Exercícios_Aprofundados_Ciclo_Trigonométrico_e_Reduções

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CICLO TRIGONOMÉTRICO E 
REDUÇÕES
b. O perímetro desse triângulo. 
 
4. (G1 - CP2 2013) Um homem de 1,8 
metros de altura sobe uma ladeira com 
inclinação de 20º e sustentada por um 
barranco de extremos C e D, conforme 
mostra a figura abaixo. No ponto A,está 
um poste que mede 4,5 metros de altura, 
com uma lâmpada no ponto B. Considere 
que os segmentos de medidas AB, EF e 
CD são paralelos e ainda: sen20º = 0,34; 
cos20º = 0,94 e tg20º = 0,36.
a. Determine o comprimento da sombra 
do homem, representada pelo segmento 
de extremos C e F, depois que ele 
percorreu 3 metros sobre a ladeira.
b. Qual a distância entre o poste e o 
barranco que sustenta a ladeira? 
1. (IME 2019) Uma corda CD corta o 
diâmetro AB de um círculo de raio R no 
ponto E. Sabendo que o ângulo ˆABC 30= ° 
e que EC R 2,= calcule a medida do 
segmento ED. 
 
2. (UEPG 2013) Num instante t1, um avião 
é visto por um observador situado no solo 
sob um ângulo de 60° e, no instante t2, sob 
um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião 
voa numa reta horizontal a uma altitude de 
5 km, assinale o que for correto. 
01. No instante t1, a distância entre o 
observador e o avião é 10 3 km. 
02. No instante t2, a distância entre o 
observador e o avião é 10 km.
04. A distância percorrida pelo avião 
entre os instantes t1 e t2 é maior que 
5 km. 
08. A distância percorrida pelo avião 
entre os instantes t1 e t2 é menor que 
4 km. 
 
3. (UFTM 2011) Dado um triângulo 
isósceles de lados congruentes medindo 
20 cm, e o ângulo α formado por esses dois 
lados, tal que 4.sen α = 3.cos α determine:
a. O valor numérico de sen α. 
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5. (UFJF 2012) Dois estudantes I e 
II desejam medir a altura, H, de um 
prédio, utilizando-se de conhecimentos 
matemáticos. Distanciados um do outro 
de x metros, os estudantes fazem visadas 
atingindo a ponta da antena de altura h 
situada no topo do prédio, segundo os 
ângulos α e β, representados no esboço 
abaixo.
Obtenha a altura H da torre, em função de 
α, β, h e x. 
 
6. (UFSC 2019) É correto afirmar que: 
01. A igualdade 3 2tg x tg x sec x tg x= ⋅ − é 
válida para todo 𝑥 ≠ 𝜋2 + 𝑘𝜋 ;  𝑘 ∈ ℤ.
02. Em maio de 2018, os jornais 
noticiaram uma forte manifestação 
dos caminhoneiros em todo o Brasil. 
Dias antes do início do movimento, os 
postos de combustíveis A e B vendiam 
o litro de gasolina a R$ 3,70 e R$ 4,00 
respectivamente. Alguns dias depois do 
término da manifestação, esses preços 
alcançaram os valores, na devida ordem, 
de R$ 4,43 e R$ 4,80. Admitindo que 
o PROCON (Programa de Proteção e 
Defesa do Consumidor) considere que 
aumentos acima de 20% são abusivos, 
então os dois postos cometeram 
práticas abusivas. 
04. Um supermercado anuncia certo 
tipo de queijo em duas opções de preço. 
Na primeira, o pacote de 150 g custa R$ 
3,00 enquanto que na segunda opção o 
pacote de 400 g custa R$ 7,20. Nessas 
condições, a segunda opção é mais 
vantajosa para o cliente. 
08. O valor numérico da expressão 
2 2
2 2
a b
a bab
2 2
−
+ +
 para a = 5.184 e b = 3.888 é 1 .
14
 
 
7. (UFSC 2018) É correto afirmar que: 
01. Se 𝑎,  𝒃 ∈ ℝ com 0 < 𝑎< 𝑏 então 
a ba b .
2
+
⋅ < 
02. Se 2nS n 3n,= − sendo 𝑛 ∈ ℤ+∗ ,
representa a soma dos primeiros termos 
de uma progressão aritmética, então o 
oitavo termo dessa sequência é -16. 
04. Os valores reais de x que satisfazem 
a inequação 
2
2
x 3x 5 0
9 x
− +
≥
−
 constituem um 
intervalo aberto e limitado. 
08. Na figura abaixo, a reta PQ

 é 
tangente à circunferência trigonométrica. 
O perímetro do triângulo POQ é 3 3+ 
unidades de comprimento.
 
