Lista Complementar -G P -Mod10-Aula 13 - Áreas Circulares

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Lista de Exercícios (Complementar) – Geometria Plana - Módulo 10 
(Aula 13: Áreas Circulares) 
 
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1. (EsPCEx) 
Considere uma circunferência de centro O e raio 1cm 
tangente a uma reta r no ponto Q. A medida do ângulo 
ˆMOQ é 30 , onde M é um ponto da circunferência. 
Sendo P o ponto da reta r tal que PM é paralelo a OQ, 
a área (em 2cm ) do trapézio OMPQ é 
a) 
1 3
.
2 8
− b) 
3
2 .
2
− 
c) 
3
1 .
2
+ d) 
3
2 .
8
− 
e) 
3
.
2
 
 
2. (FGV) 
A figura representa uma semicircunferência de diâmetro 
CD, perfeitamente inscrita no retângulo ABCD. Sabe-
se que P é um ponto de AB, e que AP é diâmetro da 
circunferência que tangencia a semicircunferência 
maior em T. 
 
 
 
Se CD 8 cm,= a área sombreada na figura é, em 2cm , 
igual a 
a) 
64 15
2
π−
 
b) 32 8π− 
c) 
64 15
4
π−
 
d) 32 9π− 
e) 16 4π− 
 
3. (Efomm) 
Qual é a área de uma circunferência inscrita em um 
triângulo equilátero, sabendo-se que esse triângulo está 
inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 
10 cm?π 
a) 
75
4
π
 b) 
25
4
π
 
c) 
5
2
π
 d) 
25
16
π
 
e) 
5
4
π
 
 
4. (Famerp) 
As tomografias computadorizadas envolvem 
sobreposição de imagens e, em algumas situações, é 
necessário conhecer a área da região de intersecção 
das imagens sobrepostas. Na figura, um triângulo 
equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro N 
e raioNB NC NM,= = com M e N sendo pontos médios, 
respectivamente, de AB e BC. 
 
 
 
Sendo a área de triângulo equilátero de lado igual a 
2 3
4
 e a área de círculo de raio r igual a 2r ,π se o 
lado do triângulo ABC medir 4 cm, então, a área de 
intersecção entre o triângulo e o círculo, em 2cm , será 
igual a 
a) 3 3π + b) 
3 3
2
π +
 
c) 3π + d) 
2 6 3
3
π +
 
e) 2 3π + 
 
5. (PUC-RJ) 
Considere, como na figura, um quadrado ABCD de 
lado 2 e um círculo inscrito de centro O e raio 1. Sejam 
E e F os pontos médios dos lados AB e AD, 
respectivamente. 
 
 
a) Calcule a área do quadrado e a área do círculo. 
b) Calcule a área da região limitada pelos segmentos 
AE, AF e pelo arco EF. 
c) Seja GH um segmento de reta paralelo ao lado AD, 
em que G pertence ao segmento AE e H pertence ao 
arco EF. Sabendo que os pontos A, H e C são 
colineares, calcule a área da região limitada pelos 
segmentos AF, AG, GH e pelo arco FH. 
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6. (ITA) 
Sejam  uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma 
corda em  de comprimento 4 cm. As tangentes a  
em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a . 
Então, a área do triângulo em PQR, em 2cm , é igual a 
 
a) 
2 3
.
3
 b) 
3 2
.
2
 c) 
6
.
2
 d) 
2 3
.
5
 e) 
4 3
.
3
 
 
7. (Insper) 
Na figura, o hexágono regular ABCDEF tem lado 
medindo 2 cm e o arco de circunferência CE tem 
centro no vértice A. 
 
