Lista 11_ Área do Círculo

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Geometria Plana 11 – Área do Círculo e suas partes 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. Em um quadrado de lado L traçamos dois arcos de circunferência 
de centros em vértices opostos e raio R. Calcule a área da região 
hachurada. 
 
 
 
 
2. A rosácea hachurada da figura é determinada por quatro 
semicircunferências de diâmetro igual ao lado do quadrado ABCD. 
Considerando o valor de π igual a
7
22
, calcule, em cm2, a área dessa 
rosácea de quatro pétalas e despreze a parte fracionária de seu 
resultado, caso exista. 
 
 
 
3. Sejam duas circunferências concêntricas de raios r e R 
respectivamente, com r<R. Uma corda da circunferência maior mede 
8cm e é tangente a circunferência menor. Calcule a área da coroa 
circular determinada pelas duas circunferências. 
 
4. Mostre que a área da coroa circular é igual a área do círculo que 
tem como diâmetro a corda AB da circunferência maior que tangencia 
a circunferência menor. 
 
5. (MACK) O arco de circunferência AB mede 60° e tem centro O. 
 
Observadas as condições de tangencia da figura, se o círculo inscrito 
tem raio 4, a área assinalada vale: 
a)6 π b)7 π c)8 π 
d)9 π e)12π 
 
6. Com o objetivo de desenhar uma "meia-lua", uma pessoa traçou 
uma circunferência de centro C e raio 6 cm e outra de centro A e raio 
AB. Calcule, em cm2, a área da meia-lua assim obtida. 
 
 
7. Na figura seguinte, todos os arcos traçados têm raio 6 cm. Calcule, 
em centímetros quadrados, a área da região hachurada e despreze a 
parte fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
 
8. (ITA 1988) Considere as circunferência inscrita e circunscrita a um 
triângulo eqüilátero de lado � .A área da coroa circular formada por 
estas circunferências é dada por: 
a) 2
4
π
� b) 2
6
2
π� 
c) 2
3
3
π� d) 
23π� 
e) 2
2
π
� 
 
9. (ITA 2004) Duas circunferências concêntricas 1 2C e C ‚ têm raios 
de 6 cm e 6 2 cm, respectivamente. Seja 
_____
AB uma corda de 2C , 
tangente à 1C . A área da menor região delimitada pela corda 
_____
AB 
e pelo arco AB mede, em cm2: 
 
10. (Ita 1999) Duas circunferências C1 e C2, ambas com 1m de raio, 
são tangentes. Seja C3 outra circunferência cujo raio mede ( 2 -
1)m e que tangencia externamente C1 e C2. A área, em m2, da 
região limitada e exterior às três circunferências dadas, é: 
 
a) 1 - π
2
1
2
 
−  
 
 b) 
1
62
π
− 
c) ( )
2
2 1− d) 
16
π 
 
 
1
2
2
 
− 
 
 
e) π( 2 - 1) - 1 
 
11. (Ita 1999) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3 m são 
tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas 
duas circunferências nos pontos distintos A e B. A área, em m2, do 
triângulo ABC é: 
a) 27 3 b) 
27 3
2
 
c) 9 3 d) 27 2 
e) 
27 2
2
 
 
 
 
 
 
8 cm
A B
D C
A
B
C
F B
A
D
CE
O
 
 2
12. (Colégio Naval 1999) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pizza circular de raio 30 cm foi dividida em 6 partes iguais para 
seis pessoas. Contudo, uma das pessoas resolveu repartir ao meio o 
seu pedaço, como mostra a figura acima. 
O valor de x é: 
a)
2
10
3
π
 b)
3
10
3
π
 
c) d)
3
10
3
π
 
e) 
5
10
3
π
 
 
13. (OBM 2005) Na figura, todas as circunferências menores têm o 
mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a 
circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as 
áreas cinzas indicadas na figura. Então a razão 
a
b
 é igual a: 
 
a) 
1
2
 b) 
2
3
 
c) 1 d) 3
2
 
e) 2 
 
14. (Fgv 2010) A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 
cm, um triângulo equilátero ABC, e os pontos D e E pertencentes à 
circunferência, com D em AC e E em BC . 
 