16. Se f é uma função periódica, então f 
é injetora. 
 
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s8. (UFSC 2017) Em relação às proposições 
abaixo, é correto afirmar que: 
01. O menor ângulo formado pelos 
ponteiros do relógio às 3 h e 25 min é 
47,5º. 
02. Dado qualquer número real t 0,≠ a função 
real de variável real definida por 2 xf(x) cos
t
π =  
 
 
satisfaz à identidade f(x+t) = f(x).
04. Se kx ,2
π
≠ sendo k um número 
inteiro, então
2 2 2 2sec x cossec x sec x cossec x.+ = ⋅ 
08. A equação sec x 2= apresenta 
duas soluções no intervalo 0 x 4 .π≤ ≤ 
 
9. (UNICAMP 2016) Considere o triângulo 
exibido na figura abaixo, com lados de 
comprimentos a, b e c e ângulos α, β e γ.
a. Suponha que a sequência (α, β, γ) 
é uma progressão aritmética (PA). 
Determine a medida do ângulo β.
b. Suponha que a sequência (a, b c) é 
uma progressão geométrica (PG) de 
razão q 2.= Determine o valor de tan β.
 
10. (IME 2016) A circunferência C, 
tem equação x2 + y2 = 16. Seja C' uma 
circunferência de raio 1 que se desloca 
tangenciando internamente a circunferência 
C, sem escorregamento entre os pontos de 
contato, ou seja, C' rola internamente sobre C.
Define-se o ponto P sobre C' de forma 
que no início do movimento de C' o ponto 
P coincide com o ponto de tangência 
(4,0) conforme figura a. Após certo 
deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e 
a reta que une o centro das circunferências 
é α, conforme figura b.
a. Determine as coordenadas do ponto P 
marcado sobre C' em função do ângulo α.
b. Determine a equação em coordenadas 
cartesianas do lugar geométrico do ponto 
P quando α varia no intervalo [0, 2π).
 
11. (UEM-PAS 2016) Sobre trigonometria, 
assinale o que for correto. 
01. Arcos congruentes diferem entre si 
por π radianos. 
02. Uma volta completa no círculo 
trigonométrico equivale a 360 graus. 
04. As funções seno e cosseno têm o 
mesmo período. 
08. 22
1 1 1 sen x, x 0, .
2cotg x
π + = − ∀ ∈ 
 
 
16. No círculo trigonométrico, um ângulo 
negativo, em radianos, é medido no sentido 
anti-horário. 
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s 12. (UEL 2015) Considere, na figura a 
seguir, uma circunferência trigonométrica 
de 1 cm de raio, na qual se exibe um ângulo 
α e uma medida A OD,= em que OD é a 
distância em cm do ponto O até o ponto D, 
ou, ainda, a medida do segmento OD. 
Sabe-se que a reta que contém o segmento 
OD tangencia a circunferência no ponto O.
Com base nas informações apresentadas 
na figura, determine as medidas dos 
segmentos MN e MP em função da 
medida A. Justifique sua resposta 
apresentando os cálculos realizados. 
 
13. (UNIFESP 2013) A sequência (12,a,b), 
denominada S1, e a sequência (c,d,e), 
denominada S2, são progressões aritméticas 
formadas por números reais.
a. Somando 1 ao segundo termo e 5 ao 
terceiro termo de S1, a nova sequência 
de três números reais passa a ser uma 
progressão geométrica crescente. 
Calcule a razão dessa PG.
b. Aplicando a função trigonométrica 
seno aos três termos de S2, a nova 
sequência que se forma tem soma dos 
três termos igual a zero, e termo do meio 
diferente de zero. Determine a razão r de 
S2, para o caso em que r .2
π π< < 
 
14. (UFU 2012) Em computação gráfica, 
é frequente a necessidade de movimentar, 
alterar e manipular figuras em um sistema 
2D (bidimensional). A realização destes 
movimentos é feita, em geral, utilizando-
se transformações geométricas, as quais 
são representadas por matrizes T2X2. 
Assim — considerando um polígono P no 
plano cartesiano xOy de vértices (a1,b1), ..., 
(an,bn), o qual é representado pela matriz 
1 n
2xn
1 n
a a
M ,
b b
 
