizer que o valor do ∆ nos diz exatamente o número de zeros da função. Oh! 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 32 
∆ ≥ 𝟎 → a função possui duas raízes reais diferentes. 
∆ = 𝟎 → a função possui uma raiz real (ou duas raízes iguais). 
∆≤ 𝟎 → a função não possui raízes reais. 
A título de curiosidade, pois iremos aprofundar na aula específica, para o caso ∆ < 0, 
existem também duas raízes, mas elas são do domínio dos números complexos. Perceba que 
eu disse que não havia raízes no conjunto dos números reais. 
Acompanhe a análise do próximo exercício. 
3. Considerando a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑚 + 2)𝑥 + 1, 
O valor de 𝑚 para que 𝑓(𝑥) tenha apenas uma raiz de multiplicidade dois é 
a) 𝑚 = −2 ou 𝑚 = 2 
b) 𝑚 = 2 
c) 𝑚 = 0 ou 𝑚 = −4 
d) 𝑚 = −2 
Comentários 
Para que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑚 + 2)𝑥 + 1 tenha duas raízes iguais, o seu discriminante deve 
valer zero. 
Dessa forma: 
∆= 0 
∆= √𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 
√(𝑚 + 2)2 − 4.1.1 = 0 
(√(𝑚 + 2)2 − 4)
2
= 02 
|(𝑚 + 2)2 − 4| = 0 
(𝑚 + 2)2 − 4 = 0 
𝑚² + 4𝑚 + 4 − 4 = 0 
𝑚² + 4𝑚 + 4 − 4 = 0 
𝑚2 + 4𝑚 = 0 
Chegamos a uma nova equação quadrática, a qual resolveremos por fatoração: 
𝑚(𝑚 + 4) = 0 
𝑚 = 0 𝑜𝑢 (𝑚 + 4) = 0 
𝑚 = 0 𝑜𝑢 𝑚 = −4 
Gabarito: C 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 33 
3.2 Máximos e mínimos da função do 2º Grau 
Outro ponto importantíssimo é o vértice da parábola. O vértice está sempre no eixo de 
simetria que divide a parábola em uma parte crescente e outra decrescente, como vimos 
anteriormente. 
O vértice da parábola será chamado de mínimo da função, quando 𝑎 > 0, e será 
chamado de máximo, quando 𝑎 < 0. Não confunda! 
Vejamos um gráfico genérico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐: 
 
O vértice é o ponto mais alto, ou mais baixo, da parábola e possui duas coordenadas: x 
vértice e y vértice (𝑋𝑣; 𝑌𝑣). Vamos calculá-los de maneira prática: 
Como a parábola é sempre simétrica, podemos dizer que a coordenada x do vértice, ou 
x vértice, está bem no meio entre as raízes, assim, podemos calculá-lo pela média aritmética 
das raízes: 
 
Já para descobrir a coordenada y do vértice, podemos aplicar o valor de x vértice na 
própria função, como sempre fazemos para o cálculo do valor numérico para um 𝑥 
determinado, veja: 
 
𝒙𝒗 =
𝒙′ + 𝒙′′
2
 
𝑦𝑣 = 𝑎𝒙𝒗
2 + 𝑏𝒙𝒗 + 𝑐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 34 
Se aplicarmos a coordenada x do vértice, a coordenada y corresponderá, também, ao 
vértice. 
Existe outra forma de calcular as coordenadas do vértice, acompanhe a seguinte 
demonstração. 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, cujas raízes são dadas por: 
𝑥1 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
 𝑒 𝑥2 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎
 
Vamos substituir o valor das raízes na expressão do 𝑥𝑣, que utiliza a média aritmética 
das raízes. 
𝒙𝒗 =
𝒙′ + 𝒙′′
2
 
𝒙𝒗 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎 +
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
2
 
Efetuando as operações no numerador, temos 
𝒙𝒗 =
−𝑏 + √𝛥
2𝑎 +
−𝑏 − √𝛥
2𝑎
2
 
𝒙𝒗 =
−2𝑏
2𝑎
2
 
𝒙𝒗 =
−𝑏
𝑎
2
 
Divisão de fração? Repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda... 
𝒙𝒗 =
−𝒃
𝟐𝒂
 
Para o 𝑦𝑣, iremos substituir a nova expressão do 𝑥𝑣, na função dada: 
𝑦𝑣 = 𝑎𝒙𝒗
2 + 𝑏𝒙𝒗 + 𝑐 
𝑦𝑣 = 𝑎 (−
𝒃
𝟐𝒂
)
2
+ 𝑏 (−
𝒃
𝟐𝒂
) + 𝑐 
Efetuando as operações 
𝑦𝑣 =
𝑎𝑏2
4𝑎2
−
𝑏2
2𝑎
+ 𝑐 
𝑦𝑣 =
𝑏2
4𝑎
−
𝑏2
2𝑎
+ 𝑐 
Para finalizar, vamos realizar o procedimento adequado de soma e subtração de frações 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 35 
𝑦𝑣 =
𝑏2
4𝑎
−
2𝑏2
4𝑎
+
4𝑎𝑐
4𝑎
 
𝑦𝑣 =
𝑏2 − 2𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
 
𝑦𝑣 =
−𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
 
Note que podemos reescrever a fração, da seguinte forma: 
𝑦𝑣 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
Pronto! O numerador é exatamente o valor do discriminante 𝛥, logo: 
𝑦𝑣 = −
𝛥
4𝑎
 
Alternativamente, podemos nos utilizar das seguintes expressões: 
 
Em resumo: 
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = 𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (
−𝑏
2𝑎
;
−∆
4𝑎
) 
 
3.3 Estudo do Sinal da Função Quadrática 
Para o estudo do sinal da função do 2º grau, precisamos fazer um esboço do seu gráfico 
e, para isso, iremos revisar dois pontos importantes. 
O primeiro é quanto ao sinal do coeficiente 𝑎: 
 
O segundo diz respeito ao sinal do discriminante 𝛥. 
Coeficiente 
Angular
𝑎 > 0 Concavidade 
voltada para cima
𝑎 < 0 Concavidade 
voltada para baixo
𝒙𝒗 =
−𝑏
2𝑎
 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 36 
 
Agora sim, podemos misturar esses dois tópicos e fazer o chamado estudo do sinal da 
função quadrática. 
Observe com calma o quadro a seguir: 
 
Note que na primeira linha, temos todas as concavidades voltadas para cima, pois 𝑎 > 0. 
Na segunda linha da tabela, concavidades voltadas para baixo, porque 𝑎 < 0. 
Quanto ao sinal do discriminante, podemos perceber a parábola tocando em dois 
pontos,um ponto ou nenhum ponto do eixo 𝑥. 
Estudar o sinal da função é entender o comportamento do sinal da imagem, 𝑓(𝑥), de 
acordo com os valores da imagem. Em outras palavras, estudar o sinal da função é dizer 
quando que 
𝑓(𝑥) > 0, 
𝑓(𝑥) = 0 
Ou 
𝑓(𝑥) < 0. 
Coeficiente Angular
Δ > 0
Duas raízes reais 
diferentes. (o gráfico corta 
o eixo 𝑥 em dois pontos).
Δ = 0
Duas raízes reais iguais. O 
gráfico corta o eixo 𝑥 em 
um único ponto.
Δ < 0 Nenhuma raiz real. O 
gráfico não corta o eixo 𝑥.
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 37 
Vejamos o primeiro caso, onde 𝑎 > 0 e 𝛥 > 0. 
 
No gráfico, para 𝑥 igual a uma das raízes, a parábola corta o eixo x, assumindo sempre 
valor de 𝑓(𝑥) = 0. 
 
Especificamente para o nosso exemplo, os valores de 𝑥 menores que 𝑥1, assim como os 
valores de 𝑥 maiores que 𝑥2, tornam a função positiva. 
Já os valores de 𝑥 compreendidos entre 𝑥1 e 𝑥2 tornam a função negativa. 
Assim, o estudo do sinal para o exemplo fica: 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑥1 𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥2 
𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥1 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑥2 
𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 
Vejamos num exemplo concreto: 
(Exemplo) para que valores de 𝑥 a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 assume valores positivos? 
Comentários: 
Primeiramente, precisamos calcular as raízes da função. 
𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
𝛥 = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 38 
𝛥 = 4 
Se 𝛥 > 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos. 
Finalizando, chegaremos às raízes 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 1. 
O esboço do gráfico ficará da seguinte forma: 
 
Assim, a função assume valores positivos para 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3. 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑥1 𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥2 
Vejamos outro exemplo, um pouco diferente. 
(Exemplo) estude o sinal da função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 1. 
Novamente, precisamos calcular as raízes da função. 
𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
𝛥 = (1)2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1) 
𝛥 = −3 
Se 𝛥 < 0, a parábola não corta o eixo 𝑥, teremos uma parábola suspensa. 
Dessa forma, não teremos raízes, entretanto note que a concavidade da parábola será 
voltada para baixo, pois 𝑎 < 0. 
O esboço do gráfico ficará da seguinte forma: 
 
Podemos perceber que o sinal da função sempre será negativo, para qualquer valor de 
𝑥. Assim, o estudo do sinal, para este exemplo, será dado por: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 39 
𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ ℝ. 
3.4 Inequação do 2º Grau 
Dada uma função quadrática do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, uma inequação do 2º grau 
pode ser de 4 tipos. 
Inequações do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 buscam os valores de 𝑥 para os a função 𝑓(𝑥) é 
positiva. 
Já as inequações do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 buscam os valores de 𝑥 para os a 
função 𝑓(𝑥) é negativa. 
As inequações do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 visam encontrar os valores de x que tornam a 
função maior ou igual a zero. 
E, por último, as desigualdades do tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎 visam encontrar os valores de 
𝑥 que tornam a função menor ou igual a zero. 
Em apertada síntese, resolver uma inequação é estudar o sinal da função, 
especificamente para o sinal pretendido. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
(Exemplo) Resolver a inequação −𝑥2 + 6𝑥 − 9 > 0. 
Comentários: 
Precisamos descobrir os valores de x que tornam a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 positiva. 
Começando pelo cálculo das raízes: 
𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
𝛥 = (6)2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−9) 
𝛥 = 0 
Assim, teremos apenas uma raiz, qual seja 𝑥 = 3. 
Como 𝑎 < 0, a concavidade da parábola será voltada para baixo, ficando nosso esboço da 
seguinte forma: 
 
Note que não existem valores de 𝑥, para os quais 𝑓(𝑥) > 0. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 40 
Dessa forma, nossa resposta será um conjunto vazio. 
𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 = ∅ 
 
(Exemplo) resolver a inequação 𝑥2 − 2𝑥 − 8 ≤ 0. 
Comentários: 
Precisamos descobrir os valores de 𝑥 que tornam a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 8 negativa ou 
igual a zero. 
Começando pelo cálculo das raízes: 
𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 
𝛥 = (−2)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−8) 
𝛥 = 36 
Assim, teremos duas raízes, quais sejam 𝑥 = 4 e 𝑥 = −2. 
Como 𝑎 > 0, a concavidade da parábola será voltada para cima, ficando nosso esboço da 
seguinte forma: 
 
Note que não existem valores de 𝑥, para os quais 𝑓(𝑥) ≥ 0. 
Dessa forma, nossa resposta será 
𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 = {𝑥 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 4} 
 
3.5 Questões de função quadrática 
4. (ENEM / 2015 / QUESTÃO 136 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um 
estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior 
dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão 𝑇(ℎ) = – ℎ² + 22ℎ – 85, em que h 
representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível 
quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 41 
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no 
interior da estufa está classificada como 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
Comentários 
Para obter a maior temperatura possível, precisamos entender que a temperatura será máxima 
no vértice da parábola, pois 𝒂 < 𝟎. 
𝑇(𝐻) = −𝐻2 + 22𝐻 − 85 
Dessa forma, calcularemos a coordenada 𝑦 do vértice, representada por 𝑇𝑣. 
𝑇𝑣 =
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
 
𝑇𝑣 =
−[222 − 4(−1)(−85)]
2(−1)
 
𝑇𝑣 =
−(484 − 340)
4(−1)
 
𝑇𝑣 =
−(144)
−4
= 36 
Dessa forma, a temperatura no interior da estufa, quando o número de bactérias é máximo, é 
considerada alta, de acordo com a tabela. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 42 
Gabarito: D 
5. (Fuvest/2015 – Questão 45 – Prova V) A trajetória de um projétil, lançado da beira 
de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo 
de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da 
perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o 
instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do 
projétil, de 200m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida 
por P, a partir do instante do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno 
estava o projétil quando foi lançado? 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
Comentários 
Primeiramente, devemos selecionar onde estará situado o plano cartesiano. Posicionaremos o 
eixo y bem no eixo de simetria da trajetória parabólica. Já o eixo x será ao nível do solo. 
Vejamos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 43 
 
Já vimos nessa aula que esse tipo de parábola não deve apresentar o termo 𝑏𝑥 em sua 
equação, ou seja, é do tipo 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
 
Você deve ter percebido que o coeficiente 𝑎 deve ser negativo, pois a parábola tem 
concavidade para baixo. No entanto, não devemos colocar o sinal agora, ele deve aparecer 
quando descobrirmos o valor de 𝑎. 
Como 𝑦 em 200, temos diretamente que o coeficiente 𝑐 = 200, assim: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
Além disso, a trajetória toca o solo (𝑦 = 0 ) no ponto de abscissa 𝑥 = 20. Podemos, então, 
substituir esses valores na equação da parábola para descobrir o valor do coeficiente 𝑎. 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
0 = 𝑎. 202 + 200 
0 = 𝑎. 400 + 200 
Subtraindo 200 de ambos os membros: 
−200 = 𝑎. 400 
Dividindo por 400 em ambos os membros: 
−
200
400
=
𝑎. 400
400
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 44 
−
1
2
= 𝑎 
Conforme havíamos previsto, o coeficiente 𝑎 é realmente negativo. 
Assim, completamos nossa parábola da trajetória: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200𝑦 = −
1
2
𝑥2 + 200 
Como queremos saber qual é a altura do terreno em relação ao solo e o lançamento ocorreu na 
posição 𝑥 = −10 em nosso sistema de coordenadas, temos: 
𝑦 = −
1
2
𝑥2 + 200 
𝑦 = −
1
2
(−10)2 + 200 
𝑦 = −
1
2
. 100 + 200 
𝑦 = −50 + 200 
𝑦 = 150 
Simbolizando que a altura do terreno, em relação ao solo, é de 150 metros. 
Gabarito: d) 
4.0 Domínio, Contradomínio e Imagem no Gráfico 
Voltemos ao aos conjuntos: domínio, contradomínio e imagem das funções. 
Veremos como reconhecer os conjuntos domínio, contradomínio e imagem diretamente 
no gráfico. Utilizemos, como exemplo, a função: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 45 
 
Perceba que, enquanto podemos colocar quaisquer valores reais para a variável 
independente 𝑥, os valores de 𝑓(𝑥) sempre serão iguais ou maiores que 1. Dessa forma, 
podemos dizer que o conjunto imagem para essa 𝑓(𝑥) é: 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 ≥ 1} 
O conjunto imagem da função está relacionada com o eixo y. 
O conjunto domínio está relacionado com o eixo x. 
A própria função não apresenta condições para o domínio. Vale ressaltar que a parábola 
é infinita para os dois lados, então o domínio será todo o conjunto dos números reais: 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ} 
Veja outro exemplo: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 46 
 
Agora os valores para 𝑥 estão delimitados ao intervalo [-2;1[. 
Quando delimitamos os valores da variável independente, os valores da variável 
dependente, ou da função, apresentam a consequência que, neste caso, é a de ter seus 
valores limitados, no eixo 𝑦, a valores compreendidos no intervalo [1;5[. 
Explicitando para o gráfico apresentado temos: 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ: 1 ≤ 𝑦 < 5} 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ:−2 ≤ 𝑥 < 1} 
Dizemos que essa função é válida apenas para o intervalo específico de seu domínio. 
Percebemos, acima, que uma função pode ser válida apenas em um intervalo. 
O que veremos agora é que, na verdade, podemos ter várias definições diferentes para 
intervalos diferentes. Por exemplo: imagine um vendedor de seguros que tem seu salário dado 
pelas seguintes condições: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 47 
 
Vamos simbolizar essa informação em um plano cartesiano? 
 