 
 
Em cm², a área da região hachurada na figura é igual a 
a) 64. b) 8. 
c) 8 3 .
3
π 
− 
 
 d) 4 3 .
3
π 
− 
 
 
e) 4 3 .
2
π 
− 
 
 
 
15. (Fgv 2007) Na figura, a reta suporte do lado BC do triângulo ABC 
passa pelo centro da circunferência ë. Se A = 15°, BC = 4 cm, e o raio 
de ë mede 2 cm, a área sombreada na figura, em cm2, é igual a 
 
a) 
(9 )
3
− π
 . b) 
[6 ( 3) 2 ]
3
− π
. 
c) 
(9 2 )
3
− π
 . d) 
[3 ( 3) ]
3
− π
 . 
e) 
[2 ( 6) ]
3
− π
 . 
 
16. (Insper 2009) Na figura: 
 
 
 
a) ABCD representa um quadrado de lado 2; 
b) M é ponto médio de AD e N é ponto médio de CD ; 
c) AC é uma diagonal do quadrado; 
d) o arco que passa por P e Q é um arco de circunferência com 
centro em D. 
 
a) Calcule a medida do segmento BQ . 
b) Calcule a لrea da regiمo sombreada. Se necessلrio, considere que 
o ângulo cujo seno vale 0,6 é aproximadamente 36°. 
 
 
17. (UnB) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo. BnApC, 
BmA, AqC são semicircunferências, cujos diâmetros são, 
respectivamente, BC, AB e AC. Calcule a soma das áreas das figuras 
hachuradas, sabendo-se que a área do triângulo ABC é 82 cm2. 
 
 
 
3
10
π
a
b
A
B
C
m n
p
q
 
 
 3
18. A figura abaixo mostra três semicírculos e um triângulo ABC, 
retângulo em  . Se a altura AH mede 6 cm, calcule a área da região 
hachurada. 
 
 
 
19. Na figura, o comprimento da tangente AB , comum aos dois 
círculos menores, é igual a 6 cm. Calcule, em cm2, a área hachurada 
fazendo π igual a 
7
22
. Despreze a parte decimal, caso exista. 
 
 
 
20. Na figura, ABCD é um quadrado de lado � . Com centro no ponto 
C, descrevem-se os arcos AE e BD . Calcule a área da região 
sombreada, em cm2, dado que cm7=� e desconsidere a parte 
decimal, caso exista. 
 
 
 
21. (Ime 2011) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos 
medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados 
na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma 
das áreas hachuradas, em cm2, é: 
 
 
a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 14 
 
 
 
 
 
22. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos 
de circunferências de raio 1. Determine a área da região hachurada . 
 
 
 
 
23. OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados 
semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o valor da razão das 
áreas hachuradas, a/b. 
 
 
 
24. Seja um quadrado ABCD de lado 1cm, e os arcos AC, BD, CA e 
DB de centros D,A,B e C respectivamente. Calcule a área 
compreendida no interior dos quatro arcos. 
 
25. Deseja-se construir uma janela com a forma de um retângulo 
encimado por uma semicircunferência de raio x como indica a figura. 
 
 
Sabendo que o perímetro da janela deve ser igual a 4m: 
a) Expresse a área da janela em função de x. 
b) Encontre o valor de x para o qual a área da janela é a maior 
possível. 
 
26. Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências externas 
tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à 
circunferência interna C. 
 
 
 
Se o raio de C é igual a 2, determinar 
a) o valor de r. 
b) a área da região hachurada. 
 
 
 
A
B C
H
A
B
A B
CDE
 
 4
27. Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7cm. Sobre cada 
lado do quadrado, considera-se a semi-circunferência exterior ao 
quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5cm, como na 
figura a seguir. Calcule a área da região hachurada. 
 
 
 
28. Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero de lado 12, os arcos 
DE, EF, FD estão contidos em circunferências de raio 6, e a 
circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro 
mais próximo da área da região hachurada? (Dados: use as 
aproximações 3,14π = e 3 1,73= 
 
 
29. Um setor circular de ângulo α e raio 1 foi dividido em três setores 
de mesmo ângulo. Cada um desses setores foi dividido em duas 
regiões por um arco de círculo concêntrico com o setor e de raio r, 
como ilustrado na figura. 
 
 
Se A é a soma das áreas das regiões sombreadas e A‚ é a soma das 
áreas das regiões claras, determine o valor de r que torna verdadeira 
a igualdade A = A. 
 
30. (Fuvest 2007) A figura representa um trapézio ABCD de bases
AB e CD , inscrito em uma circunferência cujo centro O está no 
interior do trapézio. 
Sabe-se que AB = 4, CD =2 e AC = 3 2 . 
 
a) Determine a altura do trapézio. 
b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. 
c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela 
circunferência. 
 