=  
 


 
em que n é o número de vértices do 
polígono — a transformação de P por T2X2 
é feita pela realização do produto matricial 
T2X2 . M2X2, obtendo a matriz resultante
 
1 n
1 n
c c
,
d d
 
 
 


 
cujas colunas determinam os vértices 
(c1,d1), ..., (cn,dn) do polígono obtido.
Nesse contexto, para o que se segue, 
considere a transformação
 
2x2
2cos 2sen
T
2sen 2cos
θ θ
θ θ
− 
=  
 
 e P o triângulocujos vértices são os pontos 
A(0, 0), B(4, 0) e ( )C 2, 2 3 .
Execute planos de resolução de maneira a 
encontrar:
a. os vértices do triângulo resultante Q 
obtido da transformação do triângulo P 
por T2X2, quando θ = 840º.
b. a área do triângulo resultante Q obtido 
na transformação do item A. 
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15. (UNESP 2012) Sejam dois espelhos planos 
(E1 e E2), posicionados verticalmente, com suas 
faces espelhadas voltadas uma para outra, e 
separados por uma distância d, em centímetros. 
Suspensos por finas linhas, dois pequenos anéis 
(A e B) são posicionados entre esses espelhos, 
de modo que as distâncias de A e B ao espelho 
E, sejam, respectivamente, a e b, em centímetros, 
e a distância vertical entre os centros dos anéis 
seja h, em centímetros, conforme mostra a figura.
Determine o ângulo de incidência α, em 
relação à horizontal, em função de a, b, 
d e h, para que um feixe de luz atravesse 
o anel A, se reflita nos espelhos E1, E2 
e E1 e atravesse o anel B, como indica 
o percurso na figura. Admita que os 
ângulos de incidência e de reflexão do 
feixe de luz sobre um espelho sejam 
iguais. 
16. (UEPG-PSS 2 2019) Considerando que 
xA 2cos(4x) sen(2x) tg sec(8x),
2
 = + + − 
 
para
x ,
2
π
= 
2 3 5B cos sen tg
3 2 4
π π π     = + +     
      e 
C = tg2x, com 2senx ,
3
= assinale o que for correto. 
01. A + B + C é um número positivo. 
02. A e B são as raízes da equação 
2x2 - 3x - 2 = 0. 
04. A soma dos coeficientes do binômio 
(A + 2B x)10 é um. 
08. A área do retângulo com lados 
medindo A e C é um número primo. 
 
17. (FUVEST 2017) O centro de um disco de 
raio 1 é colocado no ponto C = (0,1) do plano 
cartesiano Oxy. Uma das extremidades 
de um fio de espessura desprezível e 
comprimento 3 é fixada na origem O e a 
outra extremidade está inicialmente no 
ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado 
e com mesmo comprimento, enrola-se, no 
sentido anti-horário, parte dele em torno 
do disco, de modo que a parte enrolada do 
fio seja um arco OP da circunferência que 
delimita o disco. A medida do ângulo ˆOCP, 
em radianos, é denotada por θ. A parte não 
enrolada do fio é um segmento retilíneo PQ 
que tangencia o disco no ponto P.
A figura ilustra a situação descrita.
a. Determine as coordenadas do ponto Q 
quando o segmento PQ for paralelo ao 
eixo y.
b. Determine as coordenadas do ponto 
Q quando o segmento PQ for paralelo à 
reta de equação y = x.
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s c. Encontre uma expressão para as 
coordenadas do ponto Q em função de 
θ, para θ no intervalo 0, .
2
π 
  
 
18. (UEPG 2017) Assinale o que for correto. 
01. Se cotg (x) + tg (x) = 10, então sen 
(2x) = 1/5. 
02. Se 0 x ,
4
π
≤ ≤ então
 2cos (2x) sen (2x) 2 sen x cos x sen x.− + = −
 
04. A matriz 
sen 58 cos 32
sen 870 cos 780
° ° 
 ° ° 
 tem 
inversa. 
08. Se 0 x
2
π
≤ ≤ e cos x = a, então 
2
1tg ( x) 1.
a
π − = −
16. O menor ângulo formado pelos 
ponteiros de um relógio quando ele 
marca 10h é 121 .° 
 
19. (UNICAMP 2017) Sabendo que k é um 
número real, considere a função 
f(x) = k sen x + cos x, definida para todo 
número real x.
a. Seja t um número real tal que f(t) = 0. 
Mostre que f(2t) = -1.
b. Para k = 3, encontre todas as soluções da 
equação f(x)2 + f(-x)2 = 10 para 0 ≤ x ≤ 2π.
 