 
 
A área da região sombreada, em 2cm , é igual a 
 
a) 2 2 3π + b) 2 3π + 
c) 3π + d) 2 3π + 
e) 3 3π + 
 
 
8. (PUC-RJ) 
Um retângulo de lados 3 cm e 4 cm está inscrito em 
um círculo C. 
Quanto vale, em 2cm , a área deste círculo? 
 
a) 
22
3
π b) 
25
4
π c) π d) 9π e) 25π 
 
 
9. (ITA) 
Um hexágono convexo regular H e um triângulo 
equilátero T estão inscritos em circunferência de raios 
HR e TR , respectivamente. Sabendo-se que H e T têm 
mesma área, determine a razão H
T
R
.
R
 
 
 
10. (ESPM) 
Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e ADE é um 
quadrante de círculo de centro D. Se o lado AB e o 
arco AE têm comprimentos iguais a cm,π a medida da 
área sombreada, em 2cm , é: 
 
a) 4 b) π c) 2π d) 
2
π
 e) 2 
 
11. (Enem) 
O proprietário de um parque aquático deseja construir 
uma piscina em suas dependências. A figura representa 
a vista superior dessa piscina, que é formada por três 
setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 
60 . O raio R deve ser um número natural. 
 
 
 
O parque aquático já conta com uma piscina em formato 
retangular com dimensões 50 m 24 m. 
O proprietário quer que a área ocupada pela nova 
piscina seja menor que a ocupada pela piscina já 
existente. 
 
Considere 3,0 como aproximação para .π 
 
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser 
 
a) 16. b) 28. c) 29. d) 31. e) 49. 
 
12. (UERJ) 
Uma chapa de aço com a forma de um setor circular 
possui raio R e perímetro 3R, conforme ilustra a 
imagem. 
 
 
A área do setor equivale a: 
a) 2R b) 
2R
4
 c) 
2R
2
 d) 
23R
2
 
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13. (PUC-RJ) 
A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um 
círculo inscrito e um segundo círculo tangente a dois 
lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro 
círculo. 
 
 
 
a) Encontre o raio do maior círculo. 
 
b) Encontre o raio do menor círculo. 
 
c) Encontre a área da região sombreada, limitada por 
um lado do triângulo e pelos dois círculos. 
 
 
14. (PUC-MG) 
Na figura está a planta de um canteiro: ABCD é um 
quadrado de lado 2 m, BD e CE são arcos de 
circunferências centradas em A, de raios AD e AC, 
respectivamente. 
 
 
 
O quarto de círculo em branco deverá ser coberto de 
flores e a parte sombreada deverá ser gramada. Nas 
condições dadas, a medida da área que deverá ser 
gramada, em metros quadrados, é aproximadamente 
igual a: 
 
Considere: 3,14π = 
a) 1,52 
b) 1,60 
c) 2,00 
d) 3,13 
 
 
15. (Unicamp) 
A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia 
internamente um setor circular de raio R e ângulo 
central .θ 
 
a) Para 60 ,θ =  determine a razão entre as áreas do 
círculo e do setor circular. 
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r.= 
 
16. (Enem PPL) 
O prefeito de uma cidade deseja promover uma festa 
popular no parque municipal para comemorar o 
aniversário de fundação do município. Sabe-se que 
esse parque possui formato retangular, com 120 m de 
comprimento por 150 m de largura. Além disso, para 
segurança das pessoas presentes no local, a polícia 
recomenda que a densidade média, num evento dessa 
natureza, não supere quatro pessoas por metro 
quadrado. 
 
Seguindo as recomendações de segurança 
estabelecidas pela polícia, qual é o número máximo de 
pessoas que poderão estar presentes na festa? 
a) 1.000 b) 4.500 
c) 18.000 d) 72.000 
e) 120.000 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Utilize as informações a seguir para a questão abaixo. 
 
Esta figura mostra o alvo de uma academia de arco e 
flecha. A pontuação que um jogador recebe ao acertar 
uma flecha em cada uma das faixas circulares está 
indicada na respectiva faixa. O raio do círculo maior 
mede 60 cm, o do menor mede 10 cm e a diferença 
entre os raios de quaisquer dois círculos consecutivos é 
de 10 cm. Todos os círculos têm o mesmo centro. 
 
 
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17. (Insper) 
A soma das áreas das faixas em cinza na figura é igual 
a 
a) 2900 cm .π b) 21100 cm .π 
c) 21300 cm .π d) 21500 cm .π 
e) 21700 cm .π 
 
18. (ESPM) 
Durante uma manifestação, os participantes ocuparam 
uma avenida de 18m de largura numa extensão de 
1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 
pessoas por 2m , podemos estimar que o número de 
participantes dessa manifestação foi de aproxi-
madamente: 
a) 70 mil b) 60 mil 
c) 40 mil d) 30mil 
e) 50 mil 
 
19. (Fuvest) 
O triângulo AOB é isósceles, com OA OB,= e ABCD 
é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo ˆAOB, 
pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que 
a área do triângulo se 
 
Dados os valores aproximados: 
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
   
   
 
a) 14 28θ    b) 15 60θ    
c) 20 90θ    d) 25 120θ    
e) 30 150θ    
 
20. (FGV) 
A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de 
medida R, é uma corda de outro semicírculo de 
diâmetro 2R e centro O. 
 