31. (Fuvest 2001) Um agricultor irriga uma de suas plantações 
utilizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma região 
retangular, de base 100 m e altura 20 m, e a segunda irriga uma 
região compreendida entre duas circunferências de centro O, e de 
raios 10 m e 30m . A posição relativa dessas duas regiões é dada 
na figura a seguir, onde A e B são os pontos médios das alturas do 
retângulo. 
 
Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O estão alinhados e que BO 
= 20 m, determine 
a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas; 
b) a área total irrigada. 
Utilize as seguintes aproximações: 2 = 1,41, ð = 3,14 e arcsen
1
3
= 0,340 rad. 
 
32. Na figura abaixo, temos duas circunferências de mesmo raio R e 
centros C1 e C2. Determine a distância entre r e s para que as áreas 
hachuradas sejam iguais. 
 
33. (Ufrj 2009) Um disco se desloca no interior de um quadrado, 
sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta 
completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do 
quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram 
encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não 
foram encobertos. O raio do disco mede 2 cm e o lado do quadrado 
mede 10 cm. 
 
Determine a área da região B. 
 
34. Considere o segmento OC e o círculo de centro em C e raio r da 
figura abaixo. 
 
 
Sabendo que cmr 2= e que, para °=α 60 , cmx 3= , determine a 
área S varrida pelo círculo quando α varia de zero a 180o. 
 
O x x
y
α
C
r
 
 5
35. Calcule a área do trapézio ABCD, cujas bases são os diâmetros 
das semicircunferências traçadas, sabendo-se que a área hachurada 
é de 81 cm2 e que os arcos AD e BC medem 45o cada um. 
 
 
36. (IME 1970) Em um círculo de raio R e o centro O traçam-se dois 
diâmetros perpendiculares 'AA e 'BB . Com centro em B e raio BA 
traça-se uma circunferência que determina sobre 'BB o ponto C, 
interior à circunferência de raio R. Calcule a área da lúnula 
' 'ACA B A . 
 
37. (IME 1987) Sobre uma reta r marcam-se, nesta ordem, os pontos 
A, B, C e D. Em um dos semiplanos determinados por r , traçam-se 
as semicircunferências de diâmetros AB, CD e AD; no outro 
semiplano traça-se a semicircunferência de diâmetro BC. Calcule a 
razão entre a área delimitada por estas semicircunferências e a área 
do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios das 
semicircunferências. Mostre que esta razão independe dos pontos A, 
B, C e D. 
 
38. (IME 1988) Dado um círculo de raio R e centro O , constroem-
se três círculos iguais de raios r , tangentes dois a dois, nos pontos 
E, F e G e tangentes interiores ao círculo dado. 
Determine, em função de R , o raio destes círculos e a área da 
superfície EFG, compreendida entre os três círculos e limitada pelos 
arcos EG, GF e FE. 
 
39. (IME 1988) Seja o semi-círculo de diâmetro AB 2R= e r sua 
tangente em A. Liga-se um ponto P da reta r ao ponto B, 
interceptando o semi-círculo no ponto C. 
a) Demonstre que o produto .PB BC é constante 
b) Seja 
PB
AP
2
= , calcule a área da porção do triângulo PAB situada 
no exterior do semi-círculo. 
 
40. (IMO 1964) Triangle ABC has sides a, b, c. Tangents to the 
inscribed circle are constructed parallel to the sides. Each tangent 
forms a triangle with the other two sides of the triangle and a circle is 
inscribed in each of these three triangles. Find the total area of all four 
inscribed circles. 
 
41. (OBM 2003) A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s. A 
reta r é tangente às circunferências C1 e C3, a reta s é tangente às 
circunferências C2 e C3 e as circunferências tocam-se como também 
mostra a figura. 
r
s
C3
C1
C2
 
As circunferências C1 e C2 têm raios a e b, respectivamente. Qual é 
o raio da circunferência C3? 
a) 
2 22 a b+ 
b) a + b 
c) 2 ab 
d) 
4ab
a b+
 
e) 2b – a 
 
42. (O.B.M 2000) A figura abaixo mostra o logotipo de uma 
empresa, formado por dois círculos concêntricos e por quatro círculos 
de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois 
círculos concêntricos. O raio do círculo interno mede 1 cm. Então o 
raio do círculo externo deverá medir, em cm: 
 
 
 
a) 2 2 + 3 
b) 2 + 2 
c) 4 2 + 1 
d) 3 2 
e) 2 + 1 
 
43. A figura seguinte mostra seis circunferências de raio 2 cm cujos 
centros, A, B, C, D, E e F, são vértices de um hexágono regular. 
Calcule o comprimento da correia que envolve essas seis 
circunferências. 
 