20. (UEPG 2014) Sendo x um arco do 1º 
quadrante e sabendo que asenx a 1= + e a 1sec x ,
a 2
+
=
+
 assinale o que for correto. 
01. cos2x senx=
02. 3cotgx cos x
6
⋅ = 
04. 3tgx
3
= 
08. 3cossec x 2= 
16. 3sen2x
2
= 
 
21. (UFPE 2010) Na ilustração a seguir, 
a casa situada no ponto B deve ser ligada 
com um cabo subterrâneo de energia 
elétrica, saindo do ponto A. Para calcular 
a distância AB, são medidos a distância 
e os ângulos a partir de dois pontos O 
e P, situados na margem oposta do rio, 
sendo O, A e B colineares. Se OPA = 30°, 
POA = 30°, APB = 45° e OP = ( 3 + 3� )
km, calcule AB em hectômetros.
 
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GABARITO
1: Do enunciado, tem-se a seguinte figura:
Como AB é diâmetro, ˆACB 90 .= °
No triângulo ABC,
ACsen30
2R
AC R
° =
=
No triângulo ABC,
BCcos30
2R
BC R 3
° =
=
No triângulo CEB,
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
R 2 R 3 y 2 R 3 y cos30
32R 3R y 2R 3 y
2
y 3Ry R 0
3R 3R 4 1 R
y
2
3R R 5y
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅
− − =
± − − ⋅ ⋅ −
=
±
=
Como y 2R,<
( )
3R R 5y
2
R 3 5
y
2
−
=
−
=
Como y z 2R+ = e 
( )R 3 5
y ,
2
−
=
( )
( )
( )
( )
( )
R 3 5
z 2R
2
R 3 5
z 2R
2
4R R 3 5
z
2
R 4 3 5
z
2
1 5
z R
2
−
+ =
−
= −
− −
=
− +
=
+
=
Então,
( ) ( )
( )
( )
( )
x R 2 y z
R 3 5 R 1 5
x R 2
2 2
R 5 1 1x
2 2
R 5 1 2
x
4
2 5 1 R
ED
4
⋅ = ⋅
− +
⋅ = ⋅
−
= ⋅
− ⋅
=
⋅ −
=
Resposta: A medida do segmento ED é 
( )2 5 1 R
.
4
⋅ − 
2: 02 + 04 = 06. 
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s [01] Falsa, pois
5 3 5 10 3sen60 y km.
y 2 y 3
= ⇒ = ⇒ =
[02] Verdadeira, pois
5 1 5sen30 x 10 km.
x 2 x
= ⇒ = ⇒ =
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é 
isósceles, logo z = y > 5.
[08] Falsa, pois z = y > 5. 
3: a) Sabendo que 2 2sen cos 1α α+ = e 
4cos sen ,
3
α α= então:
2
2 24 25sen sen 1 sen 1
3 9
3sen .
5
α α α
α
 + = ⇔ = 
 
⇒ =
b) Seja  a medida do lado oposto ao 
ângulo α. Sabendo que 4cos sen3α α= e 3sen ,
5
α = então 4cos .
5
α = Logo, pela Lei dos 
Cossenos, encontramos:
2 2 2 2
2
420 20 2 20 20 800 640
5
160
4 10 cm.
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = −
⇔ =
⇒ =
 


Portanto, o perímetro do triângulo é dado 
por: 20 20 4 10 4(10 10)cm.+ + = + 
4: a) Por semelhança de triângulos:
CF EF CF EF CF 1,8 1,8CF 5,4 4,5CF CF 2 m
AC AB CF AF AB CF 3 4,5
= → = → = → + = → =
+ +
 