O esboço mostra que, para diferentes faixas de volume vendido, há comportamentos 
distintos para o salário. Essa é uma situação muito comum no dia a dia comercial. 
Não se esqueça de que as “bolinhas” fechadas no gráfico simbolizam pontos de 
inclusão, equivalentes à parte de igualdade do símbolo de ≤ utilizado na definição algébrica da 
função por intervalos. 
 
5.0 Função Inversa 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 48 
Já iniciaremos os estudos da função inversa com um sinal de alerta. 
 
O inverso de um número é uma fração com esse número no denominador. 
O inverso de 5 é 1 5⁄ . 
Uma função inversa não tem a ver com esse conceito! 
A inversa de uma função é outra função que cumpre um papel específico: o de 
“desfazer” o que foi feito pela função original. Ou seja, o que era domínio na função original 
𝑓(𝑥) vira imagem na função inversa 𝑓−1(𝑥), e o que era imagem na função original vira 
domínio. 
Se temos uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
e sua inversa 𝑓: 𝐵 → 𝐴 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
, 
podemos perceber que um elemento do conjunto A (domínio) possui um correspondente 
em B (imagem), como por exemplo 𝑥 = 1. 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑓(1) = 2 ⋅ 1 + 5 = 7 
 
Se pegarmos essa imagem obtida, 7, e calcularmos sua imagem, através da função 
inversa, 𝑓−1, teremos 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
 
𝑓−1(7) =
7 − 5
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 49 
𝑓−1(7) = 1. 
Portanto, o que era domínio na função original 𝑓(𝑥) vira imagem na função inversa 
𝑓−1(𝑥), e o que era imagem na função original vira domínio. 
Na prática, precisamos saber como transformar uma função na sua inversa, para isso 
temos uma regra: 
Regra para determinar a função inversa: inverter a notação de 𝑥 e 𝑓(𝑥) na função 
inicial e, então, isolar o 𝑥. Pode-se, alternativamente, usar 𝑦 no lugar de 𝑓(𝑥). 
Vamos inverter a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5: 
Trocando a notação: 
𝑥 = 2. 𝑦 + 5 
𝑥 = 2. 𝑓(𝑥) + 5 
𝑥 = 2. 𝑓−1(𝑥) + 5 
Isolando 𝑓−1(𝑥) 
𝑥 − 5 = 2. 𝑓−1(𝑥) + 5 − 5 
𝑥 − 5 = 2. 𝑓−1(𝑥) 
𝑥 − 5
2
=
2. 𝑓−1(𝑥)
2
 
𝑥 − 5
2
= 𝑓−1(𝑥) 
Desse modo, definimos a inversa de 𝑓(𝑥) como sendo 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
 
Vamos testar se o domínio virou imagem e vice-versa. Ao colocarmos 𝑥 = 5 na função 
original, ela retorna o valor 15. Logo a função inversa precisa retornar 𝑓−1(15) = 5: 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 5
2
 
𝑓−1(15) =
15 − 5
2
 
𝑓−1(15) =
10
2
 
𝑓−1(15) = 5 
Logo o cálculo da inversa está correto. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 50 
Consequência da definição de função inversa 
 
A função inversa é, como o próprio nome diz, uma função, logo ela deve obedecer às 
condições de uma função, como vimos no começo da aula. Relembrando: 
 
Como você deve ter percebido, na função inversa, os valores da variável independente 𝑥 
se transformam em variável dependente 𝑓−1(𝑥) e vice-versa. 
Pensando nos conjuntos domínio e contradomínio, o domínio de 𝑓(𝑥) passa a ser o 
contradomínio de 𝑓−1(𝑥), enquanto o contradomínio de 𝑓(𝑥) passa a ser o domínio de 𝑓−1(𝑥). 
Daqui tiramos uma conclusão importantíssima: 
 
Somente funções bijetoras têm inversas! 
Além disso, podemos notar que o gráfico da função inversa é simétrico ao da função 
original, em relação à bissetriz2 dos quadrantes ímpares. 
Vamos comparar o gráfico das funções exemplificadas acima. 
 
2 Lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por esse motivo, divide um ângulo em dois 
ângulos iguais. A bissetriz dos quadrantes ímpares, divide os quadrantes 1 e 3 ao meio. 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para 
todo 𝑥 pertencente ao 
Domínio. Sem exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥
deve haver um único 𝑓(𝑥)
correspondente.
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 51 
 
Perceba, agora, a simetria, em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ℎ(𝑥) = 𝑥. 
 
 
Veja como esse conteúdo já foi cobrado no vestibular: 
6. (Unicamp) Considere o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) exibido na figura a seguir. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 52 
 
O gráfico da função inversa 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) é dado por 
 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 53 
 
d) 
 
Comentários: 
O gráfico da função inversa 𝑓–1(𝑥) é simétrico do gráfico de f–1(x) em relação à bissetriz dos 
quadrantes I e III. 
Assim, tem-se: 
 
O que mais se assemelha com o gráfico da alternativa D. 
Gabarito: d) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 54 
6.0 Função Composta 
 
Na prática, a função composta é quando aplicamos uma função a outra função. 
Peguemos, com exemplo, duas funções definidas como 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
Se precisarmos calcular 𝑓(𝑥) para alguns valores, teremos: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑓(−8) = 2. (−8) + 5 
𝑓(a) = 2. a + 5 
Não deve ser surpresa que, ao aplicar 𝑓(𝑥) a 𝑔(𝑥), resulte: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2. 𝑔(𝑥) + 5 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2. 𝑥² + 5 
Uma notação alternativa para a função composta é: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓𝑜𝑔 
cuja leitura é: 𝑓 composta com 𝑔, 𝑓 bola 𝑔, 𝑓 círculo 𝑔, ou ainda, fog (como neblina em 
inglês). 
Podemos, também, fazer o contrário, calcular 𝑔𝑜𝑓(𝑥), veja: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
𝑔(𝑥) = 𝑥² 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = [𝑓(𝑥)]2 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = [2𝑥 + 5]2 
 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 5). (2𝑥 + 5) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 55 
 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 10𝑥 + 10𝑥 + 25 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 20𝑥 + 25 
Portanto, sendo as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥) = 𝑥², temos: 
𝑓𝑜𝑔(𝑥)= 2. 𝑥² + 5 
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 20𝑥 + 25 
Vejamos um exercício: 
 
7. (UNICAMP/2018 - Questão 41 – Prova S) Seja a função ℎ(𝑥) definida para todo 
número real 𝑥 por 
ℎ(𝑥) = {
2𝑥+1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
 
√𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 
Então, ℎ (ℎ(ℎ(0))) é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 8. 
Comentários 
Calculando o valor numérico mais interno da composta, qual seja ℎ(0), temos: 
0 ≤ 1 → ℎ(0) = 20+1 = 21 → ℎ(0) = 2 
Prosseguimos com ℎ(ℎ(0)), que equivale a ℎ(2). 
2 > 1 → ℎ(ℎ(0)) = ℎ(2) = √2 − 1 = √1 → ℎ(ℎ(0)) = 1 
Por fim, ℎ (ℎ(ℎ(0))), o que equivale a ℎ(1): 
1 ≤ 1 → ℎ (ℎ(ℎ(0))) = ℎ(1) = 21+1 = 22 → ℎ (ℎ(ℎ(0))) = 4 
Gabarito: c) 
7.0 Paridade de Funções 
Funções podem, também, ser classificadas como pares e ímpares. A essa classificação, 
chamamos paridade da função. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 56 
 
7.1. Função par 
Uma função é chamada par se obedece à seguinte relação: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), 
ou seja, se ela é simétrica em relação ao eixo das ordenadas (𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦). 
Podemos verificar se uma função obedece à relação dada, sem necessariamente 
esboçar seu gráfico, vejamos se a função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 é par, desenvolvendo os dois 
membros da relação: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
𝑥2 − 2𝑥 = (−𝑥)2 − 2 ∙ (−𝑥) 
Ao desenvolvermos a igualdade, se encontrarmos um valor lógico verdadeiro, então a 
função é par. Se o resultado lógico for falso, a função não é par. 
Atenção, função par não é o contrário de função ímpar: uma função pode ser par, ser 
ímpar, ou não ser nem uma nem outra. 
Desenvolvendo: 
𝑥2 − 2𝑥 = (−𝑥)2 − 2 ∙ (−𝑥) 
𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 
𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥2 = 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2 
𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥2 = 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2 
−2𝑥 = 2𝑥 
−2𝑥
𝑥
=
2𝑥
𝑥
 
−2𝑥
𝑥
=
2𝑥
𝑥
 
−2 = 2 → (𝑭𝒂𝒍𝒔𝒐) 
Assim, podemos dizer que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 não é uma função par. Logo, seu eixo de 
simetria não será o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Vamos a outro exemplo. Verificaremos se a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 é par: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 57 
𝑥2 + 2 = (−𝑥)2 + 2 
𝑥2 + 2 = 𝑥2 + 2 → (𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐) 
Não é necessário sequer continuar a simplificar a equação, pois as expressões dos dois 
membros da igualdade são idênticas, logo a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 é par. 
Vejamos o gráfico das duas funções analisadas: 
 
No gráfico da primeira função, o eixo de simetria não é o eixo 𝑦, enquanto na segunda, o 
eixo de simetria é, exatamente, o eixo 𝑦, caracterizando a paridade da segunda função. 
 
7.2. Função ímpar 
Já a função ímpar deve obedecer à relação 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 58 
Apesar de semelhante à regra da função par, tem significado muito diferente. Enquanto 
a função par apresenta uma simetria em relação ao eixo 𝑦, a função ímpar apresenta simetria 
em relação à origem. 
Analisemos uma função como exemplo: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
De acordo com a relação, temos que 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
1
−𝑥
= −
1
𝑥
 
−
1
𝑥
= −
1
𝑥
⇒ (𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐) 
Portanto, 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
 é uma função ímpar. 
Nós aprenderemos, ainda nesta aula, a esboçar o gráfico dessa função, mas, 
adiantando um pouco o assunto, vejamos como ele se parece. 
 
A intenção aqui não é que você consiga esboçar o gráfico, ainda, mas que você consiga 
perceber a simetria com relação à origem que as funções ímpares apresentam. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 59 
 
Só mais um exemplo antes de passarmos para o próximo tópico. A função 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 −
𝟑𝒙 + 𝟓 é par ou ímpar? Você consegue desenvolver? Tente e irá descobrir que ela não é 
ímpar. 
Vamos prosseguir! 
 
 
 
Nem todas as funções podem ser classificadas 
como pares ou ímpares. Na verdade, a grande 
maioria das funções não se enquadra nessas 
duas categorias, sendo chamadas de “funções 
sem paridade”. Por exemplo, temos a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 60 
8.0 Questões de Provas Anteriores 
 
 
1. (ENEM / 2018 / QUESTÃO 180 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELA) Uma indústria 
automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de 
combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de 
testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no 
gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no 
tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é 
indicada no eixo x (horizontal). 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a 
distância percorrida pelo automóvel é 
a) −𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 
b) −
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
c) −
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
d) 
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
e) 
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 61 
2. (ENEM / 2017 / QUESTÃO 176 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira 
semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. 
Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. 
 
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é 
a) L(t) = 20t + 3 000 
b) L(t) = 20t + 4 000 
c) L(t) = 200t 
d) L(t) = 200t - 1 000 
e) L(t) 200t + 3 000 
 
3. (ENEM / 2017 / QUESTÃO 166 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Um sistema de depreciação linear, estabelecendo que após 10 anos o valor 
monetário de um bem será zero, é usado nas declarações de imposto de renda de alguns 
países. O gráfico ilustra essa situação. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 62 
 
Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1 200 e 900 dólares, respectivamente. 
Considerando as informações dadas, após 8 anos, qual será a diferença entre os valores 
monetários, em dólar, desses bens? 
a) 30. 
b) 60. 
c) 75. 
d) 240. 
e) 300. 
 
4. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 160 – 3ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) O percentual da população brasileira conectada à internet aumentou nos 
anos de 2007 a 2011. Conforme dados do Grupo Ipsos, essa tendência de crescimento é 
mostrada no gráfico. 
 
Suponha que foi mantida, para os anos seguintes, a mesma taxa de crescimento 
registrada no período 2007-2011. 
A estimativa para o percentual de brasileiros conectados à internet em 2013 era igual a 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 63 
a) 56,40%. 
b) 58,50%. 
c) 60,60%. 
d) 63,75%. 
e) 72,00%. 
 
5. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 164 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam 
expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza 
(quadrilátero de área S) na figura. 
 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes 
informativos serão afixados por toda fábrica. Para confeccioná-los, um programador 
utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de 
desigualdades algébricas. 
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da 
região de isolamento, são 
a) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9 
b) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
c) 3y – x ≥ 0; 2y – x ≤ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
d) 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9 
e) 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 64 
6. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 147 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou 
todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o 
número f de infectados é dado pela função f(t) = –2t² + 120t (em que t é expresso em dia e 
t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 
primeiros dias da epidemia. 
A Secretariade Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em 
que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda 
dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no 
a) 19º dia. 
b) 20º dia. 
c) 29º dia. 
d) 30º dia. 
e) 60º dia. 
 
7. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 152 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um túnel 
deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de 
concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar 
o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. 
Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo 
vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 – x², sendo x e y medidos em 
metros. 
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas 
dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. 
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? 
a) 18 
b) 20 
c) 36 
d) 45 
e) 54 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 65 
8. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 136 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Para uma 
feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem 
lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil 
B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um 
dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma 
trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses 
projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser 
alterada para que o objetivo fosse alcançado. 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B 
deverá 
a) diminuir em 2 unidades 
b) diminuir em 4 unidades 
c) aumentar em 2 unidades. 
d) aumentar em 4 unidades. 
e) aumentar em 8 unidades. 
 
9. (ENEM / 2015 – 2ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 172 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
CINZA) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, 
pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de 
transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral. 
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma 
excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a 
capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 66 
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado 
V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é 
a) V(x) = 902x 
b) V(x) = 930x 
c) V(x) = 900 + 30x 
d) V(x) = 60x + 2x² 
e) V(x) = 900 - 30x -2x² 
 
10. (ENEM / 2015 / QUESTÃO 136 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um 
estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior 
dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = – h² + 22h – 85, em que h 
representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível 
quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da 
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no 
interior da estufa está classificada como 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 67 
 
11. (ENEM / 2018 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 159 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Para garantir segurança ao dirigir, alguns motoristas instalam dispositivos 
em seus carros que alertam quando uma certa velocidade máxima (vmáx), pré-
programada pelo usuário de acordo com a velocidade máxima da via de tráfego, é 
ultrapassada. O gráfico exibido pelo dispositivo no painel do carro após o final de uma 
viagem fornece a velocidade (km/h) do carro em função do tempo (h). 
 
