Lista Complementar -Trigo-Mod6-Soma e Diferença de Arcos - Arco Duplos

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Lista de Exercícios (Complementar) - Trigonometria - Módulo 6 
(Soma e Diferença de Arcos e Arco Duplo) 
 
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1. (Eear 2019) 
Simplificando a expressão 
sen(2 x) sen(3 x),π π− + + obtém-se 
a) sen x b) sen x− 
c) 2 sen x d) 2 sen x− 
 
2. (EsPCEx) 
Considere o triângulo com ângulos internos x, 45 
e 120 . O valor de 2tg (x) é igual a 
a) 3 2.− b) 4 3 7.− 
c) 7 4 3.− d) 2 3.− 
e) 2 4 3.− 
 
3. (UEFS) 
No triângulo retângulo ABC, AB 4 cm= e o 
segmento AD divide o ângulo ˆBAC em dois 
ângulos de medidas α e .β D é um ponto do cateto 
BC, tal que CD 3 cm= e DB 2 cm,= conforme 
mostra a figura. 
 
 
 
Dada a identidade trigonométrica 
tg tg
tg( ) ,
1 tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
− 
 o valor de tgβ é 
a) 
2
7
 b) 
3
8
 
c) 
4
9
 d) 
5
11
 
e) 
6
13
 
 
4. (EsPCEx) 
Os pontos P e Q representados no círculo 
trigonométrico abaixo correspondem às 
extremidades de dois arcos, ambos com origem em 
(1,0), denominados respectivamente α e ,β 
medidos no sentido positivo. O valor de ( )tg α β+ é 
 
 
a) 
3 3
3
+
 
b) 
3 – 3
3
 
c) 2 3+ 
d) 2 3− 
e) 1 3− + 
 
 
 
5. (FGV) 
Se sen x sen y 
15
3
+ = e cos x cos y 1,+ = 
então, ( )sec x – y é igual a 
a) 
1
3
 b) 
1
2
 c) 2 d) 3 e) 4 
 
6. (Mackenzie) 
O maior valor inteiro de k, para que a equação 
3senx cosx k – 2+ = apresente soluções reais é 
 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
7. (UEM) 
Sabendo-se que 
3
sen x
4
= − e que cos x 0, é 
correto afirmar que 
 
01) x é um número real tal que 
3
2k x 2(k 1) .
2
π
π π+   + 
 
02) 2
7
cos x .
8
= 04) 
3 7
tg x .
7
= − 
 
08) 
1
cos 2x .
8
= − 16) sen (180 x) 0. −  
 
8. (PUCJ) 
Sabemos que 
4
cosx
5
= e x 0, .
2
π 
  
 
 Quanto vale 
tg 2x? 
 
a) 
3
4
 b) 
7
24
 c) 
24
7
 d) 
1
25
 e) 
1
24
 
9. (IFCE) 
Se 
2
sen(x) ,
3
= − cos(2x)sen( x)− é 
a) 
2
.
9
 b) 
2
.
27
 c) 
2
.
9
− d) 
2
.
27
− e) 
9
.
27
− 
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(Soma e Diferença de Arcos e Arco Duplo) 
 
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10. (UFG) 
Um time de futebol conseguiu um terreno para seu 
futuro centro de treinamento (CT). O terreno tem a 
forma de um triângulo retângulo e suas dimensões 
são apresentadas na figura a seguir. O projeto de 
construção do CT prevê um muro ligando os pontos 
A e C. 
 
 
Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo 
com vértice em A, calcule a medida, em metros, do 
muro AC. 
 