CF EF CF EF CF 1,8 1,8CF 5,4 4,5CF CF 2 m
AC AB CF AF AB CF 3 4,5
= → = → = → + = → =
+ +
b) Por trigonometria:
AD AD ADcos20 cos20 0,94 AD 4,7 m
AC AF CF 5
° = → ° = → = → =
+
AD AD ADcos20 cos20 0,94 AD 4,7 m
AC AF CF 5
° = → ° = → = → =
+
5: Considere a figura.
Como h H h Htg y
y tg
β
β
+ +
= ⇔ = e
h Htg x tg y tg h H,
x y
α α α+= ⇔ − = +
−
 segue que 
h Hx tg tg h H x tg tg htg Htg htg Htg
tg
H(tg tg ) x tg tg h(tg tg )
x tg tgH h.
tg tg
α α α β α α β β
β
α β α β α β
α β
α β
+
− = + ⇔ − − = +
⇔ + = − +
⇔ = −
+
h Hx tg tg h H x tg tg htg Htg htg Htg
tg
H(tg tg ) x tg tg h(tg tg )
x tg tgH h.
tg tg
α α α β α α β β
β
α β α β α β
α β
α β
+
− = + ⇔ − − = +
⇔ + = − +
⇔ = −
+
h Hx tg tg h H x tg tg htg Htg htg Htg
tg
H(tg tg ) x tg tg h(tg tg )
x tg tgH h.
tg tg
α α α β α α β β
β
α β α β α β
α β
α β
+
− = + ⇔ − − = +
⇔ + = − +
⇔ = −
+
6: 01 + 04 = 05.
[01] Verdadeira. Com efeito, lembrando 
que 2 2tg x sec x 1,= − para todo
x k , k ,
2
π π≠ + ∈  , temos
2 2
2
3
tgx sec x tgx tgx (sec x 1)
tgx tg x
tg x.
⋅ − = ⋅ −
= ⋅
=
[02] Falsa. Basta notar que, no posto B, o 
aumento foi de 
4,8 4 100% 20%.
4
−
⋅ =
[04] Verdadeira. De fato, pois 
7,2 0,9 1 3 .
400 50 50 150
= < =
[08] Falsa. Na verdade, temos
2 2
2 2 2
2
a b (a b)(a b)
a b a bab
2 2 2 2
2(a b)(a b)
(a b)
2(a b)
a b
2(5184 3888)
5184 3888
2.
7
− − +
=
 + + + 
 
− +
=
+
−
=
+
−
=
+
=
 
ℝ
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2 2 2
2
a b (a b)(a b)
a b a bab
2 2 2 2
2(a b)(a b)
(a b)
2(a b)
a b
2(5184 3888)
5184 3888
2.
7
− − +
=
 + + + 
 
− +
=
+
−
=
+
−
=
+
=
7: 01 + 04 + 08 = 13.
Analisando as afirmativas uma a uma:
[01] CORRETA. Calculando: 
2h ab h ab
a b raio da circunferência circunscrita
2
a bh R ab
2
= ⇒ =
+
=
+
< ⇒ <[02] INCORRETA. Calculando:
( ) ( )2 28 8 7a S S 8 3 8 7 3 7 40 28 12= − = − ⋅ − − ⋅ = − = 
[04] CORRETA. Estudando-se os sinais 
do numerador e denominador, tem que 
2
2
x 3x 5
9 x
− +
−
será maior ou igual a zero no 
intervalo 3 x 3.− < <
[08] CORRETA. Como a circunferência 
dada é trigonométrica, seu raio é igual a 1. 
Assim, calculando:
60
3
PQ PQtg 60 3 PQ 3
1 1
1 1 1cos 60 PO 2
2PO PO
Perímetro 2 3 1 3 3
π
= °
° = ⇒ = ⇒ =
° = ⇒ = ⇒ =
= + + = +
[16] INCORRETA. A função seno, por 
exemplo, é periódica e não é injetora. 
8: 01 + 02 + 04 = 07.
[01] Verdadeira. De fato, o deslocamento 
do ponteiro das horas em 25 minutos é 
igual a 25 12 30'.
2
= ° Ademais, como o 
ângulo entre as posições 3 e 5 é 2 30 60 ,⋅ ° = ° 
segue que o menor ângulo é 
60 12 30' 47 30'.° − ° = °
[02] Verdadeira. Com efeito, sendo t 0≠ 
e lembrando que cos(2 ) cos ,ð á á+ = para 
todo α real, temos:
2 (x t)f(x t) cos
t
2 xcos 2
t
2 xcos
t
f(x).
π
ππ
π
+ + =  
 
 = + 
 
 =  
 
=
[04] Verdadeira. De fato, pois se kx ,2
π
≠
com 𝑘𝜖ℝ , então 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1sec x cossec x
cos x sen x
sen x cos x
cos x sen x
1
cos x sen x
sec x cossec x.
+ = +
+
=
⋅
=
⋅
= ⋅
[08] Falsa. Em cada volta no círculo 
trigonométrico a equação possui duas 
soluções. Logo, como o intervalo 0 x 4π≤ ≤
corresponde a duas voltas, segue que 
a equação possui exatamente quatro 
soluções. 
9: a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma 
de seus termos será 180, pois a soma dos 
ângulos internos de um triângulo é sempre 
180 .° Assim, pode-se escrever:
( )
PA ( , , ) ( r, , r)
r r 3
S 180 180 3 60
2
α β γ β β β
β β
β β
⇒ = − +
− + + ⋅
= = ⇒ = ⇒ = °
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s b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2,= 
então pode-se escrever:
PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)⇒ =
Pela lei dos cossenos, tem-se:
( ) ( )2 22 2 2 2 3a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos 4β β β= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = 
( ) ( )2 22 2 2 2 3a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos 4β β β= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ =
Pela relação fundamental:
2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen
16 16 4
β β β β β + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = 
 