De acordo com o gráfico, quantas vezes o dispositivo alertou o motorista no percurso da 
viagem? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
12. (ENEM / 2017 / QUESTÃO 156 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) A água para 
o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois 
reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano 
igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura. 
 
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante 
e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha 
que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios. 
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em 
função do volume V de água no sistema? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 68 
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
 
13. (ENEM / 2017 – LIBRAS / QUESTÃO 160 / SEGUNDO DIA / CADERNO VERDE) A 
base de cálculo do imposto de renda é a parte dos rendimentos recebidos pelo 
contribuinte sobre a qual incide o imposto. Ela é obtida após serem descontadas, dos 
rendimentos, as deduções legais. 
No ano de 2008, se a base de cálculo de um contribuinte teve um valor de até R$ 16 
473,72, o contribuinte foi isento do imposto de renda. Se a base de cálculo ficou entre R$ 
16 473,72 e R$ 32 919,00, o imposto devido foi imposto devido de 15% sobre o que 
excedeu R$ 16 473,72. Por fim, se a base de cálculo ultrapassou R$ 32 919,00, o imposto 
devido é dado pela soma de R$ 2 466,79 (correspondendo a 15% da diferença 32 
919,00—16 473,72) mais 27,5% do que excedeu R$ 32 919,00. 
O gerente de um escritório de contabilidade pediu a um estagiário que identificasse o 
gráfico que descrevia o valor do imposto devido, para o ano de 2008, como função da 
base de cálculo, apresentando-lhe cinco gráficos, sem qualquer outra informação ou 
valores numéricos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 69 
 
Admitindo que um desses gráficos corresponda ao pedido do gerente, qual é esse 
gráfico? 
a) 𝑰 
b) 𝑰𝑰 
c) 𝑰𝑰𝑰 
d) 𝑰𝑽 
e) 𝑽 
 
14. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 160 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Em um 
exame, foi feito o monitoramento dos níveis de duas substâncias presentes (A e B) na 
corrente sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 h, conforme o resultado 
apresentado na figura. Um nutricionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa 
pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, determinando que, para uma dieta 
semanal eficaz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será dado pelo número 
de vezes em que os níveis de A e de B forem iguais, porém, maiores que o nível mínimo 
da substância A durante o período de duração da dieta. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 70 
 
Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, no período analisado, se 
repita para os dias subsequentes. 
O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma dieta semanal, será igual 
a 
a) 28. 
b) 21. 
c) 2. 
d) 7. 
e) 14. 
 
15. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 163 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um 
reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água 
desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume 
de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função 
do tempo t, em minuto. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 71 
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazãoconstante de 
enchimento? 
A) De 0 a 10. 
B) De 5 a 10. 
C) De 5 a 15. 
D) De 15 a 25. 
E) De 0 a 25. 
 
16. (ENEM / 2015 – 2ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 168 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
CINZA) O modelo predador-presa foi proposto de forma independente por Alfred J. 
Lotka, em 1925, e Vito Volterra, em 1926. Esse modelo descreve a interação entre duas 
espécies, sendo que uma delas dispõe de alimentos para sobreviver (presa) e a outra se 
alimenta da primeira (predador). Considere que o gráfico representa uma interação 
predador-presa, relacionando a população do predador com a população da sua presa 
ao longo dos anos. 
 
De acordo com o gráfico, nos primeiros quarenta anos, quantas vezes a população do 
predador se igualou à da presa? 
a) 2 
b) 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 72 
c) 4 
d) 5 
e) 9 
 
17. (ENEM / 2014 – 3ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 161 / 2º DIA / CADERNO CINZA) O filme 
A corrente do bem conta a história de um jovem que crê ser possível mudar o mundo a 
partir da ação voluntária de cada um. A ideia é baseada em três premissas: fazer por 
alguém algo que este não pode fazer por si mesmo; fazer isso para três pessoas; cada 
pessoa ajudada deve fazer isso por outras três pessoas. Da mesma forma que temos a 
"corrente do bem" para 3 pessoas, podemos ter uma corrente do bem para um número 
qualquer de pessoas. Suponha que uma corrente do bem seja iniciada numa segunda-
feira, com X pessoas sendo ajudadas, e que cada uma dessas X pessoas ajudasse 
outras X pessoas exatamente 24 horas após ter recebido a ação voluntária. 
Disponível em: www.webcine.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 
Para termos um total de 42 pessoas ajudadas ao término da terça-feira o número X deve 
ser igual a 
a) 2 
b) 6 
c) 7 
d) 14 
e) 21 
 
18. (ENEM / 2014 – 3ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 166 / 2º DIA / CADERNO CINZA) Um 
paciente inicia um tratamento em que deve ingerir uma dose de um determinado remédio 
a cada duas horas. Ao ingerir essa dose, a quantidade Q de uma substância no seu 
organismo aumenta instantaneamente em 2 unidades. Nas próximas duas horas, essa 
quantidade decresce de maneira linear até atingir a quantidade existente no momento 
imediatamente anterior à ingestão do remédio. Por descuido, esse paciente tomou a 
segunda dose do remédio uma hora depois da primeira. A partir daí, não cometeu mais 
esse tipo de engano, tomando o remédio a cada duas horas. Antes da primeira dose, a 
quantidade da substância na corrente sanguínea do paciente era de 1 unidade. 
O gráfico que melhor representa a quantidade da substância no organismo do paciente 
nas sete primeiras horas do tratamento é 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 73 
 
 
 
 
 
 
19. (ENEM / 2013 / QUESTÃO 165 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) A 
temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com expressão 𝑻(𝒕) = −
𝒕𝟐
𝟒
+
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 74 
𝟒𝟎𝟎, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para 
abertura quando o forno atinge a temperatura de 39ºC. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta 
possa ser aberta? 
a) 19,0 
b) 19,8 
c) 20,0 
d) 38,0 
e) 39,0 
 
20. (ENEM / 2012 / QUESTÃO 159 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) A figura a 
seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas 
e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada 
semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, 
o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações 
podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem 
resolvidas. 
 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de 
eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de 
reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. 
Disponível em: http://blog.bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado). 
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na 
empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 75 
a) segunda e na terça-feira. 
b) terça e na quarta-feira. 
c) terça e na quinta-feira. 
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. 
e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 
 
21. (FUVEST/2021) Qual dos gráficos representa uma relação entre as grandezas x e y 
em que y sempre diminui na medida em que x aumenta? 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 76 
 
 
22. (FUVEST/2021) Se 𝒇:ℝ → ℝ e 𝒈:ℝ → ℝ são funções dadas por 𝒇(𝒙) = 𝒄 + 𝒙², onde 
𝒄 ∈ ℝ, e 𝒈(𝒙) = 𝒙, seus gráficos se intersectam quando, e somente quando, 
(A) 𝑪 ≤
𝟏
𝟒
 
(B) 𝑪 ≥
𝟏
𝟒
 
(C) ) 𝑪 ≤
𝟏
𝟐
 
(D) ) 𝑪 ≥
𝟏
𝟐
 
(E) ) 𝑪 ≤ 𝟏 
 
23. (Fuvest/2018 - Questão 28 – Prova V) Sejam 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 os maiores subconjuntos de ℝ 
nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais𝑓(𝑥) = √
𝑥3+2𝑥2−4𝑥−8
𝑥−2
 𝑒 𝑔(𝑥) =
√𝑥3+2𝑥2−4𝑥−8
√𝑥−2
. 
24. Considere, ainda 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 𝑎𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑒 𝑑𝑒 𝑔, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒. 
Nessas condições, 
a) 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 e 𝐼𝑓 = 𝐼𝑔. 
b) Tanto 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 quanto 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em apenas um ponto. 
c) 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 diferem em apenas um ponto e 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em mais de um ponto. 
d) 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 diferem em apenas um ponto, 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em apenas um ponto. 
e) Tanto 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 quanto 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em mais de um ponto. 
 
25. (Fuvest/2015 – Questão 45 – Prova V) A trajetória de um projétil, lançado da beira 
de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo 
de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da 
perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o 
instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 77 
projétil, de 200m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida 
por P, a partir do instante do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno 
estava o projétil quando foi lançado? 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
26. (Fuvest/2012 - Questão 61 – Prova V) Considere a função 
𝒇(𝒙) = 𝟏 −
𝟒𝒙
(𝒙 + 𝟏)𝟐
 
, a qual está definida para 𝒙 ≠ −𝟏. Então, para todo 𝒙 ≠ 𝟏 e 𝒙 ≠ −𝟏, o produto 𝒇(𝒙). 𝒇(−𝒙) 
é igual a: 
a) −𝟏 
b) 𝟏 
c) 𝒙 + 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟏 
e) (𝒙 − 𝟏)𝟐 
 
27. (Fuvest/2003 – Questão 81 – Prova V) O sistema {
𝒙 + (𝒄 + 𝟏)𝒚 = 𝟎
𝒄𝒙 + 𝒚 = −𝟏
, onde 𝒄  𝟎, 
admite uma solução (𝒙, 𝒚) com 𝒙 = 𝟏. Então, o valor de 𝒄 é: 
a) –3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 78 
b) –2 
c) –1 
d) 1 
e) 2 
 
28. (Fuvest/2003 – Questão 83 – Prova V) As soluções da equação 
𝒙−𝒂
𝒙+𝒂
+
𝒙+𝒂
𝒙−𝒂
=
𝟐(𝒂𝟒+𝟏)
𝒂𝟐(𝒙𝟐−𝒂𝟐)
 , 
onde a  0, são: 
a) 
−𝒂
𝟐
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
b) 
−𝒂
𝟒
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
c) 
−𝟏
𝟐𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
d) 
−𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
e) 
−𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝒂
 
 
29. (Fuvest/2003 - Questão 87 – Prova V) Seja f a função que associa, a cada número 
real x, o menor dos números 𝒙 + 𝟑 e −𝒙 + 𝟓. Assim, o valor máximo de 𝒇(𝒙) é: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 7 
 
30. (Fuvest/1997 - Questão 62 – Prova M) Que número deve ser somado ao numerador 
e ao denominador da fração 2/3 para que ela tenha um aumento de 20%? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 79 
31. (Fuvest/1997 - Questão 72 – Prova M) Para que a parábola 𝒚 = 𝟐𝒙² +𝒎𝒙+ 𝟓 não 
interceptea reta 𝒚 = 𝟑, devemos ter 
a) –𝟒 < 𝒎 < 𝟒 
b) 𝒎 < −𝟑 𝒐𝒖 𝒎 > 𝟒 
c) 𝒎 > 𝟓 𝒐𝒖 𝒎 < −𝟓 
d) 𝒎 = −𝟓 𝒐𝒖 𝒎 = 𝟓 
e) 𝒎  𝟎 
 
32. (UNICAP/2020) Sabendo que 𝒂 é um número real, considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝟐, 
definida para todo número real 𝒙. Se 𝒇(𝒇(𝟏)) = 𝟏, então 
a) 𝒂 = −𝟏. 
b) 𝒂 = −𝟏/𝟐. 
c) 𝒂 = 𝟏/𝟐. 
d) 𝒂 = 𝟏. 
 
33. (UNICAMP/2018 - Questão 41 – Prova S) Seja a função 𝒉(𝒙) definida para todo 
número real 𝒙 por 
𝒉(𝒙) = {
𝟐𝒙+𝟏 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
 
√𝒙 − 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏
 
Então, 𝒉(𝒉(𝒉(𝟎))) é igual a 
a) 𝟎. 
b) 𝟐. 
c) 𝟒. 
d) 𝟖. 
 
34. (UNICAMP/2018 - Questão 42 – Prova S) A figura a seguir exibe o gráfico de uma 
função 𝒚 = 𝒇(𝒙) para𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 80 
 
O gráfico de 𝒚 = [𝒇(𝒙)]𝟐 é dado por 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 81 
35. (UNICAMP/2015 - Questão 23 - Provas Q e W) Seja 𝒂 um número real. Considere as 
parábolas de equações cartesianas 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 e 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝟑. Essas parábolas 
não se interceptam se e somente se 
a) |𝒂| = 𝟐. 
b) |𝒂| < 𝟐. 
c) |𝒂 − 𝟐| < 𝟐. 
d) |𝒂 − 𝟐| ≥ 𝟐. 
 
36. (UNICAMP/2012 - Questão 5 - Provas Q e Z) Um jogador de futebol chuta uma bola 
a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da 
trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, 
a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre 
 
a) 4,1 e 4,4 m. 
b) 3,8 e 4,1 m. 
c) 3,2 e 3,5 m. 
d) 3,5 e 3,8 m 
 
37. (UNESP/2018 - Questão 86) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de 
rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais 
os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas 
tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os 
segmentos de retas nos gráficos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 82 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas 
pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares após 
a) 8,225 anos. 
b) 9,375 anos. 
c) 10,025 anos. 
d) 10,175 anos. 
e) 9,625 anos. 
 
38. (UNESP/2015 - Questão 89) Para divulgar a venda de um galpão retangular de 5000 
m², uma imobiliária elaborou um anúncio em que constava a planta simplificada do 
galpão, em escala, conforme mostra a figura. 
 
O maior lado do galpão mede, em metros, 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 83 
a) 200. 
b) 25. 
c) 50. 
d) 80. 
e) 100. 
 
39. (UNESP/2015.2 - Questão 89) A tabela indica o gasto de água, em m³ por minuto, 
de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para 
duas posições do registro. 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 0,034 m³. Portanto, é correto 
afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu 
registro de abertura de 1 volta completa e mais 
𝒂) 
𝟏
𝟐
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒃) 
𝟏
𝟓
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒄) 
𝟐
𝟓
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒅) 
𝟑
𝟒
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒆) 
𝟏
𝟒
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
 
40. (UNESP/2012 - Questão 90) O gráfico representa a vazão resultante de água, em 
𝒎³/𝒉, em um tanque, em função do tempo, em horas. Vazões negativas significam que o 
volume de água no tanque está diminuindo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 84 
 
São feitas as seguintes afirmações: 
I. No intervalo de A até B, o volume de água no tanque é constante. 
II. No intervalo de B até E, o volume de água no tanque está crescendo. 
III. No intervalo de E até H, o volume de água no tanque está decrescendo. 
IV. No intervalo de C até D, o volume de água no tanque está crescendo mais 
rapidamente. 
V. No intervalo de F até G, o volume de água no tanque está decrescendo mais 
rapidamente. 
É correto o que se afirma em: 
a) I, III e V, apenas. 
b) II e IV, apenas. 
c) I, II e III, apenas. 
d) III, IV e V, apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
 
41. (UNESP/2009 – QUESTÃO 10) Na Volta Ciclística do Estado de São Paulo, um 
determinado atleta percorre um declive de rodovia de 400 metros e a função 
𝒅(𝒕) = 𝟎, 𝟒𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 
Fornece, aproximadamente, a distância em metros percorrida pelo ciclista, em função do 
tempo 𝒕, em segundos. Pode-se afirmar que a velocidade média do ciclista (isto é, a 
razão entre o espaço percorrido e o tempo) nesse trecho é: 
a) superior a 15 m/s. 
b) igual a 17 m/s. 
c) inferior a 14 m/s. 
d) igual a 15 m/s. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 85 
e) igual a 14 m/s. 
 