 
 
 
a) Calcule o perímetro da parte sombreada. 
 
b) Calcule a área da parte sombreada. 
 
 
21. (AFA) 
Na figura abaixo, os três círculos têm centro sobre a reta 
AB e os dois de maior raio têm centro sobre a 
circunferência de menor raio. 
 
 
 
A expressão que fornece o valor da área sombreada é 
a) 2
17 6 3
r
9
π −
 b) 2
11 9 3
r
12
π +
 
c) 2
15 4 3
r
9
π −
 d) 2
13 6 3
r
12
π +
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
[A] 
 
 
MN 1 1
sen30 MN NQ
1 2 2
ON 3 3
cos30 ON MP 1
1 2 2
 =  =  =
 =  =  = −
 
Portanto, a área do trapézio OMPQ será dada por: 
 
3 1
1 1
2 2 1 3
A
2 2 8
 
+ −   
 
= = − 
 
 
Resposta da questão 2: 
[A] 
 
 
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Considerando o triângulo retângulo desenhado em vermelho 
na figura acima, e sendo r o raio da circunferência menor e 
R o raio da circunferência maior, pode-se escrever: 
( ) ( )
2 22R r R R r+ = + − 
mas R = 4 
 
( ) ( )
2 22 2 2
2 2
hachurada
4 r 4 4 r 16 8r r 16 16 8r r 16r 16 r 1
4 1 64 15
S 4 8 32 8
2 2 2 2
π π π π
π
+ = + −  + + = + − +  =  =
  −
=  − + = − + =
 
 
Resposta da questão 3: 
[B] 
O raio da circunferência de comprimento igual a 10 cmπ é 
R, então, 
2 R 10
R 5 cm
π π=
=
 
Assim, temos: 
 
 
No triângulo ODC, 
r
sen30
5
1 r
2 5
5
r
2
 =
=
=
 
Portanto, a área pedida S é tal que: 
2
5
S
2
25
S
4
π
π
 
=   
 
=
 
 
Resposta da questão 4: 
[D] 
 
A área de intersecção será igual a área de dois triângulos 
equiláteros de lado 2 somado com a área de um setor circular 
de 60 , conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Calculando: 
2
triângulo
2 2
setor
int er sec ção triângulo setor
2 3
S 3
4
R 2 4
S
6 6 6
4 6 3 2
S 2S S 2 3
6 3
π π π
π π
= =
= = =
+
= + = + =
 
 
Resposta da questão 5: 
a) Teremos: 
 
Do enunciado e da figura, temos: 
2
quadrado
2
círculo
S 2 4
S 1π π
= =
=  =
 
 
b) Teremos: 
 
 
4S 4
4S 4
S 1
4
π
π
π
+ =
= −
= −
 
c) Teremos: 
 
 
 
 
No triângulo AGH, 
 
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( )
( )
2 2 2
2 2
AH x x
AH 2x
= +
=
 
 
Como AH 0 e x 0, 
AH x 2= 
 
No triângulo ABC, 
( )
( )
2 2 2
2 2
AC 2 2
AC 2 2
= +
= 
 
 
Como AC 0, 
AC 2 2= 
 
Então, 
( ) ( )
2 2
2
2
2
AC 2AH 2
2 2 2 x 2 2
2 x 2 1
x 2 2 1
x 2 2 1
2x 3 2 2
3 2 2
x
2
3
x 2
2
= +
=  +
= +
= −
= −
= −
−
=
= −
 
 
Assim, a área pedida é dada por: 
2
x x S
2 2
x S
2 2
3
2 1
2 4
2 2
3 2 1
4 2 2 8
π
π

+
+
− −
+
− + −
 
 5 2
4 2 8
π
− − 
 
Resposta da questão 6: 
[E] 
 
 
ˆOPR 90 60 30=  −  =  
No triângulo PMR, temos: 
h 3 h 2 3
tg30 h cm
2 3 2 3
 =  =  = 
Logo, a área do triângulo PQR será dada por: 
1 2 3 4 3
A 4 A
2 3 3
 
=    = 
 
Resposta da questão 7: 
[A] 
 
ˆAFE 120=  (ângulo interno do hexágono regular) 
ˆEAC 60=  (ângulo interno do triângulo equilátero EAC). 
Os triângulos AFE e ABC são congruentes pelo caso LAL. 
 