 
2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen
16 16 4
β β β β β + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = 
 
Por fim, calculando a tangente:
7
sen 7 4 74tg tg3cos 4 3 3
4
ββ β
β
= = = ⋅ ⇒ =
 
10: a) Se a circunferência C’ deslocou-
se α, então ela percorreu uma distância d 
igual a:
α d
2π 2 R
2 4d d 4
2
π
α π α
π
⋅ ⋅
= → =
Pode-se escrever:
( ) ( )
( )3 3
OP OO' O'P 3cos ,3sen 3cos , 3sen
3cos 4cos 3cos ,3sen 3sen 4sen
α α α α
α α α α α α
= + = + − =
= + − − +
Assim,
( ) ( )3 3P x,y 4cos , 4senα α= =
b) Da relação fundamental da 
trigonometria, tem-se:
2 2
2 2 2 2 33 33 3
sen cos 1
x y 1 x y 16
4 4
α α+ =
   
+ = → + =      
   
11: 02 + 04 = 06.
[01] Falsa. Arcos côngruos diferem entre 
si por 2π radianos.
[02] Verdadeira. Um ângulo de 1 volta 
mede 360º.
[04] Verdadeira. O período das funções 
seno e cosseno simples é 2π.
[08] Falsa. Tomando x ,
4
π
= temos
2
2
1 12 1 1 sen .
4 2cotg
4
π
π
= + ≠ − =
[16] Falsa. Um ângulo negativo, por 
convenção, é medido no sentido horário. 
12: Como a reta OD

 é tangente à 
circunferência trigonométrica em O, tem-
se que DÔM = 90º.Assim, dado que 
MO 1cm,= do triângulo MOD, vem 
ODtg sen A cos .
MO
α α α= ⇔ =
Daí, lembrando que 2 2sen cos 1,α α+ = segue 
que 
2 2
2
1(A cos ) cos 1 cos .
1 A
α α α+ = ⇒ =
+ 
Em consequência, vem
2
Asen .
1 A
α =
+
Agora, sendo MNOP um retângulo, tem-se 
MN OP.=
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sPortanto, do triângulo MPO, obtemos 
2
OP Asen MN cm
MO 1 A
α = ⇔ =
+
e
2
MP 1cos MP cm.
MO 1 A
α = ⇔ =
+
13: a) Como (12, a,b) é uma progressão 
aritmética, segue que
b 12a b 2a 12.
2
+
= ⇔ = −
Além disso, sabendo que (12, a 1,b 5)+ + é 
uma progressão geométrica crescente, 
vem 
 
2 2
2
(a 1) 12 (b 5) a 2a 1 12 (2a 7)
a 22a 85 0
a 17.
+ = ⋅ + ⇔ + + = ⋅ −
⇔ − + =
⇒ = 
Portanto, a razão pedida é dada por
a 1 17 1
12 12
3 .
2
+ +
=
=
 
b) Como (c, d, e) é uma progressão 
aritmética, segue que e 2d c= − e r d c.= − 
Daí, sabendo que senc send sene 0+ + = e 
send 0,≠ vem
sen(2d c) senc send 0
2d c c 2d c c2 sen cos send 0
2 2
2 send cos(d c) send 0 send (2 cosr 1) 0
1cosr
2
2r ,
3
π
− + + = ⇔
− + − −   ⋅ ⋅ + = ⇔   
   
⋅ ⋅ − + = ⇔ ⋅ ⋅ + =
⇒ = −
⇒ =
pois r .
2
π π< <
14: a) Sabendo que sen(k 360 ) senα α⋅ ° + = e 
cos(k 360 ) cos ,α α⋅ ° + = com 𝑘𝜖ℝ vem 
sen840 sen(2 360 120 )
sen120
sen60
3
2
° = ⋅ ° + °
= °
= °
=
 
e
cos840 cos(2 360 120 )
cos120
cos60
1.
2
° = ⋅ ° + °
= °
= − °
= −
Desse modo, 
2 2
2cos 2sen
T
2sen 2cos
1 32 2
2 2
3 12 2
2 2
1 3
3 1
×
θ − θ 
=  θ θ 
  ⋅ − − ⋅  
  =
  ⋅ ⋅ −  
  