42. (UNESP/2006.2 – QUESTÃO 5) Uma função quadrática 𝒚 = 𝑸(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
assume valores negativos (𝒚 > 𝟎) somente para −𝟏 < 𝒙 < 𝟐. Dado que 𝑸(𝟑) = 𝟏𝟎, a 
ordenada do ponto onde o gráfico da função em um plano cartesiano cruza o eixo Oy é: 
a) – 6 
b) – 5 
c) – 4 
d) – 3 
e) – 2 
 
43. (UNESP/2003.2 – QUESTÃO 1) Considere os conjuntos A e B: 
𝑨 = {– 𝟑𝟎, – 𝟐𝟎, – 𝟏𝟎, 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟐𝟎, 𝟑𝟎} e 
𝑩 = {𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟔𝟎𝟎, 𝟕𝟎𝟎, 𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎}, 
e a função 𝒇: 𝑨 → 𝑩, 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝟏𝟎𝟎. O conjunto imagem de 𝒇 é, 
a) {– 𝟑𝟎, – 𝟐𝟎, – 𝟏𝟎, 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟐𝟎, 𝟑𝟎}. 
b) {𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎}. 
c) {𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎, 𝟔𝟎𝟎, 𝟕𝟎𝟎, 𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎}. 
d) {𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟔𝟎𝟎, 𝟕𝟎𝟎, 𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎}. 
e) 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒛𝒊𝒐. 
 
44. (UEA/2018 - Questão 51) Sabe-se que x’ e x” são as raízes da equação polinomial 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 +𝒎− 𝟓 = 𝟎 
e que (𝒙’ + 𝒙”) + (𝒙’ · 𝒙”) = −
𝟑
𝟐
 . O valor de 𝒎 que satisfaz essa condição é 
(A) 13. 
(B) –3. 
(C) 9. 
(D) 7. 
(E) –5. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 86 
45. (UEA/2018 - Questão 53) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
estão representados os gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐– 𝟒 e 𝒈(𝒙) =–𝒙𝟐 + 𝟐𝒙, com os 
pontos comuns P e Q, conforme figura. 
 
As coordenadas dos pontos P e Q são, respectivamente, 
(A) (2, 0) e (–2, –3). 
(B) (2, 0) e (–0,5, –3). 
(C) (1, 0) e (–1, –3). 
(D) (2, 0) e (–1, –3). 
(E) (1, 0) e (–0,5, –3). 
 
46. (UEA/2018 - Questão 60) O gráfico da reta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, em que 𝒎 e 𝒃 são 
constantes reais, está representado em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais. 
 
Desse modo, o gráfico da reta 𝒚 =–𝟑𝒎𝒙 + 𝒃 está corretamente representado na 
alternativa 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 87 
 
 
 
 
 
47. (UEA/2018 - Questão 08) A soma das raízes da equação 𝒙𝟐– (𝟑𝒂–𝟐𝒃)𝒙 + 𝟐𝒃–𝟔𝒂 = 𝟎 
é igual a 8 e seu produto é igual a – 𝟐𝟎. Desse modo, o resultado da operação 𝒂𝒃: 𝒃𝒂 é 
igual a 
(A) 𝟐 
(B) −𝟏 
(C) 𝟒 
(D) 𝟏/𝟐 
(E) 𝟏 
 
48. (UEA/2015 - Questão 56) Considere o gráfico da função quadrática dada por 𝒇(𝒙) =
– 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒄. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 88 
 
De acordo com o gráfico, é correto afirmar que o valor de y é 
(A) negativo, se 𝒙 < 𝟑. 
(B) positivo, se 𝒙 > 𝟑. 
(C) positivo, no intervalo – 𝟏 < 𝒙 < 𝟑. 
(D) negativo, se 𝒙 > – 𝟏. 
(E) zero, se 𝒙 = 𝟏. 
 
49. (UERJ/2020 – Questão 30) Um número 𝑵, inteiro e positivo, que satisfaz a 
inequação 𝑵𝟐 − 𝟏𝟕𝑵 + 𝟏𝟔 > 𝟎 é: 
a) 2 
b) 7 
c) 16 
d) 17 
 
50. (UERJ/2018 – Questão 33) Os veículos para transporte de passageiros em 
determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de 
veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao 
longo dos anos, a partir de sua comprana fábrica. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 89 
 
Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
 
51. (UERJ/2016.2 – Questão 27) No plano cartesiano a seguir, estão representados o 
gráfico da função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐, com 𝒙 ∈ 𝑹 e os vértices dos quadrados 
adjacentes ABCD e DMNP. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 90 
Observe que B e P são pontos do gráfico da função 𝒇 e que A, B, D e M são pontos dos 
eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos 
dois quadrados, é: 
a) 20 
b) 28 
c) 36 
d) 40 
 
9.0 Gabarito 
 
 
1 B 11 B 21 E 31 A 41 B 
2 D 12 D 22 A 32 C 42 B 
3 B 13 E 23 E 33 C 43 D 
4 B 14 E 24 D 34 C 44 D 
5 E 15 B 25 B 35 B 45 D 
6 B 16 C 26 B 36 B 46 E 
7 C 17 B 27 E 37 E 47 C 
8 C 18 A 28 C 38 B 48 D 
9 E 19 D 29 B 39 E 49 B 
10 D 20 B 30 A 40 A 50 D 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 91 
10.0 Questões Resolvidas e Comentadas 
 
1. (ENEM / 2018 / QUESTÃO 180 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELA) Uma 
indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de 
combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes 
até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra 
o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no 
eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal). 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a 
distância percorrida pelo automóvel é 
a) −𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎 
b) −
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
c) −
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
d) 
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎 
e) 
𝒙
𝟏𝟎
+ 𝟓𝟎𝟎 
Comentários: 
Pelo gráfico, observamos que se trata de uma função de primeiro grau cujo coeficiente 
linear é igual a 50 ⟶ ponto em que a reta toca no eixo y. 
Na análise gráfica, percebemos que a reta passa pelos pontos (0, 50) e (500, 0). No 
cálculo do coeficiente angular dessa função, temos: 
𝑚 =
50 − 0
0 − 500
=
50
−500
= −
1
10
 
Portanto a lei de formação da função é dada por 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 92 
𝑦 = −
𝑥
10
+ 50. 
Gabarito: B 
2. (ENEM / 2017 / QUESTÃO 176 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira 
semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. 
Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. 
 
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é 
a) L(t) = 20t + 3 000 
b) L(t) = 20t + 4 000 
c) L(t) = 200t 
d) L(t) = 200t - 1 000 
e) L(t) 200t + 3 000 
 
Comentários: 
Podemos notar, no gráfico, o 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 − 𝑦, qual seja 𝑏 = −1000. 
Com os pontos 𝐴(0;−1000) e 𝐵(20,3000), podemos calcular o coeficiente 𝑎: 
𝑎 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 
𝑎 =
𝑦𝐴 − 𝑦𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 93 
𝑎 =
3000 − (−1000)
20 − 0
 
𝑎 =
4000
20
 
𝑎 = 200 
Dessa forma, a função do 1º grau será: 
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
𝑓(𝑥) = 200𝑥 − 1000 
Gabarito: D 
3. (ENEM / 2017 / QUESTÃO 166 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Um sistema de depreciação linear, estabelecendo que após 10 anos o valor 
monetário de um bem será zero, é usado nas declarações de imposto de renda de alguns 
países. O gráfico ilustra essa situação. 
 
Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1 200 e 900 dólares, respectivamente. 
Considerando as informações dadas, após 8 anos, qual será a diferença entre os valores 
monetários, em dólar, desses bens? 
a) 30. 
b) 60. 
c) 75. 
d) 240. 
e) 300. 
 
Comentários 
• Vamos montar a função afim para o bem A: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 94 
O valor de 𝑏, para o bem A, é igual a 1200. 
Assim, temos os pontos 𝐴(0,1200) e 𝐵(10,0) para o cálculo do coeficiente angular: 
𝑎 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 
𝑎 =
𝑦𝐴 − 𝑦𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
 
𝑎 =
1200 − 0
0 − 10
 
𝑎 = −120 
Assim, temos a função 
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
𝑓(𝑥) = −120𝑥 + 1200 
Após 8 anos, o bem A valerá 𝑓(8), ou seja 
𝑓(𝑥) = −120𝑥 + 1200 
𝑓(8) = −120.8 + 1200 
𝑓(8) = 240 
• Agora, vamos fazer a mesma análise, porém para o bem B. 
O valor de 𝑏, para o bem B, é igual a 900. 
Assim, temos os pontos 𝐴(0,900) e 𝐵(10,0) para o cálculo do coeficiente angular: 
𝑎 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 
𝑎 =
𝑦𝐴 − 𝑦𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
 
𝑎 =
900 − 0
0 − 10
 
𝑎 = −90 
Assim, temos a função 
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
𝑓(𝑥) = −90𝑥 + 900 
Após 8 anos, o bem B valerá 𝑓(8), ou seja 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 95 
𝑓(𝑥) = −90𝑥 + 900 
𝑓(8) = −90.8 + 900 
𝑓(8) = 180 
Logo, após 8 anos, a diferença entre os valores dos dois bens será de 
240 − 180 = 60 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
Gabarito: B 
4. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 160 – 3ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) O percentual da população brasileira conectada à internet aumentou nos 
anos de 2007 a 2011. Conforme dados do Grupo Ipsos, essa tendência de crescimento é 
mostrada no gráfico. 
 
Suponha que foi mantida, para os anos seguintes, a mesma taxa de crescimento 
registrada no período 2007-2011. 
A estimativa para o percentual de brasileiros conectados à internet em 2013 era igual a 
a) 56,40%. 
b) 58,50%. 
c) 60,60%. 
d) 63,75%. 
e) 72,00%. 
 
Comentários: 
Uma maneira de facilitar os cálculos dessa questão é deslocar o sistema cartesiano, da 
seguinte forma: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 96 
 
Assim, o 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 − 𝑦 é a origem do plano cartesiano (0,0). 
Para o cálculo do coeficiente angular, temos os pontos 𝐴(0,0) e 𝐵(4,21). 
𝑎 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 
𝑎 =
0 − 21
0 − 4
 
𝑎 = 5,25 
Dessa forma, temos a função: 
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
𝑓(𝑥) = 5,25𝑥 
Em 2013, terão se passados 6 anos, então temos 
𝑓(6) = 5,25.6 
𝑓(6) = 31,5% 
Dessa forma, desde 2007, tivemos um aumento de 31,5%. 
Somando-se esse valor aos 27% iniciais, teremos 
31,5 + 27 = 58,5% 
Gabarito: B 
5. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 164 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 97 
expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza 
(quadrilátero de área S) na figura. 
 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes 
informativos serão afixados por toda fábrica. Para confeccioná-los, um programador 
utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de 
desigualdades algébricas. 
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da 
região de isolamento, são 
a) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9 
b) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
c) 3y – x ≥ 0; 2y – x ≤ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
d) 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9 
e) 4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8 
Comentários 
 Analisando a reta destacada de laranja, vemos dois pontos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 98 
 
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
Onde 𝑏 = 0. 
Substituindo o ponto (4,9) 
9 = 4𝐴 + 0 
𝐴 =
9
4
 
 Assim, temos a função 
𝑓(𝑥) =
9
4
𝑥 + 𝐵 
Como a área pretendida está abaixo da reta, podemos encontrar esses pontos abaixo 
da reta através de uma desigualdade 
𝑓(𝑥) ≤
9𝑥
4
 
𝑦 ≤
9𝑥
4
 
4𝑦 ≤ 9𝑥 
4𝑦 − 9𝑥 ≤ 0 
 Analisando também a reta verde destacada, encontramos os seguintes pontos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 99 
 
Onde 𝑏 = 0. 
Substituindo o ponto (8,3) 
𝑓′(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
3 = 8𝐴 + 0 
𝐴 =
3
8
 
 Temos a função: 
𝑓(𝑥) =
3𝑥
8
 
Como a área pretendida está acima da reta, podemos encontrar esses pontos acima da 
reta, através de uma desigualdade 
𝑓(𝑥) ≤3𝑥
8
 
𝑦 ≥
3𝑥
8
 
8𝑦 ≥ 3𝑥 
8𝑦 − 3𝑥 ≥ 0 
Por fim, analisaremos as retas constantes que delimitam a área destacada 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 100 
 
As quatro desigualdades encontras estão na alternativa E. 
Gabarito: E 
6. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 147 – 2ª APLICAÇÃO / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou 
todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o 
número f de infectados é dado pela função f(t) = –2t² + 120t (em que t é expresso em dia e 
t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 
primeiros dias da epidemia. 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em 
que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda 
dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no 
a) 19º dia. 
b) 20º dia. 
c) 29º dia. 
d) 30º dia. 
e) 60º dia. 
Comentários: 
Sendo 𝑓(𝑡) a quantidades de pessoas infectadas passados 𝑡 dias, podemos calcular 
quantos dias se passaram até que o número de infectados fosse igual a 1600: 
𝑓(𝑥) = −2 ⋅ 𝑡2 + 120 ⋅ 𝑡 
−2 ⋅ 𝑡2 + 120 ⋅ 𝑡 = 1600 
−2 ⋅ 𝑡2 + 12 ⋅ 𝑡 − 1600 = 0 
Simplificando por 2: 
−𝑡2 + 6 ⋅ 𝑡 − 800 = 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 101 
Resolvendo por soma e produto, temos: 
𝒔𝒐𝒎𝒂 = − 𝒃/𝒂 
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 = 𝒄/𝒂 
𝒙𝟏 = 𝟐𝟎 
𝒙𝟐 = 𝟒𝟎 
Assim, no 20º dia aconteceu uma 2ª dedetização. 
Note que uma 3º aconteceu no 40º dia. 
Gabarito: B 
7. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 152 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um túnel 
deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de 
concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar 
o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. 
Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo 
vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 – x², sendo x e y medidos em 
metros. 
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas 
dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel. 
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? 
a) 18 
b) 20 
c) 36 
d) 45 
e) 54 
 
Comentários: 
Vamos esboçar a tampa do túnel, cujos contornos são um arco de parábola 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 102 
 
Do gráfico, temos que 
𝒚 = 𝟗 − 𝒙𝟐 
𝒃𝒂𝒔𝒆 = 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒙𝟏𝒙𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ 
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝒚𝒗 
Podemos calcular o 𝑌𝑣 
𝒚𝒗 =
−𝜟
𝟒𝒂
 
𝑦𝑣 =
−[02 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 9]
4(−1)
 
𝑦𝑉 = −
36
−4
 
𝑦𝑣 = 9 
 Agora, podemos calcular 𝑥1 e 𝑥2 
𝟗 − 𝒙𝟐 = 𝟎 
−𝒙𝟐 = −𝟗 
𝒙 = ±𝟑 
 Assim, temos: 
𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑥1𝑥2̅̅ ̅̅ ̅̅ = 6 
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑦𝑣 = 9 
Sabendo que a área da parábola é 2/3 da área de um retângulo de base 𝑏 e altura ℎ, 
temos que: 
𝑨 = 𝒃 ⋅ 𝒉 ⋅
𝟐
𝟑
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 103 
𝑨 = 𝟗 ⋅ 𝟔 ⋅
𝟐
𝟑
 
𝑨 = 𝟑𝟔 𝒎² 
Gabarito: C 
8. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 136 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Para uma 
feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem 
lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil 
B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um 
dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma 
trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses 
projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser 
alterada para que o objetivo fosse alcançado. 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B 
deverá 
a) diminuir em 2 unidades 
b) diminuir em 4 unidades 
c) aumentar em 2 unidades. 
d) aumentar em 4 unidades. 
e) aumentar em 8 unidades. 
 
