C1 Lista Semanal 10 - 2022_4 (Com Gabarito)

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Questão 1. A amplitude das oscilações no estado estacionário de um oscilador har-
mônico com frequência natural ω0, razão de amortecimento ζ e sob o qual atua uma
força externa do tipo F (t) = F0 sin(ωt) é dada por A(ω) =
F0
m
√
(2ωω0ζ)2 + (ω2 − ω20)2
.
Determine a frequência ω da força externa para que a amplitude seja máxima e indique
a condição para que exista essa amplitude máxima.
Solução: Devemos encontrar o valor crítico da frequência ω. Assim, temos
dA
dω
= 0
=⇒ F0
m
d
dω
(
4ω20ζ
2ω2 + (ω2 − ω20)2
)−1/2
= 0
=⇒ −1
2
F0
m
(
4ω20ζ
2ω2 + (ω2 − ω20)2
)−3/2 [
4ω20ζ
2(2ω) + 2(ω2 − ω20)(2ω)
]
= 0
=⇒ 2ω20ζ2 = ω20 − ω2
=⇒ ω = ω0
√
1− 2ζ2.
Assim, notamos que uma condição necessária para a existência de uma amplitude
máxima é que ζ < 1√
2
.
Questão 2. Considere que a probabilidade de encontrar uma molécula de um gás com
módulo da velocidade próximo de um valor v seja dada pela distribuição de Maxwell-
Boltzmann f(v) = 4π
( m
2πkT
)3/2
v2e−
mv2
2kT , onde k ≈ 1, 38 · 10−23J/K é a constante
de Boltzmann, m é a massa das partículas do gás e T a temperatura do ambiente.
Determine o valor mais provável do módulo da velocidade de uma molécula de N2
(m ≈ 4, 65 · 10−26Kg) em temperatura ambiente (T ≈ 300K) (isto é, o valor que
maximiza a distribuição de probabilidades).
Solução: A velocidade mais provável é aquela que maximiza o valor da distribuição
de probabilidades f . Assim, devemos ter
f ′(v) = 0
=⇒ d
dv
(
4π
( m
2πkT
)3/2
v2e−
mv2
2kT
)
= 0
=⇒ 4π
( m
2πkT
)3/2
e−
mv2
2kT
(
2v − v2
(mv
kT
))
= 0
=⇒ v =
√
2kT
m
.
Usando os dados fornecidos, obtemos v ≈ 422m/s.
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CÁLCULO I
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 10
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 10
Questão 3. Assumindo que a corrente em um capacitor vinculado a um circuito
RC seja dada como função do tempo por I(t) = V0
R
e−t/(RC), onde V0, R e C são
constantes. Determine a carga no capacitor em função do tempo, Q(t), sabendo que
Q é uma primitiva de I e que o capacitor estava inicialmente descarregado.
Solução: Com a informação de que Q é uma primitiva de I, podemos concluir que
Q(t) =
∫
I(t)dt =
∫
V0
R
e−t/(RC) = −V0Ce−t/(RC) + k, para alguma constante k. A
condição de o capacitor estar inicialmente descarregado nos dá Q(0) = 0 =⇒ k = V0C.
Portanto, temos Q(t) = V0C
(
1− e−t/(RC)
)
.
Questão 4. Um carro está viajando a 20 m/s quando o motorista vê um acidente 100
m adiante e pisa no freio. Qual desaceleração constante é necessária para parar o carro
em tempo de evitar a batida? Assuma que, durante a desaceleração, a velocidade é
uma função afim do tempo.
Solução: Usando a ideia de que a posição é uma primitiva da função velocidade,
temos, a partir do momento em que o motorista pisa no freio, v(t) = 20 − at =⇒
x(t) =
∫
v(t)dt =
∫
(20 − at)dt = 20t − at2/2 + c. Considerando x como sendo
medido a partir da posição que o carro se encontrava quando o motorista começou a
pisar no freio, podemos considerar c = 0.
Podemos calcular, então, o tempo que o carro levará para percorrer os 100m até
o local do acidente. Nesse instante temos (i) 100 = 20t − at2/2. Por outro lado,
devemos exigir que nesse instante o carro consiga frear totalmente, isto é, também
devemos ter v = 0 =⇒ (ii) t = 20
a
. Logo, das condições (i) e (ii) teremos 100 =
400
a
− 200
a
=
200
a
=⇒ a = 2m/s2.
Informação para resolução da questão 5: [Definição de trabalho realizado por uma
força em 1 dimensão] Se uma partícula se move em uma dimensão, com sua posição
descrita por uma variável x, sujeita a uma força dependente da posição F (x), define-se
o trabalho realizado pela força quando a partícula se move de uma posição inicial x0
a uma posição final x1 como sendo a integral W ≡
∫ x1
x0
F (x)dx.
Questão 5. Considere uma partícula se movendo sob a ação de uma força dependente
da posição dada or F (x) = −kx. Calcule o trabalho realizado pela força quando a
partícula se desloca da posição x = 0 até a posição x = A > 0.
Solução: O trabalho realizado por uma força dependente da posição que se desloca de
uma posição x0 até uma posição x1 é dado pela integral de Riemann W =
∫ x1
x0
F (x)dx.
Portanto, temos W = −
∫ A
0
kxdx = −k x
2
2
∣∣∣∣A
0
= −kA2/2.
2