 − −
=   − 
e, portanto, 
2 2 2 3
0 4 21 3
T M
0 0 2 33 1
0 4 8
,
0 4 3 0
× ×
   − −
⋅ = ⋅    −   
− − 
=  
 
ou seja, os vértices do triângulo Q são 
A '(0, 0), B'( 4, 4 3)− e C'( 8, 0).− 
b) A área do triângulo A 'B'C' é dada por 
 
 
0 4 8 01 1 | 32 3 | 16 3 u.a.
2 20 4 3 0 0
− −
⋅ = ⋅ − =
 
15: 
x a.tg
x k ytg k d.tg
a d b
y b.tg
h x 2k y
h a.tg 2.d.tg b.tg
h tg .(a 2d b)
htg
a 2.d b
harctg
a 2.d b
α
α α
α
α α α
α
α
α
=
= = = ⇔ =
 =
= + +
= + +
= + +
=
+ +
 =  + + 
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s
 
16: 01 + 02 + 04 = 07.
Tem-se que
A 2cos2 sen tg sec 4
4
2 1 1
2
ππ π π= + + −
= + −
=
e
3B cos sen tg
3 2 4
1 1 1
2
1.
2
π π π     = − + +     
     
= − − +
= −
Ademais, como 2senx ,
3
= vem
2
2 2 2
2
2
31 cotg x cossec x 1 cotg x
2
5cotg x
4
4tg x C.
5
 + = ⇔ + =  
 
⇔ =
⇔ = =
[01] Verdadeira. Com efeito, pois
20 5 8A B C 0.
10 10 10
+ + = − + >
[02] Verdadeira. De fato, pois
 22 2 3 2 2 0⋅ − ⋅ − = 
e 
21 12 3 2 0.
2 2
   ⋅ − − ⋅ − − =   
   
 
[04] Verdadeira. Com efeito, pois, fazendo 
x 1,= temos 
10
1012 2 1 (2 1) 1.
2
  + ⋅ − ⋅ = − =    
[08] Falsa. Na verdade, tem-se que a área 
é igual a 4 82 ,5 5⋅ = ou seja, um racional não 
inteiro e, portanto, não primo. 
17: a) Considere a figura.
Sendo rad
2
πθ = e CP 1u.c.,= temos
OP CP u.c.
2
πθ= ⋅ =
Em consequência, vem PQ 3 u.c.
2
π = − 
 
 e, 
portanto, é fácil ver que Q 1, 4 .
2
π = − 
 
 
b) Em particular, como mostrado em (c), 
quando PQ é paralelo à reta y = x, temos 
4
πθ = e, assim, vem
Q sen 3 cos ,1 cos 3 sen
4 4 4 4 4 4
2 24 ,1 2 .
2 4 2 4
π π π π π π
π π
    = + − − + −        
    = − + −    
    
OP
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sc) Considere a figura.
Do triângulo CPT, obtemos 
PTsen PT sen
CP
θ θ= ⇔ =
e
CTcos CT cos .
CP
θ θ= ⇔ =
Assim, como OC 1,= vem P (sen ,1 cos ).θ θ= −
Por outro lado, de forma análoga ao item 
(a), sabemos que OP .θ= e, portanto, temos 
PQ (3 ).θ= − Logo, do triângulo PSQ, 
encontramos
QSsen QS (3 )sen
PQ
θ θ θ= ⇔ = −
e
PScos PS (3 )cos .
PQ
θ θ θ= ⇔ = −
Desse modo, o ponto Q pode ser expresso, 
em termos do ângulo θ, como segue
Q (sen (3 )cos ,1 cos (3 )sen ).θ θ θ θ θ θ= + − − + − 
18: 01 + 02 = 03.
[01] CORRETA. Calculando:
2 21 cos x sen x cos x sen xcotg x tgx 10 tgx 10 10 10
tg sen x cos x sen x cos x
110 sen x cos x 1 2 sen x cos x sen (2x)
5
+
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =
⋅
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = =
 