11. (Fuvest) 
Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 
15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial 
de um ponto determinado do caminhão, depois de 
percorridos 100 m da ladeira, será de, 
aproximadamente, 
Dados: 3 1,73; 2
1 cos
sen .
2 2
θ θ− 
= 
 
 
a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m 
 
12. (Unicamp) 
Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, 
apoiado em um plano horizontal, contém água até a 
altura 
3
.
4
a Inclina-se lentamente o cubo, girando-o 
em um ângulo θ em torno de uma das arestas da 
base, como está representado na figura abaixo. 
 
 
a) Supondo que o giro é interrompido exatamente 
antes de a água começar a derramar, determine a 
tangente do ângulo θ . 
b) Considerando, agora, a inclinação tal que 
tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π=   calcule o valor 
numérico da expressão cos(2 ) sen(2 ).θ θ− 
Gabarito 
Resposta da questão 1: 
[D] 
 
De ( ) ( )sen 2 x sen 3 x ,π π− + + temos: 
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 + 𝑥)
= 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   2𝜋
+ 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   3𝜋 
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 + 𝑥)
= 0 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 1 + 0 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⋅ (−1) 
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 + 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋 + 𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
Resposta da questão 2: 
[C] 
 
Do enunciado, 
𝑥 + 45∘ + 120∘ = 180∘ 
𝑥 = 60∘ − 45∘ 
𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔(60∘ − 45∘) 
𝑡𝑔𝑥 =
𝑡𝑔60∘ − 𝑡𝑔45∘
1 + 𝑡𝑔60∘ ⋅ 𝑡𝑔45∘
 
𝑡𝑔𝑥 =
√3 − 1
1 + √3 ⋅ 1
 
𝑡𝑔2𝑥 = (
√3 − 1
1 + √3
)
2
 
𝑡𝑔2𝑥 =
√3
2
− 2 ⋅ √3 ⋅ 1 + 12
1 + 2 ⋅ 1 ⋅ √3 + √3
2 
𝑡𝑔2𝑥 =
4 − 2√3
4 + 2√3
 
𝑡𝑔2𝑥 =
2 ⋅ (2 − √3)
2 ⋅ (2 + √3)
 
𝑡𝑔2𝑥 =
2 − √3
2 + √3
 
𝑡𝑔2𝑥 =
2 − √3
2 + √3
⋅
2 − √3
2 − √3
 
𝑡𝑔2𝑥 =
22 − 2 ⋅ 2 ⋅ √3 + √3
2
22 − √3
2 
𝑡𝑔2𝑥 = 7 − 4√3 
 
Resposta da questão 3: 
[E] 
 
No triângulo ADB, 
2
tg
4
1
tg
2
α
α
=
=
 
 
No triângulo ACB, 
( )
5
tg
4
α β+ = 
 
Daí, 
𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽
1 − 𝑡𝑔𝛼 ⋅ 𝑡𝑔𝛽
=
5
4
 
1
2
+ 𝑡𝑔𝛽
1 −
1
2
⋅ 𝑡𝑔𝛽
=
5
4
 
4 ⋅ (
1
2
+ 𝑡𝑔𝛽) = 5 ⋅ (1 −
1
2
𝑡𝑔𝛽) 
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2 + 4𝑡𝑔𝛽 = 5 −
5
2
𝑡𝑔𝛽 
4𝑡𝑔𝛽 +
5
2
𝑡𝑔𝛽 = 5 − 2 
13
2
𝑡𝑔𝛽 = 3 
𝑡𝑔𝛽 =
6
13
 
 
Resposta da questão 4: 
[D] 
 
Como P pertence ao segundo quadrante e 
2
sen45 ,
2
 = 
segue que 45 90 135 .α =  +  =  Por outro lado, sabendo 
que Q é do terceiro quadrante e 
1
cos60 ,
2
 = vem 
60 180 240 .β =  +  =  
 
Portanto, 
 
( )
2 2
tg tg(135 240 )
tg(360 15 )
tg15
tg(45 30 )
tg45 tg30
1 tg45 tg30
3
1
3 3 (3 3) 9 6 3 3 6(2 3)3 2 3.
63 3 3 (3 3) 3 ( 3)
1 1
3
α β+ =  + 
=  + 
= 
=  − 
 − 
=
+   
−
− − − + −
= =  = = = −
+ − −
+ 
 
 
Resposta da questão 5: 
[D] 
 
Sabendo que 
2 2sen cos 1,α α+ = 
cos( ) cos cos sen senα β α β α β− = + e 
1
sec ,
cos
α
α
= vem 
 
|𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 =
√15
3
𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 1
⇔ |
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑦 =
15
9
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 = 1
 
 ⇔ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 2 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦
+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦) + 
 +𝑠𝑒𝑛2 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 =
5
3
+ 1 
 ⇔ 2 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦) =
2
3
 
 ⇔
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦
= 3 
 ⇔
1
𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 𝑦)
= 3 
 ⇔ 𝑠𝑒𝑐( 𝑥 − 𝑦) = 3. 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
01 + 04 + 08 + 16 = 29. 
 