Comentários 
Com a reta na posição inicial, temos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 104 
𝑓′(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
Substituindo os pontos notados: 
(0,0) → 𝐵 = 0 
(6,12) → 6𝐴 = 12 
𝑨 = 𝟐 
 Logo 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 
Subindo um pouco a reta, para uma nova situação, em que ela passe pelo vértice da 
parábola, qual seja o ponto (4,16), temos: 
𝑓′′(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 
(0,0) → 𝐵 = 0 
(4,16) → 4𝐴 = 16 
𝑨 = 𝟒 
Ou seja 
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 
Dessa forma, temos o coeficiente angular (A) aumentado de 2 para 4. 
𝟒 − 𝟐 = 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 
Gabarito: C 
9. (ENEM / 2015 – 2ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 172 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
CINZA) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, 
pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de 
transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral. 
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma 
excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a 
capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado 
V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é 
a) V(x) = 902x 
b) V(x) = 930x 
c) V(x) = 900 + 30x 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 105 
d) V(x) = 60x + 2x² 
e) V(x) = 900 - 30x -2x² 
Comentários 
Sendo x o número de lugares vagos e v(x) o faturamento da viagem, podemos traduzir 
algebricamente os trechos importantes do texto: 
“O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma 
excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro.” 
𝒗′(𝒙) = (𝟏𝟓 − 𝒙) ⋅ 𝟔𝟎 
𝒗′(𝒙) = 900 − 60𝑥 
“Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por 
lugar vago.” 
𝒗′′(𝒙) = 𝟐 ⋅ 𝒙 ⋅ (𝟏𝟓 − 𝒙) 
𝒗′′(𝒙) = 𝟑𝟎𝐱 − 𝟐𝐱² 
Somando as duas formas de cobrança, temos: 
𝑣′(𝑥) + 𝑣′′(𝑥) = 900 − 60𝑥 + 30𝑥 − 2𝑥2 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 
Gabarito: E 
10. (ENEM / 2015 / QUESTÃO 136 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um 
estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior 
dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = – h² + 22h – 85, em que h 
representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível 
quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da 
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 106 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no 
interior da estufa está classificada como 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
 
Comentários 
Para obter a maior temperatura possível, precisamos entender que a temperatura será 
máxima no vértice da parábola, pois 𝒂 < 𝟎. 
𝑇(𝐻) = −𝐻2 + 22𝐻 − 85 
Dessa forma, calcularemos a coordenada 𝑦 do vértice, representada por 𝑇𝑣. 
𝑇𝑣 =
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
 
𝑇𝑣 =
−[222 − 4(−1)(−85)]
2(−1)
 
𝑇𝑣 =
−(484 − 340)
4(−1)
 
𝑇𝑣 =
−(144)
−4
= 36 
Dessa forma, a temperatura no interior da estufa, quando o número de bactérias é 
máximo, é considerada alta, de acordo com a tabela. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 107 
Gabarito: D 
11. (ENEM / 2018 – 2ª Aplicação / QUESTÃO 159 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
AMARELO) Para garantir segurança ao dirigir, alguns motoristas instalam dispositivos 
em seus carros que alertam quando uma certa velocidade máxima (vmáx), pré-programada pelo usuário de acordo com a velocidade máxima da via de tráfego, é 
ultrapassada. O gráfico exibido pelo dispositivo no painel do carro após o final de uma 
viagem fornece a velocidade (km/h) do carro em função do tempo (h). 
 
De acordo com o gráfico, quantas vezes o dispositivo alertou o motorista no percurso da 
viagem? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Comentários 
Observamos no gráfico que a velocidade do carro atinge a linha que representa a 
velocidade máxima permitida em 5 ocasiões. 
 
Nos pontos em verde, apesar de atingir essa marca, o motorista está desacelerando ou 
não ultrapassa a marca. Portanto, o dispositivo não precisa fazer o alerta. 
Gabarito: B. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 108 
12. (ENEM / 2017 / QUESTÃO 156 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) A água para 
o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois 
reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano 
igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura. 
 
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante 
e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha 
que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios. 
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em 
função do volume V de água no sistema? 
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
Comentários 
O reservatório 1 é um prisma regular, ou seja, a base será a mesma, em qualquer 
altura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 109 
Portanto, o gráfico que representa o seu crescimento é dado por uma função linear. 
Essa função se torna constante quando a altura do reservatório atinge o cano de 
ligação. E volta a ser linear quando o segundo reservatório passa a ser preenchido, 
dado que ele também é um prisma regular. 
Esse crescimento se dá de forma mais lenta que o primeiro, uma vez que os dois 
reservatórios estão sendo preenchidos ao mesmo tempo. 
Gabarito: D. 
13. (ENEM / 2017 – LIBRAS / QUESTÃO 160 / SEGUNDO DIA / CADERNO VERDE) A 
base de cálculo do imposto de renda é a parte dos rendimentos recebidos pelo 
contribuinte sobre a qual incide o imposto. Ela é obtida após serem descontadas, dos 
rendimentos, as deduções legais. 
No ano de 2008, se a base de cálculo de um contribuinte teve um valor de até R$ 16 
473,72, o contribuinte foi isento do imposto de renda. Se a base de cálculo ficou entre R$ 
16 473,72 e R$ 32 919,00, o imposto devido foi imposto devido de 15% sobre o que 
excedeu R$ 16 473,72. Por fim, se a base de cálculo ultrapassou R$ 32 919,00, o imposto 
devido é dado pela soma de R$ 2 466,79 (correspondendo a 15% da diferença 32 
919,00—16 473,72) mais 27,5% do que excedeu R$ 32 919,00. 
O gerente de um escritório de contabilidade pediu a um estagiário que identificasse o 
gráfico que descrevia o valor do imposto devido, para o ano de 2008, como função da 
base de cálculo, apresentando-lhe cinco gráficos, sem qualquer outra informação ou 
valores numéricos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 110 
 
Admitindo que um desses gráficos corresponda ao pedido do gerente, qual é esse 
gráfico? 
a) 𝑰 
b) 𝑰𝑰 
c) 𝑰𝑰𝑰 
d) 𝑰𝑽 
e) 𝑽 
Comentários 
O gráfico correto é o V, pois a quantidade de imposto a ser pago cresce linearmente 
em cada uma das duas últimas situações (ao contrário do primeiro item, que é isento). 
Esse crescimento é pequeno no segundo trecho, mas aumenta no terceiro trecho, onde 
estão localizados os maiores rendimentos. 
Gabarito: E. 
14. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 160 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Em um 
exame, foi feito o monitoramento dos níveis de duas substâncias presentes (A e B) na 
corrente sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 h, conforme o resultado 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 111 
apresentado na figura. Um nutricionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa 
pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, determinando que, para uma dieta 
semanal eficaz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será dado pelo número 
de vezes em que os níveis de A e de B forem iguais, porém, maiores que o nível mínimo 
da substância A durante o período de duração da dieta. 
 
Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, no período analisado, se 
repita para os dias subsequentes. 
O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma dieta semanal, será igual 
a 
a) 28. 
b) 21. 
c) 2. 
d) 7. 
e) 14. 
Comentários 
Os gráficos das duas substâncias interceptam-se quatro vezes. No entanto, em apenas 
dois momentos (em azul), essa interceptação ocorre acima do nível mínimo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 112 
 
Logo, o parâmetro estabelecido em uma semana é dado por 7 . 2 = 14. 
Gabarito: E. 
15. (ENEM / 2016 / QUESTÃO 163 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) Um 
reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água 
desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume 
de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função 
do tempo t, em minuto. 
 
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de 
enchimento? 
A) De 0 a 10. 
B) De 5 a 10. 
C) De 5 a 15. 
D) De 15 a 25. 
E) De 0 a 25. 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 113 
A vazão do reservatório é constante quando a quantidade de água que entra e a 
quantidade de água que sai também são constantes. 
Isso ocorre no intervalo [5, 10] nos dois gráficos. 
Gabarito: B. 
16. (ENEM / 2015 – 2ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 168 / SEGUNDO DIA / CADERNO 
CINZA) O modelo predador-presa foi proposto de forma independente por Alfred J. 
Lotka, em 1925, e Vito Volterra, em 1926. Esse modelo descreve a interação entre duas 
espécies, sendo que uma delas dispõe de alimentos para sobreviver (presa) e a outra se 
alimenta da primeira (predador). Considere que o gráfico representa uma interação 
predador-presa, relacionando a população do predador com a população da sua presa 
ao longo dos anos. 
 
De acordo com o gráfico, nos primeiros quarenta anos, quantas vezes a população do 
predador se igualou à da presa? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 9 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 114 
Com a análise do gráfico, notamos que os pontos onde os gráficos se interceptam são 
os instantes em que as populações se igualaram. 
 
Dessa forma, podemos notar 4 pontos de interseção. 
Gabarito: C 
17. (ENEM / 2014 – 3ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 161 / 2º DIA / CADERNO CINZA) O filme 
A corrente do bem conta a história de um jovem que crê ser possível mudar o mundo a 
partir da ação voluntária de cada um. A ideia é baseada em três premissas: fazer por 
alguém algo que este não pode fazer por si mesmo; fazer isso para três pessoas; cada 
pessoa ajudada deve fazer isso por outras três pessoas. Da mesma forma que temos a 
"corrente do bem" para 3 pessoas, podemos ter uma corrente do bem para um número 
qualquer de pessoas. Suponha que uma corrente do bem seja iniciada numa segunda-
feira, com X pessoas sendo ajudadas, e que cada uma dessas X pessoas ajudasse 
outras X pessoas exatamente 24 horas após ter recebido a ação voluntária. 
Disponível em: www.webcine.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 
Para termos um total de 42 pessoas ajudadas ao término da terça-feira o número X deve 
ser igual a 
a) 2 
b) 6 
c) 7 
d) 14 
e) 21 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 115 
Começando com um número 𝑥 de pessoas ajudados e cada uma das 𝑥 pessoas 
ajudará outra 𝑥 pessoas, totalizando 42, então teremos: 
𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑥 = 42 
𝑥2 + 2𝑥 − 42 = 0 
Resolvendo a equação do 2º grau: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎
 
𝑥 =
−1 ± √12 − 4(−42)
2
 
𝑥 =
−1 ± √169
2
 
𝒙′ = 𝟔 
𝑥′′ = −7 
Como o número de pessoas precisa ser um número natural, desconsideramos a raiz 
negativa. 
 Gabarito: B 
18. (ENEM / 2014 – 3ª APLICAÇÃO / QUESTÃO 166 / 2º DIA / CADERNO CINZA) Um 
paciente inicia um tratamento em que deve ingerir uma dose de um determinado remédio 
a cada duas horas. Ao ingerir essa dose, a quantidade Q de uma substância no seu 
organismo aumenta instantaneamente em 2 unidades. Nas próximas duas horas, essa 
quantidade decresce de maneira linear até atingir a quantidade existente no momento 
imediatamente anterior à ingestão do remédio. Por descuido, esse paciente tomou a 
segunda dose do remédio uma hora depois da primeira. A partir daí, não cometeu mais 
esse tipo de engano, tomando o remédio a cada duas horas. Antes da primeira dose, a 
quantidade da substância na corrente sanguínea do paciente era de 1 unidade. 
O gráfico que melhor representa a quantidade da substância no organismo do paciente 
nas sete primeiras horas do tratamento é 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 116 
 
 
 
 
Comentários: 
Acompanhe a análise: 
Logo antes da primeira dose → 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
Logo após ingestão da 1ª dose (𝑡 = 0) → 1 + 2 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Após 1ℎ → caiu 1 unidade → 3 − 1 = 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Imediatamente após a ingestão da 2ª dose (𝑡 = 1) → 2 + 2 = 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
A partir daí a quantidade irá variar entre 4 e 2 unidades. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 117 
 
 Gabarito: A 
19. (ENEM / 2013 / QUESTÃO 165 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) A 
temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com expressão 𝑻(𝒕) = −
𝒕𝟐
𝟒
+
𝟒𝟎𝟎, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para 
abertura quando o forno atinge a temperatura de 39ºC. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta 
possa ser aberta? 
a) 19,0 
b) 19,8 
c) 20,0 
d) 38,0 
e) 39,0 
Comentários: 
O tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta 
possa ser aberta será dado por 
𝑇(𝑡) = −
𝑡2
4
+ 400 
quando a temperatura for de 39ºC. 
Dessa forma, teremos: 
39 = −
𝑡2
4
+ 400 
−
𝑡2
4
= 39 − 400 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 118 
−
𝑡2
4
= −361 
−𝑡2 = −1444 
𝑡2 = 1444 
𝑡 = 38 
Portanto, o tempo mínimo de espera, após se desligar o forno, para que a porta possa 
ser aberta é de 38 minutos. 
Gabarito: D 
20. (ENEM / 2012 / QUESTÃO 159 / SEGUNDO DIA / CADERNO AMARELO) A figura a 
seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas 
e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada 
semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, 
o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações 
podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem 
resolvidas. 
 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de 
eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de 
reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. 
Disponível em: http://blog.bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado). 
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na 
empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na 
a) segunda e na terça-feira. 
b) terça e na quarta-feira. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 119 
c) terça e na quinta-feira. 
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. 
e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 
Comentários: 
Basta olharmos para cada vertical, aquelas onde os pontos correspondentes da linha 
contínua (reclamações resolvidas) estão acima da linha tracejada (ligações recebidas) 
são os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de 
reclamações recebidas. 
 
Dessa forma, o nível de eficiência foi muito bom terça e na quarta-feira. 
Gabarito: B 
21. (FUVEST/2021) Qual dos gráficos representa uma relação entre as grandezas x e y 
em que y sempre diminui na medida em que x aumenta? 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 120 
 
 
 
Comentários: 
Vamos analisar cada trecho das funções por intervalo e encontrar a alternativa que 
contenha apenas trechos de função do 1º grau, de gráfico decrescente: 
 
Não é a alternativa A, pois o único trecho representa uma função constante, na qual os 
valores de 𝑦 permanecem constantes, na medida em que os valores de 𝑥 aumentam. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 121 
 
Não é a alternativa B, pois embora o primeiro trecho, seja uma função decrescente, o 
outro trecho representa uma função constante, na qual os valores de 𝑦 permanecem 
constantes, na medida em que os valores de 𝑥 aumentam. 
 
 
Não é a alternativa C, pois embora o primeiro trecho, seja uma função decrescente, o 
outro trecho representa uma função do 1º grau crescente, na qual os valores de 
𝑦 aumentam, na medida em que os valores de 𝑥 aumentam. 
 