2 21 cos x sen x cos x sen xcotg x tgx 10 tgx 10 10 10
tg sen x cos x sen x cos x
110 sen x cos x 1 2 sen x cos x sen (2x)
5
+
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =
⋅
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = =
2 21 cos x sen x cos x sen xcotg x tgx 10 tgx 10 10 10
tg sen x cos x sen x cos x
110sen x cos x 1 2 sen x cos x sen (2x)
5
+
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =
⋅
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = =
[02] CORRETA. Calculando:
( )
( )
2
22
2 2 2
2 2 2 2
2 2
cos (2x) sen (2x) 2 sen x cos x sen x
cos (2x) sen (2x) 2 sen x cos x sen x
cos x sen x cos x 2cos x sen x sen x 1 2cos x sen x
cos (2x) sen (2x) 2 sen x cos x sen x 2cos x sen x 2 sen x
cos x 2cos x sen x sen x 1 2cos x sen x
− + = −
− + = −
− = − ⋅ + = − ⋅
− + = − − ⋅ +
− ⋅ + = − ⋅
 
[04] INCORRETA. Os valores da primeira 
linha são todos iguais entre si, bem como 
os valores da segunda linha (ângulos 
complementares). Assim, é impossível que 
a matriz possua inversa. 
[08] INCORRETA. Calculando:
2 2tg tgx sen x 1 cos x 1 atg ( x) tgx
1 tg tgx cos x cos x a
ππ
π
− − −
− = = − = − = − = −
+ ⋅
2 2tg tgx sen x 1 cos x 1 atg ( x) tgx
1 tg tgx cos x cos x a
ππ
π
− − −
− = = − = − = − = −
+ ⋅
[16] INCORRETA. Calculando:
360 12 30
30 5 6
10h15min 30 4 4 6 144
÷ =
÷ =
⇒ ⋅ + ⋅ = °
 
19: a) Se f(t) 0,= então
cos tk sent cos t 0 k .
sent
+ = ⇔ = −
Desse modo, lembrando que 
2 2sen cos 1,α α+ = para todo ,α ∈  vem
2 2
2 2 2
2 2
f(2 t) k sen2t cos2t
cos t 2sentcos t cos t sen t
sent
2cos t cos t sen t
(sen t cos t)
1.
= +
= − ⋅ + −
= − + −
= − +
= −
b) Se k = 3, então f(x) 3senx cos x.= + Logo, 
sabendo que sen( ) senβ β− = − e cos( ) cos ,β β− = 
para todo ,β∈  , vem 
ℝ
ℝ
OP
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s 2 2 2 2
2
f(x) f( x) 10 (3senx cos x) (cos x 3senx) 10
1sen x
2
2senx
2
 ou
2senx
2
3x ou x
4 4
 ou .
5 7x ou x
4 4
π π
π π
+ − = ⇔ + + − =
⇔ =
=
⇔
= −
= =
⇒
= =
Portanto, o conjunto solução da equação é 
{ }3 5 7S , , , .4 4 4 4π π π π=
20: 01 + 04 + 16 = 21.
Lembrando que 
1cos x ,
sec x
= vem 
22
2 2
2 2
a a 2sen x cos x 1 1
a 1 a 1
a a 2 a 2a 1
a 1.
 + + = ⇔ + =  + +   
⇔ + + = + +
⇔ =
 
Portanto, como x é um arco do primeiro 
quadrante e 1senx ,
2
= segue que x = 30º.
[01] Correto. É claro que cos60 sen30 .° = °
[02] Incorreto. De fato, pois
3 3 3cotg30 cos30 .
2 23
° ⋅ ° = ⋅ =
[04] Correto. Tem-se que 3tg30 .
3
° =
[08] Incorreto. Lembrando que
1cossec x ,
senx
= temos cossec 30 2.° =
[16] Correto. Com efeito, pois 3sen60 .2° = 
21: De acordo com os dados do problema 
temos a figura.
3 + 3�
𝑠𝑒𝑛120𝑜
=
𝑦
𝑠𝑒𝑛30𝑜
⇔
3 + 3�
2
=
3� . 𝑦
2
⇔ 𝑦 = 3� + 1
3 + 3�
𝑠𝑒𝑛120𝑜
=
𝑦
𝑠𝑒𝑛30𝑜
⇔
3 + 3�
2
=
3� . 𝑦
2
⇔ 𝑦 = 3� + 1
O triângulo POB é isósceles logo, 𝑂𝐵 = 3� + 3
Portanto,
 𝐴𝐵 = 𝑥 = 3� + 3 − 3� + 1 = 2𝑘𝑚 = 20ℎ𝑚
ANOTAÇÕES