 
 
44. (Insper 2009) Um hexágono regular de lados medindo 
2( 3 1)cm+ foi decomposto em seis triângulos equiláteros. Em 
cada triângulo, foram desenhadas três circunferências de mesmo 
raio, tangentes entre si e aos lados do triângulo, como mostra a figura. 
Se o círculo hachurado tangencia seis das outras circunferências, e 
seu centro coincide com o centro do hexágono, então sua área, em 
cm2, vale 
 
 
D C
A B
A B
C
DE
F
 
 6
a) 
3
2
π
. b) π . c) 2π . 
d) 3π . e) 2(2 3)+ π . 
 
45. (Ita 2016) Sejam λ uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma 
corda em λ de comprimento 4 cm. As tangentes a λ em P e em Q 
interceptam-se no ponto R exterior a .λ Então, a área do triângulo 
em PQR, em 
2cm , é igual a 
a) 
2 3
.
3
 b) 
3 2
.
2
 c) 
6
.
2
 
d) 
2 3
.
5
 e) 
4 3
.
3
 
 
46. Dois círculos de raios 12 cm e 8 cm têm centros na altura relativa 
à base do triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. 
Calcule, em centímetros, a altura do triângulo relativa à base e 
desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
 
47. (Ita 2007) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, 
um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, 
respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as 
áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam 
uma progressão geométrica, então B/H é uma raiz do polinômio 
a) ð3x3 + ð2x2 + ðx - 2 = 0 
b) π2x3 + π3x2 + x + 1 = 0 
c) ð3x3 - ð2x2 + ðx + 2 = 0 
d) ðx3 - ð2x2 + 2ðx - 1 = 0 
e) x3 - 2ð2x2 + ðx - 1 = 0 
 
48. (Ita 2007) Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num 
triângulo equilátero de altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, 
de raio R2, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C1 
externamente. Calcule (R1 - R2)/h. 
 
49. (Ita 1995) Considere C uma circunferência centrada em O e raio 
2r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um 
ponto de C tal que o ângulo AOT = è é um ângulo agudo. Sendo B o 
ponto de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT, então 
a área do trapézio OABT é igual a 
a) r2(2 cosè - cos 2è) 
b) 2r2(4 cosè - sen 2è) 
c) r2(4 senè - sen 2è) 
d) r2(2 senè + cosè) 
e) 2r2(2 sen 2è - cos 2è) 
 
50. (Ita 2006) Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 
100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm2, 
do círculo inscrito neste losango. 
 
51. (Ime 2010) Seja ABC um triângulo de lados AB , BC e AC 
iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro 
O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale: 
a) 
104
6
 b) 
104
3
 
c) 
2 104
3
 d) 104 
e) 3 104 
 
52. A figura seguinte mostra a trajetória de um ponto que parte de A 
e, descrevendo arcos de circunferências no sentido horário, volta ao 
ponto A. 
 
 
Considerando que o triângulo APQ é eqüilátero de lado 1 cm , a 
trajetória desse ponto é a seguinte: partindo de A, descreve um arco 
de circunferência de centro Q e raio QA, atingindo o ponto B; de B 
descreve um arco de centro P e raio PB até atingir o ponto C; de C 
descreve um arco de centro A e raio AC até atingir o ponto D; de D 
descreve um arco de centro Q e raio QD até atingir o ponto E, e, 
finalmente, de E descreveum arco de centro P e raio PE, voltando ao 
ponto A. 
 Calcule, em centímetros, a distância percorrida por esse ponto 
e despreze a parte fracionária, caso exista. 
 
53. Considere um triângulo isósceles ABC de base BC . Sendo O o 
ponto médio dessa base, constrói-se a semicircunferência de centro 
O e tangente aos lados AB e AC em R e S, respectivamente. Uma 
tangente qualquer a essa semicircunferência intercepta AB em M e 
AC em N. 
 
 
Sobre a situação apresentada, julgue os itens. 
 
� Os triângulos BOM e CON são semelhantes. 
� O produto CNBM × é constante. 
� O perímetro do triângulo AMN é igual a 2(AR). 
 