Não é a alternativa D, pois o primeiro trecho representa uma função do 1º grau 
crescente, na qual os valores de 𝑦 aumentam, na medida em que os valores de 𝑥 
aumentam. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 122 
 
Alternativa correta, pois todos os trechos representam funções do 1º grau 
decrescentes, nas quais os valores de 𝑦 diminuem, na medida em que os valores de 𝑥 
aumentam. 
Gabarito: “e” 
22. (FUVEST/2021) Se 𝒇:ℝ → ℝ e 𝒈:ℝ → ℝ são funções dadas por 𝒇(𝒙) = 𝒄 + 𝒙², onde 
𝒄 ∈ ℝ, e 𝒈(𝒙) = 𝒙, seus gráficos se intersectam quando, e somente quando, 
(A) 𝑪 ≤
𝟏
𝟒
 
(B) 𝑪 ≥
𝟏
𝟒
 
(C) ) 𝑪 ≤
𝟏
𝟐
 
(D) ) 𝑪 ≥
𝟏
𝟐
 
(E) ) 𝑪 ≤ 𝟏 
Comentários: 
Desenvolvendo a igualdade entre as formas algébricas das funções, temos: 
𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 
𝒄 + 𝒙𝟐 = 𝒙 
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
𝜟 = 𝑩𝟐 − 𝟒𝑨𝑪 
𝜟 = 𝟏 − 𝟒𝒄 
Uma função do Primeiro grau, 𝑔(𝑥), pode ter um ou dois pontos em comum com uma 
função do Segundo grau, 𝑓(𝑥). Ou seja: 
𝚫 ≥ 𝟎 
Dessa forma: 
𝚫 ≥ 𝟎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 123 
𝟏 − 𝟒𝒄 ≥ 𝟎 
𝑪 ≤
𝟏
𝟒
 
Gabarito: “a” 
23. (Fuvest/2018 - Questão 28 – Prova V) Sejam 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 os maiores subconjuntos de ℝ 
nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais 
𝑓(𝑥) = √
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
 𝑒 𝑔(𝑥) =
√𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
√𝑥 − 2
. 
Considere, ainda 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 𝑎𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑒 𝑑𝑒 𝑔, 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒. 
Nessas condições, 
a) 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 e 𝐼𝑓 = 𝐼𝑔. 
b) Tanto 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 quanto 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em apenas um ponto. 
c) 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 diferem em apenas um ponto e 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em mais de um ponto. 
d) 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 diferem em apenas um ponto, 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em apenas um ponto. 
e) Tanto 𝐷𝑓 e 𝐷𝑔 quanto 𝐼𝑓 𝑒 𝐼𝑔 diferem em mais de um ponto. 
Comentários 
Quando o exercício nos fala sobre “os maiores subconjuntos de ℝ nos quais estão 
definidas, respectivamente, as funções reais”, está, na verdade, perguntando-nos sobre 
o Domínio das funções. 
Vamos calcular esses domínios separadamente. 
Para que a função 
𝑓(𝑥) = √
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
 
esteja definida, há duas condições a serem satisfeitas: que o denominador 𝑥 − 2 seja 
diferente de zero e que o radicando seja não negativo, ou seja, nulo ou positivo. 
Para a primeira dessas condições, temos: 
𝑥 − 2 ≠ 0 
𝑥 ≠ 2 
Para a segunda, 
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
≥ 0. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 124 
Antes de partirmos para uma inequação simultânea, indico fatorar a expressão e 
simplificá-la. 
Podemos separar o numeradorem duas partes e utilizarmos a fatoração por fator 
comum (evidência). 
𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥 − 2
≥ 0 
𝑥2(𝑥 + 2) − 4(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
Novamente, podemos utilizar o fator comum. 
𝑥2(𝑥 + 2) − 4(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 4)
𝑥 − 2
≥ 0 
Agora é hora de lembrar os produtos notáveis. Você conseguiu perceber que 𝑥2 − 4 =
𝑥2 − 22? 
E essa expressão é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada. 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
Muito bem, conseguimos fatorar o denominador, que era do terceiro grau, e agora é um 
produto de três binômios3 do primeiro grau. 
Como temos uma expressão idêntica no numerador e no denominador, podemos 
simplificar a fração. 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
≥ 0 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
Aqui nós podemos analisar a inequação de duas formas distintas: fazer uma inequação 
produto entre duas retas ou distribuir o produto e analisar diretamente o sinal da 
parábola resultante. 
Optemos, aqui, pela distribuição do produto. 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 
 
3 Binômio é uma expressão algébrica de soma (ou subtração) de dois termos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 125 
 
𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥 + 4 ≥ 0 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 ≥ 0 
Essa inequação tem as seguintes características: 
 A função da inequação representa uma parábola 
 O coeficiente do termo de segundo grau é positivo 
 A parábola tem concavidade para cima (positiva) 
 A parábola tem uma raiz única e igual a −2 
 Sobre as raízes da parábola, já que nós chegamos ao trinômio4 por meio da 
distribuição de dois binômios, as raízes dos binômios também são raízes do trinômio. 
Se os binômios são iguais, a parábola terá também raízes iguais. 
 Para calcular as raízes do binômio: 
𝑥 + 2 = 0 
𝑥 = −2 
 Se preferir, você pode aplicar a fórmula de Bhaskara diretamente na parábola, o que 
resultará em duas raízes idênticas e iguais a −2. 
 De posse com essas informações, podemos já analisar a inequação. 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 ≥ 0 
 
Como queremos a parte positiva ou nula, todo valor de 𝑥 seria válido. No entanto, não 
podemos esquecer nossa primeira condição de existência, que exigia 𝑥 ≠ 2. 
Assim, temos definido o domínio da função 𝑓 como: 
𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 2 
 
4 Trinômio é uma expressão algébrica de soma (ou subtração) de três termos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 126 
Sendo assim, analisemos a função 𝑔. 
𝑔(𝑥) =
√𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
√𝑥 − 2
 
Perceba que ela é ligeiramente diferente da função 𝑓. Os numeradores e os 
denominadores estão separados em duas raízes, portanto, as condições para a 
existência da função 𝑔 deverão ser definidas com regras distintas das de 𝑓. 
Para início, faremos o mesmo que fizemos anteriormente, fatoremos e simplifiquemos a 
função. 
𝑔(𝑥) =
√𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8
√𝑥 − 2
 
Utilizando a fatoração que fizemos anteriormente, podemos reescrever a função 𝑔: 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
 
Um produto no radicando pode ser separado em duas raízes. 
 √𝑎. 𝑏 = √𝑎. √𝑏 
Assim, 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)√(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
. 
Perceba que temos um fator no denominador, idêntico ao denominador, o que nos 
permite uma simplificação desde que o denominador não seja zero. Além disso, esse 
fator é uma raiz de índice par, ou seja, não pode ser negativo. 
Para garantir a não neutralidade do denominador: 
√𝑥 − 2 ≠ 0 
Para que exista √𝑥 − 2: 
𝑥 − 2 ≥ 0 
Dessa forma, temos que satisfazer simultaneamente: 
√𝑥 − 2 ≠ 0 𝑒 𝑥 − 2 ≥ 0 
Podemos condensar essas duas condições em apenas uma inequação, veja: 
𝑥 − 2 > 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 127 
Ao garantir que 𝑥 − 2 não seja zero, a raiz quadrada dele também será diferente de 
zero. 
Assim, 
𝑥 − 2 > 0 
𝑥 > 2 
Desde que 𝑥 > 2, podemos fazer a simplificação: 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)√(𝑥 − 2)
√𝑥 − 2
 
𝑔(𝑥) =
√(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)√(𝑥 − 2)
√(𝑥 − 2)
 
𝑔(𝑥) = √(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) 
E, novamente, utilizando a distribuição já feita anteriormente, temos: 
𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 4𝑥 + 4 
Já sabemos, pela análise anterior, que o radicando, se considerado como uma função, 
representa uma parábola de concavidade para cima. 
De nossa análise dos sinais dessa mesma parábola resultou: 
 
Portanto, se nossa função 𝑔, simplificada com a condição de 𝑥 > 2, é dada pela raiz 
quadrada dessa parábola, só não podemos admitir valores negativos dentro da raiz. 
Analisando os sinais da parábola, podemos ver que o radicando de 𝑔 simplificada 
nunca é negativo, ou seja, nossa função 𝑔 está definida para quaisquer valores de 𝑥, 
desde que respeitemos 𝑥 > 2. 
Dessa forma, escrevemos nosso domínio para a função 𝑔: 
𝐷𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 2 
Apenas para explicitar, temos agora os domínios das duas funções citadas, 𝑓 e 𝑔. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 128 
𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≠ 𝟐 
𝑫𝒈 = 𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 > 𝟐 
Ao analisar as alternativas, vemos que, no que se refere aos domínios, podemos 
afirmar que 𝑫𝒇 e 𝑫𝒈 diferem em mais de um ponto, portanto, nosso gabarito só pode 
estar contido na alternativa e). 
Gabarito: e) 
24. (Fuvest/2015 – Questão 45 – Prova V) A trajetória de um projétil, lançado da beira 
de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo 
de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da 
perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30m desde o 
instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do 
projétil, de 200m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida 
por P, a partir do instante do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno 
estava o projétil quando foi lançado? 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
Comentários 
Para calcular a altura do terreno, é interessante que criemos um sistema de 
coordenadas e, a partir dele, encontremos a equação da trajetória, ou seja, da 
parábola. 
Agora, vamos realizar uma resolução diferente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 129 
A depender de onde coloquemos a origem do nosso sistema de coordenadas, nossos 
cálculos podem ficar mais extensos, por isso precisamos escolhê-lo com critério. 
Como sabemos que parábolas cuja equação não tenha o termo do primeiro grau 
sofrem deslocamento apenas vertical do vértice, uma proposta interessante é colocar a 
origem do nosso sistema de coordenadas no solo, logo abaixo do ponto mais alto da 
trajetória, ou seja, do vértice da parábola. 
Reescrevamos nosso esboço com os dados e o sistema de coordenadas inserido. 
 
Já vimos nessa aula que esse tipo de parábola não deve apresentar o termo 𝑏𝑥 em sua 
equação, ou seja, é do tipo 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
 
Você deve ter percebido que o coeficiente 𝑎 deve ser negativo, pois a parábola tem 
concavidade para baixo. No entanto, não devemos colocar o sinal agora, ele deve 
aparecer quando descobrirmos o valor de 𝑎. 
Como 𝑦 em 200, temos diretamente que o coeficiente 𝑐 = 200, assim: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
Além disso, a trajetória toca o solo (𝑦 = 0 ) no ponto de abscissa 𝑥 = 20. Podemos, 
então, substituir esses valores na equação da parábola para descobrir o valor do 
coeficiente 𝑎. 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 130 
0 = 𝑎. 202 + 200 
0 = 𝑎. 400 + 200 
Subtraindo 200 de ambos os membros: 
−200 = 𝑎. 400 
Dividindo por 400 em ambos os membros: 
−
200
400
=
𝑎. 400
400
 
−
1
2
= 𝑎 
Conforme havíamos previsto, o coeficiente 𝑎 é realmente negativo. 
Assim, completamos nossa parábola da trajetória: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 200 
𝑦 = −
1
2
𝑥2 + 200 
Como queremos saber qual é a altura do terreno em relação ao solo e o lançamento 
ocorreu na posição 𝑥 = −10 em nosso sistema de coordenadas, temos: 
𝑦 = −
1
2
𝑥2 + 200 
𝑦 = −
1
2
(−10)2 + 200𝑦 = −
1
2
. 100 + 200 
𝑦 = −50 + 200 
𝑦 = 150 
Simbolizando que a altura do terreno, em relação ao solo, é de 150 metros. 
Gabarito: d) 
25. (Fuvest/2012 - Questão 61 – Prova V) Considere a função 
𝒇(𝒙) = 𝟏 −
𝟒𝒙
(𝒙 + 𝟏)𝟐
 
, a qual está definida para 𝒙 ≠ −𝟏. Então, para todo 𝒙 ≠ 𝟏 e 𝒙 ≠ −𝟏, o produto 𝒇(𝒙). 𝒇(−𝒙) 
é igual a: 
a) −𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 131 
b) 𝟏 
c) 𝒙 + 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟏 
e) (𝒙 − 𝟏)𝟐 
Comentários 
Organizando 𝑓(𝑥), temos que: 
𝑓(𝑥) = 1 −
4𝑥
(𝑥 + 1)2
= 1 −
4𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 4𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 1)2
 
Organizando 𝑓(−𝑥), temos que: 
𝑓(−𝑥) = 1 −
4(−𝑥)
(−𝑥 + 1)2
= 1 +
4𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 1)2
(𝑥 − 1)2
 
 
Logo, o produto 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥) é dado por 
(𝑥 − 1)2
(𝑥 + 1)2
.
(𝑥 + 1)2
(𝑥 − 1)2
= 1 
Gabarito: b) 
26. (Fuvest/2003 – Questão 81 – Prova V) O sistema {
𝒙 + (𝒄 + 𝟏)𝒚 = 𝟎
𝒄𝒙 + 𝒚 = −𝟏
, onde 𝒄  𝟎, 
admite uma solução (𝒙, 𝒚) com 𝒙 = 𝟏. Então, o valor de 𝒄 é: 
a) –3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 132 
b) –2 
c) –1 
d) 1 
e) 2 
Comentários 
Substituindo o valore de 𝑥: 
𝑥 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
𝑐𝑥 + 𝑦 = −1
 
{
1 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
𝑐 + 𝑦 = −1
 
Assim, temos um sistema 2x2, de variáveis 𝑥 e 𝑐. 
Isolando y na segunda equação, temos: 
𝑐 + 𝑦 = −1 
𝑦 = −1 − 𝑐 
Substituindo o valor de 𝑦 na primeira equação, temos: 
1 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0 
1 + (𝑐 + 1) ⋅ (−1 − 𝑐) = 0 
−c2 − c − c − 1 + 1 = 0 
−𝑐2 − 2𝑐 = 0 
−𝑐(𝑐 + 2) = 0 
Assim, teremos: 
𝑐′ = 0 
𝑐′′ = −2 
Como 𝑐  0, então ficamos com a alternativa B. 
Gabarito: B 
27. (Fuvest/2003 – Questão 83 – Prova V) As soluções da equação 
𝒙−𝒂
𝒙+𝒂
+
𝒙+𝒂
𝒙−𝒂
=
𝟐(𝒂𝟒+𝟏)
𝒂𝟐(𝒙𝟐−𝒂𝟐)
 , 
onde a  0, são: 
a) 
−𝒂
𝟐
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
b) 
−𝒂
𝟒
 𝒆 
𝒂
𝟒
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 133 
c) 
−𝟏
𝟐𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
d) 
−𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝟐𝒂
 
e) 
−𝟏
𝒂
 𝒆 
𝟏
𝒂
 
Comentários 
Questão de álgebra pura. Envolve os conhecimentos de fatoração e produtos notáveis. 
Acompanhe: 
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
+
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
Somando as frações do primeiro membro da equação: 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 + 𝑎)2
(𝑥2 − 𝑎2)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 + 𝑎)2
(𝑥2 − 𝑎2)
=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
 
Cancelando os denominadores iguais e efetuando os produtos, no primeiro membro, 
temos: 
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 =
2(𝑎4 + 1)
𝑎2
 
2𝑥2 + 2𝑎2 =
2(𝑎4 + 1)
𝑎2
 
2(𝑥2 + 𝑎²) =
2(𝑎4 + 1)
𝑎2
 
2(𝑥2 + 𝑎²) =
2(𝑎4 + 1)
𝑎2
 
Cancelando o dois e subtraindo 𝑎² nos dois membros, temos: 
𝑥2 + 𝑎² =
(𝑎4 + 1)
𝑎2
 
𝑥2 =
(𝑎4 + 1)
𝑎2
− 𝑎² 
𝑥2 =
𝑎4 + 1 − 𝑎4
𝑎2
 
𝑥2 =
1
𝑎2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 134 
𝑥 = ±√
1
𝑎
 
𝑥 = ±
1
𝑎
 
Gabarito: E 
28. (Fuvest/2003 - Questão 87 – Prova V) Seja f a função que associa, a cada número 
real x, o menor dos números 𝒙 + 𝟑 e −𝒙 + 𝟓. Assim, o valor máximo de 𝒇(𝒙) é: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 7 
Comentários 
Observe que as equações dadas são de duas retas: 
𝑦′ = 𝑥 + 3 
𝑦′′ = −𝑥 + 5 
Igualando as suas equações, temos o ponto de encontro: 
𝑥 + 3 = −𝑥 + 5 
𝑥 = 1 
e 
𝑦 = 4 
Logo, o valor máximo da função 𝑓(𝑥) associada às retas será 4. 
Gabarito: C 
29. (Fuvest/1997 - Questão 62 – Prova M) Que número deve ser somado ao numerador 
e ao denominador da fração 2/3 para que ela tenha um aumento de 20%? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 135 
e) 5 
Comentários 
Chamando o número desconhecido de x, podemos transcrever o enunciado da 
seguinte forma: 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
= 120% ⋅
2
3
 