 
 
Portanto a área S pedida será a soma da área do setor de 
60 e raio R com o dobro da área do triângulo AFE. 
 
Calculando, inicialmente a medida do raio R do setor circular, 
utilizando o teorema dos cossenos no triângulo AFE, temos: 
2 2 2
2 2 2
2
R 2 2 2 2 2 cos120
1
R 2 2 2 2 2
2
R 12
R 2 3 cm
= + −    
 
= + −    − 
 
=
= 
 
Logo: 
( )
2
2 3 60 1
S 2 2 2 sen120
360 2
3
S 2 4
2
S 2 2 3
π
π
π
  
= + +     

=  + 
=  + 
 
 
Resposta da questão 8: 
[B] 
 
A diagonal do retângulo corresponde ao diâmetro do círculo. 
Logo, pelo Teorema de Pitágoras, concluímos que a diagonal 
mede 5cm e, portanto, o resultado é 
2
25 25 cm .
2 4
π π
 
 = 
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 
Considerando que x é a medida do lodo do hexágono regular 
e y a medida do lado do triângulo equilátero, temos: 
 
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Considerando que a área do hexágono é igual a área do 
triângulo, podemos escrever que: 
2 2x 3 y 3 x 1
6
4 4 y 6
 
 =  = 
 
Portanto, 
H
T
R x 3 3 2
R 23 2 6 3 3 2
y
2 3
= = = =
 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
[B] 
 
Com os dados do enunciado, pode-se escrever: 
ABCE ABCD AED
2 2
ABCE ABCE
1 R
AE 2 R 1 R AD 2
4 2
S S S
1
S AB AD R 2 S cm
4
π π
π π π π
= =  =  = =
= −
=  − = −  =
 
 
Resposta da questão 11: 
[B] 
 
Sendo 3 60 180 ,  =  vem 
2 21 R 50 24 R 800
2
0 R 28,2 m.
      
  
 
Portanto, o maior valor natural de R, em metros, é 28. 
 
Resposta da questão 12: 
[C] 
 
A área do setor é dada por 
 
2R AB R R R
.
2 2 2
 
= = 
 
Resposta da questão 13: 
 
 
a) 
6
3
2
3
1
3
1
R == 
 
b) 1 3 2 3 3r
3 2 6 18
 
=  − =  
 
 
 
c) Teremos: 
 
 
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
(R r) x (R r)
R 2Rr r x R 2 R
x 4Rr
3 3
x 4
6 18
1
x
r r
3
=
=
=
+ = + −
+ +

+ 

−
=
 +
 
 
(trapézio) (setor I) (setor II)
2 2
A A A A
1 3 3 1 1 3 1 3
A
2 6 18 3 3 18 6 6
3
A
27 324 72
π π
π π
= − −
     
=  +  −   −           
     
= − −
 
 
Resposta da questão 14: 
[C] 
 
 
 
AC AE 2 2= = 
A área pedida A será a soma das áreas das regiões 
assinaladas na figura acima. 
 
( )
2
2
2
1
2 2
2
2
2
2
4 3,144A 0,43 m
2 2
2 2 2
A 1,57 m
8 2
π
π
π

−
−
= = =
 
 − 
 
= = =
 
 
Portanto, 21 2A A A 0,43 1,57 2,00 m . = + = + = 
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Resposta da questão 15: 
a) Considere a figura. 
 