E
C D
P Q
B
A
M
R
N
A
S
CB
 
 7
1 2 3
1 1 1
r r r
= +
54. (UnB) Do ponto médio da base de um triângulo isósceles 
descreve-se uma semicircunferência tangente aos outros dois lados; 
uma tangente MN corta esses lados. Sabendo-se que 24=AB e 
18=AM , calcule BN. 
 
 
55. Considere dois círculos de raios 36 cm e 9 cm que são tangentes 
exteriores. Calcule, em milímetros, o raio do círculo tangente aos 
dois círculos e tangente à reta tangente comum externa. 
Desconsidere a parte decimal, caso exista. 
 
 
 
56. (Sangaku – Teorema Japonês) Considere três círculos (de raios 
1 2 3, ,r r r , com 1 2 3r r r< ≤ ) tangentes entre si e tangentes a uma 
mesma reta. Prove que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57. A figura abaixo mostra uma circunferência de centro O1 com dois 
diâmetros, AB e CD , tais que °= 601DÔA . O ponto O2 é o centro 
do arco da circunferência, de raio R, tangente aos diâmetros AB e 
CD ; O3 é o centro da circunferência de raio r, também tangente aos 
diâmetros citados e tangente à circunferência de centro O1; O4 é o 
centro da circunferência menor, de raio x, tangente aos diâmetros e à 
circunferência de centro O3. 
 
 
 Sendo cmAB 8= , julgue os itens abaixo. 
 
� O raio R tem comprimento superior a 7 cm. 
� O raio r tem comprimento igual a 2,6 cm. 
� O raio x tem comprimento igual a 0,8 cm. 
 O arco da circunferência de centro O2 é tangente à 
circunferência de centro O3. 
 
 
58. A Bernerd, um exímio resolvedor de problemas, foi proposto o 
problema seguinte. 
 
 
 
A figura mostra um quadrante (um quarto do círculo), uma 
semicircunferência de raio
2
R
 e duas circunferências tangentes entre 
si, tangentes ao quadrante e à semicircunferência. Calcule os raios, x 
e y, das circunferências em função de R. 
 
Para Bernerd, o cálculo de y foi bastante elementar. Construiu a figura 
seguinte. 
 
 Com base na figura de Bernerd, julgue os itens a seguir. 
 
� Sendo T ponto de tangência, ( ) 222 hyyR +=− , em que 
OTh = . 
� 
22
2
22






−+





+= y
R
y
R
h 
� 
4
R
y = 
 
3
2R
h = 
 
Após calcular o raio y, Bernerd traçou mais alguns segmentos, que 
estão mostrados a seguir, e denominou CDm = e ADn = . 
 
C
M
N
BOA
36 cm
9
 c
m
r
A
C
B
D
O1
2
O4
O
O
3
60
o
R
r
x
B
R
O
C
y
x
AR R
2 2
B
C
y
y
AEO
R
2
T
h
 
 8
 
 
 Com base na figura, julgue os itens que se seguem. 
 
� ( )
2
22
2






++=− n
R
mxR e 22
2
2
nmx
R
+=





+ , 
conseqüentemente, x
R
n 3
2
−= . 
� ( ) ( ) ( )222 nymhyx ++−=+ e 22
2
2
nmx
R
+=





+ , 
conseqüentemente, 
22
xR
m
+
= . 
� 
( )
17
225 +
=
R
x 
 
59. Na figura abaixo determine os raios dos círculos destacados em 
função do lado do quadrado 
 
 
 
60. Na figura abaixo determine os raios dos círculos destacados e o 
lado do quadrado interior (também destacado) em função do lado do 
quadrado externo. 
 
 
61. Na figura abaixo determine os raios dos círculos destacados em 
função do lado do quadrado 
 
 
GABARITO 
1. 
2A L 1
2
π 
= − 
 
 
2. 
3. ��� cm2 
 
4. 
5. C 
6. 
7. 
8. a 
9. 
10. 
11. b 
12. 
13. 
14. C 
15. A 
16. 
a) 
2 5
BQ
3
= 
b) 
2
2 u.a.
3 3
 
− 
 
π
 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. A 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. a) h = 3 u.c. b) r = 5 u.c. c) S = (5π - 9) u.a. 
 
31. a) 188 m2 b) 4 324 m2 
 
32. 
33. 4(5 - π ) cm2 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. B 
45. E 
46. 
47. D 
48. (R1 - R2)/h = 2/9 
49. C 
50. ���� cm2 
51. D 
52. 
53. 
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 
m
T
h
y B
C
x
O E A Dn