[01] Verdadeira. Arcos com extremidades no quarto quadrante. 
 
[02] Falsa, pois 
2
2 23 7cos x 1 cos x .
4 16
 
= − −  = 
 
 
[04] Verdadeira, pois 
3
3 3 74tgx .
77 7
16
−
− 
= = − = 
[08] Verdadeira, pois 
2 2 7 9 2 1cos2x cos x sen x .
16 16 16 8
= − = − = − = − 
 
[16] Verdadeira, pois ( )
3
sen 180 x senx .
4
 − = = − 
 
 
Resposta da questão 7: 
[C] 
 
Se 
4
cosx
5
= e x 0, ,
2
π 
  
 
 podemos considerar um 
triângulo retângulo com um dos ângulos agudos medindo x, o 
cateto adjacente a ele medindo 4 e a hipotenusa medindo 5. 
 
 
 
Calculando a medida do cateto b através do Teorema de 
Pitágoras, podemos escrever: 
2 2 2b 4 5 b 3.+ =  = 
 
Concluímos então que 
3
tgx
4
= e que: 
 
2 2
3 3 3
2
2 tgx 3 16 244 2 2tg(2x) .
9 7 2 7 71 tg x 3 11 16 164


= = = = =  =
−   −−  
 
 
 
Resposta da questão 8: 
[B] 
 
Sabendo que sen( x) senx− = − e 
2cos(2x) 1 2 sen x,= −  obtemos 
 
2
2
cos(2x)sen( x) (1 2 sen x) ( senx)
2 2
1 2
3 3
8 2
1
9 3
2
.
27
− = −   −
      
 = −  −  − −          
 
= −  
 
=
 
 
 
 
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Resposta da questão 9: 
 
 
 
( )
2
2 4
2
2 123 3tg tg 2
43 52 11 93
θ θ

=  = = =
  −−  
 
 
 
12 BC
BC 7,2hm e CD 5,2hm
5 3
=  = = 
 
Utilizando agora, o teorema da bissetriz interna, temos: 
AC 3
AC 7,8hm 780m
52 2
=  = = 
 
 
Resposta da questão 10: 
[B] 
 
Considere a figura, em que h é a diferença pedida.Sabendo que 
3
cos30 ,
2
 = vem 
 
2 2
3
1
30 1 cos30 2sen sen 15
2 2 2
2 1,73
sen15
2
1 27
sen15
2 100
1 3 1,73
sen15
2 10
sen15 0,26.
−
 −  
=   = 
 
−
  
   

   
  
 
 
Portanto, 
 
h 100 sen15 100 0,26 26 m.=     = 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 
( ) ( )
( )2 2
2 2
2
1
f x cosx cos 2x
2
1
f(x) cosx cos x sen x
2
1
f(x) cosx (cos x 1 cos x)
2
1
f(x) cos x cosx
2
= + 
= +  −
= + − +
= + −
 
 
Temos uma função do segundo grau na variável cosx. 
 
O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por: 
1 1
cosx cosx
2 1 2
= −  = −

 
 
Portanto, para 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋,a função f(𝑥) assume valor mínimo para 𝑥 =
2𝜋
3
 ou x = 
4𝜋
3
. 
 
Resposta da questão 12: 
a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado: 
 
 
 
a a
14 4tg
a 2
θ
+
= = 
 
b) Se tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π=   temos: 
 
 
 
2 2
2 2
1 4
sen e cos
17 17
Logo, cos2 sen2 cos sen 2.sen .cos
4 1 1 4 16 1 8 7
2. .
17 17 17 1717 17 17 17
θ θ
θ θ θ θ θ θ
= =
− = − − =
   
= − − = − − =   
   