 
 
Como o círculo e o setor são tangentes internamente, 
temos AC R,= OB OC r= = e BAO 30 .=  Logo, 
segue que AO AC OC R r.= − = − Portanto, do triângulo 
ABO, vem 
 
OB r
senBAO sen30
R rAO
r 1
R 3
=   =
−
 =
 
 
Em consequência, a razão pedida é igual a 
 
22
2
r r 2
6 .
60 R 3
R
360
π
π
 
=  = 
  


 
 
b) Se R 4r,= então, do triângulo ABO, obtemos 
 
r 1
sen sen .
2 R r 2 3
θ θ
=  =
−
 
 
Por conseguinte, vem 
 
2
2
cos 1 2sen
2
1
1 2
3
7
.
9
θ
θ = −
 
= −   
 
=
 
 
Resposta da questão 16: 
[D] 
 
Fazendo os cálculos: 
2
parque
2
Área 120 150 18.000 m
Densidade 4 pessoas / m
Público 18.000 4 72.000 pessoas
=  =
=
=  =
 
 
Resposta da questão 17: 
[D] 
 
A área pedida é dada por 
 
2 2 2 2 2
2
(50 40 ) (30 20 ) 10 900 500 100
1500 cm .
π π π π π π
π
 − +  − +  = + +
=
 
 
Resposta da questão 18: 
[C] 
 
O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida 
pela taxa de ocupação, ou seja, 
 
1500 18 1,5 40500 40.000.  =  
 
 
Resposta da questão 19: 
[E] 
 
Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB. 
 
 
Do triângulo retângulo OMB, obtemos 
 
𝑡𝑔𝑀 �̂�𝐵 =
𝐵𝑀
𝑀𝑂
⇔𝑀𝑂 =
𝐴𝐵
2 𝑡𝑔
𝜃
2
. 
 
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1.= Assim, 
 
AB MO 1
(AOB) .
2
4tg
2
θ

= = 
 
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo 
AOB se 
 
2 1(ABCD) (AOB) 1
4 tg
2
1
tg 0,25.
2 4
θ
θ
  
  =
 
 
Logo, comotg15 0,2679 0,25   e 0 180 ,θ    vem 
que 30 180 .θ    Note que ]30 ,150 [ ]30 ,180 [.     
 
Resposta da questão 20: 
a) Considere a figura. 
 
 
 
Lista de Exercícios (Complementar) – Geometria Plana - Módulo 10 
(Aula 13: Áreas Circulares) 
 
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Como tem-se que o triângulo 
é equilátero. Logo, o perímetro da parte sombreada é dado 
por 
 
 
 
b) A área da parte sombreada é igual a 
 
 
 
 
Resposta da questão 21: 
[D] 
 
A área hachurada será igual a área de uma circunferência 
maior (raio r), somada à área da “lua” remanescente da outra 
circunferência maior (raio r), subtraindo-se a área da 
circunferência menor (raio r 2). Pode-se deduzir 
graficamente: 
 
 
 
Deduz-se, portanto, que área de uma circunferência maior é 
igual a 
2r .π 
 
Para calcular a área da “lua” remanescente da outra 
circunferência de raio r (área hachurada em azul nas figuras 
a seguir) é preciso subtrair o equivalente a duas áreas verdes 
(ver figuras a seguir). Para calcular a área verde, é preciso 
calcular a área do setor circular de 120 menos a área de um 
triângulo equilátero de lado r. 
 
 
 
 
Assim, pode-se escrever que a área total hachurada em cinza 
é igual a: 
 
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
r 120 r 3 r
r r 2
360 4 4
r 4 r 3r 3 3 r 8 r 6r 3
r r 2 r
4 12 4 12
3 r 12 r 8 r 6r 3 3 r 4 r 6r 3
4 12 4 12
9 r 4 r 6r
π
π π π
π π π
π π π π
π π π π π
π π
     
+ −  − −         
      − −
− + −  = + −      
            
 − + +
+ = + 
  
+ + 2 2 23 13 r 6r 3 13 6 3 r
12 12 12
π π + +
= =   
 
 
 
 
AO BO AB R,= = = ABO
1 1 R
ACB ADB 2 R 2
6 2 2
5 R
u.c.
6
π π
π
+ =   +  
=
2 2 2
2 2
2
1 R 1 R 3 R 3 1
R R
2 2 6 4 4 24
R
3 u.a.
4 6
π π π
π
   
  −   − = −    
   
 
= − 
 