Note que um acréscimo de 20% em algo equivale a multiplicar esse algo por 120%. 
Resolvendo a equação do 1º grau: 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
= 120% ⋅
2
3
 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
=
120
100
⋅
2
3
 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
=
6
5
⋅
2
3
 
2 + 𝑥
3 + 𝑥
=
4
5
 
10 + 5𝑥 = 12 + 4𝑥 
𝑥 = 2 
Gabarito: B 
30. (Fuvest/1997 - Questão 72 – Prova M) Para que a parábola 𝒚 = 𝟐𝒙² +𝒎𝒙+ 𝟓 não 
intercepte a reta 𝒚 = 𝟑, devemos ter 
a) –𝟒 < 𝒎 < 𝟒 
b) 𝒎 < −𝟑 𝒐𝒖 𝒎 > 𝟒 
c) 𝒎 > 𝟓 𝒐𝒖 𝒎 < −𝟓 
d) 𝒎 = −𝟓 𝒐𝒖 𝒎 = 𝟓 
e) 𝒎  𝟎 
Comentários 
Esboçando o gráfico da parábola e da reta, temos a seguinte configuração: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 136 
 
Note que a parábola n]ao pode encontrar a reta 𝑦 = 3. 
Vamos verificar em que momento esse encontro poderia acontecer, igualando as 
respectivas equações: 
𝑦 = 2𝑥2 +𝑚𝑥 + 5 
3 = 2𝑥2 +𝑚𝑥 + 5 
2𝑥2 +𝑚𝑥 + 2 = 0 
Chegamos a uma equação do 2º grau. 
Como queremos que a parábola não encoste na reta, então ela necessariamente 
também não encostará no eixo x, não tendo raízes reais. 
Dessa forma, 𝛥 < 0: 
𝛥 = 𝑚2 − 16 < 0 
𝑚′ = 4 
𝑚′′ = −4 
 
O valor de m que torna a inequação negativa é o intervalo: 
– 4 < 𝑚 < 4 
Gabarito: A 
31. (UNICAP/2020) Sabendo que 𝒂 é um número real, considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝟐, 
definida para todo número real 𝒙. Se 𝒇(𝒇(𝟏)) = 𝟏, então 
a) 𝒂 = −𝟏. 
b) 𝒂 = −𝟏/𝟐. 
c) 𝒂 = 𝟏/𝟐. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 137 
d) 𝒂 = 𝟏. 
Comentários: 
Como a questão pediu uma função composta envolvendo 𝑓(1), vamos adiantar nosso 
trabalho e calcular 𝑓(1). 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2 
𝑓(1) = 𝑎 ⋅ 1 + 2 
𝑓(1) = 𝑎 + 2 
De posse de 𝑓(1), vamos substitui-la na equação 𝑓(𝑓(1)) = 1 dada no enunciado. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2 
𝑓(𝑓(1)) = 𝑎 ⋅ 𝑓(1) + 2 
1 = 𝑎 ⋅ (𝑎 + 2) + 2 
1 = 𝑎2 + 2𝑎 + 2 
0 = 𝑎2 + 2𝑎 + 1 
0 = (𝑎 + 1)2 
𝑎 = −1 
Gabarito: a) 
32. (UNICAMP/2018 - Questão 41 – Prova S) Seja a função 𝒉(𝒙) definida para todo 
número real 𝒙 por 
𝒉(𝒙) = {
𝟐𝒙+𝟏 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
 
√𝒙 − 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏
 
Então, 𝒉(𝒉(𝒉(𝟎))) é igual a 
a) 𝟎. 
b) 𝟐. 
c) 𝟒. 
d) 𝟖. 
Comentários 
Calculando o valor numérico mais interno da composta, qual seja ℎ(0), temos: 
0 ≤ 1 → ℎ(0) = 20+1 = 21 → ℎ(0) = 2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 138 
Prosseguimos com ℎ(ℎ(0)), que equivale a ℎ(2). 
2 > 1 → ℎ(ℎ(0)) = ℎ(2) = √2 − 1 = √1 → ℎ(ℎ(0)) = 1 
Por fim, ℎ (ℎ(ℎ(0))), o que equivale a ℎ(1): 
1 ≤ 1 → ℎ (ℎ(ℎ(0))) = ℎ(1) = 21+1 = 22 → ℎ(ℎ(ℎ(0))) = 4 
Gabarito: c) 
33. (UNICAMP/2018 - Questão 42 – Prova S) A figura a seguir exibe o gráfico de uma 
função 𝒚 = 𝒇(𝒙) para𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑. 
 
O gráfico de 𝒚 = [𝒇(𝒙)]𝟐 é dado por 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 139 
 
 
Comentários 
A função entre 0 e 1 é uma reta do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0. Como o enunciado pede 
[𝑓(𝑥)]2, temos [𝑓(𝑥)]2 = [𝑎𝑥]2 = 𝑎2𝑥2, que tem por gráfico uma parábola com 
concavidade voltada para cima. 
A função entre 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3 é uma reta do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 < 0 e 𝑏 > 0. 
Assim, [𝑓(𝑥)]2 = [𝑎𝑥 + 𝑏]2 = 𝑎2𝑥2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑏2, que é uma parábola com 
concavidade para cima, pois 𝑎 < 0 → 𝑎2 > 0. 
Assim, temos duas parábolas, ambas com concavidade positiva. 
Gabarito: c) 
34. (UNICAMP/2015 - Questão 23 - Provas Q e W) Seja 𝒂 um número real. Considere as 
parábolas de equações cartesianas 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 e 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝟑. Essas parábolas 
não se interceptam se e somente se 
a) |𝒂| = 𝟐. 
b) |𝒂| < 𝟐. 
c) |𝒂 − 𝟐| < 𝟐. 
d) |𝒂 − 𝟐| ≥ 𝟐. 
Comentários 
Para que as parábolas se encontrem, é necessário que haja solução para a equação: 
𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 2𝑥2 + 𝑎𝑥 + 3 
0 = 2𝑥2 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2𝑥 + 3 − 2 
0 = 𝑥2 + (𝑎 − 2)𝑥 + 1 
Ao contrário, as parábolas não se encontrarão se a equação não apresentar solução 
real, ou seja: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 140 
∆< 0𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 < 0 
(𝑎 − 2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 < 0 
(𝑎 − 2)2 < 4 
√(𝑎 − 2)2 < √4 
|𝑎 − 2| < 2 
Gabarito: c) 
35. (UNICAMP/2012 - Questão 5 - Provas Q e Z) Um jogador de futebol chuta uma bola 
a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da 
trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, 
a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre 
 
a) 4,1 e 4,4 m. 
b) 3,8 e 4,1 m. 
c) 3,2 e 3,5 m. 
d) 3,5 e 3,8 m 
Comentários 
A função do segundo grau é do tipo: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Dessa forma substituiremos os pontos notáveis da questão: 
(0; 0) 
0 = 𝑎. 0 + 𝑏. 0 + 𝑐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 141 
𝑐 = 0 
 
(40; 0) 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 0 
0 = 𝑎. 402 + 𝑏. 40 
1600𝑎 + 4𝑏 = 0 
40𝑎 + 𝑏 = 0 
𝑏 = −40𝑎 
 
(30; 3) 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 0 
3 = 𝑎. 302 + 𝑏. 30 
3 = 900𝑎 + 30𝑏 
300𝑎 + 10𝑏 = 1 
300𝑎 + 10(−40𝑎) = 1 
−100𝑎 = 1 
𝑎 = −
1
100
 
Assim, 
𝑏 = −40 ⋅ 𝑎 
𝑏 = −40 ⋅ (−
1
100
) 
𝑏 =
2
5
 
Dessa forma, temos a função completa 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 
𝑦 =
−𝑥2
100
+
2𝑥
5
 
Por último substituiremos o 𝑥𝑣 que pode ser obtido pela média aritmética das raízes 0 e 
40, ou seja 𝑦𝑣 = 20. Assim encontraremos a altura máxima: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 142 
 
(20; 𝑦𝑣) 
𝑦 =
−𝑥2
100
+
2𝑥
5
 
𝑦 =
−(20)2
100
+
2(20)
5
 
𝑦 =
−400
100
+
40
5
 
𝑦 = −4 + 8 
𝑦 = 4 
 
Assim, a altura máxima está entre 3,8 e 4,1. 
Gabarito: b) 
36. (UNESP/2018 - Questão 86) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de 
rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais 
os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas 
tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os 
segmentos de retas nos gráficos. 
 
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas 
pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma 
porcentagem de reflexão dos raios solares após 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 143 
a) 8,225 anos. 
b) 9,375 anos. 
c) 10,025 anos. 
d) 10,175 anos. 
e) 9,625 anos. 
Comentários 
Utilizando o eixo x como o tempo em anos, e y a reflexão dos raios solares, em 
percentual, temos como calcular a equação das funções afins, da seguinte forma: 
Pista de concreto (𝑏 = 35): 
𝑎𝑐 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥2
=
25 − 35
6 − 0
= −
5
3
 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = −
5
3
𝑥 + 35 
 
Pista de asfalto (𝑏 = 10): 
𝑎𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥2
=
16 − 10
6 − 0
= 1 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 𝑥 + 10 
Agora podemos igualar as equações para descobrir em quanto tempo (eixo x) as duas 
pistas terão a mesma porcentagem de reflexão: 
−
5
3
𝑥 + 35 = 𝑥 + 10 
−5𝑥 + 105 = 3𝑥 + 30 
−5𝑥 − 3𝑥 = 30 − 105 
−8𝑥 = −75 
𝑥 = 9,375 𝑎𝑛𝑜𝑠 
Gabarito: b) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 144 
37. (UNESP/2015 - Questão 89) Para divulgar a venda de um galpão retangular de 5000 
m², uma imobiliária elaborou um anúncio em que constava a planta simplificada do 
galpão, em escala, conforme mostra a figura. 
 
O maior lado do galpão mede, em metros, 
a) 200. 
b) 25. 
c) 50. 
d) 80. 
e) 100. 
Comentários 
Da planta podemos concluir que o comprimento é o dobro da largura. Essa proporção 
se mantém para o galpão em tamanho real. 
Assim, podemos chamar o comprimento de 𝑏 e a largura de 2𝑏. 
𝑨 = 𝒃 ⋅ 𝒉 
5000 = 𝑏 ⋅ 2𝑏 
5000 = 2𝑏2 
𝑏2 = 2500 
𝑏 = ±√2500 
𝑏 = ±50 
Como a largura é positiva, temos as dimensões do terreno sendo 50 𝑚 𝑥 100 𝑚. 
Logo o maior lado do galpão mede 100 𝑚. 
Gabarito: e) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 145 
38. (UNESP/2015.2 - Questão 89) A tabela indica o gasto de água, em m³ por minuto, 
de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para 
duas posições do registro. 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 0,034 m³. Portanto, é correto 
afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu 
registro de abertura de 1 volta completa e mais 
𝒂) 
𝟏
𝟐
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒃) 
𝟏
𝟓
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒄) 
𝟐
𝟓
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒅) 
𝟑
𝟒
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
𝒆) 
𝟏
𝟒
 𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂. 
Comentários 
O enunciado informou que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta. Assim, 
se pensarmos em 𝑦 como a abertura da torneira, em voltas, e 𝑥 como o gasto de água 
por minuto, em metros cúbicos, a equação da reta será dada por: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Com os dados da tabela substituídos na equação, conseguimos o seguinte sistema 
linear de incógnitas 𝑎 e 𝑏. 
{
 
 𝑎 ⋅
1
2
+ 𝑏 = 0,02
 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 0,03
 
 
De posse do sistema, vamos resolvê-lo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 146 
{
 
 𝑎 ⋅
1
2
+ 𝑏 = 0,02 𝑥 2
 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 0,03 
 
→ {
𝑎 + 2 ⋅ 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
0,03 + 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ 
 
→ {
𝑏 = 0,04 − 0,03
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 + 0,01 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 = 0,03 − 0,01
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 = 0,02
 
Agora, podemos voltar à nossa equação. 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 0,02𝑥 + 0,01 
Nesse ponto, temos o consumo em função da abertura. 
Como o enunciado pede a abertura da torneira quando a vazão é de 0,034 𝑚3/𝑚𝑖𝑛, 
podemos substituir esse valor em 𝑦 e encontrar a abertura 𝑥 correspondente. 
𝑦 = 0,02𝑥 + 0,01 
0,034 = 0,02𝑥 + 0,01 
0,034 − 0,01 = 0,02𝑥 
0,024 = 0,02𝑥 
0,024
0,02
= 𝑥 
1,2 = 𝑥 
Perceba que essa é a abertura total da torneira. No entanto, o enunciado não a pediu. 
O enunciado pediu apenas o que excede a uma volta completa, veja: 
...é correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro 
no seu registro de abertura de 1 volta completa e mais... 
Assim, nossa resposta será apenas o que excede uma volta, ou seja, 0,2 volta. 
Como não temos a indicação nas alternativas na forma decimal, precisamos 
transformar 0,2 para sua fração equivalente. 
0,2 =
2
10
=
1
5
 
Gabarito: b) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 147 
39. (UNESP/2012 - Questão 90) O gráfico representa a vazão resultante de água, em 
𝒎³/𝒉, em um tanque, em função do tempo, em horas. Vazões negativas significam que o 
volume de água no tanque está diminuindo. 
 
São feitas as seguintes afirmações: 
I. No intervalo de A até B, o volume de água no tanque é constante. 
II. No intervalo de B até E, o volume de água no tanque está crescendo. 
III. No intervalo de E até H, o volume de água no tanque está decrescendo. 
IV. No intervalo de C até D, o volume de água no tanque está crescendo mais 
rapidamente. 
V. No intervalo de F até G, o volume de água no tanque está decrescendo mais 
rapidamente. 
É correto o que se afirma em: 
a) I, III e V, apenas. 
b) II e IV, apenas. 
c) I, II e III, apenas. 
d) III, IV e V, apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
Comentários 
Utilizando o ponto A como origem do sistema cartesiano, vamos analisar as 
afirmações: 
I. No intervalo de A até B, o volume de água no tanque é constante. 
Verdadeiro, pois no intervalo AB, a vazão é zero, restando constante o volume. 
 
II. No intervalo de B até E, o volume de água no tanque está crescendo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 148 
Verdadeira, pois no intervalo BE a vazão é positiva, fazendo crescer o volume de 
água. 
 
III. No intervalo de E até H, o volume de água no tanque está decrescendo. 
Verdadeira, pois no intervalo EH a vazão é negativa, fazendo decrescer o volume de 
água. 
 
IV. No intervalo de C atéD, o volume de água no tanque está crescendo mais 
rapidamente. 
Verdadeira, pois no intervalo CD, a vazão é máxima e positiva, fazendo o volume de 
água no tanque crescer mais rapidamente. 
 
V. No intervalo de F até G, o volume de água no tanque está decrescendo mais 
rapidamente. 
Verdadeira, pois no intervalo FG, a vazão é mínima e negativa, fazendo o volume de 
água no tanque diminuir mais rapidamente. 
Gabarito: e) 
40. (UNESP/2009 – QUESTÃO 10) Na Volta Ciclística do Estado de São Paulo, um 
determinado atleta percorre um declive de rodovia de 400 metros e a função 
𝒅(𝒕) = 𝟎, 𝟒𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 
Fornece, aproximadamente, a distância em metros percorrida pelo ciclista, em função do 
tempo 𝒕, em segundos. Pode-se afirmar que a velocidade média do ciclista (isto é, a 
razão entre o espaço percorrido e o tempo) nesse trecho é: 
a) superior a 15 m/s. 
b) igual a 17 m/s. 
c) inferior a 14 m/s. 
d) igual a 15 m/s. 
e) igual a 14 m/s. 
Comentários: 
O tempo decorrido para que o ciclista percorresse esse declive é dado por: 
𝟎, 𝟒𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 
𝟎, 𝟒𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 − 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎 . 𝟐, 𝟓 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 149 
𝒕𝟐 + 𝟏𝟓𝒕 − 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟎 
∆= 𝟏𝟓𝟐 − 𝟒. 𝟏. (−𝟏𝟎𝟎𝟎) = 𝟐𝟐𝟓 + 𝟒𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟐𝟐𝟓 
𝒕 =
−𝟏𝟓 ± 𝟔𝟓
𝟐
 
𝒕′ =
𝟓𝟎
𝟐
= 𝟐𝟓 𝒔 
𝒕" =
−𝟖𝟎
𝟐
= −𝟒𝟎 
(descartado) 
Portanto, o ciclista levou 25 segundos para percorrer os 400 metros do declive. 
𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 =
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓
= 𝟏𝟔 𝒎/𝒔 
Gabarito: a) 
41. (UNESP/2006.2 – QUESTÃO 5) Uma função quadrática 𝒚 = 𝑸(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
assume valores negativos (𝒚 > 𝟎) somente para −𝟏 < 𝒙 < 𝟐. Dado que 𝑸(𝟑) = 𝟏𝟎, a 
ordenada do ponto onde o gráfico da função em um plano cartesiano cruza o eixo Oy é: 
a) – 6 
b) – 5 
c) – 4 
d) – 3 
e) – 2 
Comentários: 
Como, nessa função quadrática, - 1 e 2 representam os extremos do intervalo para o 
qual os resultados são negativos, temos que esses valores são as raízes dessa função. 
Portanto, temos: 
𝑸(𝒙) = 𝒂(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) 
𝑸(𝒙) = 𝒂(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐) 
Como sabemos que 𝑸(𝟑) = 𝟏𝟎, temos: 
𝒂(𝟑𝟐 − 𝟑 − 𝟐) = 𝟏𝟎 
𝒂. 𝟒 = 𝟏𝟎 
𝒂 = 𝟐, 𝟓 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 150 
Logo, a função é dada por 𝑸(𝒙) = 𝟐, 𝟓(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐) = 𝟐, 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐, 𝟓𝒙 − 𝟓. 
A função cruza o eixo 𝑶𝒚 quando 𝒙 = 𝟎. 
𝑸(𝟎) = 𝟐, 𝟓. 𝟎𝟐 − 𝟐, 𝟓. 𝟎 − 𝟓 
𝑸(𝟎) = −𝟓 
Gabarito: b) 
42. (UNESP/2003.2 – QUESTÃO 1) Considere os conjuntos A e B: 
𝑨 = {– 𝟑𝟎, – 𝟐𝟎, – 𝟏𝟎, 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟐𝟎, 𝟑𝟎} e 
𝑩 = {𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟔𝟎𝟎, 𝟕𝟎𝟎, 𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎}, 
e a função 𝒇: 𝑨 → 𝑩, 𝒇(𝒙) = 𝒙² + 𝟏𝟎𝟎. O conjunto imagem de 𝒇 é, 
a) {– 𝟑𝟎, – 𝟐𝟎, – 𝟏𝟎, 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟐𝟎, 𝟑𝟎}. 
b) {𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎}. 
c) {𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎, 𝟔𝟎𝟎, 𝟕𝟎𝟎, 𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎}. 
d) {𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟔𝟎𝟎, 𝟕𝟎𝟎, 𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎}. 
e) 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒛𝒊𝒐. 
Comentários: 
Sendo 𝐴 o domínio, vamos calcular os valores das imagens dos elementos de A: 
𝑓(– 30) = 𝑓(30) = 30² + 100 = 1000 
𝑓(– 20) = 𝑓(20) = 20² + 100 = 500 
𝑓(– 10) = 𝑓(10) = 10² + 100 = 200 
𝑓(0) = 0² + 100 = 100 
Assim, o conjunto imagem de 𝑓 é 
𝐼𝑚 𝑓 = {100; 200; 500; 1000} 
Gabarito: b) 
43. (UEA/2018 - Questão 51) Sabe-se que x’ e x” são as raízes da equação polinomial 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 +𝒎− 𝟓 = 𝟎 
e que (𝒙’ + 𝒙”) + (𝒙’ · 𝒙”) = −
𝟑
𝟐
 . O valor de 𝒎 que satisfaz essa condição é 
(A) 13. 
(B) –3. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 151 
(C) 9. 
(D) 7. 
(E) –5. 
Comentários 
Podemos perceber que as expressões de soma e produto das raízes são as relações 
de Girard5 para uma equação do 2º grau. 
Assim, podemos substituir essas expressões pelas suas respectivas fórmulas: 
(𝑥’ + 𝑥”) + (𝑥’ · 𝑥”) = −
3
2
 
−
𝑏
𝑎
+
𝑐
𝑎
= −
3
2
 
Substituindo os valores dos coeficientes a, b e c: 
−
5
2
+
𝑚 − 5
2
= −
3
2
 
−5 +𝑚 − 5 = −3 
𝑚 = 7 
Gabarito: d) 
44. (UEA/2018 - Questão 53) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
estão representados os gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐– 𝟒 e 𝒈(𝒙) =–𝒙𝟐 + 𝟐𝒙, com os 
pontos comuns P e Q, conforme figura. 
 
As coordenadas dos pontos P e Q são, respectivamente, 
(A) (2, 0) e (–2, –3). 
(B) (2, 0) e (–0,5, –3). 
 
5 Iremos aprofundar esse conteúdo na aula de Polinômios. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 152 
(C) (1, 0) e (–1, –3). 
(D) (2, 0) e (–1, –3). 
(E) (1, 0) e (–0,5, –3). 
Comentários 
Como as circunferências possuem pontos em comum, podemos igualar suas 
respectivas equações: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
𝑥2– 4 =– 𝑥2 + 2𝑥 
2x2 − 2x − 4 = 0 
x2 − x − 2 = 0 
 
𝛥 = (−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2) = 9 
𝑥 =
1 ± 3
2
 
𝑥" = 2 
𝑥′′ = −1 
Repare que encontramos dois valores de x. 
Isso ocorre devido ao fato de existirem dois pontos comuns às duas parábolas. 
O valor positivo (2) será a abcissa do ponto P. 
Ponto P 
𝑓(𝑥) = 𝑥2– 4 
𝑓(2) = 22– 4 = 0 
O valor negativo (-1) será a abscissa do ponto Q. 
Ponto Q 
𝑓(𝑥) = 𝑥2– 4 
𝑓(−1) = (−1)2– 4 = −3 
Assim, temos os pontos P(2, 0) e Q(–1, –3) definidos. 
Gabarito: d) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 153 
45. (UEA/2018 - Questão 60) O gráfico da reta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, em que 𝒎 e 𝒃 são 
constantes reais, está representado em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais. 
 
Desse modo, o gráfico da reta 𝒚 =–𝟑𝒎𝒙 + 𝒃 está corretamente representado na 
alternativa 
 
 
 
 
 
Comentários 
Substituindo o ponto 𝐴(−3; 0) na reta dada: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
0 = −3𝑚 + 𝑏 (𝑖) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 154 
Substituindo o ponto 𝐵(0;−1) na reta dada: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
−1 = 0 + 𝑏 
𝑏 = −1 (ii) 
Substituindo o valor de 𝑏 na primeira equação: 
0 = −3𝑚 − 1 
𝑚 = −
1
3
 
Com o coeficiente angular e o valor de 𝑏 podemos montar a equação da reta: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
𝑦 =– 3𝑚𝑥 + 𝑏 
𝑦 =–3 (−
1
3
) 𝑥 − 1 
𝑦 = 𝑥 − 1 
Assim, temos o gráfico da reta 𝑦 = 𝑥 transladado uma unidade para baixo na vertical. 
 
Gabarito: d) 
46. (UEA/2018 - Questão 08) A soma das raízes da equação 𝒙𝟐– (𝟑𝒂–𝟐𝒃)𝒙 + 𝟐𝒃–𝟔𝒂 = 𝟎 
é igual a 8 e seu produto é igual a – 𝟐𝟎. Desse modo, o resultado da operação 𝒂𝒃: 𝒃𝒂 é 
igual a 
(A) 𝟐 
(B) −𝟏 
(C) 𝟒 
(D) 𝟏/𝟐 
(E) 𝟏 
Comentários 
Sendo a soma das raízes igual a 8, podemos usar a relação de Girard que fala sobre a 
soma das raízes de uma equação do 2º grau, onde 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 155 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝐵
𝐴
 
Ou seja 
−
𝐵
𝐴
= 8 
Sabendo que, na equação 𝑥2– (3𝑎– 2𝑏)𝑥 + 2𝑏–6𝑎 = 0, 𝐴 = 1, 𝐵 =– (3𝑎– 2𝑏) e 𝐶 = 2𝑏 −
6𝑎. 
−
– (3𝑎– 2𝑏)
1
= 8 
3𝑎 − 2𝑏 = 8 (i) 
Sendo o produto das raízes igual a 8, podemos usar a relação de Girard que fala sobre 
o produto das raízes de uma equação do 2º grau, na qual 
𝑥1 ⋅ 𝑥2 =
𝐶
𝐴
 
Ou seja 
𝐶
𝐴
= −20 
2𝑏 − 6𝑎 = −20 (: 2) 
𝑏 − 3𝑎 = −10 (𝑖𝑖) 
Resolvendo o sistema 
{
3𝑎 − 2𝑏 = 8 
𝑏 − 3𝑎 = −10
 
Obstemos 
𝑎 = 4 
𝑏 = 2 
 
Assim, basta calcularmos o valor de 𝑎𝑏: 𝑏𝑎 
 
𝑎𝑏: 𝑏𝑎 = 42: 24 = 16: 16 = 1 
Gabarito: e) 
47. (UEA/2015 - Questão 56) Considere o gráfico da função quadrática dada por 𝒇(𝒙) =
– 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒄. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 156 
 
De acordo com o gráfico, é correto afirmar que o valor de y é 
(A) negativo, se 𝒙 < 𝟑. 
(B) positivo, se 𝒙 > 𝟑. 
(C) positivo, no intervalo – 𝟏 < 𝒙 < 𝟑. 
(D) negativo, se 𝒙 > – 𝟏. 
(E) zero, se 𝒙 = 𝟏. 
Comentários 
O ponto no qual a parábola corta o eixo 𝑦 (intercepto-y) é equivalente ao coeficiente 
𝑐 da forma algébrica da função do 2º grau. 
Dessa forma: 
𝑓(𝑥) =–𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐 
𝑓(𝑥) =–𝑥2 + 2𝑥 + 3 
 
Calculando as raízes da função quadrática: 
𝛥 = 22 − 4(−1) ⋅ 3 = 16 
𝑥=
−2 ± √16
−2
 
𝑥1 = −1 
𝑥2 = 3 
Por último, estudamos o sinal da função: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 157 
 
Note que o único intervalo correspondente a uma das alternativas é aquele no qual a 
função é positiva, se – 1 < 𝑥 < 3. Alternativa C. 
Gabarito: c) 
48. (UERJ/2020 – Questão 30) Um número 𝑵, inteiro e positivo, que satisfaz a 
inequação 𝑵𝟐 − 𝟏𝟕𝑵 + 𝟏𝟔 > 𝟎 é: 
a) 2 
b) 7 
c) 16 
d) 17 
Comentários: 
As raízes da equação 𝑵𝟐 − 𝟏𝟕𝑵 + 𝟏𝟔 = 𝟎 são dadas por: 
∆= (−𝟏𝟕)𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟔 = 𝟐𝟖𝟗 − 𝟔𝟒 = 𝟐𝟐𝟓 
𝑵 =
𝟏𝟕 ± 𝟏𝟓
𝟐
 
𝑵′ =
𝟑𝟐
𝟐
= 𝟏𝟔 
𝑵" =
𝟐
𝟐
= 𝟏 
Logo, o gráfico de sinal da inequação 𝑵𝟐 − 𝟏𝟕𝑵 + 𝟏𝟔 > 𝟎 é: 
 
Portanto a solução da inequação é o intervalo representado por ]−∞, 𝟏[ ∪ ]𝟏𝟔,+∞[. 
Dos valores apresentados nas alternativas, o único que pertence a esse intervalo é 17. 
Gabarito: D 
49. (UERJ/2018 – Questão 33) Os veículos para transporte de passageiros em 
determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 158 
veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao 
longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica. 
 
Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
Comentários: 
O Veículo I passou de 75 para 25 milhares de reais em 5 anos. Logo, 
𝟕𝟓−𝟐𝟓
𝟓
=
𝟓𝟎
𝟓
= 𝟏𝟎 
mil reais de desvalorização por ano. 
O Veículo II passou de 60 para 10 milhares de reais em 4 anos. Logo, 
𝟔𝟎−𝟏𝟎
𝟒
=
𝟓𝟎
𝟒
= 12,5 
mil reais de desvalorização por ano. 
O Veículo III passou de 50 para 14 milhares de reais em 6 anos. Logo, 
𝟓𝟎−𝟏𝟒
𝟔
=
𝟑𝟔
𝟔
= 𝟔 
mil reais de desvalorização por ano. 
O Veículo IV passou de 36 para 16 milhares de reais em 4 anos. Logo, 
𝟑𝟔−𝟏𝟔
𝟒
=
𝟐𝟎
𝟒
= 𝟓 
mil reais de desvalorização por ano. 
Portanto, o veículo com a maior desvalorização é o II. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 159 
Gabarito: B 
50. (UERJ/2016.2 – Questão 27) No plano cartesiano a seguir, estão representados o 
gráfico da função definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐, com 𝒙 ∈ 𝑹 e os vértices dos quadrados 
adjacentes ABCD e DMNP. 
 
Observe que B e P são pontos do gráfico da função 𝒇 e que A, B, D e M são pontos dos 
eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos 
dois quadrados, é: 
a) 20 
b) 28 
c) 36 
d) 40 
Comentários: 
O ponto B, pertencente ao eixo das ordenadas, tem sua abscissa igual a zero. Nesse 
caso, 𝒇(𝟎) = 𝟎𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + 𝟐 = 𝟐. Portanto, 𝑩(𝟎, 𝟐), 𝑪(𝟐, 𝟐) e 𝑫(𝟐, 𝟎). 
Área do Quadrado ABCD: 𝟐𝟐 = 𝟒 
O ponto P, alinhado verticalmente a C e D, possui abscissa 2. Nesse caso, 𝒇(𝟐) = 𝟐𝟐 +
𝟐 = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔. Portanto, 𝑷(𝟐, 𝟔). 
Área do Quadrado DMNP: 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔. 
Área do Polígono ABCPNM: 𝟒 + 𝟑𝟔 = 𝟒𝟎. 
Gabarito: D 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 04 – FUNÇÕES – PARTE 1. 160 
11.0 Considerações Finais 
Isso é tudo, pessoal! 
Na aula de hoje estudamos assuntos que serão recorrentes por todo o curso. 
Agora é revisar sempre que bater uma dúvida. 
Até a próxima aula, ainda vem muito conhecimento pela frente. 
Novamente, se surgirem dúvidas (e é natural que elas surjam), utilize o fórum de dúvidas 
no site do Estratégia. Suas dúvidas são levadas muito a sério por nós. 
Grande abraço e Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Versões das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma 
mudança no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
17/02/2022: Versão original 
 
 
https://www.youtube.com/c/ProfessorCazé
http://www.t.me/professorcaze
http://www.instagram.com/professorcaze